presentasi fluida 2 - direktori file...
TRANSCRIPT
KALKULUSKALKULUSVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIRirinRirin SispiyatiSispiyati (20106003)(20106003)
TUJUANTUJUANMencari titik yangMencari titik yang
meminimumkan/memaksimumkan suatumeminimumkan/memaksimumkan suatufungsionalfungsional
Turunan BerarahTurunan Berarah
TOOLTOOL
DIMENSI HINGGA
• 1 Dimensi
Algoritma Fermat ‘Jika f fungsi skalar 1
x̂x̂
variabel yang terdiferensialkan f : R → R memuat nilai ekstrim di titik makaf’( ) = 0’
• n Dimensi
xFxFxFd
d'
0
Didefinisikan F : Rn → RTurunan fungsi yang didefinisikan di Rn
,0xF
d 0
x
0 xF
Untuk yang meminimumkan fungsi F di Rn maka
Diperoleh
L : u → LL : u → L((uu))
•• admisable variation:admisable variation:MemenuhiMemenuhi
MTuM x
•• Turunan berarah:Turunan berarah:
BCs(u),ηδε
εη)(udε
du;η;δ
LLL(
0
Lagrange)-Euler(Persamaan0)(
,0),(
0
u
u
BCs
L
L
•• Turunan berarah:Turunan berarah:
ContohContoh
2)0(,1,0)(
)()(1
0
22
21
R
uxxu
dxuuu x
:L
L
M
M
)!(darikritistitikCari u
R
L:L M
PenyelesaianPenyelesaian
0}0,1,0{ xxTuM
0
1
0
22
21
0
)(
dxuud
du
d
dxL
0
1
0
2222
21 2 dxuuu
d
dxx
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
211
201
20
1
2
dxuuu
dxuuuu
dxudxuu
dxudxu
xxx
xxxx
xxx
xx
Titik kritis u diperoleh jika :Titik kritis u diperoleh jika :
0)(0
ud
dL
1
002
natural)batas(Syarat01
)(
dxuu
ux
u ,L
Sehingga diperolehSehingga diperoleh
22
2
222
2
12
22
1
0
2dan
2dengan
2)0(,01
:awalsyaratdengan
02
Pertama)VariasiurunanLagrange(TEulerPersamaanDiperoleh
002
)(
)(
ee
eC
ee
eCeCeCu(x)
uu
uu
dxuu
xx
x
xx
xx
u
u
0L
,L
ContohContoh
L
M:L
L
darikritistitikmerupakanyanguCari
R
),,()(
dttuuLuI
:anPenyelesai
dtu
L
tu
L
u
L
dtu
L
u
L
dttuuLd
du
d
d
II
I
I
),,()(00
L
Titik kritis u diperoleh jika :Titik kritis u diperoleh jika :
BCs0u
L
0)(0
ud
dL
),,()(
fungsionaldariLagrange-EulerPersamaan0
BCs0
dttuuLu
u
L
tu
L
u
I
I
L
Mekanika klasikMekanika klasik
Kecepatan:
Posisi:)(
waktuinterval},:{
dt
dqq
tqq
IRIqqM
L adalah selisih antara energi kinetik danL adalah selisih antara energi kinetik danL adalah selisih antara energi kinetik danL adalah selisih antara energi kinetik danenergi potensialenergi potensial
dttqVqmq
dtEpEkq
dttqqLq
I
),()(
)(
),,()(
2
21
I
I
L
L
L
Persamaan Euler LagrangePersamaan Euler Lagrange
qmp momentumJika
dttqVqmqI ),()( 2
21 L
Fq
Vqm
qmq
V
q
L
tq
L
0
q
Vp
pq
q
Vqm
dt
dp
qmp
diperoleh
maka
momentumJika
HamiltonianHamiltonian
HEkL
EpEkLLEkH
EpEkH
2
)(2
Principle/ActionFungsionalAction
)(),(dengan
),(
2
),(),(
Principle/ActionFungsionalAction
2
21 qVppqH
pqHqp
dtHEk
dtpqLpq
I
I
I
L
Gunakan turunan berarah untuk mencari titik kritisGunakan turunan berarah untuk mencari titik kritisdaridari
dtdq
dH
dt
dpp
εη,p)dtεη)-H(qq(dt
dp
dε
dεη,p)(q
dε
d
I
εε
00
L
),( pqL
dtdp
dH
dt
dq
εη)dt-H(q,pdt
dqεη)p
dε
dpq
d
d
dtdqdt
p
I
ε
II
(),(00
L
p
H
dt
dq
δδ pq
sehingga
dan 00 LL
Persamaan Euler LagrangePersamaan Euler Lagrange
H
H
p
q
q
H
dt
dp
pdt
p
q
t01
10
Energi KonservasiEnergi Konservasi
maka,,),,( 2
21
t
Vq
q
Vqm
t
Vq
q
Vqqm
t
H
tqVqmtqqH
0maka0Jika
0Karena
t
H
t
V
t
V
t
H
q
Vqm
pq
dtpqHdxqp
dxpqLpqH
I I
pq
:),(daridinamiksistemmaka
),(:PrincipleAction
),(),(:nHamiltoniadiketahuiJika
2 1
),( L
Hδdt
dp
Hδdt
dq
pq
q
p
:),(daridinamiksistemmaka
ContohContoh
:anPenyelesai
3
1
2
1
2
1),(
:nHamiltoniadengandinamiksistemTentukan
222
xuuhguH
2
dxhuhuhuhu
dxux
uhgd
duH
d
d
xxxxx
X
x
3
1
3
1
3
1
2
1
2
1),(
0
222
0
xxxxxu huhuhuuHdx
d
3
1),(
dxuug x
22
6
1
2
1
0
222
0 3
1
2
1
2
1),(
dxuuhgd
duH
d
dx
x62
22
6
1
2
1),( xuuguH
dt
du
TERIMA KASIHTERIMA KASIHTERIMA KASIHTERIMA KASIH