8/19/2019 Primer Parcial Tópicos Avanzados de Control 2

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 CORRECION PRIMER PARCIAL TÓPICOS AVANZADOS DECONTROL

OSCAR OCHOA

 JOHAN CASTIBLANCO

1. Obtenga la representación en variables de estado de la sigiente planta

!"sica# donde $t% es la entrada $se&al de control% al siste'a en !er(a

e!ectada con n actador # la salida del siste'a corresponde a la

posición de la 'asa )$t%# el siste'a tiene na pertrbación en posición

*$t%+ ,.1 sin $pi-t% A+,.1' L+,.' v+1'/s. 0se los sigientes valores

para '+ 2g b+3, N/' ) 2+1, N/$'/s%.

a% Si'le el siste'a en la(o abierto para la representación de estados en

tie'po contino# analice y describa los e!ectos de la pertrbación. 0se1,seg co'o tie'po de si'lación.

b% Diseñe  n servosiste'a con observador para controlar la salida delsiste'a seg4n na re!erencia de tipo escalón. 0se (ita+,.5 ) decida 67

tie'po de estableci'iento sar seg4n la pertrbación ) sustente.Diseñe  n observador de estados seg4n ss criterios ) sustenteDecida si el servosiste'a debe ser tipo , o tipo 1 seg4n s criterio )

sustente Si!ule" analice y describa el co'porta'iento del siste'acontrolado $tenga en centa los e!ectos de la pertrbación%.

c% Obten#a la !nción de tras!erencia en tie'po contino ) diseñe  ncontrolador 8I9 en tie'po contino# se los par:'etros de dise&o del

pnto b. si!ule analice y c$!%are  los resltados con el pnto b$tenga en centa los e!ectos de la pertrbación%.

d%   Discretice  el controlador 8I9 en contino $esco;a el '7todo ':sconveniente ) sstente%# 8rebe con varios tie'pos de 'estreo )

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sustente. C$!%are ss resltados con los controladores b ) c $tengaen centa los e!ectos de la pertrbación%. Sa6e ss propias

conclsiones de todo el pri'er pnto.

DESARROLLO

El modelado de la planta teniendo en cuenta la señal de control u(t) y la perturbación es el siguiente:

m ´ x= K  (w− x )+ β ( ẃ− ́ x )+u( t )

´ x=− K m

  x− β

m ´ x+

 K 

m w +

 β

m ẃ+

u (t )m

Se realiza el cambio de variable:

´ x=V 

La representación en variables de estado es:

[ ́ x´ x ]=[  0 1

−k m

− βm ] [ xv ]+[

  0

1

m ]u (t )+[  0

k 

m ]w ( t )+[  0

 β

m ] ẃ(t )Y reemplazando los valores dados queda de la siguiente forma:

[

´ x

´ x ]=

[

  0 1

−103

−203

 ][ x

v

]+

[

 0

1

3

]u (t )+

[

  0

10

3

 ]w (t )+

[

  0

20

3

 ]ẃ(t )

 y=[ 1 0 ] [ xv ]a !l simular el sistema en lazo abierto como se muestra en la siguiente imagen" la señal de salida es:

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se&al de salida del siste'a en la(o abierto

 b El tiempo de establecimiento se #ace teniendo en cuenta la perturbación en el sistema" en este casose seleccionó un ts que es la cuarta parte de la frecuencia de la señal de perturbación

ts=

π 

4 =0.7854

wn=  4

0.6∗0.7854=8.4883

$%&'

Se obtvo n vector 2 ) n vector L con los sigientes valores?@?.?5 >.3L + =5.?@1D@.5

La señal de salida del servosistema es:

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omo se puede observar en la señal de salida" donde la señal roa es la onda seno de la perturbación y la señalrosada es la salida del servosistema" el sistema fue controlado e*itosamente #aciendo uso de las constantes de

controlabilidad" de observabilidad y el compensador integrante" y aunque es claro que no se puede eliminar la

 perturbación del todo" sus efectos en el sistema se pudieron reducir considerablemente

a +or medio de la fórmula para #allar el control +,- del sistema con la función de transferencia del

sistema" y al utilizar los mismos par.metros de diseño utilizados en el punto b" las variables proporcional" derivativa e integral tienen los mismos valores que las variables #alladas anteriormente

/0" /1 y /i respectivamente" pero la simulación en simulin2 si cambia

 Kps+ Kd s2+ Kis

  .  1/3

s2+

20

3s+

10

3

1+ Kps+ Kd s2+ Ki

s  .

  1/3

s2

+20

3 s+10

3

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Señal a la salida del sistema controlado con +,-

omo se observa en la imagen" al compararla con la señal obtenida a la salida del servosistema realizado

anteriormente" se puede decir que con el control por +,- la perturbación se reduce en menor cantidad que al

controlar el sistema por retroalimentación de estados" aunque el tiempo de establecimiento fue m.s pequeñocon el uso del +,-

 b El control +,- se discretizó por medio del m3todo de tustin usando las funciones de 4atlab para este

fin y el resultado fue:

Se estableció un tiempo de muestreo de ts50& donde ts%&67 on la función de transferencia en discreto del

control" se #allaron las variables q&" q0" q1 y q8 El diagrama de bloques en simulin2 es el siguiente:

La señal a la salida en la simulación es:

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Se puede observar que el sistema se #izo m.s lento al discretizarlo" ya que el tiempo de establecimiento se

#izo muc#o mayor que el tiempo en el +,- continuo

+ara comparar los resultados de los puntos b" c y d se realizó una simulación" con los 8 subsistemas como se

muestra en la imagen:

-onde las señales de salida son:

omo se puede observar en la imagen" donde la señal azul es la salida del servosistema" la señal rosada es lasalida del +,- continuo y la señal azul claro es la salida del +,- en discreto" el control +,- en discreto tiene

una falla ya que" aunque controla" el tiempo de establecimiento es notablemente m.s lento que al controlar el

sistema por los otros dos m3todos" esto puede deberse a un error en el montae del diagrama" o a la selección

del tiempo de muestreo

3. Obtenga la trans!or'ada E de la planta 6e se 'estra a continación

con el retenedor de orden cero.

a% Diseñe n controlador en tie'po discreto para la planta de la anteriorFgra# esco;a entre n 8I9 n 89 o 8I para garanti(ar n essp+, ) n

essv+&nit$# se (ita+,.5 ) esc$'a  el tie'po de estableci'iento.Calcule el tie'po de 'estreo seg4n s criterio ) sustente.

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La transformada z de la planta queda:

0.7143 z+0.7143 z+0.4283

+ara obtener un error en posición igual a cero y en aceleración finito controlamos con un pid el cual nos

 permite obtener ambas respuestas sin sacrificar ninguno de los par.metros solicitados como $ %&' y se tomaun tiempo de muestreo 9muestreo%&& debido a que el tiempo en el cual se estabiliza la planta en lazo

abierto es de & segundos y de acuerdo a los criterios vistos en clase el tiempo de muestreo obedece a

9muestreo% ts50&

-iseño del controlador +,-:

q0+q1 z−1+q2 z−2∗0.3935 z−1

1+q0+q1 z−1+q2 z−2∗0.3935 z−1

1− z−1

∗1−0.6065 z−1

Se #alla el polinomio deseado con los par.metros:

wn=  4

0.6∗ts=16.66

wd=13.33

ws=106.6624

$%&'

el polinomio deseado es:

 z3−1.2044 z2+0.5069 z−0.02246

!l igualar el control con el polinomio deseado se obtiene:

q0=1.0208

q1=−0.2531

q2=−0.0570

Las constantes #alladas #acen que la señal de salida del control discreto sea la siguiente:

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