primera evaluaci n de algebra lineal

7/21/2019 Primera Evaluaci n de Algebra Lineal

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Eduardo Alfredo Paredes Huamán, Ayudante Algebra Lineal

Primera Evaluación de Algebra Lineal

I Termino 2014

Resolución

Tema 1

Considere el espacio vectorial Real V= con las operaciones:1 + 1 ⊕ 2 + 2 = 1 + 2 + 4 + 1 + 2 − 9

∀ ∈ ⊙ + = − 4 + 4 + ( + 9 − 9)

a) Encuentre el vector nulo de V y el vector inverso aditivo del vector u=2+3x

b)

¿Los vectores u=2+3x y v=4+6x constituyen una base para V=?Justifique su

respuesta

a) El problema nos dice que ya es un espacio vectorial por ende podemos aplicar propiedades

que pertenecen al espacio como es: 0

⊙ =

Entonces 0⨀ + = 0 ∗ − 4 + 4 ∗ 0 + 0 ∗ + 9 − 9 ∗ 0]

= −4 + 9 ∴ = − +

El inverso aditivo del vector = 2 + 3

(2 + 3) ⊕ + = −4 + 9 2 + + 4 + 3 + − 9 = (−4 + 9)

Despejamos la variable buscada de las ecuaciones para cada valor correspondiente

2 + + 4 = −4 → = −10

3 + − 9 = 9 → = 15

∴ =

− +

b)

Tenemos que determinar las 2 condiciones necesarias para que sea base:

- Sea linealmente independiente.

- Sea conjunto generador de todo el espacio vectorial.

Verificamos independencia lineal: 1 ⨀2 + 3 ⨁ 2 ⨀4 + 6 = −4 + 9 21 − 4 + 41 + 31 + 9 − 91 ⨁42 − 4 + 42 + 62 + 9 − 92 = −4 + 9 61 − 4 + −61 + 9 ⨁ 82 − 4 + −32 + 9 = −4 + 9

6

1

−4 + 8

2

−4 + 4

+

−6

1 + 9 + 3

2 + 9

−9

=

−4 + 9

Tenemos un sistema de ecuaciones61 + 82 − 4 = −4 ∧ −61 + 9 − 32 = 9

Por método de reducción de Gauss 6 8−6 −3⋮ 0

0 ~ 6 8

0 5⋮ 0

0 → = =

∴ s Linealmente Independiente.




Determinamos si los vectores u,v generan al espacio vectorial igualando un vector

típico : 1 ⨀2 + 3 ⨁ 2 ⨀4 + 6 = + 21 − 4 + 41 + 31 + 9 − 91 ⨁42 − 4 + 42 + 62 + 9 − 92 =

+

61 − 4 + −61 + 9 ⨁82 − 4 + −32 + 9 = + 61 − 4 + 82 − 4 + 4 + −61 + 9 + 32 + 9 − 9 = +

Tenemos un sistema de ecuaciones

61 + 82 − 4 = ∧ −61 + 9 − 32 =

Por método de reducción de Gauss 6 8−6 −3⋮ + 4 − 9

~ 6 8

0 5⋮ + 4 + 4 + − 9

→ , ∈ ℝ

∴ Los vectores u,v generan al espacio vectorial

Por ende el conjunto de los vectores u,v) forma una base una base de

.

Tema 2

Sea la matriz = − − − −

a) Encuentre una base y determine la dimensión de la imagen de A.

b) Usando la base del literal anterior, complete una base para el espacio de

ℝ

c) Encuentre una base y determine la dimensión del Núcleo de A

a) Determinamos que por teorema Espacio Columna= Imagen (A) y Dim (Espacio

Columna)= entonces escogemos las columnas linealmente independientes de la

matriz A.

− − − − ⋮ ~ − −

− − ⋮ Observamos que la fila 3 y 4 son

combinación lineal de la fila 2.

Por ende:

Esp.Columna= − , −− y esto es La Im(A).

∴ = − , −− y =




b) Tenemos que la base de la Im(A) comprende 2 vectores y para que genere a ℝ se

necesita agregar un vector que no sea combinación lineal de los vectores que

pertenecen a la base.

Entonces:

Base para ℝ = − , − ,

c) Por teorema:

+ =

Tenemos que = . : = .Aplicamos definición de Núcleo para

determinar los vectores que se encuentren en su base. = ∈ ℝ / = ∈ ℝ

−

− − −

⋮

~

− − −

− ⋮

~

− −

− ⋮

Entonces tenemos que:− + + = ∧ − + − = : − + + = − + − =

= / = + ∧ = +

: ( ) = , Tema 3

= − + , − + , − − = , , Bases del espacio

vectorial = .Sea la matriz de transición de la base a la base :

=

− − −−

a) Encuentre los vectores de la Base

b)

Encuentre la matriz de cambio de base de a

c) Sea ∈ = , −, . Encuentre y




OBSERVAMOS que tenemos las coordenadas de los vectores de la base con respecto

entonces podemos determinar la inversa de la matriz C y obtener de esta manera los vectores

pertenecientes a la base 2, es decir:

→ =

→ −

− =

− − −− ⋮ ~ − − − ⋮ ~ − −

⋮ ~ − ⋮ ~ ⋮

) ∴ − =

Una vez obtenida la matriz hacemos combinación lineal con las coordenadas obtenidas a los

vectores de la base .

) = → = − + + − + = + +

= → = − + + − + + − − = − + +

= → = − + + − + + − − = + +

c)

= + + − − + + + + + = + +

Para obtener

− =

=




TEMA 4 (15 puntos)

Sea el espacio vectorial = . Sean los subespacios de :

H = ∈ = − , = + −

W= gen − −

a) Encuentre una base y determine la dimensión del subespacio +

b) ¿ Es directa la suma + ? Justifique su respuesta

c) ¿ Es

∪ un subespacio de

? Justifique su respuesta.

= − 2 + = 1 0−1 2 0 11 1

a) Se define la Suma De Subespacios + = ∪ = 1 0−1 2 , 0 1

1 1 , − , −

*Verificamos independencia lineal1 1 0−1 2 + 2 0 1

1 1 + 3 − + − = : + = 1 0

−1 2

, −

,

−

b) La suma no es directa debido a que por el teorema :

Sea V un espacio vectorial y sean H y W subespacios de V . = + ∩ = {}. + = + − ( ∩ )

3 = 2 + 2 − ( ∩ )

Pero ( ∩ )=1. Por lo tanto no cumple.

c) La definicion que requiere para que ∪ es que

cumpla lo siguiente: ⊆ ∨ ⊆ .Verificamos si los vectores pertencientes ael subespacio vectorial W cumplen con las condiciones de H.

1 1

−1 3

= − → −1 = 1 − 1 −1 ≠ 0

∴ ⊈

Sacamos las condiciones del subespacio vectorial W para poder evaluar el vector




perteniciente a H 1 − + − =

Entonces:

=

∈ +

+

=

∧

+

− =

Evaluamos el vector perteneciente al subespacio vectorial H en la las condiciones deW 1 0−1 2

+ + 2 = 0 −1 ≠ 0 ∴ ⊈

∴ ∪

TEMA 5 (10 puntos)

Sea = ()el espacio vectorial de las funciones continuas en un intervalo tal que

tienen derivadas que son tambien continuas en dicho intervalo. Sean , ∈ .. Se

define el Wronskiano de para toda ∈ como :

( , )() = () ´ ´() a) Demuestre que si son linealmente dependientes en entonces el Wronskiano de

se anula en todo punto del intervalo

.

b) Suponga que () = y que () = . Calcule el Wronskiano de estas

funciones.

c)¿Son linealmente dependientes α linealmente independientes en = (−, )?

¿Que ocurre si = (, )?Justifique sus respuestas.

a) Demostramos: , = ()

(

)

(

)

′(

)

′(

)

=

′

− ′

=

∴

b) Para poder calcular el wrosnkiano observamos que la derivada g(x) tiene regla de

correspondencia: = 2 ; ≥ 0− 2 ; < 0




Entonces obligatoriamente tenemos que determinar si la derivada Existe;

Aplicamos definición formal de Derivabilidad:0 = 0 ; lim →0+

0 + + (0) = lim →0

2 = 0

; lim

→ 0− 0 +

+

(

0)

= lim

→0 −2

= 0

∴ lim → 0− = lim →0+ = 0 → .

≥ ; , = =

< 0; , = − − =

∴ ,

=

´

´

=

c) Determinamos dependencia o independencia lineal en el ∈ (−1,1) Por teorema, , ≠0 0 , .

Pero esto no nos garantiza que si Wronskiano es 0 quiera decir que sea linealmente

dependiente. Por lo tanto:

Aplicamos definición de Independencia lineal:( 2) + = 0 ; ∀ ∈ (−1,1)

/4 +

/ 4 = 0

/4 − / 4 = 0 → = = ó ú ∴ (−, )

* ∈ , ( 2) + 2 = 0 = 1 = −1, ∴ .

TEMA 6 (10 puntos)

Defina "Transformacion Lineal" y demuestre que la función : → con

regla de correspondencia ( + ) = + − es una transformación lineal de

en




*Definicion de transformación lineal:

Sean V y W espacios vector ial es

Sea T una función cuyo domin io (conj unto de sali da) es V y cuyo codomin io (conj unto de ll egada) es W

entonces (T: V ---->W)

es decir

Función T aplicada al vector V da lugar a W y cumple con los 2 axiomas a continuación:∗ + = + ()

∗ = ()

*Demostramos transformación l ineal

∗ + + + = + + +

+ + (+ )

+

− (

+

)

( + ) =

+

− +

+

− =

+ + ( +)

+

− (

+

)

( + )

∴ ∗ + = +

+ − = + − = + − ∴ .

→ .

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