presentacion semana5 intro
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Presentacion Semana 5TRANSCRIPT
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“Hay una fuerza motriz más poderosa que el
vapor, la electricidad y la energía atómica. Esa
fuerza es la voluntad. (Albert Einstein)”
Medardo Galindo
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6.1 Expresiones Racionales
• Determinar el dominio de funciones
racionales
• Reducir expresiones racionales
• Multiplicar expresiones racionales
• Dividir expresiones racionales
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Determinar dominio en
funciones racionales • Una expresión racional es una expresión
de la forma p/q, donde p y q son
polinomios y q ≠ 0
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
2
𝑥, 𝑥 + 3
𝑥, 𝑥2 + 4𝑥
𝑥 − 3,
𝑎
𝑎2 − 4,
𝑡2 − 5𝑡 + 7
𝑡3 + 𝑡2 − 3𝑡
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• Al escribir una expresión racional con
variable en el denominador, siempre
suponemos que el valor o valores de la
variable que hagan el denominador igual a
0 queden excluidos.
• En la expresión:
5
𝑥 − 3, 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ≠ 3
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• Una función racional es aquella con la
forma f(x) = p/q o y = p/q, donde p y q son
polinomios y q ≠ 0
• El dominio de una función racional será el
conjunto de valores que pueden utilizarse
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑓 𝑥 =5
𝑥, 𝑦 =
𝑥2 + 9
𝑥 + 3,𝑇 𝑎 =
𝑎 + 1
𝑎2 − 4
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Resolver
Conjunto solución es
𝑎) 𝑓 𝑥 = 𝑥2,𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 4
𝑓
𝑔 𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
𝑓
𝑔 𝑥 =
𝑥2
𝑥2 − 4
= 𝑥2
𝑥 + 2 (𝑥 − 2)
𝑥 𝑥 ≠ 2 𝑦 𝑥 ≠ −2
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Resolver
𝑏) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2,𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 − 10
𝑐) 𝑓 𝑥 = 𝑥,𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 6
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Reducir expresiones racionales
• Factorizar como sea posible el numerador
y el denominador
• Divida el denominador y el numerador
entre los factores comunes
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Simplificar
𝑎)𝑥2 + 4𝑥 + 3
𝑥 + 3
𝑥2 + 4𝑥 + 3
𝑥 + 3=
𝑥 + 3 𝑥 + 1
𝑥 + 3 = 𝑥 + 1
𝑏)3𝑥3 − 3𝑥2
𝑥3 − 𝑥
𝑐)27𝑥3 − 8
2 − 3𝑥
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Multiplicar expresiones
racionales• Factorizar como sea posible el numerador
y denominador
• Divida entre todos los factores comunes
• Multiplique usando la regla anterior
• Cuando sea posible, simplifique la
respuesta (No es necesario si se realiza
bien el paso 2)
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Multiplicar
𝑎)𝑥 − 5
6𝑥∙
𝑥2 − 2𝑥
𝑥2 − 7𝑥 + 10
𝑥 − 5
6𝑥∙
𝑥(𝑥 − 2)
𝑥 − 2 (𝑥 − 5)=
1
6
𝑏)𝑥2 − 𝑦2
𝑥 + 𝑦∙
𝑥 + 2𝑦
2𝑥2 − 𝑥𝑦 − 𝑦2
𝑐)𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 − 𝑐𝑑
𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑐𝑑∙𝑏2 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑐𝑑
𝑏2 + 𝑏𝑑 − 𝑏𝑐 − 𝑐𝑑
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Dividir Expresiones Racionales
• Para dividir expresiones racionales,
invertimos el divisor (la segunda fracción,
o fracción inferior) y procedemos como
cuando multiplicamos expresiones
racionales
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Dividir
1)12𝑎2 − 22𝑎 + 8
3𝑎÷
3𝑎2 + 2𝑎 − 8
2𝑎2 + 4𝑎
12𝑎2 − 22𝑎 + 8
3𝑎∙
2𝑎2 + 4𝑎
3𝑎2 + 2𝑎 − 8
2 6𝑎2 − 11𝑎 + 4
3𝑎∙
2𝑎 𝑎 + 2
3𝑎 − 4 𝑎 + 2
2 3𝑎 − 4 2𝑎 − 1
3𝑎∙
2𝑎 𝑎 + 2
3𝑎 − 4 𝑎 + 2
4(2𝑎 − 1)
3
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Resolver
2)𝑥4 − 𝑦4
𝑥 − 𝑦÷
𝑥2 + 𝑥𝑦
𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2
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6.2 Suma y Resta De
Expresiones Racionales• Sumar y restar expresiones con un
denominador común
• Determinar el mínimo común denominador
• Sumar y restar expresiones sin
denominadores comunes
• Analizar aplicaciones de expresiones
racionales
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Sumar y Restar con un
denominador común• Sume o reste los numeradores, tal como
indican las reglas de la pagina anterior
• Si es posible, simplifique las expresiones
• Resolver
1)3
𝑥 + 2+𝑥 − 4
𝑥 + 2=
3 + (𝑥 − 4)
𝑥 + 2=
𝑥 − 1
𝑥 + 2
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Resolver
2)𝑥2 + 3𝑥 − 2
𝑥 + 5 (𝑥 − 3)+
4𝑥 + 12
𝑥 − 5 (𝑥 − 3)
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Determinar Mínimo Común
Denominador • Escriba como producto de numeros
primos cada coeficiente no primo (distinto
de 1) de los monomios del denominador
• Factorice cada denominador
completamente. Cualquier factor que
aparezca mas de una vez debe
expresarse como potencia
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• Liste todos los factores diferentes
(distintos de 1) que aparezcan en
cualquiera de los denominadores. Cuando
aparezca mas de un denominador, escribir
con la mayor potencia
• El mínimo común denominador es el
producto de todos los factores
encontrados en el paso 3
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• Determine el M.C.D de:
1)7
𝑥2 𝑥 + 1 +
3𝑧
𝑥 𝑥 + 1 3
2)3
2𝑥2 − 4𝑥+
7𝑥
𝑥2 − 4𝑥 + 4
3) 5𝑥
𝑥2 − 𝑥 − 12−
6𝑥2
𝑥2 − 7𝑥 + 12
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Sumar y Restar expresiones sin
denominadores comunes• Determine MCD
• Escriba cada fracción como una fracción
equivalente con el MCD. Esto se hace
multiplicando el numerador y el
denominador de cada fracción por los
factores necesarios
• Conserve el denominador en forma
factorizada, pero desarrolle el numerador
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• Sume o reste los numeradores,
conservando el MCD
• Cuando sea posible reducir la fracción
mediante la factorización del numerador,
hágalo.
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• Resolver:
1) 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑥 + 2
𝑥 − 4−𝑥 + 5
𝑥 + 4
2)𝑆𝑢𝑚𝑒 2
𝑥 − 3+𝑥 + 5
3 − 𝑥
3)𝑅𝑒𝑠𝑡𝑒 3𝑥 + 4
2𝑥2 − 5𝑥 − 12−
2𝑥 − 3
5𝑥2 − 18𝑥 − 8
4) 𝑥 − 1
𝑥 − 2−𝑥 + 1
𝑥 + 2+
𝑥 − 6
𝑥2 − 4
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Aplicaciones
• Una compañía de botes de vela fabrica al
menos 6 botes cada semana.
Suponga que
En donde x es el numero de botes de vela
vendidos. Determine la función de la
utilidad.
𝑅 𝑥 6𝑥 − 7
𝑥 + 2 𝑦 𝐶(𝑥)
4𝑥 − 13
𝑥 + 3
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6.3 Fracciones Complejas
• Reconocer fracciones complejas
• Simplificar fracciones complejas
multiplicando por un denominador común
• Simplificar fracciones complejas
simplificando el numerador y el
denominador
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Simplificar multiplicando por un
denominador común• Determine el mínimo común denominador
de todas las fracciones que aparecen en
la fracción compleja.
• Multiplique el numerador y el denominador
de la fracción compleja por el mínimo
común denominador
• Simplifique lo mas posible
![Page 27: Presentacion semana5 intro](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052413/559ee1c01a28abe0218b480c/html5/thumbnails/27.jpg)
Simplificar simplificando el
numerador y denominador• Sume o reste, lo que sea necesario, para
obtener una expresión racional en el
numerador
• Sume o reste, para obtener una expresión
racional en el denominador
• Invierta el denominador de la fracción
compleja y multiplique por el numerador
• Simplifique lo mas posible
![Page 28: Presentacion semana5 intro](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052413/559ee1c01a28abe0218b480c/html5/thumbnails/28.jpg)
Resolver
1)𝑎−1 + 𝑎𝑏−2
𝑎𝑏−2 − 𝑎−2𝑏−1
2)
2𝑥2 −
3𝑥
𝑥2
5
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6.4 Resolución de Ecuaciones
Racionales• Resolver ecuaciones racionales
• Verificar soluciones
• Resolver proporciones
• Resolver problemas con funciones
racionales
• Resolver problemas de aplicación
• Despejar una variable en una formula
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Resolver Ecuaciones
Racionales• Determine el Mínimo Común Divisor
• Multiplique ambos lados por el MCD
• Eliminar paréntesis existentes y reduzca
los términos semejantes de cada lado de
la ecuación
• Resolver ecuación utilizando propiedades
• Verificar solución en ecuación original
![Page 31: Presentacion semana5 intro](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052413/559ee1c01a28abe0218b480c/html5/thumbnails/31.jpg)
Resolver
3𝑥
4+
1
2=
𝑥 − 1
2
4 3𝑥
4+
1
2 = 4 ∙
𝑥 − 1
4
4 3𝑥
4 + 4
1
2 = 2 𝑥 − 1
3𝑥 + 2 = 2𝑥 − 2
𝑥 + 2 = −2
𝑥 = −4
![Page 32: Presentacion semana5 intro](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052413/559ee1c01a28abe0218b480c/html5/thumbnails/32.jpg)
Verificar Soluciones
![Page 33: Presentacion semana5 intro](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052413/559ee1c01a28abe0218b480c/html5/thumbnails/33.jpg)
Resolver
1)3𝑥
𝑥2 − 4+
1
𝑥 − 2=
2
𝑥 + 2
2)22
2𝑝2 − 9𝑝 − 5−
3
2𝑝 + 1=
2
𝑝 − 5
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Resolver Proporciones
• Las proporciones son un tipo especial de
ecuaciones con la forma
• Las proporciones se utilizan con
frecuencia para trabajar con figuras
semejantes, estas son aquellas cuyos
ángulos correspondientes son iguales y
cuyos lados correspondientes son
proporcionales
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
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Resolver
![Page 36: Presentacion semana5 intro](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052413/559ee1c01a28abe0218b480c/html5/thumbnails/36.jpg)
Problemas que incluyen
funciones racionales• Considerar la función
determine los valores de
𝑓 𝑥 = 𝑥 −2
𝑥
𝑓 𝑎 = 1
𝑎 ∙ 𝑎 −2
𝑎 = 𝑎 ∙ 1
𝑎2 − 2 = 𝑎
𝑎2 − 𝑎 − 2 = 0
𝑎 − 2 𝑎 + 1 = 0
𝑎 − 2 = 0
𝑎 = 2
𝑎 + 1 = 0
𝑎 = −1
![Page 37: Presentacion semana5 intro](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052413/559ee1c01a28abe0218b480c/html5/thumbnails/37.jpg)
Problemas de Aplicación
![Page 38: Presentacion semana5 intro](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052413/559ee1c01a28abe0218b480c/html5/thumbnails/38.jpg)
Despejar una Variable
1)1
𝑝+
1
𝑞=
1
𝑓,𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓
2) 𝐴 = 𝑃 + 𝑃𝑟𝑡,𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝
3) 𝑑 =𝑓𝑙
𝑓 + 𝑤,𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓