1

1

Kinematika krutog tijela

11. dio

2

• Kod krutog tijela udaljenost������u bilo kojih dviju to�aka tijela ostaje tijekom gibanja nepromijenjena.

• Kinematika gibanja: a) krutog štapa b) krute plo�ec) krutog tijela.

• Razlikujemo: a) slobodno tijelob) neslobodno tijelo

3

• Slobodno gibanje krutog tijela• Prinudno gibanje krutog tijela – mogu�nost

gibanja ograni�ena je vanjskim vezama.

• Gibanje mehanizama – sustava sastavljenih od više me�usobno vezanih krutih tijela.

• Ravninski mehanizmi – kod kojih se svi �lanovi gibaju u ravninama paralelnim s jednom nepomi�nom, referentnom ravninom.

4

Kinematikakrutog tijela

1. Translacija 2. Rotacija

Krivocrtna Pravocrtna

5

1. Translacija krutog tijela

a) Krivocrtna b) Pravocrtna

6

2. Rotacija krutog tijela

a) oko nepomi�ne osi

b) oko trenutne osi

c) oko nepomi�ne to�ke O – slobodne osi

2

7

2. Rotacija krutog tijela

a) oko nepomi�ne osi

b) oko trenutne osi

8

c) Rotacija krutog tijela oko nepomi�ne to�ke O

Gibanje zvrka - sferno gibanjeωr i ωp imaju isti smjer rotacije

9

c) Rotacija krutog tijela oko nepomi�ne to�ke O

Gibanje Zemlje oko Sunca retrogradna precesijaωr i ωp imaju suprotan smjer rotacije 10

1. Translacijsko gibanje

→→

→→

→→

→→→

→→→

=

=

=

+=

+=

AB

AB

AB

AB

AB

aa :slijedi

dt)v(d

dt)v(d

vv :slijedi

dt)AB(d

dt)r(d

dt)r(d

ABrr

dužina A1B1 = AB = konst.

0dt

)AB(d =→

11

1. Translacijsko gibanje

→→→

→→→

==

==

aaa :brzanjeU

vvv :rzinaB

AB

AB

Sve to�ke krutog tijela pri translacijskom gibanju opisuju kongruentne putanje i imaju u svakom trenutku vremena jednake brzine i ubrzanja po pravcu, smjeru i intenzitetu. Dovoljno je poznavati zakon gibanja samo jedne to�ke tijela.

12

Kružna translacija je poseban slu�aj krivocrtne translacije

3

13

• Dužina BCizvodi ………….gibanje

• Dužina ABizvodi …………..gibanje

14

Primjer translacijskog gibanja:

• Gibanje klipa u benzinskom ili dizel-motoru

• Gibanje vagona na ravnom dijelu puta

15

2. Rotacijsko gibanje

a) oko nepomi�ne osi

b) oko trenutne osi

a) Rotacijsko gibanje oko nepomi�ne osi

gibanja zup�anika, remenica, zamašnjaka, kružnih pila itd.

Zakon rotacijskog gibanja:

)t( ϕ=ϕ

16

Rotacija oko nepomi�ne osi�Gibanje tijela pri

kojemu sve to�ke tijela duž osi rotacije AB ostaju nepomi�ne.

�Sve ostale to�ke tijela opisuju kružnice oko nepomi�ne osi u ravninama okomitim na os rotacije i sa središtem na toj osi.

17

dtd

tlim)lim(

0t0tsr

ϕ=∆

ϕ∆=ω=ω→∆→∆

��

���

�

∆ϕ∆=ω

s1

t

sr

Srednja kutna brzina:

Trenutna kutna brzina:

18

Kutna brzina ωωωωPrema kutnoj brzini ωωωω razlikujemo slijede�a gibanja:�Promjenljivo ω ω ω ω = f (t) �Jednoliko ω ω ω ω = konst.

(Smjer: Pravilo desne ruke)

4

19

Kutno ubrzanje ε

• Promjenljiva rotacija:

� Srednje kutno ubrzanje:

� Kutno ubrzanje:

��

���

�ω=∆

ω∆=ε=ε→∆→∆ 20t

sr0t s

1

t dd

t

limlim

t sr ∆

ω∆=ε

20

Slu�ajevi rotacijskih gibanja:

1. ε >0 jednoliko ubrzano gibanje(dω = ε.dt >0)

2. ε <0 jednoliko usporeno gibanje(dω = ε .dt <0)

3. ε = 0 ω = konst. jednoliko gibanje(dω = ε .dt = 0)

21

1. Jednoliko ubrzano rotacijsko gibanje

200

0

t21

t

:gibanja Zakon

t :brzina Kutna

.konst 0; :ubrzanje Kutno

⋅ε+⋅ω+ϕ=ϕ

⋅ε+ω=ω

=ε>ε

Vektori ω i ε istog su smjera

22

2. Jednoliko usporeno rotacijsko gibanje

200

0

t21

t

:gibanja Zakon

t

:brzina Kutna

.konst 0; :ubrzanje Kutno

⋅ε−⋅ω+ϕ=ϕ

⋅ε−ω=ω

=ε<ε

Vektori ω i ε suprotni su po smjeru

23

3. Jednoliko rotacijsko gibanje

t :gibanja Zakon.konst :brzina Kutna

0 :ubrzanje Kutno

0 ⋅ω+ϕ=ϕ=ω

=ε

24

Broj okreta u minuti n

• Veza izme�u kutne brzine ωωωω (1/s ili rad/s) i broja okreta tijela n (okr./min):

60n2 ⋅π=ω

5

25

Brzina v to�aka tijela pri rotaciji

ω⋅=

ω⋅=ϕ⋅==

ϕ⋅=

rv

rdtd

rdtds

v

drds

Obodne brzine to�aka tijela v proporcionalne su njihovim udaljenostima od osi rotacije.

Obodna brzina v

ω⋅= rv26

27

Ubrzanje a to�aka tijela pri rotaciji

2n

t

ra

r dtdv

a

ω⋅=

ε⋅==

422n

2t raaa ω+ε=+=

Komponente ubrzanja:

Intenzitet ubrzanja:

2n

t

aa

tgωε==α

28

Odredite karakter rotacijskog gibanja krutog tijela oko nepomi�ne osi:

a) ε = 5 rad/s2

b) ε = 0

c) ω = 150 (rad/s)

d) ω = 20 . t (rad/s)

29

Primjer 1: Vratilo elektromotora okre�e se konstantnim brojem okretaja n = 1400 okr./min. Ako promjer vratila iznosi 100 mm odredite:

a) kutnu brzinu vratila (ω=?)b) obodnu brzinu to�ke na obodu vratila (v=?)c) ubrzanje to�ke na obodu vratila (a=?).

Zadano: n = 1400 okr./min. d = 100 mm; r = d/2=50 mm=0,050 m

30

Zadano: n = 1400 okr./min. d = 100 mm; r = d/2 = 50 mm = 0,050 m

Rješenje:

( )

2n

22222

n

t

2n

2t

s/m 1080aa

s/m 108014705,0rr

rr

va

0ra

aaa

0 gibanje jednoliko c)m/s 7,351470,05 r v)b

s/rad 14760

4001260

n2 )a

==

=⋅=ω⋅=ω⋅==

=ε⋅=+=

=ε=⋅=ω⋅=

=⋅π=⋅π=ω

6

31

Ravninsko ili planarno gibanje krutog tijela

32

• Svaka to�ka tijela Mi giba se u ravnini paralelnoj s nekom nepomi�nom (referentnom) ravninom Π0.

aaa

vvv

21

21→→→

→→→

==

==

33

• Sve to�ke na okomici opisuju identi�ne me�usobno paralelne putanje i u svakom trenutku imaju jednake vektore brzina i ubrzanja

• Ravninsko gibanje krutog tijela možemo svesti na prou�avanje gibanja krute figure – t.j. presjeka S u ravnini.

34

• Položaj presjeka S u ravnini Oxy može se odrediti ako je poznat položaj neke to�ke A presjeka S i kut

35

• Položaj presjeka S u ravnini Oxy može se odrediti ako je poznat položaj neke to�ke A presjeka S i kut

• Gibanje ravne krute figure S u ravnini odre�eno je jednadžbama:

)t(

)t(yy

)t(xx

A

A

ϕ=ϕ==

36

.konstAB =

To su ujedno kinematske jednadžbe ravninskog gibanja krutog tijela:

)t(

)t(yy

)t(xx

A

A

ϕ=ϕ==

7

37

Svako gibanje presjeka S može se razložiti na:a) translacijsko gibanje ib) rotacijsko gibanje oko to�ke A –

proizvoljno odabranog pola

38

(ili oko to�ke B)

39

Odre�ivanje putanja to�aka tijela

• To�ka A (xA; yA )

)sin(dyy

)cos(dxx

A

A

α+ϕ⋅+=α+ϕ⋅+=

→→→⋅+⋅= jyixr AAA

Jednadžbe gibanja to�ke M:

• To�ka M (x; y )

40

Odre�ivanje brzina to�aka tijela

→→→+= AMA rrr

dtrd

dtrd

dtrd

v AMAM

→→→→

+==→→→

⋅+⋅= jyixr AAA

41

Odre�ivanje brzina to�aka tijela

→→

= AA v

dtrd →

→

= MAAM vdtrd

→→→+= MAAM vvv

dtrd

dtrd

dtrd

v AMAM

→→→→

+==

42

MAvMA ⊥→

AMvMA ⋅ω=→→

→→→+= MAAM vvv

AMvv AM ⋅ω+=→→→

8

43

• Brzina to�ke M krutog tijela vM kod ravninskoggibanja jednaka je vektorskom zbroju brzine to�ke A vA i brzine to�ke M pri rotaciji tijela oko to�ke - pola A vMA.

AMvv AM ⋅ω+=→→→

→→→+= MAAM vvv

44

Teorem o projekcijama brzinaOrtogonalne projekcije vektora brzina na

spojnicu to�aka A i B me�usobno su jednake.

PNv

.konst'v'vv

N

BAN

⋅ω=

===

→

→→→

45

NBB

NAA

vPNcosPBcosv'v

vPNcosPAcosv'v

=⋅ω=β⋅⋅ω=β=

=⋅ω=α⋅⋅ω=α=

46

Kotrljanje

vrv

vr22

2rv

45cosvv

AOC spojnicu na ojekcijePr

2rPCv

2rPAv

rPOvv

:Brzine

C'

A'

AA'

C

A

O

=⋅ω=

=⋅ω=⋅⋅ω=

⋅=

⋅ω=⋅ω=

⋅ω=⋅ω=

⋅ω=⋅ω==

�

→→→+= OPPO vvv

To�ka P – trenutni pol brzina vP= 0

47

Trenutni pol brzina P

• Trenutni pol brzina je to�ka P u presjeku S krutog tijela �ija je brzina u odre�enom trenutku jednaka nuli.

• Za odre�ivanje trenutnog pola brzina P potrebno je poznavati pravce i smjerove brzina bilo kojih dviju to�aka krutog tijela koje se nalaze na presjeku S na pr. vA i vB

48

PAvA ⊥→

poznato - v iv BA

→→

PBvB ⊥→

Trenutni pol P nalazi se u sjecištu okomica povu�enih na brzine vA i vB (sjecištu pravaca a i b)

0vP =

9

49

• Brzina bilo koje to�ke krutog tijela koja leži u presjeku S jednaka je njenoj obodnoj brzini pri rotaciji oko trenutnog pola brzina P.

• Brzine pojedinih to�aka tijela proporcionalne su njihovim udaljenostima od trenutnog pola brzina.

PBv

PAv

B

A

⋅ω=

⋅ω=

PBv

PAv BA ==ω

50

→→

→→→

→→

→→→

=

+=

=

+=

BPB

BPPB

APA

APPA

vv

vvv

vv

vvv

0vP =→

51

Odre�ivanje brzina to�aka tijela pomo�u trenutnog pola P

• Za odre�ivanje brzine bilo koje to�ke krutog tijela na presjeku S potrebno je poznavati intenzitet i pravac brzine jedne to�ke vA i pravac brzine druge to�ke tijela vB.

52

intenzitet se Traži

PAv

PAv

PBv?v

AA

BB

=ω�ω⋅=

ω⋅==

ωω

Zadano: Intenzitet i pravac brzine vA i samo pravac vB

53

PAv

rv

rv

PCv

?v

A

A

AAA

C

C

==ω�ω⋅=

ω⋅==

54

Slu�ajevi odre�ivanja trenutnog pola brzina

0vP =

Trenutna translacija: Trenutni pol:

∞→P

10

55

Primjer ravninskog gibanja krutog tijela:

Kotrljanje bez klizanja valjkastog tijela po površini drugog tijela

56

Translacija + Rotacija = Kotrljanje

Kotrljanje – rotacija oko trenutne osi

- trenutni pol

57

Ubrzanje a to�aka tijela

2AM

2

2A

2

M

2

2

M

AMA

dtrd

dtrd

a

dt

rda

rrr

→→→

→→

→→→

+=

=

+=

→→

= A2A

2a

dt

rdMA2

AM2

adtrd →

→

=

→→→+= MAAM aaa

58

→→→+= MAAM aaa

59

Podsjetnik: Ubrzanje a to�aka kod kružnog gibanja

2

dtdv

ω⋅=

ε⋅==

ra

ra

n

t

422n

2t raaa ω+ε=+=

Komponente ubrzanja:

Intenzitet ubrzanja:

2n

t

aa

tgωε==α

60

ε⋅=���

����

�→AMa

tMA

2

nMA AMa ω⋅=��

�

����

�→

Tangencijalna komponenta ubrzanja: ( r = AM )

Normalna komponenta ubrzanja:

nMA

tMAMA aaa ��

�

����

�+��

�

����

�=

→→→Ubrzanje aMA to�ke M pri rotaciji tijela oko pola A:

11

61

( ) ( ) 422

nMA2

tMAMA AMaaa ω+ε⋅=+=

2tgωε

=α

→→→+= MAAM aaa

Ubrzana rotacija

62

Usporena rotacijaUbrzana rotacija

63

Primjer 1: Štap AB dužine 2 m izvodi planarno gibanje. U jednom trenutku brzina to�ke A zatvara s osi štapa kut od 30° i iznosi 5 m/s. U istom trenutku brzina to�ke B zatvara s osi štapa kut od 60°. Odredite:

a) iznos brzine to�ke B (grafi�ki i analiti�ki)b) položaj trenutnog pola P (grafi�ki)c) kutnu brzinu ω.

64

a) vB=? - grafi�ki (vBA je okomito na spojnicu AB)

b) Trenutni pol P

65

a) vB=? Teorem o jednakosti projekcija brzina

)s/m( 66,8

2123

5

60cos

30cosvv

60cosv30cosv

AB

BA

=⋅

==

=

�

�

��

66

c) ω = ?

(1/s) 515

APv

APv

(m) 15,0230sinABAP

AA ===ω�ω⋅=

=⋅=⋅= �

Doma�a zada�a:

Odredite brzinu središta štapa – to�ke C (grafi�ki i analiti�ki).