primera clase martes 14 de septiembre del 2010 de 12:00 a 13:30 horas
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Linear algebra with applications. Third EditionW. Keith NicholsonPWS Publishing company
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• Linear algebra. Lang
• Linear algebra. Jim Hefferon
• Linear algebra. Hoffman y Kunze
• Calculus. Apostol
• Applied mathematics. Olver y Shakiban
• Calculus of vector functions. Williamson, Crowell y Trotter
• Mathematics for physicists. Dennery y Krzywicki
• Mathematical methods in physics and engineering. Dettman
• Mathematical methods for physicists. Arfken
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1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
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El Álgebra lineal es la rama de las
matemáticas que estudia los sistemas
de ecuaciones lineales, los vectores, los
espacios vectoriales, y las
transformaciones lineales entre los
espacios vectoriales.
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• Los espacios vectoriales son fundamentales en las
matemáticas modernas; el Álgebra lineal es
ampliamente utilizada tanto en el álgebra abstracta
como en el análisis funcional.
• El Álgebra lineal tiene una representación concreta en
la Geometría Analítica.
• Tiene aplicaciones importantes y vastas en las ciencias
naturales y en las ciencias sociales, ya que muchos
modelos no lineales pueden ser aproximados por
modelos lineales.
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La historia del Álgebra lineal moderna se
remonta a los años de 1843 y 1844. En 1843,
William Rowan Hamilton (quien inventó el
nombre “Vector”) descubrió los cuaterniones.
En 1844, Hermann Grassman publicó su libro
Die lineale Ausdehnungslehre. Arthur Cayley en
1857, introdujo las matrices (2x2), una de las
ideas fundamentales del Álgebra Lineal.
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1.Soluciones y operaciones elementales
2.Eliminación gaussiana
3.Ecuaciones homogéneas
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Si , , son números reales,
podemos formar la ecuación
a b c
ax by c
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Si , , son números reales,
la ecuación
representa una línea recta.
a b c
ax by c
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2 3 1x y
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La ecuación
se llama ecuación lineal
en las variables y .
ax by c
x y
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Las soluciones son todos los
pares de números , que
hacen verdadera la ecuación
x y
ax by c
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Las soluciones son todos
los puntos que están
sobre la línea recta.
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Para identificar la línea recta
la ponemos como
es la pendiente es la ordenada al origen
ax by c
y mxm
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es la pendiente
es la ordenada al origen
m
y mx
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tan
y mx
m
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Si
, , y
son números reales,
podemos formar la ecuación
a b c d
ax by cz d
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Si
, , y
son números reales,
la ecuación
representa un plano.
a b c d
ax by cz d
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2 3 2x y z
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La ecuación
se llama ecuación lineal
en las variables y .
ax by cz d
x y z
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Las soluciones son todos los
tríos de números , , que
hacen verdadera la ecuación
x y z
ax by cz d
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Las soluciones son todos
los puntos que están
sobre el plano.
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2 2 2
El vector normal al plano es
, ,ˆ
y
es la al origen.
a b cn
a b c
dZ
c
ax by cz d
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1 1 2 2
1 2 3
1 2 3
Una ecuación de la forma
...
es llamada ecuación lineal en las
variables , , ,..., .
Los coeficientes , , ,..., son
números reales y también es un
número real.
n n
n
n
a x a x a x b
n x x x x
a a a a
b
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1 1 2 2
1 2 3
1 1 2 2
Dada una ecuación lineal
... ,
el conjunto de números
, , ,...,
es llamado una solución
de la ecuación si
...
n
n
n
a x a x a x b
s s s s
a s a s a s b
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1 2 3
Una colección finita de ecuaciones
lineales en las variables
, , ,...,
se llama sistema de ecuaciones
lineales en dichas variables.
nx x x x
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11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incógnitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
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Discusión
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Discusión
![Page 35: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/35.jpg)
1 2 3El conjunto de números , , ,...,
es llamado una solución de un sistema
de ecuaciones si es solución de todas
y cada una de las ecuaciones del
sistema.
ns s s s
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11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incógnitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
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1 2 3
* ¿En qué condiciones existe un conjunto de
números reales
, , ,...,
que satisfacen simultaneamente las ecuaciones?
* ¿Cómo encontramos dicha solución?
ns s s s
11 12 13 1 2 3
Dadas las constantes reales
, , , ..., y , , , ...,mn ma a a a b b b b
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Verifica que
19 35 25 13
es una solución del sistema de ecuaciones
2 3 5
5 7 4 0
siendo (es decir, puede ser cualquier
número real)
x t y t z t
x y z
x y z
t t
R
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19 35 25 13
es una solución del sistema de ecuaciones
2 3 5
5 7 4 0
x t y t z t
x y z
x y z
2 19 35 3 25 13 5
38 70 75 39
738
5
5
0 7 35 9 5
5
t t t
t t t
t t t
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19 35 25 13
es una solución del sistema de ecuaciones
2 3 5
5 7 4 0
x t y t z t
x y z
x y z
5 19 35 7 25 13 4 0
95 175 175 91 4 0
0
0 0
9 175 17 155 9 4t t
t t t
t t
t
t
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19 35 25 13
es una solución del sistema de ecuaciones
2 3 5
5 7 4 0
x t y t z t
x y z
x y z
![Page 42: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/42.jpg)
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1 2 1
1 1 2 1 2 1
1 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1
con
, , ,
, ,
P P t P P t
x y x y t x x y y
x y x t x x y t y y
x x t x x y y t y y
L R
![Page 44: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/44.jpg)
1 2 1
1 1 1 2 1 2 1 2 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1
con
, , , , , ,
, , , ,
P P t P P t
x y z x y z t x x y y z z
x y z x t x x y t y y z t z z
x x t x x y y t y y z z t z z
L= R
![Page 45: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/45.jpg)
1 2 1
1 2
con
donde , y son puntos en n
P P t P P t
P P P
L= R
R
![Page 46: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/46.jpg)
3
0
30
3
Un plano en es el conjunto de puntos
,
donde es un punto en y y son
dos vectores no nulos y no paralelos en .
P sa tb s t
P a b
R
P= R
R
R
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11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incógnitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
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11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
Finalmente la cosa se reduce a tratar con los
coeficientes:
...
...
. . y
. .
. .
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
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11 12 1
21 22 2
1 2
Esta es la matriz de coeficientes
del sistema de ecuaciones:
...
...
.
.
.
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
![Page 52: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/52.jpg)
1
2
Esta es la matriz de constantes del sistema:
.
.
.
m
b
b
b
![Page 53: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/53.jpg)
11 12 1 1
21 22 2 2
31 32 3 3
1 2
Esta es la matriz aumentada
del sistema de ecuaciones:
...
...
...
. . .
. . .
...
n
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
a a a b
![Page 54: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/54.jpg)
Dos sistemas de ecuaciones lineales
son equivalentes si tienen el mismo
conjunto de soluciones.
![Page 55: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/55.jpg)
Se escribe una serie de sistemas,
cada uno de ellos equivalente al anterior.
Cada uno de estos sistemas tiene el mismo
conjunto de soluciones que el original.
El objetivo es terminar con un sistema
equi
valente que es sencillo de resolver.
Cada sistema en la serie es obtenido del
precedente mediante una manipulación
simple que no cambia el conjunto de soluciones.
![Page 56: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/56.jpg)
Es obvio que el conjunto
2, 1
es una solución de este
sistema.
1
3
x y
x y
![Page 57: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/57.jpg)
1
3
1
2 4
x y
x y
x y
x
![Page 58: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/58.jpg)
1
2 4
x y
x
1
3
x y
x y
Es claro que el conjunto 2, 1 también
es solución del nuevo sistema.
Son sistemas equivalentes.
![Page 59: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/59.jpg)
1
3
1
2 4
1
2
x y
x y
x y
x
x y
x
![Page 60: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/60.jpg)
1
3
1
2 4
1
2
x y
x y
x y
x
x y
x
2 1
2
y
x
![Page 61: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/61.jpg)
1
3
1
2 4
1
2
x y
x y
x y
x
x y
x
2 1
2
1
2
y
y
x
x
![Page 62: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/62.jpg)
1
3
1
2 4
1
2
x y
x y
x y
x
x y
x
1 1 1
1 1 3
1 1 1
2 0 4
1 1 1
1 0 2
![Page 63: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/63.jpg)
2 1
2
1
2
y
y
x
x
0 1 1
1 0 2
![Page 64: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/64.jpg)
1. Intercambio de dos ecuaciones.
2. Multiplicar una ecuación por un número
diferente de cero.
3. Sumar un múltiplo de una ecuación
del sistema a otra ecuación diferente,
también del sistema.
![Page 65: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/65.jpg)
Una operación elemental se
realiza en un sistema de
ecuaciones lineales.
![Page 66: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/66.jpg)
El sistema de ecuaciones lineales
resultante tiene el mismo conjunto
de soluciones que el original, y los
sistemas son equivalentes.
Una operación elemental se realiza
en un sistema de ecuaciones lineales.
![Page 67: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/67.jpg)
1. Intercambio de dos renglones.
2. Multiplicar un renglón por un número
diferente de cero.
3. Sumar un múltiplo de un renglón a un
renglón diferente.
![Page 68: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/68.jpg)
2 3 1
3 4 2
x y
x y
![Page 69: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/69.jpg)
2 3 1
3 4 2
x y
x y
2 3 1
3 4 2
![Page 70: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/70.jpg)
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1 / 22 3 1 1 3 / 2 1 / 2
3 4 2 3 4 2R
![Page 71: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/71.jpg)
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1
2
/ 2
/3
2 3 1 1 3 / 2 1 / 2
3 4 2 3 4 2
1 3 / 2 1 / 2
1 4 / 3 2 / 3
R
R
![Page 72: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/72.jpg)
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1
2 2 2 1
/ 2
/3 :
2 3 1 1 3 / 2 1 / 2
3 4 2 3 4 2
1 3 / 2 1 / 21 3 / 2 1 / 2
0 4 / 3 3 / 2 2 / 3 1 / 21 4 / 3 2 / 3
R
R R R R
![Page 73: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/73.jpg)
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1
2 2 2 1
/ 2
/3 :
2 3 1 1 3 / 2 1 / 2
3 4 2 3 4 2
1 3 / 2 1 / 21 3 / 2 1 / 2
0 4 / 3 3 / 2 2 / 3 1 / 21 4 / 3 2 / 3
1 3 / 2 1 / 2
0 1 / 6 7 / 6
R
R R R R
![Page 74: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/74.jpg)
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1
2 2 2 1
2
/ 2
/3 :
6
2 3 1 1 3 / 2 1 / 2
3 4 2 3 4 2
1 3 / 2 1 / 21 3 / 2 1 / 2
0 4 / 3 3 / 2 2 / 3 1 / 21 4 / 3 2 / 3
1 3 / 2 1 / 2 1 3 / 2 1 / 2
0 1 / 6 7 / 6 0 1 7
R
R R R R
R
![Page 75: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/75.jpg)
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1 1 23
:2
1 31 3 / 2 1 / 2 1 0 7
2 20 1 7
0 1 7
1 0 10
0 1 7
R R R
![Page 76: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/76.jpg)
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1 1 23
:2
1 31 3 / 2 1 / 2 1 0 7
2 20 1 7
0 1 7
1 0 10
0 1 7
R R R
![Page 77: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/77.jpg)
![Page 78: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/78.jpg)
Una matriz se dice que está en forma de
renglones escalonados si:
1. Todas los renglones cero (que consisten
de puros ceros) están hasta abajo.
2. En cada renglón diferente de cero, el primer
elemento diferente de cero a partir de la
izquierda es un 1, llamado primer 1 de ese renglón.
3. Cada primer 1 está a la derecha de los
primeros 1´s de los renglones de arriba.
![Page 79: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/79.jpg)
![Page 80: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/80.jpg)
Una matriz se dice que está en forma reducida
de renglones escalonados, si aparte de los 3
puntos anteriores satisface también:
4. Cada primer 1 es el único elemento
diferente de cero en esa columna.
![Page 81: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/81.jpg)
Una matriz se dice que está en forma reducida
de renglones escalonados, si satisface:
1. Todas los renglones cero (que consisten
de puros ceros) están hasta abajo.
2. En cada renglón diferente de cero, el primer
elemento diferente de cero a partir de la
izquierda es un 1, llamado primer 1 de ese renglón.
3. Cada primer 1 está a la derecha de los
primeros 1´s de los renglones de arriba.
4. Cada primer 1 es el único elemento diferente de
cero en esa columna.
![Page 82: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/82.jpg)
![Page 83: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/83.jpg)
![Page 84: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/84.jpg)
Toda matriz puede ser llevada a
una forma escalonada (reducida)
mediante puras operaciones
elementales en sus renglones.
![Page 85: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/85.jpg)
Toda matriz puede ser llevada a una forma
escalonada (reducida) mediante puras
operaciones elementales en sus renglones.
Existe un procedimiento, llamado algoritmo
gaussiano, para encontrar la forma escalonada.
![Page 86: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/86.jpg)
Toda matriz puede ser llevada a una forma
escalonada (reducida) mediante puras
operaciones elementales en sus renglones.
Por tanto, la solución de un sistema de
ecuaciones lineales se "reduce" al de
encontrar la forma escalonada de la
matriz aumentada.
![Page 87: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/87.jpg)
1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma
escalonada.
2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la
izquierda que tiene un elemento diferente de cero
(llamemosle ),a y mueve el renglón que contiene ese elemento
hasta arriba.
13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de
abajo, haz todo elemento aba
a
jo de ese primer 1, cero.
![Page 88: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/88.jpg)
Con esto se ha terminado con el primer renglón,
y en adelante, se trabajara sólo con los de abajo.
1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma escalonada.
2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda
que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle a), y mueve el
renglón que contiene ese elemento hasta arriba.
13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de abajo, haz
todo elemento a
a
bajo de ese primer 1, cero.
![Page 89: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/89.jpg)
5. Repetir los pasos 1 a 4 en la matriz
que consiste de los renglones restantes.
1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma escalonada.
2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda
que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle a), y mueve el
renglón que contiene ese elemento hasta arriba.
13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de abajo, haz
todo elemento a
a
bajo de ese primer 1, cero.
![Page 90: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/90.jpg)
1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma escalonada.
2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda
que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle a), y mueve el
renglón que contiene ese elemento hasta arriba.
13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de abajo, haz
todo elemento a
a
bajo de ese primer 1, cero.
5. Repetir los pasos 1 a 4 en la matriz que consiste de los renglones restantes.
El proceso se termina cuando ya no quedan renglones
o cuando los renglones que quedan son de puros ceros.
![Page 91: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/91.jpg)
![Page 92: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/92.jpg)
1 2 1 2
2 5 3 1
1 4 3 3
1. Si la matriz consiste de puros ceros,
listo, ya está en forma escalonada.
![Page 93: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/93.jpg)
1 2 1 2
2 5 3 1
1 4 3 3
2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda
que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle ), y mueve el
renglón que contiene ese elemento hasta arriba.
a
![Page 94: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/94.jpg)
1 2 1 2
2 5 3 1
1 4 3 3
13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.
a
![Page 95: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/95.jpg)
1 2 1 2
2 5 3 1
1 4 3 3
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
![Page 96: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/96.jpg)
2 2 1: 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 5 3 1 2 2 1 5 2 2 3 2 1 1 2 2
1 4 3 3 1 4 3 3
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
![Page 97: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/97.jpg)
2 2 1: 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 5 3 1 2 2 1 5 2 2 3 2 1 1 2 2
1 4 3 3 1 4 3 3
1 2 1 2
0 1 1 3
1 4 3 3
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
![Page 98: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/98.jpg)
3 3 1:
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
1 4 3 3 1 1 4 2 3 1 3 2
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
![Page 99: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/99.jpg)
3 3 1:
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
1 4 3 3 1 1 4 2 3 1 3 2
1 2 1 2
0 1 1 3
0 2 2 1
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
![Page 100: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/100.jpg)
3 3 1:
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
1 4 3 3 1 1 4 2 3 1 3 2
1 2 1 2
0 1 1 3
0 2 2 1
R R R
5. Repetir los pasos 1 a 4 en la matriz que consiste de los renglones restantes.
![Page 101: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/101.jpg)
3 3 1: 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
![Page 102: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/102.jpg)
3 3 1: 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3
1 2 1 2
0 1 1 3
0 0 0 7
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
![Page 103: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/103.jpg)
3 3 1
3
: 2
7
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 0 0 7 0 0 0 1
R R R
R
![Page 104: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/104.jpg)
3 3 1
3
: 2
7
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 0 0 7 0 0 0 1
R R R
R
El proceso se termina cuando ya no quedan renglones
o cuando los renglones que quedan son de puros ceros.
![Page 105: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/105.jpg)
1 2 1 2
0 1 1 3
0 0 0 1
¿y ahora qué?
![Page 106: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/106.jpg)
1 2 1 2
0 1 1 3
0 0 0 1
¿0 1?
![Page 107: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/107.jpg)
1 2 1 2
0 1 1 3
0 0 0 1
El sistema NO tiene solución.
Cuando un sistema no tiene soluciónse dice que es inconsistente.
![Page 108: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/108.jpg)
1 2 1 2
0 1 1 3
0 0 0 1
El sistema NO tiene solución.
Cuando un sistema no tiene soluciónse dice que es inconsistente.
![Page 109: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/109.jpg)
![Page 110: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/110.jpg)
Cuando un sistema no tiene soluciónse dice que es inconsistente.
![Page 111: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/111.jpg)
Sistemas que tienen al menos
una solución se dice que son
consistentes.
![Page 112: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/112.jpg)
![Page 113: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/113.jpg)
La forma escalonada reducida de una matriz
está determinanda únicamente por .
A
A
![Page 114: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/114.jpg)
La forma escalonada reducida de una matriz
está determinanda únicamente por .
No importa cuales hayan sido las operaciones
realizadas en los reglones, el resultado siempre
será el mismo.
La forma escalo
A
A
nada reducida es única.
![Page 115: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/115.jpg)
En contraste, esto no sucede en el caso de la
forma escalonada: Una serie de operaciones
diferentes en la misma matriz nos llevará
a diferentes matrices escalonadas.
A
![Page 116: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/116.jpg)
Sin embargo, el número de primeros 1´s
es el mismo en todas estas formas
escalonadas.
El número de primeros 1´s depende sólo
de y no de la manera en que es
llevada a la forma escalonada.
A A
![Page 117: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/117.jpg)
Si una matriz es llevada a una forma
escalonada mediante operaciones
elementales en sus renglones, el número
de primeros 1´s en es el rango de ,
y se denota rank .
A
R
R A
A
![Page 118: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/118.jpg)
Supongamos un sistema de ecuaciones
lineales con incógnitas tiene una solución.
Si el rango de la matriz aumentada es , el
conjunto de soluciones involucra
exactamente parámetros.
m
n
r
n r
![Page 119: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/119.jpg)
Para cualquier sistema de ecuaciones lineales
se tienen exactamente tres posibilidades:
1. No existe solución.
2. Existe una única solución. Esto sucede
cuando todas las variables son primeras.
3. Existe un número infinito de soluciones.
Esto sucede cuando hay al menos una variable
que no es primera, de tal que hay al menos un
parámetro involucrado.
![Page 120: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/120.jpg)
![Page 121: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/121.jpg)
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incognitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
![Page 122: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/122.jpg)
1 2
Si
... 0
el sistema es homogeneomb b b
11 1 1 1
1 1
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
n n
m mn n m
a x a x b
a x a x b
![Page 123: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/123.jpg)
Solución trivial: 0 para todo
Solución no trivial: 0 pa
Un sistema homogéneo siempre tiene
una solución trivial
ra alguna i
i
x i
x i
11 1 1
1 1
Sistema homogeneo
... 0
...
... 0
n n
m mn n
a x a x
a x a x
![Page 124: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/124.jpg)
Si un sistemas de ecuaciones lineales
homogéneo tiene más incógnitas que
ecuaciones, entonces existe una
solución no trivial. De hecho, existe
una cantidad infinita de ellas.
![Page 125: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/125.jpg)
Hasta aquí llegue el martes 14 de septiembre del 2010 después de una clase de 1:30 horas
![Page 126: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/126.jpg)
Segunda clase martes 21 de septiembre del 2010 de 12:30 a 14:00
![Page 127: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/127.jpg)
![Page 128: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/128.jpg)
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
![Page 129: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/129.jpg)
1.Suma, multiplicación por un escalar y transposición
2.Multiplicación de matrices
3.Matrices inversas
4.Matrices elementales
![Page 130: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/130.jpg)
![Page 131: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/131.jpg)
11 12 1
21 22 2
1 2
Un arreglo de números complejos
...
...
.
.
.
...
es llamado una matriz en
La matriz tiene renglones y columnas
n
n
ij
m m mn
a a a
a a a
a
a a a
m n C
m n
![Page 132: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/132.jpg)
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
.
.
...
1,2,..., 1,2,...,
es una matriz
n
n
m m mn
ij
a a a
a a a
a a a
a i m j n
m n
A
A
A
![Page 133: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/133.jpg)
1
Un vector
.
.
.
es una matriz 1n
x
x
n
![Page 134: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/134.jpg)
1
Un vector
,...,
es una matriz 1
nx x
n
![Page 135: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/135.jpg)
0 0 ... 0
0 0 ... 0
. =0 para t
Todos sus elemento
odo ,.
s son c
.
0 0 ...
ero
0
ija i j
![Page 136: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/136.jpg)
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
. El orden de la matriz es
.
.
...
1,2,..., 1,2,.
Tiene el mismo número de renglones y de colum
..,
nas
n
n
n n nn
ij
a a a
a a a
n
a a a
a i n j n
![Page 137: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/137.jpg)
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
Tiene 4 columnas, 4 renglones: 16
1, 2,3,4
elem
1,2,3
en s
,4
to
ij
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a i j
A
A
![Page 138: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/138.jpg)
La matriz identidad está definida como
0 si y 1 para 1,...,
ij
ij ii
a n n
a i j a i n
A
1 0 ... 0
0 1 ... 0
.
.
.
0 0 ... 1
n
I
![Page 139: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/139.jpg)
11 22 33
Sea una matriz cuadrada.
Los elementos
, , ,...,
constituyen los elementos de la diagonal.
ij
nn
a n n
a a a a
A
![Page 140: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/140.jpg)
11
22
Sea una matriz cuadrada.
Se dice que es diagonal si todos los elementos
"fuera" de la diagonal son cero, es decir, 0 si
0 ... 0
0 ... 0
.
.
.
0 0 ...
* Toda matriz di
ij
ij
nn
a n n
a i j
a
a
a
A
agonal es simétrica
![Page 141: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/141.jpg)
Sea una matriz cuadrada.
Se dice que es triangular si todos los elementos
"arriba ó abajo" de la diagonal son cero, es decir,
0 si
ó
0 si
ij
ij
ij
a n n
a i j
a i j
A
![Page 142: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/142.jpg)
1 0 0 0 0
3 0 0 0
4 2 2 0 0
1 1 0 3 0
2 8 4 2
i
i
i i
![Page 143: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/143.jpg)
Sea una matriz .
La matriz denotada como
tal que
es llam
Se intercambian ren
ada .
Se den
glones y
ota
columnas
.
ij
ji
ji ij
T
a m n
n m b
b a
transpuesta
A
B
A
![Page 144: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/144.jpg)
1 11 0.5 1
0.5 21 2 0.5
1 0.5
T
A A
![Page 145: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/145.jpg)
Una matriz es simétrica si es
igual a su transpuesta, es decir, si .
ij
T
a m n
A
A A
Hay lo mismo arriba y abajo de la diagonal
![Page 146: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/146.jpg)
Una matriz es antisimétrica
si es igual al negativo de su transpuesta,
es decir, si .
ij
T
a m n
A
A A
![Page 147: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/147.jpg)
ij
T
ij
T
A a
A A
A a
A A
Una matriz cuadrada es simétrica
si
Una matriz cuadrada es antisimétrica
si
![Page 148: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/148.jpg)
Sea una matriz .
Su matriz conjugada es la que se obtiene
tomando el complejo conjugado de todos y
cada uno de los elementos.
Si
1, 2,..., 1, 2,...,
entonces
1, 2,...,
ij
ij
ij
a m n
a i m j n
a i m
A
A
A
A 1,2,...,j n
![Page 149: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/149.jpg)
†
†
†
1,2,..., 1,2,...,
1,2,..., 1,2,...,
ij
ij
ji
A
A a
A
a i n j n
a i n j n
A
A
La adjunta o transpuesta conjugada de una matriz
es la transpuesta y conjugada.
Se denota como
Si
entonces
![Page 150: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/150.jpg)
† 0 3 11 3 2
1 10 1 3 1
3 3 23 2 1 0
1 11 1
2 0 1
ii i i
i i i ii i i
i ii
i ii i i
i
![Page 151: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/151.jpg)
†1 1 2 1
2 1 1 1 0
1 0 2 1 2
i i i
i i i
i i
![Page 152: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/152.jpg)
†A A
Una matriz es hermitiana ó autoadjunta,
si
†
ij
A
A a
La adjunta de una matriz cuadrada
es la transpuesta conjugada
![Page 153: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/153.jpg)
*
†
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
T
i
i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
![Page 154: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/154.jpg)
0 1 0
1 0 0
1 0
0 1
x y
z
i
i
Las matrices de Pauli:
![Page 155: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/155.jpg)
†
†
ijA
A A
A
a
Una matriz es hermitiana ó autoa
- Las matric
La adjunta de una matriz cuadrada
es la transpu
es hermitianas ó autoadjuntas
son cuadradas
- La d
djun
iago
esta c
nal de
ta,
la
on
s
jug
mat
a
r
d
i
si
a
ces hermitianas
es real
![Page 156: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/156.jpg)
†A A
Una matriz es antihermitiana, si
†
ij
A
A a
La adjunta de una matriz cuadrada
es la transpuesta conjugada
![Page 157: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/157.jpg)
*
2 1
2 2 0
1 0
2 1 2 1
2 2 0 2 2 0
1 0 1 0
2 1 2 1 2 1
2 2 0 2 2 0 2 2 0
1 0 1 0 1 0
T
i
i
i
i i
i i
i i
i i i
i i i
i i i
![Page 158: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/158.jpg)
†
†
ij
A
A a
A A
Una matriz es antihermitiana, si
- Las matrices antihermitianas
La adjunta de una matriz cuadra
son cuadradas
- Los elementos dia
da
es
gonale
la transpues
s de una mat
ta
ri
conjug
z
antih
ada
ermitiana son imaginarios puros
![Page 159: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/159.jpg)
†
†
ij
ij
T
T
A a
AA I
a
I
A
A
AA
A
Una matriz cuadrada es unitaria si
Una matriz cuadrada es
Una matriz real unitaria es ortogonal, ya q
ortogonal
ue
si
![Page 160: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/160.jpg)
1 †
1
ij
ij
T
A a
A A
A a
A A
Una matriz cuadrada es unitaria si
Una matriz cuadrada es ortogonal si
![Page 161: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/161.jpg)
Dos matrices y son iguales si y sólo si:
1. Son del mismo tamaño
2. Los correspondientes elementos son todos
iguales
Se denota y también .
Tenemos para toda y .
ij ij
ij ij
a b
a b i j
A B
A B
![Page 162: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/162.jpg)
•La suma de dos matrices
•Multiplicación de una matriz por un escalar
•Multiplicación de dos matrices
![Page 163: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/163.jpg)
Solo se pueden sumar matrices de la misma
forma, es decir, que ambas sean .
Sean y dos matrices ,
la suma es
para todo ,
ij kl
ij ijij
m n
a b m n
a b
i j
A B
A B
![Page 164: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/164.jpg)
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
... ...
... ...
. .
. .
. .
... ...
n n
n n
m m mn m m mn
a a a b b b
a a a b b b
a a a b b b
A B
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
...
...
.
.
.
...
n n
n n
m m m m mn mn
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
A + B
![Page 165: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/165.jpg)
![Page 166: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/166.jpg)
Si , y son matrices del mismo tamaño,
entonces
(conmutatividad)
+ (asociatividad)
A B C
A B B A
A B C A B C
![Page 167: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/167.jpg)
Si es una matriz y
es la matriz cero ,
entonces
m n
m n
A
0
A 0 A
![Page 168: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/168.jpg)
Si es una matriz , su negativa
se obtiene multiplicando todos sus
elementos por 1.
Es decir,
Si entonces ij ij
m n
a a
A
A A
![Page 169: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/169.jpg)
Si es una matriz
entonces
m n
A
A A 0
![Page 170: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/170.jpg)
Si , son matrices del mismo tamaño,
entonces se define la diferencia como
A B
A B A B
![Page 171: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/171.jpg)
Sea una matriz
y
un número real,
el producto se define como
para todo ,
ij
ijij
a m n
r
r
r ra
i j
A
A
A
![Page 172: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/172.jpg)
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
.
.
...
1,2,..., 1,2,...,
n
n
m m mn
ij
ra ra ra
ra ra ra
r
ra ra ra
r ra i m j n
A
A
![Page 173: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/173.jpg)
Sea una matriz y .
Tenemos:
1. es una matriz .
2. 0
3.
m n r
r m n
r
A
A
A 0
0 0
R
![Page 174: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/174.jpg)
Si , y son matrices , tenemos
1. (conmutatividad)
2. + (asociatividad)
3. Existe una matriz tal que para toda .
4. Para toda matriz exist
m n
m n
m n
A B C
A B B A
A B C A B C
0 0 A A A
A
e una matriz
tal que
5.
6.
7.
8. 1
m n
k k k
k p k p
kp k p
A
A A 0
A B A B
A A A
A A
A A
![Page 175: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/175.jpg)
Sea una matriz .
La matriz denotada como
tal que
es llam
Se intercambian
ada .
Se denota
renglones y columna
y
s
.
ij
ji
ji ij
T Tji
a m n
n m b
b a
transpuesta
a
A
B
A A
![Page 176: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/176.jpg)
1 0.5 1
1 2 0.5
1 1
0.5 2
1 0.5
T
A
A
![Page 177: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/177.jpg)
Sean y matrices y un escalar.
1. La matriz es
2.
3.
4.
T
TT
T T
T T T
m n k
n m
k k
A B
A
A A
A A
A B A B
![Page 178: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/178.jpg)
Una matriz es simétrica si es
igual a su transpuesta, es decir, si .
ij
T
a m n
A
A A
Hay lo mismo arriba y abajo de la diagonal
![Page 179: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/179.jpg)
![Page 180: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/180.jpg)
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
... ...
... ...
. .
. .
. .
... ...
n s
n s
m m mn n n ns
a a a b b b
a a a b b b
a a a b b b
m n n s
A B
1
n
ij jkikj
a b
m s
AB
![Page 181: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/181.jpg)
1
n
ij jkikj
a b
m s
AB
Multiplica cada elemento del renglón de
por el correspondiente elemento de la
columna de y suma los resultados.
i
j
A
B
![Page 182: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/182.jpg)
1
n
ij jkikj
a b
m s
AB
La multiplicación no es conmutativa
El número de columnas del primer factor
debe ser igual al número de renglones del
segundo factor
![Page 183: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/183.jpg)
1 2
3 1
![Page 184: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/184.jpg)
1 2 0 2 ? ?
3 1 1 3 ? ?
![Page 185: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/185.jpg)
2 ?1 2 0 2
3 11 3 ? ?
1 0 2 1 0 2 2
![Page 186: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/186.jpg)
1 2 2 80 2
3 1 1 ? ?3
1 2 2 3 2 6 8
![Page 187: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/187.jpg)
1 2 20
3 1 1 1
2 8
3 ?
3 0 1 1 0 1 1
![Page 188: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/188.jpg)
1 2 0 2 8
1 1
2
3 1 3 9
3 2 1 3 6 3 9
![Page 189: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/189.jpg)
1 2 0 2 2 8
3 1 1 3 1 9
![Page 190: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/190.jpg)
2
1 3 1
0 2 1 6
3
0 1 2 3 0 6 6
![Page 191: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/191.jpg)
0 2 2 2
1
1 6
1 3 3
0 2 2 1 0 2 2
![Page 192: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/192.jpg)
0 2 2 6 21
3 11 3 8
1 1 3 3 1 9 8
![Page 193: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/193.jpg)
0 2 1 6 2
33 8
2
1 1 1
1 2 3 1 2 3 1
![Page 194: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/194.jpg)
0 2 1 2 6 2
1 3 3 1 8 1
![Page 195: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/195.jpg)
0 2 1 2 6 2
1 3 3 1 8 1
1 2 0 2 2 8
3 1 1 3 1 9
![Page 196: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/196.jpg)
1 2 0 2
3 1 1 3
0 2 1 2
1 3 3 1
![Page 197: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/197.jpg)
¡La multiplicación de matricesno es conmutativa!
![Page 198: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/198.jpg)
La multiplicación de matrices
no es conmutativa.
Es más, a veces puede existir
y no, y viceversa. A B B A
![Page 199: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/199.jpg)
31 1 1 3 1 2
1 2 2 1 1 1
52
2
3 1 3 13 3 31 1
2 1 2 1
1 1
2
2
2 2
2 2
![Page 200: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/200.jpg)
3 4 1 51 3
1 2 3 51 1
2 1 1
3 2 2 2 3 2
5
![Page 201: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/201.jpg)
3 41 3
1 21 1
2 1
?
No se pueden multiplicarEl número de columnas del primer factor debe ser igual al número de renglones del segundo factor
![Page 202: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/202.jpg)
1 11 0.5 1
0.5 21 2 0.5
1 0.5
1 1 0.5 0.5 1 1 1 1 0.5 2 1 0.5
1 1 2 0.5 0.5 1 1 1 2 2 0.5 0.5
2.25 2.5
2.5 5.25
2 3
3 2
2 2
![Page 203: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/203.jpg)
1 1 2 2.5 1.51 0.5 1
0.5 2 2.5 4.25 1.51 2 0.5
1 0.5 1.5 1.5 1
3 2 2 3
.25
3 3
![Page 204: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/204.jpg)
1
0
2
2
3
2
1
0
2
1
3
1
1
2
0
2
2
1
2
1
3
3
1
1
1
3
3
5
4
0
2
6
3
5
3
11
1
4
7
8
1
4
7
14
3
8
1
4 3 3 5 4 5
![Page 205: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/205.jpg)
1
0
1
1 1 1( )
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1 1 1( )
1
0
1
0( )
![Page 206: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/206.jpg)
La matriz identidad está definida como
0 si y 1 para 1,...,
ij
ij ii
a n n
a i j a i n
A
1 0 ... 0
0 1 ... 0
.
.
.
0 0 ... 1
n
I
![Page 207: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/207.jpg)
Si , , son matrices de tamaños tales que
la operaciones indicadas puedan ser realizadas
y es un escalar, tenemos
1.
2.
3. ,
4. ,
k
A B C
IA A BI B
A BC AB C
A B C AB AC A B C AB AC
B C A BA CA B C A BA CA
5.
6. T T T
k k k
AB A B A B
AB B A
![Page 208: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/208.jpg)
0
Sea una matriz
Se pueden formar los productos
...
Si es un entero 1
...
Se define
m
n n
m
A
A
AA
AA A
A AA A
A I
![Page 209: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/209.jpg)
Sean y matrices que pueden ser multiplicadas.
Entonces y pueden ser multiplicadas yT T
T T T
A B
B A
AB B A
![Page 210: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/210.jpg)
![Page 211: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/211.jpg)
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incógnitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
![Page 212: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/212.jpg)
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
En términos de matrices el sistema
de ecuaciones se puede escribir
...
...
. . .
. . .
. . .
...
n
n
m m mn n n
a a a x b
a a a x b
a a a x b
![Page 213: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/213.jpg)
11 12 1
21 22 2
1 2
Si
...
...
.
.
.
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
A
![Page 214: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/214.jpg)
1 1
2 2
. . y
. .
. .
m m
x b
x b
x b
x b
![Page 215: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/215.jpg)
El sistema de ecuaciones se escribe
x bA
![Page 216: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/216.jpg)
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
Si tenemos el sistema de ecuaciones lineales
la matriz aumentada es
...
...
.
.
.
...
n
n
m m mn m
x b
a a a b
a a a b
a a a b
A
B
![Page 217: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/217.jpg)
El sistema de ecuaciones
homogéneo asociado es
0x A
![Page 218: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/218.jpg)
1
0
1 0
Si es una solución particular
del sistema , y es una
solución del sistema homogéneo
asociado 0, entonces
es solución del sistema
.
x
x b x
x
x x
x b
A
A
A
![Page 219: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/219.jpg)
1
2
2 0 1
0
Si es una solución particular
del sistema lineal , entonces
toda solución del sistema
tiene la forma
siendo cualquier solución del sistema
homogéneo asociado 0.
x
x b
x x b
x x x
x
x
A
A
A
![Page 220: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/220.jpg)
1 1 4 4
1 2 5 2
1 1 2 0
x
y
z
![Page 221: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/221.jpg)
1 1 4 4
1 2 5 2
1 1 2 0
![Page 222: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/222.jpg)
2 1
3 1
3 22 2/3
1 1 4 4 1 1 4 4
1 2 5 2 0 3 9 6
1 1 2 0 1 1 2 0
1 1 4 4
0 3 9 6
0 2 6 4
1 1 4 4 1 1 4 4
0 1 3 2 0 1 3 2
0 2 6 4 0 0 0 0
R R
R R
R RR
![Page 223: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/223.jpg)
1 2
1 1 4 4 1 0 1 2
0 1 3 2 0 1 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0
R R
![Page 224: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/224.jpg)
1 0 1 22
0 1 3 2 3 2
0 0 0 0
x z
y z
![Page 225: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/225.jpg)
22
2 33 2
2 1
2 3
0 1
x tx z
y ty z
z t
x
y t
z
![Page 226: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/226.jpg)
1
3
2
2
10
x
y t
z
1 1 4 0
1 2 5 0
1 1 2 0
x
y
z
![Page 227: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/227.jpg)
1
3
2
2
10
x
y t
z
1 1 4 1 0
1 2 5 3 0
1 1 2 1 0
1 3 4 0
1 6 5 0
1 3 2 0
![Page 228: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/228.jpg)
2
2
0
1
3
1
x
y t
z
1 1 4 4
1 2 5 2
1 1 2 0
x
y
z
![Page 229: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/229.jpg)
2
2
0
1
3
1
x
y t
z
1 1 4 2 4
1 2 5 2 2
1 1 2 0 0
2 2 0 4
2 4 0 2
2 2 0 0
![Page 230: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/230.jpg)
2 1
2 3
0 1
x
y t
z
Gráfica
![Page 231: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/231.jpg)
![Page 232: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/232.jpg)
1 01 1 1 0 2
, , 2 10 1 3 1 0
5 8
Encuentra el elemento 3,1 de usando
exactamente seis multiplicaciones numéricas.
A B C
CAB
![Page 233: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/233.jpg)
31
1 01 1 1 0 2
2 10 1 3 1 0
5 8
5 1 8 0 1 5 1 8 1 3
5 9 14
CAB
CAB
![Page 234: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/234.jpg)
1 01 1 1 0 2
2 10 1 3 1 0
5 8
1 1 2 1 21 0 2
2 1 1 1 43 1 0
5 3 14 3 10
CAB
![Page 235: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/235.jpg)
Siempre podemos ver a una matriz
como una columna de renglones
ó como un renglón de columnas.
m nA
![Page 236: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/236.jpg)
1 2
1 2
1
2
1 2
Si , ,..., son los renglones de
y si , ,..., son sus columnas,
podemos escribir
. y ...
.
.
m
n
n
m
R R R
C C C
R
R
C C C
R
A
A A
![Page 237: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/237.jpg)
1 1
2 2
1 2 1 2
Así que
. .
. .
. .
... ...
m m
n n
R R x
R R x
x x
R R x
y y C C C yC yC yC
A
A
![Page 238: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/238.jpg)
![Page 239: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/239.jpg)
Si las matrices y pueden ser
divididas en bloques compatibles,
el producto puede ser
calculado como una multiplicación
de matrices usando los bloques
como elementos.
A B
AB
![Page 240: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/240.jpg)
Hasta aquí llegue el martes 21 de septiembre del 2010 después de dos clases de 1:30 horas
![Page 241: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/241.jpg)
Tercera clase martes 28 de septiembre del 2010 de 12:30 a 14:00
![Page 242: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/242.jpg)
![Page 243: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/243.jpg)
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
![Page 244: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/244.jpg)
![Page 245: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/245.jpg)
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incognitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
![Page 246: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/246.jpg)
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
En términos de matrices el sistema
de ecuaciones se puede escribir
...
...
. . .
. . .
. . .
...
n
n
m m mn m m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
![Page 247: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/247.jpg)
11 12 1
21 22 2
1 2
Si
...
...
.
.
.
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
A
![Page 248: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/248.jpg)
1 1
2 2
. . y
. .
. .
m m
x b
x b
x b
x b
![Page 249: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/249.jpg)
El sistema de ecuaciones se escribe
x bA
![Page 250: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/250.jpg)
1 1
1
1
x b
x b
x b
x b
A
A A A
I A
A
![Page 251: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/251.jpg)
1.Suma, multiplicación por un escalar y transposición
2.Multiplicación de matrices
3.Matrices inversas
4.Matrices elementales
![Page 252: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/252.jpg)
![Page 253: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/253.jpg)
Si es una matriz cuadrada,
una matriz es llamada la
inversa de si y sólo si
y
A
B
A
AB I BA I
![Page 254: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/254.jpg)
Una matriz que tiene matriz inversa
es llamada matriz invertible.
Si es una matriz cuadrada, una matriz es llamada
la inversa de si y sólo si y A B
A AB I BA I
![Page 255: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/255.jpg)
Si es una matriz cuadrada, una matriz es llamada
la inversa de si y sólo si y . A B
A AB I BA I
Hay matrices que no tienen inversa
Si la inversa existe, es única
![Page 256: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/256.jpg)
1 1
1
1
x b
x b
x b
x b
A
A A A
I A
A
![Page 257: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/257.jpg)
Si es una matriz cuadrada invertible,
existe una secuencia de operaciones
elementales de los renglones que lleva
la matriz a la matriz identidad del
mismo tamaño, escribimos .
A
A I
A I
![Page 258: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/258.jpg)
1
Esta misma serie de operaciones en los
renglones lleva la matriz a .I A
Si es una matriz cuadrada invertible, existe una
secuencia de operaciones elementales de los
renglones que lleva la matriz a la matriz
identidad del mismo tamaño, escribimos .
A
A
I A I
![Page 259: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/259.jpg)
![Page 260: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/260.jpg)
1 1 0 1 0 0
3 0 2 0 1 0
1 0 1 0 0 1
![Page 261: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/261.jpg)
12
3 1 3
3
/3
1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0
3 0 2 0 1 0 0 3 2 3 1 0
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0
0 3 2 3 1 0 0 1 2 / 3 1 1 / 3 0
0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1
R R
R R R
![Page 262: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/262.jpg)
3 2
33
1 1 0 1 0 0
0 1 2 / 3 1 1 / 3 0
0 1 1 1 0 1
1 1 0 1 0 0
0 1 2 / 3 1 1 / 3 0
0 0 1 / 3 0 1 / 3 1
1 1 0 1 0 0
0 1 2 / 3 1 1 / 3 0
0 0 1 0 1 3
R R
R
![Page 263: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/263.jpg)
2 3 2 3
1 2
2 2
3 3
1 1 0 1 0 0
0 1 2 / 3 1 1 / 3 0
0 0 1 0 1 3
1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0
0 1 2 / 3 1 1 / 3 0 0 1 0 1 1 2
0 0 1 0 1 3 0 0 1 0 1 3
1 0 0 0 1 2
0 1 0 1 1 2
0 0 1 0 1 3
R R R R
R R
![Page 264: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/264.jpg)
Sea una matriz .
es invertible o no singular si existe
una matriz de rango tal que
n
n n
n n
A
A
B
AB = BA = I
![Page 265: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/265.jpg)
La matriz se llama inversa de y se denota
Cuando existe la matriz inversa es única
1B A A
Sea una matriz . es invertible o no singular si existe una
matriz de rango tal que n
n n
n n
A A
B AB = BA = I
![Page 266: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/266.jpg)
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
![Page 267: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/267.jpg)
![Page 268: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/268.jpg)
Toda matriz cuadrada tiene asociado
un , que es un núdeterminant mero compl j .e e o
n n
![Page 269: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/269.jpg)
11 12 1
21 22 2
1 2
El determinante de la matriz se escribe
...
...
.det
.
.
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
A
A
![Page 270: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/270.jpg)
,1
det sgn
La suma se calcula sobre todas las
permutaciones de los números
1,2,3,..., y sgn es 1 si la
permutación es par ó 1 si es impar.
n
n
i iS i
a
n
A
![Page 271: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/271.jpg)
11 22 12 21
*Permutaciones del 1 y el 2: 1,2 , 2,1
así que
det a a a a A
,1
det sgn
La suma se calcula sobre todas las permutaciones
de los números 1,2,3,..., y sgn es 1 si la
permutación es par ó 1 si es impar.
n
n
i iS i
a
n
A
![Page 272: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/272.jpg)
11 1211 21 21 12
21 22
En el caso de una matriz cuadrada 2 2
el determinante es el número complejo
deta a
a a a aa a
A A
![Page 273: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/273.jpg)
1 3 1 3det
2 4 2 4
1 4 3 2 10
![Page 274: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/274.jpg)
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 22 31 13 21 32
Permutaciones del 1, 2 y 3
1,2,3 , 1,3,2 , 2,1,3 , 2,3,1 , 3,2,1 , 3,1,2
así que
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
,1
det sgn
La suma se calcula sobre todas las permutaciones
de los números 1,2,3,..., y sgn es 1 si la
permutación es par ó 1 si es impar.
n
n
i iS i
a
n
A
![Page 275: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/275.jpg)
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 22 33 12 23 31 13 21 32
11 23 32 12 21 33 13 22 31
En el caso de una matriz cuadrada 3 3
el determinante es el número complejo
det
a a a
a a a
a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
A A
![Page 276: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/276.jpg)
5 3 3 5 3 3
3 1 0 det 3 1 0
4 2 3 4 2 3
5 3 3
3 1
5 3 3
3 1 0
0
4 2 3
Truco que solo sirve para matrices 3x3
1) Se duplican los renglones 1 y 2
![Page 277: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/277.jpg)
5 3 3
3 1 015 185 1 3
3
3 0124 2 3
27 0 1
2 3 4
3 3 5 2 0 4 15 3 3
3 1 0
3 0
3 2
2) Se multiplican diagonalmente hacía abajo con signo +
y diagonalmente hacía arriba con signo -
![Page 278: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/278.jpg)
1 0 2
4 1 5
1 1 2
1 0 2 1 0 2
4 1 5
4 3
det 4 1 5
2 3 2 2 3 2
1 0 2
4 1 5
2 3 2
2 24 0
0 15
2 2 0
4 0 2 1 3 5 2 1
5
4
2
33
![Page 279: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/279.jpg)
1.- Si todos los elementos de una fila o de una columna de
una matriz son cero, entonces su determinante es cero
2.- Si todos los elementos de una fila o de una columna de
una matriz se multiplican por el mismo número , entonces
su determinante se multiplica por .
3.- Si una par de filas o de columnas de una matriz se
intercambian, el determinante cambia de signo
k
k
![Page 280: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/280.jpg)
4.- Si una fila o una columna de una matriz es
proporcional a otra fila o a otra columna, el
determinante es cero.
5.- Si todos los elementos de una fila o de una
columna se pueden expresar como la suma de
dos términos, entonces el determinante puede
escribirse como la suma de dos determinantes,
cada uno de los cuales contiene uno de los
términos en la fila o columna correspondiente.
![Page 281: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/281.jpg)
6.- Si a todos los elementos de una fila o de una columna
se le añade veces el elemento correspondiente de otra
fila o columna, el valor del determinante no cambia.
k
![Page 282: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/282.jpg)
11 22 33
Si la matriz es triangular,
entonces
det ...
es decir, el determinante es el
producto de los elementos
diagonales.
nna a a a
A
A
![Page 283: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/283.jpg)
Usando las propiedades 1 a 6 expuestas
arriba, se lleva la matriz original a una
forma triangular cuyo determinante es
el producto de los elementos de la
diagonal
![Page 284: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/284.jpg)
1
Sea una matriz cuadrada .
Eligimos una fila, la ,
entonces
det 1
donde es el determinante de la matriz
que resulta de quitar la fila y la columna
ni j
ij ijj
ij
n n
i
a M
M
i j
A
A
![Page 285: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/285.jpg)
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
.
.
...
n
n
ijij
m m mn
a a a
a a a
Ma
a a a
![Page 286: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/286.jpg)
1
Sea una matriz cuadrada .
Eligimos una columna, la ,
entonces
det 1
donde es el determinante de la matriz
que resulta de quitar la fila y la columna
ni j
ij iji
ij
n n
j
a M
M
i j
A
A
![Page 287: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/287.jpg)
5 3 3
3 1 0
4 2 3
1) Se escoge un renglón.
Elegimos el primero.
2) Se toman los elementos de ese renglón uno por uno.
Empecemos por el elemento 5.
3) Se crea un nuevo determinante quitando el renglón
y la colum
-1 0
2 3
na del elemento escogido, es decir
A este determinante se le llama menor
![Page 288: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/288.jpg)
1 1
5 3 3
3 1 0
4 2 3
-1 0-1 5
2 3
Número de columna+Número de renglón
4) El determinante obtenido (el menor) se
multiplica por el elemento y se pone como
signo -1
En este caso
![Page 289: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/289.jpg)
5 3 3
3 1 0
4 2 3
5) Se hace lo mismo con todos los
elementos del renglón escogido.
![Page 290: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/290.jpg)
1 1 1 2 1 3
5 3 3
3 1 0
4 2 3
1 0 3 0 3 11 5 1 3 1 3
2 3 4 3 4 2
5 3 3 9 3 10 15 27 30 12
![Page 291: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/291.jpg)
1 1 1 2
1 3 1 4
0 3 4 2
1 0 2 2
1 3 2 1
3 2 3 1
0 2 2 1 2 2
1 0 3 2 1 1 3 1 2 1
2 3 1 3 3 1
1 0 2 1 0 2
1 4 1 3 1 1 2 1 3 2
3 2 1 3 2 3
1 2 2 1 2 2 1 0 2
3 1 2 1 4 1 2 1 2 1 3 2
3 3 1 3 3 1 3 2 3
![Page 292: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/292.jpg)
1 2 22 1 1 1 1 2
1 2 1 1 2 2 1 5 2 2 2 9 93 1 3 1 3 3
3 3 1
1 0 23 1 1 1 1 3
1 3 1 1 0 2 1 1 0 2 2 7 132 1 3 1 3 2
3 2 1
1 0 23 2 1 2 1 3
1 3 2 1 0 2 1 13 0 9 2 7 272 3 3 3 3 2
3 2 3
![Page 293: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/293.jpg)
1 1 1 2
1 3 1 4
0 3 4 2
1 0 2 2
1 3 2 1
3 2 3 1
0 2 2 1 2 2
1 0 3 2 1 1 3 1 2 1
2 3 1 3 3 1
1 0 2 1 0 2
1 4 1 3 1 1 2 1 3 2
3 2 1 3 2 3
3 9 4 13 2 27 25
![Page 294: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/294.jpg)
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
![Page 295: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/295.jpg)
![Page 296: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/296.jpg)
Un espacio vectorial es un conjunto en el que hay definidas
dos operaciones:
suma + y multiplicación por un escalar.
* Es cerrado respecto a las dos operaciones
* Existe el 0 respecto a la suma
* Exi
V
ste el inverso respecto a la suma
* Las operaciones son asociativas y distributivas
![Page 297: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/297.jpg)
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma de cerradura bajo la suma:
Axioma 1. Para cualesquiera dos elementos y en
corresponde un único elemento en llamado la suma
y denotado como
x y V
V
x y
![Page 298: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/298.jpg)
Axioma de cerradura bajo la multiplicación por un real:
Axioma 2. Para cualquier elementos en y para
cualquier escalar corresponde un único elemento
en llamado el producto de por y denotado
x V
a
V a x como ax
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 299: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/299.jpg)
Axioma 3. Conmutatividad de la suma
Para todos y en se tiene
x y V
x y y x
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 300: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/300.jpg)
Axioma 4. Asociatividad de la suma
Para todos , y en se tiene
x y z V
x y z x y z
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 301: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/301.jpg)
Axioma 5. Existencia del elemento 0
Hay un elemento en , denotado por 0, tal que
0 para todo en
V
x x x V
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 302: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/302.jpg)
Axioma 6. Existencia del negativo
Para todo elemento en , el elemento 1 tiene la
propiedad
1 0
x V x
x x
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 303: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/303.jpg)
Axioma 7. Asociatividad en la multiplicación por
un escalar
Para todo en y para todos los escalares
y , se tiene
x V
a b
a bx ab x
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 304: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/304.jpg)
Axioma 8. Distributividad en la multiplicación por un
escalar respecto a la suma en
Para todo y en y para todo escalar , se tiene
V
x y V a
a x y ax ay
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 305: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/305.jpg)
Axioma 9. Distributividad en la adición de escalares
Para todo en y para todos los escalares y ,
se tiene
x V a b
a b x ax bx
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 306: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/306.jpg)
Axioma 10. Existencia de la identidad
Para todo en , se tiene 1x V x x
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 307: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/307.jpg)
• Espacios vectoriales reales
• Espacio vectoriales complejos
A los números utilizados como multiplicadores se les denomina escalares. A los escalares los denotaremos por letras itálicas
A los elementos del espacio vectorial les llamaremos genéricamente vectores. A los vectores los denotaremos por letras itálicas con flecha arriba
![Page 308: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/308.jpg)
Sea el conjunto de todas las -adas de números reales.n nR
1 2 1 2
1 1 2 2 3
Para cualesquiera dos elementos
, ,..., y , ,..., de
definimos la suma como la -ada
, ,..., .
nn n
n
x x x x y y y y
x y n
x y x y x y x y
R
1 2
1 2
Para cualquier número real
y para cualquier -ada , ,..., de
definimos el producto por un número real
como la -ada
, ,...,
nn
n
r
n x x x x
rx
n
rx rx rx rx
R
![Page 309: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/309.jpg)
1)
2)
3)
4)
5) 0
6) 1 0
7)
8)
9)
10) 1
n
n
x y
rx
x y y x
x y z x y z
x x
x x
r sx rs x
rx ry r x y
rx sx r s x
x x
R
R
![Page 310: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/310.jpg)
: , continua
Matrices
nR
V f a b R f
M m n m n
![Page 311: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/311.jpg)
Sea el conjunto de funciones continuas definidas en el
intervalo , .
: , es continua en el intervalo
La suma y la multiplicación por un escalar son las usuales,
y ante bajo esas operaciones las
V
a b
V f a b R f
funciones siguen siendo
continuas, así que el conjunto es cerrado ante ambas
operaciones.
Las demás propiedades son triviales.
![Page 312: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/312.jpg)
El conjunto de matrices de un tamaño dado,
con componentes en los complejos ,
es un espacio vectorial
Matm n
C
C
![Page 313: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/313.jpg)
El cero 0 es único
El negativo, denotado como , es único
0 0
0 0
Si 0 entonces 0 ó 0
Si y 0, entonces
Si y 0, entonces
v
v
r
r v rv r v
rv r v
rv ru r v u
rv sv v r s
v
1
2 , 3 , y en general n
i
u v u v u
v v v v v v v v nv
![Page 314: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/314.jpg)
![Page 315: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/315.jpg)
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
![Page 316: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/316.jpg)
![Page 317: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/317.jpg)
Un espacio vectorial es un conjunto en el que hay definidas
dos operaciones:
suma + y multiplicación por un escalar.
* Es cerrado respecto a las dos operaciones
* Existe el 0 respecto a la suma
* Exi
V
ste el inverso respecto a la suma
* Las operaciones son asociativas y distributivas
![Page 318: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/318.jpg)
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma de cerradura bajo la suma:
Axioma 1. Para cualesquiera dos elementos y en
corresponde un único elemento en llamado la suma
y denotado como
x y V
V
x y
![Page 319: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/319.jpg)
Axioma de cerradura bajo la multiplicación por un real:
Axioma 2. Para cualquier elementos en y para
cualquier escalar corresponde un único elemento
en llamado el producto de por y denotado
x V
a
V a x como ax
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 320: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/320.jpg)
Axioma 3. Conmutatividad de la suma
Para todos y en se tiene
x y V
x y y x
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 321: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/321.jpg)
Axioma 4. Asociatividad de la suma
Para todos , y en se tiene
x y z V
x y z x y z
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 322: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/322.jpg)
Axioma 5. Existencia del elemento 0
Hay un elemento en , denotado por 0, tal que
0 para todo en
V
x x x V
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 323: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/323.jpg)
Axioma 6. Existencia del negativo
Para todo elemento en , el elemento 1 tiene la
propiedad
1 0
x V x
x x
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 324: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/324.jpg)
Axioma 7. Asociatividad en la multiplicación por
un escalar
Para todo en y para todos los escalares
y , se tiene
x V
a b
a bx ab x
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 325: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/325.jpg)
Axioma 8. Distributividad en la multiplicación por un
escalar respecto a la suma en
Para todo y en y para todo escalar , se tiene
V
x y V a
a x y ax ay
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 326: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/326.jpg)
Axioma 9. Distributividad en la adición de escalares
Para todo en y para todos los escalares y ,
se tiene
x V a b
a b x ax bx
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 327: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/327.jpg)
Axioma 10. Existencia de la identidad
Para todo en , se tiene 1x V x x
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
![Page 328: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/328.jpg)
• Espacios vectoriales reales
• Espacio vectoriales complejos
A los números utilizados como multiplicadores se les denomina escalares. A los escalares los denotaremos por letras itálicas
A los elementos del espacio vectorial les llamaremos genéricamente vectores. A los vectores los denotaremos por letras itálicas con flecha arriba
![Page 329: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/329.jpg)
![Page 330: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/330.jpg)
a
b
a b
![Page 331: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/331.jpg)
a
b
a b
![Page 332: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/332.jpg)
a
b
a b
a b
![Page 333: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/333.jpg)
El producto del escalar por el vector es
Es un vector cuya longitud es ,
tiene la misma dirección que ,
y el sentido es el de si >0
y el inverso que si 0
a
a
a
a
a
a
a a
![Page 334: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/334.jpg)
![Page 335: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/335.jpg)
Un conjunto
1,2,...,
de elementos de un espacio vectorial
es llamado independiente si cualquier
combinación lineal igual a cero implica
que todos los coeficientes son cero.
iS x i k
V
![Page 336: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/336.jpg)
1
Es decir, si
0
entonces necesariamente
0 para toda .
k
i ii
i
c x
c i
![Page 337: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/337.jpg)
1 2
1 2
Un conjunto de elementos de un espacio
vectorial es llamado dependiente si hay
un conjunto de elementos diferentes en ,
, ,...,
y un correspondiente conjunto de escalares
, ,...,
no todo
k
k
S
V
S
x x x
c c c
1
s cero, tales que
0k
i ii
c x
![Page 338: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/338.jpg)
1 2
1 2
Un conjunto de elementos de un espacio vectorial es llamado
dependiente si hay un conjunto de elementos diferentes en ,
, ,..., y un correspondiente conjunto de escalares
, ,..., no t
k
k
S V
S
x x x
c c c
1
odos cero, tales que 0k
i ii
c x
1
Sea 0, entonces
1
j
k
j i iiji j
c
x c xc
![Page 339: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/339.jpg)
1
1 2
Un conjunto de elementos de un
espacio vectorial es llamado
independiente si no es dependiente.
Es decir, 0
implica que
... 0
k
i ii
k
S
V
c x
c c c
![Page 340: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/340.jpg)
2Sea el espacio vectorial
¿Cómo es,
dependiente o independiente,
el conjunto 1,1 , 1,1 ?
V R
![Page 341: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/341.jpg)
1,1 1,1 0,0a b
2Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,1 , 1,1 ?
V R
![Page 342: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/342.jpg)
1,1 1,1 0,0
0
0
a b
a b
a b
2Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,1 , 1,1 ?
V R
![Page 343: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/343.jpg)
0
0
Unica solución:
0 y 0
a b
a b
a b
![Page 344: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/344.jpg)
1,1 1,1 0,0
0
0
0 y 0
a b
a b
a b
a b
2Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,1 , 1,1 ?
V R
![Page 345: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/345.jpg)
2Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,1 , 1,1 ?
linealmente independSo ie s n nte
V R
No hay forma de que una combinación lineal de ellos de cero
![Page 346: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/346.jpg)
3Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente,
el conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?
V R
![Page 347: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/347.jpg)
1) Tomamos una combinación lineal y la
igualamos a cero
1,0,0 0,1,0 0,0,1 0 0,0,0a b c
3Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?
V R
![Page 348: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/348.jpg)
3Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?
V R
1) Tomamos una combinación lineal y la
igualamos a cero
1,
¿Eso
0,0 0,1,0 0,0,1 0 0,0,0
qué implica?
, , 0,0,0a b c
a b c
![Page 349: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/349.jpg)
3Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?
V R
1) Tomamos una combinación lineal y la
igualamos a cero
1,0,0 0,1,0 0,0,1 0 0,0,0
¿Eso qué implica? , , 0,0,
Por tanto, a fuerza 0, 0, 0
0
a b c
a b c
a b c
![Page 350: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/350.jpg)
El conjunto
1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1
es linealmente INDEPENDIENTE
3Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?
V R
![Page 351: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/351.jpg)
3Sea el espacio vectorial
El conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1
es linealmente independiente
V R
No hay forma, sin hacerlos cero, que una combinación lineal de ellos se anule
![Page 352: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/352.jpg)
Sea el espacio vectorial de funciones continuas
definidas en el intervalo , .
: , es continua
Demostrar que las funciones
sin ,sin 2 ,sin3 ,...,sin
son linealmente independientes para todo
V
V f R f
t t t nt
n
1
![Page 353: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/353.jpg)
Sea el espacio vectorial de funciones continuas
definidas en el intervalo , .
Demostrar que las funciones sin ,sin 2 ,sin 3 ,...,sin
son linealmente independientes para todo 1
V
t t t nt
n
1
sin 0 ¿ ?n
k kk
a kt a
![Page 354: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/354.jpg)
1
sin 0n
kk
a kt
![Page 355: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/355.jpg)
1
1
sin 0
sin sin 0
n
kk
n
kk
a kt
lt a kt l n
![Page 356: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/356.jpg)
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin 0
n
kk
n
kk
n
kk
a kt
lt a kt l n
a lt kt l n
![Page 357: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/357.jpg)
1
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin 0
sin sin 0
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk
a kt
lt a kt l n
a lt kt l n
a lt kt dt l n
![Page 358: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/358.jpg)
1
1
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin 0
sin sin 0
sin sin 0
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk
a kt
lt a kt l n
a lt kt l n
a lt kt dt l n
a dt lt kt l n
![Page 359: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/359.jpg)
Si
sin sin
1cos s
c
in
1cos sin cos sin
1osc sos s coin
k l
lt kt dt
dlt kt dt
l dtd
lt kt lt kt dtl dt
klt lkt t t
lkt
ld
![Page 360: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/360.jpg)
cos cos
1sin cos
1 1sin cos sin cos
1sin cos sin sin
lt kt dt
dlt kt dt
l dtd
lt kt lt kt dtl l dt
klt kt lt kt dt
l l
![Page 361: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/361.jpg)
2
2
2
2 2
sin sin
1cos sin sin cos sin sin
Por lo tanto,
11 sin sin cos sin sin cos
lt kt dt
k klt kt lt kt lt kt dt
l l l
k klt kt dt lt kt lt kt
l l l
cos cos
1cos cos sin cos sin
1sin s
sin
in cos sin lt kt dtk
lt kt dt l
klt kt dt lt kt lt kt dt
l l
t ktl l
![Page 362: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/362.jpg)
2
2 2
2 2
1cos sin sin cos
sin sin1 /
Por tanto, si
cos sin sin cossin sin
l lt kt k lt ktlt
klt kt lt kt
l llt kt dtk l
k
ktk l
l
dt
2
2 2
11 sin sin cos sin sin cos
k klt kt dt lt kt lt kt
l l l
![Page 363: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/363.jpg)
2 2
2 2
2 2
sin sin
cos sin sin cos
cos sin sin cos
cos sin sin cos
lt kt dt
l lt kt k lt kt
k l
l l k k l k
k ll l k k l k
k l
2 2
cos sin sin cossin sin
l lt kt k lt ktlt kt dt
k l
![Page 364: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/364.jpg)
2 2
2 2
2 2
2 2
sin sin
cos sin sin cos
cos sin sin cos
cos sin sin cos
cos sin sin cos
lt kt dt
l l k k l k
k ll l k k l k
k ll l k k l k
k ll l k k l k
k l
![Page 365: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/365.jpg)
2 2
1
sin sin
cos sin sin cos2
Como
sin 0 y cos 1
para entero,
sin sin 0
k
lt kt dt
l l k k l k
k l
k k
k
lt kt dt
![Page 366: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/366.jpg)
2
Si
sin
1cos sin
1cos sin cos sin
1cos sin cos cos
k l
kt dt
dkt kt dt
k dtd
kt kt kt kt dtk dt
kt kt kt kt dtk
![Page 367: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/367.jpg)
2 2
2
2
Si
1sin cos sin cos
1cos sin sin
1sin cos sin
2 2
k l
kt dt kt kt kt dtk
kt kt dt kt dtk
tkt dt kt kt
k
![Page 368: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/368.jpg)
2
2
1sin cos sin
2 2
1cos sin
2 2 2 2
Por tanto,
sin
kt dt k kk
k kk
kt dt
2 1sin cos sin
2 2
tkt dt kt kt
k
![Page 369: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/369.jpg)
sin sin
, enteros mayores o iguales a 1
kllt kt dt
k l
Delta de Kronecker:
1 si
0 si
kl
kl
k l
k l
![Page 370: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/370.jpg)
1
1
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin 0
sin sin 0
sin sin 0
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk
a kt
lt a kt l n
a lt kt l n
a lt kt dt l n
a dt lt kt l n
![Page 371: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/371.jpg)
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin
n
kk
n
kk
kl
a kt
a dt lt kt l n
dt lt kt
![Page 372: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/372.jpg)
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin
0
n
kk
n
kk
kl
n
k klk
a kt
a dt lt kt l n
dt lt kt
a l n
![Page 373: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/373.jpg)
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin
0
0
n
kk
n
kk
kl
n
k klk
l
a kt
a dt lt kt l n
dt lt kt
a l n
a l n
![Page 374: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/374.jpg)
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin
0
0
0
n
kk
n
kk
kl
n
k klk
l
l
a kt
a dt lt kt l n
dt lt kt
a l n
a l n
a l n
![Page 375: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/375.jpg)
Sea el espacio vectorial de funciones continuas
definidas en el intervalo , .
: , es continua
Las funciones
sin ,sin 2 ,sin3 ,.
son linealmente indep
..,si
endie
n
para nt te ds o o 1
V
V f R f
t t t nt
n
![Page 376: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/376.jpg)
¿Cómo es el conjunto 2,3 , 1, 1 ?
2,3 1, 1 0,0
2 1,3 0,0
2 0
3 0
Solución al sistema:
2 12 3 1 0
3 1
La única solución e
ES LINEALMENTE INDEPEN
s
D TE
0
IEN
r s
r r s
r s
r s
r s
![Page 377: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/377.jpg)
¿Cómo es el conjunto ,3,0 , , 1,2 , 2, 2 ,4 ?
,3,0 , 1,2 2, 2 ,4 0,0,0
2 ,3 2 ,2 4 0,0
2 0
3 2 0
2 4 0
i i i i
a i b i c i i
ia ib c a b ic b ic
ia ib c
a b ic
b ic
![Page 378: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/378.jpg)
2 0
3 2 0
2 4 0
2
3 1 2
0 2 4
21 2 3 2 3 1
3 1 2 22 4 0 4 0 2
0 2 4
0 12 2 6 0 12 12 0
ia ib c
a b ic
b ic
i i
i
i
i ii i
i i ii i
i
i i i
![Page 379: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/379.jpg)
2 0
3 2 0
2 4 0
Ya sabemos que el sistema de ecuaciones
tiene soluciones diferentes de la trivial,
por lo tanto, el conjunto
,3,0 , , 1,2 , 2, 2 ,4
LINEALMENTE DEPes ENDIE NTE
ia ib c
a b ic
b ic
i i i i
![Page 380: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/380.jpg)
32
1
,2 3 1 2 2
2 1 1 2
3 1 2 3 1 2
0 2 4 0 2 4
1 1 2 1 1 2
0 2 4 0 1 2
0 2 4 0 1 2
R i
RRR R
i i i
i i
i i
i i
i i
i i
2 0
3 2 0
2 4 0
ia ib c
a b ic
b ic
![Page 381: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/381.jpg)
3 2 1 2
2 1 1 2
3 1 2 0 1 2
0 2 4 0 1 2
1 1 2 1 0 0
0 1 2 0 1 2
0 0 0 0 0 0
R R R R
i i i
i i
i i
i
i i
2 0
3 2 0
2 4 0
ia ib c
a b ic
b ic
![Page 382: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/382.jpg)
2 0 1 0 0
3 2 0 0 1 2
2 4 0 0 0 0
0
2 0
0
0 2
0
ia ib c
a b ic i
b ic
a
b ic
a b ic
![Page 383: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/383.jpg)
2 3 4
Sea el espacio vectorial de funciones
continuas en . Es decir,
: es continua
El conjunto
1, , , , ,..., 1
es linealmente independiente
n
V
R
V f R R f
x x x x x n
![Page 384: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/384.jpg)
![Page 385: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/385.jpg)
Dado un conjunto 1,2,...,
de elementos de un espacio vectorial ,
al conjunto de vectores que se obtienen
como combinaciones lineales de los
elementos de se le llama espacio
generado por .
iS x i k
V
S
S
![Page 386: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/386.jpg)
1
1,2,...,i
k
i ii
S x i k V
v V v a x
![Page 387: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/387.jpg)
2¿Qué espacio genera el conjunto 1,1 en ?R
![Page 388: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/388.jpg)
![Page 389: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/389.jpg)
Una base de un espacio vectorial es
un conjunto de vectores linealmente
independientes que genera el espacio.
![Page 390: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/390.jpg)
Es decir, todo elemento del
espacio vectorial se puede
escribir como una combinación
lineal de los elementos de la base.
![Page 391: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/391.jpg)
1 2
1
2
ˆ ˆ ˆAl conjunto de vectores , ,...,
definidos como
ˆ 1,0,0,...,0
ˆ 0,1,0,0,...,0
.
.
.
ˆ 0,0,0,...,1
se le llama base natural de ,
ya que todo vector se puede representar de manera única como
n
n
n
e e e
e
e
e
x x
R
1 1 2 2ˆ ˆ ˆ... n ne x e x e
![Page 392: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/392.jpg)
![Page 393: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/393.jpg)
La dimensión de un espacio
vectorial es el número de
elementos en cualquiera de
sus bases.
![Page 394: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/394.jpg)
•Un espacio vectorial tiene dimensión
finita si tiene una base con un número
finito de vectores.
•En un espacio de dimensión finita
todas las bases tienen el mismo
número de elementos.
![Page 395: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/395.jpg)
![Page 396: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/396.jpg)
Sea un subconjunto no vacío
de un espacio vectorial .
Si es también un espacio
vectorial con las mismas
operaciones de suma y de
multiplicación por un escalar,
entonces es un subespacio de
S
V
S
S V
![Page 397: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/397.jpg)
Teorema
Sea un subconjunto no vacío
de un espacio vectorial .
Entonces es un subespacio de
si y sólo si satisface los
axiomas de cerradura.
S
V
S
V S
![Page 398: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/398.jpg)
![Page 399: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/399.jpg)
,
V
V
x y
V
Sea un espacio vectorial sobre los
complejos.
Se dice que tiene un producto escalar
ó producto interno ó producto punto,
si para cualesquiera dos elementos
en se asocia un número complejo
único , .x y
![Page 400: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/400.jpg)
, ,
, ,
,
, ,
x y V x y
x y z V
c
x y y x
en se asocia un número complejo único .
Esta asignación tiene las siguientes propiedades:
Para cualesquiera
y para cualquier escalar
1)
C
2) , , ,
3) , ,
4) , 0 0
x y z x y x z
cx y c x y
x x x
Simetría hermitiana
Distributividad o linealidad
Asociatividad o homogeneidad
si Positividad
![Page 401: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/401.jpg)
Un espacio vectorial real que tiene definido un producto escalar es llamado
ESPACIO EUCLIDIANO REAL
![Page 402: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/402.jpg)
Un espacio vectorial complejo que tiene definido un producto escalar es llamado
ESPACIO EUCLIDIANO COMPLEJO O ESPACIO UNITARIO
![Page 403: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/403.jpg)
Normalmente se dice
ESPACIO EUCLIDIANO
y punto, independientemente del campo sobre el cual esté definido.
![Page 404: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/404.jpg)
El espacio vectorial con el producto punto
usual, es un espacio euclidiano
nR
1
,
,
Es obvio que este producto escalar satisface las
condiciones necesarias. Haganlo como ejercicio.
n
n
i ii
x y R
x y x y x y
![Page 405: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/405.jpg)
Si llamamos al ángulo que hacen los vectores
y ,
se define el producto escalar (interno ó punto)
como
cos cos
a b
a b a b ab
a
b
![Page 406: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/406.jpg)
Lo podemos ver como
cos cos
Es la proyección de uno de los dos en el otro,
por la magnitud de ese otro
a b a b b a
a
b
![Page 407: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/407.jpg)
cos cos
Es la proyección de uno de los dos en el otro,
por la magnitud de ese otro
a b a b b a
a
b
a
cos cosp
p aa
p
![Page 408: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/408.jpg)
![Page 409: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/409.jpg)
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
![Page 410: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/410.jpg)
![Page 411: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/411.jpg)
,
V
V
x y
V
Sea un espacio vectorial sobre los
complejos.
Se dice que tiene un producto escalar
ó producto interno ó producto punto,
si para cualesquiera dos elementos
en se asocia un número complejo
único , .x y
![Page 412: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/412.jpg)
, ,
, ,
,
, ,
x y V x y
x y z V
c
x y y x
en se asocia un número complejo único .
Esta asignación tiene las siguientes propiedades:
Para cualesquiera
y para cualquier escalar
1)
C
2) , , ,
3) , ,
4) , 0 0
x y z x y x z
cx y c x y
x x x
Simetría hermitiana
Distributividad o linealidad
Asociatividad o homogeneidad
si Positividad
![Page 413: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/413.jpg)
21 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
, ,
, 2
x x x y y y
x y x y x y x y x y
Dados y en ,
se define el producto escalar como
R
![Page 414: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/414.jpg)
21 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
, ,
, 2
x x x y y y
x y x y x y x y x y
Dados y en , se define
el producto escalar como
R
1 1 1 2 2 1 2 2
1 1 2 1 1 2 2 2
, 2
2 ,
Propiedad 1
x y x y x y x y x y
y x y x y x y x y x
![Page 415: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/415.jpg)
1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2
1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2
, 2
2 2
2 2
, ,
Propiedad 2
x y z x y z x y z x y z x y z
x y x z x y x z x y x z x y x z
x y x y x y x y x z x z x z x z
x y x z
21 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
, ,
, 2
Dados y en , se define
el producto escalar como
x x x y y y R
x y x y x y x y x y
![Page 416: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/416.jpg)
1 1 1 2 2 1 2 2
1 1 1 2 2 1 2 2
1 1 1 2 2 1 2 2
, 2
2
2 ,
Propiedad 3
cx y cx y cx y cx y cx y
cx y cx y cx y cx y
c x y x y x y x y c x y
21 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
, ,
, 2
Dados y en , se define
el producto escalar como
x x x y y y R
x y x y x y x y x y
![Page 417: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/417.jpg)
2 21 1 2 2 1 2
22 2 21 1 2 2 1 1 2
, 2
2 2 0
0
Propiedad 4
si
x x x x x x x x
x x x x x x x
x
21 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
, ,
, 2
Dados y en , se define
el producto escalar como
x x x y y y R
x y x y x y x y x y
![Page 418: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/418.jpg)
Este ejemplo muestra que un mismo espacio
vectorial puede haber más de un producto
escalar.
21 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
, ,
, 2
Dados y en , se define
el producto escalar como
x x x y y y R
x y x y x y x y x y
![Page 419: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/419.jpg)
, : ,
,b
a
C a b f a b R R f
f g f t g t dt
es continua
, ,
Propiedad 1b b
a a
f g f x g x dx g x f x dx g f
![Page 420: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/420.jpg)
,
, ,
Propiedad 2b
a
b
a
b b
a a
f g h f x g x h x dx
f x g x f x h x dx
f x g x dx f x h x dx f g f h
, : ,
,b
a
C a b f a b R R f
f g f t g t dt
es continua
![Page 421: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/421.jpg)
,
,
Propiedad 3b b
a a
b
a
cf g cf x g x dx cf x g x dx
c f x g x dx c f g
, : ,
,b
a
C a b f a b R R f
f g f t g t dt
es continua
![Page 422: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/422.jpg)
2, 0 0
, 0 0
Propiedad 4
si
y
si
b b
a a
f f f x f x dx f x dx f
f f f
, : ,
,b
a
C a b f a b R R f
f g f t g t dt
es continua
![Page 423: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/423.jpg)
, : ,
,
0
, .
b
a
C a b f a b R R f
f g w t f t g t dt
w t
C a b
es continua
donde es una función positiva
en
![Page 424: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/424.jpg)
, expb
a
f g t f t g t dt
En el espacio de todos los
polinomios reales, con
![Page 425: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/425.jpg)
2, , ,
V
x y x x y y
x y V
x y
En un espacio euclidiano , todos los productos
escalares satisfacen la desigualdad de
Cauchy-Schwarz
para todos los y en
La igualdad se cumple si y sólo si y son
dependientes.
![Page 426: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/426.jpg)
1/ 2,
.
V
x x x
x
En un espacio euclidiano ,
se define el número no negativo
y es llamado la norma de
![Page 427: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/427.jpg)
0 0
0 0
0, 0
En un espacio euclidiano , todas las normas
tienen las siguientes propiedades:
(a) si
(b) si
(c)
(d)
La igualdad se cumple si si o si
para alguna
V
x x
x x
cx c x
x y x y
x y y cx
c
![Page 428: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/428.jpg)
, ,
0,
,cos
En un espacio euclidiano , el ángulo entre
dos elementos no nulos, se define como el
número en el intervalo que satisface la
ecuac
re
ión
al
V
x y
x y
x y
![Page 429: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/429.jpg)
,V
(a) dos elementos son ortogonales si
su
En un
produc
espacio euclidiano
to escalar es cero
![Page 430: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/430.jpg)
,
,
0S V x y
S
V
(a) dos elementos son ortogonales si su
producto escalar es
(b) es llamado ortogonal si para
todo par
En un espacio eucl
de elementos disti
cer
nto
i
s
diano
en
o
![Page 431: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/431.jpg)
, 0
,V
V
S
S
S y
V
x
(a) dos elementos son ortogonales si su
producto escalar es cero
(b) es llamado ortogonal si para
todo par de elementos distin
(c
En un espacio euclidiano
) es llamado orto
tos
nor
en
mal si además de ser
ortogonal, todos sus elementos tienen norma 1
![Page 432: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/432.jpg)
,V
S
En un espacio euclidiano
todo conjunto ortogonal
de elementos no nulos,
es independiente.
![Page 433: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/433.jpg)
,V SEn un espacio euclidiano todo conjunto ortogonal
de elementos no nulos, es independiente.
1 1 1 1
1
0 , , ,
, , 0
, 0 0 .
n n n n
i i j i i j i i i j ii i i i
n
i i i ij j j ji
j j j
c x x c x x c x c x x
c x x c x x
S
x x c j
como todos los vectores en son no nulos,
y necesariamente para todo
![Page 434: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/434.jpg)
2
0
0 1 2
0 2 1 2
0,2 : 0,2
,
, , ,...
1, cos , sin ,n n
C f R f
f g f x g x dx
S u u u
u x u x nx u x nx
En el espacio euclidiano real
es continua
donde el producto escalar es
sea el conjunto de funciones trigonométricas
dadas como
1,2,3,...n
![Page 435: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/435.jpg)
0
2 1
2
1
cos
sin
1,2,3,...
n
n
u x
u x nx
u x nx
n
¿Cuáles son los ángulos entre los
elementos del conjunto?
![Page 436: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/436.jpg)
sin sin
1sin sin sin cos
1 1sin cos sin cos
1sin cos cos cos
mx nx dx
dmx nx dx mx nx dx
n dxd
mx nx mx nx dxn n dx
mmx nx mx nx dx
n n
![Page 437: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/437.jpg)
cos cos
1cos cos cos sin
1 1cos sin cos sin
1cos sin sin sin
mx nx dx
dmx nx dx mx nx dx
n dxd
mx nx mx nx dxn n dx
mmx nx mx nx dx
n n
![Page 438: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/438.jpg)
2
2
2
2 2
1sin sin sin cos cos cos
1cos cos cos sin sin sin
1sin sin sin cos cos sin
sin sin
cos sin sin cossin sin
mmx nx dx mx nx mx nx dx
n nm
mx nx dx mx nx mx nx dxn n
mmx nx dx mx nx mx nx
n n
mmx nx dx
n
m mx nx n mx nxmx nx dx
n m
![Page 439: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/439.jpg)
22
2 200
2 2
2 2
cos sin sin cossin sin
cos2 sin 2 sin 2 cos2
cos2 sin 2 sin 2 cos2
0
m mx nx n mx nxmx nx dx
n m
m m n n m n
n mm m n n m n
n m
![Page 440: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/440.jpg)
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
sin 0
cos 0
sin sin 0
cos cos 0
sin cos 0
nx dx
nx dx
mx nx dx
mx nx dx
mx nx dx
0
2 1
2
1
cos
sin
1,2,3,...
n
n
u x
u x nx
u x nx
n
![Page 441: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/441.jpg)
2
0
, 0Si
Por tanto, es un conjunto ortogonal.
Como todos los miembros de son
diferentes de cero, entonces es un
conjunto independiente.
m m m nm n u u u x u x dx
S
S
S
![Page 442: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/442.jpg)
0 0 0 0
22 1 2 1
22 2
, 2
, cos
, sin
n n
n n
u u u x u x dx dx
u u nxdx
u u nxdx
2 2
0 0
2
0
2
0
Respecto a las normas:
![Page 443: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/443.jpg)
0 1 2
0 2 1
2
, , ,...
11/ 2 , cos ,
1sin , 1,2,3,...
Por tanto, el conjunto de funciones
trigonométricas
dadas como
es un conjunto ortonormal.
n
n
S
x u x nx
u x nx n
![Page 444: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/444.jpg)
,
,
V
n
S
n
En un espacio euclidiano
de dimensión finita
todo conjunto ortogonal
de elementos no nulos,
es una base.
![Page 445: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/445.jpg)
Una base ortonormal de
un espacio vectorial es un
conjunto de vectores
ortonormales, que genera
el espacio.
![Page 446: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/446.jpg)
3
ˆˆ ˆ, ,
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0
ˆˆ ˆ2) 1
ˆˆ ˆ3) , ,
R
i j k
i j j k i k
i j k
x y z xi yj zk
En el espacio euclidiano , con el producto
escalar "usual", la base
es una base ortonormal.
1)
![Page 447: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/447.jpg)
1
1
,
ˆ ˆ,..., .
ˆ
ˆ,1,2,...,
ˆ ˆ,
Sea espacio euclidiano de dimensión finita
y sea una base ortogonal de
Todo elemento de se puede escribir como
donde para
n
n
i ii
j
j
j j
V n
S e e V
V
x c e
x ec j n
e e
![Page 448: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/448.jpg)
1
1 1 1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,
ˆ,1,2,...,
ˆ ˆ,
n
i ii
n n n
j j i i i j i i i i ij j j ji i i
j
j
j j
x c e
e x e c e c e e c e e c e e
x ec j n
e e
por tanto,
para
![Page 449: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/449.jpg)
1
1
,
ˆ ˆ,..., .
ˆ
ˆ, 1,2,...,
Sea espacio euclidiano de dimensión finita
y sea una base de
Todo elemento de se puede escr
ortonormal
ibir como
donde para
n
n
i ii
j j
V n
S e e V
V
x c e
c x e j n
![Page 450: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/450.jpg)
1
1
*
1
,
ˆ ˆ,..., .
ˆ ˆ, , ,
,
n
n
i ii
n
i ii
V n
S e e V
x y x e y e
x y x y
Sea espacio euclidiano de dimensión finita
y sea una ortonormabase de
Es deci
l
r,
![Page 451: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/451.jpg)
1
1
22 2
1 1
,
ˆ ˆ,..., .
ˆ ˆ, , ,
,
ˆ,
n
n
i ii
n n
i ii i
V n
S e e V
x y x e y e
x y
x x e x
Sea espacio euclidiano de dimensión finita
y sea una base de
En particular, si
ortonorma
se tiene
l
![Page 452: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/452.jpg)
![Page 453: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/453.jpg)
* Todo espacio vectorial de dimensión finita tiene
una base finita.
* En un espacio euclidiano siempre se puede
construir una base ortogonal, y por lo tanto
también una ortonormal
* El proceso de construcción es llamado
proceso de ortogonalización de Gram y
Schmidt
![Page 454: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/454.jpg)
1 2
1
, ,...
,
,...,
Sea una sucesión, finita o infinita, de
elementos en un espacio euclidiano
y denotemos por el subespacio
generado por los primeros elementos de la
sucesión.
Existe entonces una su
k
x x
V
L x x
k
1 2 3, , ,...
cesión de elementos
de que para todo entero tiene
las siguientes propiedades:
y y y V k
![Page 455: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/455.jpg)
1 2 1
1 2
1 2
1 2 1 2
, ,..., .
, ,...,
, ,..., :
, ,..., , ,...,
(a) El elemento es ortogonal a todos los elementos del
subespacio
(b) El subespacio generado por es el mismo que
el generado por
(
k
k
k
k
k k
y
L y y y
y y y
x x x
L y y y L x x x
1 2 3
1 2 3
, , ,...
, , ,...
c) La sucesión de elementos de es única, a
no ser por un factor escalar. Es decir, si es otra
sucesión de elementos de que satisface las propiedades
(a) y (b) para todo
y y y V
y y y
V
k
.
, entonces para cada hay un escalar
tal que k k k k
k
c y c y
![Page 456: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/456.jpg)
1 1
11 1
1
,
,
1,2,3,..., 1
rr i
r r ii i i
y x
x yy x y
y y
r k
para todo
![Page 457: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/457.jpg)
1 2
2 11 2 2 1
1 1
2
1 2
1 2
1
(1,1) 2,3
,1,1
,
1,1 2,3 5 12,3 1,1 2,3 1,1 1,1
1,1 1,1 2 2
1, 1,1 1,1 0
2
2 1/ 2
1ˆ ˆ1,1
2
x x
x yy y x y
y y
y
y y
y y
y y
2
11,1
2
![Page 458: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/458.jpg)
2 1 2 1 2 1 12 2 1 2 1 22
1 1 1 11
2 2 2 1
1 1 2
2
2
, cos cos
,
ˆcos
1ˆ1,1 1,1 2,3
2
13 arctan 3/ 2 arctan 1/1 0.983 / 4 0.198
cos 0.98
cos 3.53
2,3 3.53 1,1 / 2 0.5,0.5
x y x y x y yy x y x y x
y y y yy
y x x y
y y x
x
x
![Page 459: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/459.jpg)
1,1
2,3
![Page 460: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/460.jpg)
![Page 461: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/461.jpg)
![Page 462: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/462.jpg)
![Page 463: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/463.jpg)
1 2 3
1
2 12 2 1
1 1
2
2
(1,1,1) 2,3,0 1,1,1
(1,1,1)
,
,
2,3,0 1,1,1 52,3,0 1,1,1 2,3,0 1,1,1
1,1,1 1,1,1 3
11,4, 5
3
x x x
y
x yy x y
y y
y
y
![Page 464: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/464.jpg)
3 1 3 23 3 1 2
1 1 2 2
3
3
, ,
, ,
11,1,1 1,4, 51,1,1 1,1,1 131,1,1 1,1,1 1,4, 5
1 11,1,1 1,1,1 31,4, 5 1,4, 53 3
2 /31 11,1,1 1,1,1 1,4, 5
3 14 /3 31 1
1,1,1 1,1,1 1,4, 53 21
33,2,1
7
x y x yy x y y
y y y y
y
y
![Page 465: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/465.jpg)
1 2 3
1 2 3
1 2
1 3
2 3
(1,1,1) 2,3,0 1,1,1
1 31,1,1 1,4, 5 3,2,1
3 7
1, 1,1,1 1,4, 5 0
33
, 1,1,1 3,2,1 07
1 3( , ) 1,4, 5 3,2,1 0
3 7
x x x
y y y
y y
y y
y y
![Page 466: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/466.jpg)
![Page 467: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/467.jpg)
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
![Page 468: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/468.jpg)
![Page 469: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/469.jpg)
* Todo espacio vectorial de dimensión finita tiene
una base finita.
* En un espacio euclidiano siempre se puede
construir una base ortogonal, y por lo tanto
también una ortonormal
* El proceso de construcción es llamado
proceso de ortogonalización de Gram y
Schmidt
![Page 470: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/470.jpg)
1 2
1
, ,...
,
,...,
Sea una sucesión, finita o infinita, de
elementos en un espacio euclidiano
y denotemos por el subespacio
generado por los primeros elementos de la
sucesión.
Existe entonces una su
k
x x
V
L x x
k
1 2 3, , ,...
cesión de elementos
de que para todo entero tiene
las siguientes propiedades:
y y y V k
![Page 471: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/471.jpg)
1 2 1
1 2
1 2
1 2 1 2
, ,..., .
, ,...,
, ,..., :
, ,..., , ,...,
(a) El elemento es ortogonal a todos los elementos del
subespacio
(b) El subespacio generado por es el mismo que
el generado por
(
k
k
k
k
k k
y
L y y y
y y y
x x x
L y y y L x x x
1 2 3
1 2 3
, , ,...
, , ,...
c) La sucesión de elementos de es única, a
no ser por un factor escalar. Es decir, si es otra
sucesión de elementos de que satisface las propiedades
(a) y (b) para todo
y y y V
y y y
V
k
.
, entonces para cada hay un escalar
tal que k k k k
k
c y c y
![Page 472: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/472.jpg)
1 1
11 1
1
,
,
1,2,3,..., 1
rr i
r r ii i i
y x
x yy x y
y y
r k
para todo
![Page 473: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/473.jpg)
1
1
0 1 2
, ,
, , ,... .
,
En el espacio euclidiano de todos los polinomios reales,
con el producto escalar considera
la sucesión donde
Es claro, que esta sucesión no es ortogonal, ya que
nn
n m
x y x t y t dt
x x x x t t
t t
11 1 11
1 1 1
11 1
1 1
1 , 0,
21 , 0
1
Si es par entonces pero si
es impar entonces
n mn mn m n m
n m
n m
tt t dt t dt
n m n m
n m t t
n m t tn m
![Page 474: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/474.jpg)
0 0
1 01 1 0
0 0
1 1
0 0 1 0
1 1
1 1 0 1
1
1
,
,
, 2 , 0
0
2
Llevemos ahora a cabo el proceso de ortogonalización.
y t x t
x yy t x t y t
y y
y y dt x y tdt
y t x t y t x t t
y t t
![Page 475: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/475.jpg)
2 0 2 12 2 0 1
0 0 1 1
1 12 2
1 1 2 0
1 1
13
2 1
1
2 2 0 1 2 0
22
, ,
, ,
2 2, ,
3 3
, 0
2 /3 0 1
2 2 /3 31
3
x y x yy t x t y t y t
y y y y
y y t dt x y t dt
x y t dt
y t x t y t y t x t y t
y t t
![Page 476: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/476.jpg)
33
4 24
5 35
2
3
56 3
7 3510 5
9 21...
!1
2 !
Y así sucesivamente
nn
n n
y t t t
y t t t
y t t t t
n dy t t
n dt
![Page 477: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/477.jpg)
22
2 ! 11
2 !2 !
Polinomios de Legendre
nn
n n n nn
n dP t y t t
n dtn
![Page 478: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/478.jpg)
![Page 479: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/479.jpg)
De manera intuitiva podemos decir
que una función es una relación
entre dos magnitudes, de tal manera
que a cada valor de la primera le
corresponde un único valor de la
segunda.
![Page 480: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/480.jpg)
Conjunto de seres humanos
![Page 481: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/481.jpg)
Conjunto de seres humanos
![Page 482: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/482.jpg)
Conjunto de seres humanos
A cada ser humano se le asocia su padre biológico
Conjunto de seres humanos
![Page 483: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/483.jpg)
Conjunto de seres humanos
A cada ser humano se le asocia su padre biológico
• Todo elemento del dominio tiene asociado un único elemento del contradominio. Todo ser humano tiene un único padre biológico
• No todo elemento del contradominio tiene asociado un elemento del dominio. No todo ser humano es un padre biológico
Conjunto de seres humanos
![Page 484: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/484.jpg)
Sean y dos conjuntos arbitrarios.
Una función de en es una asociación entre elementos
de y donde a todos y cada uno de los elementos de
se les asocia un único elemento de .
El conjunto
A B
A B
A B A
B
A se llama de la función.
Al conjunto
dominio
codominio se le cdenomina ontradom io .nioB
![Page 485: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/485.jpg)
• Todos los elementos del dominio tiene que
tener asociado un elemento del
contradominio
• A un elemento del dominio se le asociara un
único elemento del contradominio
• Elementos del contradominio pueden tener
asociados más de un elemento del dominio
![Page 486: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/486.jpg)
Es el conjunto de todos los valores posibles que puede
tomar la función.
También se le llama imagen del dominio bajo la función.
Dada la función : el rango de , es el conjunto
Rango de : para
f A B f
f x B x f a
alguna
Evidentemente el rango de es un subconjunto del
contradominio:
El rango de Rango de Contradominio de
a A
f
f f
![Page 487: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/487.jpg)
ab
cd
e
![Page 488: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/488.jpg)
ab
cd
e
Dominio
![Page 489: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/489.jpg)
ab
cd
e
Dominio
Codominio
![Page 490: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/490.jpg)
ab
cde
DominioCodominio
Rango
![Page 491: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/491.jpg)
![Page 492: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/492.jpg)
A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio
![Page 493: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/493.jpg)
A
parcial
nabla
raiz
existe
B
![Page 494: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/494.jpg)
Aparcial
nabla
raiz
existe
B
El elemento en no tiene ningún elemento
asociado en
A
B
![Page 495: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/495.jpg)
Definimos una función de x en y como
toda aplicación (regla, criterio
perfectamente definido), que a un
número x (variable independiente), le
hace corresponder un número y (y solo
uno llamado variable dependiente).
![Page 496: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/496.jpg)
Se llama función real de variable real a
toda aplicación f de un subconjunto no
vacío D de R en R
Una función real está definida, en general, por una ley o
criterio que se puede expresar por una fórmula matemática.
La variable x recibe el nombre de variable independiente y la
y ó f(x) variable dependiente o imagen.
![Page 497: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/497.jpg)
![Page 498: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/498.jpg)
Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.Su rango es también un subconjunto de los reales.
![Page 499: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/499.jpg)
El subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f).
Nota El dominio de una función puede estar limitado por:
1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.
2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.
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: 3 2
Su dominio son todos los números reales
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
Su rango son todos los números reales
f R R y f x x
![Page 501: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/501.jpg)
: 3 2f R R y f x x
x f(x)
0 2
1 5
-1 -1
2 8
-2 -4
3 11
-3 -7
4 14
-4 -10
5 17
-5 -13
x f(x)
0.10 2.30
1.76 7.28
-3.45 -8.35
8.97 28.91
2.34 9.02
13.33 41.99
1.41 6.23
16.77 52.31
-44.44 -131.32
0.01 2.03
-123.00 -367.00
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: exp
Su dominio son todos los números reales
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
Su rango son todos los números reales
positivos
xf R R y x e
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exp : exp xR R y x e x f(x)
0.10 1.1051709
11.88 144,350.5506832
-3.45 0.0317456
8.97 7,863.6016055
2.34 10.3812366
13.33 615,382.9278900
6.99 1,085.7214762
-91.23 0.0000000
2.22 9.2073309
0.50 1.6487213
-12.45 0.0000039
x f(x)
0.00 1.000
1.00 2.718
-1.00 0.368
2.00 7.389
-2.00 0.135
3.00 20.086
-3.00 0.050
4.00 54.598
-4.00 0.018
5.00 148.413
-5.00 0.007
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log : (0, ) ln
Su dominio son todos los números reales
positivos, ya que no existen el logaritmo de
un número negativo
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
Su rango son todos l
R y x
os números reales
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log : (0, ) lnR y x
x ln(x) x ln(x)
0.10 -2.303 0.01 -4.605
0.20 -1.609 0.02 -3.912
0.30 -1.204 0.03 -3.507
0.40 -0.916 0.04 -3.219
0.50 -0.693 0.05 -2.996
0.60 -0.511 0.06 -2.813
0.70 -0.357 0.07 -2.659
0.80 -0.223 0.08 -2.526
0.90 -0.105 0.09 -2.408
1.00 0.000 0.10 -2.303
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2
Definición
La gráfica de la función es el lugar geométrico
de los puntos del plano cuyas coordenadas
satisfacen la ecuación ( )
, ,
f
y f x
G x y R x f x
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: 3 2f R R y f x x
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exp : exp xR R y x e
![Page 509: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/509.jpg)
log : (0, ) lnR y x
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: R R y x
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1 1 2 2
s 1 2 1 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
y
Se llama función suma de ambas, a la función:
Análogamente podemos definir la funci
y f (x) y f (x).
y y y f (x) f (x).
d 1 2 1 2
ón diferencia como
El dominio de definición de la función suma, y también el de la
función diferencia será la intersección de los dominios de ambas
funciones.
y y y f (x) f (x)
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1 1 2 2
p 1 2 1 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
( ) ( ).
Se llama función producto de ambas, a la función:
( ) ( )
Análogamente a lo que o
y f x y y f x
y y y f x f x
curre con las funciones suma y diferencia,
el dominio de definición de esta función vuelve aser la intersección
de los dominios.
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1 1 2
11C
2 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
( ) y ( ).
Se llama función cociente de ambas, a la función:
= =
El dominio de definic
y f x y f x
f xyy
y f x
2
ión de esta función es la intersección de los
dominios, menos todos los puntos que anulen a ( ), puesto que
serán puntos que anulen el denominador de dicha función.
f x
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Dadas dos funciones ( ), ( ),
se llama función compuesta
a la función
Para que exista la función compuesta es necesario
que el recorrido de la función quede totalmente
incluido en el
y f x z g y
g f
g f x g f x
f
dominio de la función .
Dominio Dom tales que Dom
g
g f x f f x g
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2
2
2
( ) 2 6, ( ) ,
La función compuesta es en este caso
2 6
El dominio de la función compuesta son aquellos
valores de para los que se cumple que
2 6 0
Esa desigualdad la resolvimo
y f x x x z g y y
g f x x x
x
x x
s (con >) y da
3Dominio y 2
2g f x R x x
![Page 516: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/516.jpg)
2
2
2
( ) , ( ) sin ,
La función compuesta es en este caso
sin
Es claro que el rango de la función queda totalmente
incluido en el dominio de la función sin .
Dominio
y f x x z g y y
g f x x
x
y
g f R
![Page 517: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/517.jpg)
1
1( ) , ( ) exp = ,
La función compuesta es en este caso
Dominio 0
y
x
y f x z g y y ex
g f x e
g f R
![Page 518: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/518.jpg)
Se llama función identidad a la función que le hace
corresponder a cada número real el propio número.
Se representa por ( ).
*El dominio de la función identidad
son todos los números reales
*El contradom
I x
inio o codominio de la función identidad
son todos los numeros reales
*El rango de la función identidad
son todos los números reales
![Page 519: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/519.jpg)
Gráfica de la función identidad
:I R R I x x
45
![Page 520: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/520.jpg)
Una función se dice
inyectiva o función uno a uno
si verifica que dos puntos
distintos no pueden tener
la misma imagen.
f
![Page 521: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/521.jpg)
Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica
que dos puntos distintos no pue
Una relación lineal (cualquier recta
den tener la mi
)
es inyectiva ó uno
sma ima
a uno
gen.
y mx b
f
![Page 522: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/522.jpg)
2
Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica
que dos puntos distintos no puede
Una relación cuadrática (una parábola)
es inyectiva ó uno a uno
n tener la misma imag
4
en
NO
.
y x
f
![Page 523: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/523.jpg)
1
1
Sea una función.
Llamamos función inversa (en caso de que exista)
a una función notada que verifica que
con ( ) la función identidad.
Para que exista la función inversa de es nec
y f(x)
f x
f f x I x
I x
f
esario
que la función sea inyectiva. f
![Page 524: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/524.jpg)
ln
La función exponencial
exp : exp
tiene como inversa a la función logaritmo
ln : ln
Como
ln
tenemos
ln exp
x
x x
R R y x e
R R y x
x e e
I
![Page 525: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/525.jpg)
![Page 526: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/526.jpg)
S SF
Es una función entre dos espacios vectoriales y S S
![Page 527: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/527.jpg)
Un mapeo entre dos espacios vectoriales y
A todo elemento del dominio se le asigna un,
y sólo un, elemento del contradomini
Una función es un map
o
eo de en
:
S S
S
S
F S S
R R
![Page 528: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/528.jpg)
S S
Dominio
F
![Page 529: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/529.jpg)
S
Dominio Contradominio
F S
![Page 530: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/530.jpg)
S S
Imagen o rango de S
F
![Page 531: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/531.jpg)
2 2
2
2
2
:
, 2 ,
Dominio:
Contradominio o codominio:
Imagen o rango:
F R R
F x y x y x y
R
R
R
![Page 532: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/532.jpg)
2 3
2 3
2
3
3
:
, , ,
, , ,
Dominio:
Contradominio o codominio:
Imagen o rango:
T R R
T x y x y x y xy
x y R x y x y xy R
R
R
R
![Page 533: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/533.jpg)
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2
2
:
, ,
, ,
Dominio:
Contradominio o codominio:
Imagen o rango: "La parte derecha de "
T R R
T x y x y xy
x y R x y xy R
R
R
R
![Page 534: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/534.jpg)
2
2 2
, : , existe y es continua
: , ,
C a b f a b R f
D C a b C a b
df xDf
dx
![Page 535: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/535.jpg)
Dados
: y :
definimos la suma
:
como
f S S g S S
f g S S
f g x f x g x
![Page 536: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/536.jpg)
Dados
: y cualquier escalar
Definimos la multiplicación por un escalar
:
como
f S S r
rf S S
rf x rf x
![Page 537: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/537.jpg)
Dados dos espacios vectoriales, y ,
el conjunto de todos los mapeos de en ,
con las operaciones de suma y
de multiplicación por un escalar definidas antes,
es un espacio vectorial.
S S
S S
![Page 538: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/538.jpg)
:
El mapeo es inyectivo si para todos
, ,
con ,
se tiene
f S S
f
x y S
x y
f x f y
![Page 539: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/539.jpg)
:
El mapeo es suryectivo si
la imagen o rango
de es todo
f S S
f
f S
![Page 540: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/540.jpg)
:
El mapeo es un isomorfismo
si es inyectivo y suryectivo
Es decir, un isomorfismo es un
mapeo uno a uno.
f S S
f
![Page 541: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/541.jpg)
:
para todo
El mapeo identidad es
inyectivo y suryectivo
s
I S S
I x x
![Page 542: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/542.jpg)
:
:
Se define la composición como el mapeo
:
tal que
para todo
F U V
G V W
G F U W
G F t G F t
t U
![Page 543: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/543.jpg)
U V WF G
![Page 544: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/544.jpg)
U V WF G
U WG F
![Page 545: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/545.jpg)
:
:
:
F U V
G V W
H W S
H G F H G F
![Page 546: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/546.jpg)
:
tiene un inverso si existe un mapeo
:
tal que
y s s
F S S
F
G S S
G F I F G I
![Page 547: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/547.jpg)
:
tiene un inverso si y sólo si
es inyectivo
y
es suryectivo
F S S
F
![Page 548: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/548.jpg)
La operación de composición enriquece
la estructura del espacio vectorial de
mapeos y se vuelve un álge
Otro ejemplo: El espacio vectorial de
matrices , con la multiplicación de
matrices
bra asociat
,
iva.
n n es un álgebra asociativa
![Page 549: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/549.jpg)
![Page 550: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/550.jpg)
Las transformaciones lineales,
mapeos lineales,
ó funciones lineales
es uno de los conceptos fundamentales
del álgebra lineal
![Page 551: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/551.jpg)
Sean y espacios vectoriales sobre un campo
: un mapeo de en
Un mapeo es lineal si:
Para cualesquiera elementos y en
y cualesquiera y en , se tiene
También
V W K
F V W V W
u v V
r s K
F ru sv rF u sF v
se les llama HOMOMORFISMOS
![Page 552: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/552.jpg)
2 2
2
2
2
:
, 2 ,
Dominio:
Contradominio o codominio:
Imagen o rango:
Este mapeo es lineal
F R R
F x y x y x y
R
R
R
![Page 553: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/553.jpg)
2 3
2 3
2
3
3
:
, , ,
, , ,
Dominio:
Contradominio o codominio:
Imagen o rango:
Este mapeo NO es lineal
T R R
T x y x y x y xy
x y R x y x y xy R
R
R
R
![Page 554: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/554.jpg)
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2
2
:
, ,
, ,
Dominio:
Contradominio o codominio:
Imagen o rango: "La parte derecha de "
Este mapeo NO es lineal
T R R
T x y x y xy
x y R x y xy R
R
R
R
![Page 555: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/555.jpg)
2
2 2
, : , ´́ existe y es continua
: , ,
Este mapeo es lineal
C a b f a b R f
D C a b C a b
df xDf
dx
![Page 556: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/556.jpg)
Un mapeo lineal asocia
el vector cero 0,
al vector 0
Es decir,
0 0F
![Page 557: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/557.jpg)
Un mapeo es lineal si:
Para cualesquiera elementos
Un mapeo lineal asocia el vector cero 0,
al vect
y en
y cualesquiera y en , se tiene
0 0
or 0, es decir, 0 0.
u v V
r s K
F ru
F u F
sv rF u s v
F
u
F
0
![Page 558: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/558.jpg)
2 2 2 2
OJO: No es cierto al revés, es decir,
sin un mapeo m
Un mapeo lineal asocia el vector cero 0,
al vector 0.
anda el cero al cero
no por eso es lineal.
Ejempl
Es decir, 0
,
0
o:
: ,
T R R T x x y x
F
y y
![Page 559: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/559.jpg)
Dados dos espacios vectorias, y ,
el conjunto de funciones lineales de en
es un espacio vectorial.
Normalmente se le denota ( ; ).
Es un subespacio vectorial del conjunto de
todos los mapeos de
V W
V W
V W
V
L
en .W
![Page 560: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/560.jpg)
Sean y dos espacios vectoriales
sobre el campo .
Sea : un mapeo line
El núcleo de es un subespacio vectoria
a
d
l
l e
Núcleo de 0
V W
K
F V W
F V
F v V F v
![Page 561: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/561.jpg)
2
2 2
2 2
1) : ,
Núcleo de , 0 Recta
2) : , ,
Núcleo de : , , con
3) : , 2 ,
Núcleo de , 0, 0 El 0
T R R x y x y
T x y x y
D C a b C a b f f
D f a b R f a a R
F R R x y x y x y
T x y x y
![Page 562: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/562.jpg)
Las dos
Sean
afirm
y dos espa
aciones sig
cios vectoriales sobre
uientes son totalmente
el campo .
Sea : un mapeo lineal
Núcleo
equivalentes:
1. El Núcleo de es igual a 0
2. S
de 0
i y s
V W K
F V
F
u
W
F v
v
V F v
on dos elementos arbitrarios de tales que
entonces .
En otras palabras, es inyectivo
V
F u F v u v
F
![Page 563: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/563.jpg)
Las dos
Sean
afirm
y dos espa
aciones sig
cios vectoriales sobre
uientes son totalmente
el campo .
Sea : un mapeo lineal
Núcleo
equivalentes:
1. El Núcleo de es igual a 0
2. S
de 0
i y s
V W K
F V
F
u
W
F v
v
V F v
on dos elementos arbitrarios de tales que
entonces . O sea, es inyectivo
: 0 0
: 0 0 0
V
F u F v u v F
F u v F u F v u v u v
F x F x F u F v F u v F x
![Page 564: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/564.jpg)
La imagen de es un subespacio vectori
Sean y dos espacios vectoriales sobre el campo .
Sea : un mapeo lineal
al de
Imagen ó rango de
Existe tal que
V W K
F
F V
W
W
F
w W v V F v w
![Page 565: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/565.jpg)
![Page 566: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/566.jpg)
Transformacioneslineales
Matrices
![Page 567: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/567.jpg)
:
.
Definimos el mapeo
mediante la regla
para todo
n mA
A
n
L K K
L X AX
X K
Toda matriz tiene asociada un mapeo lineal
![Page 568: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/568.jpg)
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
. matriz
.
.
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
m n
a a a
A
:
.
Definimos el mapeo
mediante la regla
para todo
n mA
A
n
L K K
L X AX
X K
![Page 569: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/569.jpg)
:
.
n mA
A
n
L K K
L X AX
X K
Definimos el mapeo
mediante la regla
para todo
A A AL rX sY A rX sY rA X sA Y rL X sL Y
Evidentemente el mapeo asociado con una matriz es lineal,
ya que
![Page 570: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/570.jpg)
2 2:
cos sin cos sin
sin cos sin cos
T R R
x x y
y x y
![Page 571: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/571.jpg)
2 2:
cos sin cos sin
sin cos sin cos
T R R
x x y
y x y
![Page 572: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/572.jpg)
2 2:
3 13 / 2 1/ 2 2 2
1/ 2 3 / 2 1 3
2 2
1/ 23 / 2 1/ 2 1 3 / 2 1/ 2 03 / 2ˆ ˆ;0 11/ 2 3 / 21/ 2 3 / 2 1/ 2 3 / 2
T R R
x yx
yx y
Ti Tj
![Page 573: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/573.jpg)
2 2:
3 13 / 2 1/ 2 2 2
1/ 2 3 / 2 1 3
2 2
T R R
x yx
yx y
30 grados
![Page 574: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/574.jpg)
4 2:
1 1 1 2 2
0 1 1 2 2
1 0
1 1 1 2 0 1 1 1 1 2 1 1;
0 1 1 2 0 0 0 1 1 2 0 1
0 0
0
1 1 1 2 0 1 1;
0 1 1 2 1 1
0
T R R
x
y x y z t
z y z t
t
0
1 1 2 0 2
0 1 1 2 0 2
1
![Page 575: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/575.jpg)
3 21 0.5 1 :
1 2 0.5 AL R R
A
11 0.5 1 1ˆ 01 2 0.5 1
0
01 0.5 1 0.5ˆ 11 2 0.5 2
0
01 0.5 1 1ˆ 01 2 0.5 0.5
1
A
A
A
L i
L j
L k
![Page 576: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/576.jpg)
3 21 0.5 1 :
1 2 0.5 AL R R
A
1 0.5 1 0.5
1 2 0.5 2 0.5A
x xx y z
L y yx y z
z z
![Page 577: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/577.jpg)
.A B
A B m n
L L
A B
Si y son matrices
y si
entonces
En otras palabras,
si dos matrices dan lugar la mismo
mapeo, entonces son iguales.
![Page 578: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/578.jpg)
![Page 579: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/579.jpg)
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
![Page 580: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/580.jpg)
S SF
Es una función entre dos
espacios vectoriales y S S
![Page 581: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/581.jpg)
Mapeo entre dos espacios vectoriales y .
A todo elemento del dominio se le asigna un,
y sólo un, elemento del contradominio
Una función es un mapeo de en
:
S S
S
S
F S S
R R
![Page 582: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/582.jpg)
a) Sean y espacios vectoriales sobre un campo .
b) : un mapeo de en .
Un mapeo es lineal si:
Para cualesquiera elementos y en
y cualesquiera y en , se tiene
V W K
F V W V W
u v V
r s K
F ru sv rF u sF
También se les llama HOMOMORFISMOS
v
![Page 583: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/583.jpg)
Transformacioneslineales
Matrices
![Page 584: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/584.jpg)
:
.
Definimos el mapeo
mediante la regla
para todo
n mA
A
n
L K K
L X AX
X K
Toda matriz tiene asociada un mapeo lineal
![Page 585: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/585.jpg)
Transformacioneslineales
Matrices
![Page 586: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/586.jpg)
:
.
Sea
un mapeo lineal.
Existe una matriz tal que
Es decir, que para todo ,
n m
A
n
L K K
A m n L L
X K
L X AX
A todo mapeo lineal se le puede asociar una matriz
![Page 587: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/587.jpg)
1
1
ˆ ; 1,2,..., .
ˆ ; 1,2,..., .
ˆ ˆ; 1,2,..., :
ˆ
ˆ 1,2,3,..., :
ni
mi
nn
i i ii
n
i ii
mi
E i n K
e i m K
E i n K X x E
L X x L E
L E R i n
Sea una base de
Sea una base de
1) Como es una base de
2) Como el mapeo es lineal:
3) Como para 1
ˆ ˆm
i ij jj
L E a e
![Page 588: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/588.jpg)
1 1 1 1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆn n m n m m n
i i i ij j ij i j ij i ji i j i j j
j
i
i
L X x L E x a e a x e a x e
LX AX
A a
Podemos escribir ahora
Por tanto, si definimos la matriz
vemos que
![Page 589: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/589.jpg)
1
ˆ ˆ ˆ1,2,3,..., :
ij
mm
i i ij jj
A a
L E R i n L E a e
LX AX
A
Como para
Definimos la matriz
entonces
Las columnas de la matriz , son los transformados
de los vectores de la base
![Page 590: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/590.jpg)
2: , 2 3
1)
Sea
¿Es un mapeo lineal?
L R R L x y x y
![Page 591: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/591.jpg)
2
21 1 1 2 2 2
: , 2 3
1)
, , ,
, ).
Sea
¿Es un mapeo lineal?
Bueno, es obvio que sí, pero demostremoslo.
Sea dos vectores en
y dos escalares (es decir, elementos de
Por
L R R L x y x y
v x y v x y R
r s K
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2
,
2 3
2 3 2 3 , ,
la definición
L rv sv L rx sx ry sy
rx sx ry sy
r x y s x y rL x y sL x y
rL v sL v
![Page 592: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/592.jpg)
2: , 2 3
2)
ˆ ˆ2 1 3 0 2 2 0 3 1 3
. 2, 3 2 3
L R R L x y x y
L i L j
a
xL v a v x y
y
Sea
¿Cuál es la matriz asociada a este mapeo?
Así que el vector es (2,-3).
Es obvio que
![Page 593: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/593.jpg)
3 21 2 3 1 2
11
22
3
: , , ,
1 0 0
0 1 0
1,0,0 1,0 0,1,0 0,1 0,0,1 0,0
En este caso a simple vista se encuentra la matriz
asociada,
Pero ...
Ahora la matriz es
F R R F x x x x x
xx
A xx
x
F F F
A F
1 0 01,0,0 0,1,0 0,0,1
0 1 0F F
![Page 594: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/594.jpg)
2)
3) : :
Propiedades:
1) Ya que
Ya que
Si y son mapeos lineales,
y y
o sea
A B A B
rA A
n m m s
L L L A B X AX BX
L rL rA X r AX
F K K G K K
A F B G
G F X G F X B AX BA X
G F BA
![Page 595: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/595.jpg)
;n mR R
F
V W
Hasta ahora hemos considerado mapeos
lineales de en sin embargo, todos
los conceptos son facilmente generalizables
a mapeos lineales de un espacio vectorial
a otro espacio vectorial de dimens
.nn R
ión
finita, ya que todo espacio vectorial de
dimensión finita es isomorfo a
![Page 596: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/596.jpg)
.
1,2,...,i
V
R
V v i n
V
Sean un espacio vectorial de dimensión
finita sobre los reales
Sea
Base
una base de
![Page 597: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/597.jpg)
1
1 2, ,...,
n
i ii
n
nn
v V v x v
V R
v V x x x R
Si , tenemos que
El espacio vectorial es isomorfo a
bajo el mapeo
![Page 598: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/598.jpg)
:n m
F V W
R R
M F
Usando este isomorfismo,
podemos interpretar un mapeo
como un mapeo de
La matriz asociada
dependerá de las bases elegidas.
![Page 599: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/599.jpg)
![Page 600: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/600.jpg)
:T V V
T V
lineal de dimensión finita
• Se llaman propiedades intrínsecas a las que no
dependen del sistema de coordenadas.
• Si la matriz asociada a la transformación lineal es
diagonal, muchas de estas propiedades pueden ser
descubiertas fácilmente.
![Page 601: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/601.jpg)
2 2:
2 0
0 3
2 0 2
0 3 3
T R R
T A
x xAx
y y
![Page 602: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/602.jpg)
2 2
1 2
2 0:
0 3
2 0 1 2 1 2 0 0 0 0ˆ ˆ2 3
0 3 0 0 0 0 3 1 3 1
T R R T A
Ae Ae
X
Y
Estira el eje en 2
Estira el eje en 3
![Page 603: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/603.jpg)
2 2
2 2
2 2
2 0:
0 3
1
2 3
/ 2 , / 3
14 9
T R R T A
x y
u x v y
x u y v
u v
¿Qué le hace a un círculo de radio 1?
Haciendo el cambio de variable
y
tenemos
![Page 604: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/604.jpg)
T
![Page 605: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/605.jpg)
1
.
,...,
Sea una transformación lineal de en , con
un espacio vectorial de dimensión finita
Si tiene una representación matricial diagonal,
entonces existe un conjunto de elemen-
tos independn
T V V
V n
T
u u
,...,
1,2,3,...,
1
ientes en y correspondientemente
un conjunto de escalares, tales que
para
n
k k k
V
T u u k n
![Page 606: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/606.jpg)
11 22
1
: , ,...,
(dim )
,...,
,...,
1,...,
nn
n
n
k k k
T V V A diag a a a
V n
u u V
Tu u k n
1
lineal con
Entonces siempre existen
linealmente independientes
escalares
tales que
para
![Page 607: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/607.jpg)
1 2
11
22
ˆ ˆ ˆ, ,...,
0 ... 0 0 0 0
0 ... 0 . . .
. . . .
. 1 1
. . . .
0 0 ... 0 0 0
n
iiii
nn
e e e
A
a
a
aa
a
Sea la base respecto a la
cual la matriz es diagonal
ˆ ˆi ii iAe a e
11 22, ,...,ij nnA a A diag a a a
![Page 608: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/608.jpg)
1
.
,...,
,...,1
Sea una transformación lineal de en , con
un espacio vectorial de dimensión finita
Si existe un conjunto de elemen-
tos independientes en y correspondientemente
un conjunto
n
n
T V V
V n
u u
V
1 2
1
1,2,3,...,
, ,...,
,..., .
de escalares, tales que
para
entonces la matriz diagonal
es una representación de relativa a la base
k k k
n
n
T u u k n
A diag
T
u u
![Page 609: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/609.jpg)
1
1
,.
,...,
..,
,...,
1,...,
n
n
k k k
n
u u V
Tu u k n
T
u u
1
la matriz asocia
Si existen
linealmente independientes
escal
da a es diagonal en la base
formada por l
ares
tales que
para
entonc
os vectores
es
: (dim )T V V V n lineal
![Page 610: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/610.jpg)
Se dice que los vectores son los
y los escalares son los .
También se les llama eigenvectores y eigenvalores
respectivamente.
Tambié
vectores propi
n se les ll
os
valo
ama vectores y valores
res propiosk
k
u
caracterís-
ticos
1,2,3,...,para k k kT u u k n
![Page 611: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/611.jpg)
Por lo tanto, el problema de diagonalizar
una matriz se transformó ahora en el
problema de encontrar los vectores y
valores propios de la transformación,
es decir de una matriz.
![Page 612: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/612.jpg)
![Page 613: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/613.jpg)
:
,
Sea un espacio vectorial
Sea un subespacio vectorial de .
Sea una transformación lineal.
Un escalar es un valor propio, si hay
un elemento no nulo en tal que
El elemento se llama v
V
S V
T S V
x S
T x x
x
.
ector propio de
perteneciente a .
El escalar es llamado vector propio
correspondiente a
T
x
![Page 614: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/614.jpg)
0
,
T x x
Aunque el cumple con la ecuación
para todo no se le considera vector propio.
![Page 615: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/615.jpg)
0, ,
T x x T x x
x x x
Si
con
Hay solo un
enton
valor propio para cada vector prop
ces y por tanto,
i
.
=
o
.
![Page 616: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/616.jpg)
:
:
.
T S S
T S S T
U S U S
T U U
T
Sea una transformación lineal de en
lineal
A un subespacio de , ,
se le llama ,
si mapea cada element
invariante bajo
o de en
![Page 617: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/617.jpg)
.
T
T
El subespacio generado
por un vector propio de ,
es invariante bajo
.
U S T
T U U
Un subespacio de se le llama invariante bajo ,
si mapea cada elemento de en
![Page 618: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/618.jpg)
,
x U c
T cx cT x c x
cx U
x y U
T x y T x T y x y x y
x y U
Si y es un escalar
es decir,
Si
es decir,
.
.
U S T
T U U
T
T
- Un subespacio de se le llama invariante bajo ,
si mapea cada elemento de en
- El subespacio generado por un vector propio de ,
es invariante bajo
![Page 619: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/619.jpg)
, : , ,
: , ,
C a b f a b R f a b
D C a b C a b D f f
f
infinitamente diferenciable en
¿Es lineal esta transformación?
Los vectores propios de este operador son todas las
funciones no nulas, que satisfacen la ecuación
exp
f
D
f x c x
Es decir, las funciones propias de , son todas
las funciones de la forma
![Page 620: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/620.jpg)
22
22
d xE x
m dx
0x x a
( 0) 0 ( ) 0x x a
![Page 621: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/621.jpg)
22
22
d xE x
m dx
( 0) 0 ( ) 0x x a
2 22
2
2
2sin
1,2,3,...
n
nE nma
nx x
a a
n
![Page 622: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/622.jpg)
22
2
H E
V Em
![Page 623: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/623.jpg)
![Page 624: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/624.jpg)
1 2
:
, ,...,
,..., ,k
k
V
S V
T S V
u u u T
1
Sea un espacio vectorial.
Sea un subespacio vectorial de .
Sea una transformación lineal.
Sean vectores propios de ,
con valores propios diferentes
entonces los vectores 1 2, ,..., ku u u son
linealmente independientes.
![Page 625: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/625.jpg)
1
11 2 3 4 ...
2
n
i
n ni n
![Page 626: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/626.jpg)
1
11 2 3 4 ...
2
n
i
n ni n
1
1 1 11
2
n
Lo probamos para
¡Es cierto, está probado!
![Page 627: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/627.jpg)
1
11 2 3 4 ...
2
n
i
n ni n
1
11 2 3 4 ...
2
m
i
m
m mi m
Lo suponemos para
![Page 628: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/628.jpg)
1
11 2 3 4 ...
2
n
i
n ni n
1
1
1
1 2 3 4 ... 1
1 2 3 4 ... 1
1 1 21
2 2
m
i
m
i m m
m m
m m m mm
Lo probamos para
![Page 629: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/629.jpg)
1 2
:
, ,...,
,..., ,k
k
V
S V
T S V
u u u T
1
Sea un espacio vectorial.
Sea un subespacio vectorial de .
Sea una transformación lineal.
Sean vectores propios de ,
con valores propios diferentes
entonces los vectores 1 2, ,..., ku u u son
linealmente independientes.
![Page 630: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/630.jpg)
1 1 1
1
1 1 1
1
1.
,
0 0
0
k
Tu u
u
c u c
u
Demostración por inducción:
1) Lo probamos para
Es decir, probamos que si
es linealmente independiente.
implica necesariamente que
ya que
![Page 631: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/631.jpg)
1 2 3 1
-1.
, , ,..., k
k
u u u u
Demostración por inducción:
2) Lo suponemos para
Es decir, suponemos que el
conjunto es
linealmente independiente
![Page 632: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/632.jpg)
1
1 1
.
0
0 1,2,3...,
k
i ii
i
k k
i i i i i i ii i
k
c u
c i k
T c u c T u c u
Demostración por inducción:
3) Lo probamos para
Es decir, queremos probar ahora que si
entonces para toda
Como el mapeo es lineal, tenemos
1
k
i
![Page 633: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/633.jpg)
1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
1
1
0
k k k
i i i i i i ii i i
k k k k
i i k i i i i i k i ii i i i
k k
k k k i i i k k k k i ii i
k
i i k ii
T c u c T u c u
T c u c u c u c u
c u c u c u c u
c u
Como el mapeo es lineal, tenemos
así que
![Page 634: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/634.jpg)
1
1
1 2 3 1
0
, , ,...,
0 1,2,..., 1
0 1,2,..., 1
k
i i k ii
k
i i k
i k
i
c u
u u u u
c i k
c i k
Como hemos supuesto que el conjunto
es linealmente independiente
entonces
para
Como se supuso entonces
para
![Page 635: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/635.jpg)
1
0 1,2,..., 1
0
0
0
0
i
k
i ii
k k
k
k
c i k
c u
c u
u
c
para
Regresando a la expresión original
tenemos
y como obligatoriamente
![Page 636: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/636.jpg)
1 2
2
, ,...,
, ,...,1
El inverso del teorema anterior no es válido.
Si tiene vectores propios independientes
, entonces los valores propios
correspondientes no son necesa-
riamente distintos.
Por eje
k
k
T
u u u
0
mplo, para la transformación identidad ,
, todo vector es un vector propio,
pero solo hay un valor propio, el 1.
I
I x x x
![Page 637: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/637.jpg)
dim :V n T V V
n
T n
V
Si , toda transformación lineal
tiene como máximo distintos valores propios.
Si tiene exactamente distintos valores propios,
los vectores propios correspondientes forman una
base de y T la matriz de relativa a esta base es
una matriz diagonal con los valores propios como
elementos diagonales.
![Page 638: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/638.jpg)
n
n
La existencia de es una
condición suficiente, pero no necesaria
para tener una representación diagonal.
Hay transformaciones line
valores propios
valores prop
ales con menos
de diferentes cuya
re
ios
presentación es diagonal.
![Page 639: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/639.jpg)
La existencia de
linealmente independientes es una
condición necesaria y suficiente para
que la transformación lineal tenga
una representación ma
v
t
ectores
ricial d
p
iagonal.
ropiosn
T
![Page 640: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/640.jpg)
![Page 641: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/641.jpg)
: (dim )
0
,
0
0
0
0
lineal
con
Queremos encontrar entonces los valores tales
que la ecuación tenga solución
O sea,
con
T V V V n
Tx x x
Tx x x
Tx x
I T
Tx Ix
x
Ix Tx
x
![Page 642: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/642.jpg)
: (dim ); 0
,
0
lineal, con
Si es la matriz asociada a la transformación
entonces la ecuación
tiene una solución diferente de cero, si y sólo
si, la matriz es singular, es deci
T V V V n Tx x x
A
I
T
x
I A
A x
r, no tiene
inversa, es decir, su determinante es igual a cero
![Page 643: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/643.jpg)
: (dim )
0
det 0
.
lineal,
con
Si es un valor propio de , entonces satisface
la ecuación
Inversamente, si satisface esta ecuación,
entonces es un valor propio de
T V V V n T A
Tx x x
T
I A
T
![Page 644: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/644.jpg)
det
0
det 1 det
matriz la matriz identidad
Definimos la función
Entonces
a) es un polinomio de grado en
b) El término de mayor grado es
c) El término constante, , es
es lla
n
n
A n n I n n
f I A
f n
f
A A
f
mado el polinomio característico de A
![Page 645: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/645.jpg)
dim
:
,
.
V R
V n
T V V T A
T
A
R
espacio vectorial sobre
lineal, y
Los de son las raices del
polinomios característico de la matriz , q
valores
ue
caen e
propi
n
os
![Page 646: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/646.jpg)
dim
:
,
.
V R
V n
T V V T A
T
A
espacio vectorial sobre
lineal, y
Los valores propios de son también
los valores propios de la matriz
Lo mismo se dice de los vectores propios.
![Page 647: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/647.jpg)
Calculo de los valores propios de una matriz 3x3 multiplicidad 1_1.tex
Calculo de los valores propios de una matriz 3x3 multiplicidad 1_2.tex
Calculo de los valores propios de una matriz 3x3.tex
![Page 648: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/648.jpg)
2
de
, ,...,
t
n
f I A
A n n
A
1Sean las raices del polinomio caracterís-
tico de , donde cada raiz está escri
Sea el polinomio caracter
ta tanta veces
como lo ind
ístico de
una
ica su multip
matriz
licidad.
-
1 2
11 1 0
...
...
n
n nn
f
f n
f c c c
Podemos escribir
Como es un polinomio de grado , con primer
coeficiente 1, también podemos poner
-
![Page 649: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/649.jpg)
1 2
11 1 0
0 1 2
0
1 2
... ;
...
1 ...
det
det ...
n
n nn
n
n
n
f
f c c c
c
c A
A
Es claro, que
Pero ya sabíamos que así que
El determinante de una matriz esigual al producto de las raices desu polinomio característico.
![Page 650: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/650.jpg)
1
2
3
1 2
0 0 . ... 0
0 0 . ... 0
0 0 0 ... 0
. .
. . 0
0 0
det ...
n
nA
El determinante de una matriz es igual al productode las raices de su polinomio característico.
![Page 651: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/651.jpg)
1
1 2 1 1 0
1 1 2
... ; ...
...
.
Es claro también, que
A la suma de las raices del polinomio característico de
una matriz, se le llama y se denota como
Así
traz
q
a
ue
tr
n n
n n
n n
n
f f c c c
c
c
A
1 .trA
![Page 652: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/652.jpg)
0
11 1 0
0
det
...
de
de
t
t
n
ii
n nn
f I A
A n n
A
I A
f c c c
c A
Tenemos por definición Tr
Si calculamos explicitamente obtenemos
el p
Sea el polinomio característico de
una matriz
olinomio
con
y 11
1
n
ii
n
n i
i
i
c A
A a
E
nto
tr
nces tr
![Page 653: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/653.jpg)
11 1211 22 12 21
21 22
211 22 121 2 211 2
1) 2k
a aa a a a
a a
a a
a a a a
Lo demostramos para
![Page 654: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/654.jpg)
11 12 1, 1
21 22
1,1 1,2 1, 1
1 20
1
1
2) 1
. . .
.
.
.
. . .
...k
iii
k
k k k k
k k
k
a a a
a a
a a a
a c
Lo suponemos para
![Page 655: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/655.jpg)
11 12 1
21 22
1,1 1,2
1 2
11 12 1
21 22
1,1 1,2 1, 1
-2
. . .
.
.
. . .
. . .
.
.
.
. . .
k
k k
k k kk
k
kk
k k k k
k
a a a
a a
a a
a a a
a a a
a a
a
a a a
terminos en o menor
![Page 656: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/656.jpg)
11 12 1
21 22
-2
1,1 1,2 1, 1
11 2 -2
01
11 1
01
. . .
.
.
.
. . .
...
...
k
kkk
k k k k
kk k k
kk iii
kk k k
ii kk kk iii i
a a a
a a
a
a a a
a a c
a c a a a
terminos en o menor
terminos en o menor
12 -2
01
11 2 -2
01
01
...
... ...
kk k
kk
kk k k k
kk ii kk
k
iii i
a c
c a a a ca
terminos en o menor
terminos en o menor
![Page 657: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/657.jpg)
La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos diagonales
![Page 658: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/658.jpg)
Son matrices que representan
la misma transformación, pero
respecto a diferentes bases
y por ello parecen diferentes
![Page 659: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/659.jpg)
1 2
1 2
1 2
1 2
: ; ; dim ; dim
, ,...,
, ,...,
, ,...,
, ,...,
n
m
n
i
n
T V W V n W m
e e e V
w w w W
T A T e T e T e
T e W
w w w
lineal
una base de
una base de
donde los están escritos
en la base
![Page 660: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/660.jpg)
Si usamos bases diferentes
para y para , tenemos
representaciones diferentes
de la misma transformación,
es decir, matrices diferentes.
V W
![Page 661: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/661.jpg)
1 1
1 1
: . ; dim
,..., ,...,
1,2,..., 1,2,...,
n n
e ik u kj
n n
k ik i j kj ki k
T V V T V n
e e u u
A a B b
T e a e T u b u
k n j n
lineal
![Page 662: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/662.jpg)
1
1,2,...,n
j kj kk
kj
kj
u
e
u c e j n
c
C c
n n
Los elementos de la base pueden ser escritos
en términos de los elementos de la base
Los coeficientes constituyen una matriz
que es una matriz no singular (porq
V V
ue
mapea una base de en otra base de )
![Page 663: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/663.jpg)
1 1
1
1
,..., ,...,n n
n
j kj kk
n
E e e U u u
u c e
U EC
Si definimos las matrices
y
cuyos elementos son los vectores de
las dos bases, tenemos que la relación
se escribe matricialmente como
![Page 664: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/664.jpg)
1
1 1
1,2,...,n
j kj kk
n n
j kj k kj kk k
u c e j n
T
T u T c e c T e
Tenemos
Como el mapeo es lineal
![Page 665: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/665.jpg)
1 1
1
1
1
,..., ,...,n n
n
k ik ii
n
j kj kk
n
j kj kk
E T e T e U T u T u
T e a e E EA
T u b u U UB
T u c T e U E C
Definiendo ahora
y
tenemos las siguientes traducciones:
![Page 666: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/666.jpg)
1
1
1 1
1
1
1
1
,..., ,...,
,..., ,...,
n n
n n
E e e U u u
E T e T e U T u T u
U E
U E C EAC
U EC E UC
U EAC UC AC
U UB UC AC
C E EA U UB U E
B C
C
C A
y
y
![Page 667: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/667.jpg)
1 1
1
: dim
,..., ,...,
lineal
Siempre existe , no singular, tal que
y
n n
e ik u kj
T V V T V n
e e u u
A a B b
C
B C AC
U EC
![Page 668: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/668.jpg)
1
.Sean y dos matrices
Si existe una matriz no singular que
las relaciona de la siguiente manera
entonces y representan la misma
transformación lineal
A B n n
C
B C AC
A B
![Page 669: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/669.jpg)
1
.Sean y dos matrices
Si existe una matriz no singular que
las re
SIMILARE
laciona de la siguiente manera
entonces se dice que son
S
A B n n
C
B C AC
![Page 670: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/670.jpg)
n nDos matrices son similares
si y sólo si
representan la misma
transformación lineal
![Page 671: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/671.jpg)
Las matrices similares tienen•El mismo determinante•La misma traza•Los mismo valores propios•El mismo polinomio característico•El mismo polinomio minimal•El mismo rango
![Page 672: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/672.jpg)
1
: ; ; dim
,..., n
T V V V n
T n
V
lineal
Suponemos que el polinomio característico
de tiene raices diferentes (en el campo
correspondiente):
a) Los correspondientes vectores propios
forman una base de
![Page 673: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/673.jpg)
1
1
: ; ; dim
,...,
,...,
n
n
T V V V n
T n
T
u u
lineal
Suponemos que el polinomio característico
de tiene raices diferentes (en el campo
correspondiente):
b) La matriz que representa a , respecto
a la base ordenada ,
,..., n 1
es la matriz
diagonal
=diag
![Page 674: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/674.jpg)
1
1
: ; ; dim
,...,
,...,
n
T V V V n
T n
A T
E e
lineal
Suponemos que el polinomio característico
de tiene raices diferentes (en el campo
correspondiente):
c) Si es la matriz que representa a , respecto
a otra base -1
ne
C AC
C
U EC
, entonces
donde es la matriz que relaciona las dos bases
![Page 675: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/675.jpg)
k
Si los valores propios no son todos
diferentes,no quiere decir que no haya
una representación diagonal.
Tendremos una representación diagonal,
si y sólo si se tienen vectores linealmente
independientes c
.k
on cada valor propio de
multiplicidad
![Page 676: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/676.jpg)
• Calcular todos los valores propios
• Calcular los vectores propios correspondientes
• Formar la matriz C con los vectores propios
• Aplicar C-1AC
![Page 677: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/677.jpg)
•Ejemplo 1
•Ejemplo 2
•Ejemplo 3
![Page 678: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/678.jpg)
det
0
A n n
f I A
f A
Sea una matriz
y
su polinomio característico,
entonces
![Page 679: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/679.jpg)
Ejemplo 1
Ejemplo 2
![Page 680: Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/5665b49a1a28abb57c9291b8/html5/thumbnails/680.jpg)