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UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINAFACULTAD DE INGENIERIA AGRICOLA
DEPARTAMENTO DE RECURSOS HIDRICOS
8-4-2015
Integrantes:
Chipana Briceño, Frank
Carranza Portocarrero, Katarine
1. INTRODUCCIÓN
1.1 Objetivos Determinar el valor máximo o mínimo de una celda cambiando otras celdas, por
ejemplo, puede cambiar el importe del presupuesto previsto para publicidad y ver
el efecto sobre el margen de beneficio.
Ajustar los valores en las celdas cambiantes que se especifiquen, denominadas
celdas ajustables, para generar el resultado especificado en la fórmula de la celda
objetivo.
Buscarse el valor óptimo para una fórmula (fórmula: secuencia de valores,
referencias de celda, nombres, funciones u operadores de una celda que producen
juntos un valor nuevo).
1.1.2 Objetivos generales
Que el alumno al terminar la práctica sea capaz de entender y modelar los
problemas con las condiciones del mismo para ser resuelto tanto en el papel (por
el método gráfico) como en ”Solver” del Excel.
1.1.3 Objetivos específicos Que el alumno tenga la facilidad del manejo de programas de optimización, en
este caso de maximización de un problema.
2. MARCO TEORICO
2.1PROGRAMACION LINEAL
La Programación Lineal estudia la optimización (maximización o minimización)
de una función lineal en presencia de restricciones lineales de igualdad y/o
desigualdad.
Es una de las herramientas más importantes en la gestión y asignación de
recursos.
Se trata de asignar o localizar un número de recursos limitados, entre diversas
actividades.
Se busca la solución que mejor valor tenga para la función objetivo y, a su vez,
verifique todas las restricciones impuestas al modelo.
Aplicaciones Comunes de Programación Lineal:
Finanzas: el problema del inversor podría ser un problema de selección del mix
de su cartera de inversiones. En general, la variedad de carteras puede ser mucho
mayor que lo que indica el ejemplo y se pueden agregar muchas más restricciones
distintas. Otro problema de decisión implica determinar la combinación de
métodos de financiación para una cantidad de productos cuando existe más de un
método de financiación disponible. El objetivo puede ser maximizar las ganancias
totales cuando las ganancias de un producto determinado dependen del método
de financiación.
Administración de Producción y Operaciones: muchas veces en las
industrias de proceso, una materia prima en particular puede transformarse en
una gran variedad de productos. Por ejemplo, en la industria petrolera, el crudo
puede refinarse para producir nafta, kerosene, aceite para calefacciones y distintas
clases de aceite para motor. Según el margen de ganancia actual de cada producto,
el problema es determinar la cantidad que se debería fabricar de cada producto.
Esta decisión está sujeta a numerosas restricciones tales como límites de las
capacidades de diversas operaciones de refinado, disponibilidad de materia prima,
etc.
Recursos Humanos: los problemas de planificación de personal también se
pueden analizar con programación lineal. Por ejemplo, en la industria telefónica, la
demanda de servicios de personal de instalación / reparación, son estacionales. El
problema es determinar la cantidad de personal de instalación / reparación y
reparación de líneas que debemos tener incorporada en la fuerza laboral por cada
mes a fin de minimizar los costos totales de contratación, despido, horas extras y
salarios en horas ordinarias. El conjunto de restricciones comprende restricciones
con respecto a la demanda de servicio que se debe satisfacer, uso de horas extra,
acuerdos con los sindicatos y la disponibilidad de personal calificado para
contratar.
Marketing: se puede utilizar la programación lineal para determinar el mix
adecuado de medios de una campaña de publicidad. Supóngase que los medios
disponibles son radio, televisión y diarios. El problema es determinar cuántos
avisos hay que colocar en cada medio. Por supuesto que el costo de colocación de
un aviso depende del medio elegido. El objetivo es minimizar el costo total de la
campaña publicitaria, sujeto a una serie de restricciones.
Distribución: otra aplicación de programación lineal es el área de la distribución.
Considere un caso en el que existen m fábricas que deben enviar productos a n
depósitos. Una determinada fábrica podría realizar envíos a cualquier cantidad de
depósitos. Dado el costo del envío de una unidad del producto de cada fábrica a
cada depósito, el problema es determinar el patrón de envío (cantidad de unidades
que cada fábrica envía a cada depósito) que minimice los costos totales.
2.2Solver
El Solver es una herramienta de Microsoft Excel que, entre otras funcionalidades, sirve
para resolver problemas de programación lineal.
Antes de utilizar el Solver debemos tener claro cuál es nuestro problema. Es decir, cual
es la función objetivo y cuáles son las restricciones. Luego, debemos ingresar los datos
del problema en el modelo del Solver. Cabe aclarar que llamamos “modelo” a la
planilla de Excel que utilizamos para ingresar los datos del problema.
Por otro lado, podemos decir que los elementos de un Modelo de Programación Lineal
son: los Parámetros y las Variables.
Las variables son aquellas sobre las que se pueden tomar decisiones y losparámetros
son las constantes del modelo (coeficientes de la función objetivo, coeficientes de las
restricciones, lado derecho de las restricciones).
Entonces, al resolver el problema busco hallar los valores de las variables de manera
que maximice la función objetivo, sujeta a las restricciones dadas. La determinación de
los valores apropiados que deben asignarse a los parámetros del modelo es crítica.
A veces, el valor asignado a un parámetro es, por necesidad, sólo una estimación,
debido a la incertidumbre sobre el valor real del parámetro, es importante analizar la
forma en que cambiaría (si es que cambia) la solución derivada del problema si el valor
asignado al parámetro se cambiara por otros valores posibles; este proceso se conoce
como análisis de sensibilidad.
2.2.1 Informe de Sensibilidad.
El informe de sensibilidad suministra detalles adicionales de la optimización.
Solver genera dos tablas en este informe: una para las variables y la otra para las
restricciones. El análisis de sensibilidad es el estudio de cómo los cambios en uno de
los parámetros del problema afectan a la solución óptima.
Glosario de términos del informe de Sensibilidad
• Parámetros o Coeficientes. Los parámetros son constantes usadas en el
problema para determinar la función objetiva y los recursos disponibles (restricciones
o RHS).
• Valor Final Indica la solución óptima obtenida.
• Gradiente Reducido (Costo Reducido o Costo de
Oportunidad) Las actividades que entran en el plan óptimo tienen un costo
reducido igual a cero, mientras que las que no entran tienen un costo reducido
negativo.
• Coeficiente Objetivo son los precios netos de cada actividad.
• Aumento Permisible Indica en cuanto se puede aumentar un coeficiente
objetivo (precio neto) sin que cambie la solución óptima.
• Disminución Permisible Indica en cuanto puede disminuir un coeficiente
objetivo (precio neto) sin que cambie la solución óptima.
• Rango de Optimalidad Se forma a partir de los coeficientes objetivos y de
los aumentos y disminuciones permisibles. La solución óptima de un modelo de
Programación Lineal no cambia si un coeficiente objetivo de alguna variable en la
función objetiva cambia dentro de cierto rango. Solo se permite el cambio de un
coeficiente.
• Valor Final Indica la cantidad de los recursos disponibles utilizados en el proceso
productivo.
• Precio Sombra (o Precios Duales). Es el cambio marginal en el valor de
la función objetiva óptima que se produce si se modifica una restricción (es decir si se
incremente en una unidad).
• Restricción Lado Derecho (Constraints). Son límites físicos,
económicos, tecnológicas, o de cualquier otra índole, que se imponen a las variables
de decisión.
• Aumento y Disminución Permisible Indica en cuanto se puede
aumentar/disminuir el recurso disponible sin que se modifique la solución óptima.
• Rango de Factibilidad Indica que el valor del precio de sombra permanecerá
sin modificación alguna, siempre y cuando la restricción en cuestión permanezca
dentro del llamado rango de factibilidad.
2.3 Función objetivo optimizado
La relevancia de los problemas de optimización en el mundo empresarial ha generado la
introducción de herramientas de optimización cada vez más sofisticadas en las últimas
versiones de las hojas de cálculo de utilización generalizada. Estas utilidades, conocidas
habitualmente como «solvers», constituyen una alternativa a los programas
especializados de optimización cuando no se trata de problemas de gran escala,
presentado la ventaja de su facilidad de uso y de comunicación con el usuario final.
◦ Construcción de un modelo de optimización:
La introducción de un modelo de optimización, un programa lineal en nuestro ejemplo, se
puede sintetizar en cuatro fases:
1. Organizar los datos del modelo en la hoja de trabajo. Si bien son múltiples las posibles
formas de diseñar el formato y colocación de los datos de entrada, es recomendable
seguir los mismos principios que en toda aplicación con hoja de cálculo: pensar en la hoja
como un informe que explique el problema, identificar los datos introducidos, colocar
comentarios, introducir todos los datos iniciales del problema y construir a partir de los
mismos el modelo de optimización con el objeto de facilitar el análisis de sensibilidad,
utilizar técnicas de diseño para presentar el modelo, etc. Por otra parte, interesa organizar
el programa según el formato del gráfico I con el objeto de ilustrar la propia estructura del
modelo.
2. Reservar una celda para cada variable de decisión. Siguiendo el esquema de un
programa matemático, es recomendable que inicien la hoja de trabajo. Deberán estar
vacías o con datos numéricos, nunca fórmulas, y a ser posible con notas o comentarios.
3. Crear una celda para la función objetivo próxima a las que recogen las variables. La
fórmula que incorpora deberá crearse a partir de las celdas descritas en el punto anterior.
4. Para cada restricción, crear una celda que recoja la fórmula de su parte izquierda, y a la
derecha de dicha celda colocar el término independiente. La estructura recomendable es la
que se recoge en el gráfico I dado que permite reducir el trabajo en la fase de introducción
del problema, facilita la detección de errores y simplifica su resolución con el «solver»
3. DESARROLLO DEL EJERCICIO EN CLASE
3.1 OPTIMIZACIÓN
Para realizar la ejecución de la optimización del problema, se realiza los siguientes pasos
en una de hoja de cálculo de Excel:
1. Organizar los datos del modelo en la hoja de trabajo. Si bien son múltiples las
posibles formas de diseñar el formato y colocación de los datos de entrada, es
recomendable seguirlos mismos principios que en toda aplicación con hoja de
cálculo: pensar en la hoja como uniforme que explique el problema, identificar los
datos introducidos, introducir todos los datos iniciales del problema y construir a
partir de los mismos el modelo, utilizar técnicas de diseño para presentar el
modelo, etc. Por otra parte, interesa organizar el programa según el formato del
gráfico I con el objeto de ilustrar la propia estructura del modelo.
2. Reservar una celda para cada variable de decisión. Siguiendo el esquema de un
programa matemático, es recomendable que inicien la hoja de trabajo. Deberán
estar vacías o con datos numéricos, nunca fórmulas.
3. Crear una celda para la función objetivo próximo a las que recogen las variables.
La fórmula que incorpora deberá crearse a partir de las celdas descritas en el
punto anterior.
4. Para cada restricción, crear una celda que recoja la fórmula de su parte izquierda,
y a la derecha de dicha celda colocar el término independiente. La estructura
recomendable es la que se recoge en el gráfico I dado que permite reducir el
trabajo en la fase de introducción del problema, facilita la detección de errores y
simplifica su resolución con el «solver».
GRAFICO I
3.2 PROGRAMACIÓN LINEAL.
Una vez introducidos los datos, el programa se resuelve ejecutando el comando
«Solver» situado dentro del menú de Herramientas. Para ello es preciso tener en cuenta la
siguiente equivalencia de términos:
En el GRAFICO II se recogen los parámetros del «Solver» para el problema del gráfico I. La
función objetivo (celda G5) se coloca como celda objetivo, señalando la opción «Max» que
indica que el programa es de máximo. Las variables de decisión se señalan recogiendo el
rango de celdas que ocupan (D4:E4) en el cuadro de celdas cambiantes.
Celda objetivoFunción objetivo
Celdas cambiantesVariables de decisión
GRÁFICO II
Para introducir las restricciones se presiona el botón de «Agregar» generando el
despliegue de una nueva pantalla (GRÁFICO III). En la parte izquierda (Referencia de celda)
se introduce la celda que recoge la fórmula matemática que refleja la parte izquierda de la
restricción (la celda E9 en el caso de la primera restricción). En la parte derecha se recoge
la celda, o directamente el valor numérico, del término independiente de la restricción. En
el cuerpo central se selecciona el signo de la restricción. Excel 2013 permite los tres
posibles signos permitidos en la programación lineal (<=, =, >=), además de int, bin y dif.
GRÁFICO III
Una vez introducido la primera celda ponemos agregar y así sucesivamente con las demás
restricciones. Los botones «Cambiar» y «Eliminar» permiten modificar y
borrarrespectivamente alguna de las restricciones.
Le damos aceptar y aparecen ya en el espacio donde dice sujeto a las restricciones,
además de activar el casillero que aparece debajo del cuadro “convertir variables sin
restricciones en no negativas”, (GRAFICO IV), señalamos también el método que
deseamos que utilice el “solver” (GRG Nonlinear, Simplex LP o Evolutionary) en este caso
utilizaremos el método Simplex LP como está representado en el grafico IV y “Resolver”.
GRAFICO V
Aparece un cuadro donde nos pide que desea que nos muestre del proceso de
optimización, lo que deseamos es que se nos muestre todo,así que activamos “responder,
confidencialidad y límites “, por ultimo damos “aceptar” y nos arroja todos los análisis y
resultados en la misma hoja de cálculo como en 3 nuevas hojas (GRAFICO VI)
GRAFICO VI
4. DATOS OBTENIDOS
4.1 Reporte de respuesta: este reporte nos indica los resultados de la
maximización por el método complex, como se muestran en los siguientes
cuadros:
Celda objeto (Máx): indica el valor inicial y final del funcional.
Celdas de variables: Indican los valores y finales de las variables de
decisión.
Restricciones:
Valor de la celda: indica el valor final de las ecuaciones
Formula: es la fórmula de cada restricción.
Estado: es el estado de la variable si es que se usa todo o no.
Demora: es el valor de lo sobrante.
4.2 Reporte de límites:
En este reporte se representa las cantidades finales de cada uno de las variables y
el valor de la ecuación a optimizar.
Amarillo: indica el valor más bajo que puede tomar esa variable y cuál
será el valor del objetivo en ese caso.
Verde: indica el valor más alto que puede tomar la variable y cuál será el
valor del objetivo en ese caso.
4.3 Reporte de confidencialidad:
La primera parte se analiza de los productos:
Rojo: valor de costo de oportunidad de producir la otra variable.
Naranja: son los valores de los coeficientes de la función objetivo.
Amarillo: valores máximos que puede tomar los coeficientes de la función
objetivos sin que cambie el óptimo.
Celeste: valores mínimos que puede tomar los coeficientes de la función
objetivos sin que cambie el óptimo.
La segunda parte se analiza de los recursos:
Azul: representa los valores marginales de los productos.
Morado: los valores de las cantidades que se pueden usar como máximo.
Plomo: valores máximos que pueden tomar los recursos disponibles sin
que cambie el óptimo.
Verde: valores mínimos que pueden tomar los recursos disponibles sin
que cambie el óptimo.
Formas graficas:
Se grafican las graficas de restricciones las cuales algunas se interceptan y se halla la zona mas cercano pegado a los ejes (zona sombreada)
Con la ayuda de la recta que se quiere maximizar, en este caso la funcion Z, se empieza hallar sus paralelar hasta que se intercepte con alguno de los cuatro puntos (color azul) y se escoge el que esta en la zona mas alejada.
Max Z cambiando sus coeficientes:
Coeficiente de X: (20000-10000)
10000X+10000Y = 250000
(20000+10000) 30000X+10000Y = 650000
Coeficiente de Y: (10000-10000)
20000X+0Y = 400000
(10000+10000) 20000X+20000Y = 500000
5. DISCUSIÓN Es un método más practico que el optimización por el método gráfico, además que
se hace muy eficiente y practico al momento de trabajar con varias restricciones, lo
cual se volvería complicado si se trabajaría por el método gráfico solo hay que
saber interpretar los datos que nos arroja el Excel después de haber ejecutado el
Excel.
En el informe de confidencialidad al botar los datos del precio sombra de las restricciones del agua y la de sorgo es cero, esto significa que el valor de nuestro valor objetivo no va ha cambiar así aumentemos o disminuyamos a cantidades permisibles.
6. CONCLUSIONES Las actividades que antes se realizaba con lápiz y papel, ahora se realizan en un
menor tiempo y precisión, aun con varios datos, aprovechando los múltiples
programas que existen para llevarlo a cabo, como en este caso de optimización
utilizando el Solver del Excel.
El coeficiente es 20000 y se le redujo 10000 quedando un coeficiente de 10000X, nos dimos cuenta que al graficar cambia la pendiente y el Z da un valor de 250000 y a la vez tiene la misma pendiente que uno de los lados límites del área sombreada, la cual es escogida para trabajar los rangos.
7. RECOMENDACIONES Es bueno y necesario como alumnos de ingeniería, que tengamos conocimientos
de diversos programas para realizar nuestras diversas labores que se nos presenta
y no solo eso sino también entender los resultados que nos dan dichos programas.
8. BIBLIOGRAFÍA Aieta, Joseph F. (1997). Excel Companion Appendix B. Linear Optimization Problems Using
Excel Solver. http://faculty.babson.edu/aieta/exclcmpn/AppndxB/appndixb.htm Lab Lecture #3 Excel Solver. Introduction to Solver.
http://home.rochester.rr.com/tweak/Lab%203%20--%20Excel%20Solver.html Lab Lecture #4. Excel Solver and Sensitivity Analysis. General LP Problem
http://home.rochester.rr.com/tweak/Lab%204%20-- %20Excel%20Solver%20and%20Sensitivity%20Analysis.html