Primjena Pitagorine teoreme za dokazivanje Heronovog obrasca

Heron je bio starogrčki matematičar i inžinjer, koji je živio u današnjoj Aleksandriji. Smatra se jednim od najvećih predstavnika nauka u staroj Grčkoj. Izvodio je mnogo eksperimenata, poučavao je u poznatom Muzeju, u čijem sklopu je bila Aleksandrijska knjižara.

Najpoznatiji rad mu je bio Heronova kugla ili eolipile, koji se smatra prvim parnim strojem u historiji. Poznati izum mu je i vjetrenjača, kojom je koristio energiju vjetra za sviranje na orguljama. Mnogi njegovi radovi su izgubljeni, ali neke njegove radove možemo naći u arapskim rukopisima.

Jedan je od njegovih izuma je i tzv. Heronov obrazac ili Heronova formula, odnosno formula pomoću koje možemo izračunati površinu bilo kojeg trougla, ako su poznate dužine stranica tog trougla.

Heronov obrazac glasi:

Ako stranice trougla ABC imaju dužine AB = c, AC = b i BC = a, tada je površina tog trougla data sa

P=√s ∙ (s−a ) ∙ (s−b ) ∙ ( s−c ) ,

gdje je s poluobim tog trougla, tj.

s=a+b+c2

.

Dokaz:

U oštrouglom trouglu ABC neka je tačka D podnožje normale spuštene iz vrha C na stranicu c. Tada je: CD = h, AD = e i BD = c – e.

Kako je trougao ACD pravougli, čije su katete dužine e i h, a hipotenuza dužine b, primjenom Pitagorine teoreme imamo:

h2+e2=b2⟹h2=b2−e2 .(¿)

Kako je trougao BCD pravougli, čije su katete dužine c – e i h, a hipotenuza dužine a, primjenom Pitagorine teoreme imamo:

(c−e )2+h2=a2⟹h2=a2−(c−e )2 .¿

Na osnovu relacija (¿) i ¿ imamo:

b2−e2=a2−(c−e )2 ,

b2−e2=a2−(c2−2ce+e2 ) ,

b2−e2=a2−c2+2ce−e2 ,

b2=a2−c2+2 ce ,

2ce=−a2+b2+c2 ,

e=−a2+b2+c2

2 c.¿

Uvrstimo li relaciju ( ¿∗¿ ) u relaciju( ¿ ) dobijemo:

h2=b2−(−a2+b2+c2

2c )2

,

h2=(b−−a2+b2+c2

2c )∙(b+−a2+b2+c2

2c ) ,

h2=2bc+a2−b2−c2

2c∙ 2bc−a

2+b2+c2

2c,

h2=a2−(b2−2bc+c2 )

2c∙

(b2+2bc+c2 )−a2

2c,

h2=a2−(b−c )2

2c∙ (b+c )2−a2

2c,

h2=(a−b+c ) ∙ (a+b−c )

2c∙ (−a+b+c ) ∙ (a+b+c )

2c,

h2=(a+b+c ) ∙ (−a+b+c ) ∙ (a−b+c ) ∙ (a+b−c )

4 c2 ,

h2= (a+b+c ) ∙ (a+b+c−2a ) ∙ (a+b+c−2b ) ∙ (a+b+c−2c )4c2 ,

h2=2 s ∙ (2 s−2a ) ∙ (2 s−2b ) ∙ (2 s−2c )

4 c2 ,

h2=16 s ∙ (s−a ) ∙ (s−b ) ∙ (s−c )

4c2 ,

h2=4 s ∙ ( s−a ) ∙ (s−b ) ∙ (s−c )c2 ,

h=√ 4 s ∙ ( s−a ) ∙ ( s−b ) ∙ (s−c )c2 ,

h=2c∙√s ∙ ( s−a ) ∙ (s−b )∙ (s−c ) ,

ch2

=√s ∙ ( s−a ) ∙ (s−b ) ∙ (s−c ) ,

P=√s ∙ (s−a ) ∙ (s−b ) ∙ ( s−c ) .