presiones en zapatas de forma arbitraria

PRESIONES EN ZAPATAS RGIDAS DE FORMA ARBITRARIA SOMETIDAS A CARGA AXIAL EXCNTRICAJ. A. Rodrguez-Gutirrez1 y J. Daro Aristizabal-Ochoa2 Resumen: Un modelo para el anlisis de zapatas superficiales rgidas de formas arbitrarias bajo fuerza axial y flexin biaxial es propuesto. El modelo permite calcular la posicin del eje neutro y la presin mxima bajo una zapata superficial de forma arbitraria con o sin vacos sometida a carga axial y momentos flectores dados biaxiales. Tres modelos de distribucin de presiones bajo una zapata son utilizados: uniforme, lineal y parablico. Una serie de monogramas o ayudas de diseo son desarrolladas para el clculo de las presiones de contacto entre zapatas rgidas y el suelo elstico soportante. Se presenta un algoritmo basado en la integral de Gauss para los casos de zapatas de forma irregular o con vacos interiores (agujeros). Tres ejemplos numricos son incluidos para mostrar la capacidad del algoritmo propuesto y verificar los resultados con los de otros mtodos.

CONTACT PRESSURE CAUSED BY A RIGID FOOTING OF ANY SHAPE SUBJECTED TO ECCENTRIC AXIAL LOADAbstract: The stress analysis of an elastic soil supporting a rigid footing of arbitrary shape subjected to axial load with eccentricities about two axes is presented. The proposed model calculates the position of the neutral axis and the maximum contact pressure in the soil. Three different models for the contact pressure distribution are utilized: uniform, linear and parabolic. A series of monograms or design aids are developed to facilitate the stress analysis of elastic soils supporting rigid footings subjected to eccentric axial loads. For footing areas of irregular shapes or with cutoffs or interior openings, a computer algorithm based on the Gauss integral method is presented. Three numerical examples are included to verify the proposed method and to show its effectiveness. INTRODUCCIN En el anlisis y diseo de estructuras, el clculo de las presiones en el suelo soportante y la localizacin de las fuerzas resultantes en las zapatas son de vital importancia para garantizar el buen comportamiento bajo las cargas aplicadas. Existen en la literatura tcnica ayudas de diseo para calcular la presin mxima bajo zapata rectangulares y circulares. Plock (1963) presenta grficas para el clculo de la posicin del eje neutro y de la presin mxima bajo zapatas rectangulares bajo flexin biaxial (basado en una distribucin lineal de presiones). Zweig (1966) presenta ayudas para obtener las presiones bajo zapatas trapezoidales cargadas excntricamente. Gurfinkel (1970) presenta un algoritmo que permite obtener la posicin del eje neutro y la presin mxima en zapatas rectangulares utilizando tres modelos de distribucin de presiones bajo la zapata. Kramrisch (1985) presenta ayudas para obtener las presiones mximas bajo zapatas de forma rectangular, circular poligonal y en forma de anillo y frmulas cerradas para obtener las presiones mximas y mnimas bajo zapatas en forma de T sometidas a carga excntrica, Hackman (1977) presenta un mtodo para obtener presiones de soporte bajo zapatas de puentes sometidas a flexin biaxial. Jarquio y Jarquio (1983) presentan ayudas para dimensionar zapatas rectangulares bajo flexin biaxial. Highter y Anders (1985) presentan ayudas para calcular el rea efectiva a compresin en una zapata rectangular o circular bajo carga excntrica (suponiendo que la forma del bloque de presiones es prismtica). Irles y Irles (1994) obtienen expresiones cerradas para calcular los esfuerzos bajo una zapata rectangular con carga excntrica. Sin embargo, no siempre es posible construir zapatas rectangulares o circulares, ya sea por limitaciones de espacio o por modificaciones de la geometra de la zapata despus de construida. En ocasiones es necesario tener cortes o vacos (o agujeros) en zapatas originalmente circulares o rectangulares y se requiere conocer si la presin mxima transmitida al suelo no supera la presin admisible del suelo con la nueva geometra. Existe poca informacin sobre la distribucin de presiones bajo zapatas superficiales de formas arbitrarias bajo flexin biaxial. Estos casos slo pueden ser resueltos

1

2

Ingeniero Consultor, Calle 83 #45-29, Medelln-Colombia. Profesor Generacin 125-Aos, Facultad de Minas, Universidad Nacional, Medelln-Colombia. E-mail: [email protected]

Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil. Vol. 4(1) 67

suponiendo que la zapata es una placa sobre fundacin elstica ("mat foundation") utilizando programas de elementos finitos o diferencias finitas, o utilizando los momentos de inercia de la zapata; herramientas no siempre disponibles en las oficinas de ingeniera. Bowles (1977) presenta un ejemplo de distribucin de presiones bajo una zapata con un corte (con una carga axial aplicada en el centroide de la zapata cuadrada original, pero al hacerse el corte cambia el centroide de la zapata y se produce flexin biaxial). La flexin biaxial es un efecto que no puede ser ignorado al dimensionar zapatas, ya que no es posible garantizar que solamente carga axial es transmitida por la estructura al suelo de fundacin. Esta situacin generalmente ocurre en pilares de puentes, chimeneas altas y edificios sometidos a cargas de viento o terremotos y estructuras de contencin. Cuando la excentricidad de la carga axial es a lo largo del eje de simetra se genera flexin uniaxial alrededor del eje normal. Ahora se genera flexin biaxial cuando existen momentos alrededor de los ejes globales XY o cuando slo existe momento flector en uno de los ejes, pero la forma de la zapata es asimtrica. Para el caso biaxial, sera conveniente generalizar las ayudas de diseo existentes para el clculo de las presiones mximas bajo una zapata para las formas geomtricas ms utilizadas, y para las formas geomtricas no convencionales presentar un modelo fcil de programar. Estos son precisamente los dos objetivos de esta publicacin. El objetivo principal de esta publicacin es presentar un mtodo general para el anlisis de zapatas de forma arbitraria soportadas superficialmente por suelos elsticos bajo carga axial y flexin biaxial. El modelo propuesto calcula la posicin del eje neutro y la presin mxima en el suelo de contacto con la zapata. Tres modelos diferentes de distribucin de la presin de contacto son utilizados: uniforme, lineal, y parablico. Adems, se presentan una serie de nomogramas y frmulas (i.e., ayudas de diseo) para facilitar el anlisis de zapatas rgidas de forma regular sujetas a cargas axiales excntricas. Para zapatas de forma irregular (con vacos y discontinuidades) se presenta un algoritmo basado en el mtodo de la integral de Gauss. Se incluyen tres ejemplos numricos para mostrar la capacidad del algoritmo propuesto y verificar los resultados con los de otros mtodos disponibles en la literatura tcnica. MODELO ESTRUCTURAL Para calcular la presin mxima y la posicin del eje neutro en una zapata superficial, se debern resolver simultneamente las ecuaciones no lineales (2a)-(2c) en A, b y qo. A es la tangente del ngulo de inclinacin del eje neutro con respecto al eje global X, b es el intercepto del eje neutro con el eje global Y y q es la presin mxima bajo la zapata. El modelo propuesto permite analizar zapatas con vacos o agujeros. Cada vaco es tratado en forma idntica al permetro exterior excepto que los vrtices de cada vaco son numerados en sentido contrario a las agujas del reloj. Los vacos circulares son aproximados por polgonos de diecisis lados y sus vrtices son generados conocidos el radio y la posicin del centro del vaco respecto a los ejes globales XY. En el caso de vacos rectangulares los vrtices son generados conocidos el ancho, largo y centro del agujero respecto a los ejes globales XY. Si la forma del vaco es arbitraria, es necesario entrar las coordenadas de cada vrtice. El modelo propuesto es similar al utilizado por Rodrguez y Aristizabal-Ochoa (1999) para analizar o disear columnas de concreto reforzado. Analicemos una zapata superficial de forma arbitraria que se muestra en la Figura 1a. La forma de la zapata es aproximada por lneas rectas y la contribucin del rea efectiva a compresin consiste de trapecios formados por los vrtices utilizados para definir la forma de la zapata (con coordenadas Xi, Yi respecto al sistema global de ejes XY). El centroide de la zapata es generalmente elegido como el origen del sistema de ejes X Y, aunque se puede seleccionar algn otro punto. El sistema local de ejes xy es formado por el eje neutro y por la lnea normal bajada desde el vrtice ms alejado a compresin (con coordenadas globales Xe, Ye). El sistema local xy es utilizado para definir las presiones bajo la zapata, y tambin para efectuar las integraciones numricas necesarias. Dos vrtices consecutivos i y i+1 definen la lnea recta y = aix+bi en el sistema local xy, las dos lneas perpendiculares trazadas desde los vrtices i y i+1, el eje neutro x y la recta y = aix+bi definen un trapecio, para los vrtices que cumplen Yi>AXi+b

c=

ABS ( AX e Ye + b ) 2 A +1

(1a)

Xa = Xe+ c sin Ya = Ye c cos ri = xi= (XiXa)cos+(YiYa)cosRev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil. Vol. 4(1) 68

(1b) (1c) (1d)

si = xi+1= (Xi+1Xa)cos+(Yi+1Ya)sin yi = (YiYa)cos(XiXa)sin yi+1 = (Yi+1Ya)cos(Xi+1Xa)sin ai = (yi+1yi)/(xi+1xi) bi = yiaixi

(1e) (1f) (1g) (1h) (1i)

Figura 1: modelo de una zapata superficial de forma arbitraria bajo flexin biaxial: (a) Parmetros geomtricos; y (b) Modelos de distribucin de presiones bajo una zapata.

Cuando el eje neutro cruza el permetro de la zapata, los puntos de interseccin se encuentran como sigue: Cuando Yi < Yi+1, entonces: Cuando Yi > Yi+1, entonces: ri = bi/ai si = bi/ai (1j) (1k)

Si despus de elegir los ejes globales XY, se desea analizar la zapata para carga axial con excentricidades en los cuadrantes 3 y 4, es necesario que los ejes roten de tal forma que las excentricidades queden en el primer o segundo cuadrante con relacin a la nueva orientacin de los ejes como se muestra en la Figura 2. Se denotara con Pn a la carga axial y con Pn, MnX = PneY, y MnX = PneX representan la carga axial y momentos flectores nominales alrededor de los ejes X y Y, respectivamente. Estas cantidades se suponen conocidas. Las ecuaciones de equilibrio producen:nt = Pi Pn i =1nt nt nt = sin M iy + cos M ix + Ya Pi M nX i =1 i =1 i =1 nt nt nt = cos M iy sin M ix + X a Pi M nY i =1 i =1 i =1

(2a)

(2b)

(2c)


Figura 2: Rotacin de los ejes globales x y para considerar cargas con excentricidades en los cuadrantes 3 y 4: (a) Posicin original de los ejes XY; (b) Ejes X-Y rotados En las ecuaciones (2)-(2c), Pi, Mix y Miy son las contribuciones del trapecio i a la carga axial y momentos flectores, respectivamente (con respecto a los ejes locales x y). Estas tres cantidades pueden ser calculadas integrando sobre el rea de cada trapecio como sigue:s i aix + bi Pi = q dy dx ri o

(3a)

M

ix

s a x+b = r i o i i q y dy dx i

(3b)

s a x +bi M iy = i i q x dy dx ri o

(3c)

En el Apndice I se presentan formas explcitas de las integrales anteriores para varios modelos de distribucin de presiones bajo la zapata (uniforme, lineal o parablica) como lo muestra la Figura 1(b). La Figura 3 muestra el diagrama de flujo utilizado en el anlisis de una zapata bajo flexin biaxial. AYUDAS GRFICAS La Figura 4 muestra la variacin de la presin mxima con la excentricidad para una zapata circular. Las Figuras 5 (a)-(c) muestran grficas para calcular la presin mxima en una zapata rectangular bajo carga axial y flexin biaxial. Las Figuras 6(a)-(c) muestran grficas para calcular la presin mxima bajo una zapata en forma de anillo circular bajo carga axial excntrica.


Figura 3: Diagrama de flujo del programa de computador.

Figura 4: Presin mxima bajo una zapata circular.


Figura 5: Presin mxima bajo una zapata rectangular con distribucin de presiones: (a) uniforme; (b) lineal; y (c) parablica.Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil. Vol. 4(1) 72

Figura 6: Presin mxima bajo una zapata de forma de anillo con distribucin de presiones: (a) uniforme; (b) lineal; y (c) parablica.Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil. Vol. 4(1) 73

EJEMPLOS DE ANLISIS DE ZAPATAS IRREGULARES Ejemplo 1 Este ejemplo ilustra cmo pueden construirse ayudas grficas para calcular la presin mxima bajo una zapata en forma de trapecio issceles que son usualmente usadas como fundaciones combinadas. En este ejemplo =70, B2/B1=3. Los resultados se muestran en la Figura 7.

Figura 7: Ejemplo 1. Presin mxima bajo una zapata trapezoidal. Ejemplo 2 Calcule la presin mxima de contacto entre el suelo y una zapata cuadrada con un corte en una esquina como se muestra en la figura 8. Suponga que: L= 10 pies (3.048 m), y un corte de esquina de 3.0 1.50 pies (0.914 0.457 m). La fuerza axial aplicada es de axial 540 kip (2,402.028 kN) localizada en el centro del cuadrado. Compare los resultados calculados con los resultados presentados por Bowles (1977).7.0 3.0 1.5

Y

5.0 10 O

X8.5 5.0

10 Dimensiones en pies 1 pie = 0.3048 m

Figura 8: Ejemplo 2. Zapata cuadrada con un corte en una esquina bajo flexin biaxial.Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil. Vol. 4(1) 74

Solucin: Bowles (1977) analiz este problema utilizando tres modelos diferentes: 1) la zapata como una zapata rgida y obtuvo una presin contacto mxima en el vrtice de 4 de magnitud 6.90 kip/pie2 (330.37 kN/m); 2) la zapata como una losa rgida (mat foundation) con la columna articulada en el extremo inferior y obtuvo una presin contacto mxima en el vrtice de 4 de magnitud 6.629 kip/pie2 (317.396 kN/m); y finalmente 3) ) la zapata como una losa rgida (mat foundation) con la columna empotrada en el extremo inferior y obtuvo una presin contacto mxima en el vrtice de 3 de magnitud 5.755 kip/ft2 (275.549 kN/m ). La localizacin del eje neutro no fue reportada o discutida por Bowles (1977). Este problema fue analizado con el algoritmo propuesto en esta publicacin para zapatas irregulares con las tres distribuciones de presin (uniforme, lineal y parablica) suponiendo los siguientes valores iniciales: = 30, b = 4 pie (1.219 m), y qo = 5.40 kip/pie2 (258.552 kN/m). Para el caso de distribucin uniforme, la presin de contacto mxima fue en el vrtice 2 de magnitud 5.929 kip/pie2 (283.88 kN/m) y el eje neutro est localizado por = 25.27 y b = 5.315 pies (1.62 m). Para el caso de distribucin lineal, la presin de contacto mxima fue en el vrtice 4 de magnitud 6.904 kip/pie2 (330.563 kN/m) y el eje neutro esta localizado por =39.55 y b=36.387 pies (11.09 m). Finalmente, para el caso de distribucin parablica, la presin de contacto mxima fue en el vrtice 4 de magnitud 6.798 kip/pie2 (325.488 kN/m) y el eje neutro est localizado por = 39.51 con b = 18.752 pies (5.715 m). Ejemplo 3 (paso a paso) Una zapata rectangular con L = 6.0 m, B = 4.0 m fue proyectada para soportar una carga axial Pn = 500 kN y momentos flectores MnX= 300 kN-m y MnY= 500 kN-m. Despus de proyectada, es necesario abrir dos vacos y hacer un corte para ubicar un equipo mecnico como se muestra en la Figura 9(a). Analice los efectos de los vacos y el corte en la presin mxima bajo la zapata.

4.5un ifo rm e pa rab oli colin ea l

1.51

Y8 9 10 11 12 7 6 21 20 19 18 17 16

2

Y1.0 1.0 O 2.0

1.0

3

13 14 15

4.0

X0.7 0.7

O22

X25 24

23

1.25 4

6.0

Dimensiones en metros

(a)

(b)

Figura 9: Ejemplo 3. Zapata con cortes y vacos bajo flexin biaxial: (a) Geometra de la zapata; (b) Vrtices utilizados para aproximar la forma de la zapata.


Solucin: Paso 1: El permetro exterior y los vacos son aproximados por polgonos. La enumeracin de los vrtices exteriores se hace en el sentido de las agujas del reloj mientras los vrtices de los vacos en sentido contrario como se muestra en la Figura 9(b). Paso 2: Los clculos fueron comenzados con los siguientes valores de las variables: =50; b = 1.0 m; qo = kPn/(LB), donde k>1. En este caso k = 5.0 por lo tanto qo=104.166 kN/m. Paso 3: Las sumatorias de las ecuaciones 2a-2c son calculadas para el permetro exterior y los dos vacos y los valores se presentan en las Tablas 1-4. Utilizando las ecuaciones 1a-1c tenemos Xa = 0.254 m, Ya = 1.303 m, c = 3.583 m.

Tabla 1: Sumatorias de las ecuaciones 2a-2c para el borde exterior. Sumatorias (1)nt Pi i=1 nt M ix i=1 nt M iy i =1

Uniforme (2) 1521.499 2218.476 1166.147

Lineal (3) 619.044 1244.422 336.369

Parablica (4) 910.724 1621.970 566.323

Tabla 2: Sumatorias de las ecuaciones 2a-2c para el vaco circular. Sumatorias (1)nt Pi i=1 nt M ix i=1 nt M iy i =1

Uniforme (2) 79.725 102.493 153.74

Lineal (3) 57.462 76.594 110.807

Parablica (4) 910.724 88.221 129.904

Tabla 3: Sumatorias de las ecuaciones 2a-2c para el vaco rectangular. Sumatorias (1)nt Pi i=1 nt M ix i=1 nt M iy i =1

Uniforme (2) 51.041 84.762 37.571

Lineal (3) 39.355 66.323 28.969

Parablica (4) 44.735 74.843 32.929


Paso 4: Las ecuaciones 2a-2c son transformadas en las ecuaciones 10a-10c como se indica en el Apndice II y se eligen los incrementos de las variables para obtener las derivadas parciales de las funciones , g y h: A = Tan = 1104, b = 1104 m, y q o= 1104 kN/m2. Para los valores iniciales de las variables tenemos para el modelo uniforme: f(A,b,qo) = 890.732 kN; g(A,b,qo) = 2.934 kN-m; h(A,b,qo) = 735.339 kN-m. Utilizamos la ecuacin (13) para calcular las derivadas parciales de f, g y h: A(A,b,qo) = 293.370 kN; b(A,b,qo) = 349.624 kN/m; qo(A,b,qo) = 13.351 m2; gA(A,b,qo) = 391.160 kN-m; gb(A,b,qo) = 4.89x109 kN; gqo(A,b,qo) = 2.851 m3; hA(A,b,qo) = 574.389 kN-m hb(A,b,qo) = 293.37 kN hqo(A,b,qo) = 11.859 m3

Tabla 4: Total borde exterior ms vacos. Sumatorias (1)nt Pi i=1 nt M ix i=1 nt M iy i =1

Uniforme (2) 1390.732 2031.220 1049.978

Lineal (3) 522.226 1101.503 254.531

Parablica (4) 798.624 1458.905 469.348

Paso 5: Ahora utilizamos para el modelo uniforme las ecuaciones 12a-12c

293.370 DET = 391.160 574.389

349.624 13.351 0 2.851 = 3,481,217.556 293.370 11.859

DA =

1 DET

890.732 349.624 13.351 2.934 0 2.851 = 0.431 735.339 293.370 11.859

Db = DET

1

293.370 391.160 574.389

890.732 13.351 2.934 2.851 = 0.689 m 735.339 11.859

Dq = DET o 574.389

1

293.370 391.160

349.624 890.732 0 2.934 = 58.153 kN-m 293.370 735.339


Paso 6: Utilizamos las ecuaciones 11a-11c para corregir las variables A2 = A1+DA= 1.191+0.431 = 0.760 b2 = b1+Db = 1.0 m+0.689 m = 0.311 m qo2 = qo1 + Dqo = 104.166 kN/m258.153 kN/m = 46.013 kN/m2 De forma similar, los clculos de los pasos 4-6 pueden ser realizados para los modelos lineal y parablico. Los pasos 26 descritos arriba se repiten, y se calcularon nuevos valores para A, b, q0 hasta que se alcanza la convergencia. Los valores numricos de las principales variables y la convergencia para los tres modelos se resumen en las Tablas 5 y 6.

Tabla 5: Parmetros importantes en la solucin del problema del Ejemplo 3. A= tan Lineal Parablica (3) 1.191 0.624 0.736 0.731 0.732 (4) 1.191 0.731 0.723 0.723 b (m) qo (kN/m) Lineal Parablica Uniforme Lineal Parablica (6) 1.0 1.652 1.374 1.337 1.338 (7) 1.0 0.722 0.625 0.626 (8) 104.166 46.013 49.855 50.821 50.841 (9) 104.166 70.129 74.596 77.221 77.225 (10) 104.166 64.274 66.010 66.070

Iteracin (1) Initial 1 2 3 4

Uniforme (2) 1.191 0.760 0.687 0.708 0.709

Uniforme (5) 1.0 0.311 0.049 0.027 0.028

Tabla 6: Error mximo en las ecuaciones (10a) y (10c). Iteracin (1) Initial 1 2 3 4 Uniforme (2) 890.732 51.966 26.181 0.340 1.3x104 Lineal (3) 313.212 102.524 15.329 0.184 4.2x105 Parablica (4) 519.320 10.943 0.662 1.2x104

RESUMEN Y CONCLUSIONES Se propuso un modelo para encontrar la posicin del eje neutro y la presin mxima bajo una zapata superficial rgida de forma arbitraria sometida a carga axial y momentos flectores biaxiales se puede estudiar los efectos de vacos (agujeros) y cortes en zapatas rigidas. Las losas de fundacin ("mat foundations") y zapatas combinadas pueden ser analizadas reduciendo las cargas axiales y los momentos transmitidos por columnas o pilares, a una carga axial resultante y momentos flectores netos y considerando que la zapata se comporta rgidamente. La flexin biaxial es un efecto que no puede ser ignorado al dimensionar zapatas. Esta situacin generalmente ocurre en pilares de puentes, chimeneas, y en edificios sometidos a cargas de viento o terremotos y estructuras de contencin. Cuando la excentricidad de la carga axial es a lo largo del eje de simetra se genera flexin uniaxial alrededor del eje normal. Cuando existen momentos alrededor de los ejes globales XY o cuando slo existe momento flector en uno de los ejes, pero la forma de la zapata es asimtrica ocurre flexin biaxial. Para el caso biaxial, se presentan ayudas de diseo para el clculo de las presiones mximas bajo zapatas con las formas geomtricas ms utilizadas, y para las formas geomtricas no convencionales se presenta un algoritmo basado en la integral de Gauss. Se presentan tres modelos de distribucin de presiones bajo la zapata. Los elementos matemticos bsicos del modelo se utilizan de tal forma que pueda ser fcilmente programado. Tres ejemplos de zapatas irregulares incluyendo uno con detalles de clculo paso a paso son presentados.


REFERENCIAS Bowles, J. E. (1977). Foundation Analysis and Design, 2nd Ed., McGraw Hill, New York. Gurfinkel, G. (1970). "Analysis of footings subjected to biaxial bending," Journal of the Structural Division, ASCE, 93(6), pp. 1049-1059. Hackman, M. (1977). "Bearing pressures on bridge footings," Civil Engineering, (11), pp. 37-39. Highter, W. H., y Anders, J. C. (1985). "Dimensioning footings subjected to eccentric loads," Journal of Geotechnical Engineering Div., ASCE, 111(5), pp. 659-665 Irles, R., y Irles, F. (1994). "Explicit stresses under rectangular footings," Journal of Geotechnical Engineering., ASCE, 120(2), pp. 444-450. Jarquio, R, y Jarquio, V. (1983). "Design footing area with biaxial bending," Journal of Geotechnical Engineering. Div., ASCE, 109(10), pp.1337-1341. Kramrisch, F. (1985). "Footings" Chapter 5 in Handbook of Concrete Engineering, Second Edition, M. Fintel, Editor, Nostrand Reinhold Company, New York. Plock, H. J. (1963). "Fast way to find Pressure under Footings," Engineering News-Record, April 25, pp 50-51. Rodrguez, J. A., Aristizabal-Ochoa, Dario, J. (1999)."Biaxial interaction diagrams for short R/C columns of any cross section, Journal of Structural. Engineering, ASCE, 125(6), pp. 672-683. Yen, J. R. (1991). "Quasi-Newton method for reinforced concrete column analysis and design," Journal of Structural. Engineering, ASCE, 117(3), pp 657-666. Zweig, A. (1966). "Eccentrically loaded trapezoidal or round footings," Proceedings ASCE, ST-1, pp. 161-168.

APNDICE I. DERIVACIN DE FORMAS EXPLCITAS PARA LAS INTEGRALES (3a)-(3b) 1. Distribucin uniforme de presiones bajo la zapata [q = q0] Para ai = 0: Pi = q0(si ri)bi 1 2 M ix = q o ( s i ri )bi 2 1 2 2 M iy = q o ( s i ri )bi 2 Para ai 0: a i ri ai si Pi = q o s i ( + bi ) ri ( + bi ) 2 2 M iy = q o

(4a) (4b) (4c)

(5a)

ai

M ix =

qo 6ai

[(ai si + bi )3 (ai ri + bi )3 ]

bi 2 3 3 2 ( s i ri ) + ( s i ri ) 3 2

(5b)

(5c)

2. Distribucin lineal de presiones bajo la zapata [q =qoy/c] Para ai = 0: 1 2 q o ( s i ri )bi Pi = 2c 1 3 M ix = q o ( s i ri )bi 3c

(6a) (6b)

MPara ai 0:Pi =

iy

=

2 2 2 q (s r )b o i i i 4c

1

(6c)

[(ai si + bi )3 (ai ri + bi )3 ] 6a cqo i

(7a)


M ix =

[(a i s i + b i ) 4 (a i ri + b i ) 4 ] 12a cqo i

(7b)

qo 3 3 (a i s i + b i ) (3a i s i b i ) (a i ri + b i ) (3a i ri b i ) 2 24a i c 3. Distribucin Parablica de presiones bajo la zapata [q= q0(y/c)] Para ai = 0 2 q o 3/ 2 b i (s i ri ) Pi = 3 c M iy =M ix = M iy = 2q o 5 c 2q o 3 c 4q o 15a i 5/2 b i (s i ri ) 3/2 2 2 b i (s i ri )

[

]

(7c)

(8a) (8b) (8c)

Para ai 0:Pi =

[(a i s i + b i ) 5/2 (a i ri + b i ) 5/2 ] c

(9a)

M ix =

4q o 35a i

[(a i s i + b i ) 7/2 (a i ri + b i ) 7/2 ] c

(9b)

M iy =

4q o 5/2 5/2 (a i s i + b i ) (5a i s i 2b i ) (a i ri + b i ) (5a i ri 2b i ) 2 105a i c

[

]

(9c)

APNDICE II. ALGORITMO QUASI-NEWTON PARA LA SOLUCIN DE LAS ECUACIONES (2a)-(2c)

Para resolver el conjunto acoplado de ecuaciones (2a)-(2c) (las cuales son altamente no lineales), es necesario replantearlas como lo ha sugerido Yen (1991) en la siguiente forma: (A, b, qo) = Pn F(A, b,qo) = 0 g(A, b, qo) = eY Pn G(A, b,qo) = 0 h(A, b, qo) = eX Pn H(A, b,qo) = 0 Las ecuaciones (11) son luego utilizadas para corregir cada una de las tres variables, as: Aj+1 = Aj+DA (11a) bj+1 = bj+Db (11b)qo j +1 = q o + Dq o j

(10a) (10b) (10c)

(11c)

donde DA, Db y Dq son los residuos despus de cada iteracin los cuales se pueden evaluar de las siguientes tres o expresiones:


DA =

1 DET

f ( A, b, q o ) g ( A, b, q o ) h ( A, b, q o )

f q ( A, b, q o ) o g b ( A, b, q o ) g q ( A, b, q o ) o hb ( A, b, q ) hq ( A, b, q o ) o o

f b ( A, b, q o )

(12a)

g ( A, b, q o ) g ( A, b, q o ) Db = DET A h A ( A, b, q o ) h ( A, b, q o )

1

f A ( A, b, q o ) f ( A, b, q o )

f q ( A, b, q o ) o g q ( A, b, q o ) o hq ( A, b, q o ) o

(12b)

g ( A, b, q o ) g b ( A, b, q o ) g ( A, b, q ) Dq = o DET A o h A ( A, b, q o ) hb ( A, b, q ) h ( A, b, q o ) o

1

f A ( A, b, q o )

f b ( A, b, q o ) f ( A, b, q o ) (12c)

donde DET es el valor numrico del determinante dado por la ecuacin (12d).

f ( A, b, q ) A o

f ( A, b, q ) b o

f

q

DET = g ( A, b, q ) g ( A, b, q ) g ( A, b, q ) A o b o q o o h ( A, b, q ) h ( A, b, q ) h ( A, b, q ) A o b o q o o

o

( A, b, q ) o

(12d)

La frmula de diferencias finitas (central difference) es utilizada para el clculo aproximado de las derivadas parciales como lo muestran la ecuacin (13).

A(A, b, qo) =

f ( A + A, b, q ) f ( A A, b, q o ) o 2( A)

(13)

APNDICE III. NOTACIN

A ai b c eX, eY nt qo Xa, Ya Xe,Ye

= tan ; = Tangente de la lnea definida por los vrtices i e i+1 de un trapecio i en el sistema x,y; = Intercepto del eje neutro con el eje Y = Distancia del vrtice extremo a compresin (Xe, Ye) al eje neutro; = Excentricidades alrededor de los ejes XY; = Nmero de trapecios usados para aproximar la zona de la zapata bajo compresin. = Mxima presin bajo la zapata; = Coordenadas del origen O con respecto a los ejes globales XY; = Coordenadas del punto ms alejado a compresin con respecto a los ejes globales XY; = ngulo de inclinacin del eje neutro con respecto al eje X; = tan1(MnX/MnY).



presiones en zapatas de forma arbitraria

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