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L’energia cinetica
( )=f
i
x
x
dxxFL
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2
2
1mvK =
energia cinetica
KL =
teorema delle forze vive
l’energia è la capacità di compiere un lavoro
ifff
f
f
mvmvivv
mdd
ivvmFdL
d
ivvmmaF
d
ivva
222222
22
22
2
1
2
1
22
2
2
−=−
=−
==
−==
−=
Energia cinetica e teorema delle forze vive
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Calcola l'energia cinetica di una automobile di 900 kg che viaggia alla velocità
di 110 km/h. Se da questa velocità le occorrono 80 m per fermarsi, quanta
forza riescono ad esercitare i suoi freni?
110 km/h / 3,6 = 30 m/s.
La sua energia cinetica è:
Ki = ½ 900 kg • (30,55 m/s)2 = 420.139 J
La forza esercitata dai freni è:
F = L/s= 420.139 J / 80 m = -5252 N
KL =
L= Fdcosq=Fscos180°
3
Assumendo il verso dello
spostamento come positivo
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Calcolare il lavoro compiuto dal motore di un'auto che ha
massa m=950kg per passare da 36 a 90 km/h.
JKKKL iF 24937547500296875 =−=−==
JmvKi 47500109502
1
2
1 22 ===
JmvKF 296875259502
1
2
1 22 ===
P
Lt
t
LP =
= ; Maggiore la potenza e minore sarà il tempo per
svolgere il lavoro e quindi per raggiungere la stessa
velocità
4
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Vi trovate in una miniera profonda 150 m con hanno
infiltrazioni d'acqua per un totale di 600 l al minuto. Quale
deve essere la potenza minima del motore di una pompa
Permettervi di salvarvi?
1 l =1 dm3=10-3 m3
Densità dell’acqua 1000 Kg/m3
la potenza minima richiesta deve essere
in grado di sollevare l’acqua con la
stessa frequenza con cui si infiltra
(=1minuto=60 s)
P = 600 kg • 9,8 m/s2 • 150 m / 60 s =
14.700 W
t
LP
=
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Come funziona l’airbag?
6
E uno starnuto?
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=
B
A
dsFL
se L1 L2 L3 forza non
conservativa
se L1 = L2 = L3 forza
conservativa
se le forze sono conservative il lavoro
lungo un percorso chiuso è nullo
A
B
1
2
3
LAA = L1 + (-L2) = 0
Forze conservative e forze non conservative
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Energia Associata a forze che dipendono dalla posizione o
dalla loro configurazione
Esempio
Forza gravitazionale → dipende dalla posizione
Forza Elastica → dipende dalla configurazione della molla
Energia Potenziale
8
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Lavoro compiuto per sollevare il masso=
Lest=Fd=fdcos0=mgh=mg(y2-y1)
Lavoro compiuto dalla forza di gravità=
LG=Fd=fdcos180=-mgh=-mg(y2-y1)
Se si solleva il masso senza accelerare
gh
hs
gs
2v
0v
2vv
2
f
0
2
0
2
f
=
=
=
+=mghghmmvK === 2
2
1
2
1 2
9
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Definiamo
Ug=mgy [U] = [ML2T-2]
Lavoro compiuto per sollevare il masso=
Lest=mg(y2-y1)=U2-U1=U
Lavoro compiuto dalla forza di gravità=
LG=-mg(y2-y1)=-(U2-U1)=-U
• Energia potenziale appartiene al sistema, non ad un
singolo oggetto (vedi concetto campo di forza)
• Ciò che è importante ai fini del lavoro (e quindi
importante da un punto di vista fisico) non è il valore
dell’energia potenziale, ma la sua variazione
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( ) ( ) BABBBAAAAB UUzyxUzyxUL −=−= ,,,,
( )zyxU ,,Energia Potenziale
ABAB LUUU −=−=
se UB = 0 LAB = UA B posizione di riferimento
U(x,y,z) è definita a meno di
una costante additiva
BAAB UUL −=
AC
B
LAC = UA – UC
LCB = UC – UB
LAB = LAC + LCB = UA –UC + UC – UB = UA – UB
L’energia potenziale in un punto è il lavoro svolto dalle forze del campo
per spostare il corpo da quel punto alla posizione di riferimento.
[U] = [ML2T-2]
(ovvero funzione della posizione)
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esempio: il campo gravitazionale è conservativo
mghU
mghLL
mghdsenmgmgddPL
LLL
ABCB
AC
CBACAB
−=
==
===•=
+=
0
cos
energia potenziale
gravitazionale
−=−=−=
B
A
ymgmgdyLU
mghhPLAB ==
A
B C
P = mg
c
a
bh
d
y
O
Proiezione della forza peso su AC
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esempio: il campo dovuto all’azione di una
forza elastica è conservativo kxF −=
( )22
2
1fi xxkL −=
( ) 2
2
1kxxU = energia potenziale elastica
se xi = xf (ciclo) L = 0 Fel è conservativa
l’energia è la capacità di compiere un lavoro
)(2
1 22if xxkLU −=−=
se xi = 0
14
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Teorema dell’energia cineticaKL =
In generale avremo Lc e LNC
L= Lc + LNC
Quindi
KLLL NCc =+=
cNC LKL −=
CLU −= UKLNC +=
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ipotesi: campo conservativo, sistema isolato
UUUL fi −=−=
EUK
UKUK
KKUU
ffii
iffi
=+
+=+
−=−
E = energia meccanica totale
in un sistema isolato in cui agiscano solo forze
conservative l’energia meccanica totale si conserva16
Principio di conservazione dell’energia meccanica
UKLNC +=
UKLNC +== 0
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esempio: moto di un grave
ffii mgymvmgymv +=+ 22
2
1
2
1
se U(yf) = 0 e vi = 0
g
vy
mgymv
f
i
fi
2
2
1
2
2
=
=
esempio: sistema massa molla
2222
2
1
2
1
2
1
2
1ffii kxmvkxmv +=+
se U(xi) = 0 e vf = 0
k
mvx
kxmv
if
fi
22
22
2
1
2
1
=
=
17
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Determinare la costante di una molla che immagazzina 25 J di energia
potenziale elastica quando viene compressa di 7.5 cm rispetto alla sua
posizione di equilibrio.
Nel momento in cui la molla viene rilasciata, la sua energia potenziale si
trasforma in cinetica del corpo eventualmente ad essa attaccato.
)(2
1 22
if xxkLU −=−=
assumiamo come zero, il potenziale nella posizione di
equilibrio, si ha
2
2
1fkxU = 22 075.0
2522 =
=
fx
Uk
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Un pezzo di ghiaccio è lasciata scivolare dal bordo in un bicchiere
semisferico di raggio 22 cm, priva di attrito. Determinare la velocità
che possiede li pezzo di ghiaccio quando arriva in fondo alla coppa
In questo caso, rispetto alla posizione più bassa a potenziale
nullo, il dislivello è pari al raggio; tutta l'energia potenziale si
trasforma in energia cinetica, cioè
2
2
1fi mvmgy =
if gyv 22 =
19
r
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V in A?
V in B?
V in C?
0=+ UK
ffii UKUK +=+
20
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…e se c’è attrito?
(forze dissipative)
UKLNC +=
UKdFatt +=−
Fatt=dN
21