primera clase: miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00
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Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas
2
2
2 2
22
df xkf x x
dx
d xm Fdt
it m x
Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de sólo una variable
2
2
2 2
22
df xkf x x
dx
d xm Fdt
it m x
Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de sólo una variable
0
32 2
3
sin cosdf x
x xf x xdx
dvav x
dt
d y dyx xy y x ydx dx
Una ecuación diferencial es parcial si la función desconocida depende de varias variables
2 2
2
2
2
22
2 2 2 2 2
2
2
, ,, 0
1 1 1sin 4 , ,
sin sin
ˆ
it m x
q x y q x yq x y
x y
r rr r r r r
r
r
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la mayor derivada que aparezca en ella
22
2
3
3
5
0
Segundo orden
Tercer orden
Primer orden
Orden 5i
i ii
d f x dfkf x x
dx dx
b at x
d za b
dz
d g p
dp
1 2
1 2
...
1 2
Sea , ,..., una función de variables
, ,..., .
Una ecuación diferencial parcial está definida como
, , 0...
El orden de la ecuación es el orden de la de
i n
n
l m n
i i il m nN
u x u x x x n
x x x
F x u x u xx x x
rivada
mayor que aparece
ˆUn operador es lineal si
ˆ ˆ ˆ
L
L au bv aL u bL v
...
...0 ... 1 2
...
1 2
La ecuación diferencial parcial lineal más general,
es de la forma
0...
donde los coeficientes , , , son en general,
funciones de , ,..., .
j k l
i jk l ij k lj k l M N
jk l
n
q ru x s u xx x x
q r s
x x x
1 2Supondremos que , ,..., son reales.nx x x
A una ecuación diferencial parcial de la forma
ˆ
ˆdonde es un operador lineal, se le llama lineal.
* Si es cero, la ecuación es homogénea
* Si es distinta de cero, la ecuación es
inhomogénea ó
Lu f
L
f
f
no homogénea
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
La ecuación de Poisson:
4 , ,
La ecuación de onda con fuentes:
, , ,
f x y zx y z
vx y z t
x y z c t
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
La ecuación de difusión:
1, , ,
La ecuación de Schrodinger:
2
u u u ux y z t
x y z k t
i Vt m x y z
Una función es solución de una
ecuación diferencial parcial si la
ecuación se transforma en una
identidad cuando la función y sus
derivadas son sustituidas en ella.
2 2
2 2
2 21 2
Las funciones
, y , cos
son soluciones de esta ecuación.
x
u u
x y
u x y x y u x y e y
La solución general de una
ecuación diferencial parcial
es la colección de todas las
soluciones posibles de ella.
2
2
2
2
1
1, es una solución particular
2
1, es la solución general
2
x
x y x
x y x xf y g y
2
2
en una variable espacial y el tiempo
, ,T x t T x tk
t x
2
2
La ecuación diferencial parcial de
segundo orden lineal en dos variables
, ,
es una ecuación parabólica
T x t T x tk
t x
2 2
2 2
2
2
2
, , ,
, , , 0
Tipos de ecuaciones:
Eliptica: 4 0
Parabólica: 4 0
Hiperbólica: 4 0
u u uA x y B x y C x y
x x y y
u uD x y E x y F x y
x y
B AC
B AC
B AC
2 2
2
2
2
0
Tipos de cónica:
Elipse: 4 0
Parábola: 4 0
Hipérbola: 4 0
Ax Bxy Cy Dx Ey F
B AC
B AC
B AC
1 2 1 2
22 21 21 2
2 2 2
aT bTT T Ta b
t t t t
aT bTT Tak bk k
x x x
2
2
, , es lineal
T x t T x tk
t x
1 2
1 2
La combinación lineal
siendo y soluciones y, y constantes
también es solución.
T aT bT
T T a b
2
2
Ecuación diferencial parcial:
, ,; 0 , 0
0, 0Condiciones a la frontera: ; 0
, 0
Condiciones iniciales: ,0
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t x
T tt
T L t
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2
2
2
2
2
2
Derivando:
1 1Dividiendo entre :
, Separación de variables
X x t X x tk
t x
d t d X xX x k t
dt dx
d t d X xkX
k t dt X x
T x t X x t
dx
2
2
, ,T x t T x tk
t x
2
22
La única posibilidad es
1 1
donde es una constante arbitraria,
que será determinada por el problema mismo.
d t d X x
k t dt X x dx
2
2
, ,T x t T x tk
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d t d X x
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Condiciones a la frontera: 0
, 0
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T t
t
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dx
X
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2
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1 d X x
X x dx
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2
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1 2
1 2
Ecuación diferencial ordinaria de
segundo orden lineal homogénea:
0
Ecuación característica: 0
;
cos sini x i x
d X xX x
dx
i i
X x c e c e A x B x
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2
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cos sin
0
cos sin
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d X xX x
dxX x
xdx
d X xA x B x X x
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x
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X x X x A x B xdx
Condiciones iniciales:
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de donde necesariamente 0
Por tanto, la solución es p
si
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X x X x L
X x A X x
X x x
A
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X x X x B xdx
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Comportamiento de los modos
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Ecuación diferencial parcial:
, ,; 0 , 0
, exp sin ;
0, 0Condiciones a la fronter
1,2,3,...
Condiciones inicia
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0, 0
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Ecuación diferencial parcial:
, ,; 0 , 0
, exp sin ;
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Condiciones iniciale
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¡Ahora sí se puede!
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Animación
Hasta aquí llegue el miércoles 24 de febrero del 2010 después de 1 clase de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00
Segunda Clase: Miércoles 3 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
Repaso de la Segunda Clase: Miércoles 3 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00
2
2
en una variable espacial y el tiempo
, ,T x t T x tk
t x
2
2
La ecuación diferencial parcial de
segundo orden lineal en dos variables
, ,
es una ecuación parabólica
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Ecuación diferencial parcial:
, ,; 0 , 0
0, 0Condiciones a la frontera: ; 0
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,0
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2 1 2 14 1, exp sin
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2 2
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, exp sin
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nn
L
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n xT x t b t
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L L
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Condiciones iniciales: ,0 / 2
2, exp sin sin
L
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n k n x n xT x t b t b f x dx
L L L L
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2 2/ 2 sin sin
2
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L L L
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21 0
Condiciones iniciales: ,0 / 2
2, exp sin sin
L
n nn
T x x L
n k n x n xT x t b t b f x dx
L L L L
2 2
21
2, exp sin sin
2n
n k n n xT x t t
L L L
Animación
Fin del Repaso de la Segunda Clase: Miércoles 3 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00
2
2
2
2
, ,
, , ,, , ,
Estado estacionario:
La ecuación de Lapla
, , , 0
ce
T x t T x tk
t x
T x y z tk T x
T x y z
y
t
z tt
Como en el caso de la ecuaciones
diferenciales ordinarias, en caso que exista la
solución de una ecuación diferencial parcial,
estará únicamente especificada solamente si
se especifican ciertas condiciones a la
frontera, tanto para la función solución de la
ecuación como para sus derivadas.
Sin embargo, en el caso de las ecuaciones
diferenciales parciales, la especificación de
las condiciones a la frontera es un asunto
muy delicado, y debe establecerse
claramente.
En caso contrario la solución puede no
existir o si existe no ser única
...
1 1 2
Escribimos la ecuación diferencial parcial
como
, ,...
con y ... .
no es necesariamente lineal.
k l m n
i ik l m nN
uK x u u x
x x x x
l k l m n k
K
1 1
2 31
Condiciones a la frontera:
, ,..., ; 0,1,..., 1j
j Nj
x a
uL x x x j k
x
...
1 1 2
, ,...
con y ... .
k l m n
i ik l m nN
uK x u u x
x x x x
l k l m n k
1 2
1 2
1 2 , ,..., 1 1 2 2, ,... 0
Una función , ,..., es analítica en el punto
, ,...,
si puede ser desarrollada en series de potencias
, ,..., ....
que converge para todo suficie
L
L
r s t
L r s t L Lr s t
i
F y y y
c c c
F y y y F y c y c y c
y
ntemente cercano a ic
1 1
...
1 1 2
2 31
La solución de la ecuación diferencial parcial
, ,...
satisfaciendo las condiciones a la frontera
, ,..., 0,1,..., 1
en una vecindad del pun
k l m n
i ik l m nN
j
j Nj
x a
uK x u u x
x x x x
uL x x x j k
x
to existe, es única y
analítica, si la función y las funciones son
analíticas.
i
i
a
K L
1 2Sea , ,..., 0 la ecuación
de una hipersuperficie.
Las condiciones de Cauchy consisten
en especificar la función desconocida
y sus derivadas parciales (hasta un orden
menor que aquel de la ecuació
N
i
S x x x
u x
n) a lo
largo de una dirección normal a la hipersuperficie.
2 2
2 2
2
2
2
, , ,
, , , 0
Eliptica: 4 0
Parabólica: 4 0
Hiperbólica: 4 0
u u uA x y B x y C x y
x x y y
u uD x y E x y F x y
x y
B AC
B AC
B AC
2
1 1 1
ˆ 0
1. Eliptica: Los valores propios de la matriz
son todos positivos o todos negativos
N N N
ij ii j ii j i
ij
u uLu a b cu d
x x x
a
2
1 1 1
ˆ 0
2. Parabólica: Los valores propios de la matriz
son todos positivos o todos negativos, excepto uno
que es cero
N N N
ij ii j ii j i
ij
u uLu a b cu d
x x x
a
2
1 1 1
ˆ 0
3. Hiperbólica: Los valores propios de la matriz
son todos positivos menos uno que es negativo,
o todos negativos menos uno que es positivo.
N N N
ij ii j ii j i
ij
u uLu a b cu d
x x x
a
2
1 1 1
ˆ 0
4. Ultrahiperbólica: Los valores propios de la matriz
son tales que hay más de un valor propio positivo y
más de un valor propio negativo, y no hay val
N N N
ij ii j ii j i
ij
u uLu a b cu d
x x x
a
ores
propios iguales a cero.
Hay muy pocas ecuaciones ultrahiperbólicas.
2 0
2 0 es elíptica
2
1 1 1
ˆ 0
En este caso, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0, 1,2,3 0 y 0
N N N
ij ii j ii j i
ij
i
u uLu a b cu d
x x x
N
a
b i c d
Aparece en muchos problemas
de la física y de las matemáticas
aplicadas, en particular en
la electrostática.
2 0
2
2 2 2
2 2 2
0
0x y z
2 2 2
2 2 20
*
*
x y z
Es de segundo orden
* Es lineal
Es elíptica
4 0E E
Las ecuaciones de Maxwell
para la electrostática son:
2
0
4
E E
E
Sustituyendo en la ley de Gauss
4 0E E
2 4
E
La ecuación
de Poisson:
más
4
0
E
E
2
0,
0
r
Si estamos en una región donde
tenemos la ecuación
de Laplace:
2 4
2 2 22
2 2 2
22 2
2 2 2 2 2
22
2 2
0
1 1 1sin 0
sin sin
1 1
x y z
rr r r r r
rr r r r
En coordenadas cartesianas:
En coordenadas esféricas:
En coordenadas cilíndricas:2
20
z
2 4
1 q
2 q
3 q
iq
Nq
1 2
3j
M
2 0
• Sobre los conductores el potencial es constante e
igual al de la superficie
• En los conductores NO SE CONOCE la
distribución de carga
• Sobre las cargas
• En todo el resto del espacio
2
0
ii
qr r r
2 0r
Es decir, lo que hay que resolver es la
ecuación de Laplace
con las condiciones a la frontera
adecuadas. Por ejemplo,
sobre el conductor
2 0
ii
-Linealidad: Cualquier combinación lineal de soluciones
es una solución.
-Unicidad: Si una función satisface la ecuación de Laplace
y las condiciones de frontera, entonces es única.
- Las soluciones de la ecuación de Laplace no tienen
extremos locales; es decir, no tiene ni máximos ni
mínimos más que en las fronteras.
2
Fijas las condiciones a la frontera, la solución
a la ecuación de Laplace
0
Así que si tenemos las solución a un problema
podemos adecuar otros problemas a
e
esa
solució
s única.
n
.
2 2 2
2 2 20
x y z
, ,x y z X x Y y Z z
2 2 2
2 2 20
d X x d Y y d Z zY y Z z X x Z x X x Y y
dx dy dz
2 2 2
2 2 2
1 1 10
d X x d Y y d Z z
X x dx Y y dy Z z dz
22
2
22
2
22
2
1
1
1
d X x
X x dx
d Y y
Y y dy
d Z z
Z z dz
2 2 2 0
, ,
, ,
i x i x i y i y z z
i x i x i y i y z z
x y z Ae Be Ce De Ee Fe
x y z d d Ae Be Ce De Ee Fe
2 2 2
2 2 20
x y z
Las constantes , , y los coeficientes , , , , ,
se determinan dependiendo de las condiciones a la frontera
A B C D E F
Caja rectangular
a
b
c
,V x y
0 0
Sobre todas las caras,
excepto la de arriba el
potencial es cero
, ,
0 0
0, , 0
, ,
, , 2 sin
i x i x i y i y z z
i y i y z z
i x i x i y i y z z
x y z Ae Be Ce De Ee Fe
x
y z A B Ce De Ee Fe
B A
x y z A e e Ce De Ee Fe
x y z A i x
i y i y z zCe De Ee Fe
, , 2 sin
0 0
, , 2 sin 0
, , 4 sin sin
i y i y z z
z z
z z
x y z iA x Ce De Ee Fe
y
x y z iA x C D Ee Fe
D C
x y z AC x y Ee Fe
, , 4 sin sin
0 0
, ,0 4 sin sin 0
, , 4 sin sin
z z
z z
x y z AC x y Ee Fe
z
x y AC x y E F
F E
x y z ACE x y e e
, , 4 sin sin
0
, , 4 sin sin 0
donde es un entero
, , 4 sin sin
z z
z z
z zn
x y z ACE x y e e
x a
x a y z ACE a y e e
a n n
n
an
x y z ACE x y e ea
, , 4 sin sin
0
, , 4 sin sin 0
donde es un entero
, , 4 sin sin
z zn
n
z zn
z znm
nx y z ACE x y e e
a
y b
nx y b z ACE x b e e
a
b m m
m
bn m
x y z ACE x y e ea b
2 2 2
2 2 2 22 2
2 2
, , 4 sin sin z znm
n mx y z ACE x y e e
a b
n m n m
a b a b
, , sin sin z znm
n mx y z C x y e e
a b
2 2 2
2 2 20
x y z
0 0, 0, 0x y z
2 2
sin
sin
sinh
X x
Y y
Z z
0 , x a y b
2 2
2 2
n
m
mn
n
am
b
n m
a b
, 1
, , sin sin sinh
, , sin sin sinh
nm n m nm
nm n m nmn m
x y z x y z
x y z A x y z
2 2 2
2 2 20
x y z
, 1
sin sin sinh ,nm n m nmn m
A x y c V x y
,z c V x y
0 0
4, sin sin
sinh
a b
nm n mnm
A dx dyV x y x yab c
, 1
, 1
, 10 0
0 0
sin sin sinh ,
sin sin sin sin sinh
, sin sin
sin sin sin sin sinh
, sin sin
nm n m nmn m
nm n k m l nmn m
k l
a b
nm n k m l nmn m
a b
k l
A x y c V x y
A x x y y c
V x y x y
dx dy A x x y y c
dx dyV x y x y
, 1 0 0
0 0
, 1 0 0
0 0
sin sin sin sin sinh
, sin sin
2 2 sinh , sin sin
4, sin sin
sinh
a b
nm n k m l nmn m
a b
k l
a b
nm nk ml nm k ln m
a b
nm n mnm
A dx x x dy y y c
dx dyV x y x y
A a b c dx dyV x y x y
A dx dyV x y x yab c
, 10 0 0 0
sin sin sin sin sinh , sin sina b a b
nm n k m l nm k ln m
dx dy A x x y y c dx dyV x y x y
0 0
4, sin sin
sinh
a b
nm n mnm
A dx dyV x y x yab c
, 1
, , sin sin sinhnm n m nmn m
x y z A x y z
2 2
2 2 n m nm
n m n m
a b a b
0
0
0 0
0
0 0
Para fijar ideas, pongamos un caso concreto,
,
Tenemos entonces
4sin sin
sinh
4sin sin
sinh
a b
nm n mnm
a b
n mnm
V x y V
VA dx dy x y
ab c
Vdx x dy y
ab c
0 0
1 1 1sin cos cos
0 es par1
1 1 2 es impar
aa
n nn n n
n
nn
ndx x x a
a
n
n
0
0 0
4sin sin
sinh
a b
nm n mnm
VA dx x dy y
ab c
0 0
1 1 1sin cos cos
0 es par1
1 1 2 es impar
bb
n n nn n n
n
nn
dy y y b
n
n
0
0 0
4sin sin
sinh
a b
nm n mnm
VA dx x dy y
ab c
0,
0, 2
02
16 1
sinh
si , son ambos impares y cero en cualquier otro caso.
16
sinh
16 1
sinh
si , son ambos impares y cero en cualquier otro caso.
n mnm n m
n mnm
nm
VA
ab c
n m
V abA
ab c nm
V
c nm
n m
02
2 1,2 1
2 1,2 1
, 1
2 2
2 1,2 1 2 2
16, ,
sinh
sin 2 1 / sin 2 1 / sinh
2 1 2 1
2 1 2 1
n m
n m
n m
n m
Vx y z
c
n x a m y b z
n m
n m
a b
Hasta aquí llegue el miércoles 3 de marzo del 2010 después de 2 clases de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00
Tercera Clase: Miércoles 10 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
22
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas
es:
, , ,r R r Y
Se propone la solución com
SEPARACIóN DE VAR
o
IABLES
22 2
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es
22 2
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,
rr r r r r
r R r Y
La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es
22
2 2 2 2 2sin 0
sin sin
Y d dR R Y R Yr
r dr dr r r
22
2 2 2 2 2sin 0
sin sin
Y d dR R Y R Yr
r dr dr r r
22
2 2
1 1sin
sin si
1
n0
Yd d YRr
R dr dr Y Y
22
2 2
1 1 1sin 0
sin sin
d dR Y Yr
R dr dr Y Y
2
2
2 2
11
1 1sin 1
sin sin
d dRr l l
R dr dr
Y Yl l
Y Y
y
2
2 2
2
2 2
1 1sin 1
sin sin
1 1sin 1
sin sin
ˆ 1
Y Yl l
Y Y
Y l l Y
LY l l Y
2
2 2
ˆ 1
1 1sin 1
sin sin
,
LY l l Y
Y l l Y
Y
Otra vez separación de variables:
2
2 2
1 1 1 1sin 1
sin sin
d d dl l
d d d
2
2 2
1 1 1 1sin 1 0
sin sin
d d dl l
d d d
2
22
sin 1sin 1 sin 0
d d dl l
d d d
2
22sin
sin 1 sin1
0d d
l ld d
d
d
2 2
22
2
sinsin 1 sin
1
d dl l m
d d
dm
d
y
22
2
im im
dm
d
Ae Be
¿Cuáles deben ser las condiciones
de frontera?
2
22
im imdm Ae Be
d
2 2
2 1,2,3,...
2
im im
im i nm im i nm
n n
Ae Be
n Ae e Be e
m
i debe sermplica que un e ntero
2
2
1 1sin 1 0
sin sin
d d ml l
d d
2 2sinsin 1 sin
d dl l m
d d
1
cos
1
x
x
Esta ecuación puede ser llevada a una forma
conocida mediante el cambio de variable
Por tanto, debemos de buscar la validez de
la solución para
2
2
1 1sin 1 0
sin sin
d d ml l
d d
2 2 2
2
sin
sin sin 1 cos 1
sin sin
cos
sin 1
d d dx d
d dx d dx
d d d dx
d dx dx dx
d d d d
x
dx d dx
d d dx d d dx dx
Haciendo el cambio de variable tenemos
2
2
1 1sin 1 0
sin sin
d d ml l
d d
2
2
2 22
2 2
sin sin 1
1 1sin 1
sin
1 1sin 1
sin sin 1
d d d dx
d d dx dx
d d d dx
d d dx dx
d d m d d mx
d d dx dx x
2
2
1 1sin 1 0
sin sin
d d ml l
d d
22
2
22
2
11 1
1
1 1 01
d d mx l l
dx dx x
d d mx l l
dx dx x
La ecuación queda ahora
ó bien
2
22
1 1 01
d dP mx l l P
dx dx x
La ecuación es la generalizada de Legendre
y sus soluciones se llaman funciones asociadas
de Legendre.
Estas son "funciones especiales" que han sido
extensamente estudiadas y que sus propiedades
pueden ser consultadas.
22
21 1 0
1
-1,1 .
d dP mx l l P
dx dx
l m l m l
x
La ecuación generalizada de Legendre
tiene soluciones que no son singulares en
sólo si
La solución se obtiene p
y son enteros co
or el método d
n
e series.
22
2
/ 22 2
1 1 01
11 1
2 !
m l mm lm
l l l m
d dP mx l l P
dx dx x
dP x x x
l dx
La ecuación es la generalizada de Legendre
Sus soluciones se llaman funciones asociadas
de Legendre y están dadas por la expresión
cosm iml
l m
l m l
P e
La solución de la parte angular queda
donde y son enteros
y
se cumple que
2
0 0
2
0 0
cos , cos
sin cos cos
sin cos cos
n in m imk l
n in m imk l
i n mn mk l
P e P e
d d P e P e
d P P d e
Ortogonalidad de las funciones angulares
22
2
0 0
2
0
1 11 0
2
0
i n m i n m i n m
i n m
n m
e d e ei n m i n m
n me d
n m
Si
así que
2
0 0
cos , cos sin cos cos i n mn in m im n mk l k lP e P e d P P d e
0
1 1
1 1
sin cos cos
cos sin
0 cos 0 1
cos 1
n nk l
n n n nk l k l
d P P
x dx d
x
x
dxP x P x dxP x P x
y
2
0 0
cos , cos sin cos cos i n mn in m im n mk l k lP e P e d P P d e
1
1
2 !
2 1 !n nk l kl
l ndx P x P x
l l n
Las funciones generalizadas de
Legendre cumplen:
2
0 0
2
0 0
cos , cos
sin cos cos
sin cos cos
!4
2 1 !
n in m imk l
n in m imk l
i n mn mk l
nm kl
P e P e
d d P e P e
d P P d e
l m
l l m
2 1 !
, cos4 !
m m iml l
l l mY P e
l m
l m
l m l
La solución a la parte ángular queda
donde y son enteros
y
se cumple que
2 1 !
, cos4 !
m m iml l
l l mY P e
l m
l m
l m l
Las funciones
donde y so
son
n enteros
los armó
y
se cump
nicos es
le que
fér
icos
2
2 2
1 1ˆ sinsin sin
ˆ 1
2 1 !, cos
4 !m m iml l
LY
LY l l Y
l l mY P e
l m
l m
l m l
donde y son enteros y se cumple que
22
2 2
1 1 1sin 0
sin sin
d dR Y Yr
R dr dr Y Y
2
2
2 2
11
1 1sin 1
sin sin
d dRr l l
R dr dr
Y Yl l
Y Y
y
2
2
22
2
1
1 0
2 1 0
d dRr l l R
dr dr
d dRr l l R
dr dr
d R dRr r l l Rdr dr
22
2
0
2 1 0
nn
n
d R dRr r l l Rdr dr
R r a r
Se propone una serie como solución:
2
22
0
2 1 0 nn
n
d R dRr r l l R R r a rdr dr
;
1
0
2 30 1 2 3
0
2 31 2 3 4
0
...
2 3 4 ....
nn
n
n nn n
n n
d da r a a r a r a r
dr
dR da r n
dr
a a r a r a r
a rdr dr
2 30 1 2 3
0
2 31 2 3 4
2 3 41 2 3
1
0 0 0
4
...
2 3 4 ....
2 3 4 ....
n n nn n
n
nn n
n
n
n
d dr a r r a a r a r a rdr dr
r a a r a r a r
dR dr r a r r na r na rd
a r a r
d
a r
r r
r a
2
22
0
2 1 0 nn
n
d R dRr r l l R R r a rdr dr
;
2 31 2 3 4
22 3
21
20 0
4
2
2 3 4 ....
2 6 1
1
2 ...
n nn n
n n
da a r a r a r
dr
d R dna r n n a r
dr d
r
r
a a a r
2
22
0
2 1 0 nn
n
d R dRr r l l R R r a rdr dr
;
2 2 31 2 3 4
2 22 3 4
2 3 42 3
22
4
2 22
0 0
2 3 4 ....
2 6 12 ...
2 6 12 .
1
.
1
.
n nn n
n n
dr a a r a r a rdr
r a a
d Rr r n n a r n
r a r
a
n a r
r a r
dr
r a
2
22
0
2 1 0 nn
n
d R dRr r l l R R r a rdr dr
;
0 0 0
0
1 2 1 0
1 2 1 0
n n nn n n
n n n
nn
n
n n a r na r l l a r
n n n l l a r
2
22
0
2 1 0 nn
n
d R dRr r l l R R r a rdr dr
;
0
1 2
1 1
1
0
0
2
nn
n
n n n l l
n n n l l
a r
r
como las potencias de son
linealmente independientes, necesariamente
2
22
0
2 1 0 nn
n
d R dRr r l l R R r a rdr dr
;
2
2
1 2
1 0
1 1 4 1 1 2 11 4 4 1
2 2 2
1
n n l l
l l ll
l
l
n l n
n
implica que
y
2
22
0
2 1 0 nn
n
d R dRr r l l R R r a rdr dr
;
22
2
1
2 1 0
ll l
d R dRr r l l Rdr dr
BR r Ar
r
22
2 2 2 2 2
10
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,l
l lmlm lml
l m l
rr r r r r
Br A r Y
r
La solución general de la ecuación de Laplace en
coordenadas esféricas
es
22
2 2 2 2 2
10
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,l
l lmlm lml
l m l
rr r r r r
Br A r Y
r
0, ,
R
r R V
Para determinar una solución particular,
necesitamos condiciones a la frontera.
Por ejemplo, que el potencial sea
constante sobre una esfera de radio ,
es decir, que
22
2 2 2 2 2
10
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,l
l lmlm lml
l m l
rr r r r r
Br A r Y
r
0
.
, ,r R V
R
r
es decir, el potencial es constante sobre
una esfera de radio
Debemos añadir el que la solución sea
finita tanto en el infinito
Condic
ión de fron
como
en el o
tera
rigen
22
2 2 2 2 2
10
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,l
l lmlm lml
l m l
rr r r r r
Br A r Y
r
10
.
0
0
.
,
, , ,
lm
llm
lmll m l
r R
r
A
l m
r R
Br Y
r
Analicemos la solución para
Si queremos que cuando
debemos tener para todos
y
Así que para
22
2 2 2 2 2
10
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,l
l lmlm lml
l m l
rr r r r r
Br A r Y
r
0
.
0
0
.
,
, , ,
lm
ll
lm lml m l
r R
r
B
l m
r R
r A r Y
Analicemos la solución para
Si queremos que sea finito cuando
debemos tener para todos
y
Así que para
22
2 2 2 2 2
10
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,l
l lmlm lml
l m l
rr r r r r
Br A r Y
r
10
0
010
00
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
llm
lmll m l
ll
lm lml m l
llm
lmll m l
ll
lm lml m l
Br Y
r
r A r Y
Br R Y V
R
r R A R Y V
010
00
000
00 0
0 0001
0
00
, , ,
, , ,
, , , ,
, , ,
llm
lmll m l
ll
lm lml m l
llm
lmll m l
ll
lm lml m l
Br R Y V
R
r R A R Y V
BV
RA V
B V R V Rr Y Y
r r r
r A r Y V
Por tanto,
y
22
2 2 2 2 2
10
0
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,
,
ll lm
lm lmll m l
rr r r r r
Br A r Y
r
r R V
Solución general:
Con la condición de frontera
más las condiciones necesarias debido al
0
0
,
, ,V R
r Rr r
V r R
significado
de tenemos
0
0
20 0 0
22 2 2 2 2
2 20 02 2 2
, ,
1 1 1sin
sin sin
11
V Rr R
r rV r R
V R V R V R
r r rr
r r r r r
V R V Rrr r
r r r r r r
¿De verdad es una solución?
02
1 0V R
r r
22
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
0
0
20 0 02
2 2 2 2 2
, ,
1 1 1sin 0
sin sin
V Rr R
r rV r R
V V Vr
r r r r r
¿De verdad es una solución?
22
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
0
0
00
00
, ,
, ,
V Rr R
r rV r R
V RV r Rr R
r R RV r R
V r R
¿De verdad cumple
la condición de frontera?
22
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
0
0
, ,V R
r Rr r
V r R
es una solución y cumple
con las condiciones de frontera.
Dado que la solución es única, esta es la solución
22
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
2 22
2 2 2
1 10
z
La ecuación de Laplace en
coordenadas cilíndricas es:
2 22
2 2 2
1 10
, ,
z
z R Z z
La
Proponemos la solución d
ecuación de Laplace en coor
e variables separadas
denadas
cilíndricas es
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
0
1 1 10
Z d dR RZ d d ZR
d d d dz
d dR d d Z
R d d d Z dz
Sólo de y zSólo de
2 2
22
2
22
2
2 2 2
2
1 1
1
1 1
10
d dR d d Z
d Zk
Z dz
d dR dk
R d d d
R d d d Z dz
Tenemos
y
22
2
22
2
1
kz kz
d Zk
Z dz
d Zk Z
dz
Z z Ae Be
2 2
22 2 2 2
2
2
22
2
2
2
01
1
1
1
d
d d dRk
d R
dR
d dR dk
R d d d
d d
kR
d
dd d
y
22
2
22
2
1
exp exp
2
d
d
d
d
A i B i
es un entero
2 2 2
2 22 2 2
2
2 22
2 2
10
d dRk
R d d
d R dRk
R d R d
d R dRk R
d d
2 22
2 2
2 2
2 2
10
1
11 0
d R dRk R
d d
kx k
x
d R dRR
dx x dx x
2 2
2 2
11 0
d R dRR
dx x dx x
es la ecuación de Bessel
y sus soluciones se llaman
funciones de Bessel
2
2 2 22
0d R dR
x x x Rdx dx
es la ecuación de Bessel
y sus soluciones se llaman
funciones de Bessel
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
0
Dado que 0 es un punto singular regular
de la ecuación de Bessel, sabemos que
existe al menos una solución de la forma
n rn
n
x
y c x
0
0 0
2 2
0 0
1
0
n rn
n
n r n rn n
n n
n r n rn n
n n
y c x
c n r n r x c n r x
c x c x
Proponemos la solución
Sustituyendo en la ecuación de Bessel,
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
2 2
0 0 0 0
1 0n r n r n r n rn n n n
n n n n
c n r n r x c n r x c x c x
20 0 0
2
1
2
0
1
1
0
r r r
r nn
n
r nn
n
c r r x c rx c x
x c n r n r n r x
x c x
20 0 0
2 2
1 0
1
1 0
r r r
r n r nn n
n n
c r r x c rx c x
x c n r n r n r x x c x
2 20
2
1
2
0
1
0
r
r nn
n
r nn
n
c r r r x
x c n r n r n r x
x c x
22 2 20
1
2
0
0
r r nn
n
r nn
n
c r x x c n r x
x c x
2 20
2 2
1 0
1 0
r
r n r nn n
n n
c r r r x
x c n r n r n r x x c x
2 2
1 2
0r
r r
Ecuación indicial:
Por tanto, tenemos
y
22 2 2 20
1 0
r r n r nn n
n n
c r x x c n r x x c x
2 2 2
1 0
2
1 0
21
2 0
0
2 0
1 2 2 0
n nn n
n n
n nn n
n n
n nn n
n n
x c n x x c x
x c n n x x c x
x c x c n n x c x
22 2 2 20
1 0
r r n r nn n
n n
c r x x c n r x x c x
r
2 21 2
0 0
21 2
0
1 2 2 2 2 0
1 2 2 2 2 0
k kk k
k k
kk k
k
x c x c k k x c x
x c x c k k c x
21
2 0
1 2 2 0n nn n
n n
x c x c n n x c x
1
2
2
1 2 0
2 2 2 0
2 2 2
k k
kk
c
c k k c
cc
k k
21 2
0
1 2 2 2 2 0kk k
k
x c x c k k c x
1
3 5 7
2 1
0
... 0
0 0,1,2,...n
c
c c c
c n
Si se pone
entonces
Es decir,
para
21 2
0
1 2
1 2 2 2 2
1 2 02 2 2
kk k
k
kk
x c x c k k c x
cc c
k k
2 22 2
02 2
2 04 2 4
4 06 2 6
02 2
2 2 , 1,2,3
2
2 1 1
2 2 2 2 1 2 1 2
2 3 3 2 1 2 3 1 2 3
...
1
2 ! 1 2 ...
nn
n
n n
k n n
cc
n n
cc
c cc
c cc
cc
n n
Haciendo
Por tanto,
21 2
0
1 2
1 2 2 2 2
1 2 02 2 2
kk k
k
kk
x c x c k k c x
cc c
k k
21 2
0
02 1 2 2
1 2 2 2 2
10
2 ! 1 2 ...
kk k
k
n
n n n
x c x c k k c x
cc c
n n
;
0
1
2 1c
2 2 2
1 1
2 ! 1 2 ... 1 2 ! 1
0,1,2,3,...
n n
n n nc
n n n n
n
21 2
0
02 1 2 02
1 2 2 2 2 0
1 10 ;
2 ! 1 2 ... 2 1
kk k
k
n
n n n
x c x c k k c x
cc c c
n n
;
21 2
0
2 2
1 2 2 2 2 0
10,1,2,3,...
2 ! 1
kk k
k
n
n n
x c x c k k c x
c nn n
;
2
0
1
! 1 2
n n
n
xJ x
n n
0
[0, ).
Si , la serie converge
al menos en el intervalo
2
0
1
! 1 2
n n
n
xJ x
n n
2
2
0
1
! 1 2
n n
n
r
xJ x
n n
Para , se obtiene de la
misma manera
2
0
2
0
1
! 1 2
1
! 1 2
n n
n
n n
n
xJ x
n n
xJ x
n n
Las funciones
son las funciones de Bessel
de primera clase de orden
y orden , respectivamente.
0J x
1J x
1J x
2J x
2J x
10J x
0.3J x
0.2J x
2 2
2 2
11 0
d R dRR
dx x dx x
R x A J x B N x
La solución, que se encuentra por el
método de series de potencias, es
donde .....
2
1
1
0
1
! 1 2
cos
sin
1 !
m m
m
z t
xJ x
m m
J x J xN x
z t e dt n n
Funciones de Bessel de primera clase:
Funciones de Bessel de segunda clase o de Neumann:
donde
(Para enteros: )
R x A J x B N x
2 22
2 2 2
, ,
1 10
kz ir z A J kr B N kr e e dk
z
tiene como solución gener
La ecuación de Laplace en coordenadas
cilín
l
a
a
dric s
Hasta aquí llegue el miércoles 10 de marzo del 2010 después de 3 clases de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00
Cuarta Clase: Miércoles 17 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
Repaso de la Cuarta Clase: Miércoles 17 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00
2 22
2 2 2
1 10
z
La ecuación de Laplace en
coordenadas cilíndricas es:
, , z R Z z
Proponemos la solución
de variables separadas
2 22
2 2 2
1 10
z
22
2
22
2
2 2 2
1
1
d Zk
Z dz
d
d
d dRk
R d d
2 22
2 2 2
1 10
z
22
2
22
2
1
1exp exp
kz kzd Zk Z z Ae Be
Z dz
dC i D i
d
con un entero
2 22
2 2 2
1 10
z
2 2 2d dRk
R d d
2 2
2 2
11 0
x k
d R dRR
dx x dx x
Haciendo
se obtiene
2
2 2 22
0d R dR
x x x Rdx dx
es la ecuación de Bessel
y sus soluciones se llaman
funciones de Bessel
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
0
Dado que 0 es un punto singular regular
de la ecuación de Bessel, sabemos que
existe al menos una solución de la forma
n rn
n
x
y c x
2
0
1
! 1 2
n n
n
xJ x
n n
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
2
2
0
1
! 1 2
n n
n
r
xJ x
n n
Para , se obtiene de la
misma manera
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
2
0
2
0
1
! 1 2
1
! 1 2
n n
n
n n
n
xJ x
n n
xJ x
n n
Las funciones
son las funciones de Bessel
de primera clase de orden
y orden , respectivamente.
Fin del Repaso de la Cuarta Clase: Miércoles 17 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00
2
0
2
0
1
! 1 2
1
! 1 2
n n
n
n n
n
xJ x
n n
xJ x
n n
Las funciones
son las funciones de Bessel
de primera clase de orden
y orden , respectivamente.
1m
m mJ x J x
m
La función es "infinito" en 0
y en los enteros negativos,
por tanto,
para entero.
2 2
0 0
1 1
! 1 2 ! 1 2
n nn n
n n
x xJ x J x
n n n n
;
0J x
1J x
1J x
2J x
2J x
10J x
vJ x J x
Por lo tanto, para entero
y no son
linealmente independientes,
y tenemos que buscar otra
solución.
2 2
0 0
1 1
! 1 2 ! 1 2
n nn n
n n
x xJ x J x
n n n n
;
1y y udx
Un método es el que ya utilizamos,
para disminuir el orden de la
ecuación en uno, mediante la
sustitución
2 2
0 0
1 1
! 1 2 ! 1 2
n nn n
n n
x xJ x J x
n n n n
;
ln x
Otro método consiste en buscar
directamente la solución en forma
de la suma de una serie
generalizada de potencias y del
producto de dicha serie por .
2 2
0 0
1 1
! 1 2 ! 1 2
n nn n
n n
x xJ x J x
n n n n
;
cos
sin
J x J xY x
Otro método consiste en definir,
para no entero,
y luego pasar al límite cuando
tiende a un número entero.
2 2
0 0
1 1
! 1 2 ! 1 2
n nn n
n n
x xJ x J x
n n n n
;
ˆ
lim limx c x c
f x f x
g x g x
Hay que usar la regla de
L´Hopital
coslim
sinnn
J x J xY x
n
con un entero
1 2
1 2
y x c J x c J x
y x c J x c Y x
La solución general de la ecuación de
Bessel cuando no es un entero es
y cuando es un entero es
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
0.3J x
0.2J x
2
1
1
0
1
! 1 2
cos
sin
1 !
m m
m
z t
xJ x
m m
J x J xY x
z t e dt n n
Funciones de Bessel de primera clase:
Funciones de Bessel de segunda clase o de Neumann:
donde
(Para enteros: )
R x A J x B Y x
2 22
2 2 2
, ,
1 10
kz ir z A J kr B Y kr e e dk
z
tiene como solución gener
La ecuación de Laplace en coordenadas
cilín
l
a
a
dric s
2 22
2 2
, ,
0 , 0
u x t u x tc
t x
x L t
2
2
2 22
2 2
, ,
, ,
T x t T x tk
t x
u x t u x tc
t x
2 22
2 2
, ,
* Es de segundo orden
* Es lineal
* Es hiperbólica
u x t u x tc
t x
2 2
2 2
2
2
2
, , ,
, , , 0
Eliptica: 4 0
Parabólica: 4 0
Hiperbólica: 4 0
u u uA x y B x y C x y
x x y y
u uD x y E x y F x y
x y
B AC
B AC
B AC
2 22
0
2 2
0, 0Condiciones en la frontera: ; 0
, 0
Ecuación diferencial parcial:
,0
Condiciones iniciales: ; 0,
, ,; 0 , 0
t
u tt
u
u x f x
x Lu x tg x
u x t u x tc x L t
L t
t
t x
2 22
2 2
Ecuación diferencial parcial:
, ,;
0 , 0
Separación de variables:
,
u x t u x t
u x t X
c
x t
t xx L t
2
2 2
2 22
2 2
2 22
2
2
2
211 d
c dt
X x t X x tc
t x
d d XX cd
d X
X dx
t dx
2 2
22 2
, ,; 0 , 0 ; ,
u x t u x tc x L t u x t X x t
t x
2 22
2 2 2
1 1d d X
c dt X dx
2 2
22 2
, ,; 0 , 0 ; ,
u x t u x tc x L t u x t X x t
t x
22
2
Problema de valores propios:
, 0
0 0 , 0
d XX x L
dx
X X L
2 2
22 2
, ,; 0 , 0 ; ,
u x t u x tc x L t u x t X x t
t x
22
2, 0
0 0 , 0
sin /
/ , 1,2,3,....n
n
d XX x L
dxX X L
X x n x L
n L n
2 2
22 2
, ,; 0 , 0 ; ,
u x t u x tc x L t u x t X x t
t x
22 2
2
Problema de valores propios:
, 0d
c tdt
2 22
2 2
, ,Ecuación diferencial parcial: ; 0 , 0
Separación de variables: ,
u x t u x tc x L t
t xu x t X x t
22 2
2, 0
sin /cos /
/
1,2,3,....
n n n
dc t
dtn ct L
t A n ct L Bn c L
n
2 22
2 2
, ,Ecuación diferencial parcial: ; 0 , 0
Separación de variables: ,
u x t u x tc x L t
t xu x t X x t
2 22
2
0
2
0, 0Condiciones en la frontera: ; 0
, 0
,0
Condiciones iniciales:
, ,Ecuación
sin /, cos
diferencial parcial:
//
; 0
; 0 0
,
,
t
n n
u x
u tt
u x f x
x Lu x tg x
t
t u x tc x L t
t
n
u
ct Lu x t A n ct L
L t
x
Bn c L
1
sin /n
n x L
0
1
,0
Condiciones iniciales: ; 0,
,0 sin /
t
nn
u x f x
x Lu x tg x
t
u x A n x L f x
1
sin /, cos / sin /
/n nn
n ct Lu x t A n ct L B n x L
n c L
1
0
0
,0
Condiciones iniciales: ;
,0 sin /
2i /
,
s n
0
n
n
L
m
t
u x
u x f x
x Lu
A n x
x tg
L f x
A f x m x L dxL
xt
1
sin /, cos / sin /
/n nn
n ct Lu x t A n ct L B n x L
n c L
0
1
0
1
1
sin /, cos / s
,0
Condiciones ini
in
ciales: ; 0,
//
,
,sin / cos / sin /
sin /
n nn
n
t
t
nn
n
n
n ct Lu x t A n ct L B n x L
n c L
n c
L
u x tg
u x f x
x Lu x tg x
x
t
t
u x t An ct L B n ct L n x L
t
B n x L
0
0
1
,0
Condiciones iniciales: ; 0,
2sin /
sin /
m
t
n
L
n
u x f x
x Lu x tg x
g x
B g x m x L dxL
t
B n x L
1
0
0
sin /, cos / sin /
/
2sin /
2sin /
n nn
L
n
L
n
n ct Lu x t A n ct L B n x L
n c L
A f x n x L dxL
B g x n x L dxL
2 22
2 2
0
, ,Ecuación diferencial parcial: ; 0 , 0
0, 0Condiciones en la frontera: ; 0
, 0
,0
Condiciones iniciales: ; 0,
t
u x t u x tc x L t
t x
u tt
u L t
u x f x
x Lu x tg x
t
2 22
2
0
2
0, 0Condiciones en la frontera: ; 0
, 0
,0
Condiciones iniciales:
, ,Ecuación
sin /, co
diferencial parcial:
s /
; 0 ,
00
0
; ,
t
n n
u x
n
u x tg x
t
u tt
u L t
u
t u x tc x L t
t
ct Lu x t A n ct L
x
Bn c
f x
x
x
L
1
sin //n
n x LL
10
1
,sin /
0 0 para toda
, cos / sin /
nnt
n
nn
u x tB n x L g x
t
g x B n
u x t A n ct L n x L
1
0
0
sin /, cos / sin /
/
2sin /
2sin /
n nn
L
n
L
n
n ct Lu x t A n ct L B n x L
n c L
A f x n x L dxL
B g x n x L dxL
0
,0
Condiciones iniciales: ; 0,0
t
u x f x
x Lu x tg x
t
00
00
0hx
x xx
f xh L x
x x LL x
00
00
0hx
x xx
f xh L x
x x LL x
h
0x L
0
2sin /
L
nA f x n x L dxL
0
0
00
00
0 00
20
2 20 0
0
2 2sin / sin /
2sin
x L
n
x
hxx x
xf x
h L xx x L
L x
h L xhxA n x L dx n x L dx
L x L L x
n xh L
x L x n L
00
00
20
2 210 0
0
; 0
2 1, sin cos sin
n
hxx x
xf x g x
h L xx x L
L x
L h n x n ct n xu x t
x L x n L L L
Animación
22
2 2
2
,1, 0
, 0
x tx t
c t
x t
2
1 1 1
ˆ 0
1. Eliptica: Los valores propios de la matriz son todos positivos
o todos negativos
2. Parabólica: Los valores propios de la matriz son todos
positiv
N N N
ij ii j ii j i
ij
ij
u uLu a b cu d
x x x
a
a
os o todos negativos, excepto uno que es cero
3. Hiperbólica: Los valores propios de la matriz son todos positivos
menos uno que es negativo, o todos negativos menos uno que es positivo.
4. Ultrahiper
ija
bólica: Los valores propios de la matriz son tales que
hay más de un valor propio positivo y más de un valor propio negativo,
y no hay valores propios iguales a cero.
ija
22
2 2
2
,1, 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1/
Es una ecuación hiperbólica
x tx t
c t
c
4
1
0
4 1
E
BE
c t
B
EB J
c c t
0
1
0
1
E
BE
c t
B
EB
c t
2
2
22
2 2
1
1
1
1
10
10
BE
c t
BE
c t
BE E
c t
E
c tE
c t
EE
c t
2
2
22
2 2
1
1
1
1
10
10
EB
c t
EB
c t
EB B
c t
B
c tB
c t
BB
c t
0 0
1 1
E B
B EE B
c t c t
22
2 2
22
2 2
10
10
EE
c t
BB
c t
22
2 2
10
ff
c t
2 2 2 2
2 2 2 2 2
, , , , , , , , , , , ,10
f x y z t f x y z t f x y z t f x y z t
x y z c t
22
2 2
10
ff
c t
, , ,f x y z t X x Y y Z z T t
2 2
2 2
2 2
2 2 2
10
d X x d Y yY y Z z T t X x Z z T t
dx dy
d Z z d T tX x Y y T t X x Y y Z z
dz c dt
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 10
d X x d Y y d Z z d T t
X x dx Y y dy Z z dz c T t dt
2 2 22
2 2 2
22 2 2
2
1 1 1
1
d X x d Y y d Z zk
X x dx Y y dy Z z dz
d T tc k
T t dt
2
22
d T tT t
dt
1 2i t i tT t T e T e
2 2 2
22 2 2
1 1 1d X x d Y y d Z zk
X x dx Y y dy Z z dz
2 2 2
2 2 21 2 32 2 2
2 2 2 21 2 3
1 1 1
d X x d Y y d Z zk k k
X x dx Y y dy Z z dz
k k k k
31 20 0 0 ik zik x ik yX x X e Y y Y e Z z Z e
0
1 2 3
2 2 2
, , , exp
, ,
0
f x y z t f ik r i t
k k k k
c k
22
2 2
10
ff
c t
0
0
0 1 2 3
0 2 3 1
1 0 1 2 3
1 0
, , , exp
exp
exp
exp exp
exp
exp
f x y z t f ik r i t
f ik r i tx
f ik x ik y ik z i tx
f ik y ik z i t ik xx
ik f ik x ik y ik z i t
ik f ik r i t
0
2
0 02
1 0 1 0
21 1 0 1 0
, , , exp
exp exp
exp exp
exp exp
f x y z t f ik r i t
f ik r i t f ik r i tx x x
ik f ik r i t ik f ik r i tx x
ik ik f ik r i t k f ik r i t
22
2 2
10
ff
c t
2 2 2 2
2 2 2 2 2
, , , , , , , , , , , ,10
f x y z t f x y z t f x y z t f x y z t
x y z c t
0, , , expf x y z t f ik r i t
2
2 2 21 2 3 2
, , , , , , , , , , , , 0k f x y z t k f x y z t k f x y z t f x y z tc
22
2 2
10
ff
c t
0, , , expf x y z t f ik r i t
2
2 2 21 2 3 2
, , , , , , , , , , , , 0k f x y z t k f x y z t k f x y z t f x y z tc
2
22
, , , 0k f x y z tc
22
2 2
10
ff
c t
2 2 2 0c k
0, , , , expf x y z t f k ik r i t
22
2 2
10
ff
c t
2 2 2 0c k
0, , , , expF x y z t f k ik r i t dkd
Hasta aquí llegue el miércoles 17 de marzo del 2010 después de 4 clases de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00
Quinta Clase: Miércoles 24 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
2 4x x
4 0E E
Las ecuaciones de Maxwell
para la electrostática son:
2
0
4
E E
E
Sustituyendo en la ley de Gauss
4 0E E
2 4
E
La ecuación
de Poisson:
más
4
0
E
E
2 4x x
3
2
Debido a la linealidad, se propone
, , ( )
donde
, 4x
x t G x x x d x
G x x x x
2 3
2 3
2
, ( ) 4
, ( ) 4
Como por definición:
, 4
x
x
x
G x x x d x x
G x x x d x x
G x x x x
3, , ( )x t G x x x d x
2 3
3
3
, ( ) 4
4 ( ) 4
4 ( ) 4
4 4
xG x x x d x x
x x x d x x
x x x d x x
x x
2 , 4xG x x x x
2
3
2
4 ( )
, ( )
, 4x
x x
x G x x x d x
G x x x x
33 / 2
La transformada de Fourier de la función de
Green , es
1exp
2
donde hemos definido , dado que
, sólo puede depender de .
G x x
g k G G R ik R d R
R x x
G x x x x
F
2 , 4xG x x x x
2
23 / 2
2
Tomando la transformada de Fourier de la ecuación
, 4
obtenemos
1 24
2
y finalmente
2 1
xG x x x x
k g k
g kk
F F
33 / 2
2
32 2
1( , ) exp
2
2 1
exp1( , )
2
G x x g k ik R d k
g kk
ik RG x x d k
k
32 2
22
2 20 0 0
2
20 0 0
0 0
exp1( , )
2
exp cos1( , ) sin
2
1( , ) exp cos sin
2
1exp cos sin( , ) ik
ik RG x x d k
k
ikRG x x k dkd d
k
G x x ikR dkd d
G x x dk R d
0
0
0
exp cos sin
1 exp cos
1 exp cos
1 exp exp
2sin1 2 sin
ikR d
dikR d
ikR d
ikRikR
ikR ikRikR
kRi kR
ikR kR
0
0 0
0
0
0
1( , )
( , ) exp cos sin
exp cos sin
2sinexp cos sin
2 1 sin( , )
ikR d
kR
G x x dk
G x x ikR dkd
ikR dk
kRG x x dk
R k
R
0
0
2 1 sin( , )
s
1( ,
¿
)
in?
2
kRG x x dk
R k
kRd
G
k
x xR
k
3
2
3
2
4 ( )
, ( )
)
, 4
1,
(
x
x
x x
x G x x x d x
G x x x x
d x
x
xx
x
G xx
x
0
sin
kRdk
k
2
¿Cuál es la solución de
la ecuación 1 0?x
Un polinomio tiene tantas raíces como su grado
2
Un número complejo es uno de la forma
donde y son números reales e
es la unidad imaginaria con la propiedad
1
x y
x iy
i
i
Un número complejo es uno de la forma
1) El número real es llamado la parte real
2) El número real es llamado la parte
imaginaria
x iy
x
y
Un número complejo es uno de la forma
Los números reales pueden ser considerados
como números complejos con la parte imaginaria
igual a cero.
Es decir, el número real es equivalente al
número complej
x iy
a
o 0a i
Si
es un número complejo,
la parte real, , se denota como Re( )
y la parte imaginaria, , se denota Im( )
z x iy
x z
y z
y
a ib c id
a c b d
a ib c id a c i b d
a ib c id a c i b d
a ib c id ac bd i bc ad
Las leyes de la suma y de la multiplicación
son asociativas,
conmutativas y
distributivas,
así que los numeros complejos son un campo
X
Y
,x y
z x iy
x
y
X
Y
,x y
arg
z x iy
r z
z
r
cos
sin
x r
y r
X
Y
z x iy
x
yr
cos sin
z x iy
z r i
X
Y
,x y
r
cos sin
i
z x iy
z r
r
i
z e
X
Y
,x y
r
2 2
arctan
r x y
y
x
X
Y
z x iy
x
yr
cos sinixe x i x
cos sin
iz r
z x iy
z r i
e
Es un conjunto donde hay definidas dos operaciones
a) SUMA: +
b) MULTIPLICACION:
1) Es cerrado con respecto a la suma y a la multiplicación
2) La suma y a la multiplicación son asociativas
3) La suma y
a la multiplicación son conmutativas
4) La multiplicacion es distributiva respecto a la suma
5) Existe la identidad aditiva: 0
6) Existe la identidad multiplicativa: 1
7) Existe el inverso aditivo
8) Existe el inverso multiplicativo
arctan si 0
arctan Si 0 y 0
arctan Si 0 y 0
Si 0 y 02
Si 0 y 02
indefinido Si 0 y 0
yx
x
yx y
x
yx y
x
x y
x y
x y
*
Cambiamos por
z x iy
z x y
i
i
i
* 2 2
* 2 2
2 *
zz x iy x iy x y i xy xy
zz x y
z zz
Funciones de variable compleja
son aquellas cuyo dominio es un
subconjunto del plano complejo
y su contradominio son también
los números complejos,
:f
2
:
:
ln : ln ln
exp : exp z
I I z z
f f z z
z z
z e
2
2 2
2 2
:
2
, ,2
f f z z
f z x iy x iy x y ixy
x y x y xy
2 2
:
, , , , , ,
Se pueden ver como funciones
:
f
f z f x y u x y iv x y u x y v x y
f
0 00
0
Dada
:
se define la derivada como
lim
Si la derivada existe para todos los puntos
de un conjunto , entonces se dice que
es diferenciable en
z
f
f z z f zf z
z
f
0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
La derivada de la función : en
existe si y sólo si
, ,
, ,
y estas primeras derivadas son continuas en
f z
u vx y x y
x y
u vx y x y
y x
z
Son las ecuaciones
de Cauchy-Riemman
0
00
0
Una función compleja es analítica
en un punto si tiene un desarrollo en
serie de potencias
que converge a para todo
suficientemente cerca a
i
ii
f z
z
f z a z z
f z z
z
0
0
Una función compleja
:
es diferenciable en
si tiene derivada en
f z
z
z
0
Una función compleja ,
diferenciable en un punto ,
es infinitamente diferenciable
en dicho punto
f z
z
0
0
0
0
Una función compleja
:
es analítica en
si es diferenciable en todos los puntos de una
vecindad de
Un conjunto es una vecindad de si hay
un disco : , 0 tal que
f z
z
S z
S z
z z z r r S
Una función compleja
:
es analítica en un conjunto
si es analítica en todos los puntos
del conjunto
f z
D
1.- Sea :
2.- Sea una trayectoria de a ,
que es un subconjunto de
3.- Sea : , una descripción
compleja de la trayectoria
Entonces tenemos
C
f z
C a b
C
f z dz f t t dt
1.- Sea : una función analítica
2.- Sea una trayectoria cerrada en
Entonces
0C
f
C
f z dz
Si es analítica en un dominio
simplemente conexo ,
entonces
0
para cualquier curva cerrada C
f z
f z dz
C
C
Los puntos donde una función no es analítica se llaman singularidades.
1) Singularidades aisladas
Suponiendo que no está definida en , pero sí en
i) Singularidad removible. Existe : tal
f a a
g
que en
ii) Polo
Existe : y tales que en
iii) Singularidad esencial
Si no es ni removible ni polo
n
f z g z a
g zg n f z a
z a
Los puntos donde una función no es analítica
se llaman singularidades.
2) Puntos de ramificación
Se presentan con funciones multivaluadas
como z
Sea una función analítica para todo
arbitrariamente cercano a , pero no igual a .
El residuo de en el punto está
definido por la integral compleja
1Re
2
La curva es simple y
z aC
f z z
a a
f z z a
s f z f z dzi
C
contiene a en su
interior
a
Sea una función analítica para todo arbitrariamente cercano a ,
pero no igual a .
El residuo de en el punto está definido por la integral
1compleja Re
2
La curva es simple
z aC
f z z a
a
f z z a
s f z f z dzi
C
y contiene a en su interiora
Si
tiene un polo simple en , entonces
Rez a
g zf z
z az a
s f z g a
1
Sea una curva simple cerrada en la dirección
contraria a las manecillas del reloj.
Supongamos que es analítica dentro de
excepto por un número finito de singularidades
,..., .
Entonces
2 Re
n
C
f z C
a a
f z dz i s 1 i
n
z aiC
f z
1
1
Sea : de la forma
La función : tiene la propiedad
1) Si 0, 0 cuando
2) Si 0, 0 más rápido que 1/ cuando
El lema de Jordan dice que
lim 0
donde es una tr
i z
RC
f f z e g z
g
g z R
g z z R
f z dz
C
ayectoria semicircular
de radio centrada en el origen.R
0
sin
kRdk
k
0
sin
kRdk
k
21 1 12 2
0iz iz iz ize e e edz dz dz dz
z z z z
0
sin
kRdk
k
1 1 2
21 2 2 1
R R Riz ix ix ix
R R R
e e e edz dx dx dx
z x x x
0
sin
kRdk
k
2
12 1
Riz ix
R
e edz dx
z x
0
sin
kRdk
k
2 2
21 12 1 1
2 2
1 1
sin2
R Riz iz ix ix
R R
R Rix ix
R R
e e e edz dz dx dx
z z x x
e e xdx i dx
x x
0
sin
kRdk
k
2
Por el lema de Jordan 0izedz
z
1
Nos falta la integral izedz
z
1
Nos falta la integral izedz
z
x
y
1R
La función tiene un
polo simple en 0
ize
zz
1
Nos falta la integral izedz
z
x
y
1R
La función tiene un
polo simple en 0
El residuo es 1
ize
zz
1
Nos falta la integral izedz
z
x
y
1R
La función tiene un
polo simple en 0
E
Por tanto
l r
la
esiduo
integral
es 2
es 1
ize
zz
i
1
Nos falta la integral izedz
z
x
y
1R
La función tiene un
polo simple en 0
El residuo es 1
Por tanto la integral
es 2
ize
zz
i
La integral sobre la parte de arriba es entonces i
0
Finalmente
sin
2
kRdk
k
Hasta aquí llegue el miércoles 24 de marzo del 2010 después de 5 clases de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00
Sexta Clase: Miércoles 7 de abril del 2010 de 12:30 a 14:00
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
Repaso de la sexta Clase: Miércoles 7 de abril del 2010 de 12:30 a 14:00
2 4x x
2
3
2
4 ( )
, ( )
, 4x
x x
x G x x x d x
G x x x x
33 / 2
La transformada de Fourier de la función de
Green , es
1exp
2
donde hemos definido , dado que
, sólo puede depender de .
G x x
g k G G R ik R d R
R x x
G x x x x
F
2 , 4xG x x x x
2
23 / 2
2
Tomando la transformada de Fourier de la ecuación
, 4
obtenemos
1 24
2
y finalmente
2 1
xG x x x x
k g k
g kk
F F
33 / 2
2
32 2
1( , ) exp
2
2 1
exp1( , )
2
G x x g k ik R d k
g kk
ik RG x x d k
k
32 2
22
2 20 0 0
2
20 0 0
0 0
exp1( , )
2
exp cos1( , ) sin
2
1( , ) exp cos sin
2
1exp cos sin( , ) ik
ik RG x x d k
k
ikRG x x k dkd d
k
G x x ikR dkd d
G x x dk R d
0
0
0
exp cos sin
1 exp cos
1 exp cos
1 exp exp
2sin1 2 sin
ikR d
dikR d
ikR d
ikRikR
ikR ikRikR
kRi kR
ikR kR
0
0 0
0
0
0
1( , )
( , ) exp cos sin
exp cos sin
2sinexp cos sin
2 1 sin( , )
ikR d
kR
G x x dk
G x x ikR dkd
ikR dk
kRG x x dk
R k
R
0
0
2 1 sin( , )
si
1
n
2
( , )
kRG x x dk
R k
kRd
G
kk
x xR
3
2
3
2
4 ( )
, ( )
)
, 4
1,
(
x
x
x x
x G x x x d x
G x x x x
d x
x
xx
x
G xx
x
FIN del Repaso de la sexta Clase: Miércoles 7 de abril del 2010 de 12:30 a 14:00
40B B J
c
Las ecuaciones de Maxwell
para la magnetoestática son:
2
2
0
4
0
4
B B A
B A A A Jc
A
A Jc
Sustituyendo en la ley de Ampere
Usando la invariancia de norma
40B B J
c
2 4A J
c
B A
La ecuación
de Poisson:
más
0
4
B
B Jc
31 J rA r d r
c r r
2 4A J
c
B A
La ecuación
de Poisson:
más
0
4
B
B Jc
22
2 2
2
,1, 4 ,
, 4 ,
x tx t f x t
c t
x t f x t
t
E
cJ
cB
B
t
B
cE
E
14
0
1
4
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B A
t
E
cJ
cB
B
t
B
cE
E
14
0
1
4
1
1
10
1
AE
c t
A
c t
AE
c t
AE
c t
4
0
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1 BE
c
E
B B A
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c c
t
t
t
A
cE
AB
1
2
14
14
A
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A
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4
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1
BE
c t
B
EB J
c c t
B A
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c
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t
2
22 2
22
2 2
1
4 1
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A
c tA J
c c t
AA A J
c c t c t
AA J A
c t c c t
4 1 1 con y
E AB J B A E
c c t c t
10A
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22
2 2
22
2 2
1 ( , )( , ) 4 ( , )
1 ( , ) 4( , ) ( , )
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c t
A x tA x t J x t
c t c
2
22 2
,1, 4 ,
x tx t f x t
c t
3
22
2 2
Debido a la linealidad, se propone
, , ; , ( , )
donde
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
x t d x dt G x t x t f x t
G x t x tG x t x t x x t t
c t
2
2 32 2
1, ; , ( , ) 4 ,x d x dt G x t x t f x t f x t
c t
2
3 22 2
1, ; , ( , ) 4 ,xd x dt G x t x t f x t f x t
c t
2
22 2
1, ; , 4x G x t x t x x t t
c t
3 4 ( , ) 4 ,d x dt x x t t f x t f x t
4 , 4 ,f x t f x t
22
3
22
2 2
,1, 4 ( , )
, , ; , ( , )
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
x tx t f x t
tc
x t d x dt G x t x t f x t
G x t x tG x t x t x x t t
c t
2
22 2
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
22
2 2
22
2 2
2
Sacando la transformada de Fourier de esta ecuación
1 ( , ; , )( , ; , ) 4
1 ( , ; , )( , ; , ) 4
(
x
x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
G x t x tG x t x t x x t t
c t
k G
F F
F F F
F 2
2 3
1, ; , ) ( , ; , )
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c
F
2
22 2
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
22
2 3
22
2 3
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3 2 2 2
1( , ; , ) ( , ; , )
4
1, ,
4
1,
4
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k g k g kc
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c k
F
2
22 2
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
-1
2
3 2 2 2
23
3 2 2 2
Por lo tanto, como ( , ; , ) ,
y
1,
4tenemos
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4
con y
G x t x t g k
cg k
c k
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c k
R x x t t
F
2
22 2
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
23
3 2 2 2
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4
con y
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c k
R x x t t
23
3
2 2 2
2 2 2( , ; , ) exp
4
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x
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i
d
d
c k
c k
23
3 2 2 2
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4
con y
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c k
R x x t t
2 2 2
exp expi iI d d
c k ck ck
1
Sea una curva simple cerrada en la dirección
contraria a las manecillas del reloj.
Supongamos que es analítica dentro de
excepto por un número finito de singularidades
,..., .
Entonces
2 Re
n
C
f z C
a a
f z dz i s 1 i
n
z aiC
f z
Sea una función analítica para todo
arbitrariamente cercano a , pero no igual a .
El residuo de en el punto está
definido por la integral compleja
1Re
2
La curva es simple y
z aC
f z z
a a
f z z a
s f z f z dzi
C
contiene a en su
interior
a
Sea una función analítica para todo arbitrariamente cercano a ,
pero no igual a .
El residuo de en el punto está definido por la integral
1compleja Re
2
La curva es simple
z aC
f z z a
a
f z z a
s f z f z dzi
C
y contiene a en su interiora
Si
tiene un polo simple en , entonces
Rez a
g zf z
z az a
s f z g a
1
1
Sea : de la forma
La función : tiene la propiedad
1) Si 0, 0 cuando
2) Si 0, 0 más rápido que 1/ cuando
El lema de Jordan dice que
lim 0
donde es una tr
i z
RC
f f z e g z
g
g z R
g z z R
f z dz
C
ayectoria semicircular
de radio centrada en el origen.R
Caso I. Función de Green retardada.
Bajamos los polos.
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ck i ck i
1 2
exp
exp exp
C
C
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z ck i z ck i
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1 2exp expC
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z ck i z ck i
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2z
,ck
,ck
1 2exp expC
iz zI dz
z ck i z ck i
2 2Si 0, para que exp +z sea analítica necesariamente 0z
1z
2z
,ck
,ck
1 2
Como los polos no están dentro del contorno de integración
exp
exp exp0
C
C
izI dz
z ck i z ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
1 2
1 2
semicirculosuperior de radio
Ahora
exp exp
exp
exp exp
C
R
R
R
iz zI dz
z ck i z ck i
id
ck i ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
1 2
1 2
semicirculosuperior
Tomando ahora el límite cuando ,
exp exp
exp
exp exp
C
R
iz zI dz
z ck i z ck i
id
ck i ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
1 2
semicirculosuperior
2
Pero
exp exp0
ya que 0 y la exponencial "mata" a todo lo demás
iz zdz
z ck i z ck i
z
Caso 0
Por tanto
exp0
id
ck ck
1 2
2
2
exp exp
Si 0, para que exp +z sea analítica
necesariamente 0
C
iz zI dz
z ck i z ck i
z
1z
2z
,ck
,ck
0
para
>0
I
Tenemos entonces,
, ; , 0
siempre que
G x x t t
t t
1 2exp expC
iz zI dz
z ck i z ck i
2 2Si 0, para que exp +z sea analítica necesariamente 0z
1z
2z
,ck
,ck
exp
2exp
z ck i
z ck i
izz ck i
z ck i z ck iI i
izz ck i
z ck i z ck i
2 Suma de los residuos en el interior del trayectoI i
Caso 0
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2 2
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2exp sin( )
i ck i i ck iI i
ck ck
iick ick
ck
ckck
Caso 0
1 2
1 2
semicirculoinferior de radio
Ahora
exp exp
exp
exp exp
C
R
R
R
iz zI dz
z ck i z ck i
id
ck i ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
1 2
1 2
semicirculoinferior
Tomando ahora el límite cuando ,
exp exp
exp
exp exp
C
R
iz zI dz
z ck i z ck i
id
ck i ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
1 2
semicirculoinferior
2
Pero
exp exp0
ya que 0 y la exponencial "mata" a todo lo demás
iz zdz
z ck i z ck i
z
Caso 0
0
Por tanto
exp 2lim exp sin( )
2sin( )
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ck ck ck
ckck
0 , 0
2sin( ) , 0
Ick
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2 2 2
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c k ck ck
23
3 2 2 2
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4
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c k
Sabemos que para
( , ; , ) 0
t t
G x t x t
2
33
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4
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c k
23
3
22
20 0 0
22
20 0 0
2 sin( )( , ; , ) exp
4
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2
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2
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k
2
22
0 0 0
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2
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k
0 0
Como nada depende de ,
la integral sobre resulta ser 2 , y
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0 0
0
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1 1exp cos exp exp
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ikR ikR ikRikR ikR
kRi kR
ikR kR
0 0
( , ; , ) sin( ) sin exp , >0c
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0
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( , ; , ) sin( )sin , >0
( , ; , )
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4 exp exp
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1( ) ( ) R R
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Así que
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Como 0 y 0, 0 y
( ) 0
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( )( , ; , ) para
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3
3
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( , ) ( , ; , ) ( , )
( )( , ) ( , )
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22
2 2
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3
,1, 4 ,
( , )( , )
( , )( , )
x tx t f x t
c t
f x tx t d x
x x
x xf x t
cx t d xx x
Hasta aquí llegue el miércoles 7 de abril del 2010 después de 6 clases de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00
Séptima Clase: Miércoles 14 de abril del 2010 de 12:30 a 14:00
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
22
2 2
2
,1, 4 ,
, 4 ,
x tx t f x t
c t
x t f x t
4 0
1 4 1
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B EE B J
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1
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22
2 2
22
2 2
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c t
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c t c
4 0
1 4 1
E B
B EE B J
c t c c t
22
2 2
2
,1, 4 ,
, 4 ,
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c t
x t f x t
2
22 2
,1, 4 ,
x tx t f x t
c t
3
22
2 2
Debido a la linealidad, se propone
, , ; , ( , )
donde
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
x t d x dt G x t x t f x t
G x t x tG x t x t x x t t
c t
2
2 32 2
1, ; , ( , ) 4 ,x d x dt G x t x t f x t f x t
c t
2
3 22 2
1, ; , ( , ) 4 ,xd x dt G x t x t f x t f x t
c t
2
22 2
1, ; , 4x G x t x t x x t t
c t
3 4 ( , ) 4 ,d x dt x x t t f x t f x t
4 , 4 ,f x t f x t
22
3
22
2 2
,1, 4 ( , )
, , ; , ( , )
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
x tx t f x t
tc
x t d x dt G x t x t f x t
G x t x tG x t x t x x t t
c t
2
22 2
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
22
2 2
22
2 2
2
Sacando la transformada de Fourier de esta ecuación
1 ( , ; , )( , ; , ) 4
1 ( , ; , )( , ; , ) 4
(
x
x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
G x t x tG x t x t x x t t
c t
k G
F F
F F F
F 2
2 3
1, ; , ) ( , ; , )
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c
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2
22 2
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
22
2 3
22
2 3
2
3 2 2 2
1( , ; , ) ( , ; , )
4
1, ,
4
1,
4
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k g k g kc
cg k
c k
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2
22 2
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
-1
2
3 2 2 2
23
3 2 2 2
Por lo tanto, como ( , ; , ) ,
y
1,
4tenemos
exp( , ; , )
4
con y
G x t x t g k
cg k
c k
ik R icG x t x t d d k
c k
R x x t t
F
2
22 2
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
23
3 2 2 2
exp( , )
4
con y
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23
3
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2 2 2( , ; , ) exp
4
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23
3 2 2 2
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4
con y
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c k
R x x t t
2 2 2
exp expi iI d d
c k ck ck
1
Sea una curva simple cerrada en la dirección
contraria a las manecillas del reloj.
Supongamos que es analítica dentro de
excepto por un número finito de singularidades
,..., .
Entonces
2 Re
n
C
f z C
a a
f z dz i s 1 i
n
z aiC
f z
Sea una función analítica para todo
arbitrariamente cercano a , pero no igual a .
El residuo de en el punto está
definido por la integral compleja
1Re
2
La curva es simple y
z aC
f z z
a a
f z z a
s f z f z dzi
C
contiene a en su
interior
a
Sea una función analítica para todo arbitrariamente cercano a ,
pero no igual a .
El residuo de en el punto está definido por la integral
1compleja Re
2
La curva es simple
z aC
f z z a
a
f z z a
s f z f z dzi
C
y contiene a en su interiora
Si
tiene un polo simple en , entonces
Rez a
g zf z
z az a
s f z g a
1
1
Sea : de la forma
La función : tiene la propiedad
1) Si 0, 0 cuando
2) Si 0, 0 más rápido que 1/ cuando
El lema de Jordan dice que
lim 0
donde es una tr
i z
RC
f f z e g z
g
g z R
g z z R
f z dz
C
ayectoria semicircular
de radio centrada en el origen.R
AVANZADA
Subimos los polos.
exp iI d
ck i ck i
1 2
exp
exp exp
C
C
izI dz
z ck i z ck i
iz zdz
z ck i z ck i
1 2exp expC
iz zI dz
z ck i z ck i
1z
2z
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,ck
1 2exp expC
iz zI dz
z ck i z ck i
2 2Si 0, para que exp +z sea analítica necesariamente 0z
1z
2z
,
ck
,
ck
exp
2exp
z ck i
z ck i
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z ck i z ck iI i
izz ck i
z ck i z ck i
2 Suma de los residuos en el interior del trayectoI i
Caso 0
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2 2
exp exp exp
2exp sin( )
i ck i i ck iI i
ck ck
iick ick
ck
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Caso 0
1 2
1 2
semicirculosuperior de radio
Ahora
exp exp
exp
exp exp
C
R
R
R
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z ck i z ck i
id
ck i ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
1 2
1 2
semicirculosuperior
Tomando ahora el límite cuando ,
exp exp
exp
exp exp
C
R
iz zI dz
z ck i z ck i
id
ck i ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
1 2
semicirculosuperior
2
Pero
exp exp0
ya que 0 y se satisface el lema de Jordan.
iz zdz
z ck i z ck i
z
Caso 0
Caso 0
0
Por tanto
exp
2lim exp sin( )
2sin( )
id
ck ck
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1 2exp expC
iz zI dz
z ck i z ck i
1z
2z
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,ck
1 2exp expC
iz zI dz
z ck i z ck i
2 2Si 0, para que exp +z sea analítica necesariamente 0z
1z
2z
,
ck
,
ck
1 2
Como los polos no están dentro del contorno de integración,
usando el teorema integral de Cauchy,
exp
exp exp0
C
C
izI dz
z ck i z ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
1 2
1 2
semicirculoinferior de radio
Ahora
exp exp
exp
exp exp
C
R
R
R
iz zI dz
z ck i z ck i
id
ck i ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
1 2
1 2
semicirculoinferior
Tomando ahora el límite cuando ,
exp exp
exp
exp exp
C
R
iz zI dz
z ck i z ck i
id
ck i ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
1 2
semicirculoinferior
2
Pero
exp exp0
ya que 0 y se cumplen las condiciones
del lema de Jordan.
iz zdz
z ck i z ck i
z
Caso 0
Caso 0
Por tanto
exp0
id
ck ck
2 2 2
exp expi iI d d
c k ck ck
2sin( ) , 0
0 , 0
ckI ck
23
3 2 2 2
exp( , ; , ) exp
4
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c k
Por lo tanto, es claro que
para 0
( , ) 0
t t
G x x t t
23
3 2 2 2
exp( , ; , ) exp
4
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c k
2
33
Entonces
2 sin( )exp
( , ; , ) 4
0
c ckd k ik R t t
G x t x t c k
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23
3
22
20 0 0
22
20 0 0
2 sin( )( , ; , ) exp
4
sin( )sin exp
2
sin( )sin exp
2
c ckG x t x t d k ik R
c k
c ckdkk d d ik R
k
c ckdkk d ik R d
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2
22
0 0 0
sin( )( , ; , ) sin exp
2
c ckG x t x t dkk d ik R d
k
0 0
Como nada depende de ,
la integral sobre resulta ser 2 , y
( , ; , ) sin( ) sin expc
G x t x t dkk ck d ik R
0 0
0
sin exp sin exp cos
1 1exp cos exp exp
2sin12 sin
d ik R d ikR
ikR ikR ikRikR ikR
kRi kR
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0 0
( , ; , ) sin( ) sin exp , <0c
G x t x t dkk ck d ik R
0
2sin( , ; , ) sin( ) , <0
kRcG x t x t dkk ck
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( , ; , ) sin( )sin , <0
( , ; , )
exp( ) exp( ) exp( ) exp( )
2 2
cG x t x t dk ck kR
R
G x t x t
c ick ick ikR ikRdk
R i i
exp exp
4 exp exp
exp exp1
4 exp exp
R Rick ickc ccdk
R R Rick ickc c
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R R Ri ic c
exp( ) exp( ) exp( ) exp( )( , ; , )
2 2
c ick ick ikR ikRG x t x t dk
R i i
1exp
2x d i x
1( ) ( ) ( ) ( )
2
1( ) ( )
R R R Rc c c cR
R Rc cR
exp exp1
4 exp exp
R Ri ic cd
R R Ri ic c
Como 0 y 0, 0
y necesariamente ( ) 0
Así que
1( , ; , ) ( )
RR x x cRc
RG x t x t cR
1, ( ) ( ) R RG R c cR
( )( , ; , )
x xt t
cG x t x tx x
3
3
3
( , ) ( , ; , ) ( , )
( )( , ) ( , )
( , )
x t d x dt G x t x t f x t
x xt t
cx t d x dt f x tx x
x xf x t
cd xx x
3 avanzada( , )
( , )f x t
x t d xx x
22
2 2
3 avanzada
3
,1, 4 ,
( , )( , )
( , )( , )
x tx t f x t
c t
f x tx t d x
x x
x xf x t
cx t d xx x
MIXTA
Caso III. Función de Green mixta
"Subimos uno, bajamos el otro"
exp
expC
iI d
ck i ck i
izI dz
z ck i z ck i
"Subimos uno, bajamos el otro"
exp
expC
iI d
ck i ck i
izI dz
z ck i z ck i
C
C
ickzickz
zizdz
ickzickz
izdzI
21 expexp
exp
2
Si primero consideramos el caso 0,
para que resulte se debe cumplir el lema
de Jordan y necesariamente 0;
es decir, para 0 debemos de cerrar el
contorno de integración por "arriba",
z
,ck
,ck
20 0z
Entonces para 0
exp2
exp2
2 2
exp
z ck i
izI i z ck i
z ck i z ck i
i ck ii
ck i
ie ick
ck i
Tomando el límite cuando 0,
exp( )i
I ickck
Si >0 tenemos expi
I e ickck i
2
Consideramos ahora el caso 0,
para que resulte se debe cumplir el lema
de Jordan y necesariamente 0;
es decir, para 0 debemos de cerrar el
contorno de integración por "abajo",
z
,ck
,ck
20 0z
Entonces para 0
exp2
exp2
2 2
exp
z ck i
izI i z ck i
z ck i z ck i
i ck ii
ck i
ie ick
ck i
Tomando el límite cuando
tiende a cero,
exp( ), si 0i
I ickck
Entonces para 0
expi
I e ickck i
Tenemos entonces
exp( ) 0
exp( ) 0
iick
ckIi
ickck
23
3
23
3
2
20 0 0
0
2
0
2 2( , ; , ) exp
4
exp4
sin exp exp4
exp( )
exp
exp
sin exp2
cG x t x t d k ik R
cd k ik R
icdkk d d ick ik R
icdkk ick d ik
id
c k
k
R
iic
ck
0
0 0
0
sin exp sin exp cos
1exp cos
1exp exp
2sin12 sin
d ik R d ikR
ikRikR
ikR ikRikR
kRi kR
ikR kR
0
0 0
0
0
( , ; , ) exp( ) sin exp2
2sinsin exp
( , ; , ) exp( )sin
icG x t x t dkk ick d ik R
kRd ik R
kR
icG x t x t dk ick kR
R
0
exp( ) exp( )( , ; , ) exp( )
2
exp exp2
1exp exp
2
c ikR ikRG x t x t dk ick
R
c R Rdk ick ickc cR
R Rd i ic cR
0
0
( , ; , ) exp( )sinic
G x t x t dk ick kRR
exp( ) exp( )exp( )
2
exp exp2
1exp exp
2
c ikR ikRdk ick
R
c R Rdk ick ickc cR
R Rd i ic cR
0
1exp
2x d i x
exp( ) exp( )exp( )
2
c ikR ikRdk ick
R
exp exp2
c R Rdk ick ickc cR
1( ) ( )R R
c cR
1exp exp
2R Rd i ic cR
( )Rc
R
0
exp( ) 0
exp( ) 0
iick
ckIi
ickck
23
3 2 2 2
23
3
2
20 0 0
0 0
exp( , ; , ) exp
4
exp exp4
sin exp exp4
exp( ) sin exp2
icG x t x t d k ik R d
c k
c id k ik R ick
ck
icdkk d d ick ik R
icdkk ick d ik R
0
0 0
0
sin exp sin exp cos
1exp cos
1exp exp
2sin12 sin
d ik R d ikR
ikRikR
ikR ikRikR
kRi kR
ikR kR
0
0 0
0
0
( , ; , ) exp( ) sin exp2
2sinsin exp
( , ; , ) exp( )sin
icG x t x t dkk ick d ik R
kRd ik R
kR
icG x t x t dk ick kR
R
0
exp( ) exp( )exp( )
2
exp exp2
1exp exp
2
c ikR ikRdk ick
R
c R Rdk ick ickc cR
R Rd i ic cR
0
0
( , ; , ) exp( )sinic
G x t x t dk ick kRR
1exp
2x d i x
1( , ; , ) ( ) ( )R RG x t x t c cR
1exp exp
2R Rd i ic cR
0
Pero como >0, 0 y 0,
0 y
( )1( ) ( )
R c
Rc
RcR R
c cR R
0 1
( , ; , ) ( ) ( )R RG x t x t c cR
( ) ( )( , ; , )
R Rc cG x t x tR
3
3
3 3
3 avanzada retarda
( , ) ( , ; , ) ( , )
( ) ( )( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )( , )
x t d x dt G x t x t f x t
R Rc cx t d x dt f x tR
x x x xf x t f x t
c cd x d xx x x x
f x t f x tx t d x
x x
22
2 2
3 3
3 avanzada retarda
,1, 4 ,
( , ) ( , )( , )
( , ) ( , )( , )
x tx t f x t
c t
x x x xf x t f x t
c cx t d x d xx x x x
f x t f x tx t d x
x x
Hasta aquí llegue el miércoles 14 de abril del 2010 después de 7 clases de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00
Octava Clase: Miércoles 28 de abril del 2010 de 12:30 a 14:00
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
22
2i V
t m
Si el potencial no depende del tiempo,
podemos proponer separación de
variables:
,
V
x t x T t
22
2i V
t m
22
22
2
1
2
T ti x T t x V x T t
t m
T tix V
T t t x m
22
2i V
t m
2
21
2
T tix V
T t t x mE
22
2i V
t m
22
22
1
2
1
2
T tix V E
T t t x m
T tiE
T t t
x V Ex m
22
2i V
t m
expE
T tiE
T t t
T t Ei T
t t
t
EC i
t
T
22
2i V
t m
2
2
2
21
2
2x V E
x V x E xm
x m
22
2i V
t m
2
2
2x V x E x
m
22ˆ
2
ˆ
H Vm
H E
2
2
2x V x E x
m
22
22Es una ecuación diferencial
ordinaria de segundo orden
lineal homogénea
d xV x x E x
m dx
22
22
0 0,
0,
d xV x E x
m dx
x aV x
x a
2
2
2r V r r E r
m
22
22
d xE x
m dx
0x x a
( 0) 0 ( ) 0x x a
22
22
0 0
0
d xE x
m dx
xx
x a
22
2
0 0,
0,2
x ad xV x E x V x
x am dx
2
2 2
22
22
2
2
2
d x mEx
dxmE
k
d xk x
dx
22
2
0 0
02
xd xE x x
x am dx
22
2
2 2
0
La ecuación característica es: 0
Las raices son: y
Así queikx ikx
d xk x
dx
k
ik ik
x Ae Be
2
22
0 ; ikx ikxd xk x x Ae Be
dx
2 s
0 0
in
x A B
B
x A kx
A
i
2 2 2 2 2
2
2 sin 0
ó bien 0 que nos lleva a un resultado trivial
ó 1,2,3,....
Por tanto
2 2
,
k
x a iA
nE
m m
ka
ka n
a
A
n
2
22
más 0 0 2 sind x
k x x x iA kxdx
22
2
2 2 2
2
2
0 0,
0,
sin
; 1,2,3,....2
n
d xV x E x
m dx
x aV x
x a
n xx A
a
nE n
ma
2 22
2
1,2,3,...
1,2,3,...2n
ka n n
E n nma
0x x a
2 2
1 22E
ma
2 2
2 24
2E
ma
2 2
2 29
2E
ma
3
100
10 m
37.58 10 eV
a
E
10
0
10 m
37.58 eV
a
E
sin 1,2,3,...n
nx C x n
a
0
1a
n nx x dx
2 2 2 2
0 0
2 2 2
0
sin sin
1cos sin 1
2 2 2 2
a n
n
n aC x dx C d
a n
C a C a n C a
n n
2C
a
2 sin 1,2,3,...nnx x n
a a
1
21 sinn x x
a a
2
2 22 sinn x x
a a
3
2 33 sinn x x
a a
4
2 44 sinn x x
a a
24
2 2424 sinn x x
a a
124
2 124124 sinn x x
a a
0 0
2 2 2
Para tenemos
2sin sin
cos sin sin cos20
a a
n m
n m
n mx x dx x x dx
a a a
n n m m n ma
a n m
2sin 1,2,3,...n
nx x n
a a
Las funciones
2sin ; 1,2,3,...
forman una base ortonormal
del problema.
n
nx x n
a a
completa
1
2, sin exp n
nn
n Ex t a x i t
a a
2 2
2
1
2V x m x
dV xF x m x
dx
22
2
22
2
d xm m xdt
d xx
dt
2 2 21
2
dV xV x m x F x m x
dx
2 2
1 2
0
exp exp
cos sin
i i
x t A i t B i t
x t A t B t
22
20
d xx
dt
22 2
2 22 2
2
El Hamiltoniano:
1ˆ2 2
Ecuación de Schrodinger estacionaria:
1
2 2
pH m x
m
dm x E
m dx
2 22 2
2
1
2 2
dm x E
m dx
22 2
22
Haciendo el cambio de variable
tenemos
1
2 2
xm
m d mm x E
m mmd x
2 22 2
2
1
2 2
dm x E
m dx
22 2
22
22
2
1
2 2
2 2
m d mm x E
m mmd x
dE
d
2 2 22 2 2
2 2
1
2 2 2 2
d dm x E E
m dx d
22
2
22
2
2
2Con
tenemos
d E
d
E
d
d
2
22
0d
d
22
2
2
Si 0, entonces 0 y
0
que tiene como solución asintótica
exp2
x
d
d
2
2 2 2 22 2
2
22
exp2
exp exp 1 exp2 2 2
exp2
d
d
d
d
22
2
2
Si 0, entonces 0
que tiene como solución asintótica exp2
dx
d
2
Obviamente la solución con + es inaceptable
fisicamente pues diverge en el .
La solución asintótica es entonces
exp2
22
2
2
Si 0, entonces 0
que tiene como solución asintótica exp2
dx
d
22
20
d yx y
dx
22
2
0
1
0
22
20
2 2
0 0
0
1
1 0
nn
n
nn
n
nn
n
n nn n
n n
d yx y
dx
y x a x
dyna x
dx
d yn n a x
dx
n n a x a x
2 2
0 0
22
0 0
22 3 2
2 0
2 22 3 4
0 0
2 3
1 0
2 1 0
2 6 2 1 0
2 6 4 3 0
0 y 0
n nn n
n n
n nn n
n n
n nn n
n n
n nn n
n n
n n a x a x
n n a x a x
a a x n n a x a x
a a x n n a x a x
a a
2 24
0 0
24
0
4
4
4 3 0
4 3 0
4 3 0
4 3
n nn n
n n
nn n
n
n n
nn
n n a x a x
n n a a x
n n a a
aa
n n
4
0 14 5
2 36 7
4 3
4 3 5 4
0 06 5 7 6
nn
aa
n n
a aa a
a aa a
4 08
5 19
10 11
8 7 8 7 4 3
9 8 9 8 5 4
0 0
a aa
a aa
a a
0 1
4 4 5 4 3 4 3 5 4
nn
a a aa a a
n n
8 012
9 113
14 15
12 11 12 11 8 7 4 3
13 12 13 12 9 8 5 4
0 0
a aa
a aa
a a
0 1
4 4 5 4 3 4 3 5 4
nn
a a aa a a
n n
1
0
1
0
1 1
0 0
1
0
4 4 4 4 1
4 4 4 1
4 4 4 1
4 ! 4 4 1
k
j
k
j
k kk
j j
kk
j
k j k j
k j k j
k j k j
k k j
0
4 1
0
4 ! 4 4 1k k
k
j
aa
k k j
Falta identificar cada una de las series con sus correspondientes Bessel
22
20
d yx y
dx
22
2
2
0
2
d yx y
dx
xy x x f
2 2
22
0 2
d y xx y y x x f
dx
2 2 2 2
1/ 2 1/ 2 3/ 2
2 23/ 2 1/ 2
2 21/ 2 3/ 2
2 23/ 2 1/ 2
1 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 2
3
2 2 2
12
4 2
x x x xy x f xxf x f x f
x xy x f x xf
x xx f x xf
x xy x f x f
25/ 2
2 2
xx f
2 2
22
0 2
d y xx y y x x f
dx
2 2 2 2
3/ 2 1/ 2 5/ 2 5/ 2
2 2 23/ 2 5/ 2 1/ 2 5/ 2
2 2 22 2 2
12 0
4 2 2 2 2
12 0
4 2 2 2
12 0
2 2 4 2
x x x xx f x f x f x f
x x xx x f x f x f
x x xx f f x x f
2 2
22
0 2
d y xx y y x x f
dx
2 2 22 2 2
2
2 2
12 0
2 2 4 2
22
1 12 2 2 0
4 2
10
16
x x xx f f x x f
xx
f f f
f f f
2 2
22
0 2
d y xx y y x x f
dx
2 2 10
16
ecuación de Bessel modificada.
f f f
2 2
22
0 2
d y xx y y x x f
dx
2 2
2 2
1 1/ 4 2 1/ 4
10
16
Así que
2 2
f f f
x xy x c xI c xK
1 2 1 21 ...
82
2
x
a
x
eI x
xx
K x ex
22
2
2 2
1 1/ 4 2 1/ 4
0
2 2
d yx y
dx
x xy x c xI c xK
22
2
d
d
2
Entonces
exp2
u
2 2
2 2 22
2
2 2 2 2
2
exp exp2 2
exp exp2 2
exp exp exp2 2 2
d duu
d d
du u
d
du du d u
d d d
2 2
22
; exp2
du
d
22 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
22
2
exp2
exp2
exp exp exp2 2 2
exp exp 02 2
exp 2 exp exp exp 02 2 2 2
du duu
d d
d uu
d
du d uu u
u
d
u
d
2
2
2
2
2 0
2 1 0
du d uu u
d d
d u duu
d d
2 2
22
; exp2
du
d
22
2
2
2
2
exp2
2 1 0
d
d
u
d u duu
d d
2
22 1 0
d u duu
d d
0
1
0
22
20
1
nn
n
nn
n
nn
n
u a
duna
d
d un n a
d
2
20
2 1 0 ; nn
n
d u duu u a
d d
2
0 0 0
20 0 0
20 0 0
1 2 1 0
2 1 2 1 0
2 1 2 1 0
n n nn n n
n n n
m n nm n n
m n n
n n nn n n
n n n
n n a na a
m m a na a
n n a na a
20
2
2
2 1 2 1 0
2 1 2 1 0
2 1
2 1
nn n n
n
n n n
n n
n n a na a
n n a na a
na a
n n
2
20
2 1 0 ; nn
n
d u duu u a
d d
2 0
3 1
4 2 0 0
5 3 1 1
1
2 13
3 2 15 15 5 1
4 3 4 3 2 1 4 3 2 17 37 7 3
5 4 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1
a a
a a
a a a a
a a a a
2
220
2 12 1 0 ; ;
2 1n
n n nn
d u du nu u a a a
d d n n
4 2 0 0
5 3 1 1
6 4 0
7 5 1
5 15 5 1
4 3 4 3 2 1 4 3 2 17 37 7 3
5 4 5 4 3 2 1 5 4 3 2 19 9 5 1
6 5 6 5 4 3 2 111 11 7 3
7 6 7 6 5 4 3 2 1
a a a a
a a a a
a a a
a a a
2
220
2 12 1 0 ; ;
2 1n
n n nn
d u du nu u a a a
d d n n
2 0
2 1 1
4 3 4 7 ... 5 1
2 !
4 1 4 5 4 9 ... 7 3
2 1 !
con 1,2,3,...
n
n
n na a
n
n n na a
n
n
2
220
2 12 1 0 ; ;
2 1n
n n nn
d u du nu u a a a
d d n n
2
2
2 1 2 1 2
2 1 3 3n
n
a n n
a n n n n n
2
220
2 12 1 0 ; ;
2 1n
n n nn
d u du nu u a a a
d d n n
2
4 6 2 2 2 22
0
1 ...2! 3! ! 1 ! !
n n n
n
en n n
1
0
Desarrollo de una función en serie de Taylor:
1
!
Formula de Leibniz:
!donde
! !
nn
nn x a
nn k n k
k
d ff x x a
n dx
nf g f g
k
n nk k n k
2
4 6 2 2 2 22
0
1 ...2! 3! ! 1 ! !
n n n
n
en n n
11
1
1 !coef ! 1 11coef 1 ! 1!
n
n
n nr
n n nn
2
La serie converge, pero se comporta
igual que exp y por lo tanto es
inaceptable.
x
2
220
2 12 1 0 ; ;
2 1n
n n nn
d u du nu u a a a
d d n n
1
2
2 1
2
n
E
E n
2
220
2 12 1 0 ; ;
2 1n
n n nn
d u du nu u a a a
d d n n
22
2 22
1
2 2
d xm x x E x
m dx
1 =0,1,2,...
2nE n n
1/ 4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc7.html#c1
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc7.html#c1
Hasta aquí llegue el miércoles 28 de abril del 2010 después de 8 clases de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00
Novena Clase: Miércoles 12 de mayo del 2010 de 12:30 a 14:00
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
22
2
Potencial central:
r V r r E rm
V r V r V r
22
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2sin 0
sin sin
Proponemos que
,
mr V E
r r r r r
r R r Y
2
2
2r V r r E r
m
22
2 2 2 2 2 2
2
2
22
22
2
2
2
2 2
2sin 0
sin si
1 1sin
sin sin
n
1 1
1
1 2sin 0
sin sin
2
Y d dR R Y R Y mr V E RY
r dr dr r r
d dR Y Y mrr V E
R
d dR m Y Yrr V E
R
dr d
Y Ydr dr
r Y Y
20
2
22 2 2 2 2 2
1 1 1 2sin 0 ,
sin sin
mr V E r R r Y
r r r r r
2
2 2
2
2 2
1 1sin 1
sin sin
1 1sin 1
sin sin
ˆ 1
Y Yl l
Y Y
Y Yl l Y
LY l l Y
2
2
2r V r r E r
m
2
2 2
1 1ˆ sinsin sin
ˆ 1
2 1 !, cos
4 !m m iml l
L
LY l l Y
l l mY P e
l m
l m
l m l
donde y son enteros y se cumple que
0 00 1
1 0 21 2
1 2 2 22 2
1 3 cos
44
3 15sin 3cos 1
4 32
15 15sin cos sin
8 32
i
i i
Y Y
Y e Y
Y e Y e
2
22
1 21
d dR mrr V E l l
R dr dr
2
2
2r V r r E r
m
2Ze
V rr
2
22
1 21
d dR mrr V E l l
R dr dr
2 2
22
1 21
d dR mr Zer E l l
R dr dr r
2 2
2 ; 2
Zer V r r E r V r
m r
2 22
2
22 2
2 2 2
1 21
12 20
2
d dR mr Zer E l l
R dr dr r
l ld d m ZeR E R
dr r dr r mr
2 2
2 ; 2
Zer V r r E r V r
m r
22 2
2 2 2
12 20
2
l ld d m ZeR E R
dr r dr r mr
1/ 21/ 22
2
2
2 2
8
2
12 10
4
m E Ze mr
E
l ld R dRR R
d d
2
2 2
12 10
4
l ld R dRR R
d d
2
2
Cuando , la ecuación se transforma en
04
y la solución es
exp / 2
d R R
d
R
2
2 2
12 10
4
l ld R dRR R
d d
2
2 2
Se propone la solución
exp / 2
y se sustituye en la ecuación, para obtener
12 11 0
R G
l ld G dGG
d d
20 0
02 2
120
l ld G dGG
d d
2
2 2
12 11 0
l ld G dGG
d d
20 0
02 2
0
0
220
2
22
22
120
exp
exp
exp
12exp exp exp 0
120
l ld G dGG
d d
G zd
dGz zd
d
d Gz z zd
d
l lz z zd z zd zd
l lz z z
2
2 2
12 11 0
l ld G dGG
d d
20
02 2
10
l ld GG
d
2
2 2
12 11 0
l ld G dGG
d d
20
02 2
10
l ld GG
d
0
220
2
22
22
exp
exp
1exp exp 0
10
G zd
d Gz z zd
d
l lz z zd zd
l lz z
22
22
22
10
10
12
1 0
No es exacta
l ldzz
d
l ldz z d
l lz z
z
22
2 22 2
22
10
1 11
1
12
Sí 2
l ldz z d
l l l la z z
z
l la z z
a
20 0
02 2
120
l ld G dGG
d d
00 0
2 2 2
0 0 0
2
0
2 2
1 2 1 0
1 2 1 0
1 2 1 0
0
1 2 1 0
2 1 1 0
1 1 4 1 1
2 2
r n n rn n
n n
n r n r n rn n n
n n n
r nn
n
G a a
n r n r a n r a l l a
n r n r n r l l a
n r n r n r l l
n
r r r l l
r r r l l r r l l
l lr
2 1 1 2 1
2 2 2
1
l l
r l r l
20 0
02 2
120
l ld G dGG
d d
2 2 2
2
2
1 2 1 0
1 2 1 0
2 2 2 0
2 2 0
2 1 0
0 2 1
n r n r n r l l
n l n l n l l l
n nl l n l n l l l
n nl n n
n l n
n n l
20 0
02 2
120
l ld G dGG
d d
2 2 2
2
2
1 2 1 0
1
1 1 1 2 1 1 0
1 2 2 1 1 0
2 3 3 2 2 2 2 0
2 0
2 1 0
0 2 1
n r n r n r l l
r l
n l n l n l l l
n l n l n l l l
n nl l n l n l l l
n nl n
n n l
n n l
Correo de Jesús [email protected]
20
02 2
10
l ld GG
d
00
2 2
0 0
1 1 0
nn
n
n nn n
n n
G a
n n a l l a
2
2 2002 2
0 0
10 1 1 0n n
n nn n
l ld GG n n a l l a
d
2 2
2 0
2 2 1 20 1
2 2
2 20 1
2
1 1 0
1 1 1 1 0
1 1 1 1 0
n nn n
n n
n nn n
n n
nn
n
n n a l l a
n n a l l a l l a l l a
n n l l a l l a l l a
20
02 2
2 20 1
2
10
1 1 1 1 0nn
n
l ld GG
d
n n l l a l l a l l a
2
2
2
1 2
1 1 0
1 0
1 1 4 1 1 4 4 1
2 2
1 1 2 1 1 2
2 21
n n l l
n n l l
l l l ln
l l
n l n l
20
02 2
10
10
l l
l ld GG
d
G c d
2
2 2
12 11 0
l ld G dGG
d d
2
2
Poniendo
tenemos
2 2 11 0
lL G
d L l dL lL
d d
2
2 2
12 11 0
l ld G dGG
d d
0
nn
n
L a
2
2
2 2 11 0
d L l dL lL
d d
0
1
0
22
20
1
nn
n
nn
n
nn
n
L a
dLna
d
d Ln n a
d
2
2
2 2 11 0
d L l dL lL
d d
2 1
0 0 0
2 1 1
0
2 2 1 1
0
2 2 11 1 0
2 21 1 1 0
1 2 2 1 0
n n nn n n
n n n
n n nn n n
n
n n n nn n n n
n
l ln n a na a
ln n a na l a
n n a l na na l a
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
2 2 1 1
0
1 1 11 1
0
11
0
1 2 2 1 0
1 2 2 1 1 0
1 2 2 1 0
n n n nn n n n
n
n n nn n n
n
nn n
n
n n a l na na l a
n na l n a l n a
n n l a l n a
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
11
0
1
1 2 2 1 0
1
1 2 2
nn n
n
n n
n n l a l n a
n la a
n n l
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
0 1 20
1
Sea la serie ...
Sea lim
Entonces la serie
a converge (absolutamente) si 1
b diverge si 1
Si 1 el criterio falla.
nn
n
nn
u u u u
u
u
12
11
2
1 1
1 2 2 2 3 2 2
Es claro que
1lim lim 0
2 3 2 2
y por lo tanto la serie converge
n
n
nn
nn nn
a n l n l
a n n l n l n l
a n l
a n l n l
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
1
2
1
Sin embargo,
1 1
1 2 2 2 3 2 2
Por tanto para grande tenemos que
1
n
n
n
n
a n l n l
a n n l n l n l
n
a
a n
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
2
4 6 2 2 2 22
0
1 ...2! 3! ! 1 ! !
n n n
n
en n n
1
0
Desarrollo de una función en serie de Taylor:
1
!
Formula de Leibniz:
!donde
! !
nn
nn x a
nn k n k
k
d ff x x a
n dx
nf g f g
k
n nk k n k
2
4 6 2 2 2 22
0
1 ...2! 3! ! 1 ! !
n n n
n
en n n
1
1
1 !coef ! 1 11coef 1 ! 1!
n
n
n n
n n nn
2
1
Por tanto para grande tenemos que
1
es decir, la serie se comporta como
para grande, y eso es inaceptable.
La serie tiene que ser cortada.
n
n
n
a
a n
e
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
11
0
Debemos cortar la serie
1 2 2 1 0
por eso, dado , para algún , debemos tener
1 0
o bien
1
nn n
n
r
r
r
n n l a l n a
l n n
n l
n l
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
Llamamos número cuántico principal a
1
Como 0, tenemos
1. 1
2. es un entero
r
r
n l
n
l
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
1/ 22
4 2
2 2
Como 1 tenemos
3. 2
1,2,3..
es decir
.2
r
Rn
m e ZE
n l
Ze m
E
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
0
1
22
3 23
Las soluciones que resultan al cortar la serie
son polinomios, son los polinomios de Laguerre.
1
1
14 2
21
9 18 66
.....
L x
L x x
L x x x
L x x x x
Formula de Rodrigues
!
x nx n
n n
e dL x e x
n dx
0
Con el producto escalar
, exp
los polinomios de Laguerre son
ortogonales
f g f x g x x dx
3
/ 2 13
290
0 2
1 !2 2 2
!
5.292 10 cm
1,2,3...; 1;
z
l
r na lnl n l
z z z
zR
n l r rR r e L
na na nan l
aa a
Z m e
n l n m l
4 2
2 2 1,2,3...
2R
n
m e ZE n
n
es el número cuántico princip
Surge de la ecuación ra
a
l
l.
dia
n
, , ,mnlm nl lr R r Y
1,2,3...; 1; n l n m l
es el número cuántico principal
es el número cuántico orbital
es el número cuántico magnético
n
l
m
1
1 1
Solución general para el átomo de hidrógeno
, , , , exp /n m l
mnlm nl l n
n l m l
r t a R r Y iE t
, , ,mnlm nl lr R r Y
3
/ 2 13
1 !2 2 2
!
2 1 !, 1 cos 0
4 !
2 1 !, cos 0
4 !
1,2,3... 0,1,...., 1
z
l
r na lnl n l
z z z
mm m iml l
m m iml l
n l r rR r e L
na na nan l
l l mY P e m
l m
l l mY P e m
l m
n l n
2
,...,0,...,
ZR
m l l
aZm e
4 2
2 2 1,2,3...
2R
n
m e ZE n
n
ˆ , , , ,nlm n nlmH r E r
1
2
0
Degeneración: 2 1n
l
l n
2
2
2x V x E x
m
22
22Es una ecuación diferencial
ordinaria de segundo orden
lineal homogénea
d xV x x E x
m dx
0
0 0
0
0
x
V x V x a
x a
2
2
2x V x E x
m
2
20
0 0
; 02
0
x
x V x E x V x V x am
x a
22
2
22
02
22
2
02
02
2
d xE x x
m dx
d xx E V x x a
m dx
d xE x x a
m dx
22
02
0 0
; 02
0
xd x
V x x E x V x V x am dx
x a
0 0
0 0
00
0
0
22 ;
ik x ik x
ikx ikx
ik x ik x
Ae Be x
x Ce De x a
Ee Fe x a
m E VmEk k
0 0
0 0
0
0
0
es negat
20
0 ; 2
Si ,
2 2
iv
2
a
ik x ik x
ikx ikx
ik x ik x
mEAe Be x k
x Ce De x am E V
Ee Fe x
E
a k
m E i m EmEk
0 0
0 0
0
0
0
20
0 ; 2
2Definiendo = tenemos
ik x ik x
ikx ikx
ik x ik x
mEAe Be x k
x Ce De x am E V
Ee Fe x a k
m E
0 0
0 0
0
0
0
0 ;
2=
2
i i x i i x
ikx ikx
i i x i i x
Ae Be x
x Ce De x a
Ee Fe x a
m E
m E Vk
0 0
0 0
0
0
0
0 ;
2=
2
x x
ikx ikx
x x
Ae Be x
x Ce De x a
Ee Fe x a
m E
m E Vk
0 0
0 0
0
0 ;
Por tanto, debemos de tener
0 y 0
x x
ikx ikx
x x
Ae Be x
x Ce De x a
Ee Fe x a
A F
0
0
0
0
0
0 ;
2=
2
x
ikx ikx
x
Be x
x Ce De x a
Ee x a
m E
m E Vk
0
0
0
0
0
0
0
0 ;
2=
2
x
ikx ikx
x
Be x
x ikCe ikDe x a
Ee x a
m E
m E Vk
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x
ikx ikx
x
x
ikx ikx
x
Be x
x Ce De x a
Ee x a
Be x
x ikCe ikDe x a
Ee x a
0
0
0
0
00
0 00
0
x ikx ikx
xx
xikx ikx
x a x a
x ikx ikx
xx
xikx ikx
x a x a
Be Ce De
Ce De Ee
Be ikCe ikDe
ikCe ikDe Ee
0
0
0
0
aika ika
aika ika
B C D
Ce De Ee
B ik C D
ikCe ikDe Ee
0
0
0
0
aika ika
aika ika
Ce De Ee
C D ik C D
ikCe ikDe Ee
0
0
0
0
aika ika
aika ika
B C D
Ce De Ee
B ik C D
ikCe ikDe Ee
0
0 0
0 0
exp exp exp 0
0 0
exp exp exp 0
ika ika a C
ik ik D
ik ika ik ika a E
0
0
0
0
aika ika
aika ika
Ce De Ee
C D ik C D
ikCe ikDe Ee
0
0
Este sistema tiene solución sólo si
2cotk
kak
0
0
0
0
aika ika
aika ika
Ce De Ee
C D ik C D
ikCe ikDe Ee
0
0
2=
2
m E
m E Vk
* 0
0
0
11
2
1exp sin
2
C D ik
kE a ka
k
0
0
0
0
aika ika
aika ika
Ce De Ee
C D ik C D
ikCe ikDe Ee
0
0
2=
2
m E
m E Vk
0
0
0
1
00
0
1sin 0
2 21
1
22= ;
x
n x a
e x
a nx k x x a
E
V
e x a
m E Vm Ek
