principio de proporcionalidad natural

14

MODELADO DEL COMPORTAMIENTO:

PRINCIPIO DE PROPORCIONALIDAD NATURAL

3.1 Introduccin

El primer nombre que utiliz el Dr. Jurez Badillo para su teora fue el de Principio de la

Belleza Cientfica de acuerdo a un principio filosfico de George Birkhoff, que defina

belleza como la relacin entre orden y complejidad, por lo que entre ms ordenada y menos

compleja sea una obra ms bella es. Esto llev a pensar al Dr. Jurez que el universo es

simple y ordenado atendiendo a su belleza. Por lo tanto las ecuaciones que definen el

comportamiento de los materiales que en l se encuentran deben ser tambin simples. En la

teora se consideran dos variables (las de mayor inters, en este caso esfuerzo-deformacin)

mientras las dems se mantienen constantes. La primera se hace variar de cero a infinito, es

decir, tiene dominio completo, y se denomina variable propia y al mismo tiempo es tambin

una funcin propia, mientras se observa qu pasa con la segunda variable, se obtiene una

funcin propia que involucre a sta ltima y que tenga tambin dominio completo. Por lo

tanto, existe una relacin directa y proporcional en todo el dominio (de cero a infinito) entre

la primera variable y la funcin que contiene a la segunda variable, de aqu el nombre que

utiliz el Dr. Jurez Badillo para llamar a su teora: Principio de Proporcionalidad Natural.

MODELADO DEL COMPORTAMIENTO: PRINCIPIO DE PROPORCIONALIDAD NATURAL _________________________________________________________________________

15

En este captulo se describe la teora del Principio de Proporcionalidad Natural aplicada al

comportamiento esfuerzo deformacin de los geomateriales.

3.2 Ecuaciones generales: esfuerzo desviador deformacin axial unitaria

Sean X1 (axial), X2 y X3 un sistema de ejes cartesiano y consideremos un espcimen

cilndrico de suelo, Fig. 3.1, sujeto a una presin isotrpica de consolidacin c0. Adems, las dimensiones de la probeta una vez que fue sometida a la presin c0 son X1, X2 y X3, mientras que X10, X20 y X30 son las dimensiones iniciales de la muestra.

32

110

3020

3

2

1

X

X

X

X X

X = X

X = X

Fig. 3.1. Sistema cartesiano y dimensiones.

En una prueba de compresin triaxial las deformaciones naturales axial y radial son,

10

11 ln X

Xa == (3.1)

30

3

20

232 lnln X

XXX

r ==== (3.2)


16

De forma similar la deformacin unitaria natural volumtrica se define de la siguiente

manera,

rav XX

XX

XX

XXXXXX

VV 2lnlnlnlnln 321

30

3

20

2

10

1

302010

321

0

+=++=++=== (3.3)

La deformacin natural isotrpica es la tercera parte de la deformacin unitaria natural

volumtrica, por tanto,

32

33321 rav +=++== (3.4)

As, las deformaciones desviadoras naturales axial y radial se definen como,

= aae (3.5) = rre (3.6)

Despejando a y r de 3.5 y 3.6 y sustituyendo en 3.4, tenemos que,

arra eeee 2102 ==+ (3.7)

La deformacin natural general al cortante (Jurez Badillo 1974) se define como,

aaararara eeeeeee 23

21 =+==+== (3.8)

Para definir la relacin entre los esfuerzos desviadores y las deformaciones al cortante,

pensemos en una prueba de compresin. Si 1 y 3 son los esfuerzos principales mayor y menor, respectivamente, entonces (1 3) es el esfuerzo desviador. En esta prueba el esfuerzo desviador vara entre 0 y un valor final, mientras que la relacin X1/X3 que

representa la forma de la probeta vara de X10/X30 a cero.


17

Si definimos x como el esfuerzo desviador normalizado por la presin de consolidacin

c0 y el subndice f indica un valor final, tenemos,

0

31

c

x = (3.9)

fcfx

=

0

31

(3.10)

Donde,

xf es el valor de x para ea =

Como se muestra en la Fig. 3.2 las variables no tienen dominios completos. Por medio

del Principio de Proporcionalidad Natural se encontrar una funcin sencilla con dominio

completo. Se toma como variable propia la relacin X1/X3, entonces es necesario obtener

una funcin propia que contenga a la variable x, as, la funcin ms sencilla es fx

x1 y

ambas comienzan en cero.

1 -

0

1

x fx

1

0

xfx

0

x f

x

0

X 1030X

X31X

Fig. 3.2 Principio de Proporcionalidad Natural.

Por lo tanto, la relacin entre ambas funciones propias es,


18

=

fxx

xd

XXXXd

1

2

3

1

3

1

(3.11)

Donde y son el coeficiente y exponente cortante, respectivamente, y son propiedades o parmetros del geomaterial (Jurez Badillo, 1995). Estos parmetros se suponen

constantes si la velocidad de deformacin es constante. La deformacin al cortante se

relaciona como sigue,

dXXXXd

=

3

1

3

1

(3.12)

La ecuacin 3.11 queda como,

=

fxx

xdd

1

2 (3.13)

De la relacin asentada en la ecuacin 3.8 y en forma diferencial, la deformacin natural

general al cortante es proporcional a la deformacin natural desviadora en 23 , sustituyendo

en la ecuacin anterior tenemos,

=

f

a

xx

dx

de

1

223 (3.14)


19

Si definimos como y a la relacin entre el esfuerzo desviador normalizado y el final, y

despejamos dea, se obtiene,

fxxy = (3.15)

( ) ( ) ydx

y

dx

dea == 131

12

32 (3.16)

Diferenciando la ecuacin 3.15 y sustituyendo dx en 3.16,

ff

xdydxxdxdy == (3.17)

( ) ydyxde fa = 13

1 (3.18)

Integrando la ecuacin anterior tenemos para > 1,

( )

= 111

11

31

1 yxe fa (3.19)

Para el caso particular de = 1,

( )yxe fa = 1ln31 (3.20)

La ecuacin 3.18 se denomina funcin normal yN. En la Fig. 3.3 se grafica esta funcin

para distintos valores de .


20

31

c0

x =

= 0 = 1 = 2

= 3

=

xf3ea -10-8-6-4-20

0

0.2

0.4

1.0

0.8

fxx

Fig. 3.3. Funcin normal, yN.

Para transformar las deformaciones axiales comunes a deformaciones desviadoras

naturales se usar,

( )3

1ln vaae += (3.21)

En pruebas de compresin ea y a son negativos. Para el caso de pruebas no drenadas, al no permitirse el drenaje el volumen no cambia y por lo tanto la deformacin volumtrica v, es nula, utilizando slo el primer trmino.

Algunas relaciones con la teora de la elasticidad se pueden obtener a partir de la

ecuacin 3.13 en su forma,

( )

=

f

c

xx

dd

1

2 031

(3.22)

Tenemos que,


21

( )G

dd2

31 = (3.23)

Donde G, es el mdulo tangente de rigidez al cortante en la parte inicial de la curva esfuerzo-deformacin, en el origen,

( )

00

000

31

2c

cc

GGdddd ==== (3.24)

0

03 cE = (3.25)

Donde,

G0, mdulo de rigidez al cortante inicial

E0, mdulo de deformacin en el origen

c0, presin de consolidacin , coeficiente cortante

3.3 Ecuaciones generales para arcillas: esfuerzo desviador deformacin axial

unitaria natural

Si consideramos una muestra de arcilla con volumen V, bajo una presin isotrpica , y se aumenta el esfuerzo hasta un valor mximo = p, (p, presin isotrpica de preconsolidacin), permitiendo el drenaje, y despus se diminuye hasta un valor = c, (c, presin isotrpica de consolidacin). Entonces la presin isotrpica equivalente e, se define como la presin sobre la curva de compresin para un volumen determinado, sta es

la presin que realmente gobierna el comportamiento mecnico del material porque es a la

que est consolidada. En la Fig. 3.4 se muestra lo antes descrito. Por efecto de la

preconsolidacin se tiene una presin isotrpica almacenada,


22

ces = (3.26)

s = e ccVV

olum

en V

o R

elac

in

de v

aco

s e

pecPresin isotrpica

Fig. 3.4. Fenmeno de preconsolidacin.

Donde e es la presin equivalente en la rama virgen de compresibilidad.

En el caso de un gas ideal donde el producto V = cte (Ley de Boyle) tenemos,

0=+ dVdV (3.27)

Entonces,

d

VdV = (3.28)


23

Si se postula una ley para los suelos de la misma forma pero utilizando un coeficiente de

proporcionalidad (coeficiente de compresibilidad) que vara entre cero y uno, se tiene para la rama de compresin,

d

VdV = (3.29)

Integrando la ecuacin anterior se llega a,

00

lnln =

VV (3.30)

De donde

=

00VV (3.31)

A partir del siguiente esquema de suelo saturado, Fig. 3.5, si consideramos el volumen de

slidos igual a la unidad, el volumen de vacos es igual a la relacin de vacos, entonces el

volumen total ser 1 + e, por lo que,

00 11

ee

VV

++= (3.32)

1 Fase slida

Fase lquida

Volmenes

e

1 + e

Fig. 3.5. Esquema suelo saturado.


24

Sustituyendo en la ecuacin 3.31 tenemos

=+

+001

1ee (3.33)

Si despejamos de la ecuacin 3.31 el coeficiente de compresibilidad se obtiene,

0

0

ln

ln

VV

= (3.34)

Como ya se dijo, en la curva de expansin se disminuye la presin isotrpica pero el

suelo no libera toda la energa, slo una fraccin de esa presin se usa en la expansin y la

otra es la presin almacenada, s. Por lo tanto, para la curva de expansin se tiene,

e

edVdV

= (3.35)

La cantidad usada en la expansin est gobernada por una fraccin < 1 de la relacin

d ,

dde

e = (3.36)

Sustituyendo en 3.35, tenemos,

ddd

VdV

p==

= (3.37)


25

pp == (3.38)

Donde

, coeficiente de compresibilidad p, coeficiente de expansibilidad , relacin expansibilidad - compresibilidad

Integrando 3.36, se obtiene,

=

00e

e (3.39)

De la Fig. 3.4 las curvas de compresin y expansin se interceptan en el mismo punto,

entonces, e0= c0= p y la ecuacin anterior queda como,

=

pp

e (3.40)

Es conocido que la relacin c

p

es el grado de preconsolidacin, OCR (Over

Consolidation Ratio), mientras que se denomina factor de preconsolidacin, OCF (Over

Consolidation Factor, Jurez Badillo 1994) a la relacin c

e

, tenemos que,

( )

=

=

=== 1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 OCROCFc

p

c

p

p

c

c

p

p

e

c

e (3.41)


26

Donde,

e0, esfuerzo equivalente inicial de consolidacin p0, esfuerzo de preconsolidacin inicial

Una vez definidas las relaciones anteriores, se establecen en lo que sigue, las relaciones

esfuerzo desviador deformacin para las arcillas tanto normalmente consolidadas como

preconsolidadas. En el caso de que las arcillas sean normalmente consolidadas, es decir,

c0 = e0 = p, entonces OCR y OCF son iguales a la unidad en las ecuaciones, por lo que stas son vlidas para ambas condiciones.

El comportamiento esfuerzo deformacin se describe segn el Principio de

Proporcionalidad Natural, con ecuaciones antes del pico y despus de ste. Por tanto, es

necesario definir el concepto de pico. Si 1 y 3 son los esfuerzos principales vertical y horizontal. Entonces el esfuerzo desviador ser (1-3). El esfuerzo mximo o pico ser la mayor diferencia de esfuerzos, comnmente usado como criterio de falla en suelos. En la

Fig. 3.6 se muestra el pico en una curva tpica esfuerzo deformacin.

Deformacin unitaria

Esfu

erzo

des

viad

or

PICO

pico31( )(

)1

3

pico

( )1 3

( )1 3

Fig. 3.6 Definicin del pico en una curva esfuerzo deformacin.


27

3.3.1 Ecuacin de comportamiento antes del pico (pre-pico)

Sustituyendo la ecuacin 3.15 en la 3.19 para cualquier valor de , excepto 1, adems de incluir el efecto de la preconsolidacin (Jurez Badillo, 1995),

( )

= 1

1

11

131

1

1

f

fa

xx

OCFxe (3.42)

Donde x y xf tiene el significado mostrado en 3.9 y 3.10. Despejando el valor de x de la

ecuacin anterior para = 2,

fa

fa

f

af xOCFe

OCFxex

OCFexx =

=

33311

1

(3.43)

Ecuacin que describe el comportamiento esfuerzo desviador deformacin axial natural

tomando en cuenta el grado de preconsolidacin. Los valores de , 1 y 2, obedecen principalmente a que en suelos se ha encontrado que son de este orden. En el caso

particular de = 1, tenemos,

= fa

xOCFe

f exx

3

1 (3.44)

3.3.2 Ecuacin de comportamiento despus del pico (pos-pico)

Aplicando el Principio de Proporcionalidad Natural en la regin pos-pico tomamos como

variable y funcin propia ea, variando de 0 a y el esfuerzo desviador (1-3) variando de


28

a (1-3). As, la funcin propia es = (1-3) - (1-3). De esta forma, ea vara de 0 a y de a 0, como se muestra en la siguiente figura.

= ( )1 331 )(

31 )(

( )1 3

0

0

ae

Fig. 3.7. Principio de Proporcionalidad Natural. Regin pos-pico.

Entonces la relacin entre funciones queda como,

( ) ( )( ) ( )

=

=

=

xxxx

ee

a

a

131131

3131

11

(3.45)

=

xxxx

ee

a

a

1

1

1

(3.46)

Esta funcin se denomina de ductilidad yD, de donde se puede despejar el valor de x para el pos-pico, quedando como,

( ) 1

11

+=

a

a

eexxxx (3.47)

Donde,

x, resistencia residual

(ea1, x1) punto conocido


29

En la Fig. 3.8 se grafica la funcin de ductilidad, yD, para distintos valores de .

1

=a1e

ea

1

=1

1 ( )1 3 31 )( =

aeea1

a1e2.01.61.20.8

0.5

1.0

1.5

2.0

= 5 = 2 = 1

= 0.5 = 0.2

= 5 = 2 = 1 = 0.5 = 0.2

= 0

ea0.400

2.5

Fig. 3.8 Funcin de ductilidad, yD.

Con las ecuaciones 3.42 y 3.47 se puede describir el comportamiento esfuerzo-

deformacin de cualquier suelo en la rama antes y despus del pico.

3.4 Ecuaciones generales para arcillas: presin de poro deformacin axial unitaria

natural

En las pruebas triaxiales se producen esfuerzos desviadores. Cualquier cambio en los

esfuerzos provoca deformaciones desviadoras, stas a su vez cambian la forma de la

muestra perturbando la estructura de la arcilla y modificando su capacidad para soportar

esfuerzos isotrpicos o para almacenar presiones isotrpicas en el caso de suelos

preconsolidados. Estos cambios son adicionales a los producidos por la componente

isotrpica del estado de esfuerzos. En pruebas no drenadas, el volumen permanece

constante por estar impedido el drenaje. Si el incremento en la presin exterior es igual en

todas direcciones e igual a , inducir presin de poro tanto en muestras normalmente


30

consolidadas como muestras preconsolidadas, de la misma magnitud del incremento, como

sigue,

3321 ++==u (3.48)

Ahora, si el cambio de esfuerzos no es isotrpico, se presenta una presin de poro

adicional, por la perturbacin debida al cambio de forma de la muestra. La muestra ha sido

consolidada a una presin c0, por la perturbacin de la estructura ya no puede soportar parte de esa presin y el agua debe ayudar a soportar dicha parte de presin en forma de

presin de poro. Si para ea = , el agua tiene que ayudar aportando la fraccin c0; con 1, la presin de poro final (u)f para ea = ser,

( ) 0321 3 cffu +

++= (3.49)

Como se explic arriba los cambios debidos a los esfuerzos no isotrpicos producen

presin de poro adicional, entonces, para ea = , existe una componente debida a los esfuerzos isotrpicos y una segunda a la perturbacin de la estructura debida a las

deformaciones cortantes.

En ea = la componente adicional vale c0, pero antes vale una fraccin. Para describir este comportamiento antes de ea = se multiplica c0 por una funcin y denominada de sensitividad, por depender de la sensitividad de la estructura bajo

deformaciones desviadoras producidas por los esfuerzos cortantes.

Por tanto, si aplicamos el Principio de Proporcionalidad Natural para obtener la funcin

de sensitividad en trminos de las deformaciones desviadoras naturales (ea), tenemos que la

deformacin desviadora natural ea, vara entre 0 e . Por otra parte, la funcin de sensitividad es obvio que vara de cero, el comenzar la prueba, a la unidad cuando ea = .


31

En la Fig. 3.9 se muestra el planteamiento del principio para encontrar la funcin propia

de y.

1z = y1

0

1y

1

y

0

1

0

ae

Fig. 3.9. Principio de Proporcionalidad Natural. Funcin de sensitividad.

De la Fig. 3.9 se encuentra que la funcin ms simple con dominio completo es

11 =y

z , as tenemos,

=

1

1

11

11

a

a

ee

y

y (3.50)

Donde,

, coeficiente de presin de poro

Ahora, si ea = ea* esta condicin corresponde a 21=y , y despejando el valor de y,

tenemos,

+

=*1

1

a

a

ee

y (3.51)

Donde,


32

ea, deformacin desviadora natural

ea*, deformacin desviadora natural caracterstica para 21=y

En la Fig. 3.10 se grafica la funcin de sensitividad y, para distintos valores de .

= 0.5 = 1 = 2 =

3 =

5

= 5 = 3

= 2 = 1

S= y con =

- - 1*

0

0 y 1

1

1 + aeea1

y =

5432

0.2

0.4

0.6

00

y

e

0.8

= 0.5

ea100

1.0

a1

Fig. 3.10. Funcin de sensitividad, y.

Si sustituimos la ecuacin 3.51 en la 3.49 y adems dividimos entre c0, para tenerla en forma adimensional,

+

+++=

*

0

321

01

131

a

acc

ee

u (3.52)

Por tratarse de pruebas de compresin aumentando el esfuerzo axial solo existe 1 y la componente isotrpica ser,


33

( )33

1

0

31

0

x

cc

i ==

(3.53)

Y la presin de poro,

+

+

=

*

0

31

01

131

a

acc

ee

u (3.54)

En ea = ,

+

=

fcfc

u

0

31

0 31 (3.55)

Al aplicar los esfuerzos cortantes a la probeta de suelo, se genera deformacin al cortante

y cambio de forma que perturba su estructura. En suelos preconsolidados esa perturbacin

libera parte de la presin almacenada ocasionando esfuerzos de tensin en el agua de poro.

Es lgico que no toda la presin se libere, slo la necesaria que contribuya a soportar en

forma de presin de poro el efecto de la perturbacin. Esta fraccin liberada cuando ea = ser s = (e- c), es el coeficiente de presin de poro arriba mencionado. La segunda componente c0 debida a la perturbacin cuando la arcilla es normalmente consolidada, es obvio que al aumentar el estado de preconsolidacin, sta deber disminuir. Si c0 es la presin de consolidacin y e0 la presin equivalente a la que realmente est consolidado el suelo, entonces la fraccin c0 se ver reducida en un valor

0

0

e

c

. Con las consideraciones

anteriores la ecuacin de presin de poro para ea = es,

( ) ( )000

00

321

3 ceec

cf

fu +

++= (3.56)


34

Para instantes antes de ea = , las componentes de presin de poro se multiplican por la funcin de sensitividad y, antes mencionada. De la ecuacin 3.53 conocemos cul es la componente isotrpica, normalizando y agrupando la ecuacin de presin de poro es,

yxu

e

c

c

e

co

=

0

0

0

0 13

(3.57)

Sabemos que 0

0

c

eOCF = (ec. 3.41), y sustituyendo el valor de la funcin de

sensitividad y (ec. 3.51), en la anterior tenemos,

+

= *1

1113

a

aco

eeOCF

OCFxu (3.58)

Esta es la ecuacin general de presin de poro que toma en cuenta el grado de

preconsolidacin. Para arcillas normalmente consolidadas, c0 = e0 = p y por tanto OCR y OCF son iguales a la unidad. Sustituyendo OCF = 1 en la ecuacin 3.58 para arcillas

preconsolidadas se deber obtener la ecuacin 3.54 para arcillas normalmente consolidadas.

Por lo tanto, esta ltima ecuacin es general para cualquier tipo de arcilla. El valor de x depende de la regin de comportamiento que se requiere describir, esto es, antes o despus

del pico.

Resulta importante mencionar que en el segundo trmino de la ecuacin 3.58 existe un

valor crtico de OCF. Al igualar el segundo trmino a cero, el valor de OCF que cumple

con esa condicin es 1.618. En teora, para ese valor de OCF no importa que valores se

usen de , y ea*, el segundo trmino ser siempre cero. Esto resulta importante en pruebas con OCF cercano a 1.618 donde la aplicacin de esta ecuacin conduce a

parmetros poco representativos del suelo estudiado, pues tericamente la presin de poro

slo ser debida a la componente isotrpica.


35

3.4.1 Ecuacin de comportamiento antes del pico (pre-pico)

La ecuacin antes del pico para cualquier valor de , excepto 1, es la siguiente,

( ) ( )

+

+=

*

11

1

1

111311131

a

af

af

co

eeOCF

OCFx

OCFexu (3.59)

La ecuacin de comportamiento antes del pico para = 1 con x de ecuacin 3.44, ser,

+

= *

3

1

111131

a

a

xOCFe

fco

eeOCF

OCFexu fa

(3.60)

Para = 2 con x pre-pico (ec. 3.43), tenemos,

+

=

*1

1113

331

a

afa

fa

co

eeOCF

OCFxOCFe

OCFxeu (3.61)


36

3.4.2 Ecuacin de comportamiento despus del pico (pos-pico)

En la regin pos-pico el comportamiento est descrito por la siguiente ecuacin para

cualquier valor de , (x, ecuacin 3.47),

( )

+

+=

*

1

11

1

11131

a

aa

a

co

eeOCF

OCFeexxxu (3.62)

3.5 Ecuacin general de comportamiento: resistencia velocidad de deformacin

Si aplicamos el Principio de Proporcionalidad Natural al efecto de la velocidad de

deformacin en la resistencia, tomando como variable propia la velocidad de deformacin

, que vara de 0 a , mientras que la resistencia al corte mxima xm (ec. 3.9 pero con (1-3) mximo), vara de un valor x0 a . Por tanto, la funcin ms sencilla con dominio completo es 0xxz m = . En la Fig. 3.11 se muestra la aplicacin del principio.

x0mx - z =x

0

m

0

x0 Fig. 3.11 Principio de Proporcionalidad Natural. Funcin propia resistencia velocidad de

deformacin.

La relacin entre ambas funciones es,


37

&&d

zdz = (3.63)

Integrando y sustituyendo el valor de la funcin z, tenemos,

=

101

0

&&

xxxx

m

m (3.64)

Donde,

(xm1, 1) punto de referencia , parmetro de velocidad

Si despejamos de la ecuacin 3.64 el valor de la resistencia xm, finalmente queda,

( )

+=

1010 &

&xxxx mm (3.65)

La ecuacin anterior describe el comportamiento de la resistencia mxima con la

velocidad de deformacin.

principio de proporcionalidad natural

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