Corsi di allenamento 2013

Congetturare e dimostrare

Esempi di rappresentazione dellinfinitoin arte, in matematica { 0, 1, 2, 3, 4, ... }= NComprendere l'infinito ha suscitato sempre interesse per argomentare dimostrazioni della sua esistenza.

E' difficile trovare un'idea che abbia stimolato la mente in modo altrettanto fruttuoso, tuttavia nessun altro concetto ha pi bisogno di chiarificazione" (D. Hilbert).

La successione dei numeri naturali il primo esempio di insieme infinito che si incontra in matematica ed, anche per questa ragione, riveste una particolare importanza quando si vuol argomentare sul concetto di infinito. Infatti facile che i bambini della scuola Primaria percepiscano che a partire da un numero naturale qualsiasi n sempre possibile trovarne il successivo n + 1.

Il concetto di infinito nella matematica moderna permette di considerare gli enti matematici non pi singolarmente ,ma come oggetti di classi o collezioni o insiemi, che contengono elementi della stessa natura. La moderna teoria degli insiemi, stata ideata dalla scuola di George Cantor, gi alla fine del XIX secolo, per risolvere il problema di contare gli elementi di insiemi infiniti.In particolare le idee di Cantor esemplificatel'equipotenza e corrispondenza biunivoca (Es. L'insieme dei punti di una retta e linsieme N sono equipotenti perch possibile stabilire un collegamento tra i due insiemi scegliendo una unit ed un punto di origine per suddividere la semiretta in intervalli di numero N)

Concetti di base:-un insieme una collezione di oggetti, chiamati elementi dell'insieme. http://www.dmi.unipg.it/iniziative/mostre/-propriet per definire un insieme di oggetti

insiemi di oggetti matematici

assioma o enunciato

Idee per formalizzare il contare o numerare.

Quando due insiemi sono uguali?due insiemi formati dagli stessi elementi sono uguali (Assioma di estensionalit)

Esiste un insieme privo di elementi?Un insieme che non ha elementi vuoto (Assioma dellinsieme vuoto).

Rappresentare insiemi ugualimatematici e non

Due elementi possono formare un insieme?Se x e y sono insiemi formati rispettivamente da elementi unici, allora anche {x,y} un insieme (Assioma della coppia). Gli elementi di un insieme si possono riunire?Gli elementi di un insieme formano un insieme rappresentabile con un solo elemento (Assioma dellunione )

Risposte concrete

Problemi L'insieme dei numeri dispari e equipotente all'insieme N?L'insieme dei multipli di 5 e equipotente all'insieme N?L'insieme dei numeri interi Z e equipotente all'insieme N?

A cura di Maria Angela Varone

Risposte formali

Dato un insieme di oggetti di natura qualsiasi ha senso porsi le domande: Quanti sono gli elementi di A? A avr pi o meno elementi di un insieme B? Se Se A e B sono di numero finito possibile associare un elemento di A con un elemento di B?.

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Dati due insiemi A e B, si dice che A equipotente a B se possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di A e quelli di B.

Si dice che un insieme A finito se equipotente ad un insieme dove n l{1,2,3,4,,n} N e si scrive card A=card {1,2,3,4,,n} =n Se A finito e B A allora Card B

Si dice che un insieme A ha la potenza del numerabile se pu essere messo in corrispondenza biunivoca con linsieme N

ESEMPIO DI INSIEMI EQUIPOTENTI!

Quanti sono i numeri pari????21426384Linsieme dei numeri pari ha la potenza del numerabile

Queste son di quelle difficolt che derivano dal discorrere che noi facciamo intorno agli infiniti, dandogli quegli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso sia inconveniente, perch stimo che questi attributi di maggioranza, minorit o egualit non convenghino aglinfiniti (Galileo Galilei)

Quanti sono gli elementi di Q?Cantor ha dimostrato in maniera ingegnosa che linsieme dei razionali numerabileData la densit dei razionali pu sembrare impossibile che i due insiemi abbiamo la stessa dimensione, ma Cantor dimostr che basta disporli e contarli nel modo seguente:

Linsieme numerico i cui elementi sono elencati nella tabella , a causa delle evidenti ripetizioni (1/1,2/2,,1/2, 2/4,) non rappresenta linsieme Q , ma contiene pi elementi di Q.Con il procedimento ideato da Cantor si dimostra che questo insieme pi grande numerabile, ma facile concludere che anche Q numerabile.

Cantor dimostra anche, con un procedimento analogo che linsieme NxN (insieme delle coppie) numerabile.Basta osservare il modo in cui sono disposte le coppie ordinate nella seguente tabella e usare per contare le coppie il metodo a diagonale visto prima

La parte pi sconvolgente del lavoro di Cantor, per la dimostrazione del fatto chenon possibile mettere in corrispondenza biunivoca linsieme dei numeri naturali e i punti della retta, cio i naturali con i reali.

Cantor inizia la dimostrazione supponendo che pu esistere una corrispondenza fra linsieme dei reali e quello dei naturali, ma tale supposizione porta ad una contraddizione, per cui la supposizione di partenza deve essere falsa e quindi una tale corrispondenza non pu esistere.Un modo pi semplice per affrontare la dimostrazione quello di esaminare solo i reali compresi tra 0 e 1: se questo insieme di numeri reali ha pi elementi dellinsieme dei naturali, anche linsieme dei reali conterr pi elementi dellinsieme dei naturali.

SiaSupponiamo per assurdo che gli elementi di I (numeri reali compresi fra 0 e 1) si possano mettere in corrispondenza biunivoca con i naturali per cui se indichiamo xi con gli elementi di I si avr che dove

Costruiamo a questo punto un numero y cos fatto:

sicuramentee inoltreperch ha almeno una cifra diversa da ogni xi Quindi assurdo aver supposto che tutti i reali compresi tra zero e uno possono essere messi in corrispondenza con i naturali.

La cardinalit di I si chiama potenza del continuo.Per cui se un insieme ha la potenza del continuo presenta un livello di infinito diverso rispetto a quello di un insieme che ha la potenza del numerabile, come se fosse un livello infinito pi elevato.

E facile dimostrare che ogni intervallo aperto a,bR ha la potenza del continuo.La figura mostra come ad ogni punto dellintervallo 0,1 si pu far corrispondere un punto dellintervallo a,b (la corrispondenza biunivoca)

PAAAA

Con unaltra figura possiamo vedere come si pu realizzare la corrispondenza biunivoca tra i punti di un intervallo ]a,b[ R e la retta reale PQProiettando da P i punti dellintervallo verticalementre proiettando da Q i punti di

otteniamo i reali non negativi,

si ottengono i reali negativi.

La rivoluzione di Cantor sta nellaver rilevato che anche nel caso di insiemi infiniti ha senso parlare del numero di elementi ( proprio come nel caso di insiemi finiti) e che esistono almeno due tipi di infinito. Il primo tipo, linfinit dei numeri naturali, viene detta 0(potenza del numerabile) , il secondo tipo di infinit quello rappresentato da tutti i punti di un segmento e la sua cardinalit indicata con 1(potenza del continuo). Ha la cardinalit del continuo linsieme dei reali e Cantor dimostr anche che ha la cardinalit del continuo linsieme dei punti di un qualsiasi rettangolo nel piano e anche ogni cubo dello spazio.

Il successivo passo di Cantor fu quello di considerare linsieme dei possibili sottoinsiemi di un insieme: linsieme potenza.Ricordiamo con un esempio il concetto di insieme potenza nel caso finito. Dato

Ricordiamo che se Card A= n allora Card p(A)=2n infatti nel nostro caso Card A= 3 implica Card p(A)=23=8

Cantor riusc a dimostrare che se A infinito non mai equipotente ad A .

In particolare se linsieme in questione linsieme dei numeri naturali Cantor dimostr che ha la potenza del continuo.A questo punto Cantor si chiese:esiste un insieme infinito la cui cardinalit sia compresa tra quella del numerabile e quella del continuo?Tent per anni di dare una risposta cercando un insieme che avesse tale caratteristica, ma invano.Concluse , anzi suppose che un insieme con tale caratteristica non esiste.Questo problema lasciato aperto da Cantor noto come lipotesi del continuo.

La mia teoria si regge salda come una roccia; ogni freccia diretta contro di essa ritorner rapidamente a chi lha lanciata . Come lo so? Perch lho studiata sotto tutti gli aspetti per molti anni, perch ho esaminato tutte le obiezioni che siano mai state mosse contro i numeri infiniti e soprattutto perch lho seguita fino alle sue radici, per cos dire, fino alla prima causa infallibile di tutto il creato.(G.Cantor)

Rappresentare insiemi equipotenti Articolo di Gabriele Lolli su momenti di svolta sul pensiero matematico

Test Gioiamathesis (tratti da edizione 2008) per suggerimenti didattici finalizzati a determinare i concetti di- propriet-corrispondenzainsiemi equipotenti unione di insiemi numerabili

Fig. 2Test - Scatola del teVolendo riporre in una scatola da te (fig.2) almeno 10 bustine di te di sei qualit diverse, quali quantit sono possibili per ciascuna qualit?

La ricerca del moto perpetuo finora rimasta una storia senza lieto fine , ma limmaginario creativo continua a farne pensare lesistenza.