Primjerizadataka–drugikolokvij

1. Naoprugukonstante𝑘irelaksiraneduljine𝑑obješenjeutegmase𝑚.a) Nacrtajtedijagramsilainapišitejednadžbugibanjazauteg.b) Odreditevisinunakojojutegmirujeusvakomtrenutku𝑡 > 0ako

mirujeutrenutku𝑡 = 0.c) Pokažitedazapočetniuvijet𝑦 0 = 𝑦!i𝑦 0 = 0,jednadžbagibanja

zapoložajutegaimaoscilatornorješenjeoblika𝐴 cos𝜔𝑡,teodrediteamplituduikutnufrekvenciju.

d) Pokažitedapromjenakoličinegibanjautegadolaziodimpulsasilakojedjelujunauteg.

Rješenje:Silekojedjelujunasustavsugravitacijskasila𝐺 = −𝑚𝑔𝑦(uvijekpremadolje)ielastičnasilaopruge𝐹!" = −𝑘 𝑦 − 𝑑 𝑦čijismjerovisiotomejelivisinautegavećailimanjaodtočkegdjejeoprugarelaksirana(tj.jelioprugarastegnutailisabijena).Skicunacrtajtesami.Odabirkoordinatnogsustavajeproizvoljan,paćemopostavitiy-ostakodajeishodišteutočkiukojojjeoprugarelaksirana,tj.𝑑 = 0.Sustavjejednodimenzionalan,pamožemoizostavitijedinićnevektore.Jednadžbagibanjajetada,po2.Newtonovomzakonu,

𝑚𝑦 = −𝑚𝑔 − 𝑘𝑦odnosno:

𝑦 = −𝑔 −𝑘𝑚 𝑦

Akosustavmirujeupočetnomtrenutku,tj.ako𝑦 0 = 0,dovoljnojepokazatidasebrzinanemijenjadabismodobilistacionarnorješenje.Brzinasenemijenjaakojeakceleracijausvakomtrenutkunula,pauvrštavamotajuvijetujednadžbugibanjadabismodobilitočkustabilnosti:

−𝑔 −𝑘𝑚 𝑦!" = 0

𝑦!" = −

𝑚𝑔𝑘

NB–Ovojedobromjestozaprovjeritipredznake.Akonaopuštenuobjesimouteg,očekujemodaćesekrajoprugespustiti,tj.znamodamoramodobiti𝑦!" < 0.Svekonstanteugornjemizrazusupozitivnodefinirane,takodasmozaistaidobili𝑦!" kojijenegativan.

Jednadžbagibanjasemožesvestinaformukojujelakšeriješitiakouvedemotransformacijukoordinataoblika𝑦 = 𝑥 + 𝑦!" ,gdje𝑥predstavljapomakodtočkeravnoteže.Sobziromdaje𝑦!" konstanta,𝑦 = 𝑥.Uvrštavanjemdobivamojednadžbugibanjazapomakizravnoteže:

𝑥 = −𝑔 −𝑘𝑚 𝑥 − 𝑦!"

Korištenjemdefinicije𝑦!" = −𝑚𝑔 𝑘dobivamolakoriješivuformu

𝑥 = −𝑘𝑚 𝑥

Znamodasu𝑥i𝑦samopomaknutizanekukonstantu,paakopretpostavimooscilatornorješenjeza𝑦oblika,očekujemodaćeirješenjeza𝑥bitioscilatorno.Pokušatćemosa𝑥 𝑡 = 𝐴 cos𝜔𝑡.Deriviramo𝑥 𝑡 dvaputa:

𝑥 𝑡 = −𝜔𝐴 sin𝜔𝑡𝑥 𝑡 = −𝜔!𝐴 cos𝜔𝑡

Zatimuvrštavamo𝑥 𝑡 𝑖 𝑥 𝑡 ujednadžbugibanja:

−𝜔!𝐴 cos𝜔𝑡 = −𝑘𝑚𝐴 cos𝜔𝑡

Pokratimo𝐴 cos𝜔𝑡sobjestrane,tekorjenujemodadobijemoizrazzakutnufrekvenciju:

𝜔 =𝑘𝑚

Dabismodobiliamplitudu,koristimopočetniuvijet𝑦 0 = 𝑦!.Znamodaje𝑥 𝑡 = 𝑦 𝑡 − 𝑦!" ,pajeza𝑡 = 0:

𝐴 cos𝜔 ∙ 0 = 𝑦 0 − 𝑦!" 𝐴 = 𝑦! − 𝑦!"

Sadimamopotpunorješenjeza𝑥 𝑡 :

𝑥 𝑡 = 𝑦! − 𝑦!" cos𝑘𝑚 𝑡

Pajerješenjeza𝑦 𝑡 jednostavnodobiti:

𝑦 𝑡 = 𝑦!" + 𝑦! − 𝑦!" cos𝑘𝑚 𝑡

Količinagibanjau𝑡 = 0sedobivaizpočetnoguvjeta:

𝑝 0 = 𝑚𝑦 0 𝑦 = 0Nakonnekogvremena𝑡,utegjedobioimpuls

𝐼 𝑡 = 𝐹d𝑡′!

!

Trebapokazatidaje

𝑝 𝑡 − 𝑝 0 = 𝐼 𝑡 Ponovnokoristimočinjenicudajesustavjednodimenzionalan,teračunamosamosiznosima.Iznosukupnesilekojadjelujenautegje𝐹 = −𝑚𝑔 − 𝑘𝑦,teutajizrazprvouvrstimoizrazeza𝑦 𝑡 𝑖 𝑦!":

𝐹 = −𝑚𝑔 − 𝑘 −𝑚𝑔𝑘 + 𝐴 cos𝜔𝑡

𝐹 = −𝑘 𝐴 cos𝜔𝑡Ovdjesmoseprijeračunanjaimpulsariješilidoprinosaodgravitacijskesile,štoćenamolakšatidanjiračun.Sadderiviramo𝑦iuvrštavamouizrazzakoličinugibanja,teizjednačavamosintegralomsilepovremenu:

−𝑚𝜔𝐴 sin𝜔𝑡 = −𝑘 𝐴 cos𝜔𝑡′ d𝑡′!

!

Pokratimoamplitudeiminusesobjestrane,tekoristimoizrazzakutnufrekvenciju:

𝑚𝑘𝑚 sin

𝑘𝑚 𝑡 = 𝑘 cos

𝑘𝑚 𝑡′ d𝑡′

!

!

Integraldobivamoiztablica: cos𝜔𝑡 d𝑡 = sin𝜔𝑡 𝜔,asin 0 = 0,panakrajuimamo:

𝑚𝑘𝑚 sin

𝑘𝑚 𝑡 = 𝑘

sin 𝑘𝑚 𝑡

𝑘𝑚

Gdjejeočitodasesvičlanovimogupokratiti.