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U N I V E R S I D A D D E

SAN MARTIN DE PORRES

CICLO 2013 - II

Primer Trabajo de ALgebra Lineal

Docentes :Hebeth Cueva ValladolidFecha: 05 /09/2013

1. Un nutriologo prepara una dieta que consisteen los alimentos A, B y C. Cada onza delalimento A contiene 2 unidades de proteına,3 unidades de grasa y 4 unidades de carbo-hidratos. Cada onza del alimento B contiene3 unidades de proteınas, 2 unidades de grasa y1 unidad de carbohidratos. Por su parte, cadaonza del alimento C contiene 3 unidades deproteınas, 3 unidades de grasa y 2 unidadesde carbohidratos. Si la dieta debe propor-cionar exactamente 25 unidades de proteınas,24 unidades de grasa y 21 unidades de car-bohidratos, ¿cuantas onzas de cada tipo dealimento deben utilizarse?

2. Un fabricante produce reveladores de pelıculade 2, 6 y 9 minutos. La fabricacion de cadatonelada del revelador de 2 minutos requiere6 minutos en la planta A y 24 minutos enla planta B. Para manufacturar cada tonela-da del revelador de 6 minutos son necesarios12 minutos en la planta A y 12 minutos enla planta B. Por ultimo, para producir cadatonelada del revelador de 9 minutos se utiliza12 minutos la planta A y 12 minutos la plantaB. Si la planta A esta disponible 10 horas aldıa y la planta B 16 horas diarias, ¿cuantastoneladas de cada tipo de revelador de pelıcu-la pueden producirse de modo que las plantasoperen a toda su capacidad?

3. Una refinerıa produce gasolina con y sinazufre. Cada tonelada de gasolina sin azufrerequiere 5 minutos en la planta de mezcladoy 4 en la planta de refinacion. Por su parte,cada tonelada de gasolina con azufre requiere4 minutos en la planta de mezclado y 2 en laplanta de refinacion. Si la planta de mezclado

tiene 3 horas disponibles y la de refinacion 2,¿cuantas toneladas de cada gasolina se debenproducir para que las plantas se utilicen almaximo?

4. Un industrial produce dos tipos de plastico:regular y especial. Cada tonelada de plasticoregular necesita 2 horas en la planta A y 5 enla planta B; cada tonelada de plastico especialnecesita 2 horas en la planta A y 3 en la plan-ta B. Si la planta A tiene disponibles 8 horasal dıa y la planta B 15, ¿cuantas toneladas decada tipo de plastico pueden fabricarse diaria-mente de modo que las plantas operen a todasu capacidad?

5. Una farmacia vende 100 unidades de vitaminaA, 50 unidades de vitamina C y 25 unidadesde vitamina D por un total de S/17,50; 200unidades de vitamina A, 100 unidades devitamina C y 100 unidades de vitamina Dpor S/45,00; 500 unidades de vitamina A, 80unidades de vitamina C y 50 unidades de vi-tamina D por S/64,00. Encuentre el costo porunidad de cada una de las vitaminas A, C yD.

6. Demuestre que si A es una matriz de n × n,entonces A puede escribirse de manera unicacomoA = S + K, donde S es una matrizsimetrica y K es una matriz antisimetrica.

7. Determine todas las matrices binarias A deorden 2× 2, tales que A2 = I2.

8. Sean las matrices:

A =[−1 0 2

1 4 2

], B =

1 3−1 21 2

C =

4 −2 13 −1 4−2 0 2

, D =

[1 −32 1

],

E =

1 −3 42 0 3−2 4 −1

, F =

[3 42 1

]

en caso de ser posible calcular

a) 3C − 4E b) 2(D + F )c) (3C + 2E)T d) (2BT −A)T

e) (3D − 2F )T f) (C + E + F T )T

9. Escribir en forma explıcita la siguiente matriz:

B = [bij ] 2×3 ; si bij = (−1)i−j + 2(2i− 1)

y luego encontrar BT .

10. Si A es ortogonal y B involutiva , hallar lamatriz X en

A2XBT = C

11. Si A =

0 4 0−4 −4 −40 0 4

Hallar A40

12. Para cada una de las siguientes matrices de-termine la matriz escalonada reducida

por filas que sea equivalente.

A =

2 −1 3 40 1 2 −15 2 −3 4

B =

4 3 7 5−1 2 −1 32 0 1 4

C =

1 4 6 11 −1 2 31 11 −6 7

D =

1 −2 0 21 3 2 52 −3 −1 51 1 0 2

13. Para cada uno de los sistemas de ecuacionesdados, halle todas sus soluciones.

3x + y + z = 3x− 2y + z = −5x + y + 2z = −1

2x + y + z = 2x + y − 2z = 3x + y + z = 1

x + y + 3z + 2w = 73y + 6z = 82x− y + 4w = 8

2x− y + z = 3x− 3y + z = 4−5x− 3y − 2z = −5

2x− 5y + 2z = −24x + 6y − z = 232x + 7y + 4z = 24

14. En los siguientes ejercicios se da la matriz au-mentada de un sistema de ecuaciones

lineales, resuelva el sistema lineal.

a)

1 1 1... 0

1 1 0... 3

0 1 1... 1

b)

1 2 3 1... 8

1 3 0 1... 7

1 0 2 1... 3

c)

1 2 3... 0

1 1 1... 0

5 7 9... 0

Demuestre que todas las matrices B de 2× 2,tales que AB = BA,son de la forma

(r 0

s− r s

)

donde r, s son numeros reales cualesquiera.

15. determine si la matrız B = (bij) de orden 4×4con bij = (−1)ij(i + j) es o no simetrica.

16. Verifique que la ecuacion x3−x2− 5x+5 = 0admite la solucion

x =

1 2 02 −1 00 0 1

17. Sea

A =(

1 0−1 1

)

Demostrar que A2 = 2A− I y hallar An

18. Dadas las matrices

A =

2 3 1−1 6 34 −2 5

B =

8 3 −26 1 3−2 9 2

y la ecuacion

12(X − 3A) = (AT − 2B)T + AT

Hallar la suma de las componentes de la se-gunda fila y la suma de las componentes de latercera columna de la matrız X

19. Si

A =

−1 −1 −10 1 00 0 1

Hallar A20

20. Si A =(

0 −11 0

).Calcule A4n.

21. Determine todas las matrices cuadradas X desegundo orden tales que X2 = I.

22. Dada una matrız A se sabe que

A5 =( −1 2−1 1

)A3 =

(1 −21 −1

)

Entonces calcule A y A2

23. Si

A =

0 3 41 −4 −5−1 3 4

Desmotrar que A3 +I = 0 y usa esta igualdadpara hallar A10

24. Obten la forma general de una matrız de or-den 2× 2 que sea antisimetrica.

25. Si

A =(

1 a0 1

)

Calcule A22 − 12A2 + 2A

26. Demostrar que si A es idempotente y B esortogonal ,entonces BT AB es idempotente.

27. Hallar una matrız cuadrada de orden 2 ,sabi-endo que la traza de A ·AT es cero.

28. Si A y B son matrices cuadradas del mismoorden y ortogonales.Analizar si AB es ortog-onal.

Fecha unica de Presentacion 20 de setiembre del2013.