priracnik-matematika so razmisluvanje vo pocetnite oddelenija-2009

5

РАСПОРЕД НА АКТИВНОСТИ

Поглавје 1 ПРЕГЛЕД НА ПРОГРАМАТА „МАТЕМАТИКА СО РАЗМИСЛУВАЊЕ“ И НЕЈЗИНИТЕ ОСНОВНИ ПРИНЦИПИ

Поглавје 2

ШАБЛОНИ И ПОВРЗУВАЊА ВО МАТЕМАТИКАТА

Поглавје 3

РАЗВОЕН ПАТ ОД БРОЕЊЕ ДО СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ

Поглавје 4

КЛАСИФИКАЦИЈА НА ПРОБЛЕМИ И ТЕКСТУАЛНИ ЗАДАЧИ

Поглавје 5

МНОГУБРОЈНИ СТРАТЕГИИ

Поглавје 6

ЕВИДЕНТИРАЊЕ (ЗАПИШУВАЊЕ) И ПРАШУВАЊЕ

Поглавје 7 ПРОЦЕНУВАЊЕ

Поглавје 8

МИСЛОВНА МАТЕМАТИКА И ПЛАНИРАЊЕ НА НАСТАВАТА

Поглавје 9

ПРЕГЛЕД ВО ОПЕРАЦИЈАТА МНОЖЕЊЕ

Поглавје 10

ПРИМЕРИ, МОДЕЛИ И АЛАТКИ ЗА ПОЛЕСНО РАЗБИРАЊЕ НА МНОЖЕЊЕТО

Поглавје 11

СТРАТЕГИИ ЗА МНОЖЕЊЕ СО ПОВЕЌЕЦИФРЕНИ БРОЕВИ

Поглавје 12

СИТУАЦИСКИ И ТЕКСТУАЛНИ ЗАДАЧИ

6

Рамка за обука на наставниците – Математика со размислување во почетните одделенија

Десет принципи на “ Размислувај математички“:

• Надградуваjте го интуитивното знаење.

• Создавајте разбирање за броевите преку

броење, проценување, пресметување на памет и

употреба на репери.

• Засновајте го вашето поучување на решавање на

проблемски текстуални задачи и ситуации.

• Користете манипулативни средства и други

видови на претставување на проблемски

ситуации потоа, поврзете го конкретното со

симболичкото претставување.

• Барајте од учениците да го објаснат и да го

оправдаат (одбранат) своето математичко

размислување.

• Прифаќајте и поттикнувајте различни начини на

решавање кои водат до точни решенија.

• Балансирајте го концептуалното и

процедуралното учење.

• Користете разновидни форми и техники за

поучување.

• Користете го формативното оценување како

водич при поучувањето.

• Приспособувајте го дадениот фонд на часови за

темите и содржините.

Решавање проблеми

(расудување, претставување,

комуникација)

• решавање текстуални

проблеми

• запишување

• користење манипулативни

средства

• користење модели

Алгебра

• низи/модели/ше

ми

• заемни односи

• изведување

општи заклучоци

• правење табели

Пр

ист

ап

на

уч

ењ

е з

а о

бу

ка

на

на

ста

вн

иц

и

Уч

и…

..

Ве

жб

ај…

На

вр

ати

се

…

Пл

ан

ир

ај

за

пр

им

ен

а..

. Разбирање на броевите и

операциите

• разложување

• составување

• запишување

• користење манипулативни

средства/ објекти

• формирање десетка

• собирање

• одземање

• множење

• делење

Геометрија

• мерење

• работа со

податоци

• веројатност

7

Математика со размислување во почетните одделенија

ПРЕТТЕСТ ЗА ПОЗНАВАЊЕ НА СОДРЖИНАТА

_____________________________

Име и презиме

8

1. Именувај ги десетте принципи на Математика со размислување! 2. Прикажете две стратегии за решавање на следниот проблем. Математички запишете го Вашето решение и објаснете го/оправдајте го Вашиот одговор.

Колку пакувања од по 6 шишенца вода ќе ѐтребаат на г-ѓа Марија за три одделенија третоодделенци, при тоа секој ученик и секој наставник да добијат по едно шишенце вода? Одделенијата имаат по 18, 22 и 15 ученици соодветно.

Покажи или опиши најмалку три различни начини за да го претставиш збирот 75 + 29!

9

3. а. Именувај четири типови проблеми за собирање и одземање!

б. Искористи ги информаците од дадената ситуација за да креираш примери за најмалку два од четирите типови проблеми.

12 деца во училишниот двор; 7 девојчиња; 5 момчиња. 4. Покажи или опиши најмалку три различни начини за да го претставиш производот 7 · 8!

10

5. Покажи два начини на решавање на овој проблем. Решението запиши го математички и објасни го/оправдај го твојот одговор!

Поставуваме теписон од ѕид до ѕид на површина со димензии 9 метри на 7 метри. Колкав теписон ќе ја покрие целата површина?

6. Илустрирај го следното со бројни изрази со собирање и накратко објасни!

а. Комутативно својство.

б. Стратегија „дополни до полна десетка“.

11

7. Опиши како десетте принципи може да ја направат наставата ефективна за сите ученици!

8. Именувај три значајни шаблони и опиши ги!

11

ПОГЛАВЈЕ 1

13

2

Проблемот „Ракување“

Во собата има шест луѓе. Секој со секого се ракува еднаш и само еднаш. Колку ракувања ќе има во собата?

3

На кој начин да се реши проблемот „Ракување“?

4

Направи дијаграм или графикон

• A Б В Г Д Ѓ 5 • Б В Г Д Ѓ 4• В Г Д Ѓ 3• Г Д Ѓ 2• Д Ѓ 1• Ѓ (веќе се поздравил со сите )

вкупно 15

6 луѓеброј на ракувања

5

Развивање на шаблон

луѓе ракувања собрано

1 0 0

2 1 1

3 3 2

4 6 3

5 10 4

14

Користи квадратчиња за да покажеш шаблон

5

5

6

5

Триаголникот како половина правоаголник

5

6(5 + 1)

Помножи должина (l) и ширина (w).

l·w=5·(5 + 1)=30 коцки

7

8

Креирај формула

• Ако „p“ е бројот на луѓе во собата најди ја површината на правоаголникот создаден од два идентични триаголника множејќи p·(p-1).

• p(p-1) е број на ракувања.

2

9

Десетте принципи на „Математикa со размислување“

15

10

1. Надогради го интуитивното знаење на ученикот.

11

Како учат луѓето?

Ефективната настава започнува со знаењата и вештините со кои учениците се вклучуваат во она што го изучуваат.

Како луѓето учат: мозок, ум, искуство и училиште.

Извештај од „Национален Истражувачки Совет“ (National Research Council), 1998г.

1

2. Воспостави силно чувство за бројки преку употреба на броење, показатели, ментална математика и проценка.

13

Показатели за чувство за броеви

• Разложување и групирање на броеви заради поедноставување на пресметувањето.

• Чувство за апсолутни и релативни величини.

• Користење на познатото за да се дојде до непознатото.

• Проценка на логичноста на одговорите.

• Поврзување на симболите за броеви, симболите за операции и симболите за релации.

• Приспособливо и многукратно претставување.

• Лесно применливи и достапни стратегии.

• Проценка на нумерички одговори.

• Желба да се пронајде смисла за броевите.

Resnick, Silver, Sowder, Trafton

16

14

3. Основни инструкции за ситуациони приказни

Примената на „Проблемска ситуација“ во текстуални задачи дава можност учениците:

•да ја применат својата интуиција,

•да разберат дека постојат повеќекратни, валидни стартегии за решавање на проблеми и

•да стекнат разбирање за тоа што всушност се случува во операциите.

Charles & Lester; Wheatley

15

4. Користете манипулативни

математички вежби и други преставувања за да ги моделирате ситуационите проблеми; Потоа, поврзете конкретните и симболичките преставувања.

16

Конкретни претставувања

• Употребувањето на физички објекти може да им помогне на учениците да развијат разбирање преку поврзување на неформалното знаење со училишната математика, што многу зависи од тоа како овие објекти се користат.• Настваниците мора да обезбедат можности за учениците да прават јасни, точни поврзувања помеѓу активностите со објекти и математичките концепти и процедури.

Helping Children Learn Mathematics

National Research Council

17

Укажување:

Манипулативите може да обезбедат значајна поддршка во интеракцијата на наставниците со учениците, со цел да им помогнат во градењето на врски помеѓу објектот, симболот и математичката идеја што објектот и симболот ја претставуваат.

17

18

5. Барај од ученикот да го објасни и оправда своето математичко размислување.

19

Објасни и оправдај!

Помагањето на децата да научат математика бара да се обрне внимание на начинот на објаснување и употребените математички аргументи.

Најважна е интеракцијата помеѓу наставникот, ученикот, и содржината.

Adding It Up, 2001National Academies of Science

Пример:

23 + 28 + 25 + 24 = 100

20

23+28+25+24 се 4 четвртини

од долар. Од 28 дај 2 на 23 и 1 на24.

Сега има четири 25-ки.

Четири 25-ки се 100, значи 100.

21

6. Прифати и охрабри

различни исправни стратегии на решавање.

18

22

Математичарите користат многу начини.

• На зададена задача со проценка, 35 математичари користеле 22 различни начини за решавање на задачата.

• Не постоел еден “точен” начин.

23

7. Балансирајте го концпетуалното и процедуралното знаење

24

На што се насочуваме кај процедурите и концептите?

• Секој за себе е премногу ограничен. Потребни ни се и двата.

• Кога луѓето се залагаат само за еден домен на усовршување, ја губат сеопфатната цел.

• На учениците им треба повеќе од вештините и повеќе од разбирањето паралелно со способноста за примена на концепти за решавање на проблеми, логичко размислување, и да гледаат на математика како чувствителна, корисна и достижна.



25

Концептуално/процедурално разбирање.

Процедурално:

256

+ 238

494

Концептуално:• Тоа е само 6 помалку од 500.

• Едната 4-ка има вредност 100 пати поголема од другата 4-ка.

• Збирот на 258 и 236 е исто што и 260 плус234.

19

26

Тешко е да се врати назад.

Учениците (обично) учат процедури преку имитирање и практицирање отколку со разбирање, а тешко е да се врати назад и да се обидува да се разбере процедурата откако сте ја практикувале неколку пати.

Hatano 1988; Resnick & Omanson 1986; Wearne & Hiebert 1988In Making Sense: Teaching and Learning Mathematics with UnderstandingHiebert, Carpenter, Fennema, Fuson, Wearne, Murray, Olivier, & Human

27

Процедурите лесно се забораваат.

Без разбирање, процедурите лесно се забораваат или извртуваат. И тешко е да се прилагодат на решавање на разни видови проблеми.

Making Sense:teaching and learning mathematics with understandingHiebert, Carpenter, Fennema, Fuson, Wearne, Murray, Olivier, & Human

28

Поврзување на концептот и процедурата.

Ако учениците се охрабруваат да развијат сопствени процедури за решавање на проблемите, тие мора да го користат разбирањето кое веќе го развиле. Разбирањето и процедурите остануват тесно поврзани затоа што процедурите се базираат на разбирање.

Making Sense: Teaching and Learning Mathematics with Understanding

Hiebert, Carpenter, Fennema, Fuson, Wearne, Murray, Olivier, & Human

8. Користете разновидни стратегии за предавање

29

20

30

Нема совршена стратегија.

Работата не е да се избере една стратегија, туку се работи за принципот–различни стратегии се најдобри за различни намени.

Suzanne Donovan, NASspeaking about the report How People Learn

ER&D2000 Winter Institute

31

Подучување на високо ниво.

• Нема конкретна, предодредена или сигурна патека на процедури на подучување, која треба да се следи.

• Наставникот одбира, развива, презентира, се обидува, модифицира и дури напушта со цел да им помогне на учениците да научат.

Rosenshine & Meister, 1992

9. Користете тековна проценка за да го водите процесот на подучување

32

33

Само затоа што решиле не значи дека знаат!

T: Дали 25% од 15 е поголемо од, помало од, или еднакво на 15?

S: Тоа е помалку од 15.

T: Како знаеш?

S: Одземаш: 25% - 15 = 10 и 10 е помалку од 15.

Assessment in the Mathematics ClassroomNCTM, 1993

21

34

Еден тест не кажува се.

Оценување кое ја води наставата вклучува алтернативни методи како:

• портфолија на ученици;

• писмено оценување;

• набљудување за време на наставата;

• отворени (неограничени) прашања;

• индивидуални и групни проекти;

• самооценување на ученикот.

10. Прилагодување на времеската рамка на наставната програма.

• Кога нештата се предаваат;

• Колку часа се доволни;

• Колку се долги часовите;

• Површни наспроти длабоки на цели.

35

36

TIMSSThird International Mathematics and Science Study* *Renamed Trends in 2004

• Најдетално набљудувана математичка и научна студија досега.

• Кажува за очекувањата од системот за образование, кои ги имаат државите во однос на своите ученици и најдоброто од нив.

• Обезбедува вредни информации кои може да се употребат за подобрување на квалиетот на образованието.

• Се реализира секоја 4 година од 1995год.

* Трета Интернационална Математичка и Научна Студија

TIMSS и Македонија

• Една од причините за одржувањето на овој семинар е рангирањето на учениците од Македонија под просекот на тестирањата на TIMSS во 2003год.

• Учество зеле само 8-мо одделенците; 4-то одделенците не учествувале; иако поставувањето солидни основи во рана возраст дава подоцнежни резулати.

• 8-мо оделенците во 30 држави биле значително подобри од учениците во Македонија, а учениците во Македонија биле значително подобри од 14 други држави.

37

22

TIMSS – Македонија

• Макеоднија не била на дното, но била 30 поени под меѓународниот просек. Ова е суштинско. Покрај тоа, нивниот просек паднал за 12 поени од TIMSS во 1999год.

38

39

TIMSS анализи за силни часови по математика:

� Исплатливи математички цели;� Поврзаност;� Развој на концепти;� Повеќекратни стратегии;� Резонирање и докажување;� Задачите стануваат посложени;� Јасно поврзување;� Ангажираност на ученикот.

Stigler, Videotape Classroom Study

40

•Дозволете во детското образование, главните идеи да бидат малку и важни, како и да бидат зададени во секоја можна комбинација.•Детето треба да ги направи своии треба да ја разбере нивната примена.

Alfred North Whitehead

41

Математичка вештина

• Разбирање,• Пресметување,• Примена,• Размислување (умување),• Ангажираност.

Овие пет точки се испреплетени и меѓусебно зависни. Други тврдења имаат тенденција да нагласуваат само еден аспект на вештината.

Helping Children Learn MathematicsNational Research Council (2001)

23

42

Нитки на вештината:

1. Разбирање (сфаќање): разбирање на математичките концепти, операции и релации-знаење за тоа што значат математичките симболи, дијаграми и процедури.

2. Пресметување: флексибилна, прецизна, ефикасна и соодветна примена на математичките постапки, како што се собирањето, одземањето, множењето и делењето броеви.

43


3. Примена : способност за формулирање математички проблеми и смислување стратегии за нивно решавање, употребувајќи соодветни концепти и процедури.

4. Резонирање: употребување на логиката за објаснување и оправдување на решението на даден проблем или изразување-тргнувајќи од нешто познато кон нешто што сеуште не е познато.



44


5. Ангажираност: гледање на математиката како чувствителна (прецизна), корисна и возможна-работи на неа и биди волен да ја завршиш работата.

24

45

Сегашност и иднина• „ Математикa со размислување“ продолжува да црпи идеи не само од устражувањата во Сад, туку исто така и од искуството на другите држави каде што учениците се успешни.

• Една студија, која што стана многу влијателна за математичките едукатори од секој вид, го споредува подучувањето во САД со подучувањето во Кина и вреднува некои од американските оригинални принципи.Откритијата се содржани во книгата наЛипинг Ма која се вика Да знаеш и да

подучуваш елементарна математика.

46

Наставници со проникливо разбирање за елементарната математика.

• Меѓусебно поврзување на концептите, процедурите, претходните и моменталните идеи.

• Разгледување на различни гледишта и решенија и способност за нивно објаснување на учениците.

• Пренесување на, и свесност за едноставни но силни основни концепти и принципи на математиката.

• Познавање на развојот на наставната програма и способност за издвојување на приоритетните концепти, како и подготовка на учениците за концептите што следат.

Liping Ma

46

Наставници со проникливо разбирање за елементарната математика.

• Меѓусебно поврзување на концептите, процедурите, претходните и моменталните идеи.

• Разгледување на различни гледишта и решенија и способност за нивно објаснување на учениците.

• Пренесување на, и свесност за едноставни но силни основни концепти и принципи на математиката.

• Познавање на развојот на наставната програма и способност за издвојување на приоритетните концепти, како и подготовка на учениците за концептите што следат.

Liping Ma

25

Работен лист за активност 1-1: РАКУВАЊЕ Задача: Доколку во просторијата се наоѓаат шест лица и секој од нив во собата се ракува со сите други еднаш и само еднаш, тогаш колку ракувања ќе се направат? Упатство за работа: Работете во парови или мали групи за да го најдете одговорот. Споделете ги одговорите на ниво на учесници, односно опишете како го најдовте вашиот одговор.

Откако ќе ги слушнете стратегиите од другите парово или групи, вклучете се во „бура на идеи“ на прашањето: Кои од користените стратегии во активноста би биле од полза за предавање на учесниците?

26

ДЕСЕТТЕ ПРИНЦИПИ НА МАТЕМАТИКА СО РАЗМИСЛУВАЊЕ

1. НАДГРАДУВАЈТЕ ГО ИНТУИТИВНОТО ЗНАЕЊЕ

2. СОЗДАВАЈТЕ РАЗБИРАЊЕ ЗА БРОЕВИТЕ ПРЕКУ БРОЕЊЕ, ПРОЦЕНУВАЊЕ, ПРЕСМЕТУВАЊЕ НАПАМЕТ И УПОТРЕБА НА РЕПЕРИ

3. ЗАСНОВАЈТЕ ГО ВАШЕТО ПОУЧУВАЊЕ НА РЕШАВАЊЕ НА ПРОБЛЕМСКИ ТЕКСТУАЛНИ ЗАДАЧИ И СИТУАЦИИ

4. КОРИСТЕТЕ МАНИПУЛАТИВНИ СРЕДСТВА И ДРУГИ ВИДОВИ НА ПРЕТСТАВУВАЊЕ НА ПРОБЛЕМСКИ СИТУАЦИИ, ПОТОА ПОВРЗЕТЕ ГО КОНКРЕТНОТО СО СИМБОЛИЧКОТО ПРЕТСТАВУВАЊЕ

5. БАРАЈТЕ ОД УЧЕНИЦИТЕ ДА ГО ОБЈАСНАТ И ДА ГО ОПРАВДААТ СВОЕТО МАТЕМАТИЧКО РАЗМИСЛУВАЊЕ

6. ПРИФАЌАЈТЕ И ПОТТИКНУВАЈТЕ РАЗЛИЧНИ НАЧИНИ НА РЕШАВАЊЕ КОИ ВОДАТ ДО ТОЧНИ РЕШЕНИЈА

7. БАЛАНСИРАЈТЕ ГО КОНЦЕПТУАЛНОТО И ПРОЦЕДУРАЛНОТО УЧЕЊЕ

8. КОРИСТЕТЕ РАЗНОВИДНИ ФОРМИ И ТЕХНИКИ ЗА ПОУЧУВАЊЕ

9. КОРИСТЕТЕ ГО ФОРМАТИВНОТО ОЦЕНУВАЊЕ КАКО ВОДИЧ ПРИ ПОУЧУВАЊЕТО

10. ПРИСПОСОБУВАЈТЕ ГО ДАДЕНИОТ ФОНД НА ЧАСОВИ ЗА ТЕМИТЕ И СОДРЖИНИТЕ

27

Работен прибор за активност 1-2: ДЕСЕТ ПРИНЦИПИ Задача: Дискутирајте за еден од принципите, како може да Ви биде од помош. Упатство за работа: За кој принцип ќе дискутирате одредуваат обучувачите. Во табелата за принципот за кој треба да дискутирате запишете ги Вашите идеи на двете прашање. При презентацијата го читате принципот, цитатот од истражувањето и ги објаснувате Вашите идеи.

1. НАДГРАДУВАЈТЕ ГО ИНТУИТИВНОТО ЗНАЕЊЕ

Постои значаен доказ дека потешкотијата на децата со математиката во училиште доаѓа од нивната неможност да ги препознаат и применат односите помеѓу строгите училишни правила, од една страна, и нивната независно развиена интуиција, од друга страна.

Lauren Resnick

The Thinking Curriculum

Како може овој принцип да помогне во зацврстување на математичкото учење кај учениците?

Како Вие би го употребиле овој принцип на час по математика?

28

2. СОЗДАВАЈТЕ РАЗБИРАЊЕ ЗА БРОЕВИТЕ ПРЕКУ БРОЕЊЕ, ПРОЦЕНУВАЊЕ, ПРЕСМЕТУВАЊЕ НАПАМЕТ И УПОТРЕБА НА РЕПЕРИ

Индикатори за чувство за броеви:

Разложување и групирање на броеви заради поедноставување на пресметувањето.

Чувство за апсолутни и релативни величини.

Користење на познатото за да се дојде до непознатото.

Проценка на логичноста на одговорите.

Поврзување на симболите за броеви, симболите за операции и симболите за релации.

Приспособливо и многукратно претставување.

Лесно применливи и достапни стратегии.

Проценка на нумерички одговори.

Желба да се пронајде смисла за броевите.

Resnick, Silver, Sowder, Trafton Како може овој принцип да помогне во зацврстување на математичкото учење кај учениците?


29

3. ЗАСНОВАЈТЕ ГО ВАШЕТО ПОУЧУВАЊЕ НА РЕШАВАЊЕ НА ПРОБЛЕМСКИ ТЕКС-ТУАЛНИ ЗАДАЧИ И СИТУАЦИИ

Примената на „проблемска ситуација“ во текстуални задачи дава можност учениците:

• да ја применат својата интуиција,

• да разберат дека постојат повеќекратни валидни стартегии за решавање проблеми; и

• да стекнат разбирање за тоа што всушност се случува во операциите.

Charles & Lester; Wheatley



30

4. КОРИСТЕТЕ МАНИПУЛАТИВНИ СРЕДСТВА И ДРУГИ ВИДОВИ НА ПРЕТСТАВУВАЊЕ НА ПРОБЛЕМСКИ СИТУАЦИИ, ПОТОА ПОВРЗЕТЕ ГО КОНКРЕТНОТО СО СИМБОЛИЧКОТО ПРЕТСТАВУВАЊЕ

• Употребувањето на физички објекти може да им помогне на учениците да развијат разбирање преку поврзување на неформалното знаење со училишната математика, што многу зависи од тоа како овие објекти се користат.

• Наставниците треба да ги поттикнуваат учениците да прават јасни, точни поврзувања помеѓу активностите со објекти и математичките концепти и процедури.





31

5. БАРАЈТЕ ОД УЧЕНИЦИТЕ ДА ГО ОБЈАС-НАТ И ДА ГО ОПРАВДААТ СВОЕТО МАТЕМАТИЧКО РАЗМИСЛУВАЊЕ

Помагањето на децата да научат математика бара да се обрне внимание на начинот на објаснување и употребените математички аргументи.

Најважна е интеракцијата помеѓу наставникот, ученикот и содржината.

Adding It Up, 2001

National Academies of Science



32

6. ПРИФАЌАЈТЕ И ПОТТИКНУВАЈТЕ РАЗ-ЛИЧНИ НАЧИНИ НА РЕШАВАЊЕ КОИ ВОДАТ ДО ТОЧНИ РЕШЕНИЈА.

Бројот на различни алтернативни решенија на еден проблем, кој е презентиран од страната на учениците, дава силна разлика помеѓу силни и слаби ТИМСС-часови.

Познавањето на само еден начин на решавање покажува слабо познавање.

TIMSS



33

7. БАЛАНСИРАЈТЕ ГО КОНЦЕПТУАЛНОТО И ПРОЦЕДУРАЛНОТО УЧЕЊЕ

• Секое знаење за себе е премногу ограничено. Потребни ни се и двете знаења.

• Кога луѓето се залагаат само за еден домен на усовршување ја губат сеопфатната цел.

• На учениците им треба повеќе од вештини и повеќе од разбирање, паралелно со способноста за примена на концепти за решавање на проблеми и логичко размислување; на математиката треба да гледаат како на чувствителна, корисна и достижна наука.





34

8. КОРИСТЕТЕ РАЗНОВИДНИ ФОРМИ И ТЕХНИКИ ЗА ПОУЧУВАЊЕ

Работата не е да се избере една стратегија туку се работи за принципот – различни стратегии се најдобри за различни намени.

Suzanne Donovan, NAS

speaking about the report How People Learn

ER&D2000 Winter Institute



35

9. КОРИСТЕТЕ ГО ФОРМАТИВНОТО ОЦЕ-НУВАЊЕ КАКО ВОДИЧ ПРИ ПОУЧУ-ВАЊЕ

Само затоа што решиле, не значи дека знаат!

Н: Дали 25% од 15 е поголемо од, помало од или еднакво на 15?

У: Тоа е помалку од 15.

Н: Како знаеш?

У: Одземаш: 25% - 15 = 10 и 10 е помалку од 15.

Assessment in the Mathematics Classroom

NCTM, 1993



36

10. ПРИЛАГОДУВАЈТЕ ГО ДАДЕНИОТ ФОНД НА ЧАСОВИ ЗА ТЕМИТЕ И СОДРЖИНИТЕ

Учењето е функција од времето што треба да се потроши повремено.

John Carroll



37

Работен лист за активност 1-3: СЦЕНАРИО ЗА РАЗМИСЛУВАЊЕ Задача: 1. Дискутирајте го начинот на кој доаѓа до решение ученикот, во примерот што е даден подолу.

2. Водете дискусија за тоа што можете да кажете за разбирањето на множењето од страна на ученикот.

Користење на познатото за да се најде непознатото

Ученик од второ одделение влегува во просторијата. Неговиот наставник му вели: „Колку е 9 по 8“! (Напишете 9·8 на таблата, на лист или на фолија).

Детето го напиша на таблата следното и потоа запре: (Напишете го следното!)

3·8 = 24

3·8 = 24

24 + 24 = 48

Наставникот, без да посочи дека детето сè уште не го решило производот 9·8, вели: „Кажи ми, што направи за да најдеш колку е 9·8“!

Ученикот погледнува за момент во напишаното и потоа вели: „Чекајте! Ми треба уште еднаш три пати по осум!“ Тој ја зема кредата и го додава следното: (Додадете го следното!)

3·8 = 24

48 + 24 = 72

Потоа, тој објаснува: „три пати по осум е 24, уште три пати по осум е 24, а тоа е вкупно 48. Шест пати по осум е 48, а ми требаат уште три осумки за да имам девет пати по осум. Три пати по осум е повторно 24 и кога ќе ги соберам 48 и 24 се добива 72“.

39

ПОГЛАВЈЕ 2

50

Работен лист за активност 2-2:

АРИТМЕТИКА СО ЗБОРОВИ (БУКВИ) 1 – СОБИРАЊЕ

Задача: Одредете која буква со која цифра треба да се замени во проблемот:

e k f +e k f

f o o k

51

Работен лист за активност 2-3: АРИТМЕТИКА СО ЗБОРОВИ (БУКВИ) – ОДЗЕМАЊЕ

Задача: Одредете која буква со која цифра треба да се замени во проблемот:

rkksr - srcr sqcq

52

Работен лист за активност 2-5: ШАБЛОНИ СО БОЈА

Задача – Монистра

Има 6 сини и 6 црвени монистра. Нацртајте шема користејќи ја сита монистра!

53

Работен лист за активност 2-6: ПРОСТОРНИ ОДНОСИ Задача: А. Танграми 1. Креирајте танграм! Потоа користејќи ги сите 7 парчиња формирајте квадрат!

54

Насоки за изработување на танграми 1. Означете ги темињата на квадратот A, B, C, D, почнувајќи од горниот лев агол движејќи се во насока на стрелките на часовникот!

2. Повлечете отсечка АD и нејзината средина означете ја со точка Е!

3. Сторете го истото и за отсечката ВС и ја добивте точката F. (E и F се наречени средишни точки.)

4. Нацртајте отсечки BD и EF!

5. Најдете ја средишната точка на отсечката BD и означете ја со G!

6. Најдете ја средишната точка на отсечката DG и означете ја со W!

7. Најдете ја средишната точка на отсечката BG и означете ја со X!

8. Најдете ја средишната точка на отсечката EF и означете ја со Y!

9. Нацртајте ги отсечките XY, GY, WE и GA!

10. Парчињата означете ги:

• Големите триаголници со A и B. • Средниот триаголник со C. • Малите триаголници со D и E. • Квадратот со F. • Паралелограмот со G.

11. Исечете ги седумтте парчиња!

55

Шема за танграм

56

Работен лист за активност 2-6: ПРОСТОРНИ ОДНОСИ Задача:

Б. Пентомини

Со помош на плочки во форма на квадрат што ги добивте направете

пентомини. На колку начини можете да ги наредите пентомините? Постои ограничен број шаблони. Притоа мора да се допираат цели страни.

57

Работен лист за активност 2-6: ПРОСТОРНИ ОДНОСИ Задача: В. Коцки

Направете сопствени коцки од бројки!

Нумерирајте ги квадратите на мрежите од коцки така што броевите од спротивните страни на коцките да дадат збир 7. Потоа сечете ги мрежите и направете ги коцките!

59

Работен прибор за активноста 2-6 В. Коцка

61

Работен лист за активност 2-9: ПАСКАЛОВ ТРИАГОЛНИК Задача: Пополнете го Паскаловиот триаголник со броевите кои недостасуваат! Дали забележувате некој шаблон?

62

Работен прибор за активност 2-9: ПАСКАЛОВ ТРИАГОЛНИК

67

Скалила

Број на чекори Вкупен број

1 1

2 1 + 2 =3

3 1 + 2 + 3 = 6

4

5

n

68

Збир од последователни непарни броеви

Најдете го збирот на последователните непарни броеви почнувајќи од 1

(1+3+5+7+9+…) преку проширување и комплетирање на табелата подолу!

Барајте шаблони! Генерализирајте ги вашите процедури!

Број на непарните броеви Последователни

непарни броеви

Збир

1

1

1

2

1 + 3

4

3

1 + 3 + 5

9

n

1 + 3 + 5 + … + n

69

Работен прибор за активност 2-8: ТАБЕЛА „СТОТКА“

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

70

Работен лист за активност 2-8: А. ДЕЛЧИЊА И ПАРЧИЊА

Потребна Ви е табелата „СТОТКА“ и молив. Задача: Пополнете со броевите кои недостасуваат без да гледате во табелата „СТОТКА“! Потоа употребете ја табелата за да извршите проверка!

48

34 78 86

51

50 63

37

32 26

71

Работен лист за активност 2-8: Б. ОТКРИТИЈА НА ТАБЕЛАТА „СТОТКА“ Задача: • Што можете да предвидите од издвоената мрежа? • Што е вкупно 24? Зошто?

73

собери:

37 + 28

3 25

40 + 25 = 65

ПОГЛАВЈЕ 3

85

Насоки за сложување, разложување и повторно сложување: КАДЕ ДА СЕ ПОЧНЕ?

� Почнете со претставување на броевите на многу начини!

� Искористете некоја приказна за да испитате различни начини на кои може истиот број да се состави!

� Запишете ги равенките!

� Запишете дека 6 + 6 = 9 + 3 = 7+ 5!

� Запишете ги забележаните шаблони!

� Користете нагледни средства со основа од „10“ за решавање на ситуациски проблеми!

� Запишете што е направено со нагледните средства!

� Направете забелешки за групирања со десетки или стотки, доколку има!

� Потврдете суми/разлики при користење десетки и единици во броењето!

� Учениците нека објаснат што се случува во завршените запишани решенија (како броевите биле разложени и составени; зошто тоа е во ред).

� Дадете им на учесниците делумно комплетни запишани низи кои бараат разложување за да бидат комплетни.

� Учениците нека ги запишат сопствените решенија и нека објаснуваат чекор по чекор.

� Поттикнувајте ги учениците да прават умствени пресметки!

� Разложувајте на глас за да ја олесните пресметката!

� Поттикнувајте ги учениците да решаваат проблеми на повеќе од еден начин.

� Помогнете им на учениците да разберат дека број како 2 678 може да се види на неколку начини:

• 2 илјади, 6 стотки, 7 десетки и 8 единици;

• 26 стотки, 7 десетки и 8 единици;

• 26 стотки и 78 единици;

• 267 десетки и 8 единици;

• 2678 единици.

86

Работен прибор за активност 3-9: ДЕЛ-ДЕЛ-ЦЕЛО

87

Работен прибор за игра: КУГЛАЊЕ СО БРОЕВИ (Извор: Мерење, МСЕБ)

7 8 9 10

4 5 6

2 3

1

Равенки:

____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________

88

Работен прибор за играта „СЕ ЗАЧУДУВА“ (BOGGLE)

15 9 6 7

3 12 8 5

7 4 13 2

5 1 11 10

15 9 6 7

3 12 8 5

7 4 13 2

5 1 11 10

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

89

Работен прибор да се направи 10: РАМКА – ДЕСЕТ

90

РАМКА – ДЕСЕТ

95

.

ПОГЛАВЈЕ 4

102

Работен лист за активност 4-1: КОНТЕКСТ

Задача: Во парови размислете за она што сте го слушнале и искусиле дотогаш во врска со математиката во контекст.

Партнерот А ќе има 1 минута да објасни дека децата треба да ги имаат совладано броевите пред да започнат со текстуалните проблеми. Партнерот Б ќе има 1 минута да го убеди партнерот А дека раната употреба на контекстот е корисна за нивното учење на математика.

По размена на искуствата, изнесете аргументи што може да бидат ефективни за колегите или луѓето кои сметаат дека аритметиката треба да се учи само со броеви. Напишете ги на таблата.

103

ПОГЛАВЈЕ 5

115

Работен лист за активност 5-2: АНАЛИЗА НА РЕШЕНИЕ

Задача: На колку начини можат да се решат следниве задачи?

1. Колку налепници имаат двете деца, ако Тереза има 168, а Хуан има 144.

2. 161 третоодделенец доа-ѓаат да ја гледаат претста-вата „Шпионот Хариет“. Уште колку деца треба да дојдат, ако 125 се веќе сед-нати?

116

Работен лист за активност 5-3: НАЈЧЕСТИ ГРЕШКИ

Задача: Што мислеле учениците при решавање на задачите?

a) 46 +7 413

б) 1 46 +7 43

в) 46 -17 31

г) 3 4 016 - 1 8 9 2 2 7

д) 9 4 016 - 1 8 9 3 1 7

ѓ) 4 0 9 - 1 8 7 3 0 2

117

Работен лист за активност 5-5: АНАЛИЗА НА ДЕТСКОТО РАЗМИСЛУВАЊЕ

Задача: Поврзување на цртежите со задачите

Продискутирајте за размислувањето што доведе до создавање на моделите со прачки. Како може да се спореди ова мислење со она на учениците кои се обидуваат да се справат со таквите задачи само со помош на алгоритми? Како би можеле учениците да ја решат задачата со помош на сликата?

1. Количката на Џин

Џин имаше 67 долари во џеб откако купи количка на далечинско управување. Во продавницата тој отиде со 142 долари. Колку потроши Џин за количката?

42

67 ?

2. Натпревар

Група од 87 деца отиде на натпревар. На натпреварот имаше 32 повеќе возрасни отколку деца. Колку е вкупниот број на учесници во натпреварот?

Д 87

В 32

Одговор:

Одговор:

118

3. Собирање школки

Роса има 336 школки. Таа за себе задржува 72 школки, а останатите ги поделува подеднакво на 6 другарчиња. По колку школки добива секое другарче?

Р 336

Д

4. Купување компјутери

Сара купува печатач за $120. Таа купува компјутер кој чини 4 пати повеќе од печатачот. Колку вкупно пари потрошила за компјутерот и за печатачот?

С П

Одговор:

Одговор:

119

Работен лист за активност 5-6: ВЕЖБИ СО МОДЕЛИ НА ПРАЧКИ

Задача: Задачата која ќе биде избрана за вашата група од страна на обучувачите решете ја со модели на прачки.

1. Тами има 27 боички. Луиз има 32 боички повеќе од Тами. Колку боички има Луиз? (СЛАЈД 30)

2. Колку повеќе момчиња отколку девојчиња одат во ова основно училиште? Има 312 девојчиња и 398 момчиња. (СЛАЈД 31)

3. Зградата Б е висока 78 метри. Зградата A е 15 метри пониска од зградата Б, но 10 метри повисока од зградата В. Колку е висока секоја зграда? (СЛАЈД 32)

4. Г-ца Вајт купува две книги. Едната книга чини $6.95, а другата $8.95. Колку кусур треба да добие ако дала банкнота од $20? (СЛАЈД 33)

5. Таткото нилски коњ, мајката нилски коњ и бебето нилски коњ заедно имаат маса од 980 кг. Таткото нилски коњ и мајката нилски коњ заедно имаат маса од 850 кг. Мајката нилски коњ и бебето нилски коњ заедно имаат маса од 430 кг. Пронајдете ја тежината на секој нилски коњ посебно! (СЛАЈД 34)

6. Лора и нејзините другарчиња собрале шишиња чистејќи го паркот. Вкупно имало 77 шишиња. Имало 8 пластични шишиња повеќе отколку удвоениот број стаклени шишиња. Колку шишиња биле пластични, а колку стаклени? (Петто одделение, Јапонија.), (СЛАЈД 35)

120

Работен лист за активност 5-7: ВРТЕЛЕШКА ОД СТРАТЕГИИ

Задача: Дали можете да се сетите како да ги решите овие проблеми на повеќе начини?

1. Еден градинар навади 24 грмушки со рози и 9 јорговани повеќе отколку грмушките со рози. Колку вкупно грмушки и јорговани навади?

2. На еден рафт има 30 книги што е за 15 помалку од бројот на книги во вториот рафт. Колку книги има на вториот рафт?

3. Марко и неговото семејство отидоа на еден посебен концерт. Тие возеа 60 милји со кола, а остатокот од патот го поминаа во посебен автобус. Колку милји поминаа во автобусот ако вкупно помина 72 милји во еден правец.

4. Во 6 наутро температурата беше -7 степени. Во 10 наутро температурата беше 3 степени. За колку степени беше повисока температурата во 10 часот наутро од онаа во 6 часот наутро?

121

5. Ендру заштеди 1200 долари. Алекс заштеди 600 долари повеќе од Ендру, додека пак Џени заштеди 200 долари повеќе од Алекс. Колку пари заштеди секој од нив?

6. На еден концерт има 2100 обожаватели. Ако има 1246 момчиња, колку повеќе момчиња има од девојчиња?

7. Лиса купи 3,5 м материјал за нејзиното знаме. Ејми купи два пати повеќе за нејзиното знаме. Колку материјал ѐ е потребен на Ејми за нејзиното знаме? Ако секој метар од материјал чини $1,20 колку чини секое од знамињата на девојчињата?

8. Али имаше $130, а неговиот брат имаше $45. Кога мајка им на секој од нив им даде подеднаков износ на пари, Али имаше два пати повеќе пари од неговиот брат. Колку пари им даде мајка им на секој од нив? (6Б основна математика)

9. На еден паркинг има 427 автомобили и 278 камиони. Колку вкупно автомобили и камиони има на паркингот?

122

10. Сенди потроши $20 за поправка на еден пар кратки пантолони и една маичка со кратки ракави. Колку чинеше поправката на кратките пантолони ако поправката на маичката чинеше $7.80?

11. Колку чинат двете книги? Едната чини $6.80 а другата $8.40.

12. Колку пици продаде г. Леони? Тој направи 285 пици и му останаа 70 откако другите ги продаде.

123

Вежби со собирање

A. Б. В. Г.

30+10 90+8 40+10 46+10

40+10 40+6 40+10+3 46+20

40+20 50+1 40+13 46+40

40+30 70+8 40+20 58+10

50+30 20+2 40+20+3 58+30

40+23

Д. Ѓ. Е. Ж.

66+30 500+100 500+20 423 + 100

66+40 400+100 700+20 287 + 100

66+50 300+200 600+80 326 + 100

81+10 600+300 100+50 824 + 100

81+20 548 + 500

81+30

З. Ѕ. И.

500+100 600+300 562 + 10

500+100+30 600+400 476 + 10

500+130 600+500 277 + 10

400+300 700+200 629 + 20

400+300+50 700+300 842 + 20

400+350 800+200 764 + 10

124

Работни листови за дополнителни активности

Вежби со компензација

13 + 10 = 23 + 10 = 135 + 100 =

13 + 10 – 1 = 23 + 10 – 1= 135 + 100 – 1=

13 + 9 = 23 + 9 = 135 + 99 =

436 + 1000 = 14 + 10 =

436 + 1000 – 1 = 14 + 9 =

436 + 999 = 15 + 10 =

15 + 9 =

8 + 10 =

8 + 9 =

Која шема ја согледувате?

Дали можете да најдете „лесен“ начин за да ги соберете 9, 99 и 999?

125

Вежби со одземање

Вежба 1 Вежба 2 Вежба 3

80 – 10 49 – 10 85 – 3

30 – 10 39 – 10 94 – 1

30 – 20 39 – 20 94 – 4

90 – 10 67 – 30 69 – 9

90 – 20 77 – 30 46 – 5

90 – 50 75 – 30 57 – 1

Вежба 4 Вежба 5 Вежба 6

5000 – 1000 600 – 100 649 – 100

5000 – 2000 600 – 200 832 – 300

7000 – 1000 600 – 400 495 – 300

8000 – 3000 400 – 100 564 – 300

9000 – 4000 800 – 500 839 – 400

9000 – 6000

Вежба 7 Вежба 8

648 – 3 659 – 20

759 – 7 748 – 10

745 – 3 629 – 10

869 – 9 286 – 30

754 – 2 662 – 40

126

Примери на вежби со скелиња за стратегии

Дадена вредност 1

√√ √√

78 + 37

70 + 30 = 100

ü

8 + 7 = 15

___+ 15 =


√√ √√

78 + 37

70 + 30=

8 + 7 =

__________


√ √

78 + 37

70 + 30 =

_________

__________

Компензација

47 + 29

47 + 30 =77

__________

Целосен збир

√√ √√

57 + 37 √

57 + 30 = 87

____+ 7 = ____


√√√ √√

267 + 349

267 + 300= 567√

567 + 40=___

____+__ =____


√

267+349

267 +300= ___

____+ __=____

____+__=____

Компензација

47 – 29

47 – 30 = 17

____________

Дијаграм на дрво

24+24 +24+24 + 24 +24

48 ___.......48 96 ___

Направете десет

64+28

64+20+8

84+6+__

___+___= ___

Разложете го бројот што го одземате 14 – 6 14 – 4 – 2 10 – 2 = 8 12 – 5 12 – ___ – ___ ___ – ___ = ___

Разложете го бројот што го одземате 64 – 28 64 – 20 – 8 44 – 4 – 4 40 – ___ = ___

127

24

24 48

24 72

24 96

24 120 24 144

24 168 24 192

ПОГЛАВЈЕ 6

130

4

Лекција со сликички

(налепници)

Јован ќе купи две пакетчиња со

налепници (во секое по осум листа). На

секој лист има 24 налепници. Колку

налепници ќе имаме?

Arlene Thompson, наставник

Newburgh, NY

131

10

Кој евидентира (запишува)

• Наставникот

• Делумните решенија како основа

• Ученик

Внимавајте на запишувања кои ги прекршуваат математичките правила. На пример:

10 + 20 = 30 + 5 + 3

10 + 20 = 30

30 + 5 = 35

132

15

Шпиунот по име

Дрдорко

Вкупно 161 дете од трето

одделение дојдоа да го гледаат „Шпиунот по име Дрдорко“.

Уште колку деца треба да

пристигнат ако 125 веќе

седнале?

133

16

Решение на ...„Дрдорко“

Woodland Hills ES, Cleveland 1990Тим 5 Тим 6 Тим 3

125 + __ = 161

125 + 30 = 155

155 + 6 + 161

30 + 6 = 36

161 - 125

125 + 10 = 135 135 + 10 = 145

145 + 20 = 165 165 – 4 = 161

20 + 10 + 10 = 40 40 – 4 = 36

161 – 125

100 – 100 = 0

60 – 20 = 40

1 – 5 = ―4

40 – 4 = 36

17

Безбедносни појаси во

возило

На 28 јануари за децата од

трето одделение беше одржан

краток курс за безбедносни

појаси во возило. Колку ученици биле отсутни ако

имало 408 вкупно, од кои 327

биле присутни?

18

Безбедносни појаси во

возило

(решение на Кристина)408 – 327400 – 300 = 1000 – 20 = –208 – 7 = 1100 – 20 = 8080 + 1 = 81

19

Какви искуства имале

учениците?1. Разложување на броеви

2. Претставување на броеви на повеќе начини3. Разложување и составување се операции кои

можат да се прават со цел полесно пресметување.

4. Пишување на равенки

5. Користење на бројки и симболи за прикажување на односите и активностите

6. Мисловна математика7. Познавањето на повеќе методи е нешто што се

цени

8. Разноликост на методи во евидентирањето

134

20

Јаболка

Имаме 28 зелени и 27

црвени јаболка. Колку јаболка има имаме

вкупно?

21

Кока Кола – проблем 1

Имавме 24 шишиња со Кока Кола. Секој

од 11-те луѓе испил по едно. Уште колку

шишиња останале?

Кока Кола – проблем 2

Извидниците имале 61 шише со Кока

Кола. Времето било многу топло и

испиле 28 шишиња. Уште колку шишиња

останале?

22

Бонбони 2

Андријана има 149 бонбончиња. Уште

колку и’ фалат за да има исто толку

колку што има брат и’ Сашо? Сашо

има 252 бонбончиња.

23

Евидентирање на

размислувањето на учениците

• Слушајте внимателно

• Поставувајте прашања

• Мислењето нека биде јасно

• Следете

• Утврдете го одговорот

• Евидентирајте ги сите различни начини

• Признајте ја легитимноста на различните

начини и споредете ги

135

24

Начин на евидентирање

1. Томи има 26 години. Дејан е 9 години

помлад од Томи. Колку години има Дејан?

2. Колку ќе чинат билетите за двајца

возрасни и едно дете ако еден билет за возрасни чини 230 денари а за дете 140

денари?

3. Петар спакувал 46 кутии во понеделникот и 38 кутии во вторникот. Колку вкупно кутии

спакувал во овие два дена?

25


4. Ана и’ дала на сестра и’ 23 балони за да ги надува. На Ана и’ останале 28 балони. Колку балони имала Ана на почетокот?

5. Компјутерот се продава за 8.000 денари. Вообичаената цена за овој компјутер е 15.000 денари. Колку заштедува купувачот?

6. Во училиштето „Зора“ има вкупно 398 момчиња и 312 девојчиња. Колку деца има вкупно во ова училиште?

26


7. Во централното основно училиште има вкупно 312

девојчиња. Бројот на момчињата е 298. Колку

повеќе девојчиња има од момчиња?

8. Пред својот роденден, Коста имал 18 возила-

играчки. Сега има 26 возила-играчки. Колку

играчки добила Коста за роденден?

9. Во џунглата има мајмун кој носи повеќе банани.

Тој изел осум и кога пристигнал до местото до кое

сакал да дојде имал 14. Колку вкупно банани имал

на почетокот?

27


10. Купив две ленти. Едната е долга еден метар а другата е долга метро и пол. Колку вкупно метри лента купив јас?

11. Дени има 514 поштенски марки во својата колекција од Европа и 192 од другите делови на светот. Уште колку европски марки има Дени?

12. Сега имам 102 налепници. Започнав со 75. Другарчињата ми дадоа уште. Колку вкупно ми дадоа моите другарчиња?

136

28

Прашања кои го

поттикнуваат разбирањето

1. Што треба да утврдиме?

2. Што знаеме што може да ни помогне?

3. Може ли да ги затворите очите и да си претставите што се случува?

4. Како можеме тоа да го прикажеме?

5. Колку се слични решенијата? Или различни?

6. Можете ли да го објасните пристапот на Ана?

7. Зошто?

8. Што ако...?

9. Сме работеле ли на други проблеми слични на овој?

10. Што ако смениме...?

11. Може ли и поинаку да се реши?

12. Дали забележувате тенденција?

13. Како можете да го докажете тоа?

14. Колку ќе изнесува х?

15. Дали е тоа секогаш точно?

29

Техники за вклучување на

учениците во дискусија

1. Барајте да повтори со

свои зборови што кажало

детето пред него.

2. Прашајте дали она што го

кажало детето е исто што

и...

3. Прашајте дали детето се

согласува со она што го

кажало детето пред него.

Зошто да или зошто не?

4. Ако има различни

мислења, прашајте како

да утврдите кое е точно

5. Детето нека замоли некого да објасни повторно што е она што не го разбира.

6. Побарајте објаснување и прашајте дали проблемите се решаваат добро или неточно.

7. Помогнете им на учениците да разберат (а) дека математиката е повеќе отколку само одговори, и (b) дека грешките за извор на учењето.

Примери

A. Споредете ги следните изрази:

470–120 и 410–120890+15 и 890+20

Б. 120 + 40·2(120+40)·2 (100-30)·2

100-30·2Зошто добивате различни

резултати од изразите во

секој пари, иако се исти

бројките и знаците за

математички операции?

В. Количникот на два броја е

70. Кој ќе биде новиот

количник ако делителот го

оставиме ист и ако

деленикот се зголеми за два

пати? А доколку се зголеми

за пет пати? 14 пати? n

пати?

Г. Која разлика или збирот е поголема и за колку?

580 – 116 или 280 –116540 + 80 или 600 + 801,485 – 700 или 1,485 –650356+74 или 408+74

31

Прашување и време на чекање

• Прво поставување на прашањето а потоа

прозивање на ученикот ги става децата на

„штрек“. (Kounin)

• Прозивањето прво на ученикот а потоа

поставување на прашањето ја намалува

нервозата. (Brophy)

• Почекајте барем три секунди пред да направите

прозивање на ученикот, и уште дополнителни три

пред да коментирате или да продолжите

понатаму. (Kounin)

137

32

НЕ ЗАБОРАВАЈТЕ!

1. Евидентирањето на размислувањето на

учениците бара внимателно слушање.

2. Евидентирањето треба да се направи чекор по

чекор.

3. Не постои единствен точен начин на

евидентирање.

4. Евидентирањето треба да биде јасно и вистинито

5. Прашањата се од суштинска важност за

придвижувањето на размислувањето.

6. Дискусиите помеѓу учениците, како и помеѓу нив и наставникот, се важни за учењето.

138

Работен лист за активност 6-2: ЗАПИШУВАЊЕ НА УЧЕНИКОТ Задача: Разгледајте го решението на задачата со налепниците од секој ученик. На ниво на група продискутирајте и запишете за тоа што мислите дека е важно за запишаната работа која ја гледате за секој ученик.

Решение 1 24 + 24+ 24+ 24+ 24+ 24+ 24+ 24

48 48 48 48

96 96

192 налепници за едно пакетче, двојно има.

96 + 96 192+192

(50+46) + (50 + 46) 100+100=200

(50+50) + (46+46) 90+90=180

100 + 80 + 12 = 192 2+2= 4

180 + 12 384

40+40=80 8+8=16 80+16=96

Задача со налепници: Тахир сака да купи две пакетчина со налепници (во секое по осум листа). На секој лист има 24 налепници. Колку налепници ќе има Тахир?

Дополнето од наставникот при прашувањето

139

Решение 2

24 24 48 24 72 24 96 24 120 24 144 24 168 +24 192 192 +192 384

Решение 3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

25+25+25+25+25+25+25+25

24 е за еден помалку од 25

200

– 8

192

140

Решение 4 16 x 24 (20 + 4)

(16 x 20) + (16 x 4)

(4 x 16)

20 x 16 + 64 2 x 16 = 32

2 x 16 = 32 2 x 16 = 32

20 x 16 = 320 64 2 x 16 = 32

320 + 64 = 384 20 x 16 = 320

Решение 5: 8 x 24 =

8 x (12 + 12)

8 x (10 + 2 + 10+2)

(8 x 10) + (8 x 2) + (8 x 10) + (8 x 2)

80 + 16 + 80 + 16

96 + 96 = 192 Удвоено: 384

180+12

141

Примери на проблеми со решенија од ученици

Проблем бр. 1: 161 дете доаѓаат да го гледаат „Шпионот по име Дрдорко“. 125 веќе се седнати. Уште колку деца треба да дојдат?

РЕШЕНИЕ ОД УЧЕНИЦИТЕ ЗА „ШПИОНОТ ПО ИМЕ ДРДОРКО“

Тим 1

125 + 36 = 161

125 + 10 + 10 +10 = 155

155 + 6 = 161

30 + 6 = 36

Тим 2

125 + 36 = 161

125 + 10 = 135

135 + 10 = 145

145 + 20 = 165

165 - 4 = 161

20 + 10 + 10 = 40

40 - 4 =36

Тим 3

161 – 125

100 – 100 = 0

60 – 20 = 40

1 – 5 = -4

0 + 40 = 40

40 – 4 = 36

Тим 1, објаснување:

125 деца се веќе седнати. Тоа е еден дел од сите деца. Треба да видиме уште колку деца треба да дојдат, па велиме:

125 плус уште колку до 161?

Собираме 10 и 10 и 10. Тоа е вкупно 155. Сме изброиле 6 повеќе, а тоа е 161. Потоа ги собираме заедно и 10 и 10 и 10 е 30, така што собираме 30 + 6 = 36.

Н: Што ми кажуваш? Што е 36?

У: Треба да дојдат уште 36 деца.

Тим 2, објаснување:

Знаеме дека се тука 125 деца. Може да продолжиме да броиме за да видиме уште колку ќе дојдат со 125 за да имаме 161. Собираме 10 и тоа е 135; уште 10 е 145; потоа собираме уште 20 и тоа е 165. Ова е премногу, па правиме 165 минус 4 што е 161. Ги собираме заедно 20 и 10 и 10, што е 40 и треба да ги одземеме овие четири и тоа е 36. Треба да дојдат уште 36 деца.

Тим 3, размислување:

161 е вкупниот број деца кои доаѓаат, па можеме да ги одземеме оние кои се веќе таму и да видиме уште колку треба да дојдат. Одзедовме 161–125. Ги одзедовме десетките. 60 минус 20. Единиците беа 1–5 = –4 затоа што немаме дома. Уште ни фалат 4. Потоа рековме дека нема стотки и дека 40 е 40. И треба да одземеме уште 4.

40 – 4 е 36.

142

Проблем бр. 2: Безбедносни појаси. На 28 јануари за децата од трето одделение беше одржан краток курс за безбедносни појаси во возило. Колку ученици биле отсутни ако од вкупно 408 присутни биле 327?

Кристина Кристина објаснува:

408 – 327 К: Вкупно се 408 ученици;

400 – 300 = 100 ако ги одземеме 327 кои се

0 – 20 = –20 веќе тука, другите се отсутни.

8 – 7 = 1 Н: Јас реков 408 минус 327.

100 – 20 = 80 К: Ги одзедов стотките: 400 – 300 = 100

Потоа десетките: 0 – 20 нема доволно, па затоа – 20. 8–7 е еден.

Одзедов 100 – 20 = 80 бидејќи

имав – 20.

И има уште едно.

80 + 1 = 81

Н: 81 што?

К: 81 отсутен ученик.

143

Задачи за вежби за запишување

1. Томи има 26 години. Дејан е 9 години помлад од Томи. Колку години има Дејан?

2. Колку ќе чинат билетите за двајца возрасни и едно дете ако еден билет за возрасни чини 230 денари, а за дете 140 денари?

3. Петар спакувал 46 кутии во понеделникот и 38 кутии во вторникот. Колку вкупно кутии спакувал во овие два дена?

4. Ана ѐ дала на сестра ѐ 23 балони за да ги надува. На Ана ѐ останале 28 балони. Колку балони имала Ана на почетокот?

5. Компјутерот се продава за 8 000 денари. Вообичаената цена за овој компјутер е 15 000 денари. Колку заштедува купувачот?

6. Во училиштето „Зора“ има вкупно 398 момчиња и 312 девојчиња. Колку деца има вкупно во ова училиште?

7. Во централното основно училиште има вкупно 312 девојчиња. Бројот на момчињата е 298. Колку повеќе се девојчиња од момчиња?

8. Пред својот роденден Коста имал 18 возила играчки. Сега има 26 возила играчки. Колку играчки добил Коста за роденден?

9. Во џунглата има мајмун кој носи повеќе банани. Тој изел осум и кога пристигнал до местото до кое сакал да дојде имал 14. Колку вкупно банани имал на почетокот?

10. Купив две ленти. Едната е долга еден метар, а другата е долга метар и половина. Колку вкупно метри лента купив?

11. Дени во својата колекција има 514 поштенски марки. Колку европски марки има Дени ако 192 се од другите делови на светот?

12. Започнав со 75 налепници. Другарчињата ми дадоа налепници и сега имам 102. Колку налепници ми дадоа моите другарчиња?

144

КОРИСНИ ПРАШАЊА КОИ ГО ПОТТИКНУВААТ РАЗМИСЛУВАЊЕТО

1. Што треба да дознаеме? 2. Што знаеме што би можело да ни помогне? 3. Затворете ги очите и замислете си што се случува? 4. Како можеме да го прикажеме тоа? 5. Што треба да одземам (или повлечам)? 6. Што сакате да правите сега? 7. Што ќе правите следно? 8. Можеш ли да ни помогнеш? 9. Чекај, застани! Сега рече дека… (или… чекај да запишам… или… кажи ни зошто го правиш ова.

10. Како можам да го запишам тоа? 11. Каков знак треба да користам? 12. Можеш да ми напишеш со равенка? 13. Готово? 14. Кое беше прашањето? 15. Дали одговорот е разумен? 16. Дали некој го решил ова поинаку? 17. Дали има друг начин да се реши овој проблем? 18. Ќе изброите за да видите дали е точно? 19. Може некој друг да изброи поинаку? (Бројте во низа или со прескокнување или избројте ги сите).

20. Мислите дека можеме да почнеме со...? 21. Не? Ајде да видиме што ќе се случи. 22. Видов дека Александар направи вака.... 23. Што мислите, како размислуваше Тања? 24. Се согласувате ли со неа? 25. Имате ли прашања за неа? 26. Зошто мислите дека имаат поинакви одговори? 27. Што мислите, беше ли нешто како што не треба? 28. Можеме ли и друго прашање да поставиме? 29. Што би можело ова да претставува? 30. Сакаш да ми кажеш дека...? 31. Дали тоа значи исто што и...? 32. Покажи ни што мислеше со нагледните средства (квадратчиња, крукчиња и сл.).

33. Можеш на друг начин да го искажеш истото? (Напиши, покажи...)! 34. Дали сите начини се точни? 35. Колку се слични решенијата? А колку различни? 36. Можеш ли да го објасниш начинот на Весна? 37. Зошто? 38. Што ако...? 39. Да претпоставиме дека.... 40. Можеш ли да ми дадеш пример за...? 41. Можеш да ми кажеш пример кој вели дека не е така? 42. Дали има тенденција? 43. Дали можеш да ја прошириш тендецијата? 44. Дали е секогаш така? 45. Како знаеш?

145

46. Како можеш да го докажеш тоа? (Како ќе ме убедиш дека она што го кажуваш е точно?)

47. Ти што мислиш? Зошто така мислиш? 48. Зошто одговорот има (или нема) логика? 49. Кажи ми како...? 50. Покажи ми... 51. Колку се согласувате? Не се согласувате? 52. Ќе ви текне ли на други стратегии што ги користевме? Кои од нив би биле применливи тука?

53. Резимирајте што направивме. 54. Кој е следниот број? 55. Кој е бројот n? 56. Може ли да се сетите на некое правило кое ќе ни помогне да дојдеме до кој било број?

57. Зошто ја сакате (или не ја сакате) оваа стратегија? 58. На кои други проблеми сме работеле, а се слични со овој?

146

ПРАШАЊА КОИ ГО ПРОМОВИРААТ И ПРОШИРУВААТ МАТЕМАТИЧКОТО РАЗМИСЛУВАЊЕ

Второ одделение

• Објаснете како бил решен овој проблем:

37–14 = (30+7) – (10+4)

= (30–10) + (7-4)

= 23

• Решете и објаснете како сте го решиле:

43 – 7 24 – 6 31 – 8

60 – 23 + 8 87 – 54 +29

• 26:4 · 9 48 (54 – 46)

7:7 + 99 60 – 7 x 8

• Кој е поголем и за колку?

45:9 или 42:6? 8 x 8 или 9 x 7?

Кој е поголем и за колку пати?

18:2 или 27:9? 56:7 или 24:6?

• Објаснете го решението на оваа равенка:

20 – (x+6) = 4

x + 6 = 20 – 4

x + 6 = 16

x = 16 – 6

x = 10

Проверка: 20 – (10+6) = 4

Трето одделение: усна вежба

• 90 – 30 + 24 60 + 20 –17

69 + 25 – 90

73 + 27 – 36 116 + 120

560 – 50 + 90

80 x 5 36 x 100:10

215 x 3

• Кој број треба да го собереме со секој од овие броеви за да добиеме 100?

62, 38, 85, 56, 74, 92.

• Споредете ги следните изрази:

470–120 и 410–120

890+15 и 890+20

120 + 40 x 2 100-30 x 2

(120+40) x 2 (100-30) x 2

Зошто добивате различни резултати од изразите во секој пар, дури и ако бројките и знаците за математички операции се исти?

• Количникот на два броја е 70. Колку ќе биде новиот количник ако делителот не се промени, а деленикот се зголеми за два пати?

Седум пати? a пати? Ако се намали за пет пати? Четиринаесет пати? k пати?

147

• Разликата од два броја е 70. Колкава ќе биде новата разлика ако бројот што се одзема не се смени туку намаленикот се зголемува за две единици?

• Која разлика или збир е поголем и за колку?

580 – 116 или 280 –116

540 + 80 или 600 + 80

1,485 – 700 или 1,485 – 650

356+74 или 408+74

• Објаснете зошто вредностите на следните изрази се еднакви за кои било вредности на буквите.

a +15 и 15 + a

16·y и y·16

8 + (6 + c) и 14 + c

15· (8·k) и 120·k

3 ·(b + 8) и 3·b + 24

• На една фарма земјоделецот ожнеал 450 кг жито, а на друга трипати повеќе. 2/3 од целото жито го ставил во вреќи, секоја со тежина од 80 кг. Колку вкупно вреќи имало?

e. 66 – a · 5 = 31

50 + a · 10 = 300

(x – 43) · 3 = 21

Забелешка: Децата започнуваат со прво одделение на седумгодишна возраст. Децата од трето одделение се на возраст од девет години, но и понатаму се трето одделение на училиште.

Овие прашања се преземени од англискиот превод на учебниците по математика објавени од Универзитетот во Чикаго – проект за математика во училиштата.

149

527 + 432 + 498 + 138

500 + 400 + 500 + 100

ПОГЛАВЈЕ 7

152

Работен лист за активност 7-1: ПРОЦЕНУВАЊЕ ИЛИ ПРЕСМЕТУВАЊЕ? Упатство за работа: Одговорете со „бура на идеи“ на секое од прашањата. Вашите одговори споделете ги во групата, а потоа на ниво на учесници. Задача: 1. Зошто мислите дека проценувањето е важно? 2. Запишете примери кога е најсоодветно да се процени наместо точно да се пресмета.

153

Работен лист за активност 8-2: ПРОЦЕНУВАЊЕ ЗА ПРЕСМЕТУВАЊЕ Задача: 1. Проценете го збирот 527 + 432 + 498 + 138. Својот метод споделете го со лицето што е до Вас, а потоа на ниво на учесници. Задача: 2. Проценете ја вредноста на секој од бројните изрази. Својот метод на проценување споделете го со учесниците на обуката. А. 495 : 6 Б. 422 + 368 + 408 +392 В. 2478 : 26

154

ВЕЖБИ ЗА ПРОЦЕНУВАЊЕ

Проценете го одговорот за секој од овие проблеми! Забележете го методот кој сте го користеле. Искористете ја барем еднаш секоја стратегија од долунаведените!

МЕТОДИ

Заокружување Проценка однапред Разложување

Компатибилни броеви Преведување Компензирање

1. 4295+ 6362 + 3104

2. 422 + 395 + 382 + 416

3. 458 x 24

4. 741 – 58

5. 7415 : 83

6. Колку е цената на една дузина топчиња, ако едно чини 7 денари.

7. Колку тули има во еден од ѕидовите на просторијата?

8. Колку е висок оној што седи до вас?

9. Колку време треба да се изброи до еден милион?

10. Колкава е месечната плата, ако неделно се заработува по 5 000 денари бруто, а данокот е 10%?

Дискутирајте за стратегиите што се користат и за опсегот на проценки. Дали некои луѓе го претпочитаат едното или другото. Дали некои се полесни за одредени проблеми?

157

21

3612=

n

7

3

4

4

ПОГЛАВЈЕ 8

163

Работен лист за активност 8-1: ШТО СЕ БАРА ВО СЕКОЈА ОД ЗАДАЧИТЕ? Задача: Разгледајте ја секоја задача и запишете што се бара од ученикот да знае? 1. Периметарот на квадрат е 24 cm. Колкава е плоштината на квадратот? A. 36 cm2 B. 48 cm2 C. 96 cm2 D. 576 cm2 E. Не знам

2. Најди го периметарот на правоаголникот! 7 cm. 3 cm.

3. Јован вели дека периметарот на сликата е 36 cm2. Марко вели дека е 36 cm. Кој е во право? 6 cm 6 cm

4. Нацртај или опиши форма со периметар од 36 cm што ја покрива најголемата можна површина. Како ќе ги убедиш другите учениците дека ја покрива најголемата можна површина?

5. Оваа година Петар сака да сади градина со зеленчук. Со кои димензии треба да биде планот за оваа градина доколку сака максимално да го искористи просторот? Дворот му е 40m на 60m а може да користи половина од тоа?

164

Работен лист за активност 8-2: ДЕФИНИРАЊЕ НА НИВОАТА НА КОГНИТИВНИ БАРАЊА ВО ЗАДАЧИТЕ ПО МАТЕМАТИКА Задача: Запишете свое објаснување што се бара од ученикот во секоја од категориите на задачи.

Барања од ниско ниво

� Помнење

� Постапки без поврзувања

Барања од високо ниво

� Постапки со поврзувања

� Извршување математика

165

Работен лист за активност 8-3: ОДРЕДУВАЊЕ НА КОГНИТИВНОТО НИВО НА БАРАЊА ВО ЗАДАЧИТЕ ПО МАТЕМАТИКА Задача: Во парови или во мали групи разгледајте ги задачите што ги добивте во плик. Определете кое е нивото на секоја од задачите или намерата за секоја од нив и дадете објаснување за вашиот избор. Притоа користете го Водичот за анализа на задачите.

Задача Објаснување Одлики

166

ВОДИЧ ЗА АНАЛИЗА НА ЗАДАЧА

Карактеристики на математичките задачи кај секое од четирите нивоа на когнитивното барање.

Од Стајн, Хенигсен и Силвер (2000). Спроведување на математичка инструкција заснована врз стандарди: Записник за професионален развој

БАРАЊА ОД ПОНИСКО НИВО БАРАЊА ОД ПОВИСОКО НИВО

Помнење � Вклучуваат или бараат репродукција на предходно научени факти, правила, формули или дефиниции ИЛИ меморирање на факти, правила, формули или дефиниции. � Не можат да бидат решени со примена на постапки, бидејќи не постои постапка или пак времето кое е на располагање е премногу кратко за да се примени постапка. � Многу се јасни – ваквите задачи бараат прецизна репродукција на предходно виден материјал, а она што треба да се репродуцира е јасно наведено. � Не се поврзани со концептите или значењето зад фактите, правилата или дефинициите кои се учат или репродуцираат.

Процедури без поврзување � Алгоритмични се. � Поставува ограничено когнитивно барање за успешно завршување. Има малку нејснотии околу тоа што и како треба да се направи. � Не се поврзани со концепти или значења на кои се базира процедурата која се користи. Се фокусираат на давање точен одговор наместо на развивање на математичко разбирање. � Користењето постапка е или конкретно побарано или нејзиното користење е очигледно поради претходните инструкции, искуството или оставеноста на задачата. � Не бараат објаснувања или се даваат објаснувања кои се поврзани единствено со процедурата која треба да се искористи.

167

БАРАЊА ОД ПОНИСКО НИВО БАРАЊА ОД ПОВИСОКО НИВО

Процедури со поврзување � Вниманието на учениците го фокусираат на користење на постапки со цел развивање на подлабоки нивоа на разбирање на математичките концепти и идеи. � Сугерират дадени насоки за следење (експлицитно или имплицитно) кои се пошироки – општи постапки кои се тесно поврзани со главните концепруални идеи, за разлика од построгите алгоритми кои, пак, се понејасни во поглед на концептите во задачата. � Вообичаено се прикажани на разни начини (визуелни дијаграми, помагала, симболи, проблемски ситуации). Поставувањето на врските меѓу различните претставувања помага во развивањето на значењето. � Бараат одреден степен на когнитивен напор. Иако општите процедури може да се следат, тие не можат да се следат без размислување. Ученикот треба да се ангажира со концептуалните идеи кои се зад постапките за да може успешно да ја заврши адачата и за да развие разбирање.

Практикување математика � Бараат сложено и неалгоритамско размислување (пр. не постои предвидлив, добро извежбан пристап или насока која е експлицитно дадена со задачата, инструкциите за задачата или изработен пример). � Бара од ученикот да ја испита и разбере природата на математичките концепти, постапки и односи. � Бара сопствено надгледување на когнитивните процеси. � Бара користење на соодветно знаење и искуства и нивно правилно користење во работењето на задачата. � Бара од учениците да ја анализираат задачата и активно да ги испитаат ограничувањата на задачата кои можат да ги попречат можните стратегии и решенија. � Бараат значителен когнитивен напор и можат да предизвикаат одредено ниво на напнатост кај ученикот поради непредвидливата природа на процесот за доаѓање до решението.

168

ПРИМЕРИ: БАРАЊА ОД ПОНИСКО НИВО БАРАЊА ОД ПОВИСОКО НИВО

Помнење Kои се децималниот број и процентот

што се еднакви на дропките 4

1

2

1и ?

Очекуван одговор од ученикот:

2

1 = .5 = 50%

4

1 = .25 = 25%

Процедури со поврзување Преку употребата на мрежата 10 x 10, одреди ги децималниот број и

процентот на5

3!

Очекуван одговор од ученикот: Илустрирано Дропка Децимален број Процент

100

60 =

5

3 100

60 = 0.60 0.60 = 60%

Процедури без поврзување

Претвори ја дропката 8

3 во децимален

број и процент! Очекуван одговор од ученикот:

Дропка Децимален број Процент

8

3

3:8=0,375 -0

30 -24 60 -56 40 -40 0

0,375 = 37.5%

Практикување математика

Обој 6 квадратчиња во правоаголната мрежа 4x10! Користејќи ја мрежата, објасни како да се определат следниве барања: а) процентот на обоената површина, б) децималниот дел од површината што е обоена и в) делот со дропки од површината што е обоена. Еден можен одговор од ученикот: а) Едената обоена колона претставува 10%, бидејќи има 10 колони. Втората колона има само две обоени квадратчиња, а тоа е половина од 10%, т.е. 5%.. Значи, обоени се вкупно 15% проценти од правоаголната мрежа. б) 6 : 40 = 0.15 в) 6/40 е скратлива дропка, што по скратувањето изнесува 3/20.

169

ФАКТОРИ ПОВРЗАНИ СО НАМАЛУВАЊЕ НА КОГНИТИВНИТЕ

БАРАЊА ОД ВИСОКО НИВО 1. Проблематичните аспекти на за-дачите се рутинизираат (учени-ците упорно бараат од настав-никот да ја намали комплексноста на задачата со посочување на експлицитни процедури или чекори; наставникот го превзема размислувањето и резонирањето и им кажува на учениците како да го решат проблемот).

2. Наставникот го префрла акцентот од значење, концепти и раз-бирање, на прецизност и ком-плетност на одговорот.

3. Недоволно време е одвоено за справување со изискувачките ас-пекти на задачата или дозволено е премногу време, па учениците застрануваат во однесувања кои не се во врска со задачата.

4. Проблемите во училничкиот ме-наџмент попречуваат одржливост на ангажирањето во когнитивни активности од високо ниво.

5. Задачата не е соодветна за конк-ретната група на ученици (пр., учениците не се вклучуваат во когнитивни активности од високо ниво поради недостаток на интерес, мотивација или потребно предходно знаење; очекувањата од задачата не се доволно јасни за да ги стават учениците во вистинскиот когнитивен простор).

6. Учениците не се сметаат за одговарни за производи или процеси од високо ниво (на пр. иако е побарано од нив да го објаснат своето размислување се прифаќаат и нејасни или неточни одговори; учениците добиле впечаток дека нивната работа нема да влезе во нивната оценка).

ФАКТОРИ ПОВРЗАНИ СО ОДРЖУВАЊЕ НА

КОГНИТИВНИТЕ БАРАЊА ОД ВИСОКО НИВО

1. Поддржување на размислувањето и расудувањето од страна на учениците.

2. На учениците им се обезбедени средства за следење на сопствениот напредок.

3. Наставникот или подобрите ученици моделираат изведба на високо ниво.

4. Прифатен притисок за оправдувања, објаснувања и/или значења по пат на распрашување, коментари и/или повратни информации од страна на наставникот.

5. Задачите се надградуваат на претходното знаење на учениците.

6. Наставникот прави чести концептуални поврзувања.

7. Доволно време за истражување (не премногу, не премалку).

Од Стајн, Смит, Хенингсен и Силвер, Спроведување на математичка инструкција заснована врз стандарди.

170

Прашања за стекнување смисла за математиката: � Како дојде до одговорот? � Кажи ми (или кажете ми) за што

размислувате? � Дали некој доби поинаков одговор? � Или решение на друг начин?

Прашања за негување размислу-вање: � Дали гледаш шаблон во ова?

Што е тоа? � Зошто сакаш да го смениш

одговорот? � Како може да се направи тоа на

пократок начин? � Дали тоа што го направи

секогаш функционира така? Од каде знаеш?

Прашања за негување предвиду-вање и откривање: � Што би се случило ако...? � Дали ќе беше исто ако

употребевме други броеви? � Можеш ли да смениш нешто за

да излезе поинаку? Што? Зошто мислиш дека тоа функционира?

Прашања за поврзување и приме-нување: � Дали и порано си решил ваков

проблем? � Како можеш да го примениш ова

во физиката? � Раскажи или напиши приказна со

примена на оваа математика?

Прашања за охрабрување на уче-ниците да се потпрат на самите себеси: � Дали ова има смисла за тебе?

Зошто да или зошто не? � Што мислиш дека би требало да

направиш следно? � Те молам објасни го твојот начин

пред одделението! � Како можеш да се провериш

самиот?

172

Мастиката доаѓа во пакувања од по 5. Јас сакам да му дадам мастика на секое од 24-те деца на забавата. Колку пакувања мастики треба да купам?

ПОГЛАВЈЕ 9

177

Работен прибор за ак тивност 9-1: ДЕСЕТТЕ ПРИНЦИПИ НА „РАЗМИСЛУВАЈТЕ МАТЕМАТИЧКИ“ Без оглед со која картичка започнувате, еден круг од играта би требало да заврши со лицето кое започнува.

Јас имам ...

Кога учениците се учат да развијат разбирање, учењето станува подла-боко, пошироко и потрајно. Можеби ќе треба подолго да се достигнат традиционалните референти точки. Кој има ... Создавајте разбирање за броевите преку пресметување, проценување, пресметување на памет и употреба на репери

Јас имам ... Концептуалното разбирање овозможува пријатно да се работи со броеви на многу начини. Кој има ... Користете манипулативни средства и видови на претставување на проблемски ситуации, потоа поврзете го конкретното претставување со симболичкото!

Јас имам ... Користете модели на броеви за да формирате конкретна претстава за одредена задача. Кој има ... Прифаќајте и поттикнувајте различни начини на решавање кои водат до точни решенија

Јас имам ... Прифатете и охрабрете дискусија за различни решенија. Кој има ... Засновајте го вашето поучување на решавање на проблемски текстуални задачи и ситуации.

Јас имам ... Истражувајте ги ситуациите за да ги одредите математичките односи и потоа употребете ги вештините за пресметување за да ги дадете решенијата. Кој има ... Користете разновидни форми и техники за поучување.!

Јас имам ... Менувајте ги методите на подучу-вање. Кој има ... Балансирајте го концептуалното и процедуралното учење.

178

Јас имам ...

Концептуалното разбирање треба да се развие пред да се изучат пра-вилата и процедурите.

Кој има ...

Надградувајте го интуитивното знаење.!

Јас имам ...

Она што го знаат децата пред фор-мално да го изучуваат она што е во наставниот план.

Кој има ...

Користете го формативното оценување

како водич при поучувањето.!

Јас имам ... Наставниците треба да ги набљу-дуваат учениците како функцио-нираат во групи, кога зборуваат за своите решенија, го применуваат знаењето во проектите или пак кога прават портфолија. Кој има ... Барајте од учениците да го објаснат и оправдаат (одбранат) своето математичко размислување

Јас имам ... Усни објаснувања. Кој има ... Прилагодувајте го дадениот фонд на часови за темите и содржините.!

179

Работен лист за активност 9-2: ПОСТАВУВАЊЕ НА „СЦЕНАТА“ Вовед во новата операција

1. Задача. Ставете се во улога на ученици од второ или трето одделение кои никогаш претходно не се сретнале со множење. Вашата задача е да се одреди колку плочки ќе бидат потребни за да се измери должината на еден ѕид или ходник (тоа го одредуваат обучувачите). Предложете како ќе ја решите задачата.

2. Поврзете го со некоја поголема единица. Дали може да предложите некој побрз начин користејќи ги плочките да создадат поголема единица?

180

3. Поврзете ги старите и новите единици. Извршете го мерењето и објаснете што покажува сега бројот што го добивте.

4. Одредете го резултатот со помош на табела или со собирање. Одредете колку плочки има во поголемата единица.

5. Прикажете како е можно наставникот да се врати на процесот и да го претстави зборот „пати“.

181

Работен лист за активност 9-8: ГРАДЕЊЕ ЧУВСТВО ЗА МНОЖЕЊЕ СО УДВОЈУВАЊЕ

Задача: Приказната ПОДМОЛНИТЕ УМИЛКУВАЧИ што ќе Ви биде раскажна од обучувачите е ефективна за учениците за да го забележат удвојувањето или множење со два.

Потоа, на листот што е даден подолу, одговорете на прашањата како би го сториле тоа учениците.

Подмолните умилкувачи

Колку умилкувачи имаше во собата на Петар утрото на 14-от ден? (Денот кога Петар требаше да замине во летен камп.)

Ете го Петар... со полна соба умилкувачи. Петар е сигурен дека мајка му ќе го испрати во Сибир ако дознае. Еден од умилкувачите го запраша Петар зошто изгледа толку сериозно. Петар го објасни проблемот. Умилкувачот се насмеа и му рече на Петар дека постои лесно решение. Умилкувачот вели „Ако трепнеш со пола очи, пола од нас ќе исчезнат“. Петар се зачуди што значи да трепнеш со пола очи. На крајот Петар разбра и ________. Пола од умилкувачите исчезнаа. Колку пати треба Петар да _________ за да се намали бројот на еден умилкувач? _________ Забележи како дозна дека ќе биде потребен толкав број пати. Што ќе се случи ако Петар повторно ________? Кој дел од умилкувачи има Петар? __________ Замислете Петар да _________ уште 4 пати, кој дел од умилкувачи ќе има Петар? ________ Забележи ја серијата на дропки што остануваат секој пат. (Всушност умилкувачите не можат да се поделат на дропки, па Петар му го даде последниот умилкувач на брат му и отиде во камп).

183

ПОГЛАВЈЕ 10

191

Работен лист за активност 10-1:

ИЗУЧУВАЊЕ НА ОСНОВНИТЕ ФАКТИ ВО ЕДНА НАСТАВНА ПРОГРАМА ФОКУСИРАНА НА МИСЛЕЊЕ

Задача: Прочитајте ја студијата Водич за изучување на основното множење во јапонските наставни прирачници.

Размислете за следниве прашања додека читате:

а. Кои карактеристики во оваа рамка се најкорисни? Кои се најразлични од нивниот водич во учебникот?

б. Дали гледате некаква поврзаност со десетте принципи? Ако да, која е поврзаноста?

в. Кој совет мислите дека е најважен за наставниците, а е поврзан со изучување на комбинации од броеви во овој дел?

г. Дали нешто Ве загрижува при пристапување кон комбинациите од броеви на овој начин?

192

ВОДИЧ ЗА ОСНОВНАТА НАСТАВА ЗА МНОЖЕЊЕ

ВО ЈАПОНСКИТЕ НАСТАВНИ ПРИРАЧНИЦИ

I. Обезбедете лекции што ќе им помогнат на учениците да го разберат значењето и корисноста од множењето.

II. Организирајте и бидете во можност да ги кажувате таблиците за множење со 2, 3, 4 и 5.

III. Најдете ситуации каде множењето може да се користи за решавање такви проблеми.

IV. Укажете на фактот дека зголемувањето на множителот за еден го зголемува производот за бројот на другиот множител.

V. Научете ги таблиците за множење од 6 до 9 и 1.

VI. Настојувајте учениците да го научат комутативниот закон.

VII. Користете го графиконот за множење за да пронајдете врска помеѓу множителите и производот.

VIII. Учениците да бидат способни да ги знаат таблиците по автоматизам.

IX Учениците да поставуваат проблеми.

X Најдете резултат од множење што не е прикажан на графиконот.

XI. Продлабочете го разбирањето.

Овој материјал од преведените материјали на јапонскиот наставен водич е на располагање од 1995 година.

193

I. Обезбедете лекции што им помагаат на учениците да го согледаат значењето и користа од множењето.

А. 1) Помогнете им на учениците да разберат дека кога големината на квантитети не е иста, тие се собираат за да се добие вкупниот број. 2) Помогнете им на учениците да согледаат дека кога големината на сите квантитети е иста, кога сите броеви се еднакви, можеме да го одредиме резултатот преку користење равенка: (големина на група) x (број на групи). 3) Учениците нека разберат како да изразуваат и читаат равенка за множење.

4) Помогнете им да го разберат бројот „пати“ како замена за концептот „бројот на групи (или големина на групите)“.

Учениците нека работат на проблеми со неколку броеви кои не се исти.

Пет деца имаа вкупно колачиња: 2+2+4+1+3

Потоа нека го решат проблемот кога сите броеви се исти.

Пет деца имаа вкупно колачиња: 2+2+2+2+2

Помогнете им на учениците да разберат дека постои начин да се изрази вкупниот број преку користење на големината на дел или група – во овој случај (2 ) –и бројот на овие групи – во овој случај (5) и правење равенка со множење. Потоа прикажете ја равенката со множење:

(број на групи) x (големина на една група) = (цел износ).

[5x2=10]

Користењето проблеми со повеќе од три квантитети на децата им помага да ја разберат предноста од равенката за множење повеќе отколку равенката за собирање.

За децата кои не го разбираат значењето „големината на еден дел/група“ и „бројот на делови/групи“, добро е да им се прошири знаењето со овој начин на гледање на броевите преку користење делови за претставување „X по Y сума“ (4 за секој, во 6 реда).

Исто така може да подготвите слики и децата може да кажат „3 за секој“ или „4 за секој“.

Учениците, исто така, може да бидат запрашани да погледнат околу себе и да најдат работи кои одговараат на описите како „осум за секој, 20 кутии (можеби боички)“ или „2 за секој, 24 деца (можеби чевли за децата)“. Нека нацртаат слики за да ги претстават овие описи и нека напишат што прикажуваат.

194

Иако децата се научени да бројат по 5-

ки и 10-ки, тие го прават тоа заради

организација на броевите и не се свесни

за поврзаноста со множењето.

Дури и ако им се даде равенката 5x3, лесно е да се решат ситуации преку собирање, бидејќи користат едноцифрени цели броеви. Пет тројки – 3 3 3 3 3 – може да се решат како: 3 + 3 + 3 + 3 + 3.

Децата кои се единствено загрижени да го добијат резултатот нема да го разберат значењето на (или причината за) формулирање на равенката (5 x 3) и тие ќе се прашуваат зошто треба да напишат равенка.

Може да го искористат собирањето погоре или дури да наредат 5 ленти од 3 сантиметри на секое и да ги измерат. Оттука, важно е да им се укаже дека полесен, побрз начин за броеви кои се исти е равенката за множење.

Учениците нека ги споредат равенките за собирање и множење за да ги разберат добрите точки од процесот на множење и да го продлабочат своето знаење.

(1) Лесно е да се разбере колку делови (групи) има и која е нивната големина.

195

(2) Споредено со собирање на исти броеви, овде можеме да се изразиме побрзо.

Нагласете дека 5 x 2 може да се изрази како „пет кутии вредни една кутија со 2 чоколади“. Ова значи дека една кутија има 2 чоколади и дека има 5 такви кутии. Наместо да велите „3 групи и 4 групи“ ние велиме „3 пати и 4“ пати, бидејќи не можеме да ги изразиме сите значења на ситуациите со множење x делови. За да бидеме способни да ги изразиме сите видови ситуации, ние го користиме изразот „пати“, што е изделување на бројот на групи/делови.

II. Организирајте ги и бидете способни да ги наведете таблиците за 2, 3, 4 и 5.

А. При воведување на операцијата множење, ако големината на квантитетот е 1, 2 или 5, учениците нека ги добијат резултатите со броење по 1-ци, 2-ки и 5-ки.

Б. Кажете им на учениците дека постои метод на знаење кој е побрз од собирање или прескокнување при броење. Нека ги организираат табелите за 2-ки и 5-ки. В. Вежбајте со игри базирани врз таблиците и обидете се учениците да си помагаат меѓу себе при точно изразување на таблиците.

За секоја табела употребете конкретна ситуација околу која ќе ја организирате табелата. На пример, може да имате 3 луѓе во брод или 5 ужинки на секоја чинија или пар чевли или 4 деца на секоја маса.

Некои игри:

1. Децата нека направат картички со равенки за 2-ки, 3-ки и 5-ки. Направете посебни картички со одговори. Поделете ги децата во групи кои ќе одговараат на картичките. (Група од 4 учесници.)

2. Искористете ги картичките како во играта со „Старата мома“. Само со помош на картичките со равенки учениците нека направат групи со истиот одговор. (Група од 4 учесници.)

Има деца кои се трудат да ги запаметат таблиците пред воопшто добро да разберат како да ги организираат. За овие деца помошта би се состоела во методот на собирање.

2x4∏4+4=8

3x4∏8+4=12

4x4∏12+4=

5x4∏16+4=20

6x4∏20+4=24

7x4∏24+4=28

8x4∏28+4=32

9x4∏32+4=36

196

3. Споредување големини. (Учениците се делат во парови.) Секој има по една картичка. Тој што ќе го добие најголемиот број е победник. (На пр., 2 x 8 го победува тој што има 3 x 5). Друга опција е ученикот што прв ќе го каже резултатот на својата равенка да биде победник. Оваа опција бара судија.

При составување на правилата за споредување големини, учениците треба да забележат дека има различни равенки кои го даваат истиот резултат. Ова е важно да го забележат. Поставете правило за справување со овој проблем.

Игра на меморија (3 или 4 ученика). Игра на концентрација. Треба да поврзете равенка со одговор.

III. Одредете ситуации каде што може да се користи множењето и може да се решаваат такви проблеми А. Пронајдете ситуации во кои се користи множењето. Б. Учениците нека развијат подлабоко значење за множењето како што ги решаваат овие проблеми. В. Нека го меморираат начинот за изразување на таблиците. (Јапонските ученици велат: „3, 6, 18 –“ Или велат: „3 шест пати, 18“. Предлогот е учениците да бидат способни да кажат 3 шестки се 18, 3 седумки се 21 итн. и да разберат дека ова исто така може да се изрази како 3 пати по 6, 3 пати по 7, итн.).

Учениците треба да работат со ситуации кои вклучуваат постојани квантитети (мерки) како и апстрактни квантитети.

Проблемските ситуациите треба да се користат кога учениците ќе научат да ги организираат таблиците и ќе почнат да ги меморираат.

Иако генерално равенките не вклучуваат ознаки, веројатно помага да се означи множеникот и резултатот при развивање на концептот за множење:

2 каралеми x 6 = 12 карамели.

197

IV. Разберете го фактот дека зголемувањето на множителот за еден го зголемува одговорот по бројот на множеникот.

Ова е прв пат учениците да се сретнат со термините „помножен број“ (множеник) и „број што множи“ (множител).

Бидејќи се слични, учениците може да ги помешаат така што многу е важно внимателно да се претстават. Запаметете дека треба да ги вметнете овие термини дури при крај на часот кога му помагате на секој ученик посебно.

Функционалното гледиште

„Функционално“ тука се однесува на разбирање на функциите во понапредната математика. Наставниците може да гледаат на оваа функција како на машина „стави-извади“. (Ако ставите некои броеви во машината, други броеви излегуваат. Учениците може да ја објаснат шемата што ја гледаат и што му прави машината на секој број посебно и можат да направат генерализација.) Оваа задача на учениците им помага да се фокусираат на врската помеѓу броевите што излегуваат и тие што влегуваат.

Може да се случи некои деца да ги заборавиле таблиците за множење. Тие може се способни да помножат 5x7, но не можат да запаметат 6x7. Помогнете им да разберат дека може да го добијат одговорот со размислување 35+7=42 со помош на „врската помеѓу множителот и резултатот“. Во таблицата со седумки, кога множителот се зголемува за еден, резултатот се зголемува за седум.

Исто така, ако некое дете не знае колку е 8x4, ама знае дека 9x4 е еднакво на 36, помогнете му да разбере дека кога множителот се намалува за 1, резултатот се намалува за 4. Така, за 8x4 нека размислува како 36–4=32.

Во вакви случаи учениците може функционално да гледаат на таблиците за множење, и може да го проверат вистинскиот одговорот со помош на фактите што ги знаат. Потоа децата може

198

да се справуваат со таблиците со самодоверба и да ги запаметат побрзо.

V. Научете ги таблиците за множење од 6 до 9 и 1.

Учениците може да мислат дека таблицата за 1 е различна од другите таблици. Тука секој треба да го вгради чувството кога се работи за множење со 1. Организацијата и функцијата е иста како и со другите таблици.

Таблицата 6 им предизвикува многу проблеми на учениците. Механичкото меморирање може да доведе до многу грешки. Освен повторувачката практика, нагласете го фактот дека зголемувањето на множителот за 1 води кон зголемување на резултатот за 6. Користете ситуации со 3 x 6 до 4 x 6 и 6 x 6 и 7 x 6.

VI. Учениците нека го научат комутативниот закон.

Дискутирајте ги фактите за множење организирани во табела. Учениците нека ги забележат фактите што имаат исти одговори. Забележете дека кога множителот и множеникот си ги менуваат местата, одговорот е ист.

2….1 x 2, 2 x 1

6….1 x 6, 2 x 3, 3 x 2, 6 x 1

Учениците нека ја разберат вредноста од учење на комутативниот закон.

Ќе се појават ситуации во кои учениците ќе мислат дека равенките 4 x 6 и 6 x 4 се исти затоа што нивните резултати се исти. Во основното образование, секој наставник би сакал овие равенки да бидат разбрани како комплетно различни. Причината е што во поглед на множењето досега се сметаше дека множеникот е основната единица за изразување на големината на еден дел, додека множителот е тој што изразува колку делови. А во поглед на тоа дека равенките ги изразуваат проблемските ситуациите и врските со броевите, секој би требало да биде способен да се наврати на проблемска ситуацијата преку гледање на равенката. Од оваа причина, секој треба да знае дека постои разлика во равенките 4x6 и 6x4.

VII. Користете го графиконот за множење за да ја најдете врската помеѓу множеникот, множителот и одговорот.

� Испитајте каде бројот што се множи, множителот и одговорот се наоѓаат на графиконот!

� Видете на графиконот дека кога множителот се зголемува за 1, резултатот се зголемува за бројот што се множи!

� Најдете ги специјалните каракте-ристики на редот 5-ки!

199

� Најдете ги специјалните карактеристики на редот 9-ки!

� Видете дека преку собирање на редот 2-ки и редот 3-ки одговорот е всушност ист со одговорот од редот 5-ки!

� Најдете некој резултат на графиконот и напишете равенка!

� Најдете равенки со ист одговор! � Најдете броеви каде нема исти одговори!

VIII. Учениците нека бидат способни да ги кажат таблиците по автоматизам.

Кога учениците почнуваат да користат повеќецифрени броеви во множењето, ако не ги знаат таблиците тоа ќе биде голема пречка. Откако учениците ќе ги организираат таблиците нека научат да го кажуваат одговорот „по рефлекс“ додека играат игри со картички и игри како тие подолу. � Учениците нека ги постават кар-тичките со фактите на масата. Ако го кажат точниот одговор, ја земаат картичката, ако не го кажат, ја оставаат на масата. Потоа се обидуваат повторно. Водете записник колку долго им треба за да ги кажат сите.

� Нека ја играат играта во групи од тројца или четворица така што ќе може да се проверуваат меѓу себе.

200

IX. Учениците нека поставуваат проблеми.

Преку предавање како се поставуваат проблеми, можеме во исто време да го продлабочиме и процениме знаењето на учениците за операцијата множење.

За секоја таблица добро е да се одвои малку време за да може учениците да поставуваат проблеми. Поставувањето проблеми е ефективен метод да се разбере како секое дете го разбира множењето. Во ред е децата да смислуваат ситуации кои не биле користени дотогаш или да користат поголеми броеви од тие користени на час.

Исто така, добро е да се води записник за поставување проблеми и секој ученик да запише по еден проблем на страна и потоа да ги сумираат нивните прашања како збир на индивидуални проблеми.

Децата, кои смислуваат ситуации што не одговараат за множење, не го разбираат значењето на множењето. Има многу методи што може да се искористат за оваа проблематика.

(1) Дадете ја равенката и нека создадат проблем што може да се реши со таа равенка.

(1) Зададете го само множеникот и задолжете ги да смислат проблем.

(2) Учениците нека создаваат проблеми со помош на таблиците кои дотогаш ги научиле.

(3) Учениците нека смислуваат проблеми со помош на множење.

X. Најдете го резултатот од множење што не се наоѓа на графиконот.

Поставете проблем кој почнува со 8x3. (Осум деца имаат потреба од едно пакување од по три тетратки. Колку тетратки се потребни?) Потоа употребете 9x3. Учениците може ќе ја напишат равенката 9x3 или ќе соберат 24+3. Некои може дури и ќе соберат 3 осум пати. Потоа преминете на 10x3. Учениците може ќе помножат 10x3, ќе соберат 3 десет пати, или ќе ја искористат равенката 27+3=? Понатаму проширете ја ситуацијата до 12x3. Некои можеби ќе го соберат бројот 3 дванаесет пати или ќе соберат 30+3+3. (Може исто така ќе соберат 12 три пати или ќе соберат 30+6.) Сега учениците нека претпостават дека тетратките (12 групи по три) се распоредени на два дела. Може да ги

201

соберат одговорите за (6x3)+(6x3). Може да постават 6x6.

Или пак (10x3) + (2x3).

XI. Продлабочете го знаењето. � Вежбајте факти за множење! � Користете нагледни средства за да

изразете разни множења кои го имаат резултатот 24. Размислувајте за нив.

� Од еден начин на разделување на

деловите може да има две равенки; потврдете го комутативното својство на множењето. Но запаметете дека ситуацијата не е комутативна.

� При создавање проблеми, особено фокусирајте се на бројот што треба да се помножи и гледајте на тој број како број што ја диктира големината на еден дел.

� Учениците нека претстават сопствени проблеми и нека го разберат фактот дека множењето се користи во многу различни ситуации.

� Кога учениците смислуваат проблеми, нека подготват урнеци и секогаш нека запишуваат:

1. проблем; 2. илустрација или графикон; 3. равенка; 4. одговор. Решавањето на проблемите што ќе ги смислат учениците и заедничкото решавање е можност да се зголеми љубопитноста и интересот.

202

ДОПОЛНИТЕЛНИ КОНЦЕПТИ ЗА МНОЖЕЊЕ ВО ЈАПОНСКИТЕ НАСТАВНИ ВОДИЧИ

A. Методи за воведување на операцијата множење

Има два методи за воведување на операцијата множење.

1. Воведување на операцијата множење преку собирање исти броеви (повторливо собирање).

Методот на воведување преку „собирање исти броеви“ (повторливо собирање) гледа на множењето како на развој на процесот на собирање.

На пример, наместо равенка за собирање на бројот 2 пет пати, ајде да ја употребиме равенката која може кратко да се изрази како:

„5 x 2“. 2 + 2 + 2 + 2 + 2 → (укажува на) 5 x 2.

Овој метод е сличен на фактичкото размислување на децата кои досега гледале на ситуациите со помош на собирање. Меѓутоа, бидејќи тие ќе го гледаат множењето како краток израз на повторливо собирање на еднакви броеви, ова гледиште „може никогаш да не се откачи“ и може да се случи некои деца да не се префрлат кон идејата кога значењето на множење ќе се прошири.

2. Воведување преку значењето „пати“.

Воведување преку значењето „пати“ на учениците им дава можност да разберат дека постои начин на размислување за „некој број на групи“ што е нов начин на размислување за нив во поглед на квантитети. Овој метод, исто така, на множењето гледа како на нова пресметка изразувајќи го овој нов начин на размислување.

На пример, ако има 5 суми по 2, сакаме да гледаме на ова како 5 делови на 2 и да го изразиме преку равенката „5 x 2“.

Овој запис 5x2 може да се запише како: 5 износи на 2, 5 делови на 2 или 5 групи на 2.

Овие методи треба да го појаснат значењето на процесот на множење. Кога ќе размислувате за вашиот час, треба да одлучите како да ги воведете овие методи.

Б. Потешкотија да се разбере множењето

Досега во ситуациите со собирање и одземање сите пресметки беа за некаков вид на квантитети, но во множењето функцијата на множителите ќе биде различна.

На пример, во ситуација со 3 x 4, додека множителот 3 изразува некаков квантитет како 3 чоколади, 3 луѓе, 3 метри или 3 кругови, множителот 4 е број што изразува операција како 4 делови од, 4 пати по и 4 пати. И овие

203

операции често се кријат зад изрази како на пр.: „Поделете 3 чоколади на четворица“ и „Сакам да купам 3 моливи, секој за 4 центи“.

Овде лежи потешкотијата во формулацијата на равенките за множење.

В. Други проблеми

Кога на учениците ќе им зададете задача да го организираат третиот ред од таблицата за множење, ако го користите проблемот (контекстот) како долунаведениот, можете да ги научите на сите равенки од 3 x 1 до 3 x 9 во исто време.

Хироши за роденденот подели покани на 9 пријатели. Бидејќи сè уште нема одговор од никого, не знаеме колкумина ќе дојдат. Но, на луѓето што ќе дојдат тој сака на секого да му подели по 3 моливи. Ајде да размислиме колку моливи ќе му требаат ако дојдат различен број луѓе.

Задавањето задача децата сами да го пополнат бројот на гостите и да размислат околу ова, што се случува ако е еден човек или пак двајца и така натаму, е важно за развојот на функционалното гледиште. Но, ова може да се покаже како напорно за децата. Затоа при размислување за фактичките услови на час, одлучете дали ќе го користите овој вид проблем или не.

Г. Таблицата за бројот два – играта со планинарење

Искористете ја играта со планирање преку картичките за множење. Вклучете ја или таблицата за два или за пет. Ако го нацртате дијаграмот доволно голем, учениците може да играат во групи. Ако користите помал дијаграм, соодветно е за 3–4 учесници.

Поставете ги картичките за множење, кои се подготвени од страна на децата, наопаку. Одредете го редоследот; првиот човек ќе ја почне играта земајќи една картичка. Ако картичката вели „2 x 3“, тој треба да каже „два пати по три е шест“ и треба да ја помести своата пплочка 6 места погоре на листот даден на наредната страна. Движете се помеѓу темните линии. Тој што ќе стигне прв до целта е победник. Може да поставите правило, на пример, ако детето направи грешка во одговорот треба да се врати на почеток на играта.

(Забелешка: Јапонскиот водич предлага децата да подготват маски на животни и да одбележат некои квадратчиња со омилената храна на животните. Ако играчот застане на својата омилена храна, ќе го изгуби редот додека јаде. Секаков сличен вид на одбележување на просторот „почни од почеток“ итн. ја прави играта уште поинтересна).

204

Работен прибор: ИГРА СО ПЛАНИРАЊЕ

`

205

Д. Проблеми во стекнување јачина

1. Колкав е бројот на копчиња? Ајде да ги напишеме равенките за множење и да ги одговориме!

2. Која е должината на хартијата?

3см

5см

3. Ајде да помножиме!

3 x 7 4 x 1 5 x 5 2 x 2 3 x 9

2 x 1 3 x 3 3 x 8 5 x 7 4 x 7

5 x 8 4 x 9 2 x 6 4 x 4 5 x 9

4. Има 8 клупи. На една клупа може да седат 4 луѓе. Колку луѓе може да седнат на клупите?

5. Има 5 шишиња сос со 3 унци во секое шише. Колку унци сос имаме?

6. На секое дете ќе му дадеме по 2 чоколади. Ако има 7 деца, колку чоколади ќе поделиме?

206

Ѓ. Идеи за користење на таблицата за множење за продлабочување на разбирањето 1. Погледнете ги „помножениот број“ и „бројот што множи“ и видете каде се наоѓаат во таблицата! Исто така најдете каде се наоѓа резултатот.

2. Учениците нека испитаат кога множењето се зголемува за еден, за колку се зголемува резултатот. Заклучете со зборови како се менува резултатот ако множителот се зголемува за 1.

3. Покажете број кој е одговор на таблицата и учениците нека направат равенка за тој број (9, 12, 16, 24, 36, 54, 72, 81).

4. Учениците нека ја разгледаат таблицата и нека направат забелешки за тоа што виделе и забележале.

5. Учениците нека го согледаат симетричкото својство на таблицата за множење и нека размислат зошто тоа е така. (Ова може да остане да се размисли за следниот час кога ќе се совладува комутативниот закон за множење).

Методот на разбирање на врската помеѓу множителот и производот на 6 и 7 можеби е во визуелниот приказ на прожекторот.

υ υ υ υ υ υ υ υ






υ υ υ υ

6 x 4 7 x 4

Пронајдете факти за броевите со ист резултат и напишете ги равенките! Испитајте колку ги има со ист резултат!

Учениците може да ги заокружат местата со истите нумерички вредности со пенкало во боја.

Испитајте ги фактите за броевите без исти резултати, како на пример, 25! Барајте броеви што се појавуваат само еднаш во таблицата и размислете какви равенки нив ги изразуваат! Погледнете ја таблицата дијагонално, од левиот врв до десниот крај. Учениците нека разберат дека производите поставени дијагонално се множење на еднакви множители. Исто така е добро на оваа дијагонална линија да се гледа како на симетрична оска и испитајте ги броевите поставени во линијата на симетрија.

207

6. Комутативен закон.

7. Учениците нека разберат дека во множењето дури и ако ги замените местата на множителот и бројот што се множи, резултатот ќе биде ист. Кажете им го комутативниот закон.

Учениците нека гледаат на конкретните предмети или дијаграми кои прикажуваат, на пример, 3 x 5 и 5 x 3 и при тоа забележете дека одговорите се исти.

Но, нека ја разберат разликата во размислувањето помеѓу двата. Во првиот случај имаат 3 торби со по 5 предмети; во вториот имаат 5 торби со по 3 предмети.

Зададете им на учениците да пополнат изрази како на пр.:

3 x 8 = [ ] X 3

Учениците нека го сумираат комутативниот закон за множење.

208

Е. Пример за настава за време на час со цел решавање проблеми

1. Цел

Учениците да разберат дека осмиот ред на таблицата за множење (таблицата 8 пати) се зголемува за 8.

2. Развој

Учениците нека прескокнуваат во броењето по 8-ки.

Поделете табела во која матриците 2 и 7 се комплетни, додека редот 8 е празен. Прашајте ги учениците дали можат да го пополнат 8-от ред.

Ученикот 1: Да! Лесно е.

Ученикот 2: Не знам дали можам да го пополнам?

Наставникот: Ќе ти дадам малку време да размислиш дали можеш или не можеш да го направиш сега.

Дадете им 10 минути на учениците да размислуваат слободно. Тие кои имаат проблеми потсетете ги на идејата што ја користеа за организирање други матрици.

Наставникот: Тие што ги најдоа резултатите за 8-от ред, нека кренат рака!

Забележете ги децата кои кренаа рака и тие кои не кренаа и размислете кои се причините зошто тие деца не можеа да ги најдат одговорите.

Наставникот: Ајде да ги чуеме одговорите од некој што ги најде! Ученику 1, ајде да ги чуеме твоите!

(Подгответе картички, графикон или транспарент за да може учениците да ги пополнат одговорите.)

Осмиот

ред за 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72

Наставникот: Некој што има различни одговори од ученикот 1?

Ученикот 2: Кај мене излезе вака.

Осмиот

ред за 8

8 16 24 32 40 48 54 62 70

209

Наставникот: Има ли уште некој со различни одговори?

(Можеме да смислиме многу начини преку кои учениците направиле грешки во пресметките во средина на редот, но во оваа фаза прифатете го секој одговор и самите нека се прашуваат кој е точниот одговор.)

(Учениците нека го кажат својот метод за добивање на одговорите и нека го дознаат ефективниот метод.)

Наставникот: Ајде да ги видиме вашите стратегии за добивање на резултатите во осмиот ред! Може ли да ни ги кажеш твоите ученику 2? (Децата со погрешните одговори нека ги кажат своите начини за да ја согледаат грешката.)

Ученикот 2: Јас размислував за одговорите во осмиот ред како на делење 8 моливи на секој поединечно.

Ако е 1 човек, 1x8 = 8;

ако се 2, 2 x 8 = 8 + 8 = 16;

ако се 3, 3 x 8 = 16 + 8 = 24;

ако се 4, 4 x 8 = 24 + 8 = 32;

ако се 5, 5 x 8 = 32 + 8 = 40;

ако се 6, 6 x 8 = 40 + 8 = 48;

ако се 7, 7 x 8 = 48 + 8 = 54;

ако се 8, 8 x 8 = 54 + 8 = 62;

ако се 9, 9 x 8 = 62 + 8 = 70.

Наставникот: Каков е методот на ученикот 2?

Ученикот 3: Има грешка при одговорот за 7 x 8. Мислам дека не е 48+8 = 54, туку 48+8 = 56.

Наставникот: Па, дали е така?

Ученикот 4: Сигурен сум дека 48 + 8 = 56.

Ученикот 2: Се извинувам. Јас сум згрешил. Ве молам направете промена.

Ако се 7, 7 x 8 = 48 + 8 = 56;

ако се 8, 8 x 8 = 56 + 8 = 64;

ако се 9, 9 x 8 = 64 + 8 =72.

Наставникот: Тоа значи дека одговорот станува ист како одговорот на ученикот 1. Како дојде до твојот резултат ученику 1?

210

Ученикот 1: Јас помислив на ситуација каде што имам 8 чоколади за секого.

Ако е 1 човек, 1 x 8 = 8;

ако се 2, 2 x 8 = 8 + 8 = 16;

ако се 3, 3 x 8 = 16 + 8 = 24.

Така, бидејќи одговорите се зголемуваат за 8, ги добив резултатите со додавање 8 во низа.

8 +8 +8 +8 +8 +8 +8 +8 +8

8 16 24 32 40 48 56 64 72

Наставникот: Како ви се чини идејата на ученикот 1?

Сите: Добра.

Наставникот: Тој го доби одговорот преку разбирање дека кога множителот се зголемува за 1, резултатот се зголемува за 8. Дали идеите на ученикот 1 и ученикот 2 се исти или различни?

Ученикот 4: Бидејќи и двајцата го добија резултатот со додавање 8 кон претходниот резултат, јас мислам дека се исти.

Наставникот: Точно. Ученикот 1 и ученикот 2 ги добија одговорите со додавање 8-ки на претходниот резултат.

Наставникот: Точните одговори за осмиот ред се како во табелата на ученикот 1. Тие што имаат различно од ова решение, ве молам направете корекции.

Овозможете им на учениците да разберат дека во осмиот ред кога множењето се зголемува за 1, одговорот се зголемува за 8. Нека ја повторат таблицата со осмиот ред.

211

Работен прибор за активност 10-2: МАТРИЦА СО ТОЧКИ ВАН ДЕ ВАЛЕ

213

Работен прибор за активностите 10-5 и 10-6 СТРУКТУРА СО МНОЖЕЊЕ И МОДЕЛОТ СО МАТРИЦИ

x

x

x

x

x

x

215

x

x

x

x

x

x

217

6 x

4

6 x

4

6 x

4

6 x

4

218

Работен лист за активност 10-3: ИЗБОР ОД ПРЕТСТАВУВАЊА Задача: За секоја од задачите предложете модел или друго претставување кое на учениците би им помогнало да ја визуелизираат задачата? 1. Али има 4 кутии со боички. Во секоја кутија има само по 8 боички. Колку боички има Али?

2. Али има 32 боички. Колку кутии му се потребни ако сака да стави по 8 боички во секоја кутија?

3. Али има 32 боички и поеднакво ги става во 4 кутии. Колку боички има во секоја кутија?

219

ПРИМЕРИ ЗА ПРОБЛЕМОТ СО БОИЧКИТЕ НА АЛИ

1. Али има 4 кутии со боички. Има 8 боички во секоја кутија. Колку боички има Али?

Парчиња

a) б)

Унификс коцки

Графикон

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Табели

Кутии Боички Кутии 1 2 4

1 8 Боички 8 16 32

2 16

3 24

4 32

Милиметарска хартија кутија 1 кутија 2

боички

кутија

кутии 3

кутија 4

220

Бројна права

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

2. Али има 32 боички. Колку кутии му требаат ако сака да стави по 8 боички во секоја кутија? (Квантитативно делење.)

Матрици

Земете 32 жетони и бројте групи од 8 или распоредете ги во матрици од 8 во низата.

x 8 боички во секоја

?

кутии

Табела „стотка“

Почнете од 32 и покријте групи од 8 со различни бои на жетоните или плочките. Колку групи може да составите?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Илустрација

Направете 32 знакчиња и заокружете по групи од 8.

X XX X X X X

X X X X X X X X X X X

X X X X X X X X

X X X X X X

221

3. Али има 32 боички и ги става поеднакво во 4 кутии. По колку боички има во секоја кутија?

Бројачи или жетони

Поделете 32 жетони, еден по еден, во 4 групи.

Илустрација

Нацртајте 4 кутии и потоа цртајте боички во секоја, додека не добиете 32,

…и така натаму.

Графичка (во квадратчиња) хартија

Обојте или подвлечете еден квадрат во секој од четирите реда за да претставите една боичка во секоја од четирите кутии! Продолжете колона по колона додека не обоите 32 квадратчиња. Учениците може да бројат како што завршува секоја колона. (Се разбира, ако прескокнува во броењето преку четири, ќе знае од почеток колку колони да пополни).

222

Работен прибор: ОРГАНИЗАТОР НА ПРОСТОРОТ ПРИ МНОЖЕЊЕ

225

ПОГЛАВЈЕ 11

231

Работен прибор за активност 11-2: ПРЕТСТАВУВАЊЕ ПРОБЛЕМ СО ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ

235

Работен лист за активност 11-3: КОРИСТЕЊЕ НА НАГЛЕДНИ СРЕДСТВА ЗА ПРОБЛЕМИ СО ПОВЕЌЕЦИФРЕНИ БРОЕВИ Задача: Проблемот со собирање конзервирани производи решете го со:

� бројачи; � графичка хартија; � хартија со точки; � празен лист хартија;

онака како што ќе Ви биде кажано од обучувачите.

Собирање конзервирани производи

Училиштето собира конзервирани производи за домот за бездомници. Како што се носат конзервите, така учениците ги ставаат во кутии. Секоја кутија собира 24 конзерви. Колку конзерви храна имаат собрано учениците во октомври ако се наполнети 32 кутии? Потоа одговорете на следните прашања:

� Прикажете го својот пример.

� Колку беше тешко да се искористи вашата алатка?

� Што може учениците да забележат кога ќе го решаваат проблемот?

� Што сакате да слушнете во нивните објаснувања?

236

Работен прибор за активност 11-3: КОРИСТЕЊЕ НА НАГЛЕДНИ СРЕДСТВА ЗА ПРОБЛЕМИ СО ПОВЕЌЕЦИФРЕНИ БРОЕВИ

249

Тања става тепих во дневната соба од едниот ѕид до другиот. Купила 114 квадратни стапки тепих. Собата е долга 12 стапки. Ако бил искористен сиот тепих, колку е широка нејзината соба?

ПОГЛАВЈЕ 12

254

ШТО Е ТОА ШТО ГО ПРАВИ ПРОБЛЕМОТ УШТЕ ПОТЕЖОК?

ЗБИРКА ЗАДАЧИ A

1. Енди изел двојно повеќе колачиња од Алекс. Колку колачиња изел Енди ако Алекс изел 4?

2. Алекс изел двојно повеќе колачиња од Енди. Ако Алекс изел 4 колачиња, колку колачиња изел Енди?

3. Мајкл има колекција од 54 колички. Били има само 3

1 од количките на

Мајкл. Колку колички има Били?

4. Полицата на Кармен е само една четвртина од должината на полицата на Рикардо. Ако полицата на Рикардо е долга 36 см, тогаш колку е долга полицата на Кармен?

ЗБИРКА ЗАДАЧИ Б

1. Мелиса има 24 кутии со суво грозје за да ги подели на 12 другарчиња. По колку кутии може да има секое другарче?

2. Мелиса донела неколку кутии со суво грозје за да ги подели со своите другарчиња. Таа сака на секое дете да му даде по две кутии. Ако таа има 24 кутии, колку деца можат да имаат по две кутии суво грозје?

3. Секое од шесте девојчиња што си играат треба да има лак направен од гума долга 36 см. Колку гума треба да купам?

4. Колку гума треба да купам за играта ако секое девојче има потреба од 36 см гума и ако се вкупно 6 девојчиња?

5. Имам 220 см гума. Колку лакови можат да се направат ако за еден е потребно 36 см гума?

6. Ако една кутија фломастери чини 75 денари, колку ќе чинат 4 кутии?

7. Колку кутии фломастери можам да купам со 350 денари ако една кутија чини 75 денари?

255

ЗБИРКА ЗАДАЧИ В

1. Секоја видеокасета со Нинџа Желки е со димензии 3 см х 12 см х 18 х см. Колку простор ќе заземат десет вакви касети?

2. Секоја видеокасета со Нинџа Желки зафаќа 216 квадратни см и 3 см висина. Колку простор ми треба за 10 вакви касети?

3. Кејша може да направи 15 облеки од кошула и панталони. Таа сега има 5 кошули. Уште колку пара панталони има таа?

4. Кејша има 5 кошули и 3 пара панталони. Колку облеки од кошула и панталон може да направи?

5. Брендон планира да стави тепих во дневната соба. Собата е широка 12 стапки, а долга 20 стапки. Може да купи тепих за 2,5 долари по квадратна стапка или може да го купи целото парче, со попуст, кое е 235 квадратни стапки за 2 долари по стапка. Што треба да купи?

ЗБИРКА ЗАДАЧИ Г

1. Стивен сака да купи семе за трева. За секои 50 квадратни стапки нему му се потребни 12 унци семе. Семето доаѓа во пакување во вреќи од по 2 lb. Ако Стивен купил и користел три вреќи со семе, колку е голема неговата градина?

2. Лин купува работи за на училиште. Пенкалата се во пакување по 12 во една кутија. Една поголема кутија има десет вакви помали кутии. Колку поголеми кутии тој треба да купи ако училиштето, кое има 528 ученици, сака на секој ученик да му даде по две пенкала?

3. Лин купува пенкала за на училиште. Нему му се дадени 9 кутии. Во секоја поголема кутија има 10 помали кутии со пенкала. Колку пенкала има, ако секое пакување има по 12 пенкала?

4. Кога Керол отишла во продавница имала полн џеб со парички. „Леле колку се тешки“, си рекла... „Освен тоа, не знам колку пари имам со себе“. Ако Керол имала 10 х 25 центи и 22 од по 5 центи, како може да ги размени нејзините пари за да може полесно да ги носи и да ги брои?

5. Лин може да трча во просек 35 милји/час во должина од 5/9 од милја. Колку стапки во минута тој претрчал?

256

Работен лист за активност 12-1: ОСТАТОЦИ

Задача: Решете го секој проблем на ниво на група. Дискутирајте за потребата внимателно да се прочитаат прашањата, а не само да се бараат бројки и да се прават пресметки. Потоа споделете го Вашето размислување со размислувањето на другите групи.

ПРОБЛЕМИТЕ СО ЧОКОЛАДНИ КОЛАЧИЊА

1. Марија има 144 колачиња кои ќе ги стави во садови. Секој од нив собира точно 40 колачиња. Колку садови може да се наполнат во целост?

2. Марија има 144 колачиња кои ќе ги стави во садови. Секој од нив собира точно 40 колачиња. Колку садови ќе ѐ требаат за да ги стави сите колачиња?

257

3. Марија има 144 колачиња кои ќе ги стави во садови. Секој од нив собира точно 40 колачиња. Кога ќе наполни колку што може садови, уште колку колачиња ќе ѐ останат?

4. Марија има 144 колачиња кои ќе ги стави во садови. Секој од нив собира точно 40 колачиња. Што да правиме со оние што ќе останат кога ќе ги наполниме сите садови? (Отворен проблем.)

258

Работен лист за активност 12-2: ОСТАТОЦИ СО ДРОПКИ

Задача: Решете го секој проблем на ниво на група! Дискутирајте како остатокот влијае на одговорот! Потоа споделете го Вашиот одговор со одговорот на другите групи!

1. Тања става тепих во дневната соба од едниот ѕид до другиот. Купила 114 квадратни стапки тепих. Собата е долга 12 стапки. Ако бил искористен сиот тепих, колку е широка нејзината соба?

2. Јован на саемот за образование изнајмил простор за штандот на Математика со размислување. Колку голем штанд треба да изнајми? Сите штандови се длабоки 4 стапки, но некои од нив се широки 4 стапки, некои се широки 5 стапки и некои се широки 6 стапки. Нему му се потребни 18 квадратни стапки простор.

261

МАТЕРИЈАЛИ ЗА ДОПОЛНИТЕЛНО ЧИТАЊЕ

(за поглавјата 1, 2, 4 и 5)

263

НАДГРАДУВАJТЕ ГО ИНТУИТИВНОТО ЗНАЕЊE Традиционално се мислеше дека на почетокот на школувањето учениците имаат многу ниско познавање од математика. Врз основа на ваквата претпоставка, на првите часови учениците учат како да пресметуваат, притоа верувајќи дека ова е првиот потребен чекор кон разбирање на концептите на посложената математика. Истражувањата13 го поддржуваат мислењето дека децата го започнуваат школувањето со интуитивно чувство за математичките процеси. Интуитивното знаење, како што е употребено во овој документ, се однесува на она што децата го знаат пред да започне нивната формална наставна програма. Тоа е слично на она што когнитивната наука го нарекува „претходно знаење“. Наставниците треба да се потпрат на знаењето што го имаат учениците и потоа да го искористат во процесот на поучување и учење. Откако ќе го направат тоа, учениците можат да решаваат проблеми со примена на нивното разбирање за „одземи“, “спои“ и „спореди“.

Вилијам имаше 9 автомобили. Тој му даде 3 автомобили на неговиот брат, Џамел. Колку автомобили има сега Вилијам?

Лурдес има 6 моливи, Вероника има 7 моливи. Колку моливи имаат заедно?

Џенифер има 6 пенкала и 4 моливи. За колку повеќе пенкала има од моливи?

Се чини дека учениците успешно ги решаваат ваквите активности преку броење и решавање проблеми. Постарите деца ги користат овие вештини (броењето и решавањето проблеми) за извршување на нивните сопствени верзии на основните операции. Ваквите стратегии се посебно ефективни при решавање на секојдневните математички проблеми14. Интуицијата е тесно поврзана со јазикот, кој ѐ е близок на личноста, и со ситуациите. На пример, при проучување на уличните продавачи во северен Бразил е забележано дека нешколуваните возрасни лица вршат сложени пресметки што вклучуваат собирање и одземање, а пресметуваат дури и пропорции, кога тоа е поврзано со нивните секојдневни

13 Carpenter, Hiebert & Moser, 1981; Cobb, Yackel & Wood, 1988; DeCorte & Verschaffel, 1987; Fuson, 1992; Resnick, 1986; Riley, Greeno & Heller, 1983. 14 Carraher, Carraher & Schliemann, 1985; Resnick, Cauzinille-Marmeche & Mathieu, 1987; Resnick, 1986; Saxe, 1988.

264

активности15. Искуството надвор од училиштето, со познатата средина и јазикот кој ѐ е близок на личноста, може да помогне во „совладување на разбирањето и трансферот на математичките модели“, и да им помогне на учениците соодветно да работат со алгоритми кои не се практикуваат во наставните програми. Интуитивното знаење како основа Интуитивното знаење претставува вреден извор за обезбедување сигурност за почетниците16. Првоодделенците може да научат собирање и одземање на повеќецифрени броеви кога инструкциите се изградени врз претходно знаење и конкретна претстава за броевите17. Откако учениците ќе ги конструираат своите решенија врз основа на она што веќе им е познато, тие се чувствуваат моќни. Со оглед на тоа што тие генерираат чекори што ги водат кон разбирање на решенијата на нивниот проблем, математиката за нив не е мистерија18. Надградбата на интуитивното знаење го втемелува новото знаење на учениците и гради доверба во нивната способност за проширување на сопственото знаење. Доколку наставникот го вреднува интуитивното знаење на учениците, тој истовремено ја пренесува позитивната вредност на самите ученици. Ова помага во намалување на културните бариери при учење на формалната математика. Со истражувањето се сугерира дека не е погрешно на учениците да им се покаже „традиционално“ решение „под услов тие прво да ги откријат нивните постапки и методи...“19 за решавање на поставената задача. Доколку формалните алгоритми се научат пред целосно да се развие концептуалното разбирање, ќе биде потешко учениците да се здобијат со навика за поттикнување на своето размислување и нудење на свое решение на поставената задача20.

15 Carraher, Carraher & Schliemann, 1985; Resnick, 1986; Saxe, 1988. 16 Leinhardt, лична коресподенција, јули, 1989. 17 Resnick, Bill & Lesgold, 1991. 18 Carpenter & Fennema, 1988; Cobb, Yackel & Wood, 1988. 19 Davis, 1989, стр. 159. 20 Schliemann & Magalhaes, 1990b.

265

Прво да се искористи интуитивното знаење Идејата да се започне со употреба на интуитивното знаење на учениците е дел од наставниот модел на учење во Јапонија што беше снимено на видеолента за време на Третата меѓународна студија за математика и природните науки (TIMSS)21. Спротивно на американските наставници, кои главно започнуваат со тоа што на учениците им поставуваат формула или метод за решавање на проблемот, a потоа таквиот метод учениците го вежбаат, јапонските наставници започнуваат со проблем, ги делат учениците во групи кои го решаваат проблемот, а потоа врз интуитивните решенија на поставениот проблем учениците ги совладуваат поставените цели. Јапонските наставници веруваат22 дека „борењето“ на учениците со проблемот е моќна алатка што им помага во развојот на разбирањето на математичките поими. Оваа методологија на надградба на интуитивното знаење не треба да се ограничи на едноставните проблеми. Таа може да се користи во основното образование, но и понатаму.

Импликации во наставата Претходно кажаното насочува кон тоа дека ефективните поучувачки активности би требало да бидат надградба врз математичката интуиција на учениците и секојдневното искуство. Исто така, тие треба да се вклучат во активностите што се подолу опишани.

Избор на соодветни задачи 1. Изберете математички задачи што ќе ги ангажираат учениците во истражување на математичките поими и односи што се важни за предметот на изучување.

2. Најпрво изберете задачи што вклучуваат познати содржини за да можат учениците да го искористат своето интуитивно знаење.

3. Изберете задачи базирани врз способноста на учениците. Задачи кои би ги поттикнале учениците на повисоко ниво на

21 Stigler, 1997a. 22 Stigler, 1997b.

266

размислување и развивање вештини за расудување, а не задачи базирани на едноставни пресметки.

4. Кога учениците учат нови поими, проширете ја наставната содржина со нешто што е непознато.

5. Насочувајте ги учениците да бидат способни да ги применуваат научените содржини и да размислуваат математички.

Поставување соодветни прашања 1. Употребете техники на прашување што ќе им овозможат на учениците јасно да го изразат своето мислење и расудување. Така ќе може да се утврди разбирањето на интуитивното знаење кое учениците го носат во себе, а е поврзано со определени математички идеи и поими.

2. Користете дополнителни објаснувања кога размислувањето е нејасно, неточно или кога некои ученици можеби имаат тешкотии откако ќе им поставите едно од следниве прашања/барања:

• Кажи ми како дојде до тоа?

• Покажи ми со модел (или со цртање)?

• Не го разбирам овој дел, можеш ли да ми го објасниш?

• Како со тоа се добива...?

• Колку е 8 плус 4?... Доколку е 12, колку е 8 плус 5? Зошто?

Доволно време 1. Дајте им на учениците доволно време најнапред да работат на сопствените постапки за решавање пред да спроведуваат каква било дискусија или да предавате за стандардизираните алгоритми. Така учениците ќе можат да го применат своето интуитивно знаење за ситуациите, да ги применат инвентивните методи во постапката на решавање. На овој начин учениците развиваат разбирање за процесот, го продлабочуваат концептуалното разбирање на ситуацијата и го зајакнуваат препознавањето на врските меѓу математичките идеи.

2. Покажете им на учениците како да ги споредуваат постапките (начинот на решавање) кога ги разменуваат своите решенија, притоа размислувајќи за предностите и недостатоците на секоја од нив.

267

3. Дозволете им на учениците, и охрабрете ги оние кои не се подготвени, да користат поефикасни алгоритми, да ги користат постапките со кои успешно решаваат проблеми.

Запишување на процесот на решавање 1. Запишете го, чекор по чекор, она што учениците го изработуваат со манипулативите или запишете го нивното размислување, со цел да се утврди клучната врска меѓу концептот и постапката.

2. Запишете го процесот на решавање задачи кај некои ученици или на целото одделение во форма на броен израз или равенка.

3. Истакнете го начинот на размислување на учениците преку запишување на постапката на решавање или дискусија.

4. Изберете решенија што ќе бидат внимателно запишани. Решенија кои нудат само одговор (точен/неточен), до решенија кои имаат постапка на решавање (точна/неточна) која ги води до одговорот на поставената задача.

5. Истакнете постапка за решавање на дадена задача која содржи грешка/и, потоа коригирајте ја при што на учениците ќе им ги предочите погрешните размислувања, а со тоа ќе ги насочите кон правилно размислување, поставување и решавање на дадената задача

6. Откако учениците ќе станат повешти во симболичкото запишување на решението на дадена текстуална задача, помалку моделирајте.

Вклучување на искуството на учениците 1. Креирајте проблемски ситуации и текстуални задачи поврзани со секојдневниот живот на учениците.

2. Преминете кон паралелни, но непознати ситуации откако учениците ќе разберат како да работат во рамките на доменот на нивното искуство.

3. Употребете поголеми броеви, децимални броеви или дропки или преминете на посложени задачи со истата ситуација откако учениците ќе почнат да ги разбираат изучените содржини.

268

СОЗДАВАЈТЕ РАЗБИРАЊЕ ЗА БРОЕВИТЕ ПРЕКУ БРОЕЊЕ, ПРОЦЕНУВАЊЕ, ПРЕСМЕТУВАЊЕ НАПАМЕТ И УПОТРЕБА НА РЕПЕРИ

Чувството за броеви е начин на размислување за броевите што ја опфаќа целата работа со броевите23. Создавачите на стандардите на НСНМ ова го нарекуваат „интуиција за броевите“. Чувството за броеви е концептуално разбирање што на индивидуата ѐ овозможува лесно работење со броевите на многу начини. Чувството за броевите не се создава преку инструкциите за низа фрагментирани вештини. Тоа е повеќе како резултат од „истражувањето на броевите, нивната визуелизација во различни контексти и нивно поврзување на начини што не се ограничени со традиционалните алгоритми“24 извршено од страна на учениците. Чувството за броевите, исто така, се состои од разбирањето што се случува со броевите кога врз нив се извршуваат операции. Чувството за броеви овозможува движење во математичкиот свет и градење нови разбирања врз она што веќе е познато. Со него се олеснува поврзувањето на различните идеи.

Сфаќање (разбирање) на броевите Присуството или недостатокот од чувство за броевите е посебно очигледно во четири области: нумерацијата, големината на бројот, умствената математика и оценувањето.

Одреден број истражувачи (пр. Resnick, Silver, Sowder, Trafton25) направија обид да ги разликуваат однесувањата што демонстрираат докази за разбирањето на броевите. Тука се вклучени:

1. Разложување и повторно составување на броевите заради поедноставување на пресметувањето. На пример, со проблемот 8+6, ученикот може да го раздели 6 во 4+2, потоа следи 8+2 еднакво на 10, плус 4 еднакво на 14. Или, пак, може бројот 746 да го замисли како 700+40+6 или 750 – 4 или 745 + 1

23 Sowder, J. & Kelin, 1993. 24 Howden, 1989, стр.11. 25 Види Sowder & Schappelle (1989) за извештајот од конференцијата од 1989 за чувството за броеви каде што се вклучени кратки статии за темите од наведените автори и од други истражувачи во математиката.

269

или 740 + 6 или 700 + 46 или 1000 – 300 +46, и зависно од ситуацијата, може да го избере она што е најсоодветно.

2. Поседување чувство за апсолутната и релативната големина на броевите и количество. На пример, ученикот препознава дека 85 е поголемо од 10, дека 2000 е 10 пати поголемо од 200 или дека 30 е приближно половина од 62. Тој/таа не само што може да ги споредува броевите туку и разбира дека 200 пени не може да се соберат во една рака.

3. Употреба на познати факти заради добивање нови факти. На пример, ученикот може да сфати дека 4 x 7 може да се добие преку 2 x 7 + 2 x 7.

4. Препознавање на одговорот дали е разумен. Ученикот со чувство за броеви препознава дека 27 + 38 не може да биде 515.

5. Способност за поврзување на симболите за нумерација, операција и релација на смисловен начин. На пример, ученикот препознава дека споредбата во равенката 32 – 18 < 4 x 9 се наоѓа помеѓу (32 – 18) и (4 x 9), а не помеѓу 18 и 4, броевите што се најблиску до симболот „помалку од“.

6. Флексибилна замена меѓу различните преставувања на бројот. Ученикот може да замени 24 за 2 дузини (дванаестини);

50 проценти со . 7. Извршување умствена математика преку соодветни стратегии што ја користат предноста на нумеричките и оперативните својства. Кога е даден проблем, како што е 36 + 19, ученикот може да размислува на следниот начин: „Ќе земам едно од 36, ќе го додадам на 19 и ќе добијам 20. Тоа може напамет да го пресметам. 35 + 20 = 55. Тоа е исто како 36 + 19“.

8. Проценување на нумеричките одговори. Со проблемот 194 – 48, ученикот може да помисли: „Тоа е речиси 200 минус околу 50, така што одговорот ќе биде близу до 150“.

9. Поседување наклоност кон разбирање на броевите. Одредени активности, за кои се смета дека го промовираат, а, исто така, се и доказ за чувството за броеви, се: броење, умствено пресметување (пресметување напамет) и проценување.

Разбирање на броевите и броењето Сите четири аритметички операции може да се изведат од броењето: собирањето и одземањето имаат основа во броењето со единици, додека множењето и делењето се поврзани со

270

прескокнување во броењето. Голем број ученици ги спроведуваат операциите со „плус“, „минус“, „по“ и „се состои во“ (собирање, одземање, множење и делење) со броење со прсти. Фактот дека броењето со прсти се прави на таен начин, ни укажува дека и тие и нивните наставници сметаат дека ваквиот начин на броење не е во ред. Со оглед на тоа што броењето е основа за градење на разбирањето на бројот, големината, вредноста на местото и аритметиката, може да се поддржат активностите на учениците поврзани со броењето. Доколку примарната цел на математиката е решавање на проблемите со разбирање, а учениците мора да користат броење со прсти за да бидат успешни, тогаш тоа мора да им биде дозволено. Очигледно, целта е да се достигне момент кога броењето со прсти повеќе не е потребно. Ангажирањето на учениците во проблеми што бараат употреба на бројни факти пред да го побараат нивното меморирање, се покажа дека не влијае врз способноста на учениците тие да ги научат26. Преку активностите со броење, учениците може да осознаат мноштво прекрасни откритија; броењето до го создава истиот одговор како и броењето на сите; додавањето 10 на одреден број ја менува цифрата на десетките, додека цифрата на единиците останува непроменета; прескокнување во броењето го дава истиот резултат како и броењето на сите точки во една низа, итн. Ваквите откритија може на учениците да им овозможат стекнување на повеќе вештини при користење на математичките операции. Некои ученици побрзо осознаваат отколку други, но сите заедно се движат кон математичката компетентност. Тие треба да се поттикнуваат и понатаму да напредуваат, и не смее да се обесхрабруваат во употребата на кои било ефективни постапки што ги избрале.

За да имаат влијание во развојот на чувството за броеви, активностите со броење мора првично да имаат основа која се стекнува со користење манипулативи. Активноста со користење манипулативи ќе помогне во создавањето разбирање за количество. Меѓутоа, крајната цел е успехот на ученикот.

Разбирање на броевите, повеќецифрени броеви и месна вредност на цифра во број. Учениците очигледно минуваат фази на развој (на чувството за броеви) за разбирање на броевите. Најчесто првата фаза започнува со запознавање на едноцифрените броеви и завршува со разбирање на месната вредност на цифрата во дадениот број.

26 Carprebte & Fennema, 1989.

271

Џонс и др. (1996)27 замислил и потврдил рамка каде што се прикажува напредокот во развојот на разбирањето на броевите. Оваа рамка има четири области во кои децата треба да ја развиваат конзистентноста: броење, поделба, групирање и односи на броевите. Стекнувањето основно знаење за месната вредност на цифра во број е предуслов за олеснување на умствената математика.

Разбирање на броевите и умствената математика Дворкин28 утврдил значаен позитивен однос меѓу пресметувањето напамет и разбирањето на броевите. Умствената математика не е само извршување на долга низа едноставни пресметувања во умот на индивидуата. Луѓето обично применуваат едни постапки кога вршат пресметување напамет, а други кога пресметуваат на хартија. Постапките за пресметување напамет го земаат предвид разбирањето на бројот и повеќе се фокусираат на количеството отколку на самите цифри.

Ви нудиме два од многуте начини за пресметување напамет: 537 + 267

1. 537 + 200 е 737; 737 + 60 е 797; плус 7 е 804.

2. 500 + 200 е 700; 30 + 60 е 90; имаме 790; 7 и 7 се 14. 790 плус 10 е 800 и плус 4 е 804.

27 Jones et al., 1996, стр. 310–336. 28 Dworkin, L., 1988, цитиран во Sowder, 1992b, стр. 380.

272

Броење Делење Групирање Односи меѓу броевите

Ниво 1 Вредност на пред-место

Броење и броење до со единици; неформално броење со 10-ки.

Создавање различни начини: 5, 8, 10.

* Проценување на броевите во група со употреба на 5 и 10 како споредбени критериуми. * Броење со петки и десетки. * Групирање заради побрза и полесна проверка.

Утврдување на броеви повеќе /помалу од 5 или 10; „многу повеќе/ помалку“ броеви помеѓу 0–10.

Ниво 2 Првична вредност на место

Броење на групите на десетки како да се посебни предмети; формирање и броење на групите на десетки и плус; броење до со 10-ки и единици.

Создавање различни начини за повеќецифрени броеви (особено 10-ки/единици); исто така 100 во десетки.

* Проценување на бројот на предмети со употреба на соодветна единица (пр. 10) * Броење заради проверка. * Групирање заради побрза и полесна проверка.

Редослед на повеќецифрен број и броеви во и низ десетките.

Ниво 3 Развој на вредност на место

Броење, броење до или броење наназад со десетки за ментално собирање/ одземање.

* Создавање различни начини за повеќецифрени броеви (повеќето < 100). * Пронаоѓање на делот од бројот што недостасува (повеќето < 100).

Утврдување дали сумата на двата двоцифрени броеви е во (30-ки).

Редослед на повеќецифрен број и броеви (особено оние < 100 формирани со замена на цифри).

Ниво 4 Проши-рена вредност на место

Броење, броење до со 100-ки и 10-ки за ментално собирање.

* Создавање различни начини за повеќецифрени броеви (повеќето < 1000). * Пронаоѓање на делот од бројот што недостасува (до 1000).

* Утврдување дали сумата на двата двоцифрени броеви е помалку или повеќе од (250). * Со дадени 31 десетка и 12 единици, утврдување на бројот на единици без референца кон материјали.

Редослед на повеќецифрен број и броеви (вклучително со оние до 1000 формирани со замена на цифри).

Ниво 5 Клучна вредност на место

Броење до или наназад со 100-ки, 10-ки, единици за ментално собирање/ одземање.

Создавање различни начини за повеќецифрени броеви (некои над 1000).

* Утврдување дали сумата/ разликата на двата 2/3 цифрени броеви е помалку или повеќе од (350).

Редослед на повеќецифрен број и броеви до 1000 (особено при утврдување кој од двата броја е поблизок до третиот).

Рамка за одржување и оценување на чувството за повеќецифрени броеви (Jones et al., 1996); Рамка за чувство на повеќецифрени броеви (Journal for Research in Mathematics Education, том 27, број 3. Reston, Va.). Национален совет за наставници по математика. (Употребено со дозвола од Националниот совет за наставници по математика.)

273

Во студијата од 198829, учениците од четврто одделение, кои добивале чести инструкции за пресметување напамет во период од три месеци, развиле чувство за умствена математика. „...Инструкцискиот период посветен на истражувањето на различни методи за решавање доведе кон подобро разбирање на месната вредност на цифра во даден број, разложување на бројот, редоследот на операциите и својствата на броевите30“. Очигледно, со подобро разбирање на броевите и познавање на различните методи за решавање, учениците пронајдоа методи на пресметување што ги претпочитаа споредено со традиционалните алгоритми. По спроведувањето на инструкциите, со кои се истакнаа различните начини на решавање на проблемите кога правилата не се специфицирани, 65 проценти од учениците користеа нестандардни алгоритми, споредено со само 27,5 проценти пред тоа. Се забележа дека учениците ги претпочитаат стратегиите од лево-кон-десно, промена на редоследот на операциите и разложувањето и повторно составување на броевите, бидејќи користеа нестандардни методи. Нестандардните методи беа поттик за развојот на чувството за броевите, чувството за операциите и разбирањето на количествата, како и средство што им овозможи на учениците да работат со нивната интуиција. Интуициите се особено важни бидејќи луѓето имаат тенденција да работат на различен начин при пресметувањето напамет споредено со работата што ја извршуваат со хартија и молив.

Пресметувањето напамет е метод кој поттикнува повисоко ниво на размислување, ангажирање на учениците и поттикнување на употреба на бројките на нови начини. Спротивно на пишаното пресметување, што се фокусира на ефикасноста и манипулацијата со симболи без значење, пресметувањето напамет се фокусира на целите количества и ја поттикнува флексибилноста.

Пресметувањето напамет е истакнатo во наставната програма и текстовите во голем број земји, вклучително со Руската Федерација, Сингапур, Франција и Јапонија, чии ученици се подобри во математика од учениците во САД31.

Дадени се примери за вербални вежби од руски учебник за второ одделение32.

Објаснете ги различните методи на решавање на овој проблем!

29 Markovits & Sowder, 1988, цитирана во Sowder, 1992b, стр. 380. 30 Markovits & Sowder, 1988, цитирана во Sowder, 1992b, стр. 380. 31 NCES, 1996. 32 UCSMP, 1992.

274

1) 250 + 30

= (200 + 50) + 30

= 200 + (50 + 30)

= 200 + 80 = 280

2) 25 десетки + 3 десетки = 28 десетки

Споредете ги проблемите во секој пар и решете ги!

1) 18 : 2 2) 5 · 6

180 : 2 50 · 6

(Забелешка: : значи подели, а · значи помножи).

Разбирање за броевите и проценувањето Третата област поврзана со чувството за броеви е проценувањето. Разбирањето на броевите низ различни нивоа на активности со броење придонесува кон способноста за користење на тие броеви заради проценување дали индивидуата соодветно се движи во рамките на нумеричкиот систем. Местото на проценување во наставната програма е важно поради две причини. Прво, помага во концептуалното разбирање на бројот; второ, често се користи во секојдневниот живот. Се проценува кога треба да се замине од некаде, колку може да се купи, колку ќе биде доволно за сите, колку луѓе може да се сместат во една просторија, итн. па, во одредени моменти, проценувањето е повеќе соодветно отколку точното пресметување.

Традиционалната забелешка дека секогаш постои еден точен одговор е пречка во разбирањето на улогата на проценувањето. Учениците мора да научат дека проценувањето е соодветна и често употребувана вештина во животот. Потребно е тие да разберат дека тоа е процес, точен самиот по себе, покрај тоа што тој е корисен за проверка дали одговорите се разумни. Во друг случај, тие би имале мала вредност во процесот и ќе продолжат да се сметаат за инфериорни во однос на пресметување на резултатите. Индивидуата, која смета дека проценувањето е валиден начин за добивање на потребните информации, најверојатно ќе го користи проценувањето многу почесто и многу повешто33.

33 Sowder, 1992b, стр. 378.

275

Проценувањето е неограничено. т.е. освен доколку немате задача која од вас бара да изберете помеѓу два премногу различни броја, за проценувањето нема еден точен број. Проценувањето бара брза употреба на споредбените критериуми и мора да биде разумно34. Има три примарни видови на проценување. Тие се поврзани со бројноста, мерењето и пресметувањето.

Бројност. Проценувањето на бројноста е поврзано со прашањата како што се: „Можам ли во раката да сместам 200 парички?“ или „Што мислите, во публиката има 20, 500 илјади или 1 милион луѓе?“ Тука централно прашање е: „Колку?“ Одредени прашања за бројност не може точно да се пресметаат па затоа проценувањето е единствениот разумен начин (на пр.: Колку риби има во езерото?“)

Мерење. Проценувањето при мерењето вклучува оценување на големината или капацитетот без употреба на алатки за мерење35. Тоа бара примена на замислена мерна единица. На пример: „Колку чаши лимонада останаа во бокалот?“

Пресметување напамет (умствено пресметување). При проценување со пресметување се утврдува приближната вредност за пресметувањето каде што целта е да се доближиме што е можно поблиску до резултатот. Кејс36 утврдил дека способноста за истовремено согледување на две сложени компоненти не се појавува кај децата под 11-годишна возраст. Проценувањето истовремено се фокусира на приближување и пресметување напамет, што се две сложени компоненти. Поради тоа, истражувачите заклучија дека проценувањето не треба да се поттикнува кај децата пред тие да се подготвени за него. Се препорачува фокусот во пониските одделенија да биде поврзан со содржините за вредност на број и пресметување напамет. Проценувањето за помалите деца може да се применува на поопшто ниво; на пример, при утврдување дали одговорот ќе биде повеќе или помалку од 100 или 1000 или сличен број што е лесен за споредување.

Очигледно има три главни процеси што се користат за проценување во пресметувањето. Тие се: преформулација, претворање во друга операција и компензација.

34 Resnick, 1989. 35 Bright, 1976, цитиран во Sowder, 1992b. 36 Case, 1985, цитиран во Sowder, 1992a, стр. 17.

276

Преформулација. Ова е „процес на измена на нумеричките податоци заради создавање форма со која е полесно да се совлада со пресметувањето напамет37“, притоа оставајќи ја недопрена структурата на проблемот. Заокружувањето (скратување), разложувањето и повторното составување на броевите и употребата на споредливи броеви се техники на преформулација.

Примери за техниките на преформулација за проценување на износот на 542 + 384 + 495 + 127 се прикажани подолу:

1. Заокружување. Заокружете ги броевите според стандардните правила! Размислувајте!

500 + 400 + 500 + 100 = 1500

2. Проценување од предниот дел од бројот. Употребете ги левите цифри и нивните месни вредности! Ова се нарекува кратење. Значи, 5 + 3 + 4 + 1 = 13 стотки, значи проценуваме 1300.

3. Раздвојување, повторно составување. Разделете ги броевите за целите на полесното пресметување! Во примерот даден подолу, цифрите на стотките се запишуваат со нивната месната вредност, додека десетките и единиците се заокружени. Поради тоа, 500 + 300 + 400 + 100 = 1300 и 40 + 80 + 100 + 30 = 250, значи е повеќе од 1500.

Компатибилните броеви може да се користат заради проценување на множењето/делењето. Компатибилните броеви се броеви блиски до реалните броеви што се совпаѓаат со основните шеми. На пример, проблемот 495 : 64, може да се преформулира како 49 : 7 = 7 или како 48 : 6 = 8, бидејќи 49 лесно се дели со 7, а 48 лесно се дели со 6.

Претворање во друга операција. Понекогаш е полесно да се работи со друга операција, покрај таа што е напишана. Во претворањето, реалната структура на проблемот се менува заради олеснување на работата. На пример, 239 + 187 + 207 може да се замисли како 3 x 200, притоа менувајќи од собирање во множење.

Компензација. Понекогаш е соодветно да се компензира за нешто што се прави при преформулацијата. Компензацијата се поврзува со „приспособувањата направени заради претставување на нумеричката варијација што резултира од транслација или преформулацијата38“. На пример, за проценување на 2478 : 26, може да се размислува на следниот начин: сто и дваесет шестки се 2600. Бидејќи има помалку од 2600, нема да има 100 дваесет и

37 Reys, Rybolt. Bestgen & Wyatt, 1982, стр. 187. 38 Reys et al., 1982, стр. 189.

277

шестки; ќе има помалку, 90 е помалку од 100; добрата проценка би била 90.

Карактеристики на добрите проценувачи Добрите проценувачи можат да користат многу различни методи за проценување39, од кои можеби најкорисен е методот кој при проценувањето ги користи првите цифри на бројот. Слабите проценувачи цврсто се врзуваат за алгоритмите што се посоодветни за наоѓање на точниот одговор. Добрите проценувачи имаат толеранција на грешки. Слабите проценувачи сметаат дека проценувањето е инфериорно на пресметувањето и поради тоа најверојатно прво пресметуваат, а потоа заокружуваат, вршат „проценка“40. Додека слабите проценувачи цврсто се држат до формални правила за заокружување, добрите проценувачи се флексибилни.

На пример, да го разгледаме следниот проблем: 452 + 298 + 153 = __ Добриот проценувач би помислил: 400 + 300 + 200 = 900. Ваквиот проценувач препознава дека 52 и 53 се блиску до 50, така што ќе биде поточно да се остане во близина на 50 со заокружување едно погоре и едно подолу, отколку двата броја да се заокружат според формалното правило. Со ваквата активност се прикажува чувството за броеви. Проценувачот, кој се сврзува со формални правила на заокружување според кои 452 треба да се заокружи со поголем број, би рекол: 500 + 300 + 200 = 1000.

Со возраста, учениците стануваат поефикасни во заокружувањето и помалку флексибилни при совладувањето на правилата за заокружување. Во студијата за заокружување од Доукер41, децата често користат соодветни методи за проценување во проблеми што се малку над нивното ниво, но не и за потешки задачи. Се чини дека премногу тешките задачи ги демотивираат децата.

Разбирање за броевите и развој на терминологијата Развојот на чувството за броеви во училишната ситуација мора да го земе предвид развојот на терминологијата. Замислете учениците да треба да изградат или разберат низа пред да знаат што значи ред. Еве уште еден пример. Колку е 30 поделено со 6? Тоа е многу

39 Sowder, 1992b, стр. 375. 40 Sowder, 1992а, стр. 17. 41 Dowker, 1989, цитиран во Sowder, 1992a, стр. 17.

278

потешко да се визуелизира отколку: „Колку групи од по 6 има во 30?“ или „Доколку 6 лица делат 30 колачиња, по колку колачиња ќе добие секое лице?“

Импликации во наставата Со оглед на тоа што разбирањето за броевите е дел од математиката, важно е фокусот да биде врз поучувачките техники кои помагаат во развојот на чувството за броеви. Бидејќи чувството за броеви е посебно видливо во нумерацијата, пресметувањето напамет (умственото) и проценувањето и одреден број влијанија во тие области се сугерираат подоцна.

Зајакнување на вештините за броење 1. Поттикнете и вежбајте броење, но не само со традиционалните вежби во предучилишна возраст и во првото одделение! Тоа ќе овозможи подобар развој на оваа вештина, која е основа на операцијата собирање.

2. Внесете го вежбањето на броењето во активностите и ситуациите што се разбирливи и со одредено значење!

3. Создавајте можности за пребројување поголем број предмети со цел да им се даде значење на големите броеви!

4. Создавајте можности учениците да се движат од едно место на друго!

5. Поттикнувајте активности со кои учениците ќе го вежбаат броењето на глас, во група или индивидуално.

6. Поттикнете ги учениците да бројат на многу начини, особено со броењето нанапред, наназад, со повеќе броеви, по два броја и со други броеви што започнуваат со непарен број, по 100-ки или 10-ки, со трицифрени броеви, итн.

Разбирање на месна вредност на цифра во број Насочувајте ги учениците да гледаат на месната вредност на цифрата во број како на проширување на идејата за дел-дел-цело: единиците, десетките и стотките да се сметаат за еден од можните начини на разложување и составување на броевите.

1. Оценете го разбирањето на месната вредност на цифра во број од поширока перспектива отколку само со едноставно идентификување на тоа кои цифри се поставени на кое место, притоа покажувајќи ги следните разбирања:

279

• Кој било петцифрен цел број е поголем од кој било четирицифрен цел број.

• Кај бројот 376, цифрата на местото од десетките е 7, така што може да се смета дека бројот има 37 десетки.

• Способноста за запишување на најголем број, најмал и сите можни броеви што може да се запишат со кои било четири цифри.

2. Креирајте различни можности со кои учениците лесно ќе научат да ја одредат месната вредност на цифрата во број, што ќе им овозможи полесно разложување и составување на броевите! Развој на пресметувањето напамет (умствена математика) 1. Поттикнете и прифатете повеќе различни решенија со што ќе ги мотивирате учениците во изнаоѓање различни начини за пресметување напамет!

2. Употребете јавна дискусија за различните решенија за да им помогнете на учениците да ги разберат постапките на решавање што се поинакви од нивните!

3. Одвојте време за развој на способноста за откривање на непознатото од она што на учениците им е добро познато! На пример, учениците може да утврдат дека сумата од 5 + 7 е 12 на два веќе добро познати начини:

а) 5 + 5 = 10; и б) 7 е за 2 повеќе од 5. Поради тоа, 5 + 7 мора да биде за 2 повеќе од 5 + 5 или 12. Објаснете ја употребата на оваа постапка! Фокусирањето на таквите начини на решавање помагаат во откривање на основните релации (врски) помеѓу броевите.

4. Фокусирајте ги кратките вежби на различни начини на решавање, на начин сличен на оваа вежба што е наменета за употреба на методот на компензација.

4 + 10 = 14 4 + 9 19 + 6

14 - 1 = 13 4 + 19 49 + 6

4 + 9 = 13 4 + 29 59 + 6

4 + 20 = 24 4 + 39 18 + 6

24 - 1 = 23 7 + 39 18 + 4

4 + 19 = 23 7 + 19 38 + 47

5. Продложете со разговорот за начинот на размислување при решавање на задачите. На пример, 76-29=? „За мене беше лесно да

280

одземам 76 минус 30, тоа е е 46. Но, кога одземав 30, одземав за едно повеќе; треба да вратам едно (1) назад. 76 минус 29 е 47“.

Поттикнување на употребата на техниките за проценување 1. Научете ги учениците дека проценувањето е соодветна математичка активност!

2. Побарајте од учениците да ги проценат одговорите, како дел од постапката за решавање, за да им помогнете да одлучат дали нивниот можен одговор е разумен, како и да им помогнете да го зајакнат нивното чувство за броеви!

3. Фокусирајте се на помалку сложено проценување42 кај помалите ученици, барајќи од нив да проценуваат, на пример, дали двоцифрениот износ ќе биде помалку или повеќе од 100 (пр., 36 + 47 е помалку од 100, бидејќи секој собирок е помал од 50), дали можат да држат 100 парички во една рака, колку приближно има луѓе во просторијата или колку предмети се во контејнерот.

4. Фокусирајте се на поточни проценувања кај постарите ученици кои ќе треба да проценуваат до одредена десетка (пр., 36 + 47 е блиску до 90, бидејќи 36 е блиску до 40, а 47 е блиску до 50, а 40 + 50 е 90. Но, резултатот е помал од 90, бидејќи двата броја се заокружени)!

5. Фокусирајте се на визуелното проценување, како на пример колку џамлии има во теглата, со цел на учениците да им се овозможи да изградат стратегии за проценување! Фокусирајте ги дискусиите околу тоа како би можело да се дојде до добар одговор спротивно на претпоставувањето преку: 1) пребројување на горниот слој и заклучување колку вкупно слоеви има; 2) земање мал дел од теглата како првична проценка и размислување за тоа уште колку делови со таква големина има во неа; или 3) споредување со познато количество.

6. Помогнете им на учениците да ја развијат идејата за споредбените критериуми преку варијациите во големината на предметите или нивото на исполнетост така што децата ќе може да ја споредуваат големината на различните предмети со оригиналот или пак да споредуваат колку е полна теглата споредена со оригиналот.

42 Sowder, 1992a, стр. 17–18.

281

7. Поттикнете ги учениците да користат проценување заради одлучувањето дали се наоѓаат на вистинскиот пат, дали го решиле проблемот и дали нивниот одговор е разумен!

8. Помогнете им на учениците да ја согледаат вештината за проценување како алатка со повисоко ниво на когнитивно барање која може да им помогне во надгледување на нивната сопствена работа, како и во пронаоѓање на сопствените грешки!

9. Научете ги да употребуваат споредбени критериуми како моќна стратегија при проценување и утврдување на разумноста на одговорот! На пример, доколку учениците знаат дека 2/3 е повеќе од половина, тие ќе знаат дека 2/3 + 2/3 е повеќе од еден.

10. Насочете го предавањето (излагањето) кон фактите што може да служат како споредбени критериуми!

11. Фокусирајте ги првичните искуства со операциите на концептуалното разбирање, кое најлесно се развива доколку се заснова на познатото. Тогаш продолжете кон она што е помалку познато, и кон крајот, кон светот на апстрактните броеви!

12. Поттикнете ги учениците да пронајдат повеќе начини за решавање на проблемите и дискутирајте за нив! Со ова ќе се создаде можност за размислување за тоа како се поврзани различните начини на решавање.

Употреба на јазик, содржини и поими соодветни за возраста Употребувајте јазик со кој ситуацијата станува позната и разбирлива за учениците. На пример, наместо „четири по 8 е еднакво на 32“, речете: „Доколку има 4 групи од по 8 ученици, тогаш вкупно има 32 ученика“.

Оценување на разбирањето за броеви 1. Одвоете време за развој и оценување на следните разбирања што се идентификувани како доказ за чувството за броеви.

а. Месна вредност на цифра во број. Разбирањето на месната вредност на цифра во број е многу повеќе од едноставната идентификација на тоа „која цифра се наоѓа на местото на стотките“. Учениците треба да знаат што им се случува на броевите кои се ставаат на различни места; дека кога 3 како цифра е поставена на местото на десетките во 237, нејзината месна вредност е 30. Како резултат на знаењето дека 3 е цифрата

282

на местото на десетките во бројот 237, тие треба да знаат да објаснат дека има 23 десетки во 237.

б. Разложување и повторно составување на броевите за полесно пресметување.

Оваа активност на учениците им овозможува да најдат соодветен начин на поставување на цифрите при формирање на даден број што влијае на разбирањето дека броевите може да се претстават на повеќе начини.

в. Големина на броевите. Децата треба да ја разберат релативната и апсолутната големина на броевите. Апсолутната големина се однесува на тоа дали можете или не можете да имате 400 парички во раката или дали во една училница може да се соберат 60 ученици. Разбирањето на релативната големина бара разбирање на местото на вредноста. Личноста со чувство за броеви може да објасни, без пресметување, дали подолу наведеното е точно:

1) 400 - 205 < 450 - 250;

2) 24 + 100 + 76 = 24 + 76 + 18 + 82.

г. Препознавање на шеми. Шемите, визуелни, геометриски и нумерички, треба да бидат интегрален дел од учењето математика. Препознавањето на шемите е често клуч за решавање на проблемите. Од учениците може да биде побарано да ги идентификуваат и креираат шемите. (Види единица за обука во Шеми и односи во математиката во Thinking Mathematics Volume 1T: Foundations).

д. Пресметување напамет. Пресметувањето напамет треба да биде интегрален дел од учењето, поготово кога станува збор за поедноставни операции.

ѓ. Споредбени критериуми во проценувањето. Учениците треба да се поттикнуваат да ги користат споредбените критериуми како помошно средство во проценувањето. Споредбените критериуми се добро познати факти што може да помогнат во утврдување на разумноста на одговорите или да дадат соодветни насоки. Во следниот пример, 1 е споредбениот критериум. Доколку ученикот знае дека 5/6 и 7/8 се речиси 1, тоа ќе му помогне да знае дека 5/6 + 7/8 ќе биде малку помалку од 2.

е. Претставување на количествата на различни начини. Учениците можат да ги претставуваат количествата на различни начини, вклучително со нивниот опис од аспект на другите броеви.

283

ЗАСНОВАЈТЕ ГО ВАШЕТО ПОУЧУВАЊЕ НА РЕШАВАЊЕ НА ПРОБЛЕМСКИ ТЕКСТУАЛНИ ЗАДАЧИ И СИТУАЦИИ

Повеќето деца од предучилишна возраст рутински знаат да решаваат различни проблемски ситуации43 од вистинскиот живот, сè додека им е дозволено да бројат. Но, до крајот на третото одделение, голем број ученици ќе ви кажат дека „мразат“ проблеми со зборови. „Постојат значителни докази дека проблемите на учениците при учењето на школската математика, во голема мерка произлегуваат делумно од нивниот неуспех во препознавање и примена на односите меѓу формалните правила што се учат во училиштата и нивните сопствени интуиции“44. Ваквата забелешка треба сериозно да се сфати. Работите кои се очигледни за возрасните, не се секогаш очигледни за децата. Заради тоа, од почетокот на школувањето, учениците треба да се поттикнуваат да користат сопствени математички интуиции и постапки што се соодветни за дадената ситуација. На овој начин ќе се создаде сигурност кај учениците, бидејќи ќе можат да користат свои идеи и постапки, а тоа ќе ги поттикне да бидат поуспешни при решавање на дадена проблемска ситуација. Според општата пракса, учениците решаваат неколку проблеми со пресметување, а потоа ги прескокнуваат „тешките текстуални задачи на крајот на страницата“. Како контраст, учениците треба длабински да ги истражуваат проблемските ситуации, со утврдување на математичките односи специфични на проблемот. Потребно е да умеат симболички да ги запишат (да формираат броен израз или равенка), во зависност од барањата во задачата, а потоа со употреба на вештините за пресметување да дојдат до решението. Ваквите решенија може да се изразат на различен начин.

Со заедничка дискусија, со која се споредуваат различните решенија, на учениците ќе им се овозможи да ја анализираат сопствената работа, и да применуват уште поефективни начини на решавање.

43 Проблемските ситуации се вербални претставувања на ситуациите во кои прашањата што се поставуваат може да се одговорат преку одлучување за стратегијата на пресметување, од еден или повеќе чекори, а потоа со нејзино спроведување. Тие се разликуваат од „решавањето проблеми“ за кои обично е потребен посложен процес на решавање. 44 Resnick, 1987, стр. 13.

284

Во руските математички учебници45 текстуалните проблеми се воведени во првото одделение. Исто така, во Јапонија е пракса да се иницира проучување на математичкиот концепт преку поставување проблем кој учениците треба да го решат. Во основното училиште „предавањата речиси секогаш започнуваат со практичен проблем или со текстуален проблем напишан на таблата46“, почнувајќи со нешто што им е познато на учениците, проблемска ситуација од секојдневниот живот.

Тежина на проблемите Со истражувањето се индицираат одреден број променливи кои се важни од аспект на тежината на проблемот47. Тука е вклучено поставувањето на прашањето, познавањето на јазикот и ситуацијата за оној што го решава проблемот; дали станува збор за збир или собирок што недостасува; и дали има конфликт со јазичните термини во проблемот. Во текстуалните проблеми, што се дел од повеќето американски учебници, е занемарен широкиот опсег на конфигурации на овие променливи. Текстовите се поставени врз најлесните видови проблеми (пр. броевите се присутни во редоследот по кој треба да се користат) и прашањето е секогаш на крајот од проблемот. Освен тоа, и руските и јапонските текстови содржат многу повеќе зборови отколку американските текстови. Воведот во преведените руски дела ја цитира работата на Џејмс Стиглер и Карен Фусон при споредувањето на стандардните руски и американски програми по математика за основно образование.

„Тие утврдија дека американските учебници обично содржат само 18 видови проблеми наспроти триесетиосумте во руските текстови; додека 95% од американските проблеми бараат креирање на само една операција за да се дојде до решението, 44% од руските проблеми бараат креирање на две или повеќе операции за да се дојде до решението48“. Учениците во Русија и Јапонија беа значително подобри од американските ученици на ТИМСС-тестовите реализирани со осмоодделенци. Учениците кои имаат искуства со поширок опсег на проблеми имаат поголеми можности за развој на нивните клучни вештини за размислување и користење на сопствената интуиција за изнаоѓање повеќе начини на решавање на даден проблем.

45 University of Chicago School Mathematics Project, 1992. 46 Stevenson и Stigler, 1992. 47 Carpenter & Moser, 1983; Carpenter, Hiebert, & Moser, 1981; Fuson, 1992; Riley, Greeno & Heller, 1983. 48 Usiski, 1992, стр. ix.

285

Импликации во наставата Дел од импликациите во наставата и поучувачките активности што го рефлектираат истражувањето на употребата на ситуацискиот контекст се: Истражување на повеќезначноста Поставете пред учениците проблемски ситуации во кои има примена на повеќе основни аритметички операции (собирање, одземање, множење и делење).

На пример, бројниот израз, симболички запишан со 5 - 3 може да се користи (иако најверојатно не во исто време), во дискусијата на решението на дадена текстуална задача:

• Вилијам имаше 5 безбол картички, а Тања немаше ниту една. Тој ѐ даде 3 безбол картички на Тања. Колку безбол картички му останаа на Вилијам? Одделување од или одземање. • Вилијам имаше 5 безбол картички, а Тања немаше ниту една. Тој ѐ даде неколку безбол картички на Тања. Тој сега има 3 безбол картички. Колку безбол картички Вилијам ѐ дал на Тања? Одделување до. • Вилијам има 5 безбол картички; Тања има 3. Колку повеќе безбол картички има Вилијам од Тања? Споредување. • Вилијам има 5 безбол картички; Тања има 3. Колку безбол картички ѐ се потребни на Тања за да има исто колку и Вилијам? Изедначување. Избирање и структуирање проблеми 1. Ситуациските приказни и текстуалните задачи треба да бидат во согласност со целите на наставната програма. 2. Структуирање на инструкциите за детално анализирање на неколку проблеми е подобра постапка отколку да се прелиста голем број проблеми само за да се дојде до вистинскиот одговор. 3. Градење проблеми околу искуството на учениците со употреба на практични апликации. Но, проширете го опсегот на проблемите, постепено ослободувајќи се од зависноста од секојдневните искуства и со вклучување на похипотетичките ситуации. 4. Користете проблемски ситуации при изучување на нови поими! 5. Овозможете им на учениците да користат манипулативи при решавањето на задачите! 6. Побарајте од учениците да го објаснат проблемот со сопствени зборови и да ја опишат постапката со која дошле до решението!

286

7. Менувајте ја позицијата на прашањето во текстуалните проблеми! На пример: • Колку кикиритки имаат Џош и Џени заедно ако Џош има 6 кикиритки, а Џени има 5 кикиритки? (На почетокот на проблемот). • Џош има 6 кикиритки, а Џени има 5 кикирики. Колку кикирики имаат заедно? (На крајот од проблемот). • Џош има 6 кикирики. Колку кикирики имаат Џош и Џени заедно ако Џени има 5 кикирики? (Во средина на проблемот).

Вклучување на проблеми од стандардизирани тестови Зададете им на учениците проблеми што ги има во тековните стандардизирани тестови (често вештачки ситуации) така што ќе се чувствуваат задоволно со таквите проблеми.

Поттикнување на создавање проблеми од учениците 1. Поттикнувајте ги учениците самите да креираат проблеми заради нивно мотивирање и заради оценување на разбирањето.

2. Вклучете ги следните инструкциски стратегии за целите на креирање проблеми од страната на учениците:

• Дадете им на учениците основен факт и побарајте од нив да создадат проблеми со употреба на таквиот факт!

• Дадете им на учениците приказна без прашање и побарајте од нив да го постават прашањето!

• Дадете им на учениците броеви или броен израз и побарајте од нив да создадат проблемска ситуација!

• Дадете им на учениците равенка и побарајте од нив да направат приказна!

• Дадете им на учениците два броја и побарајте од нив да измислат мноштво приказни што би воделе кон различни постапки на решавање или користење на различни операции!

• Побарајте од учениците да направат дополнителни прашања за проблемите во текстот!

• Прикажете графикон и побарајте учениците да постават прашање!

• Предложете тема по географија, природни науки, историја или литература, и побарајте од учениците да креираат проблемска ситуација!

287

КОРИСТЕТЕ МАНИПУЛАТИВНИ СРЕДСТВА И ДРУГИ ВИДОВИ НА ПРЕТСТАВУВАЊЕ НА ПРОБЛЕМСКИ СИТУАЦИИ, ПОТОА ПОВРЗЕТЕ ГО КОНКРЕТНОТО СО СИМБОЛИЧКОТО ПРЕТСТАВУВАЊЕ Учењето може да се смета за конструирано во етапи. Успешното учење настанува кога: 1) интуитивното знаење се пресликува во формалниот систем; 2) практичните ситуации и/или ситуациите од вистинскиот живот се креираат за целите на математичката примена; и 3) „моделите“ на броевите се цврсто поврзани со операцијата. Ваквите „модели“ ја преземаат формата на помошни материјали, како што се коцките „Динс“ (Dienes), кои се одлична претстава за адитивната структура. Со употребата на ваквите помошни материјали, наставникот може да зборува за вистинската математика на обичен јазик. Дури и на основно ниво, математиката може да биде високо апстрактна. Ова особено важи доколку математиката се претставува само на лист и хартија. Преку употребата на броење, помошни материјали и проблемски ситуации, учениците може да ги направат поврзувањата меѓу светот во кој живеат и апстрактните претставувања со кои се среќаваат во училиштата.

Поврзување на конкретното и симболичното Манипулативите може да се користат за конкретно претставување на проблемот. Со истражувањето се покажа дека кога за оваа цел се користат помошните материјали (манипулати-ви), тие мора да се поврзат со симболично претставување во секој чекор49. Учениците не можат да поминат низ целиот проблем со употреба на помошни материјали, а потоа да поминат низ целиот проблем само со броевите и да ја утврдат поврзаноста меѓу нив.

Манипулативите, исто така, на учениците им овозможуваат да го искусат повеќемодалниот пристап кон учењето. Тука индиректно се препознава дека учениците имаат различни начини на учење: со допирање, со гледање, со зборување, со слушање и преку пишување (опипливо, визуелно, вербално, аудиторно, кинестетичко). Учениците ги слушаат стратегиите и мислењето за кое се дискутира со другите ученици и наставникот. Тие ја визуелизираат текстуалната ситуација и нејзиното нумеричко претставување преку конкретно искуство со помошните материјали што ги допираат. Учениците треба да имаат

49 Fuson, 1992; Resnick & Omanson, 1987.

288

можност за учење на своето концептуално ниво. На пример, кога станува збор за вредност на местото, на учениците можеби ќе им бидат потребни блоковите за период од неколку недели или месеци со цел утврдување на врските помеѓу блоковите и пишаните симболи. Откако учениците ќе ја надминат потребата од користење на помошни материјали за секој проблем, визуелните претставувања и периодичното навраќање на конкретни претставувања продолжува да биде важно за целите на концептуалното разбирање50. Со имањето цврста основа, која започнува со претходното знаење на учениците и со начинот на визуелизирање на математичките идеи, учениците би требало да можат да преминат кон размислување за апстрактни броеви и нивна употреба.

Важно е да се запомни дека математиката не се содржи во по-мошните материјали51; „практичноста“ автоматски не внесува никаква математика. Помошните материјали се само алатки што се користат како средство за развој на разбирањето. Мора да има експлицитни и симултани врски со кои учениците ќе ја согледаат врската помеѓу математичкиот концепт и пишаните симболи.

Импликации во наставата Изградба на конкретни претставувања

1. Побарајте од учениците да ги користат соодветните манипулативи за изградба на конкретни претставувања на новопретставените видови математички ситуации!

2. Употребувајте ги манипулативите сè додека им се потребни на учениците за нивната математика! Откако тие ќе поминат од конкретните претставувања кон разбирање на апстрактноста, вербалните објаснувања би биле доволни за премостување на празнината.

3. Употребувајте ги манипулативите надвор од воведната фаза на новиот концепт заради вистинско вградување на врската од броевите до операцијата! Подлабокото разбирање на концептот се постигнува преку континуираната употреба на помошните материјали во тек на подолг временски период додека се изучува операцијата.

4. Употребувајте ги манипулативите повремено, дури и во оние одделенија во кои на учениците обично повеќе не им се потребни

50 Fuson, 1992. Учениците треба да се навраќаат на помошните материјали заради задржување на концептуалното разбирање. Инаку, разбирањето ќе стане само процедурално. 51 Ball, 1992.

289

заради зајакнување на симболично-конкретните врски и зајакнување на задржувањето на основните концепти!

Поврзување на манипулативите и пишаните симболи 1. На почетокот запишете ги, со употреба на математички симболи, решенијата кои учениците ги претставуваат со нивните манипулативи!

2. Ваквото запишување нека биде во чекори, според направени активности со манипулативите. Вака учениците ќе научат самите да го запишат решението со математички симболи.

3. Поттикнете повеќе вежбање со претставување на количества и проблеми за разбирање на значењето на повеќецифрените броеви!

4. Употребете сликовити претстави како привремена стратегија!

Откако напишаните бројни изрази или равенки ќе имаат смисла, овозможете им на учениците да ги решат и да го соопштат одговорот! Користење на разновидни манипулативи 1. Даjете им на учениците различни видови манипулативи за секој поим кој се изучува, така што ќе можат да го пренесат нивното знаење на многу модели, а не само да ја поврзат едната операција со само еден модел.

2. Употребете повеќе од еден вид манипулативи, бидејќи секој вид има јаки и слаби страни!

3. Имајте предвид дека иако одредени манипулативи, како што се „Динс“ коцките, имаат предност од аспект на вградувањето на големината (од помалите се формира поголема), но, тие, исто така, имаат недостаток поради тоа што мора да се заменат кога и да е потребно прегрупирање.

4. Исто така, имајте предвид дека манипулативите, како што се стапчињата, кои лесно се кршат, немаат вградување на големината заради прикажување на пропорционалните односи помеѓу броевите. Разликите во големината се креираат со соединување.

5. Земете го предвид фактот дека манипулативите со способност за вградување големина, како што се „Динс“ коцките, стапчињата „Cuisenaire“ и „Algebricks“, се релативно скапи, додека цевките и стапчињата се евтини.

290

6. Бидете свесни за начинот на кој учениците гледаат на помошните материјали што ги користат. Имајте предвид дека помладите ученици може да бидат збунети од она што се бара од нив, особено кога им се дадени помошни материјали кои наставникот сака да ги пребројат52. На пример, доколку од ученикот се побара да преброи низа од бротчиња во повеќе бои, тој може да помисли дека наставникот од него бара да ги преброи само бротчињата што се во една боја. Можеби е подобро во ваков случај да се користат сите сини бротчиња.

7. Наставниците треба да прават варијации со помошните материјали што секојдневно се користат кога се работи на основни факти, на пример со избирање на: џамлии, макарони, боички, бонбончиња, цевки итн.

52 Leinhardt, лична комуникација, 1990.

ВАЖНО Е ДА СЕ ЗАПОМНИ ДЕКА ВО МАТЕМАТИКАТА НЕ Е СÈ ВО МАНИПУЛАТИВИТЕ! „ПРАКТИЧНОСТА“ АВТОМАТСКИ НЕ ВНЕСУВА КАКВА БИЛО МАТЕМАТИКА. МАНИПУЛАТИВИТЕ СЕ САМО АЛАТКИ КОИ ПОМАГААТ ВО РАЗВОЈОТ НА РАЗБИРАЊЕТО. МОРА ДА ИМА ЕКСПЛИЦИТНИ ПОВРЗУВАЊА.

291

БАРАЈТЕ ОД УЧЕНИЦИТЕ ДА ГО ОБЈАСНАТ И ДА ГО ОПРАВДААТ СВОЕТО МАТЕМАТИЧКО РАЗМИСЛУВАЊЕ Математичките инструкции во историски рамки ставаа акцент врз пресметувањето и запишувањето на одговори. Важен е само резултатот. Мал акцент е ставен врз способноста на учениците да ги опишат и оправдаат нивните стратегии за решавање проблеми. Меѓутоа, можно е учениците случајно да дојдат до точните одговори, а сепак да не го разберат проблемот. На пример, Бал53 истакнува дека ученикот може да дојде до одговор 6 за прашањето: „Колку е две третини од девет?“ со „размислување“ дека две третини значи две групи од по три, што е шест. Заради тоа наставниците треба да имаат увид во размислувањето на учениците. Вербалните објаснувања треба да бидат клучен и конструктивен дел од учењето за сите ученици.

Придобивки од артикулацијата на размислувањето Покрај зголемувањето на способноста на наставникот да го оцени вистинското знаење на учениците додека го опишуваат своето мислење, тие ја зајакнуваат меморијата, развиваат верба во сопствените идеи и придонесуваат кон математичката култура богата со дискусија и инвентивност. Со проучување на пет одделенија54, двете одделенија со најголеми придобивки им овозможија на учениците да ги изразат своите идеи и активности на вербален начин. „Истражувачите заклучиле дека формулирањето мисли во зборови и нивното изразување помага во појаснување на мислењето на една индивидуа и го поддржува решавањето на проблеми55, тогаш со зголемување на можностите на учениците во одделенијата Д и Ф за вклучување во ваков вид когнитивна активност може да се помогне во објаснување на разликите во учењето“. Со други зборови, когнитивното и социјалното дејствие за изразување на мислите на една индивидуа (објаснување, опишување, прашување, итн.) може да биде клучно во разбирањето на начинот на поврзување на дискурсот на одделението со учењето56.

53 Ball, 1991. 54 Hiebert & Wearne, 1993. 55 Chi & Van Lehn, 1991; Hatano, 1988; Martin & Pressley, 1991. 56 Hiebert & Wearne (1993) забележаа дека оваа анализа „не се согласува со дел од заклучоците што произлегуваат од претходните трудови. Се вели дека најефективните наставници користат брзо темпо

292

Барањето учениците да го опишат своето мислење им помага во појаснување на мислите, комуникацијата на нивното знаење од математиката и поврзување на решавањето проблеми со секојдневниот живот. Во процесот тие научуваат да воопштуваат од основни поими кон нивна примена во задачи со повисоко ниво на когнитивни барања. Дополнителна придобивка е слушањето на објаснувањата на останатите соученици. Мислењето на останатите учениците, дадено на јазикот на учениците, често може да го појасни она што не може да се објасни од страната на наставникот. Таквите интеракции им даваат на „учениците можност да се слушаат едни со други и да ги сфатат новите поими57“. Разговорот што резултира во ваквите придобивки е оној разговор кој поттикнува размислување од повисоко ниво кај ученикот и со кој наставникот и другите ученици помагаат во појаснувањето, прочистувањето и зајакнувањето на идеите преку нивните прашања и реакции. Меѓутоа, дури и при несогласувањата, атмосферата мора секогаш да биде безбедна и без „потсмев“.

Општествено поставување на учењето Многу информации се познати за влијанието на општественото поставување врз учењето. На пример Веб58 во проучувањето на интеракцијата на помали групи откри дека колку е поголема интеракцијата меѓу учениците толку е повисоко нивото на постигнувања кај нив. Барањето учениците да зборуваат за своите решенија прави нивното мислење да биде видливо. Добрите наставници ги почитуваат размислувањата на децата и веруваат дека тие се способни да мислат за големи идеи59. При напорите да се слушне она што децата го зборуваат, наставниците помагаат во креирање на атмосфера во која математичките идеи и постапки може да се развијат од начинот на кој учениците размислуваат;

и повеќе повторуваат отколку што објаснуваат прашања“. Brophy и Good (1986) помагаат во објаснувањето на несогласувањето преку заклучување, откако ќе ги забележат карактеристиките на наставникот што се погоре наведени, дека „генерализацијата на ваквите податоци е најверојатно ограничена на одделенијата во кои традиционално се предава“ (стр. 306). „Со други зборови, тие може да се поврзани со повисоки достигнувања доколку се споредат со други одделенија каде се користи сличен...инструкциски пристап. Меѓутоа, ние...сугерираме дека различните инструкциски карактеристики се поврзуваат со високи достигнувања кога се разгледуваат алтернативните инструкциски пристапи“ (стр. 422). 57 Yackel et al., 1990. „Важноста на социјалната интеракција во конструкцијата на математичкото знаење кај децата“. Во Teaching and Learning Mathematics in the 1990s. Во годишникот на Националниот совет на наставниците по математика, рецензција од Thomas J. Cooney, 12-21, Reston, Va. 58 Webb, 1982. 59 Ball, 1993.

293

може да се провери, истражи, прифати доколку е точно од наставникот и другите ученици. Ваквиот вид на атмосфера се создава кога се поттикнува дебатата, се пофалуваат промените во размислувањето, и учениците разбираат дека такво размислување е важно за добивање на одговорот.

„Разбирањето најверојатно настанува кога од ученикот се бара да го објасни, елаборира или одбрани својот став пред другите...60“. Клучна последица од вербалното објаснување е пишаната претстава со математички термини на она што ученикот го кажал. На почетокот, додека учениците ги објаснуваат нивните решенија, наставникот го запишува нивното математичко размислување со користење на математички симболи и ги запишува за групата. Подоцна, учениците ќе се оспособат сами да го запишуваат нивното размислување. Математиката не е веќе само запишување на одговорите; таа е нешто за што се зборува и се размислува. Сега учениците функционираат во заедницата на математичкото истражување во кое сите активно учествуваат.

Импликации во наставата

Поттикнување на вербализацијата за математичко мислење 1. Поттикнете ги учениците да размислуваат, артикулираат и да ги оправдаат нивните решенија за проблемите!

2. Дајте им јасни насоки кои ќе им бидат водич при нивното истражување за решавање на даден проблем!

3. Барајте учениците да го оправдаат нивниот избор на метод и нивниот конечен одговор! Ваквиот процес им помага да ја разберат и оценат нивната сопствена работа. Учениците кои сами се оценуваат, можат сами да се коригираат.

4. Изберете неколку решенија што треба да се дискутираат и анализираат од групата решенија кои се можеби истражени (и запишани).

5. Побарајте од учениците да направат споредби, генерализации и анализи на размислувањата на другите ученици што довеле до разбирање на целите на наставната содржина.

60 Rosenshine и Meister, 1992.

294

Резимирање на елементите од лекцијата 1. Учениците и наставникот нека ги резимираат елементите од лекцијата или нека ги истакнат за да се меморираат подобро!

2. Охрабрете ги учениците за сите нивни обиди (дури и доколку се неточни) за решавање на проблемот и придонесете кон средината за учење, дури и доколку решенијата се неточни! Учениците треба да научат дека е потребен напор за нешто да се постигне и дека решавањето на проблемот бара време. Но немојте да ја изедначувате самата истрајност со математичкото знаење кое на крајот води кон точни резултати!

Употреба на техниката на толкување 1. Потрудете се сите ученици да имаат можност да ги разменат своите мислења со одделението или групата!

2. Прашајте друг ученик (ученикот Б), по можност оној со кој работел ученикот А, да го објасни размислувањето на ученикот А кога тој не може вербално да го изнесе одговорот. Наставникот потоа треба да провери со ученикот А дали неговото размислување е точно разбрано. Доколку е потребно, процесот може да се повтори61. Предностите од употребата на ваквата техника на „толкување“ е дека ученикот А има контрола врз неговото размислување и се чувствува моќен да го презентира објаснувањето дури и доколку неговите вербални вештини се слаби.

61 Leinhardt, лична комуникација, 1990.

295

ПРИФАЌАЈТЕ И ПОТТИКНУВАЈТЕ РАЗЛИЧНИ НАЧИНИ НА РЕШАВАЊЕ КОИ ВОДАТ ДО ТОЧНИ РЕШЕНИЈА

Повеќето американски ученици мислат дека има само една постапка за извршување на секој вид пресметување. На пример, во Мексико учениците учат постапки (алгоритми) за одземање и делење кои значително се разликуваат од оние што се користат во САД. Во следниот пример е прикажано одземање на 167 од 333 со употреба на два ефективни алгоритми:

САД Мексико Други 23 23 13 3 13 13 3 13 13

-1 6 7 - 21 76 7 - 11 61 7

1 6 6 1 6 6 1 6 6

Во Мексико, кога е потребно да се направи замена во колоната со единиците, учениците додаваат 10 единици на намаленикот или горниот број во колоната на единиците и една 10 на долниот број или намалителот во колоната со десетките. Слично, доколку е потребна замена во колоната со десетките, тие додаваат 10 десетки на намаленикот во колоната со десетки и една 100 на намалителот во колоната со стотки. Главно, тие го додаваат истиот износ на двете количества, а потоа одземаат. Уште еден начин да се направи истото е 7+6 е 13; додадете 10 на 6; повторно 70 + 60 е 130; дадете стотка на првата стотка. 2 стотки + 1 стотка е 300.

Во САД, кога е потребно да се направи слична замена во колоната со единиците, учениците го зголемуваат намаленикот во колоната со единици и го намалуваат намалителот во колоната со десетки за една 10. Главно, тие го раздвојуваат намаленикот и размислуваат за количеството на поинаков начин. Наместо 300 + 30 + 3, тие мислат на бројот како на 300 + 20 + 13.

Постапките за решавање се различни, иако резултатот е ист. И покрај тоа што американските и мексиканските алгоритми се оние што формално се изучуваат во училиштата, со истражувањето се покажа дека логички и математички точните постапки може исто така да бидат дизајнирани од учениците62.

62 Lampert, 1986; Resnick, 1986.

296

Ваквите самокреирани постапки ги разбираат само учениците кои ги креирале.

Учениците од трето одделение го решаваа следниот проблем. Решението на проблемот прикажува како учениците може да користат различни начини на размислување за точно решавање на проблемот.

Во едно училиште на 21 декември за појадок на учениците им биле донесени 343 крофни и 198 сендвичи. Колку повеќе крофни од сендвичи биле донесени во училишето?

Рене одземаше

343 – 198 = ____

300 – 100 = 200

40 – 90 = –50

3 – 8 = –5

200 – 50 – 5 = 145

Кристи собирање

198 + ___ = 343

198 + 100 = 298

298 + 2 = 300

300 + 43 = 343

100 + 2 = 102

102 + 43 = 145

Џорџ користеше полесен начин

343 – 198 = ___

343 – 200 = 143

143 + 2 = 145

(Забелешка: Традиционалните наставници би кажале дека „точниот“ начин за да се дојде до одговорот е да се одзема).

Различни размислувања (идеи) од различни ученици Сите ученици не размислуваат на ист начин и најверојатно немаат еднакво ниво на разбирање при решавање на нова проблемска ситуација. При прифаќањето и поттикнувањето дискусии за различни решенија, наставниците им овозможуваат на сите ученици да бидат успешни при разгледување на нивните решенија како и решенијата на другите, а тоа може да им помогне во учење

297

на нови начини (постапки) на решавање кои самите не можат да ги креираат63. Во следниот проблем е прикажана таква можност за различни решенија: „Сју има 13 камиони. Три од нив се црвени, другите се сини. Колку сини камиони има Сју?“

Проблемот може да се реши на најмалку три начини:

1. Одземање: 13 – 3 = ____

2. Собирање: 3 + __ = 13

3. Одделување во две дела, а потоа со броење64:

13 = 3 + ____

Преку разгледување на начинот на кој ученикот ги користи манипулативите и преку слушање на објаснувањето на ученикот за начинот (постапката) на решавање, наставникот може да ја идентификува и да ја запише математички, т.е. да состави соодветено бројно равенство или соодветна равенка (пр., 13 – 3 = 10, 13 = 3 + 10, или 3 + 10 = 13).

Учениците можат да ја решат задачата со користење на манипулативи, со пребројување, притоа учејќи ги основните факти.

Другите ученици, кои добро ги знаат основните факти, можат истовремено да научат да ја одредат месната вредност на цифра во број и да ги користат својствата на операциите.

Притоа сите ученици се активно вклучени во процесот на учење. За наставниците е важно да прифатат и поттикнат повеќе од еден можен начин за решавање на проблемот сè додека одговорот е точен. Дури и на примарно ниво, математиката треба да има отворени прашања и дискусии65.

Доколку се избегнуваат стереотипните „текстуални“ проблеми, речиси секогаш постои повеќе од еден точен начин за решавање на даден проблем.

На пример: Вилијам има 5 безбол картички; Тања има 3. Колку повеќе безбол картички има Вилијам од Тања?

(Проблем на споредување.) Сите толкувања наведени подолу се точни.

63 Lampert (1986) и Vygotsky (1978) наведено во Lampert, 1992, во Leinhardt, Putnam и Hattrup (Eds.); Lenihardt, 1987; Resnick, Bill & Lesgold (1991). 64 Стратегијата може да биде со броење надолу, броење од или броење на сите. За ваквите стратегии детално се дискутира во делот за собирање и одземање. 65 Resnick, Bill & Lesgold (1991).

298

1. Еден ученик може да размислува дека доколку се спојат безбол картичките на Вилијам и Тања, две безбол картички ќе бидат без „партнер“. (5 – 3 = ___).

2. Друг ученик може да се запраша уште колку безбол картички ѐ се потребни на Тања за да има исто колку Вилијам (3 + ___ = 5).

3. Трет ученик може да се запраша уште колку безбол картички би требало Вилијам да ѐ даде на Тања за да имаат ист број картички (5 – ____ = 3).

Изнаоѓање на повеќе начини за решавање на една проблемска ситуација е вообичаено за учениците кај кои е поттикнато математичкото размислување со поставување на задачи со повисоко ниво на когнитивни барања.

Резултатите на учениците, кои работат на ваков начин, се значително поголеми од оние на нашите ученици. Тука се вклучени учениците од Јапонија66, Унгарија67, Сингапур68 и Руската Федерација69.

Проблеми со повеќе од еден одговор Наставниците треба, исто така, да имаат предвид дека одредени проблеми имаат повеќе од еден точен одговор.

Пример за тоа е следниот проблем:

Г. Вајт купил топки за одбојка и кошарка за училиштето Вудлоун Хилс. Топките за одбојка чинеле 2$, а топките за кошарка 3$. Колку топките за кошарка и колку за одбојка можел да купи г. Вајт, ако потрошил 13$?

Можни се две решенија:

1. Тој купил пет топки за одбојка од по 2$ и една за кошарка од 3$.(5х2$ +1х3 $= 13$).

2. Купил две топки за одбојка од по 2$ и три за кошарка од по 3$. (2х2$ + 3х3$ =13$).

Втор пример за проблем со повеќе од еден точен одговор е следниот:

Олга поделилa 10 колачиња помеѓу неа и нејзините пријатели, Кејша и Хан. Колку колачиња добил секој од нив?

66 NCES, 1996. 67 Министерство за култура и образование на Унгарија, 1996. 68 Институт за развој на наставна програма на Сингапур, 1994. 69 Превод на UCSMP, 1992.

299

Учениците може да понудат неколку точни одговори. Нивното објаснување за тоа зошто се определуваат за едно решение и разликите меѓу дадените одговори е исто толку важно колку и способноста на учениците да дојдат до точниот одговор.

Има многу проблеми со повеќе од еден точен одговор. На пример:

• Кој број е помал од 5?

(1, 2, 3, 4 или 1.5...).

• Која е формулата за определување на периметарот на правоаголник?

[L = a + b + a + b; L = 2a + 2b; или L = 2(a + b)].

• Кои три од дадените точки не припаѓаат на графикот на функцијата или: Определи три од дадените подредени парови кои се решенија на равенката x + y = 4? [ (1,3), (2,2), (3,1), (2.5, 1.5), (3.5, 0.5)...].

Преку поттикнувањето да бараат повеќе начини за решавање на проблемите и преку поставување проблеми за кои постојат повеќе точни одговори, учениците гледаат на математиката како на дисциплина во која поставените задачи и проблемски ситуации немаат само еден точен одговор.

Импликации во наставата Запишување на стратегиите за решавање 1. Запишете ги различните начини/постапки предложени од учениците за поттикнување на инвентивно решавање на проблемите! Со примена на таквиот пристап, наставниците помагаат во постепеното развивање на способноста на учениците за запишување на сопствените инвентивни решенија.

2. Практикувајте учениците да ги запишуваат сопствените решенија на таблата или усно да ги соопштат и практикувајте решенијата да се дискутираат со другите ученици!

3. Практикувајте запишување на математичкото размислување и во погорните одделенија како премин кон техниката на бележење!

4. Учениците нека ги запишуваат идеите/постапките за решавање на дадена задача од другите ученици; тоа ќе ги поттикне на математичко размислување и изнаоѓање на различни начини за решавање проблеми.

300

Избор на проблеми 1. Проблемските ситуации/текстуалните задачи секогаш треба да бидат во согласност со наставната програма.

2. Избирајте проблеми што имаат повеќекратно решение! Понекогаш побарајте од учениците да ги решаваат проблемите на повеќе од еден начин.

3. Посветете поголемо внимание на процесите за решавање проблеми преку поставување проблеми со повеќе точни одговори за време на наставата.

Поставување прашања за повторување 1. Поставете прашање за повторување наменети за сите ученици во паралелката или за помали групи ученици за да проверите дали се постигнати поставените цели!

Разгледување на алгоритмите од другите култури 1. Понудете им на учениците повеќе алгоритми за пресметување од други култури!

2. Побарајте од учениците да ги анализираат понудените алгоритми и да ги утврдат сличностите и разликите со методите што тие ги користат (се сметаат за стандардни алгоритми во САД).

301

БАЛАНСИРАЈТЕ ГО КОНЦЕПТУАЛНОТО И ПРОЦЕДУРАЛНОТО УЧЕЊЕ Повеќето наставници имаат ученици кои очигледно ги усовршиле сите алгоритми што ги учеле во текот на школската година, но тие ученици, на финалните тестови, забораваат таквите алгоритми да ги применат. Иако може да станува збор за повеќе фактори, сепак причината за оваа појава е дека учениците најверојатно ја усовршиле постапката, но не ги разбрале основните поими. Како резултат на ова, тие се збунети кога им се поставува тест-ситуација во која треба да одлучат која постапка да ја применат.

Портер70 го разгледува прашањето за различниот акцент врз вештините за пресметување споредено со акцентот поставен врз концептуалното разбирање и примена. Тој неговата дискусија ја започнува со цитат од 1929 од филозофот и математичарот Алфред Норт Вајтхед: „Главните идеи што се воведуваат во образованието на децата треба да бидат малкубројни, но важни, и да бидат претставени во колку што е можно повеќе комбинации. Ученикот треба да ги усвои и да ја разбере нивната примена71“. Советот на Вајтхед е соодветен и за денешно време.

Што е прво? Многу наставници веруваат дека можат прво да ги научат учениците на оперативните постапки, а потоа да ги развијат концептите поврзани со таквите постапки. Ова мислење е често поттикнато од утврдената потреба „учениците да се подготват“ за стандардизираните тестови и основната ефикасност. Валидноста на ваквото мислење е оспорена со резултатите од студијата спроведена кај децата од бразилските училишта72.

Шлиман проучувал група од 11-годишни ученици и уште една група од 13-годишни ученици во истражувањето на концептуалното и процедуралното знаење. Двете групи имале идентични серии активности за изградба на разбирањето на алгебарскиот концепт. Се користела вагата од бразилскиот уличен пазар. Целта била да се разбере дека доколку на двете страни од вагата има еднакви количества, и доколку се одземе подеднакво количество од двете страни, количествата остануваат исти. 13-годишните ученици го имале научено

70 Porter, 1989. 71 Porter, 1989, стр. 9. 72 Schliemann & Magalhaes, 1990b.

302

алгебарското правило во училиште. 11-годишните не го знаеле. По завршување на активноста со вагите, на двете групи им биле дадени пишани равенки за решавање. Двете групи подеднакво ги решиле. Меѓутоа, кога од нив било побарано да дадат објаснување за постапката за решавање, поголем дел од 11-годишните деца дале успешно објаснување, додека 13-годишните ученици само го споменале фактот дека ова е правило за кое учеле на училиште.

Со овој доказ цврсто се сугерира дека учењето прво на правилата и постапките е пречка во развојот на концептуалното разбирање. Откако лицето ќе ја научи постапката за извршување на одредена операција, помала е иницијативата за да го разбере начинот.

Сè уште постои полемика дали концептуалното разбирање треба да претходи на процедуралното учење или процедуралното учење треба да претходи на концептуалното разбирање. Ламперт73 развива концептуално разбирање и познавање на постапките преку ангажирање на учениците во активности со кои детално се истражуваат концептите на множење и делење пред да се направи обид за дефинирање на правилото за пресметување. Зу и Симон74 користеле инструкциски техники на утврдени примери заради развој на знаење за постапките за решавање триноми при развивање на концептуалното разбирање. Во програмата на Универзитетот на Хјустон – Викторија75, децата од предучилишна возраст учеле постапка за собирање и одземање на големи броеви. Дополнителните активности со манипулативи помогнале во развивање на нивното концептуално разбирање на месната вредност на цифра во број, еднаквоста и разликата помеѓу броевите. Сите три пристапи, иако со различна форма, во нивниот инструкциски дизајн вклучуваат концептуално разбирање и процедурално учење.

Точност, флексибилност, брзина и способност Усовршувањето на вештините (вклучувајќи точност во пресметување, флексибилност на постапките, брзина и способност за артикулирање на објаснувањата) се развива со текот на времето додека учениците решаваат посложени проблеми на таа структура. Учењето на апстрактни вештини може да го зајакне постигнувањето на учениците76; може дури и да го успори и да ги исклучи од процесот на учење оние ученици кои побавно ги усовршуваат вештините. Од друга страна, кога

73 Lampert, 1986 и 1992. 74 Zhu и Simon, 1987. 75 Види: Нилсен, 1990, за краток опис на програмата Математички можности, вредни искуства – иновативно учење (Shoecraft’s MOVE IT!). 76 Silver, 1986.

303

концептуалното учење се смета за исто толку важно, учениците со бавност во пресметувањето, сепак може да имаат придонес во сопственото учење и учењето на групата. Бидејќи „навистина нема такво нешто како ’мало парче знаење‘ одделно од некој вид поголем контекст“, потребно е да ги научиме учениците за „граничното“ знаење или концепти релевантни за областа во која работат77.

Не е спорно дека развојот на механичкото запомнување на постапките е побрз отколку развојот на концептуалното разбирање. Исто така, најбрзиот пат до посакуваната цел е попривлечен. Во математичкото размислување посакуваната цел не е одговорот туку разбирањето кое е доволно длабоко и широко за да им овозможи на учениците пријатно и самоуверено да се движат во светот на математиката, решавањето проблеми и изградбата на нови разбирања. За да се постигне таа цел, потребно е трпение и доволно време потребно за негување на концептуалниот развој, процес кој од почетокот е побавен, но подоцна овозможува побрз и подолготраен напредок.

Учење на основните факти Доказите ја поддржуваат идејата дека децата може да ги научат фактите додека се здобиваат со концептуалното разбирање без прекумерни школски вежби и пракса кои главно се фокусираат на учењето на основните факти.

Утврдивме дека со когнитивно насочуваните инструкции (КНИ), првоодделенците ги научија собирањето и одземањето мошне добро, ако не и подобро, од децата кои учеле во традиционалните одделенија; дури и покрај тоа што овие деца помалку време вежбале со фактите78.

Инструкциите треба да го интегрираат концептуалното разбирање и процедуралното учење така што тие ќе станат интегрални димензии од истиот процес. Еден начин за олеснување на таквата интеграција е поттикнување на учениците да го изнесат своето размислување.

Учениците треба детално да ги истражат концептите (по можност со употреба на манипулативи, цртежи, итн.) пред да се направи обид за дефинирање на правилото за пресметување79. Концептуалното разбирање не треба да го замени процедуралното учење туку треба двете да имаат подеднакво значење. Силвер смета дека односот меѓу процедуралното знаење и знаењето за

77 Дејвис, 1989, стр. 151–152. 78 Carpenter & Fennema, 1990, стр. 35. 79 Lampert, 1986 и 1992; NCTM, 1989.

304

пресметување е она „што ѐ дава на индивидуата моќ за примена во број со различни поставувања80“.

Гласот на наставникот не треба да се замолчува во текот на наставнот процес туку гласот и изразувањето на ученикот во врска со идеите мора да се слушнат повнимателно81.

Импликации во наставата Зголемување на сложеноста на проблемите 1. Постепено зголемете го нивото на когнитивни барања во проблемските ситуации кои би го поттикнале математичкото размислување кај учениците, отколку само да го зголемувате бројот на цифри во проблемот!

2. Интегрирајте други математички теми, како што се шемите, геометријата, статистиката, веројатноста и графиците во активностите заради зголемување на сложеноста!

Развој на клучни вештини за размислување 1. Поттикнете го математичкото размислување кај учениците со поставување на соодветни проблемски ситуации од секојдневниот живот базирани на целите на наставната програма!

2. Поттикнете поставување прашања!

3. Потрудете се повеќе ученици да понудат различни начини на решавање на поставен проблем, отколку да барате само од еден ученик да го даде решението!

4. Истражете ги сите аспекти на проблемот!

5. Побарајте од учениците да го образложат својот одговор!

6. Покажете им на учениците дека очекувате повеќе од едноставно давање одговори; очекувате да разберат зошто одреден процес е соодветен, за принципите или својствата поврзани со него; како и за начинот на поврзаност на одговорот со дадената ситуација.

7. Поттикнете ги учениците да го анализираат нивниот напредок кон решението, да го потврдат она што го направиле и да го применат нивното знаење во нови ситуации!

Употреба на математички точни објаснувања 1. Употребувајте математички точни објаснувања на самиот почеток за да ја избегнете оваа појава на нејасни ситуации подоцна. На пример, учениците кои учат да делат не треба да се учат дека количникот е секогаш помал од деленикот, бидејќи

80 Silver, 1986, стр. 183. 81 Leinhardt, лична комуникација, 1990.

305

тоа не е скогаш точно кај проблемите што вклучуваат рационални броеви.

2. Одржувајте конзистентност од аспект на математичките операции! На пример, учениците треба да следат математички договорен редослед на операции:

• 2 + 3 · (4) секогаш е 14, никогаш 20; и

• Низата секогаш треба да биде претставена со засенчени региони или точки на вкрстените линии, а не со двете.

• Обично користиме „редови“ за предмети наредени на голем број различни начини. Меѓутоа, кога терминот се користи во математиката, редовите се секогаш хоризонтални, а колоните се вертикални. Ова е потребно да се разбере заради координатната геометрија и треба да се истакнува уште од самиот почеток на работата на учениците со низите.

Како што Ресник нè потсети, „Децата може да измислат начини на собирања, но тие можеби никогаш нема да откријат кои се нашите..., ние би можеле на тоа да ги научиме“82.

Поддршка за разбирањето на учениците 1. Дозволете им на учениците да го користат сопствениот јазик сè додека искажаното е соодветно и точно. Соодветната употреба на математичката терминологија може да се стекне со текот на времето.

2. Дозволете им на учениците да користат сопствени постапки сè додека тие се структурно точни. На пример, учениците може да создадат постапка за одземање од лево кон десно.

Фокусирање врз интегрирање на идеите 1. Употребувајте похолистички пристап заради олеснување на интеграцијата на идеите и поврзувањата помеѓу концептите отколку за фокусирање врз одредена серија на апстрактни вештини кои треба да се научат според даден редослед!

2. Помогнете им на учениците да поврзуваат со претходни активности, дискусии, принципи, постапки, преку поставување прашања, и кога е потребно, истакнете ги врските.

КОНЦЕПТУАЛНОТО РАЗБИРАЊЕ НЕ ТРЕБА ДА ГО ЗАМЕНИ ПРОЦЕДУРАЛНОТО УЧЕЊЕ ТУКУ ТРЕБА ДВЕТЕ ДА ИМААТ ПОДЕДНАКВА ВАЖНОСТ. 82 Resnick, лична комуникација, јуни, 1989.

306

КОРИСТЕТЕ РАЗНОВИДНИ ФОРМИ И ТЕХНИКИ ЗА ПОУЧУВАЊЕ Историјата на реформите наметнати врз наставниците во текот на последните неколку децении се чини дека обезбеди универзален лек за сè. Отворената училница, враќање кон основите, лекцијата во 5 чекори, Сократово прашување, учењето на вештини и кооперативното учење, сите имаа различни резултати. Ниту едно не се покажа како онаа методологија со која се создаваат ефективни инструкции.

Умешноста на учењето математика со размислување се наоѓа некаде меѓу часот каде во центарот на вниманието е наставникот и часот каде ништо не се пресметува сè додека учениците не го „откријат“ часот каде ученикот е во центарот на вниманието. За таа цел, наставникот ќе избира проблеми кои го овозможуваат моментот на „откривање“. Учениците се работници, активно ангажирани во учењето, но наставниците имаат клучна улога во дизајнирањето на задачата, текот на часот, и во помагањето на учениците да ги утврдат врските со математиката. Затоа, на часот во центарот се математиката и ученикот, а наставникот го води часот.

За сите видови ситуации од часовите нема единствена инструкциска стратегија. Навистина, и најискусните наставници, кога им е дадено правото да применат професионално мислење, развиваат повеќе стратегии. Тие потоа може да изберат ефективна стратегија базирана врз инструкциската намера, очекувањата на родителите и системот, големината на одделението, индивидуалните искуства на учениците, различните начини на учење и нивоата на размислување. Со истражувањето се покажа дека учениците имаат придобивки кога професионалните наставници ќе изберат метод на предавање со кој учениците на најдобар начин ги градат мостовите помеѓу она што веќе го знаат и знаењето кое се очекува да го усвојат83. Стратегиите со кои се развиваат способностите на учениците да извршуваат умствена математика се важен дел од активностите на наставникот. Умствената математика има две функции: флексибилност при работењето со броеви и помош во развојот на чувството за броеви. Оние што се добри во пресметувањето напамет, работат со броевите и односите меѓу броевите на не-стандардни начини кои најверојатно ја зголемуваат свеста за бројниот систем84. Кога на учениците им се поставува проблемот 54 + 8, оние кои немаат развиени вештини за пресметување напамет, најверојатно проблемот ќе го напишат вертикално и ќе

83 Shulman, 1989. 84 Sowder, 1992a. стр. 5.

307

го решат со примена на традиционален алгоритам за собирање. Од друга страна, ученикот со способност за пресметување напамет, ќе размислува на следниот начин:

8 = 6 + 2 и 54 + 6 = 60, тогаш 60 + 2 = 62.

УМЕТНОСТА НА ПОУЧУВАЊЕТО СО ПРИМЕНА НА „МАТЕМАТИКА СО РАЗМИСЛУВАЊЕ“ СЕ НАОЃА НЕКАДЕ МЕЃУ ЧАСОТ НА КОЈ ВО ЦЕНТАРОТ НА ВНИМАНИЕТО Е НАСТАВНИКОТ И ЧАСОТ КАДЕ УЧЕНИКОТ Е ВО ЦЕНТАРОТ НА ВНИМАНИЕТО.

308

Импликации во наставата Избирање соодветни вежби 1. Внимателно избирајте ги вежбите со кои се развиваат менталните математички вештини и користете ги во текот на целата година заради развој на флексибилноста во решавањето проблеми. Овие вежби би требало да резултираат во разбирање на количествата што броевите ги претставуваат. Исто така, тие би требало да ги истакнат важечките манипулации на броевите што се дозволени. Иако формата може да се промени, основните количества мора да се зачуваат. Ваквите умствени математички вежби треба да бидат повеќе од едноставните пресметувања кои често се претставени во учебниците под наслов „Умствена математика“.

2. Еве два примери за соодветни пристапи.

а. Следните прашања помагаат во изградба на знаењето на учениците на бројниот систем, како и на нивната вештина за пресметување:

1. Кој број е за 1 поголем од бројот 6? Кој број е за 1 поголем од бројот 16? Кој број е за 2 повеќе од...?

2. Кој број е за 10 поголем од бројот 16? Кој број е за 10 поголем од бројот 20?

3. Кој број е за 31 поголем од бројот 16? Кој број е за 34 поголем од бројот 16?

б. Вежбите за она што веќе е научено во „умствената математика“ треба да бидат дел од насочуваната пракса и домашна работа заради развој на флексибилноста во решавањето проблеми. Вежбите треба да го зацврстат она што учениците го имаат откриено.

3. Употребувајте често кратки вежби со кои се развиваат моќни стратегии. Пристапот во математика со размислување инкорпорира вежби, како на пр. основна компонента, но тоа се вежби од нетрадиционален аспект. Традиционалната вежба се фокусира на меморирањето на постапките и го опфаќа поголемиот дел од наставата. На пример, вежбите може да се изградат околу собирањето 10-ки со кој било едноцифрен број или двоцифрените броеви. Ова може да претходи на лекција во која учениците би собирале 10-ки со едноцифрени броеви.

309

Учење на стратегиите за размислување 1. Поттикнете ја употребата на мноштво стратегии за размислување за утврдување на основните факти сè додека тие не се меморираат.

2. Систематски предавајте и поттикнете ја употребата на броењето од и броењето наназад, работа со двоцифрени броеви, употреба на инверзни функции и примена на принципот на составување85!

3. Очекувајте од секое дете да има соодветни методи за доаѓање до точните одговори, но не очекувајте дека секое дете ќе ја користи секоја стратегија.

Варијации на стратегиите за учење 1. Разгледајте ги потребите од поправки преку заемно учење меѓу учениците, варијации во проблемските ситуации и употреба на манипулативи!

2. Обезбедете можности учениците да развијат заеднички решенија и објаснете им ги со кооперативни ситуации за учење86!

3. Употребете Сократови прашања за да ги научите да поставуваат прашања кои се со идеи, а не прашања кои изнесуваат факти87! Овој метод е посебно наменет за инструкции во кои наставникот е катализатор и водич. Улогата на водичот вклучува одговорност за давање инструкции.

4. Преку дијалог, културата на математичкото прашување се создава на часот.

Поттикнување на вклученост од страна на родителите 1. Поттикнете ја вклученоста на родителите88 како важен дел од наставниот процес!

2. Запознајте се и предложете вклученост во програмите како што се Семејна математика89 и Математичко пресметување (Math Counts)90 заради зајакнување на способноста на родителите да ги поддржат нивните деца и да го разберат она што се

85 Kulm, 1985; Leutzinger, Reys & Reys, 1988. 86 За повеќе информации видете во AFT ER&D- модулите за кооперативни мали групи (AFT, 1983). 87 Adler, 1982. 88 Оваа често употребувана фраза мора да ја вклучи инволвираноста на другите важни членови на семејството, старателите или возрасните во случаите кога родителите се отсутни или избрале да се дистанцираат од училиштето. Наставниците мора да имаат чувство за опсегот на семејни ситуации претставени на часот заради соодветно обликување на јазикот со кој нема да се исклучи учеството на децата или на оние кои не се родители, а кои се одговорни за децата. 89 Stenmark, Thompson & Cossey, 1986. 90 Национално здружение на родители и наставници, 1989.

310

предава. Вклученоста на родителите во програмите како што се наведените, исто така, ќе ја зајакне компетентноста на чувството на учениците за математика. Овие програми се фокусираат на употреба на секојдневните предмети за зајакнување на разбирањето на математиката од страна на учениците.

3. Креирајте домашни задачи што ги вклучуваат и родителите!

311

КОРИСТЕТЕ ГО ФОРМАТИВНОТО ОЦЕНУВАЊЕ КАКО ВОДИЧ ПРИ ПОУЧУВАЊЕТО На традиционалниот час во САД, тестовите со молив и хартија беа главно средство за оценување на постигнувањата на учениците. Со тековните реформи се предлага употреба на различни техники на оценување91 на знаењата, за мониторинг на напредокот на учениците и насочување на поучувањето за време на часот. Кога на математиката се гледа како на повеќе од постапка за пресметување, традиционалните тестови се недоволни за оценување на големиот број области на напредок. Иако за учениците е важно да знаат точно да пресметуваат, потребно е да се оценува и другиот вид на знаење. Слично на претходното, наставниците не треба да ги оценуваат учениците само врз основа на тестовите, независната работа на часот или стандардизираните тестови, бидејќи тие не се фокусираат на иновативното размислување и решавање на проблеми, и дури може да го затскријат неразбирањето од страна на ученикот. Со оценувањето треба да се обезбеди поширока слика на она што учениците го знаат, начинот на нивното размислување и начинот на доаѓање до решенијата92.

Наставниците, исто така, треба да ги набљудуваат учениците од аспект на нивното функционирање во групата, да разговараат за нивните решенија, примената на знаење во посебни проекти и/или изработка на портфолио. Наставникот треба да знае дали учениците ги разбираат основните математички концепти и дали може да решаваат проблеми од одредени вид и треба да знае кои се постапките и концептите што учениците сè уште не ги усовршиле. Ова на наставниците ќе им овозможи подобро да планираат поучување со кои се создава разбирање, а не само површинско учење. Кога наставниците забележуваат како учениците ги решаваат проблемите за времетраење на часот, тие може да планираат кои решенија ќе се применат и по кој редослед, врз основа на планираното.

91 D. Briars, лична комуникација, јуни 27, 1989; NCTM, 1989; Stenmark, 1989. 92 Инструментите за оценување треба да се користат за нивните наменети цели. На пример, стандардизираните тестови, кои се дизајнирани за утврдување кои ученици се под нормата, не треба да се користат за евалуацијата на програмата. Прашањата со кратки одговори, наменети за утврдување на механичкото знаење, не треба да се користат за оценување на разбирањето. Затворените задачи, наменети за оценување на совладаноста на вештините, не треба да се користат за оценување на способноста за размислување (NCTM, 1989).

312

Импликации во наставата

Употреба на алтернативни оценки 1. Овозможете оценување на учениците на континуиран начин од повеќе аспекти!

2. Употребете други аспекти (не само тестовите и квизовите) и дополнителни методи на оценување: портфолија на учениците, задачи за пишување, забелешки, отворени прашања, индивидуални и групни проекти, меѓуученичко и самооценување на учениците93!

3. Осигурајте се дека секој употребен метод е насочен кон наставната програма и дека со него може да се измери она за што е наменет.

Одлучување што да се оценува 1. Оценувањето на напредокот на учениците како: развивање на способноста за решавање проблеми, вештини за комуникација и размислување, и нивното разбирање на математичкото знаење, определено од Националниот совет за истражување: разбирање, пресметување, примена, размислување и решавање (математиката да се смета за „сензибилна, корисна и изводлива“).*

2. Истакнете го она што го знаат учениците, а не она што не го знаат, а постапките за решавање и концептуално разбирање сметајте ги како дополнение на точните одговори!

3. Изработете стратегии за оценување за долгорочно знаење, а не само способност за меморирање на фактите заради периодичните квизови!

Избор на инструменти 1. Употребувајте инструменти за оценување за нивната наменета цел94. На пример, тестовите даваат податоци за способноста на ученикот споредена со способноста на другите ученици на исто ниво; други тестови се едноставно дијагностички и даваат информации за силните страни и слабостите. Ниту еден од нив не треба да се користи за утврдување на нивоата на постигнување на учениците.

93 D. Briars, лична комуникација, јуни 1989; NCTM, 1989; Stenmark, 1989.

* Национален совет за истражување (2002) Помагање на децата да ја научат математиката. 94 NCTM, 1989.

313

Познавајте ги веродостојноста и валидноста на инструментот за оценување. Запознајте ги учениците и родителите со стандардите за оценување.

ПРИСПОСОБУВАЈТЕ ГО ДАДЕНИОТ ФОНД НА ЧАСОВИ ЗА ТЕМИТЕ И СОДРЖИНИТЕ Голем број наставници се плашат дека промената на нивниот начин на предавање може негативно да влијае врз резултатите од тестовите. За овие наставници веќе е тешко да ја покријат наставната програма и да ги исполнат другите потреби од системот. Наставниците се плашат дека ваквата ситуација може да се влоши доколку тие поттикнат повеќекратни стратегии или зголемено учество на учениците. Се појавува дополнителен проблем кога тестовите за компетентност и постигнувања го фрагментираат учењето на одделни вештини кои системот очекува учениците да го совладаат во одреден временски период. Кога учениците се учат со пристап кој развива разбирање, потребен е подолг временски период за достигнување на споредбените критериуми. Меѓутоа, учењето ќе биде подлабоко, пошироко и подолготрајно.

Со информациите од истражувањата, пилот-програмите95 и математичките инструкции што се користат во други земји96, цврсто се поддржува тврдењето дека доколку учениците учат со примена на пристапи со кои се истакнува концептуалното и процедуралното учење, тие ќе напредуваат многу побрзо од утврдената норма во САД.

Наставната програма во другите земји Со ТИМСС се утврди дека математиката што учениците во САД ја учат во осмо одделение е сродна со онаа што во други земји се изучува во седмо одделение97. Студијата на ТИМСС за наставни програми98 информираше за неколку заклучоци за наставната програма во САД.

95 Carpenter & Fennema, 1988; Cobb & Merkel, 1989; Lampert, 1986; Resnick et al., 1989. 96 Fuson, Stigler & Bartsch, 1988. 97 NCES, 1996, стр. 38. 98 Schmidt, 1997.

314

1. Наставната програма по математика во САД, на конзистентно ниво, опфаќа многу повеќе теми од она што е вообичаено за другите земји.

2. На наставната програма на САД ѐ недостасува стратешки концепт за фокусирање на неколку клучни цели, а тоа е поврзување на содржината со поставување повисоки очекувања од учениците.

Дел од факторите се спојуваат заради создавање помалку ригорозна наставна програма за учениците во САД отколку што тоа е случајот со учениците во другите земји. За да се покрие сè она што е очекувано, наставниците одат во широко, вештачко покривање на материјалот, наместо учење на подлабокото разбирање.

Иако она за што предаваме во првите години е многу повеќе во согласност со другиот дел од светот отколку што е случајот со програмата за осмо одделение, сепак има рани навестувања дека нашата наставна програма ќе заостанува. На пример, со разгледување на учебниците се покажува дека руските ученици се запознаваат со равенките со непознати уште во првото одделение

(3 + x = 9). До трето одделение, тие решаваат проблеми со време и растојание; додека проблемите во два чекори започнуваат во 2 одделение. Јапонската наставна програма воведува рамнокраки и рамнострани триаголници и агли во трето одделение. Дополнителни примери за она што се очекува во другите земји може да се најде во делот за ресурси од оваа книга. Ваквите примери од наставната програма го покажуваат она што се очекува од учениците во другите земји.

Во Табелата 1 е дадена споредба на просечните првични инструкции во петте најчесто користени учебници во САД, наспроти текстовите од Кина, Јапонија, Тајван и Руската Федерација99. Се укажува дека со инструкциите, според учебниците во САД, обично на учениците им се потребни речиси две години да го совладаат собирањето со повеќецифрени броеви (од 1,5 до 3,4).

Сепак, ваквото традиционално хиерархиско воведување на вештини не дава ниту доволно време ниту пракса повеќето ученици да ја совладаат секоја компонента пред да продолжат на следното ниво. Со истражувањето се сугерира дека кога се користи интегрирана наставна програма, во која учениците се изложени на целосниот концепт, а не само на фрагментираните вештини, совладувањето на

99 Националната наставна програма со една серија учебници се користи во Кина, Тајван и Советскиот Сојуз. „Во Јапонија, поставувањето теми во математичката наставна програма е пропишано од централната управа за образование: сите серии на учебници се во согласност со специфицираното поставување“ (Fuson, Stigler & Bartsch, 1988, стр. 449–50).

315

еден чекор не е предуслов за поминување на следниот чекор100. Со оглед на фактот дека учениците може да решаваат сложени процеси во исто време кога можат да решаваат и едноставни процеси, доколку им се дозволи употреба на помошни материјали, темите што се хиерахиски поставени во учебниците треба да се групираат. На пример, кога учениците се учат на концептот дел-дел-цело, собирањето и одземањето се развиваат на природен начин.

Ваквите заклучоци не имплицираат дека учениците треба да работат побрзо низ постојните учебници туку овие заклучоци сугерираат флексибилност во хиерархијата на воведувањето нови вештини101. На пример, одземањето со повеќецифрени броеви може да се научи како еден процес наместо како серија вештини со времетраење од период од две или повеќе години (пр., прво двоцифрено одземање без прегрупирање, потоа двоцифрено одземање со прегрупирање, одземање со 0, итн.). Проблемите што вклучуваат прегрупирање и оние што не бараат прегрупирање, треба заедно да се претстават. Учениците треба да станат свесни за главните карактеристики на проблемите поради кои прегрупирањето е соодветниот пристап. Треба да се одвои повеќе време за да може учениците цврсто да го совладаат броењето, вредноста на местото, фактите. Совладувањето се усовршува додека учениците решаваат слични, но понапредни, проблеми во текот на годината. Додека учениците учат да бројат низи со дадена големина со разумна веродостојност, броевите од истата низа може да се користат во нивните проблемски ситуации102.

100 Fuson, 1992; Resnick, Bill, Lesgold & Leer, 1991. 101 Resnick, 1988. 102 Resnick, Bill, Lesgold & Leer, 1991.

316

Табела 1: Програма според одделение за првичните инструкции во САД и другите избрани земји Вештина САД Кина Јапониј

а Тајван Руска

Федерација

Додавање/одземање на два едноцифрени броја

1 цифра + 1 цифра, сума ≤ 10 1.1 1.0 1.0 1.0 1.0

1 цифра - 1 цифра, намаленик ≤ 10

1.3 1.0 1.0 1.0 1.0

1 цифра + 1 цифра, сума ≤ 18 1.8 1.0 1.5 1.5 1.5

2 цифри - 1 цифра, намаленик ≤ 18

1.9 1.0 1.5 1.5 1.5

Додавање/одземање на два повеќецифрени броја

2 цифри +/- 1 или 2 цифри, без замена (15+3; 15-3)

1.5 1.5 1.5 1.5 1.5

2 цифри =/- 1 или 2 цифри, замена од единици (15+8)

2.5 1.5 2.0 2.0 1.5

3 цифри +/- 2 или 3 цифри, замена од десетки (230+182)

2.9 2.5 2.5 2.5 2.5

4 цифри +/- 3 или 4 цифри, замена од стотки (462+813)

3.4 2.5 2.5 3.0 3.0

4 цифри - 4 цифри ≥ 2 нули во намаленик (6000-5273)

3.8 2.5 3.0 3.0 3.0

Собирање на три или повеќе броја

Собирање на три едноцифрени броеви, замена (7+3+4)

2.0 1.0 1.5 1.5 1.0

Собирање на три двоцифрени броеви, замена од единици (14+18+27)

2.8 1.5 2.0 2.0 1.5

* Податоците во оваа табела се од Fuson, Stigler & Bartsch, стр. 452.

Математика со размислување е пристап што се применува на целото математичко учење. Принципите треба да се применуваат во сите теми. Во том 1 главно е разгледана примената на математика со размислување во броењето, собирањето и

317

одземањето; додека во том 2 фокусот ќе биде главно врз множењето и делењето. Меѓутоа, се очекува истовремено додека децата учат да ги разбираат операциите да стекнуваат и искуства поврзани со геометријата, статистиката, истражувањето шеми, итн. Сите овие искуства можат, и треба, да се обезбедат со примена на пристапот на математика со размислување.

Проектот „Seed“,103 стар повеќе од 20 години, се користи на голем број часови во основните училишта во Калифорнија. Со овој проект учениците учат напредни математички концепти (главно алгебра) како средство за промовирање на самодовербата и развој на разбирањето на посложената математика.

Планирање на наставната програма Математика со размислување нема наставна програма за ученици. Ниту една наставна програма на ниво на основно образование не ги вклучува сите препораки на програмата. Меѓутоа, прегледот на главната наставна програма на Хирш и опфатот и редоследот на математичката програма на Факултетот на Универзитетот во Чикаго, се примери за наставна програма што може да се приспособи од наставниците на математика со размислување. Десетте принципи на математика со размислување се соодветни за сите одделенија. Некои наставници веќе го истражија овој метод на воведување теми како целосни концепти. Викторија Бил, наставник во основно парохиско училиште во Питсбург, изготви наставна програма во која поврзаните теми се воведуваат на континуиран и интегриран начин. Таа ова го направи како резултат на сопственото проучување на голем дел од истражувањата за кои дискутиравме во овој документ и нејзината работа со Лорен Ресник. Во Табелата 2 е прикажан дел од нејзиниот план за воведување теми во прво одделение кои обично се воведуваат многу подоцна104. (Тука е прикажано само од септември до декември; целосниот план, од септември до мај, може да се види во делот со ресурси).

Импликации во наставата Изградба на кохеренција во поучувањето

103 Проектот „Seed“ беше првично креиран од Вилијам Џонс (William Johntz). 104 Bill, лична комуникација, окт. 1989.

318

1. Направете напори да воведете идеи во контекст што подоцна може повторно да се разгледа од нов аспект! На пример, додека учениците учат да бројат, тие може да бројат единици што се совпаѓаат со одредена должина и може да научат да ја формираат бројната права. Подоцна, учениците може да ги научат имињата, како на пр., центиметар и метар, на таквите должини заради учење на мерењето. Тие можат да размислуваат за најголемиот број, а потоа да поминат на отворена дискусија за бескрајноста. Помогнете им на учениците да го утврдат и надградат интуитивното знаење!

2. Употребете ја истата техника на средно ниво. На пример, учениците нека изградат табели што го прикажуваат множителот и производот, а потоа нека ги поврзат табелите со делење.

3. Воведете теми порано од традиционално предвиденото, притоа овозможувајќи им на учениците да бидат успешни во изградбата на нивните интуиции и инвентивност. Меѓутоа, не очекувајте непосредно совладување.

4. Земете предвид дека континуумот на математичките концепти не се движи праволиниски. Концептите се воведуваат; подоцна тие треба да преминат на посложено ниво. Ваквата спирална структура треба да се користи за да го зајакне учењето на математиката на учениците, а не само да се повторува истата наставна програма од година во година. Има докази дека поставувањето интересни поврзувања кај учениците, кои се подготвени за тема, е средство за генерирање огромен интерес105. Приспособувајте го дадениот фонд на часови со темите и содржините! Подготовка на временската рамка за реализирање на наставната програма 1. Пред започнување на школската година, креирајте груб временски распоред за барањата во наставната програма и за она што сметате дека е клучно да се научи!

2. Одвојте релативно повеќе време за изградба на чувството за броеви и за развој на чувството за големите идеи во математиката, а релативно помалку за изолираните вештини на пресметувањето! (Ова не значи дека вештината за пресметување треба да изостане!)

3. Доработете го временскиот распоред во текот на годината со цел исполнување на потребите на посебните одделенија!

105 Resnick, Bill & Lesgold, 1989.

319

Заклучоци Ефективните инструкции се случуваат кога наставниците и учениците се подготвени да ги откријат скриените прашања на математичките проблеми и се подготвени да ги разгледаат подетално таквите проблеми106. Учениците треба да го имаат предвид можното разложување на проблемот, да изберат метод за негово решавање, и да го објаснат нивното математичко размислување. Исто така, наставниците треба да научат да прифаќаат неефикасни решенија сè додека се математички точни, да се подготвени да разгледаат одговори што не се дел од прирачникот за наставници107, и да истражат други можни решенија за проблемот. Пристапот кон концептот со повеќе од еден аспект не само што е прифатлив туку и се препорачува. Ова ќе им овозможи на учениците соодветно да го поврзат концептот со мноштвото ситуации.

Инструкциите не треба да се водени од учебниците. Елементите на инструкциите од програмата математика,со размислување може да се поврзат со програмата за математика изготвена од наставник, или пак може да се користат за збогатување на задолжителниот учебник и целите на програмата. Во секој случај, со истражувањето се сугерира наставникот да користи мноштво дополнителни материјали; да креира проблемски ситуации; да разгледува помалку проблеми, но детално да ги разгледува; и да структуира работа за час и други задачи заради поттикнување активно учество на учениците. Математичката програма треба да го обедини и интегрира развојот на вештините за пресметување и решавање текстуални проблеми со развојот на размислувањето и изградбата на математичко знаење.

Креирање на средина за учење Потребно е да се креира богата средина во која учениците поставуваат и решаваат проблеми независно, во мали групи и со целото одделение. Наставниците, како креатори на одлуките и водачи на програмата, треба да го олеснат интерактивното учење на учениците, со што ќе ги поддржат како активни ученици.

Учениците треба да бидат активно ангажирани на часот, со комбинација на интуитивните вештини и нивото на знаење што им се презентира преку поучувањето. Тие треба да се поттикнат

106 Resnick, Bill & Lesgold, 1989. 107 Shulman, 1989.

320

да преземаат ризици, да учат од своите грешки, да измислуваат нови стратегии и да го артикулираат она што го научиле.

Во ваквата богата средина на кооперативно истражување и прифаќање на многу начини на размислување, самодовербата на учениците се зајакнува поради дадената можност да бидат успешни во математиката. Наставниците и учениците заедно стануваат ученици. Потопени во културата на математиката, тие учат како да функционираат во светот во кој се бара решавање на проблемот, разбирање на односите, а способноста да се има повеќе од една гледна точка е основно.

Важност на заедницата Кога има големи проблеми во инструкциите на наставната програма, родителите, старателите или менторите мора да бидат информирани. Нивната поддршка е важна за целите на успешноста на промените. При дискутирање за отпорот со кој се соочи „новата математика“, Националниот совет за истражување забележа: „Онаму каде што родителите не можеа или не ја разбраа потребата од промена или не ги сфатија причините за избор на новата наставна програма, се јавува одбивност и лутина со став дека ако „старата математика“ била добра за нив таа ќе биде добра и за нивните деца“108. Родителите станаа ентузијасти за програмите кога им беше дадена можноста да поставуваат прашања и истовремено добиваа одговори, кога се создаде можност да бидат вклучени во образованието на своите деца, и кога се осигураа дека нема да има штета во вештините за пресметување и резултатите од учењето на нивните деца109.

Иако во овој документ не се разгледани посебните активности за вклученоста на родителите, од читателот се очекува да ја има предвид важноста од поддршката на родителите и да бара можности да ги вклучи родителите во образованието на нивните деца при спроведувањето на пристапот математика со размислување.

Салата за науки Лоренс (Универзитет Беркли, Lawrence Hall of Sci-ence) креираше програма наречена Семејна математика која содржи мноштво добри идеи за родителите и децата додека учат математика. Наставниците и родителите спроведоа работилници за родителите со овие материјали. Важно за родителите е да можат да им помогнат на своите деца во учењето. Додека се спроведува математика со размислување од страна на

108 Одбор за математички науки (и) Одборот за истражување на математичкото образование, 1989. 109 Bill, лична комуникација, јуни 1989; Stenmark, Thompson & Cossey, 1986.

321

наставниците, се препорачува родителите да се информираат за она што учениците ќе го учат, како и за стратегиите кои ќе се користат. Спротивставувањето на промената е помалку веројатно доколку родителите или другите возрасни кои се одговорни за децата учествуваат во демонстрациите на новите стратегии кои се придружени од објаснувањето како овој пристап ќе генерира придобивки за учениците во идната работа со математиката.

322

БРОЕЊЕ Броењето е математичка вештина која главно се сфаќа како нешто што се случува само по себе. Меѓутоа, броењето ги утврдува основите за главните аритметички операции кои главно претставуваат скратено броење.

Истражувачки основи

Фази во броењето

Додека децата учат да бројат, тие минуваат низ фази. На почетокот, учениците бројат само поради задоволството од изговарање на бројките, иако не им е познато значењето на зборовите. Децата повторуваат секвенци на бројки без референтни точки. Фусон, Ричард и Брајорс98 идентификуваа пет фази низ кои учениците минуваат додека учат да бројат преку стабилен и постојан начин. Во Табелата 3 се дадени описи и примери за ваквите фази. Децата главно започнуваат со повторување на бројките по неточен редослед. Таквиот неточен редослед ќе се менува секој пат кога детето ќе брои. Постепено, детето учи да ги каже првите неколку бројки од редот на точен начин, додека понатамошниот редослед е неточен. Шемата за броење се менува од различна секој пат (нестабилна) до постојана (стабилна), дури и доколку редоследот е сè уште неточен. Со дополнителна пракса, детето може точно да ги наброи бројките до 20. Првите 20 бројки главно се меморираат преку механичко повторување. Во овој момент, децата се соочуваат со проблеми при преминувањето од една десетка во друга (пр. 19, 20; 39, 40). Прво се учи шемата меѓу десетките, но постои забуна во нивниот редоследот (пр. 28, 29, 40, 41 или 58, 59, 20, 21). Повторно, со текот на времето, шемата се менува од неконзистентно неточна во конзистентно точна. Конечно, ученикот може точно да ја каже целата секвенца, притоа со конзистентност.

Броење на поголемите броеви

Поради сличноста во шемата, со исклучок на броевите од 11 до 19, секвенцата за броење од 1 до 10 ја создава основата за броење на поголемите вредности. Повторувањето на шемите за десетките и стотките го олеснува учењето. Доволната пракса во броењето на вредностите од стотките е клучна во развојот на компетентност во броењето и нивниот меѓусебен однос.

Американските ученици често имаат проблеми со броевите од тринаесет до деветнаесет (teen-numbers) поради неправилноста на

98 Fuson, Richards and Briars, 1982.

323

англискиот јазик99. Единаесет, дванаесет, тринаесет и петнаесет не ги содржат зборовите еден, два, три и пет на англиски јазик. Зборовите единаесет (eleven) и дванаесет (twelve) не даваат индикација дека е вклучена вредноста на бројот десет. Покрај тоа, позицијата на слогот „teen“ што го индицира бројот десет, се наоѓа на крајот од зборот, што не е конзистентно со шемата за другите десетки.

Табела 3: Усвојување на бројнозборовната секвенца100

Ниво Опис Пример за првична артикулација

Примери за последователни артикулации

1 Неточна, нестабилна листа.

еден, два, четири, седум

два, пет, еден, десет

2 Точно почнување со неточно, нестабилно завршување.

еден, два, три, четири пет, шест, осум, девет петнаесет

еден, два, три, четири пет, шест, девет, дванаесет дваесет

3 Точно почнување; неточна, но стабилна средина; неточно, нестабилно завршување.

еден, два, три, четири пет, шест, осум, девет, петнаесет, шестнаесет тринаесет, пет

еден, два, три, четири пет, шест, осум, девет, петнаесет, дваесет, дванаесет, триесет

4 Точно проширено почнување; неточна, но стабилна средина; неточно, нестабилно завршување.

од 1 до 11 точно, тринаесет, шестнаесет, осумнаесет, деветнаесет, триесет, четириесет, шеесет

од 1 до 11 точно, тринаесет шестнаесет, осумнаесет, деветнаесет, триесет, триесет и еден, триесет и пет

5 Целосно точно. од 1 до 30 од 1 до 30

Ваквите „teen“ бројки претставуваат уште една неконзистентност помеѓу нивните пишани и говорни форми. Другите бројки се пишуваат според изговорот, од лево кон десно: првиот збор, вториот збор. На пример, изговорениот број дваесет и три се запишува онака како што се слуша: прво 2, што индицира две десетки, потоа следува 3, што индицира 3 единици.

99 Fuson, 1992, стр. 73. 100 Fuson, Richards and Briars, 1982.

324

Меѓутоа, ова е токму спротивно од тринаесет до деветнаесет. Кога се изговара тринаесет (thirteen), „thir“ се слуша прво, а ги индицира единиците, но се пишува второ. „Teen“ се слуша второ и индицира една десетка, но се пишува прво. Поради тоа, не е зачудувачки што помладите ученици често ваквите „teen“ бројки ги запишуваат по обратен редослед101. Доколку помислите на она што тие го слушаат, ова не е нелогична грешка.

Петте принципи на броењето

Гелман и Галистел сугерираат дека со броењето управуваат и дефинираат пет принципи и дека „успешното броење ја вклучува координираната примена на сите принципи“102. Овие принципи се наведени во Табелата 4. Во одредена фаза од развојот на детето, тој/таа може да демонстрира дел од овие принципи, но не и другите. Она што е важно и наставниците да го имаат предвид се состои во фактот што ученикот кој инкорпорира само дел од овие принципи треба да се евалуира како да има нецелосно познавање на постапката за броење, а не како да има недостаток во познавањето на постапката за броење. Познавањето на овие принципи помага во утврдување на силните страни и слабостите на ученикот и може да помогне во инструкциите.

Принципот еден-со-еден значи дека ученикот може да поврзе еден предмет со еден „знак“ каде што знакот е името што ученикот му го придава на предметот. (За целите на оваа дискусија, знаците ги означуваат броевите). Ниту еден предмет нема да биде двапати преброен или испуштен. Оваа активност е најлесна за учениците кога предметите што се бројат се добро подредени (пр., ред на предмети).

Принципот на стабилен редослед вклучува повеќе од принципот еден-со-еден. Покрај броењето на секој предмет поединечно, ученикот мора да користи конзистентна секвенца на зборови за упатување кон предметите.

Кардиналниот принцип го инкорпорира знаењето дека последниот изброен предмет има дополнително значење од другите предмети. Тој го претставува вкупниот број на сите дадени предмети.

Принципот на апстракција индицира дека ученикот може да ги примени претходните три принципи во која било ситуација на

101 Треба да се забележи дека по првото одделение, конзистентната шема на обратни бројки и букви, заедно со другите индикатори, може да укажат на потребата од тестирање заради утврдување дали постои проблем со обработката (недостаток во учењето). 102 Gelman & Gallistel, 1986, стр. 73.

325

броење, без оглед дали таа вклучува конкретни физички претставувања, ментални претставувања или краткотрајни активности (пр. броење автомобили, желби или броење на плескање со раце).

Принципот за нерелевантност на редоследот се базира врз концептот дека имињата доделени за секој предмет се помалку важни од фактот дека секој предмет се брои еднаш и само еднаш. Ваквиот краен принцип влијае врз разбирањето на ученикот на другите важни својства на броевите. Едно такво својство е дека, покрај тоа што „8“ ја претставува целата група од осум елементи, туку и дека во себе содржи помали количества (1 и 7 или 2 и 6). Спојувањето и одделувањето на поединечните делови служи како основа за разбирање на операциите за собирање и одземање.

Табела 4: Принципите за броење на Гелман и Галистел ПРИНЦИПИ ОПИС

1. Принцип еден-со-еден. Предметите се идентификуваат еден-по-еден (поделба) со придавање име за секој поединечно.

2. Принцип на стабилен редослед. Знаците што се користат во броењето се подредени во стабилен редослед.

3. Кардинален принцип. Завршниот знак се препознава како знак што го претставува бројот на елементи во низата (множеството).

4. Принцип на апстракција. Претходните принципи (1, 2 и 3 погоре) може да се применат во кој било ред или низа на субјекти, без оглед дали тие се конкретни или ментални.

5. Принцип за нерелевантност на редоследот.

Предметите може да се пребројат во кој било редослед сè додека секој предмет е преброен само еднаш.

Броење и читање

Студијата спроведена во Австралија и Велика Британија103 утврди силна поврзаност помеѓу потребата од рана интервенција во математиката и читањето, поврзано со способноста на децата за „унифицирање“. Во математиката ова се поврзува со кардинална-та особина на броевите и способноста да се види повеќе од 2 или 5 или 4 како единица.

103 Davis, Pearn, Price & Smith, 1997.

326

Стратегии во броењето Истражувачите104 индицираа дека учениците интуитивно корис-тат различни методи на броење за целите на решавање проблеми во рамките на адитивните структури. Со зголемување на софистицираноста на учениците во врска со броењето, тие можат да ги користат ваквите различни методи на броење за решавање проблеми што вклучуваат собирање или одземање.

Во Табелата 5 е прикажан редоследот на дел од методите. Левата колона во Табелата 5 покажува три стратегии за собирање.

Табела 5: Стратегии за броење што се користат за собирање и одземање

Стратегии за собирање Стратегии за одземање

1) Броење на сите предмети:

Броење на елементите во првото множество и продолжување со броењето на елементите до второто множество.

Пр. 3 + 5 = ?

Избројте 1, 2, 3, а потоа 4, 5, 6, 7, 8.

1) Одделување:

Од множеството со поголем број елементи отстранете ист број елементи колку што има во множеството со помал број елементи, а потоа пребројте ги преостанатите елементи.

Пр. 8 – 5 = ?

Отстранете 5 од 8. Потоа избројте 1, 2, 3.

2) Броење од помали броеви:

Зпочнете со кардиналниот број на множеството со помал број елементи, а потоа продолжете со броење на елементите во множеството со поголем број елементи.

Пр. 3 + 5 = ?

3 (пауза) 4, 5, 6, 7, 8.

2) Одделување:

Од множеството со поголем број елементи отстранете ги елементите сè додека не останат толку колку што е разликата, а потоа пребројте ги отстранетите елементи.

Пр. 8 – ? = 3. Отстранете одреден број елементи сè додека не останат само 3. Потоа избројте (1, 2, 3, 4, 5) ги отстранетите елементи.

3) Броење од поголеми броеви:

Започнете со кардиналниот број на множеството со поголем број елементи од, а потоа продолжете со броење на елементите во множеството со помал број елементи.

Пр. 3 + 5 = ?

3) Броење до:

Започнете со кардиналниот број на множеството со помал број елементи и избројте до вкуната сума, притоа внимавајте на бројот на елементите што се преброени.

Пр. 8 – 5 = ? Започнете со 5 и бројте до 8; 5. (потоа размислете) 6 е 1, 7 е 2, 8 е

104 Fuson, 1992, стр.121; Resnick, 1989.

327

5 (пауза) 6, 7, 8. 3. Може да се користат прстите за 6, 7, 8 (три прсти).

Одговорот е 3.

4) Броење наназад до:

Започнете со кардиналниот број на множеството со поголем број елементи и бројте наназад до кардиналниот број на множеството со помал број елементи, притоа внимавајќи на преброените елементи.

Пр. 8 – 5 = ?

8 (потоа бројте наназад) 7, 6, 5.

Повторно пребројте ги отсранетите елементите или употребете ги прстите за следење: 7, 6, 5. Тоа е 3.

5) Спојување:

На секој елемент од множеството со помал број елементи додадете му по еден елемент од множеството со поголем број елементи, а потоа пребројте ги елементите за кои недостасува пар.

Пр. 8 – 5 = ?

1 <-> 1, 2 <-> 2, 3 <-> 3, 4 <-> 4, 5 <-> 5,

Има дополнителни 1, 2, 3.

Стратегии за собирање

Броењето на сите предмети ја претставува најосновната стратегија што вклучува броење. Со овој метод, ученикот ги брои сите елементи, при што секое броење започнува со бројот еден. Потоа ученикот ги пребројува сите елементи во двете множества, започнувајќи со еден и продолжувајќи со второто множество така што бројот на последниот пребројан елемент ќе биде вкупниот број елементи од двете множества. Во рамките на ваквиот метод на броење, исто така, постои напредок на развојот кон повисока софистицираност. Подоцна, ученикот само покажува на секој елемент додека се брои, но не го допира. Во уште подоцнежна фаза, ученикот може да брои само преку гледање во елементите или сликите на елементите. Конечно, ученикот може да врши ментално броење („во својата глава“). На него/неа веќе не му/ѐ се потребни физичките слики за да може да брои. Ученикот секој пат точно брои од бројот еден до друг даден број.

328

Пред да се продолжи со следната стратегија, броење од, ученикот треба да ја има совладано вештината за започнување на броењето од кој било даден број и треба да прави разлика меѓу броењето и значењето на кардиналните броеви. (Видете во делот со ресурси со описот на овој дел даден од Фусон). Најпрвин ученикот треба да сфати дека износот на броењето на елементите во множеството е исто како и кардиналниот број на множеството. Второ, ученикот треба да биде способен да продолжи со броење на елементите во второто множество. На крајот, ученикот мора да разбере дека изброениот број на последниот елемент во второто множество го претставува вкупниот број елементи во двете множества.

Броење од. Втората стратегија, броење од кардиналниот број на множеството со помал број елементи, ја поедноставува стратегијата за преборјување на сите елементи преку испуштање на потребата од броење на секој елемент од ова множество. Ученикот сфаќа дека при броење на вкупниот број елементи (елементите во двете множества), пребројувањето на елементите од првото множество е непотребно. Ученикот може да рече или да помисли на тој број и ќе продолжи да ги брои елементите на второто множество.

Третата стратегија за броење, прикажана во Табелата 5, понатаму е подобра од втората стратегија. Најефикасно е ученикот да започне со кардиналниот број на множеството со поголем број елементи и да продолжи да ги пребројува елементите во множеството со помал број елементи.

Стратегии за одземање Стратегиите за одземање може да се групираат во пет класификации покажани во десната колона во Табелата 5.

Одделување. Стратегиите за одземање 1 и 2 се најосновните. При одделувањето, ученикот од множеството со поголем број елементи отстранува ист број елементи колку што има во множеството со помал број елементи, а потоа ги пребројува преостанатите.

Стратегијата на одделување би била корисна во проблемот во кој бројот што се одзема е непознат.

На пример, за следниот проблем оваа стратегија е соодветна: Кони има 8 џамлии. Таа му даде неколку џамлии на Том. Сега Кони има 3 џамлии. Колку џамлии му дала на Том?

Ученикот од множеството со 8 џамлии треба да отстрани неколку џамлии за да останат 3. Потоа ученикот пребројува колку џамлии има во множеството со отстранети џамлии.

329

Броење до. Стратегијата броење до се користи кога ученикот познава еден собирик и збирот. Тогаш ученикот брои од познатиот собирок до збирот сè додека не го најде непознатиот собирок. Броењето до наликува како и броењето од (пр., за 5 + ? = 8, ученикот вели „5, (пауза) 6, 7, 8“). Ученикот може да ги става преброените елементи во едено множество и да прекине со тоа откако ќе го слушне бројот што го означува збирот. Ваквата постапка на решавање понекогаш се нарекува додавање.

Исто така, учениците може да го спроведат ваквото решавање со броење со следење на вториот број, спојување со употреба на прстите до вториот број или употреба на аудиторни шеми или двојно броење. Фусон (1992)105 ваквите методи на следење ги нарекува „постапки со решвање во секвенци“, притоа разликувајќи ги од постапката за пребројување на предмети што е погоре опишана.

Броењето наназад може да се подели во две класи, броење наназад од и броење наназад до. Броењето наназад од наликува како да е спротивно на броењето од, и тоа се прави кога збирот и едниот собирок се познати. За 8 – 5, детето вели „8 (пауза) 7, 6, 5, 4, 3“. При броењето, детето следи колку елементи се преброени со користење на елементите или прстите. Со примена на ваквата стратегија, детето запира кога изговорило 5 броеви по 8. Одговорот е три (3). Со тоа се искажува кардиналното својство на множеството кое ги содржи преостанатите елементи (т.е. непознатиот број). Ученикот може вербало да следи со изговарање на износот, а потоа со двојно броење наназад: „8 (пауза) 7 (едно помалку), 6 (две помалку), ....3 (пет помалку)“. Тој запира откако ќе каже „пет помалку“. Во двата случаи е важно ученикот да разбере дека „осум (8)“ не е дел од броењето. Тоа е износот од кој се одзема 5.

Броењето наназад до е спротивно на броењето до. Ученикот го знае збирот и едниот собирок, ги пребројува предметите наназад со формирање ново множество и запира кога ќе го изговори познатиот број. За 8 – 5, ученикот брои 8 (пауза), 7, 6, 5, притоа отстранувајќи ги елементите. Ваквата постапка на решавање не се користи толку често како броењето до или броењето наназад од.

И кај стратегијата со броењето наназад од и стратегијата со броењето наназад до, учениците може да ги користат прстите, аудиторните шеми или двојното броење за следење на бројот на преброени елементи, отколку за пребројување на елементите на

105 Fuson, 1992, стр. 108.

330

множеството формирано од отстранети предмети. Голем број деца го усовршуваат користењето на ваквите постапки за решавање со секвенци.

Броењето наназад е потешко од броењето нанапред. Способноста да се започне со кој било број и потоа да се продолжи со броењето е подеднакво тешка за голем број ученици. Во ситуации кога едниот собирок и збирот се познати, за повеќето ученици броењето нанапред од познатиот број до познатиот збир е значително полесно отколку броењето наназад од или броењето наназад до.

Спојување. Конечно, со стратегијата спојување, ученикот ги поставува двете множества во редослед еден-со-еден и ги брои само оние елементи кои немаат свој пар.

Броење и месна вредност на цифра во број

Со зголемувањето на броевите, стратегиите за броење треба да се поврзат со декадниот броен систем (основниот систем на десетки) од нашиот броен систем. Разбирањето на основниот нумерациски систем на десетки, кој е клучен за работење со математиката, станува особено важно кога учениците работат со повеќецифрени броеви.

Иако е мал бројот на расположливи истражувања за развојот на знаењето за месната вредноста на цифра во број, идентификувани се три фази на таквото разбирање106.

Во првата фаза учениците може да ги поделат бројките во десетки и единици. Се чини дека учениците прво ги пребројуваат полните десетки или полните стотки (т.е. 10, 20, 30, 40, или 100, 200, 300, 400). Тие може одделно да ги пребројуваат, но ќе прават грешки кога ќе треба да ги спојат стотките, десетките и единиците. Особено е важно учениците да имаат повеќе можности за вербално броење со употреба на споменатите методи. За време на оваа фаза, учениците главно ќе можат:

a) точно да ги споредат повеќецифрените бројки,

б) да додадат или одземат 10 од збирот многу побрзо отколку другите броеви,

в) да бројат до 10 започнувајќи од кој било број, и

106 Resnick, 1983

331

г) да создадат ментални алгоритми што ја користат способноста за броење до 10.

За време на втората фаза на разбирање на месната вредност на цифра во број, учениците препознаваат дека броевите (количествата) може да бидат составени на повеќе од еден начин. Тие почнуваат да разбираат како да прават размени (прегрупирања).

Пример: (Почеток) 1 десетка и 18 единици се 28 единици.

(Активност) (Ученикот разменува 10 единици за 1 десетка.)

(Резултат) 2 десетки и 8 единици се 28 единици.

Учениците осознаваат дека количествата може да се изразат на повеќе од еден начин, а притоа да се сочува првичниот број (одржување на еднаквост). Мора да се обезбеди континуирано вежбање со манипулативи, заради утврдување јасно разбирање на постапката со размена (прегрупирање).

Учениците треба да продолжат со броењето за да докажат дека нивните размени (различни групирања) го зачувуваат првичното количество. Откако учениците започнуваат да работат со ваквиот концепт, тие треба да пребројат за да ја потврдат еднаквоста. Традиционалните пишани алгоритми кои бараат размени, треба да се воведат само откако учениците ќе разберат дека 10 единици се еднакви на 1 десетка.

Третата фаза на разбирањето е утврдување на месната вредност на цифра во број и како тоа може да се запише. Со употреба на манипулативи и концепти на размена, учениците развиваат разбирање на бројната структура. Доколку учениците работат на целиот проблем со употреба на манипулативи, а потоа се запишува целиот проблем, тие не можат да поврзат што направиле во пишаната постапка користејќи математички симболи. Наставникот мора да прави силни, директни, чекор-по-чекор врски помеѓу конкретните манипулативи и пишаните математички симболи во секој чекор од процесот107.

107 Fuson, 1992, стр. 164; Resnick & Omanson, 1987.

332

ИМПЛИКАЦИИ ВО ПОУЧУВАЊЕТО

Како што беше претходно забележано, броењето значително придонесува кон разбирањето на учениците за претставување на броевите.

Заклучоците од истражувањата, за кои беше претходно дискутирано, имаат импликации за практиката на поучување.

Во овој дел ќе дискутираме за неколку од овие импликации во зависност од нивната поврзаност со конкретни теми.

Подготвеност за броење

Дел од практиките за поучување што Фусон108 ги сугерира го вклучуваат следното:

1. Младите ученици треба да се поттикнуваат да бројат наглас, притоа покажувајќи на елементите што ги бројат! Треба да се обезбедат многу можности учениците да учествуваат во групни заеднички одговори или пак индивидуално вербално броење. На почетокот е потребно на учениците да им се укаже да не бројат во себе.

2. Треба да се пренесе ставот дека броењето е тешка работа и дека тоа бара концентрација, соработка и напор. Броењето не треба да биде прикажано како нешто што лесно се учи или нешто за што не треба да се размислува.

3. Постарите ученици може, исто така, да имаат придобивки од можностите за вербално броење со употреба на поголеми броеви, (броење со шеми, броење со прескокнување и броење на полни десетки).

Во текот на наставата, настануваат многу ситуации што се поврзани со математиката што се изучува во подоцнежната наставна програма. При дискутирање на импликациите за поучување, ваквите поврзувања се забележани онаму каде е соодветно.

108 Fuson, 1992, стр. 62.

333

Броење со шеми

Броењето со шеми од 5, 10, 20, 25, 50 и 100 е особено корисно за примена во подоцнежните операции што се поврзани со месната вредност на цифра во број, како и за активностите поврзани со кажувањето на времето и пребројувањето пари. Учениците треба често да вежбаат со вербалните модели за броење. Ваквите искуства треба прво да се поврзат со конкретни модели (пр., стапчиња, џамлии, бонбони, копчиња, милиметарска хартија, монети).

Броењето со шеми е корисно за голем број ситуации. Пр. утврдување на значењето на бројот 52 (тој е составен од 5 десетки и 2 единици) „10, 20, 30, 40, 50, 51, 52“. Соопштување на времето на пример: четири часот и „5, 10, 15, 20, 21, 22, 23“ минути.

Дел од активностите што го олеснуваат броењето со шеми го вклучуваат следното:

1. Со употреба на табелата „стотка“, учениците бојат согласно со шемата што ја определува наставникот, на пр.: „Обојте го...“ (пр., секој втор број, секој трет број). Потоа наставникот ги насочува учениците вербално да ги повторуваат обоените броеви. Ова може да се направи како активност во која учествува целото одделение, било да се во групи, парови или индивидуално.

2. Потоа учениците може да опишат како бројат и што се случува кога трба да го кажат следниот обоен број од дадената шема (за колку се зголемува последниот искажан број) според она што го гледаат на табелата „стотка“.

3. Се поттикнува броење со прескокнување нанапред и наназад.

Броење на поголеми броеви

Со наголемување на броевите и усложнување на манипулативите, формалните можности за броење често исчезнуваат. Учениците треба да го разберат значењето на поголемите броеви, исто како што го разбираат значењето на помалите. Предметите или манипулативите, како што се блоковите со десет, треба да се користат за моделирање на броевите, при што ваквите модели се употребуваат за претставување на вкупното количество.

Во училницата, учениците треба да имаат можност за броење на големи збирки предмети. Ова може да се спроведува во текот на целата школска година, додека учениците собираат општи предмети како што се капачиња од шишиња или стапчиња од сладолед и други стапчиња. Домаќинот на училиштето може да помогне во пронаоѓањето или да направи контејнер за чување, со

334

што целото училиште ќе може да го следи и/или да учествува во таквото собирање.

1. Еден од начините за собирање на конкретни предмети е започнување на збирка од илјади или милиони што може да се направи во текот на една година. Броењето продолжува со секојдневното додавање на предмети во збирката. Другите активности може да се однесуваат на графичко претставување на напредокот, одземање заради утврдување на тоа уште колку е потребно за да се постигне целта и фотографирање на збирката во различни моменти (1, 10, 100, 1000, 10000, 1000000) така што ќе може да се направат споредби.

2. Друга алатка за броење големи количества е милиметарската хартија, која е достапна и е со квадрати во различна големина. Од учениците може да се побара да го проценат бројот на квадрати на листот, а потоа да пребројат заради утврдување на точниот број. Ќе бидат утврдени различни начини за скратување на процесот на броење, почнувајќи од обичното пребројување на секој квадрат.

3. Потоа, на учениците може да им се дадат стотици квадрати и од нив може да се побара да обојат одреден број квадрати. Тие може да додадат број од стотици квадрати заедно за да создадат илјада, десет илјади, итн.

4. Броењето со 10-ки и 100-ки е од голема важност, особено при утврдувањето на месната вредност на цифра во број. Тоа може да се применува сè додека учениците не ја разберат месната вредност на цифра во број, а посебно при запишување на броеви со кои е искажано поголемо количество.

Броење од и броење до

Броењето од и броењето до се важни стратегии за компетентно и ефикасно решавање на проблемите со собирање и одземање додека учениците ги учат основните факти. На почетокот, броењето од и броењето до треба да се прават со предмети или прсти. Активностите што ги промовираат ваквите вештини се важни за инкорпорирање во инструкциите во училницата. Уште во предучилишната возраст, учениците треба да се поттикнуваат да бројат од даден број.

Подолу се наведени одредени предлози за активности. Во првата група се промовира развојот на разбирање на секвенцата на броевите; во втората, развојот на стратегиите за собирање и одземање. Втората група може да се приспособи кон олеснување на броењето од или броењето наназад.

335

Развој на разбирање на секвенците:

1. Вие започнете со броењето, а потоа оставете го ученикот да заврши.

2. Со броењето нека започне еден ученик, а потоа другите нека завршат.

3. Покажете број на карти и побарајте учениците да продолжат со броењето.

4. Учениците нека користат стапче со кое ќе покажуваат од каде започнале со броењето.

5. Во една табела или колона нека биде означено започнувањето со броење, а во друга табела или колона продолжувањето со броење.

6. Учениците нека си подаваат кадифена играчка или друг предмет додека бројат.

7. Дадете или покажете број и прашајте кој е неговиот следбеник или претходник, особено кај десетките (29, 30) или стотките (199, 200)!

8. Вежбајте броење со пеење песни, како што е песната „Десетте мали мајмуни што седат на дрвото“ (Ten Little Monkeys Sitting in the Tree)!

Развојот на вештините кај стратегиите со собирање и одземање:

1. Ученикот нека започне со кажување на кардиналниот број на првото множество, а потоа нека продолжи со броење на елементите на другото множество.

2. Учениците нека бројат од еден број до друг (пр., започнување од 27 и броење до 52; започнување од 35 и броење наназад до 23).

3. Употребете коцки, една со цифри од 1 до 6, а другата со точки од 1 до 6 точки на ѕид. Ученикот нека го каже бројот на коцката со цифрите и нека продолжи со броење на точките на втората коцка. Оваа активност може да се користи за броење од или броење наназад.

4. Употребете групи од сè што е спакувано со означен број (пр. пакетче од 5 гуми за џвакање, кутија со осум боички). Формирајте множество од пакетчето и додадете уште неколку идентични елементи. Оставете учениците да определат колку елементи има новоформираното множество.

336

5. Учениците нека користат домино; започнете да броите од кардиналниот број на точки од едната страна и продолжете со броење на точките од другата страна на доминото.

6. Нумерирајте ги стапчињата од сладолед. Учениците избираат две стапчиња. Го читаат бројот запишан на првото стапче, а потоа и бројот запишан на второто стапче. Во зависност од големината на броевите кои се прочитани, учениците треба да утврдат дали почнувајќи од првиот број ќе бројат нанапред од или ќе бројат наназад од, до бројот прочитан на второто стапче.

Претставување на броењето

Завршните коментари во овој дел разгледуваат различни методи што може да се вградат во инструкциските активности заради развивање на способноста на учениците поврзана со броењето. Овие методи користат различни претставувања (т.е. прсти, цифри, мерна единица и бројна права) заради проширување на искуствата на учениците со броење на апстрактни предмети.

Броење со прсти

Учениците треба да имаат широко искуство со манипулативите што ќе им помогне да ги разберат концептите на количеството. Но, манипулативите нема секогаш да бидат присутни. Прстите се дискретна алатка што може да ги замени конкретните материјали кога тоа е потребно. За одредени ученици, можноста да ги користат прстите заради постигнување точност, може да биде разлика меѓу успехот и неуспехот. Учениците на кои сè уште не им се познати нивните основни факти, можат успешно да решаваат проблеми и најверојатно ќе продолжат да вложуваат напори во математиката. Важно е да се оддели време за учење на шемата со прстите заради ефикасна употреба, од страна на учениците, во проблемите со повеќецифрени броеви.

Броењето со прсти може да биде со две раце или со една рака. Најчестиот метод е методот со две раце. Фусон109 го користеше методот со една рака врз основа на шемата со прсти употребена во Chisanbop. (Овие методи се подетално разгледани во Thinking Mathematics, том IT: Foundations, training unit on the Value of Fingers, Counting, and Finger Counting, (Основи, дел за обука за вредностите на прстите, броење и броење со прсти).

109 Fuson, 1992, стр. 123.

337

Броење на бројна права

Голем број наставници користат интервали или должини со „скокови“ на бројната права за да го прикажат броењето. На пример, кога се одзема 8 – 2, просторот меѓу 8 и 7 е првиот интервал; просторот меѓу 7 и 6 е вториот интервал. Бројот до кој ќе дојдете е бараниот одговор. Ваквата активност е слична на броењето надолу. Вертикалните бројни прави можат исто така да бидат корисни затоа што тие го рефлектираат интуитивното разбирање на децата (пр. станувањето повисок значи станување поголем). Манипулативите, како што се стапчињата „Cuisenaire“ поставени од еден крај до друг, се добри модели за прикажување на должината или растојанието помеѓу броевите. Броењето со употреба на интервалите на бројната права, како и употреба на моделот со должина, бараат поапстрактно разбирање отколку броењето конректни предмети.

Броењето е математичка вештина која обично се сфаќа како нешто што се случува само по себе. Сепак, броењето ги утврдува темелите за основните аритметички операции што главно претставуваат скратено броење.

СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ Броење заради собирање и одземање

Способноста на учениците да бројат се поврзува со нивната способност да собираат и одземаат. Начините на учениците за претставување на броевите и нивните постапки за решавање со собирање и одземање на едноцифрени броеви минуваат низ најмалку четири нивоа110. Во првото ниво учениците ги користат своите вештини за броење за решавање проблеми преку директно моделирање и претставување на проблемот. Тие може да бројат групи предмети и може да ја означат низата со последниот пресметан предмет. Со употреба на ваквите директни техники на моделирање, 90 проценти од децата во предучилишна возраст можат да решаваат голем број проблеми со собирање и одземање (пр. оние идентификувани како едноставни во Табелата 6 на страница 79).

110 Fuson, 1992, стр. 81.

338

Во второто ниво учениците започнуваат да користат поефи-касни стратегии за броење (пр. броење од, броење надолу) за целите на решавање на проблеми. Тие сè уште користат конкретни предмети како помошно средство во употребата на стратегиите за броење. Во третото ниво учениците продолжуваат да ги корис-тат нивните поефикасни стратегии за броење за решавање на проблемите, но конкретните предмети повеќе не им се потребни. Зборовите за бројките стануваат субјектите што ги претставуваат бројките и збировите. Токму во ова фаза, броењето со прсти може да стане особено корисно средство кое им помага на учениците да ги следат бројките додека бројат од и бројат надолу за решавање на текстуалните проблеми.

Во четврото ниво учениците повеќе не се врзани со акциските секвенци предложени со текстуалните проблеми. Тие може да ја употребат тројната структура (пр. 3 + 5 = 8; 8 – 3 = 5) на бројките. Трите бројки стануваат одделни и може флексибилно да се поврзат. На ова ниво, броењето веќе не е потребно. Учениците може да ги претстават проблеми со апстрактни белешки каде што белешката директно не ја моделира активноста на проблемот. Кулминацијата на ова ниво, според Фусон111, е директно меморирање на фактите за собирање и одземање. Фусон112 ги нарекува ваквите односи нумеричка еквиваленција додека Ресник113 ги нарекува делумно-целосни односи, исто како и Стеф, Коб и вон Глазефелд114.

Она што тука треба да се истакне е дека учениците може да решат разни текстуални проблеми со собирање и одземање на секое од овие нивоа, и дека основата за ваквите постапки на решавање е броењето. Учениците користат различни алатки (пр., конкретни предмети, броење со прсти) и стратегии на различни нивоа. Тие се помалку или повеќе ефикасни во наоѓање на решението, но можат да размислуваат за проблемот, да го претстават проблемот и да го решат. Клучната точка што треба да се спомене е дека ваквите постапки на решавање се базираат на доброто познавање на броењето од страна на учениците.

111 Fuson, 1992, стр. 96. 112 Fuson, 1988. 113 Resnick, 1983. 114 Steffe, Cobb & von Glaserfeld, 1988.

339

Адитивни структури

Терминот адитивни структури115 се однесува на широк опсег односи поврзани со собирањето и одземањето. Дел од ваквите односи, вклучени во оваа концептуална област на адитивни структури, е спротивниот однос на собирањето и одземањето, пресоставувањето, разложувањето на броевите, составување-то и класификацијата на текстуалните проблеми.

Спротивниот однос на собирањето и одземањето едноставно значи дека ако а + b = c, тогаш c – а = b и c – b = а. Ваквиот спротивен однос, заедно со комутативното својство на собирањето (промена на редоследот на собироците не го менува резултатот) овозможува формирање на „сродни факти“. На пример, броевите 5, 6 и 11 формираат таква поврзаност.

5 + 6 = 11 11 = 5 + 6

6 + 5 = 11 11 = 6 + 5

11 – 5 = 6 6 = 11 – 5

11 – 6 = 5 5 = 11 – 6

Ваквите факти за учениците може да бидат моќна алатка да ги разберат односите меѓу различната поврзаност на броевите.

Разложување на броеви

Броевите може да се разложат и состават на многу различни начини при решавање на проблем. Деловите се менуваат, но целината останува константна. На пример, бројот 10 може да се разложи на многу начини од кои: 10= 8 + 2, 10=6 + 4 или 10=3 + 7. Поголемиот број, како што е 234, може да се разложи како 234 = 200 + 20 + 14, или 200 + 34, или 230 + 4. Ова не е очигледно за помалите ученици.

Составувањето ја вклучува забелешката дека додавањето на одреден број елементи во дадено мнжество, а потоа одземање на истиот број елементи од истото множество, се активности што се заемно спротивставени. На пример: Ако во множество со 15 елементи, додадеме 3 елементи, а потоа одземеме 3 елементи од од него, не го менува бројот на елементи во множеството.

Другиот аспект на составување е забелешката дека собирањето или одземањето на ист број елементи од еквивалентни множества не ја менува нивната еквивалентност.

115 Vergnaud, 1982.

340

На пример: дадени се две еквивалентни множества од џамлии. Во едното има 10 сини џамлии, а во другото 10 црвени џамлии. Додавањето на 7 сини џамлии во првото множество и 7 црвени џамлии во второто множество ја одржува еквивалентноста на двете множества.

Третиот аспект на составување е дека резултатот ќе биде константен доколку конкретна вредност е одземена од едниот број и додадена на другиот. На пример, 72 + 38 имаат ист резултат како 70 + 40 бидејќи 2 може да се одземе од 72 и да се додаде на 38. Двете активности заемно се компензираат. Секоја од овие активности може лесно да им се покаже на учениците преку броење на конкретни предмети.

Со равенство, ученикот може да разложи и повторно да состави броеви или да користи составување за полесно решавање.

Дадени се три различни начини за пресметување на збирот

36 + 29.

Ученикот А

ги разложува броевите како збир од полна десетка и единици.

36=30+6 и 29=20+9

36 + 29 = 30+6+20+9

Прво го пресметува збирот на полните десетки 30 + 20 = 50,

а потоа го пресметува збирот на единиците 6 + 9 = 15.

Потоа пресметува 50 + 15 = 65.

Ученикот Б

го разложува бројот 29 како 29=20+9.

36 + 29

36 + 20 + 9

36 + 20 = 56

56 + 9 = 65

341

Ученикот В

додава 30 наместо 29 и составува

36 + 29

36 + 30 = 66

66 - 1 = 65.

Концептите на спротивност, при разложување и составување, не се сосема очигледни за учениците. Употребата на манипулативи и работни простори може да им помогне на учениците во разбирањето на ваквите концепти и развивањето на солидно разбирање на спротивниот однос меѓу собирањето и одземањето. Ваквата повеќесензорска алатка им овозможува на учениците да ја осознаат идејата дека броевите може да се составуваат на голем број различни начини.

Активностите што ги вклучуваат учениците во самопотврдување дека ваквите принципи се особено важни во развивање на нивното разбирање на броевите е и основа за разбирање на математичките принципи.

УПОТРЕБА НА ОСНОВНИТЕ ФАКТИ

Дел од стратегиите за употреба на „основните факти“ за собирање и одземање се следните:

а. Броење од познат факт при собирање или одземање.

б. Помислете на најблискиот двоцифрен број и додадете/одземете или бројте нагоре/надолу од таму (7+8=7+7+1).

в. Додајте, одземете до полна десетка [7+8=(7+3)+5] [14-6=14-4-2].

г. Употребете комутативното својство на собирањето (8+6=6+8).

д. Меморирање. Дискутирајте за разликите меѓу меморирањето со механичко повторување и меморирањето со разбирање. Решавањето на голем број проблеми со употреба на стратегиите со размислување на учениците им овозможува да бидат постојано ангажирани и обезбедува пракса која на крајот ќе води кон автоматско сеќавање на собирањето и одземањето на едноцифрените броеви.

342

Стекнување на основните факти во наставната програма

I. Преглед на документите што ја поддржуваат неоспорната потреба учениците да ги научат основните факти за броевите до автоматизам.

А. НСНМ (NCTM)

1) Сметачите не ја заменуваат потребата од научување на основните факти, менталното пресметување или пак соодветно пресметување со примена на лист и молив (стандарди на НСНМ (NCTM) 1989, стр. 19).

2) Стандард 8: Пресметување на целиот број. Во степените К-4, математичката наставна програма треба да креира пресметување на целиот број така што учениците ќе може да моделираат, објаснуваат и да развијат соодветна вештина со основните факти и алгоритми... Помагањето на децата во нивното развивање на стратегиите со размислување за учење на основните факти им овозможува да ги разберат односите и математички да размислуваат. (стандарди на НСНМ (NCTM) 1989 стр. 44).

3) Децата треба да ги усовршат основните факти на аритметиката, што се главните компоненти на флуентноста, со употреба на листот и моливот и менталното пресметување и оценување. Меѓутоа, истовремено, таквото усовршување не треба прерано да се очекува. Вежбањето со збир од факти треба да се користи само откако децата ќе развијат ефикасен начин за доаѓање до резултатите за таквите факти.

II. Споредување на акустична дебата/дебатата за целиот јазик со основната дебата/дебатата за решавање на проблемите. Што е еквивалентно за фонетиката во математиката?

А. Пред учесниците изнесете факти дека фонетската свесност –способноста за спојување на буквата со звукот, се смета за основна вештина која учениците мора да ја научат пред да научат да читаат. (Истражувањето за читањето е наведено во модулите за читање во AFT ER&D и летните изданија на „Американски едукатор“ (American Educator) од 1997 и 1998 година). Само откако младите ќе можат да го сфатат напишаното, ќе можат да го сфатат и значењето на текстот.

343

Б. Овозможете учесниците да дискутираат за она што тие го сметаат за паралелна основа на која е поставена математиката или аритметиката.

ЗАБЕЛЕШКА: Основниот градбен блок на математиката што е паралелен со фонетската свесност е броењето. Откако учениците ќе ги усовршат фазите на броење, како што е идентификувано од Гелман и Галистел, (броевите во редослед еден-со-еден и разбирањето дека последниот број ги опфаќа сите преброени предмети), тие ќе можат да ги сфатат и да ги решат едноставните проблеми. Ова може да се направи пред да бидат децата упатени во основните факти за броевите.

III. Преглед на докази за ефективноста на алтернативните стратегии за развој на автоматизмот со основните факти. (Ваквото истражување е на страница 58 во „Основите во математиката“ (Thinking Mathematics Foundations).

IV. Преглед на европското мислење за развој на математичката писменост и кинеското мислење за меморирањето.

А. Математичка писменост.

1. Идејата за учење на основните факти, според Бирхоф, вклучува употреба на основните факти за работните проблеми.

2. Целта за седумгодишните деца се фактите до 20; за осумгодишните, факти до 100. Почетните фази на аритметиката во голем број земји се утврдуваат постепено, но се развиваат подетално. Ова им овозможува постигнување повисоки нивоа без толку многу повторување, какво што има во наставната програма на САД.

3. Голем акцент се става врз менталното и вербалното пресметување, спротивставено на моливот и листот.

4. Откако децата ќе ги научат броевите до 20, тие може да изградат рамка со десет основи од 20 до 100. „Десет“ станува клучна единица, а учениците ја изедначуваат 10 со десет единици. Ова се случува само откако „празнините“ помеѓу десетте „столбови“ (пр. 21–29) се пополнети. Проблемите со пресметување во овој момент употребуваат износи до 20 или бројки со десетки. По ова следи собирање или одземање на десетките од кој било број кој е дотогаш научен. Разбирањето се изградува со разгледување на броевите во раздвоена (проширена) форма (52=50+2) повеќе отколку преку „која цифра е на кое место“.

344

Сите горенаведени мислења се особено компатибилни со пристапот во математика со размислување. Нова е перспективата со креирање на рамки со десетки за броевите од 20 до 100 пред да се работи со 21, 22 итн.

Б. Меморирање. Дискутирајте за разликите меѓу меморирањето со механичко повторување и меморирањето со разбирање од книгата „Кинескиот ученик“ (The Chinese Learner)116.

1. Дајте историјат на книгата. „Кинескиот ученик“ е книга со која се прави обид да се анализира причината за успехот на кинескиот ученик. Книгата е составена од Дејвид Ватсон и Џон Бигс кои утврдија одредени грешки во теориите за бихевиорално и информациско обработување (когнитивни). Според нив, грешката кај последните е што фокусот е „премногу во процесите на учење на учениците, како таквото учење да се случува во вакуум. Всушност, средината за учење има длабоки ефекти врз учењето“. Во согласност со спроведените интервјуа со универзитетски студенти, беа идентификувани три пристапи.

а. Површинско учење. Лицето сака да постигне нешто определено или сака да положи тест и да научи доволно за да го направи тоа. Ваквите ученици често одвојуваат клучни детали или термини и ги меморизираат.

б. Детално учење. Лицето е заинтересирано за она што треба да се научи и се обидува да го разбере преку поврзување на идеите и поширокото читање. Ваквите ученици потоа се обидуваат да ја разберат пораката.

в. Учење со постигнување. Целта е добивање највисока оценка и стратегијата да се биде ученик модел. Прави сè што е од него побарано, точен е, чита дополнителна литература итн.

В. Пристапот со детално учење во Кина произлегува од традицијата на Конфучие. Ќе приложиме два извадоци од учењето на Конфучие:

1. Потрагата по знаење без размислување е трошење на трудот; размислувањето без потрага по знаење е опасно.

116 David A. Watkins and John B. Biggs (1996). The Chinese Learner: Cultural, Psychological and Contextual Influences (Кинескиот ученик. Културните, психолошките и контекстуалните влијанија), Хонг Конг: Comparative Education Research Centers.

345

2. Учењето е процес на „детално учење, внимателно истражување, детално задлабочување, јасно раздвојување и ревносно вежбање...“ (The Mean, XX.9).

Г. Во кинеското учење постои традиција на меморирање. Меѓутоа, кинеските обучувачи на наставници прават разлика меѓу механичката меморија и меморирање со разбирање. Тие сметаат дека ова е важна разлика. Подолу е даден опис од еден обучувач во врска со таквата разлика.

„Механичката меморија значи дека нешто е запомнето преку механички процес, без вклучено размислување или разбирање. Додека меморијата со разбирање вклучува размислување со умот. Се обидувате да си ги разјасните односите меѓу предметите, а потоа се обидувате да ги запомните“ (стр. 76).

Шестнаесет од 17 кинески обучувачи се согласни дека зрелите индивидуи полесно го меморираат или помнат она што го разби-раат. Не е голем бројот на оние што веруваат дека разбирањето може да се развие преку меморирање. (Ова се поврзува со истра-жувањето на концептуалното и процедуралното учење со кое се утврди дека е многу потешко да се развие разбирањето откако постапката е научена).

Меѓутоа, постојат случаи кога механичката меморија е единс-твениот можен начин за учење. Тука е вклучено учењето на ра-боти како што е азбуката, буквите и звуците, редоследот на броење и географските имиња.

Дел од обучувачите ја забележаа вредноста на повторувањето и користеа како пример повторување на дел од текст. Со текот на времето, тие ќе запрат и ќе го разгледаат текстот и можеби ќе утврдат точки или одредени ситни детали што претходно не ги забележале.

V. Преглед на јапонското мислење за учењето и фактите за учење на множењето.

Јапонските упатства за учење на фактите за множење се чини дека го олеснуваат меморирањето на основните факти со разбирање спротивно на механичката меморија.

А. Истакнете дека целиот материјал што тука се користи, а е поврзан со факти со множењето, е приспособен од преведен јапонски прирачник и упатство за наставниците. Содржината е реорганизирана така што коментарите што се однесуваат на одреден проблем со предавањето се групирани заедно.

346

Б. Учесниците нека се поделат во две групи. Побарајте еден учесник да го прегледа материјалот за собирање/одземање, а друг учесник да го прегледа делот со множење. Секоја од групите нека ги разгледа главните цели, најважните математички концепти и усогласување или неусогласување со пристапот на математичкото размислување. Претставник од секоја група треба да информира за нивните заклучоци пред целата група.

VI. Различни видови вежби

Обрнете внимание на фактот дека флуентноста на ученикот со основните факти може да се олесни со употреба на кратки вежби изградени околу стратегии какви што се сугерирани во европската литература или во том 1.

Учење на основните бројни факти и пресметувањето

Основната аритметика сè уште има големо значење во наставната програма каде што се истакнати вештини на повисоки нивоа. Истовремено, важно е да се знае дека постојат стратегии за учење на основната аритметика што е усогласено со пристапот на ма-тематичкото размислување. Ваквите ресурси, комбинирани со истражувањето на броењето и вредноста на местото во математичкото размислување (том 1: Основи), би требало да ја поддржат транзицијата кон инструкциите што ја истакнуваат вештината во основната аритметика, математичкото размислување и решавање на проблемите.

Собирање и одземање

Стратегиите за собирање и одземање, што се тука предложени, беа опишани во истражувачката студија од 1996 година, Поставување на основните на математичката писменост: Споредба на примарните учебници во Велика Британија, Германија и Швајцарија, од Хелва Бирхоф. Студијата беше објавена од Националниот институт за економија и општествено истражување од Лондон. Во прегледот се дадени вообичаените секвенци во учењето на основното пресметување што се користи на европскиот континент. Можете да го забележите присуството на голем број стратегии предложени од математика со размислување. Иако студијата беше фокусирана врз искуствата на Велика Британија, Швајцарија и Германија, се појавија слични стратегии во статиите за предавањето во Холандија така што во референците кон „континентот“ се опфатени поголем број од наведените земји. Следат неколку пракси забележани во студијата.

Бројни факти

347

„Учењето“ на фактите вклучува нивна употреба во работните проблеми.

Фактите до 20 се очекуваат за 7-годишна возраст. Фактите до 100 се очекуваат за 8-годишна возраст. Голем акцент е ставен врз менталното и вербалното пресмету-

вање. Одредување на месната вредност на цифрите во број. Кога децата ќе стигнат до бројот „20“, тие учат преглед што се

справува со двоцифрените броеви (до 100), пред да ги пополнат празнините. Кон ова се придава особена важност.

Тие го развиваат концептот дека една „десетка“ е составена од десет единици.

Потоа тие почнуваат со собирањето и одземањето само со двоцифрени броеви: на пр., 20 + 10, 80 – 40, 100 = 50 + ?). Со ова се обезбедуваат „столбовите“ за новиот опсег на броеви.

Помал акцент е ставен врз познавањето на „5 единици, 2 единици, а повеќе врз мислењето дека 52 е составено од „50 и 2“. (Како што сугерира математичкото размислување, тие се однесуваат на следењето на целите количества).

Кога се бројат основните блокови од десетки, наставниците ги поттикнуваат учениците да речат, „10, 20, 30“, а не „1, 2, 3 десетки“.

Наставниците ја истакнуваат важноста од гледањето на броевите во сто квадрати, како и на бројни линии, заради обезбедување чувство за учениците на целина, односи и шема. (Уште една цел на математичкото размислување).

Учениците наоѓаат броеви што се за десет помали и за десет поголеми од дадениот број. (Вредност прикажана на видео на математичкото размислување).

Учениците го наоѓаат следниот најнизок квадрат од десет на даден број.

Пристапи кон пресметувањето

* Стратегии за менталното пресметување Менталното пресметување е важно. Наставниците користат ментални алатки што се супериорни на

броењето, како што е стратегијата за составување, сугерирана од математичкото размислување:

* 37+26 = 37+20+6

* 54+38 = 52+40

* 26+59 = 26+60–1

348

Наставниците го покажуваат секој концепт со манипулативи, бројни линии и/или бројни табели, слики, апстрактни броеви, а потоа можеби со пари.

* Поделба на формите на равенки.

Ова не е варијација од општата пракса.

Праволиниско собирање (со премин) 23 + 4 = ?

Со непозната 23 + ? = 27 и 27 = ? + 23.

Равенство со дадени три броја 8+7+6 и неравенките 23 + ? < 27.

* Варијации на предложените вежби.

Овие вежби се слични на оние предложени со математика со размислување. Тие се насочени кон размислувањето за врските помеѓу изразите.

Аналогни суми 5 + 4; 50 + 40; 500 + 400.

Поврзани суми, еден број е константен 36 + 5; 37 + 5; 38 + 5.

Суми: еден број се зголемува, еден се намалува 56 + 5; 57 + 4;

58 + 3; 59 + 2.

Спротивни операции 32 + 6 = ?

38 - 6 = ?

37 - 5 = ?

32 + 5 = ?

Поделба на операцијата во помали чекори 58 + 5 = 58 + 2 + 3.

45 + 9 = 45 + 5 + 4

63 – 8 = 63 – 3 – 5

Пракса до автоматизам

* Укажување на поефикасни методи.

Голем дел од континентот премина од методот на собирање во 3 чекори, т.е.

349

23 + 64

20 + 60 = 80

3 + 4 = 7

80 + 7 = 87,

кон поефикасниот метод во два чекори:

23 + 64

23 + 60 = 83

83 + 4 = 87.

Програмата математика со размислување ги предлага двете стратегии како начин на размислување на децата во врска со собирањето, притоа внимавајќи на целите количества наместо тие да се претвораат во едноцифрени бројки.

350

Главни цели за собирање и одземање117

I. Развој на разбирање на броевите и количествата.

II. Разбирање на значењето и корисноста на собирањето и одземањето.

III. Разбирање на месната вредност на цифрите во бројот.

IV. Разбирање на ситуациите во кои собирањето или одземањето може да се користат во решавање проблеми и способност за нивно решавање.

V. Пресметување.

VI. Познавање на основните својства на собирањето и нивна употреба во креирање алгоритми или проверка на резултати.

VII. Способност сумите и разликите да се искажат со автоматизам.

VIII. Учениците може да постават проблеми што се соодветни за собирањето и одземањето.

IX. Продлабочено разбирање.

117 Идеите во овој дел се преземени од истражувачка студија на Хелва Бирхоф за примарните учебници во Британија, Швајцарија и Германија.

351

Цели Разгледувања/активности Проблеми/ интервенции I. Помогнете им на учениците да развијат разбирање за броевите.

1) Помогнете им на учениците да разбе-рат дека кога бројат, последниот број ис-кажува колку има предмети во целата група!

Учениците точно нека ги претстават броевите со предмети.

Учениците точно нека ги претстават предметите со употреба на броеви.

Учениците нека ги поделат броевите од најмал до најголем и нека ги постават на бројна права и бројна табела. Нека ги подредат и од најголем до најмал број.

Помогнете им на учениците да го разберат бројот во врска со другите броеви преку негово гледање како на износ или нивна разлика!

6 + 3 = 9 така: 6<9, 3<9, 9>3, 9>6 Забелешка: со новата јапонска наставна

програма ќе се внесат знаците за неравенки во второ одделение кога учениците имаат петдневна школска недела.

За учениците што сè уште не можат да утврдат поврзаност еден-со-еден, треба да се моделира како да се брои со подредување на предметите така што тие ќе може да се пребројат на обичен начин, а воедно учениците додека бројат нека покажуваат на предметите.

Помогнете му на ученикот да го разбере кардиналниот принцип на броењето, дека последниот изговорен број ја опишува целата група предмети.

II. Обезбедете лек-ции кои им пом-агаат на учениците да го разберат зна-чењето и кориснос-та на собирањето и одземањето.

(1) Помогнете им на учениците да разбе-рат дека кога составувате коли-

Поставете ситуации прво со сумите до 10 и разликите од 10, кои учениците првично ги користат за решавање со употреба на конкретни предмети. Опишете ги нивните активности на решавање како собирање или одземање. Претставете ги решенијата со математичко изразување. Истакнете дека, кога собираме, составуваме елементи. Кога одземаме, ги разделуваме елементите. Креирајте повеќе можности за да можат учениците да ги толкуваат таквите изрази.

Користете го концептот дел-дел-целина,

352

чества, тогаш соби-рате. Кога разделу-вате, одземате.

(2) Помогнете им на учениците да разбе-рат како да ги изра-зат и читаат равенс-твата за собирање и одземање со употре-ба на термините „плус“ и „минус“.

заради прикажување на броевите како се составуваат и разделуваат, со што ќе може да се види спротивната природа на собирањето и одземањето.

Учениците нека разберат како да пишуваат со равенства за собирање или одземање.

III. Обезбедете лек-ции кои им пома-гаат на учениците во изградувањето на вредноста на местото. 1) Откако учениците ќе ги научат првите 20 броја, помогнете им да ја видат орга-низацијата на број-ниот систем.

Помогнете им на учениците во претставување на 2-цифрени и 3-цифрени броеви со основни блокови од 10.

Откако учениците ќе ги научат броевите од 1 до 20, научете ги полните десетки од 20 до 100 без пополнување на празнините.

Поставете ситуации прво со сумите до 10 и разликите од 10, кои учениците првично ги користат за решавање со употреба на конк-ретни предмети. Опишете ги нивните актив-ности на решавање како собирање или одзе-мање. Претставете ги решенијата со матема-тичко изразување. Истакнете дека, кога соби-раме, составуваме елементи. Кога одземаме, ги разделуваме работите. Креирајте повеќе можности за да можат учениците да ги тол-куваат таквите изрази.

Користете го концептот дел-дел-целина, заради прикажување како броевите се соста-вуваат и разделуваат, со што ќе може да се види спротивната природа на собирањето и

353

одземањето. Учениците нека разберат како да пишу-

ваат со равенки за собирање или одземање.

IV. Обезбедете лек-ции кои им пома-гаат на учениците во пресметувањето на двоцифрени броеви.

Помогнете им на учениците во претставу-вањето на 2- цифрени и 3-цифрени броеви со основни блокови од 10. Направете го ова на начин со кој не се затскрива вредноста на повеќецифрените броеви.

Истакнете го менталното пресметување. Менталните стратегии се главно пофокуси-рани на количествата отколку што се листот и хартијата.

Обезбедете различни форми на равенки. Обезбедете различни рамковни вежби за

различни стратегии за собирање. Употребете слични стратегии за одземање

на повеќецифрени броеви.

V. Учениците да ги разберат ситуаци-ите во кои собира-њето или одзема-њето може да се искористи за реша-вање на проблеми и самото решавање.

Поставете ситуациски проблеми и овозможете учениците да одлучат како да ги решат и да го спроведат решавањето. Бидете свесни дека одредени проблеми што

учениците ги решаваат со собирање, возрас-ните би ги решиле со одземање. Ова е при-фатливо сè додека учениците можат точно да објаснат и решат.

Помогнете им на учениците да го разберат процесот на одземање. Обезбедете проблеми што е помалку веројатно да се решат со соби-рање, можеби поради тоа што тие користат броеви што значително се разликуваат, како што се 32 – 6 или 584 – 167 или поради тоа што зборовната поставеност на проблемите

354

силно сугерира дел од нив да се одземат.

Џанел излезе на прошетка со 32 колачиња. Таа им даде по едно колаче на четирите пријатели со кои се шеташе. Колку колачиња таа има сега?

VI. Да се познаваат едноставните својства на соби-рањето и да се ко-ристат за изработ-ка на алгоритми или за проверка на резултати.

Овозможете учениците да го согледаат законот за комутација. Употребете проблем во броевите што се заменуваат. На пр., некој има 3 овесни колачиња и 4 шеќерни; друг има 4 овесни и 3 шеќерни колачиња. Учениците може да ги споредат сумите за 4+3 и 3+4.

Учениците нека кажат приказни во кои се вклучени количествата со математички изрази.

Овозможете ученицие да ја претстават еквиваленцијата и односите во редоследот меѓу количествата со употреба на знаци за еднаквост или нееднаквост.

Тие нека го објаснат значењето на изразите што содржат такви знаци.

Учениците нека ги споредат без пресме-тување, сумите и разликите за изразите што ги користат својствата на операциите и одно-сите на броевите. На пример:

а) Како и за колку ќе се разликуваат сумите?

24+32 и 24+34

16+9 и 19+6

б) Која разлика или сума е поголема и за колку?

355

9+8 и 8+9

3+5+6+4+8 и 10+3+8+5

28-12 и 38-12

47-15 и 47-14

VII. Учениците да можат да ги изго-ворат сумите или разликите по авто-матизам.

Обезбедете различни игри за учениците во кои се користи основното собирање и одзе-мање. Примери за такви игри се следните:

Само фактите, ве молам!

Во оваа игра учениците формираат круг и еден ученик ја фрла топката кон друг, притоа кажувајќи број. Првото лице може да каже „6“, второто „плус 3“, а третото го кажува износот „9“. Доколку резултатот е точен, тоа лице започнува со нов број; доколку згреши, треба да седне. Ученикот што последен ќе остане, а не згрешил, е победникот. (Ова може да се користи со собирање или одземање или да се користат и двата процеса).

Концентрација

Направете низа од карти со броеви за една или повеќе низи на факти и поставете ги во правоаголник. Учениците превртуваат три карти, обидувајќи се да добијат бројки што ќе бидат валиден броен факт (собирање или одземање). Секој ученик ги чува картите за фактите што се точни. Играчот со најмногу

Некои ученици потешко ќе ги меморираат бројките отколку други.

* Помогнете им на овие ученици да развијат привремени страте-гии за добивање точни одговори, како што се: 1. Броење до (или надолу) за еден, два или три. 2. Употреба на исти двојни броеви и броење на плус еден (4+4=8 значи 4+5=9) или на минус (12–6 е 6, значи 12–7 е 5). 3. Направете десет и додадете го она што преостанува. (7+5=7+3+2=10+2=12)

Обезбедете вежби за броење наназад за да можат тоа да го искористат како привремена стратегија.

356

карти на крајот од играта е победникот. Осигурајте се дека картите за определена низа може сите да се искористат за бараните факти.

Лесни факти

За да им помогнете на учениците да ги научат фактите каде еден или два се собира или одзема, направете карти што имаат одговори за секој број плус еден, плус два, минус еден и минус два. Поделете ги картите со одговори на десет ученици. Другите ученици ќе оценуваат. Побарајте да стане некој ученик кој го има бројот што е „за еден повеќе од шест“ или „за два помалку од пет“. Доколку некој стане, оценувачите треба да кажат дали тоа е точниот број. Доколку ученикот има точен одговор, тој/таа ја пишува равенката на таблата (6+1=7).

VIII. Учениците не-ка постават проб-леми соодветни за собирање и одзе-мање.

Употребете ситуациски приказни заради прикажување како количествата се спојуваат и одземаат.

Учениците нека постават проблеми во кои се користи собирање или одземање и нека ги решат.

Дадете им на учениците факти со броеви и побарајте од нив да креираат една или повеќе приказни за нив.

Приказната нека ја прикажат со цртање или манипулативи.

Учениците нека постават проблеми што

Некои ученици може да постават несоодветни проблеми. Ова значи дека сè уште не го сфатиле концептот на операцијата. На овие ученици им е потребно повеќе искуство во зборување за приказни и нивно претставување со предмети или цртање.

357

бараат собирање и/или одземање. Учениците нека користат заеднички

формат за ваквите приказни, како што се: (1) приказна; (2) илустрација; (3) равенка;

одговор.

IX. Продлабочено разбирање.

Учениците да ги бројат предметите преку групирање – поделба на еднакви делови, и нека го претстават резултатот на соодветен начин. Учениците да групираат по 2, 5 и 10, и помогнете им да сфатат дека побрзо се брои по две, пет и десет, отколку со еден.

Учениците нека претстават еден број на различни начини. (7=4+3=5+2=6+1=3+4 итн.)

Дадете им на учениците ситуациски проб-леми што го прикажуваат спротивниот однос на собирањето и одземањето и побарајте да го артикулираат ваквиот однос. (2 торби плус 5 торби е еднакво на 7 торби. 7 торби минус 2 торби е еднакво на 5 торби).

Учениците да го забележат и артикулира-ат комутативното својство. (6 портокали и 8 јаболка е еднакво на 14 парчиња овошје. 8 портокали и 6 јаболка е исто така 14 парчиња овошје.)

Некои деца имаат многу повеќе проблеми со одземањето отколку со собирањето. Овие деца потребно е да ги натерате да размислуваат од аспект на собирање. Кога тие ќе видат 7 торби – 2 торби, моделирајте ги бројните „семејства“ на дел-дел-цел работен простор и покажете им дека е во ред да се размислува „2 плус колку е 7“.

358

УПАТСТВО ЗА ОСНОВНИТЕ ИНСТРУКЦИИ ЗА МНОЖЕЊЕ ВО ЈАПОНСКИОТ ПРИРАЧНИК ЗА НАСТАВНИЦИ

Што треба наставниците да предаваат?

Кои се можните пречки за учениците?

Кои се важните вештини и концепти?

Што можете да направите?

I. Помогнете им на учениците да го разберат значењето и корисноста на множењето!

II. Организирајте ги, и научете ги таблиците со множење со 2, 3, 4 и 5!

III. Разбирање на ситуациите каде множењето може да се искористи и способноста за решавање на такви проблеми.

IV. Разбирање на фактот дека со зголемувањето на едниот множител за еден се зголемува резултатот за онолку колку што е другиот множител.

V. Учење на таблиците за множење од 6 до 9 и 1.

VI. Учениците да го воочат законот за комутација.

VII. Употребете го она знаење за решавање на задачите со множење што сè уште не е совладано!

VIII. Учениците да ги научат таблиците со множење со автоматизам.

IX. Учениците да поставуваат проблеми.

X. Употребете го она знаење за решавање на задачите со множење што сè уште не е совладано.

XI. Продлабочено разбирање.

Имајте предвид дека подолунаведените вештини и концепти не конституираат посебна хиерархија. На пр., се препорачува учениците да решаваат и поставуваат проблеми соодветни за множење додека ги учат таблиците, а не потоа. Овие идеи се преземени од англискиот превод на прирачниците за наставници за прво и второ одделение, и текстови на студенти, објавени од Гако Тошо Кабушики Гаиша (Gakko Tosho Kabu-shiki Gaisha), Токио.

359

Цели Разгледувања/активности Пречки/интервенции I. Обезбедете лек-ции што им овоз-можуваат на уче-ниците да го раз-берат значењето и корисноста на мно-жењето.

1) Помогнете им на учениците да разбе-рат дека кога голе-мината на количес-твото не е иста, се врши додавање за-ради наоѓање на вкупниот износ.

2) Помогнете им на учениците да воочат дека кога големина-та на сите количес-тва е иста, кога сите броеви се еднакви, бројот може да се утврди со употреба на равенка.

(Големина на група) x (број на групи).

Учениците да работат на проблеми со неколку броеви што не се слични. Пет ученици имаа колачиња што изнесуваа:

2+2+4+1+3.

Тогаш тие ќе треба да го решат проблемот каде сите броеви се еднакви. Пр.: Пет ученици имаа колачиња што изнесуваа:

2+2+2+2+2.

Помогнете им на учениците да разберат дека збирот може да се изрази со употреба на големината на делот или групата – во овој случај (2) – и бројот на таквите групи – во овој случај (5), со создавање равенка со множење. (Број на групи) x (големина на 1 група) = (цело количество).

[5x2=10]

Употребата на проблеми со повеќе од три количества им помага на учениците да ја сфатат придобивката од употребата на равенство со множење, отколку со примена на равенство со собирање. Иако децата се навикнати да бројат со 5-ки и 10-ки, тие ова може да го прават од аспект на бројната

За учениците кои не го разбираат значењето на „големина на еден дел/група“ и „број на делови/групи“ добро е да им се овозможи да го продла-бочат нивното разбирање преку гледање на броевите со употреба на блокови заради моделирање на „X по Y износ“ (4 делови, 6 редови).

Исто така, можете да подготвите слики, така што учениците ќе може да кажат „3 по“ или „4 по“.

Од учениците може да се побара да погледнат околу себе и да про-најдат работи што се соодветни на описот „осум по, 20 кутии (мо-жеби боички)“ или „2 по, 24 деца (можеби детски обувки)“. Поба-рајте да нацртаат слики за при-кажување на овие описи и да го напишат она што го прикажува-ат.

360

3) Помогнете им на учениците да разберат како да ја изразат и читаат ра-венката со множење.

4) Помогнете им да го разберат зборот „по“ којшто го заме-нува концептот на „број на групи (или големина на групи)“.

организација и притоа не се свесни за поврзаноста со множењето. Дури и доколку им се даде бројниот израз 5x3, проблемот лесно се решава со собирање, бидејќи тие користат едноцифрени цели броеви. Пет тројки – 3 3 3 3 3 – може да се решат со 3+3+3+3+3. Учениците кои сакаат само да дојдат до одговорот, нема да го разберат значењето на (или причината за) формулирањето на бројниот израз (5x3), и тие ќе се прашуваат зошто мора да пишуваат току тежок броен израз. Тие може да користат собирање над или дури и да наредат 5 ленти по 3 см и да ги измерат. Поради тоа, важно е да разберат дека равенството со множење е полесниот и побрз начин на решавање. Учениците да ги споредат равенствата формулирани со собирање и множење, што ќе им помогне во воочувањето на добрите страни на множењето, како и во понатамошното продлабочување на нивното разбирање.

1) Лесно е да сфати колку делови (групи) има и која е нивната големина.

2) Споредено со собирањето еднакви броеви, можеме пократко да се изразиме.

Истакнете дека 5x2 може да значи „пет кутии со по 2 бонбони“. Тоа значи дека една кутија има 2 бонбони и дека има 5 такви кутии.

361

Наместо да се каже „3 групи изнесуваат и 4 групи изнесуваат“ ние велиме 3 пати и 4 пати бидејќи не можеме сите значења на ситуациите со множење да ги изразиме со x делови изнесуваат. За да можеме да ги изразиме сите видови ситуации, го користиме изразот „по“, што е изведено од бројот на групи/делови.

II. Организирање и способност за нау-чување на табли-ците за множење со 2, 3, 4 и 5.

А. При воведување на множењето, до-колку големината на количеството е 1, 2 или 5, учениците треба да ги дадат ре-зултатите со броење за 1, 2 и 5.

Б. Кажете им на уче-ниците дека има ме-тод што е побрз од собирањето и брое-њето со прескокну-вање.

Побарајте од нив да

За секоја таблица користете конкретна ситуација околу која таблицата ќе се организира. На пр. можете да имате 3 лица на брод или 5 ужинки на секоја чинија или парови обувки (по 2) или 4 деца на секоја маса.

Можни игри:

1. Учениците нека направат карти со равенки за 2-ки, 3-ки и 5-ки.

Направете одделни карти со одговори. Учениците во групи нека ги спојуваат картите. (Група од 4).

2. Употребете ги картите како во играта „Црн Петар“. Само со картите со бројни изрази, учениците може да направат множества со ист одговор. (Група од 4).

3. Споредување на големини. (Ученици во парови). Секој ја крева горната карта. Оној што има најголем резултат ги добива картите.

Има ученици што се обидуваат да ги запомнат таблиците пред добро да разберат како да ги организираат. За овие ученици е потребен метод на акумулација.

2x4→4+4=8

3x4→8+4=12

4x4→12+4=16

5x4→16+4=20

6x4→20+4=24

7x4→24+4=28

8x4→28+4=32

9x4→32+4=36

362

ги направат табли-ците за множење со 2 и 5.

В. Практикувајте игри базирани на таблиците и обидете се да се овозможи учениците заемно да си помагаат во повторувањето на таблиците на точен начин.

(пр., 2x8 победува над 3x5). Победува ученикот кој прв ќе го даде одговорот на бројната вредност на изразот. Оваа варијација бара да има назначено лице за оценување.

4. Игра „меморија“ (3 или 4 ученици). Се игра како и играта „концентрација“. Морате да го споите бројниот израз со неговата вредност.

Кога се креираат правилата за споредување на големините, учениците треба да забележат дека има различни бројни изрази со иста вредност. Ова е важно да го забележат. Потребно е да утврдите правило за справување со претходното.

Учениците треба да работат во ситуации што вклучуваат континуирани количества (мерења), како и апстрактни количества.

Ситуациските проблеми треба да се користат додека учениците ја учат организираноста на таблиците и ја запомнуваат.

363

III. Разбирање на ситуациите каде множењето може да се искористи во решавањето на такви проблеми.

А. Кажете ситуации во кои се користи множењето.

Б. Учениците да стекнат продлабоче-но разбирање на множењето во текот на решавањето на таквите проблеми.

В. Да го меморираат начинот за кажува-ње на таблиците.

(Јапонските ученици велат „3, 6, 18“. Учениците може да кажат 3 шестки се 18, 3 седумки се 21 итн. и да разберат дека ова може да се изрази и како 3 пати по 6, 3 и по 7, итн.).

Иако равенствата главно не вклучуваат ознаки, можеби е корисно да се означи множеникот и производот при развојот на концептот на множењето:

2 карамели x 6 = 12 карамели.

364

IV. Разбирање на фактот дека со зго-лемување на мно-жителот за еден се зголемува резулта-тот за бројот на множеникот.

Тука за првпат учениците се среќаваат со термините „бројот што се множи“ (множеник) и „бројот кој множи“ (множител).

Поради сличноста, учениците може да ги заменат така што е важно тие внимателно да се воведат. Користете ги термините дури и откако ќе заврши лекцијата, и откако ќе му помогнете на секој ученик индивидуално.

Функционален преглед

„Функционално“ тука се однесува на разбирањето на функциите во понапредната математика. Нас-тавниците на помалите ученици може да им помогнат да ја сметаат функцијата како „влез-излез“ машина. (Доколку ставите некој број во машината, друг број излегува од неа. Учениците мора да ја опишат шемата што ја гледаат, да опишат што прави машината и да генерализираат).

Оваа задача на учениците им помага да се фокусираат на односот на броевите што излегу-ваат наспроти оние што влегу-ваат.

Можеби ќе има ученици кои ги забораваат таблиците за мно-жење. Тие можеби ќе можат да кажат до 5x7=35, но нема да се сетат за 6x7. Помогнете им да разберат дека до одговорот може да дојдат со употреба на „односот помеѓу множителот и произво-дот“. Во таблицата со седум, кога множителот се зголемува за еден, производот се зголемува за

365

седум.

Исто така, доколку ученикот не знае колку е 8x4, но знае дека 9x4 е 36, помогнете му да сфати дека кога множителот се нама-лува за 1, производот се нама-лува за 4. Така, за 8x4, следи 36-4=32.

V. Учење на табли-ците со множење од 6 до 9 и 1.

Учениците можеби сметаат дека таблицата со 1 е различна од другите таблици. Тука ќе би-де потребно да се истакне важноста од мно-жењето со 1. Организацијата и функцијата се исти како и кај другите таблици.

Исто како што учениците гледаат на таблиците со множење од функционален аспект, тие може да ги проверуваат резултатите со употреба на познатите факти. Потоа учениците можат да рабо-тат со таблици со самодоверба, и можат побрзо да ги меморираат. Таблицата со 6 е проблематична за учениците. Механичкото меморирање може да доведе до многу грешки.

Користете повеќе вежби со повторување, притоа истакну-вајќи го фактот дека со зголему-вање на множителот за 1, произ-водот се зголемува за 6. Употре-бете ги ситуациите од 3x6 до 4x6 и 6x6 и 7x6.

VI. Учениците да го воочат законот за комутативност.

Дискутирајте за фактите со множењето организирани како табела. Учениците треба да ги забележат фактите што имаат еднакви

Ќе има ученици кои ќе мислат дека бројните изрази 4x6 и 6x4 се исти, поради истиот производ. Во

366

одговори. Треба да се забележи дека со промената на множеникот и множителот, производот е ист.

2...1 x 2, 2 x 1

6…1 x 6, 2 x 3, 3 x 2, 6 x 1

Учениците треба да ја препознаат вредноста на познавањето на комутативниот закон.

основното училиште е потребно да се укаже дека ваквите бројни изра-зи се сосема различни, бидејќи кога се мисли на множењето, до сега се сметаше дека множеникот е основната единица што ја изразува големината на еден дел, додека множителот изразува колку делови се множат. И од аспект што равенствата ги изразуваат проблемските ситуации и односот меѓу броевите, потребно е да се навратиме на проблемот. Од таа причина, мора да се истакне дека постои разлика меѓу бројните изрази 4x6 и 6x4.

VII. Употребете ја таблицата за мно-жење заради утвр-дување на односот меѓу множеникот, множителот и про-изводот.

Утврдете каде на таблицата се наоѓаат бројот што се множи, множителот и произво-дот!

Воочете на таблицата дека кога се зголе-мува множителот за 1, производот се зголе-мува за бројот што се множи!

Утврдете ги посебните карактеристики на таблицата со 5!

Утврдете ги посебните карактеристики на таблицата со 9!

Утврдете дека со збирање на колоната од 2-ки и 3-ки, се добиваат одговорите во 5-ки!

Најдете производ што е во таблицата и напишете броен израз!

Најдете бројни изрази со иста вредност! Најдете бројни изрази кои немаат иста

вредност!

367

VIII. Учениците да ги научат таблиците за множење со автоматизам.

Кога учениците почнуваат да ги користат повеќецифрените броеви во множењето, ако не им е позната таблицата, тоа ќе претставува голема пречка. Откако учениците ќе ги организираат таблиците, тие треба да ги научат „рефлексно“ додека играат игри со карти или игри како овие подолу.

* Учениците да ги постават картите со факти на масата. Доколку нивниот одговор е точен, тие ја подигаат картата, доколку не, ја оставаат на масата. Потоа уште еднаш се обидуваат. Следете колку време е потребно сите карти да се подигнат.

Учениците нека играат во групи од 3 или 4 за да може меѓусебно да се проверуваат!

Учениците кои поставуваат ситуации што не се соодветни за множењето, не го разбираат це-лосно значењето на множењето. Во овој случај може да се приме-нат голем број методи.

1) Поставете ја равенката и по-барајте од нив да креираат проб-лем што може да се реши со так-вата равенка.

2) Дадете го само множеникот и побарајте тие да креираат проб-леми!

3) Учениците нека креираат проблеми со употреба на таблиците за множење што ги научиле.

4) Учениците нека креираат проблеми со употреба на множење.

IX. Учениците да поставуваат проб-леми

Откако учениците ќе научат како да се поставуваат проблеми, ќе можеме да го продлабочиме и оцениме разбирањето на учениците за множењето.

1) За секоја таблица, корисно е да се одели време за учениците за да поставуваат проблеми. Поставувањето проблеми од страна

368

на учениците е ефикасен метод за утврдување колку добро секој ученик го разбира множењето. Сосема е во ред учениците да поставуваат ситуации што сè уште не се искористени, и да користат броеви поголеми од оние што дотогаш се користеле на часот. Исто така, соодветно е да се изработат листови за поставување проблеми, а учениците да го пишуваат секој проблем на посебен лист, а потоа да ги резимираат нивните прашања како индивидуални збирки на проблеми.

X. Пронајдете про-извод од множење кој не е во табела-та.

Поставете проблем што започнува, да речеме, со 8x3. (На осум деца им е потребен по еден пакет од три тетратки. Колку тетратки вкупно се потребни?) Потоа употребете 9x3. Учениците може да го напишат изразот 9x3 или да соберат 24+3. Некои може да собираат 3 осум пати. Потоа продолжете со 10x3. Учениците може да помножат 10x3, да соберат 3 десет пати, или да го применат изразот 27+3=? Сега продолжете со 12x3. Некои деца може да соберат 3 дванаесет пати или да соберат 30+3+3. (Тие, исто така, може да соберат 12 три пати или да соберат 30+6). Потоа учениците нека претпостават дека тетратките (12 пакети од по 3) се сместени во 2 пакети. Тие може да ги додадат одговорите за (6x3)+(6x3). Тие можеби нема да се сетат на 6x6. (Исто така, тие може да помислат на (10x3)+(2x3)).

XI. Продлабочено Вежбајте множење!

369

разбирање. Користете манипулативи за изразување различни множења со производ 24. Размислете за нив.

Преку групирање на блоковите, може да има две равенства; потврдете го комутативното својство на множењето. Но, запомнете дека ситуацијата не е комутативна.

При креирање на проблеми, особено концентрирајте се на бројот што треба да се множи и сметајте го како број што ја определува големината на еден дел.

Учениците нека претставуваат проблеми што ги измислуваат и нека го воочат фактот дека множењето се користи во голем број различни ситуации!

Кога учениците креираат проблеми, имајте подготвени обрасци и секогаш барајте од учениците да го напишат: 1. проблемот; 2. сликата или табелата; 3. равенката; 4. одговорот.

Решавање на проблемите што ги измислиле учениците, како и заедничкото решавање на проблеми, претставува можност за зголемува-ње на заинтересираноста и интересот.

370

ПРЕДЛОГ ТЕХНИКИ ЗА ЧИТАЊЕ НА ДОПОЛНИТЕЛНИОТ МАТЕРИЈАЛ ДАДЕН ЗА ПОГЛАВЈАТА 1, 2, 4 И 5

1. Завршен збор

Конечниот збор може да се користи за проширување на знаењата на групата во врска со еден текст на фокусиран начин и со ограничено време.

Секој одбира и обележува во она што според него или неа е еден важен цитат или дел од текстот.

Учесниците работат во групи од четворица со избран фасилита-тор/одговорен за мониторирање на времето за секој од четирите циклуси.

За секој циклус: 4 (зависно од бројот на учесници во секоја група) по 15 минути за секој. • Лицето кое ќе започне добива 4 минути. • Секој којшто одговара добива 3 минути (3 лица – 9 минути). • Лицето кое започнало го има ЗАВРШНИОТ ЗБОР – 2минути.

Објаснување за процедурата за секој циклус/круг 1. Започнете со избор на фасилитатор/одговорен за мониторирање на времето. Овие улоги не треба да се делегираат на лицето кое ќе го започне кругот (и го има ЗАВРШНИОТ ЗБОР). 2. Едно лице започнува со објаснување на значењето на нејзиниот/неговиот цитат/дел од текстот на групата (4 минути). 3. Откако ова лице ќе заврши, секој во групата дава коментар за истиот цитата/дел како лицето кое прво зборувало во тој круг. Може да одберете да одговорите на она што првото лице кажало. ИЛИ да зборувате за цитатот или делот од текстот на некој друг начин кој ги збогатува сознанијата на групата во врска со текстот. Секој во групата има 3 минути за одговор. Вкупно 15 минути. 4. Потоа лицето кое започнало го има ЗАВРШНИОТ ЗБОР. (2 минути).

Потоа започнува вториот круг. Следниот член пред групата ќе го објасни значењето на нејзиниот/неговиот цитат или текстот. И овие циклуси течат како првиот.

371

2. Пет минути метакогниција 1. Запишете 5 работи кои ги научивте. (2 минути).

2. Најдете партнер.

3. Користејќи часови за да го мерите времетo, еден од партнерите треба да зборува една минута за она што го научивте.

4. На крајот од едната минута сменете се и другиот партнер нека зборува една минута, но тој/таа не смее да повтори нешто од она што веќе е важно.

5. На крајот од едната минута, сменете се и сега циклусот трае 30 секунди (сменете се и не повторувајте нешто што е веќе кажано).

6. На крајот на два циклуси од 30 секунди, сменете се и повторете го циклусот од 15 секунди.

7. На крајот заедно напишете една реченица која ја сумира клучната идеја за она што го научивте.

375

МАТЕРИЈАЛИ

ЗА ДОПОЛНИТЕЛНО ЧИТАЊЕ (за поглавјата 1, 3, 4 и 7)

377

НАДГРАДУВАЊЕ НА ИНТУИТИВНОТО ЗНАЕЊЕ

Кога учениците доаѓаат на училиште, тие носат со себе знаење стекнато од животни искуства. Нивното знаење и интуиција можат да бидат важна основа и извор за понатамошно надградување на знаењето. Интуицијата на учениците не треба да се игнорира.

За разлика од многубројните истражувања што постојат за детската интуиција во врска со структурите за собирање, истражувањето на детското учење за структурите за множење и делење е мало. Според Штеф:

Истражувањето во наставата за математика досега нема обезбедено корисно разбирање на тоа како детските концепти за множење и делење може да се изградат дел по дел. Како резултат на тоа, не постои сознание како детските спонтани методи може образовно да се развијат во најдобар степен2.

Иако можеби оваа изјава е пресилна, повеќето истражувачи се согласуваат дека нашето знаење за интуиција во структурите за множење е ограничено. Меѓутоа, истражувањето за пропорционалното размислување, множење и делење изложува неколку претстави за природата на интуитивното разбирање што учениците го носат со себе во училницата3.

Корените на пропорционалното размислување се очигледни уште во најмлади години. Бебињата реагираат на големина и квантитет, разликуваат поголемо од помало. Тие знаат дека столчето на таткото мечка е поголемо од столчето на мајката мечка, кое пак е поголемо од столчето на бебето мечка. Столчето на таткото мечка се однесува на неговата големина на ист начин како што она на бебето мечка се однесува на него. Големината на столчето одговара на големината на мечката. Малите деца исто така разбираат дека што повеќе купуваш, повеќе плаќаш, и што повеќе колачиња имаш за делење, секој човек има повеќе колачиња за себе. При споредувањето столчиња со интуитивното знаење на што одговараат, или кога децата всушност ги поврзуваат колачињата со луѓе знаејќи дека колку што еден број се зголемува, другиот треба исто толку да се зголеми, децата всушност споредуваат квантитети на сличен начин како оној употребен во проблемот со зелените пиперки и нивната цена. Ова е разбирање преку наоѓање врски. Пропорционалноста се однесува на врски.

Истражувачите исто така заклучиле дека и учениците и возрасните развиваат интуиција за множење преку пропорционално размислување за

2 Штеф (1990), стр. 30.

3 Лејмон (1990); Ресник и Сингер (во печат).

378

решавање на проблеми со кои се соочуваат во секојдневниот живот4. Шлиман ги запрашала учениците на возраст од 10 до 13 години да решат проблеми каде што односот помеѓу два предмети е прикажан, како во следниве два примери5:

Во еден рецепт се потребни 3 чаши брашно на 4 јајца. Колку брашно ни треба ако се употребат 12 јајца?

Кога потребниот број вклучува пораст на дадениот квантитет, учениците користеле стратегии на пропорционално размислување.

Тие ги поврзале 4-те јајца со 3-те чаши брашно, 8 јајца со 6 чаши брашно и потоа 12 јајца со 9 чаши брашно. Доколку вклучените броеви не воделе кон лесен однос, учениците пресметувале со употреба на приближни врски, а не преку сметање точни количини. На пример, кога биле прашани да го пресметаат износот на потребно брашно за 13 јајца, тие не ја пресметувале точната количина на 9¾ чаши брашно. Тие кажувале нешто како: „Ако се потребни 9 чаши за 12 јајца, за уште едно јајце би било потребно уште малку повеќе“.

Која е цената на 13 соди ако 3 соди чинат 99 сентави?6

Кај проблеми поврзани со пари, учениците исто така користеле стратегии на пропорционално размислување. Прво тие заклучиле дека 12 соди ќе чинат 396 сентави. (Ако 3 соди чинат 99 сентави, 6 соди чинат 198 сентави, а 12 е двојно од тоа). Потоа тие пресметале дека 1 сода ќе чини 33 сентави и додале 33 за да добијат вкупно 429 сентави за 13 соди. Учениците ретко користеле пропорционално размислување кога проблемот барал намалување, како на пример: „Која е цената на 3 соди ако 12 соди чинат 400 сентави?“

Шлиман претпоставува дека таквата интуиција можеби не се развила затоа што учениците поретко се соочуваат со ситуации каде што се бараат пропорции на опаѓање. Движењата во негативна насока, меѓутоа, се исто така потешки и во структурите за собирање, иако ситуациите со намалување се чести7.

4 Керахер, Керахер и Шлиман (1985); Сексе (1988); Шлиман и Ајесиоли (1989).

5 Шлиман и Мегелхес (1990).

6 Сентави се монетарна единица во Бразил каде што Шлиман спровела голем дел од своето истражување.

7 Едно психолошко истражување открило дека умствениот процес со помош на одземање (на пр., не нагоре наспрема надолу) бара повеќе време и напор (Кларк и Чејс, 1972).

379

Влијание на контекстот

Овие два примери изгледа назначуваат дека реалните разлики во самиот проблем го даваат контекстот на влијанието дали учениците ќе дадат приближен одговор или ќе го пресметаат точниот резултат. Во готвењето точните износи, генерално, не се клучни за успешна подготовка на рецептот; додека во ситуација со пари се потребни точни износи.

Исто така, во познати контексти пресметките на учениците биле многу поблиски до точниот износ отколку во непознат контекст. Додека некои истражувачи веруваат дека овие интуитивни пропорционални вештини се базирани на одреден контекст8, истражувањето на Шлиман покажува дека тие всушност може да се префрлат и во непознати ситуации. Таа им претставила на релативно необразовани готвачки два проблема со истата структура, еден со познат готвачки контекст во врска со менување готвачки рецепти и еден со непознат контекст што бара мешање на хемикалии (за рецепти). Кога прво бил претставен познатиот проблем пред непознатиот, готвачките ја препознале пропорционалната структура и ги искористиле стратегиите на пропорционално размислување за да го решат проблемот. Тие не ја препознале пропорционалната структура кога прв бил претставен проблемот со непознатиот контекст9. Рико им дал задача на деца од 7 до 11-годишна возраст во Франција да ја пресметаат цената на различен број пенкала откако им била дадена цената на плаќање на одреден број пенкала10. Задачата требало да се реши преку пополнување табела што имала некои пополнети полиња и неколку празни полиња.

Видови размислувања

Постоел доказ дека од трето одделение натаму децата користеле неколку вида размислувања, како наоѓање што е постојаната разлика помеѓу два последователни редови и што е разликата помеѓу секој нареден пар редови.

Купени пенкала Цена на плаќање 1 ? 2 ? 3 12 франци 4 16 франци 5 ?

8 Лемперт (1986).

9 Шлиман и Мегелхес (1990).

10 Рико (1982).

380

6 ? 8 ?

На пример, додека бројот на пенкала секогаш се зголемува за еден, разликата помеѓу цената на 3 пенкала и на 4 пенкала е 4 франци. Така, цената на плаќање секогаш ќе се разликува за 4 франци на пенкало. Учениците забележале кога броевите на пенкала во табелата не биле последователни броеви (како на пример скок од 6 кон 8) и точно ги пресметале тие цени.

Учениците од четврто одделение некогаш користеле алтернативен метод во кој го нашле множителот што се однесувал на пенкалата и цената и го употребиле на бројот на пенкала, но ова го правеле само кога дадените цени биле за броевите на пенкала што не биле последователни (на пр., дадени се 3 пенкала и 5 пенкала, а тие требало да ја најдат цената за 4 пенкала). До петто одделение, двата од наведените методи почнале широко да се користат11. Додека користењето на постојана разлика помеѓу редови за решавање на проблемот е генерално метод на собирање, алтернативната стратегија употребена од ученици во четврто и петто одделение бара размислување.

Користење табели

Кога двата елементи од односот се следат како што вредноста на едниот елемент се менува во табела слична на онаа на Рико, табелите се нарекуваат на различен начин: функционални табели, пропорционални табели и т-табели. Ќе ги користиме овие табели наизменично низ Математика со размислување 2. ИНТУИТИВНО РАЗБИРАЊЕ НА ОПЕРАЦИЈАТА МНОЖЕЊЕ

Некои истражувачи веруваат дека интуицијата за множење на учениците се врти околу собирањето на исти собироци12. Во овој модел, учениците го разбираат множењето како начин да се добие вкупниот број на делови во збир на групи, каде што секоја содржи еднаков број на делови (на пр., 4 групи на 7 во секоја група може да се претстави како 7 + 7+ 7 + 7, или како 4 x 7). Меѓутоа, собирањето на еднакви собироци е несоодветно како општ модел за множење. Тој функционира само кога множеникот е цел број. Оттука, тој обично води кон погрешна генерализација дека „множењето секогаш дава поголемо“.

11 Рико (1982).

12 Бел (1989); Бел, Грир, Манган и Гримисон (1989); Фишбајн, Дери, Нело и Марино (1985); Нешер (1992).

381

Модел на собирање

Поверојатно е дека учениците ќе го разликуваат овој модел на собирање кога ситуациите вклучуваат апстрактни износи (на пр., 8 мрсни боички во кутија) отколку кога вклучуваат постојани износи (на пр., возење 55 милји на час). Кога учениците биле запрашани да состават задача со множење, Бел видел дека учениците најчесто создаваат ситуации со апстрактни предмети, наместо постојани износи, и едноставни а не комплексни ситуации13.

Резултатите од една студија во Италија, која вклучила 625 ученици од петто, седмо и деветто одделение, исто така го поддржува наодот дека собирањето на еднакви собироци е интуитивен модел за множење. Учениците биле запрашани да одберат соодветна операција за серија задачи со множење и делење во еден чекор. Фишбајн и неговите колеги дошле до заклучокот дека резултатите биле помалку успешни кога износот не бил цел број (на пр., купување 75 галони нафта за 2,5 долари од галон). Присуството на интуитивен модел за собирање изгледа ги спречувало учениците да ја видат структурата на проблемот и да разберат дека множењето може да доведе до помалку14.

Напредувајќи кон размислувањето за множење

Штеф и Коб дадоа додатна поддршка за идејата дека собирањето на еднакви собироци е интуитивен модел за множење и делење15. На почетокот, учениците размислувале дека 3 x 5 се три групи на 5 и ги броеле единично во групи од пет додека не стигнале до 15 (на пр., „1, 2, 3, 4, 5 (пауза), 6, 7, 8, 9, 10 (пауза), 11, 12, 13, 14, 15“). Во понапредните фази, учениците го гледале бројот пет како единична група и пресметувале по пет, водејќи сметка за бројот на групи на некој начин (на пр., „5, 10, 15“). Штеф и Коб се запрашале дали учениците ги гледале врските за множење при користењето на оваа повторлива шема. Изгледа, напротив, дека шемата користи собирање на собироци еднакви на бројот пет, пресликувајќи го она што учениците во четврто одделение го правеле во студијата на Рико наместо концептот на врската „3 пати“.

Множењето честопати им е претставено на учениците како техника што го поедноставува собирањето кога има еднакви износи во број на групи. Така, Нешер и Мехмандаров укажуваат дека наставните техники може да бидат

13 Бел (1989); Бел (1989).

14 Фишбајн (1985).

15 Штеф и Коб (1984)

382

одговорни за да преовлада бројот на ученици што гледаат на множењето како на собирање на еднакви собироци16.

Користење на табели во наставата

Мехмандаров експериментирал во наставата во која се користела пропорционална табела, која била создадена прво преку обид да се најде правило на пресликување17 на текстот на проблемот и потоа да се состави табела на броеви базирани на тоа правило. Следниов пример е таков:

Анкетар знае дека еден од нејзините чекори е 0.75 метри долг. Колку чекори ќе и требаат за да измери далечина од 10 метри?

Пропорционална табела

Чекори Метри

1 0.75

? 10.0

Мехмандаров дошол до заклучок дека учениците што веќе ја научиле таблицата множење не ја користат пропорционалната табела. Овој резултат ги отсликува наодите од други истражувања што покажуваат дека учениците што прво ја учат таблицата немаат волја да научат други стратегии. Само мал процент на ученици доброволно употребиле таква табела, и генерално тоа биле послаби ученици. Тие што ја употребиле пропорционалната табела го направиле тоа за потешки задачи и биле поуспешни од учениците што не ја искористиле табелата. Така, влијанието на табелите е очигледно бидејќи послабите ученици што ги употребиле биле поуспешни од подобрите ученици што го употребиле традиционалниот начин. „Студијата на Мехмандаров исто така укажува дека моделот на собирање на еднакви собироци, дефиниран од Фишбајн како примитивен модел, може да се надмине во натамошната настава“18. Наставниците може да помогнат да се надмине претставата дека множењето и делењето се само повторливо собирање и одземање. За оваа цел е предложено користење на пропорционални табели.

16 Нешер (1992).

17 Правилото за пресликување го пресликува односот употребен во овој проблем. На пример, во проблем за групи од 5, правилото за пресликување е 1 со 5; ако ви требаат 2 пакувања за тројца луѓе поединечно, правилото за пресликување е 2 со 3.

18 Нешер (1992), стр. 202.

383

ИНТУИТИВНО РАЗБИРАЊЕ НА ОПЕРАЦИЈАТА ДЕЛЕЊЕ

Задачите со делење што одговараат на нашата класификација на „повторливи квантитети“ се генерално опишани како партитивни или квантитативни, во зависност од тоа што е непознато: бројот на делови во група, односно бројот на групи.

Партитивното делење се однесува на проблеми во кои вкупниот број на предмети и бројот на групи (делови) е познат, но бројот на предмети во секоја група е непознат (на пр.: „Ако 300 ученици посетуваат кошаркарски кампус, и тренерот треба да формира 30 тима, колку ученици ќе бидат ставени во секој тим?“). Делењето на цела серија преку нивна поделба еден по еден низ пропишана серија на луѓе додека не се искористат сите е пример за овој вид на делење.

Квантитативното делење се однесува на проблемите во кои вкупниот број на предмети и бројот на предмети во една група (т.е. „квотата“ или големината на секоја група) е познат, но бројот на групи е непознат (на пр.: „Ако 300 ученици посетуваат кошаркарски кампус, и тренерот сака да формира тимови од 10 ученици во тим, колку тима може да се формираат?“). Прашање што често се поставува на час од страна на наставниците што го отсликува квантитативното делење е: „Колку групи од 10 има во 30?“

Учениците покажуваат интуитивно разбирање за моделот на партитивно делење, но се здобиваат со разбирање на квантитативниот модел само преку наставата во училиштата. Фишбајн и неговите колеги откриле дека партитивниот модел е единствениот модел на делење што бил спонтано развиен од страна на учениците во петто одделение19. Учениците во седмо одделение се покажале во транзициска фаза во која партитивниот модел бил најсилниот модел, но некои покажале дека имаат разбирање и од квантитативниот модел.

Партитивна интуиција

И квантитативните и партитивните модели биле користени од страна на учениците во деветто одделение. Работата на Бел го поддржува интуитивното знаење на партитивниот модел20. Тој заклучил дека учениците почесто создавале партитивни ситуации отколку квантитативни кога биле запрашани да направат задачи за делење. Исто така, Силвер истакнува дека постои „несогласување“ помеѓу интуитивното партитивно толкување на учениците и квантитативното толкување пројавено во проблемски ситуации. Тој претпоставува дека ова несогласување во тоа

19 Фишбајн (1985).

20 Бел (1989); Бел (1989).

384

како учениците размислуваат и како училиштето сака учениците да размислуваат може да биде самиот корен на тешкотиите во решавањето задачи со делење21.

Овие наоди соодветствуваат со тоа што можеме да го очекуваме бидејќи учениците имаат искуство во активности на делење уште од рана возраст. Еднаквата поделба на предмети на група пријатели е честа во домот, како и на училиште.

Ограничувања на партитивната интуиција

Интуитивниот партитивен модел што учениците го имаат може да биде премногу ограничен и да се помеша со способноста да се поврзе делењето во разни ситуации или точно да се пресмета22. Интуитивниот модел на учениците бара деленикот да биде поголем од делителот и делителот да биде цел број. Ова веројатно е случај затоа што нивното делење во вистинскиот свет генерално го следи тој модел. Општо гледано постојат повеќе работи да се поделат (деленик) отколку луѓе (делител) и генерално ние делиме цели работи. Интуитивниот модел на учениците исто така бара деленикот да биде поголем од количникот, развивајќи ја погрешната генерализација дека „делењето дава помалку“, изјава што е вистинита само за целите броеви.

Пример што одговара на интуитивниот модел на учениците е: 12 колачиња поделени помеѓу 4 пријатели е 3 колачиња на пријател. Дванаесет (деленикот) е поголем од 4 (делителот), 4 е цел број и одговорот, 3, е помал од деленикот. Пример што не одговара на нивниот интуитивен модел е: четири чоколада поделени помеѓу 8 пријатели резултира со половина чоколадо на човек. Вкупниот износ, 4 чоколада, не е поголем од делителот, 8. Ако учениците веруваат дека деленикот мора да биде поголем од делителот, тие веројатно погрешно ќе ја разберат ситуацијата и ќе поделат 8 со 4 за да добијат резултат – 2 чоколада на човек.

Повторувачки модел на делење

Квантитативниот модел лесно се поврзува со повторувачкиот модел на делење. Затоа тој е често употребуван модел во раната фаза на наставата за делење. Во таква задача треба да се отстранат групите со предмети и да се види дали има доволно преостанати предмети за да се формира друга група. Бидејќи повторувачкиот модел на собирање се покажа како силен интуитивен модел за собирање, може да се помисли дека квантитативниот модел ќе биде посилен интуитивен модел за делење. Претходно опишаното истражување на Фишбајн и Бел не ја поддржува таа претпоставка, туку го

21 Силвер (1986).

22 Фишбајн (1985).

385

поддржува партитивниот модел како модел за делење претпочитан од страна на учениците23.

Квантитативна интуиција

Одредено укажување за интуитивен квантитативен модел постои и во проучувањето на ученици од прво, второ и трето одделение. Вејланд пронашол дека некои ученици ги одземале групите со висината на делителот, иако ситуацијата била партитивна (на пр., делителот го претставувал бројот на групи, а не големината на групите)24. Овие ученици од прво, второ и трето одделение, во едно независно училиште во Њујорк, немале претходна настава за таблица множење и делење, но биле поттикнати да користат сопствени стратегии за решавање задачи.

Стратегии за партитивно делење

Вејланд забележал дека учениците употребиле пет различни стратегии за решавање на ситуации со партитивно делење. Три од овие стратегии го вклучувале дистрибутивното својство.

1. Најчесто употребуваниот начин на решавање бил да се раздели деленикот на стотки, десетки и единици и да се подели секоја група посебно, комбинирајќи групи таму каде што е соодветно. На пример, во делењето 927 со 9, ученик од второ одделение веднаш поделил 900 со 9 и потоа, бидејќи 20 не е лесно деливо со 9, ги комбинирал 20 и 7 и поделил 27 со 9 за да добие резултат од 103. Во симболички рамки, ова може да биде напишано вака:

927 ÷ 9 = (900 ÷ 9) + (27 ÷ 9).

2. Во вториот начин на решавање, учениците го разделиле бројот во „соодветни“ броеви наместо во стотки, десетки и единици. На пример, за проблемот 792 ÷ 8, еден ученик поделил 800 со 8 и потоа го одзел 8 поделено со 8 за да добие резултат 99. Овие пресметки може да се напишат вака 792 ÷ 8 = (800 ÷ 8) – (8 ÷ 8). Друг начин да се реши проблемот со помош на дистрибутивното својство е да се раздели 792 на 720 и 72, што може да се напише вака: 792 ÷ 8 = (720 ÷ 8) + (72 ÷ 8).

3. Третиот начин на решавање вклучувал повторувачко преполовување кога задачите вклучувале делители што биле деливи со два (на пр., 2, 4, 8).

4. Четвртиот начин на решавање бил повторувачкиот модел на одземање, претходно споменат (на пр., одземање групи со големината на

23 Бел (1989); Бел (1989); Фишбајн (1985).

24 Вејланд (1985).

386

делителот и броењето на бројот на групи), и тој укажува дека дури и проблемите именувани како партитивни може да се решаваат како да се квантитативни. Но, со овој начин на решавање, учениците често правеле грешки што укажувало на помешаност помеѓу партитивното и квантитативното делење. На пример, ако требало да најдат колку групи од 15 се возможни, по повторувачко одземање на 15, учениците може да го изведат делителот (15) како одговор наместо да пресметаат колку групи од 15 биле одземени.

5. Последниот начин на решавање употребен од овие млади ученици бил оној што ги препознавал множењето и делењето како обратни операции. На пример, ученик кажал 2 како количник за 24 ÷ 8, потоа помножил 2 x 8 и, сфаќајќи дека 16 е недоволен износ, го приспособил одговорот кон 3, велејќи дека 3 x 8 е 24.

Овие наоди на Вејланд покажуваат дека учениците поседуваат многу интуитивни стратегии за решавање на задачи со делење. Тоа што е интуитивен пристап за некои ученици може да не го претпочитаат некои други ученици. Дури и „најлесното“ партитивно делење може да биде решено од некои ученици со употреба на „помалку интуитивниот“ квантитативен модел. ВЛИЈАНИЕТО НА НАСТАВАТА ВО НАДОГРАДУВАЊЕ НА ИНТУИТИВНОТО ЗНАЕЊЕ

Рано вградување корени

1. Изложете ги децата уште кога одат во градинка на ситуации со множење и делење, обезбедувајќи помагала како алатки за решавање!

2. Ситуациите со делење може да бидат претставени пред или заедно со множењето. Детската интуиција за поделба е силна. На пример, ликовен проект во градинка по повод Свети Патрик може да вклучува лепење жолти детелинки на слика. Да претпоставиме дека има 90 жолти детелинки за часот и 30 слики (една слика на ученик). Учениците нека одредат колку жолти детелинки имаат на располагање за секоја слика!

Развивање интуиција за пропорционално размислување

1. Наведете искуства со предмети што доаѓаат во двојки: две стапала, две очи, две уши, два чорапи, два чевли итн.; исто така со предмети што доаѓаат во тројки, четворки, шестки итн.!

2. Дајте им на учениците повеќе можности да преполовуваат и удвојуваат износи!

387

3. Користете пропорционални табели за да ги оттргнете децата од разбирањето на повторливото собирање како нивен примарен начин на решавање!

4. Охрабрете ја интуицијата преку употребата на познати контексти!

а. Почнете со задачи во познати контексти така што интуицијата за пропорционално размислување за нив ќе излезе на површина!

б. Помогнете во преносот на знаење преку следење проблеми со познат контекст, со проблеми што ги вклучуваат истите броеви и структура, но се непознати во контекст!

в. Помогнете во преносот на знаење преку решавање други пропорционални проблеми што имаат познати контексти, но различни структури!

Истражување на различни начини на решавање

1. Охрабрете ја употребата на алтернативни начини на решавање пред да се научат традиционалните алгоритми за да им овозможите на учениците да ја искористат својата интуиција! Овие начини на решавање може да вклучуваат употреба на збир, збир во збир, табели и на дистрибутивното својство.

2. Дајте им на учениците можност да ги објаснат и оправдаат сопствените начини на решавање задачи за да го потврдите нивното добро размислување и да им овозможите на сите ученици да се запознаат со различен вид решенија!

3. Анализирајте ги интуитивните начини на решавање што ги користат учениците и помогнете им да го пренесат своето интуитивно знаење во конкретно знаење!

Искуства од истражувањето на серија проблеми со множење и делење

1. Направете напор да вклучите различен вид проблеми во кои множењето и делењето се соодветните операции!

а. Почнете со ситуации за кои учениците имаат силно интуитивно разбирање!

б. Продолжете со други ситуации за кои интуитивното разбирање не е толку силно!

2. Проучете ја вашата наставна програма или друг извор на материјали за останати карактеристики, како на пример за делители помали од 1 или

388

проблеми со квантитативно и партитивно делење! Најдете други извори за обезбедување соодветно искуство!

Избегнување настава со општи и погрешни претстави

1. Избегнувајте го воведувањето на множење и делење само како повторливо собирање и одземање! Доколку интуицијата на учениците ги води да користат повторлив модел на собирање и одземање, прифатете ги како оправдани начини на решавање и насочете ги учениците кон дополнително разбирање и користење и на други начини на решавање!

2. Не поучувајте ги учениците дека множењето секогаш дава поголемо и делењето секогаш дава помало! Доколку учениците ја изјават оваа генерализација базирана на претходно искуство, дајте примери што го негираат тоа и овозможете им разбирање преку нови докази!

СТЕПЕНИ НА МАТЕМАТИЧКО ЗНАЕЊЕ

Иако децата црпат богатство од интуитивно математичко разбирање од нивното искуство во и надвор од училиштето, наставниците треба да им пружат различни можности и искуства за да им овозможат стекнување повисоко ниво на математичко разбирање. Овие искуства треба да доведат до знаење на различни начини, начини што често одат подалеку од нивното интуитивно разбирање.

Ресник и Грино претпоставуваат дека постојат четири основни степени на математичко знаење25. Четирите степени се градени врз знаење за: а) протоквантитети, б) квантитети, в) броеви, и г) оператори и врски (видете табела 2). Овие степени ја вклучуваат идејата дека учениците почнуваат да се здобиваат со разбирање во физичкиот свет и постепено влегуваат во свет каде што размислуваат за апстрактни броеви и идеи. Традиционално, наставниците што ги вреднуваат конкретните активности за настава по математика во градинка или во прво одделение веруваат дека учениците немаат повеќе потреба од конкретна врска за множење и делење. Ние веруваме дека тоа е важно, да се објасни како разбирањето се гради преку овие различни нивоа на математичко знаење и да се опишат последиците од учење со структурите за множење. РАЗБИРАЊЕ НА ПРОТОКВАНТИТЕТИ

На степенот за протоквантитети, знаењето е поврзано со физички работи и се занимава со квантитети, а не со броеви. Учениците ги разбираат концептите „поголем и помал“ или „повеќе и помалку“ на општ начин. Во структурите за собирање, тие разбираат дека ако некои предмети се

25 Ресник (1992); Ресник и Грино (1990).

389

тргнат, ќе останат помалку предмети. Во структурите за множење, тие размислуваат дека поголемите животни јадат повеќе храна од помалите животни. Тие знаат дека ако секој сака да добие по 3 колачиња, им требаат повеќе отколку ако секој сака по 1 колаче. РАЗБИРАЊЕ НА КВАНТИТЕТИ

Во наредниот степен, знаењето за квантитети е сè уште поврзано со одредени предмети, но се додава концептот на броеви, и предметите се бројат (апстрактни квантитети) и се мерат (постојани квантитети). Броевите во овој степен служат како придавки. „Има 4 полици со книги“. „Секоја единица има потреба од 2 јарди материјал“. Поврзаноста на броевите со физичките предмети им помага на децата да разберат „колку“. Кога се изведуваат операции, тие се изведуваат на одредени физички квантитети, не на броеви. Во ситуации со множење и делење, начините на кои физичките предмети се засегнати се илустрирани преку видовите на проблемските ситуации кратко споменати во Прегледот од оваа книга.

Видете ја табела 2 за некои примери како учениците размислуваат за конкретни количини!

ТАБЕЛА 2. Ресник и Грино: Степени на математичко знаење

СТЕПЕН НА ЗНАЕЊЕ

ПОВРЗАНО СО

УПОТРЕБЕН ЈАЗИК

ОПЕРАЦИИ

Протоквантитети Физички предмети Споредува и опишува вистински

предмети

Изведено на вистински предмети

Квантитети Броење и мерење одреден број

конкретни предмети

Формален (на пр., додај, подели)

Применето на вистински предмети

Изведено на нешта или визуелизација на

нешта

Броеви

Броеви како предмети самите по

себе

Броеви како именки

Опишува својства и врски на броеви

Изведено на самите броеви

1. Може да има 3 пакувања со 6 чоколада во секое. (повторливи квантитети)

2. Различни видови на кори и гарнир за пица може да се комбинираат за да се најде вкупниот број на можни комбинации. (комбинација)

3. Фотографијата може да се намали за 50% за да ја собере на една страница. (скалесто)

390

4. Може да има 168 квадратни метри тепих долг 4 стапки за да се подели во 3 училници. (геометриски) РАЗБИРАЊЕ НА БРОЕВИ

Разбирањето на броеви укажува дека самите броеви се гледани како предмети за кои може да се размислува. Тие не се повеќе само зборови што опишуваат други нешта. Тие стануваат именки. Имаат сопствени својства. Операциите управуваат со броевите повеќе отколку со физичките предмети. Кога станува збор за износи, учениците може да го разложат бројот „петнаесет“ на повеќе начини, но размислуваат за 15 мечки или 15 пени или 15 точки. Кога броевите стануваат именки, самото „петнаесет“ се учи како може да се добие или кои броеви се поголеми и помали – без да се поврзат со одредени предмети. „Петнаесет“ може да се опише со други броеви: тоа е 3 пати по 5, 5 повеќе од 10 или половина од 30, го има својството на непарен број. Кога учениците размислуваат за броевите независно од износите, тие се на ниво на знаење за броеви. Дадена е претпоставка дека комуникацијата за броеви е една од најважните алатки за воспоставување компетентност за нив26. РАЗБИРАЊЕ НА ОПЕРАЦИИ И РЕЛАЦИИ

Учениците што функционираат на највисок степен на математичко знаење можат самите да размислуваат за операции и врски. Тие го разбираат ефектот што операциите ќе го имаат врз броевите. На пример, тие разбираат дека со операцијата множење на броевите 24 и 12 ќе има далеку поразличен резултат отколку со операцијата собирање. Учениците се исто така способни да ги разберат врските помеѓу броевите, како во случајот со паровите (7, 35), (2, 10) и (100, 500) каде што сите имаат иста врска „x 5“. Ова последно ниво на разбирање е неопходно за множење или пропорционално размислување и напредна математика.

Овие степени на знаење не се по природа делени по фази, при што еден ден учениците размислуваат за физичките квантитети, а наредниот ден се качуваат на степенот на размислување за броеви за сите математички идеи. Слично како разбирањето за броеви, математичкото разбирање на различни степени се добива постепено преку многу искуства, и искуството на различни степени е неопходно за концептуален развој на нови идеи. Учениците можат и оперираат на различни степени во исто време. Можно е да се разбере степенот на броеви кога износите се под 20, но да се функционира само на ниво на износи кога износите се над 100. Слично на ова, учениците може да имаат разбирање за оператори за групирање (а + б = б + а), знаејќи дека тоа е точно за сите износи, но сè уште да функционираат на ниво на протоквантитети за множење (на пр.: „Ако

26 Национален совет на наставници по математика (1989); Ресник (1992).

391

јадеме четири часа наместо еден, ќе ни биде потребно многу повеќе храна“). ПРИСТАПУВАЊЕ КОН СИТЕ НИВОА

Навистина, за некои ситуации е неопходно да се размислува со понизок степен на математичко знаење, дури и ако некој е способен да размислува на повисок степен. Инженерите, научниците и економистите, сите треба да се придвижат напред – назад низ овие степени. На пример, економистите може да му пристапат на прашањето за тоа колку поголемата инфлација и помалата потрошувачка ќе го погоди бруто-националниот производ прво во протоквантитет, потоа да ја испробаат својата теорија со одреден број множители (квантитативен степен) и на крајот да се фокусираат на врските и операторите (степен на оператор).

Чест случај во американските училници е децата да се учат на степен на протоквантитети и квантитети во градинка и потоа веднаш да се префрлат на работа со броеви без претходно да се развие вистинско познавање за квантитети. Голем е бројот на наставниците што сметаат дека учениците во основните одделенија треба да работат и да размислуваат само со апстрактни броеви. Авторите на Математика со размислување сметаат дека за стекнување знаења за сите математички концепти е потребен постепен развој на тие знаења. Веруваме дека ако разбирањето е градено низ степени, учениците ќе имаат помалку проблеми кога ќе се соочуваат со аспектите на множење, делење и со структурите за множење што обично создаваат проблеми.

Разбирањето на операцијата множење може да поминува низ нивоа на математичко знаење на начин сличен на овој:

Прво, луѓето ја користат математиката на протоквантитети за да разберат општо што се случува со групите кога тие се делат или се разделуваат. На пример, што повеќе предмети во групата, секој ќе има повеќе. Ако има повеќе вкусови на сладолед, ќе има повеќе видови сладолед со овошје, лешници и ореви што ќе може да ги направиме. Ако дојдат нови ученици да ги делат овие книги, секој од нив ќе добие помалку книги за дома.

Броевите потоа се додаваат кон групи од предмети. Конкретни групи од предмети се формираат со цел да се илустрира и докаже ефектот на операциите. (Ова некако ги ограничува употребените броеви, а на крајниот дел од ова ниво учениците можат да работат со илустрации или ментални слики на предмети). Учениците може да решаваат проблеми на ниво на квантитети како овој:

392

Мелиса прими 64 картички за Св. Валентин и одлучи да ги стави во албум. Колку страници може да пополни ако една страница има место за 4 картички?

Понатаму, по многу искуства со квантитети, се развива знаењето за броеви, и учениците се способни да работат со броеви без да ги додаваат нивните квантитети. На овој стадиум учениците може да размислуваат само за броеви (на пр., 3 x 29 е за 3 помалку од 3 x 30, или тоа е 87).

На крајот, учениците ќе бидат во можност да размислуваат за операциите и врските на апстрактно ниво. Оваа способност ќе го потпомогне нивниот развој за пропорционално размислување. ЕДЕН КОНЦЕПТ НИЗ ПОВЕЌЕ СТЕПЕНИ

Ресник опишува како една конкретна идеја, концептот дел – дел – цело, може да се разбере на различни нивоа на математичко разбирање27. Разбирањето за протоквантитети е дека целото може да се подели на делови што може да се комбинираат, и не е важно по кој редослед кога ќе ги враќаш назад. Ова вклучува размислување за групирање на протоквантитети. Учениците имаат разбирање за квантитети кога разбираат дека 3 јаболка + 5 јаболка + 4 јаболка = 12 јаболка; 3 јаболка + 5 јаболка = 5 јаболка + 3 јаболка; и (3 јаболка + 5 јаболка) + 4 јаболка = 3 јаболка + (5 јаболка + 4 јаболка). Тука учениците развиваат разбирање за квантитет на поврзаност, групирање и компонента на собирање – разбирање што тие ќе го применат во повисоките нивоа на знаење. На нивото на броеви учениците може да размислуваат за овие равенки без да ги поврзуваат со јаболка. На нивото на оператори тие разбираат дека принципите на менување на местата и групирање се вистинити за секое собирање:

m + n = n + m и ( n + m ) + p =

n + ( m + p ). Знаењето што тие го имаат е за врските што постојат при изведувањето на процесот на собирање.

Сличен пат може да се трасира за пропорционалното размислување. Со знаењето за протоквантитети ученикот ќе разбере дека таткото мечка треба да има поголемо столче од мајката мечка. Со знаењето за квантитети ученикот може да погоди колку точно дрво е потребно ако столчето на таткото е три пати поголемо од столчето на бебето мечка, и дека 24 линеарни стапки дрво се потребни за столчето на бебето мечка.

27 Ресник (1992).

393

Покрај различните степени на разбирање математика претставени од страна на Ресник и Грино, важни се и други аспекти на знаење. За да преминат учениците кон повисок степен и ниво на знаење, ние мораме да ја развиваме нивната способност да го поврзуваат и организираат своето знаење, како и да ги разберат општите принципи28.

Општите принципи ќе им овозможат да го применат знаењето во нови контексти. „Знаењето добиено на ниво на механичка меморија“, вели Националниот истражувачки совет (НИС), „ретко се пренесува; преносот најчесто се појавува кога оној што учи ги знае и разбира дадените принципи што може да се применат со проблеми во нови контексти“. МАТЕМАТИЧКА ВЕШТИНА

Оние што се математички напредни имаат пристап до сите нивоа на математичко знаење. Еден извештај на НИС забележува дека постојат пет компоненти на математичко владеење29. Тие се:

концептуално разбирање, процедурално знаење, стратешка компетентност, приспособливо размислување, и практикување математика.

Кога учениците имаат концептуално разбирање, тие разбираат зошто математичките идеи се важни, кога тие се корисни, и се способни да интегрираат идеи. Иако доказ за овој вид разбирање може да се најде во вербализацијата, може исто така да се покаже кога учениците се способни да претставуваат математички ситуации на различни начини и да направат добар избор на начин што одговара на одредена цел. „Вештините здобиени без разбирање“, вели извештајот, „се учат како изолирани парчиња знаење“.

Процедурално знаење е способноста да се спроведуваат процедури „флексибилно, точно, ефективно и соодветно“. Извештајот на НИС укажува дека, иако речиси цел век зборувавме за „основни факти“, тие се однесуваат на основните комбинации на броеви за да потенцираат дека знаењето „е поврзано и не мора да се меморира напамет“. Всушност, тие наведуваат нови наоди дека учениците преминуваат низ серија стадиуми додека ги учат овие комбинации и велат дека не можеме да ги разликуваме одговорите преку сеќавање и тие генерирани по брза постапка. Со растењето на учениците начините на доаѓање до одговорите на едноставни проблеми стануваат понапредни и апстрактни и поефективни.

28 Национален истражувачки совет (1999), Како учат луѓето.

29 Национален истражувачки совет (1999), Додавање.

394

Стратешка компетентност значи дека учениците можат да претставуваат, формулираат и решаваат математички проблеми. Еден од најдобрите начини за развој на оваа компетентност е преку работење со текстуални проблеми.

Приспособливо размислување се развива преку опис, објаснување и докажување.

Она што се нарекува практикување математика вклучува развивање логика и тенденција да се гледа математиката како корисна и нешто што може да се научи и примени. НАСТАВНА СОДРЖИНА ЗА СТЕПЕНИТЕ НА МАТЕМАТИЧКО ЗНАЕЊЕ

Наставникот ја има одговорноста не само да ги поддржува и поттикнува учениците да ја користат својата интуиција туку и соодветно да ги насочи кон математиката на оператори. Во секое време, учениците треба да бидат во состојба соодветно да се поместат напред – назад низ сите здобиени степени на знаење.

Еве неколку предлози за активности на час што ќе поттикнат размислување на различни нивоа на математичко знаење:

Користење на сите нивоа на знаење

Понудете искуства за да ги придвижите учениците низ сите нивоа на знаење! Воведете го секој нов концепт на ниво на протоквантитети во кое било одделение! Во некои примери придвижувањето кон повисокото ниво на разбирање може да се случи во подоцните години.

Примена на десетте принципи

Десетте принципи вклучуваат различни начини на стекнување знаење. Овие различни начини на знаење помагаат во создавање разбирање за броеви што им овозможува на учениците да напредуваат во последователните нивоа на знаење.

1. Употребете броење, мерење и ситуации како клуч за премин од протоквантитети до квантитети!

2. Ангажирајте ги учениците во процесот на објаснување и докажување за тоа што го прават, како начин да ги наведете да мислат за нивното сопствено математичко знаење и да им дозволите да ги видат недостатоците во своето знаење! Овие сфаќања се предзнак за придвижување кон повисоки нивоа на знаење.

395

3. Дозволете им на учениците да ги споредат и спротивстават различните начини на решавање, како начин да се направи премин од квантитетите кон математиката на броеви и оператори!

Развивајте разбирање преку поставување прашања!

Помогнете им на учениците да изградат висок степен на разбирање преку поставување прашања, кои ќе им помогнат во правењето математички врски, на пр.:

„Кој има повеќе балони?“ (протоквантитет);

„Колку повеќе балони има Енди?“ (квантитет);

„Ајде да го погледнеме овој број 15! Што можете да ми кажете за бројот 15? На колку начини можете да направите 15?“ (број).

РАЗВИВАЊЕ НА РАЗБИРАЊЕ ЗА БРОЕВИ

Главната цел на математиката во основното образование треба да биде развивањето на разбирање за броеви. Разбирањето за броеви дава добри и корисни резултати со најмал напор30. ДЕФИНИЦИЈА

Што е разбирање за броеви? Разбирањето за броеви се однесува на широк спектар на карактеристики и е тешко да се дефинира. Истражувачите повеќе сакаат да утврдуваат докази за разбирањето за броеви отколку конкретно да го дефинираат. Ние не нудиме едноставна дефиниција, туку неколку описи за разбирањето за броеви, кои одговараат на визијата на Математика со размислување. Разбирањето за броеви содржи многу поврзани сфаќања.

Разбирањето за броеви може да биде опишано како добра интуиција за броевите и врските што владеат помеѓу нив. Тоа се развива постепено, како резултат на истражувањето на броевите, нивната визуелизација преку разни контексти и нивното поврзување на начини што не се ограничени на традиционалните алгоритми. Задачата на математиката е суштинска за развојот на разбирањето за броевите31. Разбирањето за броеви исто така е

30 Национален истражувачки совет (1989), стр. 46–47.

31 Хауден (1989), стр. 11.

396

опишано во рамките на математичката „територија“32 низ која се движиме со леснотија доколку имаме развиено разбирање за броеви.

Луѓето со разбирање за броеви знаат каде се во концептуална математичка средина, кои нешта се во близина, кои нешта се лесно дофатливи од таму каде што се, и како патиштата може флексибилно да се комбинираат за да се стигне ефективно до други места. Тие исто така знаат како да ги менуваат броевите за да формираат други броеви преку комбинации, разложувања и други операции33.

Овие способности одат паралелно со идејата на Хауден дека истражувањето, поврзувањето и разните контексти се неопходни за развој на разбирањето за броеви. Тие исто така опишуваат колку работи учениците на Математика со размислување прават и треба да знаат во потрага по инвентивни решенија. Опциите за движење низ оваа територија се зголемуваат со додавањето на контекстот за множење во светот на учениците. Но тоа движење и ова сфаќање се клучно поврзани со значењето на новите улоги на броевите што ги имаат во доменот на множењето. Понатаму, штом се движите подлабоко во територијата и работите со многу големи или многу мали броеви, неопходно е да се придвижите од конкретни кон апстрактни примери. Овој напредок е тежок и може да го изгуби значењето без разбирањето за броеви.

Во книгата Принципи и стандарди за математика во училиштата, објавена од Националниот совет на наставници по математика (НСНМ) во 2000 година, се вели:

„Клучно за стандардите на броеви и операции е развивањето на разбирање за броеви. Учениците со разбирање за броеви ги разложуваат броевите на природен начин, користат одредени броеви како референти, решаваат задачи со помош на врските помеѓу операциите и знаењето за основниот систем – 10, проценуваат разумен резултат на задачата, и имаат тенденција да изведуваат логички заклучоци за броеви, задачи и резултати“34.

Овие стандарди го поврзуваат развојот на разбирањето за броеви во структурите за множење со многу можности за пропорционално размислување.

32 Грино (1991), стр. 170.

33 Грино (1991), стр. 185.

34 Национален совет на наставници по математика (2000).

397

ПРОМЕНА ВО ЗНАЕЊЕТО И ЕФЕКТИ

Наставниците често се изненадуваат што некои ученици, кои покажуваат разбирање за броеви при собирање и одземање, од друга страна, покажуваат слабо разбирање за броеви кога ќе преминат на множење и делење. Една причина за оваа привидна недоследност може да е тоа што учениците не прават неопходен скок во нивното размислување за тоа што претставуваат броевите. Разбирањето за броеви во множењето и делењето бара ново разбирање за улогата на броевите и контекстите во кои тие се појавуваат.

Друга пречка за развој на разбирањето за броеви во множењето е недостигот од разбирање дека употребените процедури во претходните операции треба да се променат во ситуациите на множење. На пример, начинот на кој броевите се „изведени“ или прегрупирани во традиционалниот алгоритам на собирање не се однесува на алгоритамот за множење.

14 5

+ 3 9

8 4

Ученик може да знае дека во традиционалниот алгоритам за собирање „изведена“ или прегрупирана десетка е додадена на другите десетки. При собирање 45 + 39, една (1) десетка од 14 (на пр., 5 + 9 = 14) се додава на 4 во колоната за десет (на пр., 1 + 4 = 5), и тој збир се додава на 3 во колоната за десет (на пр., 5 + 3 = 8). Меѓутоа, при користењето на оваа процедура за собирање, множењето резултира со грешка, како што е прикажано подолу:

12 6

x 2

62

При решавањето на овој проблем, еден ученик ја прегрупирал едната (1) десетка од 12 (на пр., 2 x 6 = 12) и ја додал кон двете (2) десетки во 26, како во дополнување (1 десетка + 2 десетки = 3 десетки). Ученикот потоа ги помножил сите десетки по 2 (на пр., 2 x 3 десетки) така што добил неточен одговор 62 наместо 52.

Затоа што Математика со размислување 1: Основи ја истражува темата за разбирањето за броевите, која се поврзува со структурите за собирање во

398

многу детали, остатокот на ова поглавје ќе ги разгледува елементите што се развиваат со разбирањето за броеви, а се појавуваат само кога учениците ќе почнат да работат со множење. Наодите од истражувањето на овие прашања се организирани под три наслови: а) Нови улоги на броевите, б) Индикатори на разбирањето за броеви, и в) Јазик, референти и контекст. НОВИ УЛОГИ НА БРОЕВИТЕ

Разбирање што значат броевите

Когнитивните истражувачи дошле до заклучок дека, иако учениците му пристапуваат на учењето за множење и делење и работат со остатоци, тие продолжуваат да размислуваат за броевите како „бројачи“ или како имиња за квантитети на единични единици. Во собирањето и одземањето е очигледно на што се однесуваат броевите. Броењата од различен вид може да ги претстават броевите како квантитети, и овие примери може да се употребат за да се реши проблемот. На пример, ако 4 деца се на игралиште со песок, а 2 се на лулашки, вкупниот бројот на деца може да се одреди преку броење 4, броење на уште 2 и со ставање на сите елементи заедно. Меѓутоа, во множењето броевите не стојат секогаш за поединечни предмети. Тие може да претставуваат групи или врска помеѓу броеви. Проблемите не може да се решат преку претставување на самите броеви. На пример, бројот на колачиња во тепсија што има 4 реда со по 6 колачиња во секој ред не може да се одреди ако се брои 4 и потоа пак 6. Четири реда со по 6 во секој ред мора да се визуелизира или да се претстави.

Гледањето на броевите само како за броење го попречува патот за користење на броевите за укажување на врската помеѓу два износи; тоа исто така ја попречува способноста за пропорционално размислување за врската помеѓу деленикот и количникот35. Следниов проблем може да се реши преку препознавање на врската помеѓу двата износи:

Имаме 6 сини топки на секои 2 црвени топки. Колку црвени топки ќе имаме ако имаме 36 сини топки?

Врската што треба да се разбере е врската (x3) помеѓу групата од 6 и групата од 2.

Горенаведените примери покажуваат дека научените концепти при учењето за структурите за собирање не мора да бидат преносливи во множењето.

35 Лемперт (1992).

399

Не постојат рамни, континуирани патишта од собирање и одземање до множење и делење, или пак од цели броеви до рационални броеви. Множењето не е само повторливо собирање, и рационалните броеви не се само подредени делови на целите броеви. Новите концепти не се сума од претходните. Компетентноста со (овие) концепти бара раскинување со поедноставните концепти од минатото, и нова концепција на самиот број36.

Иако разбирањето за броевите како можност за броење е доволно за проблемите што се повторливо собирање или модели на повторливо одземање, овие проблеми сочинуваат само дел од полето на структурите за множење.

Во структурите за множење, одредувањето што претставуваат броевите е покомплицирано отколку во структурите за собирање. Во дополнувањето на апстрактните предмети или единични сегменти на постојани квантитети, броевите може да застапуваат збир на предмети или на постојани квантитети (на пр., едно пакување со колачи или шест инчи долга лента). Многупати еден од броевите во проблемот укажува на врска што постои или што треба да се примени помеѓу групи (на пр., Џонатан има половина од капачињата за шишиња на Тања; има по 3 колачиња за секое дете). Во првиот пример, скалеста ситуација, бројот „половина“ ја покажува врската на бројот на капачиња што ги има Џонатан со бројот на капачиња на Тања. Во вториот пример, повторлива групна ситуација, „3“ укажува колку колачиња има секое дете.

Разложување преку множење и составување броеви

Разложувањето и составувањето броеви и концептот на еквивалентност играат важна улога низ сите нивоа на математиката. Постојат многу начини да се разложи 18 преку собирање (на пр., 10 + 8, 9 + 9, 12 + 6 итн.). Учениците изгледа како да ги знаат правилата: можеш да разложиш на секаков начин сè додека користиш сè што имаш, и не повеќе од тоа37.

Кога учениците навлегуваат во територијата множење, потребен е различен вид на разложување. Разложувањето вклучува разбирање за: а) множители, и б) дистрибутивно својство, кое е зависно од в) разложувањето на броеви преку собирање. Бројот на начини за разложување на 18 преку множење е ограничен од сопствените делители. Поточно, не секој цел број помал од 18 може да се спари со друг за да го разложи 18. На пример: 18 може да се

36 Хајберт и Бер (1988), стр. 8–9.

37 Ресник (1992).

400

разложи на (2 x 9) или (3 x 6). Не може да се разложи со множење користејќи ги 10 и 8. Мора да се разложи на еднакви групи38.

Целите броеви што не се примарни броеви39 може да се разложат и да се состават со множење преку користење одредени множители. За 9 x 72, учениците може да размислуваат: 9 (9 x 8) и потоа повторно да го разложат 9: 9 x 72 = 9 ((3 x 8) x 3)). Понапредните ученици, кога ќе им бидат претставени два броја и ќе бидат запрашани да ја опишат врската меѓу нив, исто така ќе се стремат да искористат делители и да размислуваат преку множење. На пример, кога ќе бидат запрашани да опишат како 6 е поврзан со 2, тие веројатно ќе се фокусираат на врската 3 пати. Од друга страна, учениците со понизок степен на разбирање ќе препознаат врска + 4.

Во минатото, образованието во Америка не се фокусирало на множители во првите одделенија. Својствата на броевите на кои американските училишта се генерално фокусирани се: големина, пар/непар и дали еден број е делив со друг. Од друга страна, децата во Кина се изложени на структурата на множители уште од трето одделение40.

Знаењето на факторите на броевите (да не се направи забуна со механичкото учење на основните факти) ги оспособува учениците за структурите за множење. Ученик може да рецитира факти научени напамет без да разбира дека постои ограничен број на идентични групи што се содржани во самиот број и без да биде способен да направи обратна врска.

Иако учениците може добро да оперираат со структурите за собирање пред да ги меморираат основните факти, природата на проблемите со структурите за множење и потребата за разложување преку множење укажува на важноста од лесен пристап до фактите за множење. Едно средство за пристап до фактите за множење и разложувањето на броеви е преку прескокнување при броењето, што е алтернативен начин за воведување процес на множење за вежбање на фактите за множење. Со нулата како почеток, броењето по два, три, четири итн., ги гради таблиците за множење. Прескокнувањето при броење може исто така да се направи по случаен почеток (на пр., 2, 5, 8, 11). Последново овозможува да се испита како е изградена низата.

Удвојување и преполовување

38 18 може исто така да се состави со помош на множители (на пр., 3 x 6).

39 Примарен број е цел број чии множители се самиот тој број и 1. Нецелите броеви може исто така да се разложат преку множење освен ако и броителот и именителот не се 1 или примарни броеви.

40 Ресник (1992).

401

Наставата мора да оди подалеку од прескокнувањето при броење и усвојувањето основни факти. Едно истражување со необразовани бразилски улични продавачи и со многу млади деца укажува дека удвојувањето и преполовувањето е лесно41. Овие интуитивни стратегии може да помогнат во ширењето на бројот на факти до кои учениците имаат пристап. На пример, ако тие знаат групи од 2, може да го дуплираат резултатот за групи од 4. Употребата на прескокнувањето при броење при решавање проблеми може да помогне во зајакнувањето на пристапот до основните факти. Учениците што се вклучени во програма по математика што се потпира на размислување и секојдневна вклученост во ситуациски проблеми ги учат основните факти исто како и други деца што потрошиле доста време на вежбање на фактите42.

Прескокнувањето при броење го охрабрува и гради разбирањето и препознавањето на шемите на броеви, кои го потпомагаат размислувањето во склоп на структурите за множење. Главниот придонес на прескокнувањето при броење е обезбедувањето средства за препознавање множители, врски помеѓу броеви и развивањето способност со броеви што служи како основа за пропорционално размислување.

Елемент на идентитет за множење

Во множењето и делењето неутрален елемент е бројот 1, затоа што секој број помножен или поделен со 1 останува ист, си го задржува својот оригинален идентитет. Една група од 15 елементи има идентитет 15 (1 x 15 = 15). Ако имате 15 картички и му ги дадете на 1 човек, човекот има 15 картички (15 ÷ 1 = 15). Така, 0 и 1 играат различни улоги како оператори во множењето и делењето за разлика од оние во собирањето и одземањето.

Друга голема промена е она што се појавува кога операторот е број помеѓу 0 и 1. Додавањето три четвртини на број секогаш го зголемува збирот. Одземањето три четвртини секогаш резултира со имање помалку. Така, кога множењето и делењето се воведени како повторливо собирање и одземање, интуицијата се базира на претходното искуство, како и на изјавите на наставниците дека множењето секогаш дава поголемо и делењето секогаш дава помало. Меѓутоа, кога број помеѓу 0 и 1 е оператор, таа изјава не е точна. На пример:

¾ x 16 = 12 и 20 ÷ 0.5 = 40.

Ова недоразбирање предизвикува големи концептуални проблеми во полето на дропки и децимали. Неразбирањето на различниот ефект на

41 Керахер (1985).

42 Коб, Вуд, Јекел, Николс (1991); Ресник, Бил и Лесголд (во печат); Витли (1983/1984).

402

користењето на 0, 1 и броеви помеѓу 0 и 1 како оператори во множење и делење доведува до недостиг во разбирањето за броеви. ИНДИКАТОРИ НА РАЗБИРАЊЕТО ЗА БРОЕВИ

Способност да се користи проценка

Стандардите на НСНМ ги дефинираат проценката на квантитети, мерни единици и разумноста на одговорите како полиња што треба да добијат поголем акцент43. Проценката продолжува да биде средство за развивање и излагање на разбирањето за броеви. Таа е исто така клучен дел од традиционалната поделба на алгоритми. Проценката е важна алатка за движење низ територијата на разбирањето за броеви, множењето повеќецифрени броеви и делењето. Тоа е исто така прифатлив процес сам по себе, со исклучоци кога проценката е посоодветен начин за да се обезбеди потребната информација од пресметката. На пример, еколозите можат да ја проценат популацијата на риба во некое езеро со помош на мостра. Купувачите можат да проценат колку пари да земат за нивните секојдневни набавки. Патниците можат да проценат колку рано да заминат за да стигнат навреме на одредена дестинација.

Препораките на Саудер околу проценката признаваат напредок во нивоата на разбирање. Малите деца може да го немаат сето неопходно знаење за добра проценка, но може да направат големи проценки. Таа предлага да се започне со тоа што ќе се побара од децата да дадат квантитативни судови (на пр., „Дали 20 x 40 ќе биде повеќе или помалку од 1.000?“). Подоцна тие може да направат поблиска проценка поврзана со математиката на броеви. Саудер укажува на некое неопходно разбирање за проценка кога вели дека „добрите проценители имаат добро сфаќање за основните факти, вредност и аритметички операции, вешти се во ментални пресметки, самоуверени се, толерантни за грешки и флексибилни во својата употреба на стратегии“44.

Способност да се користат репери

Многу брзо броевите стануваат многу поголеми и помали во множењето и делењето, така што учениците лесно може да дојдат до целосно неразумни одговори за кратко време. Бидејќи самите броеви може да бидат доста големи, учениците може помалку да одговараат на прашања, особено ако немаат силно развиено разбирање за квантитети. Меѓутоа, станува многу важно да се стави акцент на разумноста на одговорите за множење и делење.

43 Национален совет на наставници по математика (1989), стр. 38–39.

44 Саудер (1992).

403

Учениците треба да развијат репери или стандарди за споредба при проценувањето или испитувањето каде ќе ги однесе одредено решение. Репер е добро познат факт, користен во правењето судови за други факти. Тоа е знак што укажува дали сте во добра средина или во која насока треба да одите. Реперот е „познат“ за разлика од проценката што е изведена претпоставка.

НСНМ предлага учениците да имаат репери во склоп на своето искуство. На пример, тие треба да бидат способни да проценат дека „е нереално за четвртоодделенец да биде 316 сантиметри висок или да тежи 8 килограми, парче леб не чини 117 долари и наставникот нема 96 години“45. Знаењето дека 10 x 100 е 1.000 може да послужи како репер за да се сфати дека 9 x 89 ќе биде близу но сепак помалку од 1.000. Знаењето дека ½ + ½ = 1 може да се искористи како репер за да се укаже дека

43 плус

32 дава одговор што

е поголем од 1.

Умствена математика

Некои наставници веруваат дека наставата треба да се фокусира на давањето можност на учениците да генерираат инвентивни стратегии на решенија за проблеми наместо да ги следат вообичаените алгоритми. Овој вид ментална пресметка го проширува разбирањето за броеви. Тој го негува разбирањето за броеви преку барање од учениците да погледнат одблиску кон броевите и да размислат што значат тие, како може да се променат во појава без да се смени вредноста; други процедури бараат броевите да се разложат и да се состават46.

Исто како што разбирањето за броеви во структурите за собирање се подобрува со инвентивни стратегии, така и инвентивните стратегии имаат вредност за структурите за множење. Инвентивните стратегии често се користат како мисловни математички стратегии и генерално ја отсликуваат употребата на цели износи наместо единични цифри. Тие може да искористат многу начини за разложување и составување броеви. Така, со користење на инвентивните стратегии претставени во Математика со размислување може да се зајакне разбирањето за броеви.

Не само што менталната математика помага во развојот на разбирањето за броеви туку менталната пресметка е неопходна за проценка на општиот алгоритам. Потребно е да се провери разумноста на одговорите. Тоа исто така им помага на учениците да развијат репери за работа со големи

45 Национален совет на наставници по математика (1989), стр. 40.

46 Саудер и Шапел (1989), стр. 22.

404

броеви. Можните ментални стратегии вклучуваат употреба на дистрибутивно својство и компензација.

Со користење на дистрибутивното својство броевите се разложуваат преку собирање и потоа се множат. На пример, 47 коли играчки во една кутија по 2 кутии со коли може да се разбере како 2 x 47 = (2 x 40) + (2 x 7) = 80 + 14 = 94 коли играчки.

Оваа стратегија е мост кон алгебрата, каде што 2 ( x + y ) = (2. x ) + (2. y ).

Користењето на ментална компензациска стратегија исто така му овозможува на ученикот да работи со полесни броеви. На пример:

2 x 47

а) 2 x 50 = 100

б) 2 x 3 = 6

100 – 6 = 94

Така, 2 x 47 = 94

Како што учениците можат интуитивно да соберат наместо да одземат во некои проблеми од структурите за собирање, така тие можат интуитивно да решат проблем со делење преку користење на процесот за множење или обратно47. Еве еден пример:

Саем по математика

Треба да се пратат 72 покани за да се поканат луѓе на Саемот по математика. Има комисија од 4 ученици што ќе ги напишат поканите. Колку покани треба да напише секој од нив?

Учениците може да помислат на 72 ÷ 4 како 4 x ? = 72.

47 Кулм (1980); Ресник, лична комуникација, 27 јуни 1991.

б) Но јас помножив 50 наместо 47; тоа е 3 повеќе за секоја кутија така што сега треба да ги одземам дополнителните 2 x 3.

а) 50 е близу до 47 и полесно е „да се работи со него, затоа што се знае дека 2 по 50 е 100“.

405

72 ÷ 4 = ?

? x 4 = 72

15 x 4 = 60

3 x 4 = 12

60 + 12 = 72

72 ÷ 4 = 18

Третманот на остатоци

Еден од уникатните аспекти на оперирањето со броеви во процесот на делење е дека одговорите не се секогаш цели броеви. Кога се делат работи, може да остануваат делови или пак нецелосни групи. Кога делењето е ставено во текстуална ситуација, знаењето што да се прави со остатоците е индикатор за разбирањето за броеви. Човек со разбирање за броеви знае дека одговорот за тоа колку автобуси се потребни нема да содржи дропка или остаток. Автобусите мора да се цели48. Неопходно е да се знае дека броевите се претставуваат со цел разумно да се справиме со нив. За време на процесот на решавање, учениците треба да се фокусираат на ситуацијата, како и на пресметката49.

Друг случај каде што е несоодветно да се отфрли или игнорира остатокот, но каде што остатокот има различно влијание, е прикажан во следниов пример:

Џенин исече табла долга 7 стапки на 4 еднакви парчиња за да направи полици за книги. Колку стапки е долга секоја полица?

Трите стапки од таблата „преостанати“ при делењето на 7 со 4 ќе бидат исто така дел од 4-те полици. Точниот одговор е ¾ (или 1.75) стапки на

58 Следниов пример, голема сопка за шестоодделенците, датира од 1983 година од тест по математика од програмата за оценување во Калифорнија: 130 ученици и наставници од училиштето „Марија Кири“ ќе одат на излет. Секој школски автобус има место за 50 патници. Колку автобуси ќе бидат потребни? a) 2 б) 2 R30 в) 2 3/5 г) 3

Само 35% биле способни точно да ја дефинираат потребата за 3 автобуси.

49 Чарлс и Силвер (1988); Полија (1973).

Може да помислам на 72 ÷ 4 како колку групи од 4 во 72? Знам дека не е колку 20; дека ќе биде 80. 15 x 4 е 40 + 20, и тоа е 60. Ми требаат само 12 повеќе. Тоа се плус 3 групи од 4. Го помножив 15 x 4 и 3 x 4, така што помножив 18 x 4 за да добијам 72. Оттука, има 18 групи од 4 во 72.

406

полица. Разбирањето дека таблата долга 3 стапки може да се раздели на 4 парчиња од кои секое е ¾ стапки долго е пресудно за точен одговор на прашањето.

Во следниот пример, учениците одлучуваат што да прават со остатоците.

Џаходи донесе 60 колачиња на училиште за својот роденден. Колку колачиња ќе добие секој ако се знае дека има 24 ученици во одделението?

Бидејќи 60 колачиња не може да се поделат еднакво помеѓу 24 ученици, постојат неколку можности. Одделението може да одлучи да му остават повеќе колачиња на Џаходи; може да им ги дадат на сиромашните граѓани; или пак да им ги поделат на наставникот и останатиот персонал. Колачињата исто така може да се преполоват и да се поделат, решение што го нудат дури и второодделенци. Решавањето на проблемот со повеќе колачињата за Џаходи го поврзува делењето и остатоците со реалниот живот, додека решавањето на проблемот како 60 ÷ 24 е 2 R12 (каде R12 нема никакво значење) не се поврзува со реалниот живот.

Во други проблеми прашањето определува каков ефект има остатокот врз одговорот. Разгледајте го проблемот: „Секоја кутија има 8 пакувања. Колку кутии се потребни за да се сместат 26 пакувања во кутии?“ Решението на овој проблем бара да се обезбеди дополнителна кутија за она што сега општо го нарекуваме остаток. Од друга страна, прашањето: „Колку кутии можете да пополните?“ дава одговор каде што остатокот се отфрла или се игнорира.

Кога се дели надвор од контекст, учениците се советувани дека, ако делењето не излезе како цел број, преостанатата сума (која мора да биде помала од делителот) ќе биде остаток и се запишува како R2. Практиката со неидентификувани проблеми и обележување на сите остатоци како остатоци го уназадува разбирањето за броеви со остатоци во реални ситуации. ЈАЗИК, РЕФЕРЕНТИ И КОНТЕКСТ

Позната и фрустрирачка глетка за наставниците е онаа кога учениците извлекуваат броеви од текстуални проблеми и оперираат со нив без да се размислува, без да се прочита проблемот во текстот50. Но Нешер верува дека пред каква било акција за решение на текстуалниот проблем, ученикот мора да се соочи и да ги совлада смислата на текстот и информациите извлечени од него51. Така, учениците треба да се наведат

50 Бет (1989).

51 Нешер (1992).

407

како да гледаат на математичката структура во вербален текст. Важно е да се нагласи дека „текстуалната анализа мора да го вклучи целосниот текст, а не изолирани клучни зборови“52, 53.

Во контекст на решавање проблеми, повеќето броеви се запишани од десната страна со мерна единица или ознака што објаснува што претставува бројот (на пр., 5.02 секунди, 7 авиони, ¾ фунти). Во сите операции – собирање, одземање, множење и делење – два износи генерираат трет износ, кој може, а и не мора, да бара нова мерна единица или ознака. Собирањето и одземањето ги задржуваат ознаките на оригиналните износи (на пр., 10 камиони + 7 камиони = 17 камиони; 5.2 милји – 6 милји = 4.6 милји). Од друга страна, множењето и делењето генерално бараат нови мерни единици или ознаки (на пр., 5 блузи x 2 сукњи = 10 парчиња облека; 162 милји ÷ 3 часа = 54 милји на час). Шварц се осврнува на ситуациите собирање/одземање како „операција што го зачувува составот“ и на ситуациите со множење/делење како „операција за трансформација на составот“54.

Следуваат два дополнителни примери за проблеми со множење, каде што се генерираат износи со нови ознаки:

Еден рецепт бара комбинирање на 2 чаши вода со еден лимон плус една лажичка шеќер. Ако употребите 4 лимони, колку лимонада може да направите?

Во оваа ситуација броевите се однесуваат на вода, лимони и шеќер, но одговорот се однесува на лимонада. Слично на тоа, при одредување колку различни комбинации на пита ала моуд се можни со 4 вкусови на сладолед и 2 вида пита, оригиналните состојки со кои почнувате се сладолед и пита, но одговорот се однесува на комбинации на пита ала моуд.

Бидејќи броевите играат различни улоги од улогата за броење во процесите на множење и делење, користењето јасен јазик да се објасни на што се однесуваат броевите за време на процесите на докажување и означување има голема важност. Поранешните искуства на учениците во собирање и одземање генерално ја поттикнуваат претпоставката дека референтот ќе

52 Пристапот преку „клучен збор“ ги учи учениците да бараат клучни зборови што ќе им кажат што да прават наместо да ја читаат ситуацијата, да ја разберат и потоа да создадат решение што ја отсликува самата ситуација, без оглед на зборовите. Пристапот преку „клучен збор“ не само што се отфрла затоа што не води кон разбирање туку и затоа што често води до погрешен одговор. Појавата на „повеќе“ во одреден проблем не секогаш значи „собери ги квантитетите“, исто како што појавата „по/од“ не мора да укажува на „подели“.

53 Нешер (1992), стр. 216.

54 Шварц (1988).

408

биде ист како оној од првичниот износ. Понатаму, интуитивното разбирање на множењето од страна на учениците како повторувачки модел на собирање и на делењето како поделба исто така ја докажува тезата за употребата на ознаки во множењето.

Нагласувањето на идејата за ознаки е исто така важна во врска со концептот на конвертирање мерни единици. Конвертирањето на линеарната мерка (на пр., јарди со стапки, квадратни метри со квадратни јарди), тежини (на пр., килограми со грами) или волумен (на пр., пинти со квартови, милилитри со литри) ја имаат одликата на промена на нумеричкиот износ и ознаката (на пр., стапки со квадратни стапки) без промена на физичкиот износ или вид на користен референт. На пример, територија од 180 квадратни стапки стануваат 20 квадратни јарди, но физичкиот простор опишан со броевите е сè уште истиот, и мерката е сè уште изразена во квадратни единици. УЧЕСТВО НА НАСТАВАТА ВО РАЗВИВАЊЕ НА СИЛНО РАЗБИРАЊЕ ЗА БРОЕВИ

Се согласуваме со увидот на Силвер дека „изолираната настава на одделни компоненти на разбирање за броеви, без разлика колку добро е осмислена самата настава, најверојатно нема да доведе до развој на логиката во насока на квантитативни процеси и производи, која ние ја бараме“55. Елементите за разбирање на броевите во процесот на множење што се разгледуваат овде, како ознаки, остатоци и пропорционално размислување, треба да бидат употребени како интегрални делови на нормални процеси за решавање проблеми. Не мора да се биде целосно способен за еден пред да се започне со користењето на друг. Следниве предлози за градење на разбирање за броеви во множењето се организирани според прашањата вклучени во истражувачкиот дел од ова поглавје.

Развивање разбирање за тоа што значат броевите

1. Користете проблемски ситуации за да внесете броеви со значење!

2. Учениците нека визуелизираат и претстават проблеми со предмети или слики! Ова ќе го намали ризикот дека 4-те колони со по 6 колачиња ќе ги сметаат како 10 колачиња.

3. Учениците нека зборуваат преку решенија, осигурувајќи се дека го поврзуваат одговорот со приказната!

55 Силвер (1989), стр. 96.

409

Развивање разбирање за состав на броеви преку множење

Дајте им на учениците повеќе различни можности да откријат шеми за прескокнување при броење!

1. Користете нагледни средства за да ја воспоставите идејата за избегнување броење мали броеви, како 2 или 3!

2. Употребете ја табелата со стотки, калкулатори, редови со броеви и илустрации за да ги испитате моделите за прескокнување при броење!

3. Охрабрете ја употребата на прсти како алатка за броење на групи додека учениците прескокнуваат при броењето 56!

Развивање разбирање за новите улоги на 0, 1 и броевите помеѓу 0 и 1

1. Покажете што се случува кога 0 се користи во множење и делење со помош на проблемски ситуации и активности со редови на броеви! Единствено избегнувајте да дадете правило!

2. Претставете ситуации во кои множењето/делењето со 0 дава различни резултати!

а. Покажете ситуација во која одговорот со 0 нема логика!

б. Покажете ситуација во која одговорот со 0 има логика!

в. Дајте пример каде што одговорот на проблемот со делење не може да се одреди и всушност може да оди до бесконечност!

г. Испитајте го интересниот резултат добиен кога множењето со 0 покажува дека 0 не го следи моделот на другите броеви!

3. Доведете ги учениците до откритието дека 1, а не 0, е неутрален елемент за множење и делење! Тие можат да работат со 1 во различни форми (на пр.

22 ).

Давање значење на остатоците

1. Користете проблемски ситуации со остатоци за да им дадете контекст на значење!

2. Претставете ситуации што се засноваат на конкретни предмети и постојани износи!

56 Штеф (1990).

410

3. Претставете ситуации што одговараат на секој можен карактер на остатоците! Прашања за секој можен карактер на остатокот:

а. Што треба за да се добие поголем број што ќе се приспособи на остатоците?;

б. Каде одговорите мора да го игнорираат остатокот и да го искористат единствено целиот број?;

в. Каде самите остатоци се одговорите?;

г. Во кои проблеми учениците мора да одлучат што да прават со остатокот?; и

д. Во кои проблеми остатоците мора да се конвертираат во дропка или децимала (обично поврзани со постојано количество или пари)?

4. Водете дискусии така што учениците ќе се навратат на ситуацијата и прашајте ги да подвлечат кој дел го игра остатокот во одговорот!

Развивање вештини за проценување

1. Развијте проценка како прифатлива активност! Проценувањето останува средство за развивање и испитување на разбирањето за броеви. Тоа е исто така клучен дел од традиционалниот алгоритам.

а. Изложете пример каде што е неопходно или посоодветно да се процени отколку да се пресмета така што учениците ќе вклучат проценка со вредност како прифатлив процес! Испитајте кога некој одговор има потреба од точна пресметка, а кога од проценка!

б. Дискутирајте за концептот дека постојат серија проценки што може да се сметаат како соодветни за секој проблем и дека оваа серија решенија може да се поврзе со големината на разумните проценки или одговори!

в. Помогнете им на учениците да одлучат кога ситуациите бараат точна или приближна проценка, разни методи на проценување и различни начини на користење броеви за да биде полесно да се работи!

г. Употребете проценка за да ја проверите разумноста на одговорите како дел од вообичаената математичка дискусија што се појавува на час!

д. Задајте им задача на учениците да дадат проценка и потоа да искористат алатка, како на пример дигитрон, за да го направат пресметувањето!

2. Развијте ги потребните вештини за разумни проценки!

411

а. Подгответе практична настава за разложување на броеви во собирањето, особено покрај подреденоста на броевите, како поддршка!

б. Развијте ги вештините за множење по десет, сто и илјада! Прво оправдајте ги овие вештини со нагледни средства!

в. Посветете време на проценување колку дванаесетки или дваесетки или стотки има во одредени броеви за да им помогнете на учениците да се подготват во изведувањето претпоставки за количници! Планирајте повеќе часови за проценување!

г. Развијте разни методи за проценување, вклучувајќи ја употребата на соодветни броеви за да го олесните проценувањето! За пресметување 435 ÷ 6, учениците може да го искористат познатиот факт дека 42 ÷ 6 = 7 и да проценат дека, бидејќи 420 ÷ 6 = 70, одговорот треба да биде нешто повеќе од 70.

Развивање употреба на репери

1. Помогнете им на децата да разберат дека постојат репери што може да ги користат при испитување на разумноста на нивните проценки или одговори!

2. Фокусирајте се на множење со 10 и 100!

3. Фокусирајте се на добро познати множители (на пр., 4 монети од 25 центи во долар, 10 монети од 10 центи во долар и 10 стотки во илјада)!

4. Покажете дека другите општи множители може да се користат како предзнаци што ќе ве информираат во која бројна територија се наоѓате!

Развивање стратегии за умствена математика

1. Подгответе задачи за разложување на големи броеви преку собирање, фокусирајќи се на разбирање на вредноста и важноста на 10!

2. Наведете ги учениците да го користат начинот на решавање со дистрибутивно својство:

4 x 567 = (4 x 500) + (4 x 60) + (4 x 7).

3. Проширете ги компензациските стратегии развиени во други операции, а не во множењето! Помогнете им на учениците да ја разберат големината на компензација што треба да ја направат, со оглед на тоа што ќе се работи за множител на број! На пример:

47 x 2 може да биде решено како

412

(50 x 2) – (3 x 2) или како

(45 x 2) + (2 x 2).

74 ÷ 2 може да биде решено како

(70 ÷ 2) + (4 ÷ 2) или како

(60 ÷ 2) + (14÷ 2).

Во компензација преку собирање 47 + n треба само да се размисли дека „50 е за 3 повеќе од 47, така што ќе го компензирам 3 на крајот“; тука има повеќе 3 групи од 2. Илустрирајте го ова со цртеж или нагледно средство за да развиете разбирање за износот! Подоцна, учениците може да размислуваат само за броевите.

Користење јазик и контекст за појаснување на значењето на броевите

Учениците може добро да изведуваат традиционални алгоритми без воопшто да имаат идеја зошто го прават тоа. Во тој случај, тие може да не бидат во состојба да направат поврзаност со нови ситуации.

1. Развијте дискусија за да се појасни проблемската ситуација, како и самото решение!

2. Користете јазик што е јасно поврзан со ситуацијата или што зборува за групи наместо двосмислен или неповрзан јазик! Ако е зададен проблемот 2.465 ÷ 54, наместо да се почне со прашањето колку е 2.465 поделено со 54, наставникот може да постави прашање како: „Може ли секој од 54-те луѓе да има 1.000?“ (или „Има ли 1.000 групи од 54 во 2.465?“)57; „Може ли секој да има 100?“ (или „Има ли 100 групи од 54?“); („Има ли 10 групи од 54? Дваесет? Четириесет?“). Овој јазик помага во развојот на концептот дека 54 претставува група на работи и дека вие се обидувате да дознаете колку од овие групи се присутни во 2.465. Овој вид на јазично изразување помага во водење на размислувањето и ја помага визуелизацијата за тоа што претставуваат броевите во множењето и делењето и што се случува кога се извршуваат операциите.

3. Помогнете им на учениците да гледаат на ознаките како на нормален дел од дискусијата за проблемот! Покажете им како да ги поврзуваат броевите кон тоа што претставуваат тие кога учениците:

а. анализираат што се проблемите,

57 Оваа фраза го претставува проблемот како партитивен (на пр., „Колку има во секоја група?“), што го претставува интуитивниот модел.

413

б. поставуваат равенка,

в. претставуваат проблеми,

г. разговараат за решение, и

д. го поврзуваат одговорот со проблемот и самото прашање.

4. При учење концепти, инсистирајте на ознаки, како усно така и во писмената работа! Меѓутоа, кога учениците изгледаат подготвено да продолжат понатаму, оддалечете се од ознаките додека ги забележувате објаснувањата на учениците!

5. Помогнете им на учениците да го анализираат целиот текстуален проблем наместо да пребаруваат низ клучни зборови или едноставно да извлекуваат броеви и да избираат операција базирана на броеви! Поттикнете ги учениците да зборуваат за ситуацијата и дискутирајте што значи секој од броевите во приказната пред да им дозволите да започнат со решавање на проблемот!

Ситуации во наставата со нула во процесот на множење

Множење со нула

Математичките шеми докажуваат дека нула е многу специјален број. Ако имате 5 кутии со гуми за бришење, и секоја кутија е празна, колку гуми за бришење имате? 5 x 0 = 0 гуми за бришење. Ако имавте 3 празни кутии со гуми за бришење, резултатот ќе беше ист. Нема да прави промена кој број ќе го ставите овде, резултатот ќе биде истиот одговор. Во секој друг случај, не можете да го користите истиот множител со различни броеви за да го добиете истиот одговор. 5 x 2 не е исто како 5 x 1 или 5 x 15. Така, нулата не ја следи шемата на другите броеви.

414

БАЛАНСИРАЊЕ ПОМЕЃУ КОНЦЕПТУАЛНОТО И ПРОЦЕДУРАЛНОТО УЧЕЊЕ

Во минатото, концептуалното и процедуралното знаење биле сметани како посебни области, можеби се натпреварувале за време на часот, а можеби едноставно биле сметани за посебни делови. Меѓутоа, денеска, повеќето истражувачи ги сметаат двете знаења како зависни едно од друго иако се различни. Концептуалното знаење мора да се поврзе со процедуралното, затоа што преку примената на процедури концептуалното знаење станува видливо. За да имаат значење, процедурите мора да бидат поддржани од постојното концептуално знаење, кое за возврат треба да обезбеди основа за развојот на уште понапредни процедури и концепти.

Учениците имаат потреба од двете знаења

Истражувачите го поддржуваат гледиштето дека учениците имаат потреба и од концептуалното и од процедуралното знаење. Само едното или другото не е доволно. Некои поборници на движењето назад кон основите и оние што се занимаваат со зголемување на резултатите од тестовите го претпочитаат спротивното гледиште. Базирајќи ја својата наставна теорија на претпоставката дека успехот во математиката зависи од напредокот на учениците чекор по чекор, според строга хиерархија на вештини и концепти, тие веруваат дека способноста да се владее со основата е првиот и најважен чекор во учењето математика. Од оваа перспектива, концептуалното разбирање или доаѓа од процедуралното учење или е од многу помала важност и треба да се учи само ако има време.

За дилемата што им е наметната на наставниците од страна на дебатата за концептуално и процедурално учење придонесуваат и политичките притисоци создадени од двете страни. Ажурираните стандарди на НСНМ во 2000 година дадоа до знаење дека учениците имаат потреба да знаат факти за собирање и одземање со едноцифрени броеви на крајот од второ одделение и за множење и делење на крајот од четврто одделение. Тие исто така треба да бидат способни да пресметуваат и да имаат ефективни методи за извршување на операциите.

Еден поблизок поглед врз наставата во некои високоразвиени држави како Франција или Јапонија открива дека тие обрнуваат внимание на градењето знаење на начин што е корисен и пренослив. Наставниците во Јапонија ги советуваат државите, на пример, дека учениците не треба да ја меморираат таблицата множење (куку) пред да ја разберат структурата на овие табели58. Сметаат дека треба да има градење на концептуалното знаење пред самото меморирање.

58 Kiyoshiyo shidosho: shogakko sansuu, том 3, 1995. Гако Тошо Кабушики Гејша, Токио, Јапонија.

415

ВРСКА ПОМЕЃУ КОНЦЕПТУАЛНОТО И ПРОЦЕДУРАЛНОТО УЧЕЊЕ

Сегашното истражување во поучувањето и учењето зазема гледиште дека предавањето на концептуалното разбирање е проткаено со развојот на процедури – секое учење засилувајќи го другото59. Покрај тоа, голем број истражувачи излегоа со коментари за проблемите што се појавуваат кога овие два аспекти на учење се одделени.

Шлиман смета дека штом учениците ќе научат серија правила, тие не сакаат да се вклучат во активности предвидени за разбирање на овие правила. Таа исто така коментира дека, додека постојат малку информации за врската помеѓу знаењето факти за броевите и поседувањето знаење за множењето, знаењето на фактите за множење изгледа им помага повеќе на учениците да постигнат подобри резултати, веројатно затоа што тие биле способни да ги препознаат пропорционалните шеми поподготвено60.

Ресник вели дека учениците често имаат тенденција да ги раздвојуваат квантитативните и симболичките примери. На пример, кога 4 колачиња треба да се поделат на 8 луѓе, тие може да разберат дека секој има по половина колаче; но кога ќе се соочат со ситуација на делење 8 и 4, тие нормално ќе поделат: 8 ÷ 4. Генерално, ова изгледа како голема сопка во учењето математика на училиште61. Најпосле, некои делови од истражувањето на Силвер даваат увид во ова прашање. Тој дошол до заклучок дека важна одлика на неуспехот во додавање дропки од страна на група ученици во едно поправно училиште е дека нивниот концепт за самиот процес бил неточен62. Тој исто така заклучил, во своите анализи на процедуралните грешки, дека овие систематски грешки веројатно ќе се појават поради празнини во концептуалното знаење или поради неможност да се направи врска помеѓу концептуалното и процедуралното знаење, и дека успешното решавање проблеми бара создавање врски помеѓу процедуралното и концептуалното знаење63.

59 Карпентер (1986); Хајберт и Лефевр (1986); Нешер (1992); Ресник, Бил, Лесголд и Лир (1991).

60 Шлиман, лична комуникација, јули 1990.

61 Ресник (1992).

62 Семинар со АФТ/ЛРДЦ соработка, 30 јуни, 1988 год., Питсбург, Па. Конкретно, Силвер заклучил дека овие ученици ги конципирале дропките како односи и ги собрале на тој начин: (на пр.,

32 +

43 било

разбрано како 5 делови од 7 делови). Тие не ги конципирале дропките како делови од една единица (на пр.,

32 од пица и

43 од пица е еднакво на 1

125 пица).

63 Силвер (1986).

416

ВАЖНОСТА НА ВРСКАТА МЕЃУ КОНЦЕПТУАЛНОТО И ПРОЦЕДУРАЛНОТО ЗНАЕЊЕ

Лемперт се фокусира на неопходноста од подолго задржување на процедурите во наставната програма. Таа коментира дека не само што постои врска „помеѓу процедурите за делење со остаток и важните математички концепти“ туку дека и когнитивните психолози исто така тврдат дека способноста на учениците да воведуваат и оправдуваат прифатливи процедури претставува доказ за разбирањето на математичките концепти што им подлежат на овие процедури64.

Хајберт и Лефевр се концентрираат на начинот на кој концептуалното и процедуралното учење се меѓусебно зависни. Тие веруваат дека правењето разлика помеѓу двата типа знаење помага во размислувањето и планирањето за учење математика, но притоа тие два типа мора да се поврзат за целосно разбирање на математиката. Процедурите може да се научат напамет, но кога ќе се придаде значење кон овие процедури, може да се направи врска со друго знаење. Тие пишуваат: „Изолирано парче информација не може да биде дел од концептуално знаење; по дефиниција, тоа е дел од концептуално знаење само ако примателот ја препознае неговата поврзаност со други парчиња информација“65. Истражувачите продолжуваат: „Концептуалното знаење не може да се генерира директно преку механичко учење“66, туку, напротив, неопходно е некакво процедурално знаење за да продолжи да расте знаењето.

Поглобално видување на фундаменталната врска меѓу концептуалното и процедуралното знаење е дадено кај Лејнхарт и Дејвис67. И двајцата, во одделни студии, укажуваат дека разбирањето математика е збир од различни начини на познавање математика, како и разбирање за врските помеѓу овие начини. Тие забележуваат дека кога разбирањето на ученикот за тоа како да изведе некоја процедура е поврзано со знаења за процедури и концепти, ученикот е способен да го примени она што го знае на нови задачи и ситуации. Дејвис ни кажува дека „правењето математика е процес на размислување. Учењето математика значи создавање умствена слика на некое релевантно знаење што може да се искористи во создавање решение“ и потоа решавање68. Решавањето проблеми бара разбирање на концептите, при што ќе може да се искористи соодветна процедура за да се најде решение.

64 Лемперт (1992), стр. 222.

65 Хајберт и Лефевр (1986), стр. 4.

66 Хајберт и Лефевр (1986), стр. 8.

67 Лејнхарт, (1988); Дејвис (1986).

68 Дејвис (1986), стр. 274.

417

УЧЕЊЕ ВО НАСТАВАТА СО БАЛАНСИРАЊЕ ПОМЕЃУ КОНЦЕПТУАЛНОТО И ПРОЦЕДУРАЛНОТО УЧЕЊЕ

Не е доволно да се предадат прво процедурите и потоа да се развие разбирање. Штом процедурите се кажуваат од наставниците, учениците тогаш покажуваат мала мотивација за разбирање, што се однесува на самите процедури.

Спојување концептуален и процедурален развој

1. Поттикнете ги учениците да измислат сопствени методи!

2. Побарајте од учениците да ги објаснат своите методи и да ги поврзат објаснувањата со запис за да им дадат значење на процедурите!

3. Усвојување на основните факти од десетте принципи наместо учење напамет69.

4. Помогнете им на учениците да изведуваат множење и делење со повеќецифрени броеви и да размислуваат за пропорционалните врски помеѓу групи на групи70!

5. Изградете разбирање дека познатите концепти може да се поврзат со процедури за да се дојде до непознатото!

На пример, учениците со концептуално разбирање за броеви и множење може да создадат непознати факти од тие што ги знаат или преку прескокнување при броење. Ученик што не знае колку е 7 x 8 може да дојде до решение на следниов начин:

7 x 8

(3 + 3 + 1) x 8 [разложување на 7]

(3 x 8) + (3 x 8) + (1 x 8)

3 x 8 = 24 [користи познат факт]

24 + 24 = 48

69 Учениците треба и најпосле ќе ги совладуваат механички основните факти. Математика со размислување препорачува учењето едноцифрени комбинации да биде комбинирано со активности што го градат концептуалното знаење. Специјалната единица, која илустрира како се учат таквите комбинации со разбирање, е дел од материјалите за обука – Математика со размислување ИТ. Дури и вежбањето може да биде фокусирано на начини што им помагаат на учениците да станат вешти преку ефективни стратегии.

70 Лемперт (1992).

418

48 + 8 = 56 [знае 1 x 8]

7 x 8 = 56

Друг ученик може да го разложи 7 на различен начин за да ги искористи фактите што ги знае.

7 x 8

7 = 5 + 2 [мисли (5 + 2) x 8]

5 x 8 = 40 [прв познат факт]

2 x 8 = 16 [втор факт]

40 + 16 = 56 [(5 x 8) + (2 x 8)]

7 x 8 = 56

1. Дистрибутивниот алгоритам (модел на област) е метод на множење. Искористете го овој алгоритам за да обезбедите приказ на квантитетите! Прво, учениците нека направат табела. Потоа, нека ги разложат множителите по месна вредност на цифрите и нека ги распоредат низ табелата. Па нека ги помножат множителите запишувајќи парцијални износи во полињата на табелата. На крајот, нека ги сумираат колоните и редовите за да го добијат резултатот.

437 x 28

400 + 30 + 7

20 8000 600 140

+

8 3200 240 56

Соберете колони: 11.200 + 840 + 196 = 12.236 или соберете редови: 8740 + 3496 = 12.236.

419

ЗАСНОВАЈТЕ ГО ВАШЕТО ПОУЧУВАЊЕ НА РЕШАВАЊЕ СИТУАЦИСКИ ПРОБЛЕМИ

За жал, штом децата почнуваат да се социјализираат на училиште и во општеството, тие почнуваат да ја гледаат математиката како строг систем од правила, диктирани однадвор, управувани од стандарди на прецизност, брзина и меморија. Наставната програма по математика што нагласува само пресметки и правила е како пишување наставна програма што нагласува само граматика и правопис; и двете ја ставаат двоколката пред коњот71.

Еден метод за нарушување на циклусот на наставата со пресметки и правила е таа да се заснова на ситуациски активности, кои би и дале смисла на математиката. Математика со размислување 1 опишува како дури и децата во градинка можат да изведат логички заклучоци за проблеми уште пред да ги научат основните факти или алгоритми72. Користењето ситуациски проблеми овозможува учениците да ја применат својата интуиција, да разберат дека постојат повеќе валидни начини за решавање проблеми, и да сфатат што всушност се случува во операциите73.

Множењето и делењето традиционално се воведува преку фокусирање на основните факти и нивно паметење. Резултатот е совладување на „основните факти“ и потоа нивна примена. Откако ќе се совладаат фактите, вообичаениот чекор е да се научи алгоритамот и да се повторува додека не се постигне компетентност во сметање. Само тогаш текстуалните проблеми се гледаат како соодветни. Дури и во учебниците овие проблеми најчесто се ставаат на крајот од поглавјата за собирање, множење и така натаму, така што учениците мислат: „Множевме две недели, па ова мора да се проблеми со множење“. На тој начин тие почнуваат едноставно да ги извлекуваат броевите и да извршуваат пресметка74. Овој процес станува навика и придонесува учениците да немаат никаков концепт за тоа што е приказната или зошто одредена операција има логика.

Ова сценарио се судрува со препораките што советуваат дека „наставата треба да се развива преку проблемски ситуации. Сè додека ситуациите се познати, концептите се создаваат од предмети и врски во кои операциите и стратегиите се добро разбрани“75. Вградувањето математички концепти

71 Национален истражувачки совет (1989), стр. 43–44.

72 Видете Математика со размислување 1 (Боденхаузен, 1991).

73 Чарлс и Лестер (1984); Гуд, Граус и Ебмаер, (1983); Витли (1983/1984).

74 Л. Саудер (1988).


420

во оваа добро разбрана средина помага во развојот на нови концепти. НСНМ укажува дека кога правилата ќе се заборават, ситуациите може да се пренаменат и искористат76. Градење проблеми преку ситуации поврзани со искуството на учениците им носи разбирање за вистинскиот свет, кое, придружено со вистинска примена, им овозможува да изведат логички заклучоци за множењето и делењето.

Едно истражување за разбирањето на децата за множење и делење предлага интуитивен пристап од страна на децата кон множењето како повторливо собирање и делењето како поделба. Традиционалната настава, која обично се фокусира на овие два модела, има некои придобивки затоа што надоградува на она што учениците го знаат. Меѓутоа, важно е учениците да ги искусат и разберат сите варијанти на структурите за множење, вклучувајќи ги и тие што не се вклопуваат во повторливото собирање или моделите на поделба77. Наставникот може да се нафати на варијантите преку ситуациски проблеми. Кога учениците мора да формираат еднакви групи за да решат одреден проблем, тие може да почнат да разбираат одредена група предмети како составна единица78.

Учениците треба исто така да користат разни модели за да претстават ситуациски проблеми79. Овие модели може да вклучуваат различни нагледни средства, дијаграми, графичка хартија, табели и разни форми на илустрација и обележување. Ова помага за различните начини на решавање и го промовира развојот на разбирањето за броеви за концептите за множење.

ФАКТОРИ ШТО ВЛИЈААТ НА ТЕШКОТИЈАТА НА ПРОБЛЕМОТ

Повеќе фактори влијаат дали одреден проблем е лесен или тежок да се реши. Овој дел се однесува на некои од овие променливи фактори.

ПРОБЛЕМИ ВО ПОВЕЌЕ ЧЕКОРИ

Едно од најмалку посакуваните е решавањето на проблеми во повеќе чекори. Кога учениците ќе добијат проблеми само во еден чекор, не само што немаат можност да вежбаат размислување преку посложени ситуации туку нивното размислување може да биде заостанато затоа што проблемите со еден чекор даваат простор за неразвиени стратегии. Воведувањето проблемски ситуации во повеќе чекори обично е одложено без потреба сè до крајот на основното образование или во средните одделенија од


77 Лемперт (1992); Нешер (1992).

78 Штеф (1990), стр. 26.

79 Лемперт (1992); Нешер (1992).

421

основното образование. Таквите проблеми треба да им се претстават на учениците рано.

Математиката во вистинскиот живот обично е составена од повеќе чекори. Проблемите во повеќе чекори бараат од учениците да направат поврзаност помеѓу концептите за множење и операцијата множење, поттикнувајќи го размислувањето и вештините за размислување на повисоко ниво. Неспособноста да се решаваат проблеми во повеќе чекори исто така се одразува на учениците во меѓународна споредба. Како што се развиваат вештините на учениците, треба да се претстават покомплицирани проблеми. Табелата 4 (Проблеми во повеќе чекори) дава неколку примери. Табелата треба да биде илустративна наместо сеопфатна.

Решавањето на овие проблеми бара разбирање за математиката што е потребна за решението, за редоследот по кој треба да се изведат чекорите (Редослед на операции), како и способност да се движиме низ математиката на броеви и операции80. Тоа исто така бара разбирање за комутативните и асоцијативните својства на собирањето и множењето, дистрибутивното својство на множењето и знаење за неутралниот елемент на множителот. УЧЕСТВО НА СИТУАЦИСКИТЕ ПРОБЛЕМИ ВО НАСТАВАТА

Развијте концепти за структурите за множење преку ситуациски проблеми!

а. Објаснете го концептот дека броевите може да претставуваат не само посебни предмети со тоа што ќе им дадете на учениците да користат нагледни средства или други примери за да ги илустрираат проблемите!

б. Учениците нека објаснат што прикажале!

в. Подгответе задачи со сите видови проблеми во множењето, вклучувајќи ги и партитивното и квантитативното делење!

г. Користете ги и разгледајте ги проблемите во повеќе чекори!

д. Вклучете проблеми што содржат конкретни предмети, меѓутоа и такви со постојани мерни единици!

ѓ. Вклучете проблеми што содржат разни видови броеви како множители и делители!

80 Повеќе за оваа нова тема видете во поглавјето Нивоа на математичко знаење.

422

Користете ситуации како основа за поврзување на знаењето!

а. Поттикнете пренос на знаење преку постепено преминување на контекстот на проблемот од познато во непознато!

б. Поттикнете поврзаност на знаење преку користење на истиот контекст, но со усложнување на самиот проблем!

в. Збогатете ги и проширете ги ситуациите така што учениците да можат активно да размислуваат за проблемите!

Охрабрете го размислувањето на учениците за ситуации!

а. Дајте им можност на учениците да решаваат проблеми преку интуитивни и алтернативни стратегии пред да ги воведете традиционалните алгоритми!

б. Овозможете им на учениците да користат алтернативни, измислени алгоритми или пак алгоритми што потекнуваат од други држави! (За некои примери видете го поглавјето Балансирање помеѓу концептуалното и процедуралното учење.) Ова го овозможува работењето со ситуациски проблеми.

Проширете ги ситуациските проблеми!

Следниов проблем дава пример за тоа како една ситуација може да се прошири и збогати:

Две паралелки од второ одделение ќе одат на јунски излет во паркот Хајленд. Властите во паркот одредија простор за нивно сместување. Одделението на господин Кењон има 24 ученика, а одделението на госпоѓа Десо има 23. Деветмина возрасни ќе присуствуваат на излетот. Колку масички ќе бидат потребни ако една масичка собира 8 луѓе?

Ова е ситуација со квантитативно делење. Знаеме колку е голема групата на секоја масичка и мора да го најдеме бројот на масички потребни да се смести секоја група. Проширувањето на овој проблем може да ги вклучи следниве прашања:

1. Планиран е ручек во 12:30. Пред ручекот ќе има 20-минутна презентација од страна на претставниците на паркот за историјата и грижата за паркот и 1

21 час за организирани игри на терен. Кога најдоцна

можеме да тргнеме од училиштето за да стигнеме навреме ако со автобус ни е потребно 30 минути за да стигнеме до паркот и уште 15 минути за да

423

слеземе од автобусот и да стасаме пешки од паркингот до наменетиот дел од паркот? (временска мерка; решавање проблем во повеќе чекори)

2. Превозот за излетот е бесплатен. Ако храната чини вкупно 148.56 долари, колку треба да даде секој? Дали возрасните треба да се вклучат во плаќањето или учениците треба да им ја обезбедат храната? (партитивно делење; повеќе точни решенија)

3. Госпоѓа Грин прави компир-салата. Колку компири треба да купи за да направи компир-салата за излетот ако знае дека се потребни 3 кила компири за да направи компир-салата за нејзиното седумчлено семејство? Овој проблем може да се реши строго преку броеви или да остане отворен за објаснување. На пример, таа може едноставно да купи вреќа од 20 кила компири бидејќи второодделенците не јадат многу компир-салата или затоа што ќе се служи помфрит на излетот.

4. Понудете му на одделението 3 менија за излетот и учениците нека соберат информации за желбите на одделението. Потоа нека ги претстават информациите на графикон и нека ги анализираат.

Овој познат контекст може подоцна да се искористи за да ги одведете учениците на помалку позната територија на следниов начин:

Продавниците Шопвел му враќаат неисправна стока на производителот. Колку пакувања неисправни графички елементи ќе се соберат ако секоја кутија има место за 8 графички елементи? Во понеделник беа вратени 24, во вторник уште 23 и во среда уште 9.

Броевите и процесот на решение се исти како за овој така и за проблемот со училишниот излет. Контекстот на враќање неисправна стока не им е познат на учениците. Така, тие мора да направат пренос на знаењето во непознат контекст.

Контекстот со излетот може исто така да се искористи со броеви што ги прават проблемите потешки наспроти лесната позната ситуација. Сложеноста на броевите сега води кон употреба на калкулатор, доколку е потребно.

Дванаесет одделенија одат на училиштен излет во паркот Хајленд. Властите во паркот одредија простор за нивно сместување. Три одделенија имаат 24 ученика, едно одделение има 28 ученика, две одделенија имаат по 26 ученика и останатите имаат по 27 ученика. Осумнаесетмина возрасни ќе присуствуваат на излетот. Колку масички ќе бидат потребни ако на секоја масичка седат по 12-мина?

424

Сега бројот на луѓе е троцифрен број (322) и има двоцифрен делител. Исто така има и остаток. Ова бара дополнителна табела што нема да биде целосно пополнета.

Проблемот може да се прошири:

1. Превозот за излетот е бесплатен. Ако храната чини 1.049.72 долари, колку треба да даде секој? (партитивно делење)

2. Госпоѓа Грин прави компир-салата за излетот. Колку компири треба да купи ако знае дека 2,5 кила компири и се потребни за да направи доволно за нејзиното седумчлено семејство? (повеќе чекори; скалесто множење)

3. Понудете избор на менија за учениците и нека соберат информации за желбите на одделението. Потоа нека ги претстават информациите на графикон и нека ги проанализираат информациите. (статистика и информации)

КОРИСТЕЊЕ НАГЛЕДНИ СРЕДСТВА, ПРИМЕРИ ЗА НАГЛЕДНИ СРЕДСТВА И ПРИМЕРИ ЗА ПРЕТСТАВУВАЊЕ ПРОБЛЕМСКИ СИТУАЦИИ

Нагледните средства и други примери се важни средства за пренесување математички идеи. Под нагледни средства мислиме на конкретни предмети (на пр. бројачи, стапчиња, геометриски форми, реални предмети итн.) со кои учениците може физички да претстават квантитети. Има други примери, како цртежи, графикони, табели и дијаграми, кои се исто така корисни. Обезбедувањето средина што вклучува разни модели на учење ја зголемува можноста сите ученици да научат.

Важноста на овозможувањето многу искуства, во кои учениците користат физички предмети за претставување примери за секоја операција за време на процесот на нивно учење, не може да биде пренагласена. Нагледните средства не само што се суштински за градење разбирање за квантитети, броеви и операции туку тие, исто така, помагаат за обезбедување повеќемоделен пристап кон учењето.

Исцрпниот преглед на Сујдем и Хигинс вели дека лекциите со користење нагледни средства и сликовни примери носат многу поголема веројатност за зголемување на разбирањето отколку лекциите што не го прават тоа81. Во 1983 година, Перхам анализирала 64 различни студии за употребата на нагледни средства во основните одделенија. Таа исто така забележала разлика во поените што ги постигнувале учениците што користеле нагледни средства и оние што не користеле82. Ефектите од користење нагледни средства биле најголеми кога биле користени постојано во текот на учебната година83.

Преку честата употреба на нагледни средства, учениците може да ги гледаат, движат и разбираат квантитетите додека решаваат проблеми. Овие активности им помагаат да развијат разбирање за броеви. Нагледните средства исто така овозможуваат да се истражуваат алтернативните начини на решенија, и учениците да им ги покажат своите начини на решавање и размислување на соучениците. Ова им помага на учениците да развијат конкретен јазик во зборувањето за математички концепти. Вербалниот јазик станува мост за поврзување на нагледните средства со математичките симболи84.

81 Сујдем и Хигинс (1977).

82 Перхам (1983).

83 Соувел (1989).

84 Брајт (1986).

426

Кога некој ученик решава одреден проблем со помош на нагледни средства или сликовни примери, наставникот има начин да дознае дали ученикот ја разбира ситуацијата и значењето на дадените броеви. Понатаму, нагледните средства се алати за пронаоѓање на значајни решенија без користење на алгоритам или потпирање на меморирани факти. Користењето различни видови примери им дава можност на учениците да знаат повеќе од еден начин и да направат поврзувања на овие начини. Тоа им овозможува на учениците да смислат процедури за решавање проблеми што ним им се логични, иако не добиле формален алгоритам или во случај кога го заборавиле алгоритамот. Нагледните средства буквално овозможуваат проширување на тоа значење во други ситуации85. Тие исто така им помагаат на учениците да се здобијат со самодоверба во сопствената способност за разбирање работи86.

Иако нагледните средства може да бидат важни, Лејнхарт наведува некои карактеристики на кои наставниците треба да внимаваат87. Предметите што им се познати на учениците се поефективни отколку оние што им се непознати. Тие може да се сметаат како пријателски за користење. До познатите предмети може да се дојде од околината, како на пример морски школки, шишарки или капачиња од шишиња, или пак да се дадат поапстрактни предмети како сладолед на стапче преку истражување и употреба. „Генерално, експертите се трудат да користат нешто познато за да подучат на нешто ново, додека почетниците често користат нешто ново за да научат нешто ново“88. (Додадена нагласка). Исто така, наставниците почетници често не вежбаат со нагледни средства пред да се обидат да демонстрираат, намалувајќи го ефектот што може да го добијат поради своето незнаење. Понатаму, наставниците треба да се обидат да избегнат користење нагледно средство што се судира со општата природа на предметот што се претставува или со тоа што ќе се каже или напише (на пр., користење неколку деланки за претставување проблем што вклучува мерка за течност). Исто така, наставниците треба да бидат свесни за други карактеристики на нагледните средства. Засега истражувањето не одговара во целост на прашањата за природата на ситуациите во кои нагледните средства или други примери се соодветни или за тоа кои примери се најсоодветни за дадените теми89. Наставниците се поттикнуваат да ги истражат овие прашања во сопствените училници.

85 Лејнхарт (1989).

86 Хоулден (1987).

87 Лејнхарт (1989).

88 Лејнхарт (1989), стр. 66.

89 Соувел (1989).

427

На крајот, самите нагледни средства немаат врска со симболичката или пишаната математика. Ова е многу важна задача што наставникот мора да ја изврши усно преку создавање поврзаност и обезбедување претстава преку клучни постапки. Како што е наведено во Математика со размислување 1, клучно е да се направи ова поврзување во текот на решавањето на проблемите, така што ќе се обезбеди директна врска меѓу конкретното и апстрактното. Во друг случај, учениците нема да бидат способни да се навратат назад на тоа што го правеле со нагледните средства.

Иако од наставниците или учениците во пониските одделенија не се очекува да користат проблеми со множење, во вистинскиот живот нивните ученици активно учествуваат во овие активности. Дури и децата во градинка носат слатки за да си поделат со другите деца и ги делат едно по едно, претставувајќи ја операцијата делење. (Колку ќе добие секое дете?) Можеби ќе биде побарано од нив да му дадат по 2 боички на секое дете и физички да го претстават множењето. (Колку ми требаат за 28 деца?) Како дополнување на овие општи случки од вистинскиот живот, употребата на нагледни средства во проблемски ситуации може да им овозможи на учениците во пониските одделенија да решаваат проблеми со множење90. Бидејќи нагледните средства овозможуваат врска помеѓу искуствата на децата и нивните писмени изразувања, важно е да се употребат разни примери така што учениците нема да ги поврзуваат процесите или концептите само со одредени предмети. Децата што учат одредени начини за пресметка само преку еден контекст (на пр., за да се развие разбирање за користењето пари или примери со пенкало и хартија) продолжуваат да ги користат одредените начини само во тие контексти91. Тие не ја препознаваат сличноста во начините на решавање сè додека тие сличности не се објаснат јавно.

Додека нагледните средства може лесно да претстават проблеми со мали броеви, постојат други видови на претставувања што се подобри за разбирање на работата со поголеми броеви. Ова вклучува илустрации и дијаграми, кои, како и нагледните средства, се докажани во поттикнувањето на учењето. Една студија спроведена во 1984 година во врска со множењето и делењето покажала дека знаењето на учениците за проблеми значително се подобрило кога биле користени цртежи за разлика од ситуацијата кога проблемот бил само усно претставен92. Рајли и Грино исто така ја поддржуваат идејата дека подоброто разбирање на учениците

90 Структурите за множење вклучуваат множење, делење, дропки, децимални броеви, мерки, односи и пропорции.

91 Хајберт и Лефевр (1986).

92 Мојер (1984).

428

потекнува од користењето примери и сликовни презентации93. Овие средства им помагаат на учениците да ги визуелизираат ситуациите и користените операции за решавање на овие проблеми.

Напредувајќи од употребата на конкретни примери кон помалку конкретни примери (на пр. цртежи) до апстрактни примери (на пр. само математички симболи), наставниците го користат природниот тек на учење – од конкретно до апстрактно знаење94. Тие, исто така, ги охрабруваат учениците да работат со повисоки нивоа на математичко знаење. Штом учениците ќе можат успешно да размислуваат на ниво на броеви или на ниво на оператори за тема, нагледните средства нема повеќе да бидат неопходни. Меѓутоа, бидејќи на учениците им треба многу подолго за да ги достигнат овие повисоки нивоа на математичко размислување отколку што тоа го претпоставуваат нивните наставници, паметно би било да се продолжи со употребата на нагледни средства сè додека тие не почнат вешто да ги решаваат проблемите и без нив. Наставниците исто така треба да бидат свесни дека некои ученици ќе треба да користат нагледни средства подолго од други ученици за да постигнат соодветно разбирање. КОРИСТЕЊЕТО НАГЛЕДНИ СРЕДСТВА И ДРУГИ ПРИМЕРИ ЗА ПРЕТСТАВУВАЊЕ ПРОБЛЕМИ ВО НАСТАВАТА

Користење мноштво нагледни средства

1. Претставете ги проблемите за квантитети со помош на разни нагледни средства, како обоени жетони, плочки, коцки, разни видови бројачи, хартии, гравчиња, стапчиња и сламки!

2. Претставете ги проблемите со постојан квантитет со предмети што се постојани, како ред на броеви, низа, конец, мерки за лента, метрички мерки (блокови од 3 сантиметри, блокови од 6 сантиметри итн.) и цртежи на графичка хартија!

3. Користете познати предмети или запознајте ги учениците со предметите пред да планирате демонстрација на нов концепт!

4. Физички вклучете ги учениците со тоа што ќе им дадете да изглумат одредена ситуација и да се преправаат дека тие се предметите во приказната!

93 Рајли и Грино (1988).

94 Соувел (1989).

429

Свесно избирање на соодветни нагледни средства

1. Користете апстрактни примери за проблеми со квантитети (на пр., низи од редови со предмети) и примери за проблеми со постојани квантитети (на пр., редови на броеви за мерни единици)!

2. Бидете свесни за предностите и недостатоците на искористените нагледни средства за одредена ситуација!

3. Употребете редови и табели за да демонстрирате дека множењето и делењето се обратни операции!

4. Употребете редови во редови за да илустрирате разложување на множењето, користејќи познати факти за дознавање непознати факти, како и со употреба на дистрибутивното својство!

5. Планирајте ситуации за учениците да го видат ефектот од множењето на броеви!

Обезбедување помалку конкретни примери

1. Примерите со нагледни средства треба да дојдат пред сликовните примери.

2. Штом учениците покажат разбирање за концептите, вклучете примери на предмети во слики, дијаграми, цртежи и графикони за да преминат учениците од конкретното кон апстрактното ниво на разбирање (на пр., поврзете редови со пропорционални табели)!

3. Во секој чекор на решавање направете поврзување на нагледни средства или други примери со запишаните математички изрази, за да можат учениците да се здобијат со разбирање за концептите и процедурите и конечно да бидат способни да користат симболички примери!

Претставување интуитивни стратегии со користење на манипулативни средства

Со цел да се појасни повеќе на што мислиме во оваа наставна насока, го завршуваме ова поглавје со детални описи за наставните активности. Овие активности ја илустрираат употребата на нагледни средства и поапстрактни примери за решавање проблеми со множење.

430

Основни факти

Редот на броеви и табелата со стотки помага во учењето да се прескокнува при броење95. „Прескокнете“ го редот на броеви и застанете на секоја секунда или на третото или шестото место за да го претставите прескокнувањето. Почнете од нула при претставувањето на основни факти. Четири прескокнувања по 2 места до 8, така што 4 x 2 = 8. Почнете од 8 и вратете се назад по 2 места со прескокнување за да претставите дека има 4 прескокнувања од 2 места до 8, или 8 ÷ 2 = 4.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Може да се користи хартија со точки или графичка хартија за да се илустрираат фактите. Хартијата со точки ги илустрира основните факти во ред. Тука, илустрира 4 x 5. Хартијата со точки исто така може да биде полуконкретен пример за ситуации со редови.

x 5

• • • • •

• • • • •

• • • • •

4 • • • • •

Графичката хартија дава правоаголен просторен модел. И хартијата со точки и графичката хартија се корисни во учење на дистрибутивното својство во склоп на структурите за множење. Графичката хартија е посоодветна од хартијата со точки при совладување на постојаните квантитети.

На пример, правоаголник 2 на 3 може да се претстави со потемнетиот простор прикажан подолу:

95 Редот на броеви е исто така корисна алатка за да им се помогне на учениците да развијат разбирање за проблемите поврзани со делењето со нула.

431

Проблеми со комбинации

Повторливи групни проблеми: дијаграми и цртежи

Учениците што покажуваат разбирање за множење со нагледни средства може да преминат на цртање за решавање проблеми:

Ако има 8 деца и 32 колачиња, колку колачиња може да има секое дете?

За ова, учениците може да нацртаат 8 купа.

Некои може да распределуваат по 1 колаче во куповите, со цел да бидат во тек со броевите. Други може да се одлучат да почнат со 2 колачиња во секој куп затоа што знаат дека секој ќе добие најмалку по 2 колачиња. Овој пат тие бројат „2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16“.

2 колачиња од куп

Има повеќе колачиња за распределување. Некои ученици може да ги поделат останатите по едно на куп (17, 18, 19, 20, 21, 22 итн.). Други може повторно да се обидат со две одеднаш (18, 20, 22, 24 итн.).

432

Кога сите колачиња ќе се поделат, јасно е дека секоја група има 4 колачиња.

Претставување проблеми во повеќе чекори

Следниов проблем во повеќе чекори може да се реши со помош на дијаграми (или цртежи), блокови со основа 10 или алгебра:

Училиштето продава светилки за да собере пари за нови компјутери. Светилките доаѓаат по 4 во пакување. Има 12 пакувања во една кутија. Ако целта е секој ученик да продаде по една кутија светилки колку светилки ќе продаде едно одделение со 24 ученици ако ја постигнат целта?

а. Дијаграми

Децата може да почнат со цртање 4 светилки во пакување.

Тие го повторуваат ова сè додека не добијат 12 пакувања. Тоа претставува една кутија, што е целта на секој ученик.

Би било нерационално во поглед на време да се цртаат 24 кутии со 48 светилки во секоја, така што може да се нацрта еден контејнер што собира 10 кутии, доволно светилки за 10 ученика.

433

1 КОНТЕЈНЕР

10 x 48

480 светилки

24 кутии = 2 контејнера и 4 дополнителни кутии:

480 светилки 480 светилки

48 48 48 48

Соберете 480 + 480 + 48 + 48 + 48 + 48 за да добиете 1.152 светилки

б. Блокови со основа 10

Блоковите со основа 10 може да ја претставуваат разликата помеѓу 1, 10 и 100 со помош на изразување во пропорционални величини.

Следниве дијаграми ги илустрираат двата различни начини што ги користат учениците со блоковите со основа 10 за да го добијат просечниот број на светилки што ќе му треба на секој ученик за да се соберат доволно пари.

1) Претставете четири светилки 12 пати со коцкички и бојте со прескокнување преку четири!

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Има 48 светилки во кутија.

2) 12 пакувања се претставени со една десетка и 2 единици. Секоја содржи 4 светилки (единици), така што прикажете 12 четири пати!

434

4

1 1 1 1

12

10

+

2

Ова исто така покажува колку светилки има во една кутија или на човек. Штом учениците утврдат дека во секоја кутија има 48 светилки, тие продолжуваат со следниот чекор каде што ќе користат блокови со основа 10 за да го пресметаат бројот на светилки за 24 кутии (да се претстави 48 x 24).

Блокови со основа 10 може да се искористат за да се демонстрира дистрибутивното својство. Блоковите може да ја претстават пресметката (24 x 48) за да се реши проблемот со светилките:

24 x 48

100 10 1

10 10 10 10 (8) 1s

10 100 100 100 100

10 100 100 100 100

(4)

1s

20 x 40 = 800

20 x 8 = 160

4 x 40 = 160

4 x 8 = 32

1.152 светилки

435

Блокот 10 x 10 претставува 100. Два реда со 4 стотки претставуваат 20 x 40 или 800; два реда со 8 блока или прачки (1x10) претставуваат 20 x 8 или 160; четири реда со 4 блока или прачки претставуваат 4 x 40 или 160; и четири реда со блок (1x1) претставуваат 4 x 8 или 32.

Овој конкретен пример може да се претстави со поапстрактен цртеж:

960 + 192 = 1.152 светилки

в. Математички плочки

Ако претходната ситуација се решеше со математички плочки, методот на решавање ќе останеше ист (48 x 24) како на гореприкажаниот дијаграм. Разликата е во тоа што математичките плочки се помали и може полесно да се управува со нив при презентација, но им недостасува изразување на величините, така што не може да се видат точните пропорции на квантитетите што ги претставуваат.

Освен тоа, физичкиот приказ покажува постојан простор, додека проблемот вклучува апстрактни предмети. Го прикажуваме ова несовпаѓање не за да кажеме дека ова е непожелно, туку да им покажеме на наставниците да бидат повнимателни при користењето нагледни средства.

Користење нагледни средства за приказ на традиционалниот алгоритам

Блокот со основа 10, исто така, може директно да се поврзе со традиционалниот алгоритам за делење:

На група од 5 ученици им беше кажано да си поделат 695 безбол-картички поеднакво.

Форматот за традиционалниот алгоритам е 5 695 .

400

160

80

80

32

400

436

Проблемот може да се претстави со нагледни средства употребувајќи:

(6) блокови (9) дузини прачки

(5) единици

Учениците се запрашани која е најголемата прачка што може да им ја дадат на секој од 5-те ученика. Тоа е блок со стотки. Така тие запишуваат 1 во местото за стотки за да прикажат дека пренесуваат 1 стотка за секој ученик.

Пет пати по 100 е 500, така што одземете 500 од 695 и ќе останат уште 195 што треба да се пренесат.

500

195

Може ли секој да земе една стотка? Не. Има само уште една. Може ли секој да земе 10-ка или неколку 10-ки? Размислете или заменете 1 стотка со 10 десетки. Заедно со оригиналната 9-ка, мислете на 19 десетки. Секој може

437

да има три (3 x 5 = 15), но не четири (4 x 5 = 20). Така ставаме 3 на местото на десетки за да покажеме дека секој зема по 3 десетки.

13

5 695

500

195

150

45

Пет пати по 3 десетки се 15 десетки или 150.

Останува 45.

Земете 15 десетки.

5 695

500

195

150

45

45

Одземете 150 и ќе останат уште 45.

Потоа, колку од преостанатите 45 може да земе секој од 5-те ученика?

Пет пати по 9 е 45, така што секој може да земе уште по 9. Со тоа се постигнува еднаква поделба. За да се направи поделбата, десетте прачки ќе се заменат со единица квадратчиња.

438

Претходниот пример им дозволува на учениците да направат врска чекор по чекор од конкретното кон апстрактното за алгоритамот за делење што претставуваше тешкотија во минатото. Користењето нагледни средства на овој начин е особено важна алатка што им дава можност на учениците да размислуваат и да изведуваат логички заклучоци од традиционалните алгоритамски процедури. Чекорот помеѓу конкретното и апстрактното е илустрација или цртеж. Преку употребата на нагледни средства, цртежи и добра дискусија на час што ги прави врските јасни, учениците може да преминат од разбирање квантитети кон разбирање броеви и операции. Така, се воспоставуваат врски помеѓу процедуралното и концептуалното знаење.

Примери со модели на прачки

Вниманието привлечено преку практиката во некои од најразвиените земји ги доведе многумина до откритието на едноставните дијаграми познати како модели на прачки, кои се користат интензивно во земји како Сингапур и Јапонија.

За разлика од нагледните средства, кои директно ги претставуваат броевите во одреден проблем, моделите со прачки се наменети да им помогнат на учениците да ги увидат врските во одреден проблем и да им помогнат да ги искористат тие врски за да одлучат како да го решат проблемот. Примери:

1) Коли играчки (Повторливи групи)

27 коли играчки. 3 во кутија. Колку кутии се потребни?

27 коли

27 cars

1 група има 3 коли

? групи

Примерот укажува дека ќе има помалку групи од 27. Така што учениците нема да бидат во искушение да помножат 3 x 27 за да го решат проблемот.

439

2) Картички

Хуан има два пати повеќе картички од Кармела. Кермела има 16. Колку има Хуан?

Хуан

Кармела (16)

БАРАЊЕ ОД УЧЕНИЦИТЕ ДА ГО ОБЈАСНАТ И ОПРАВДААТ СВОЕТО МАТЕМАТИЧКО РАЗМИСЛУВАЊЕ

Математика со размислување, реформите и НСНМ ја прифаќаат основната претпоставка дека учењето математика се поттикнува и утврдува ако учениците размислуваат и комуницираат96. НСНМ ја нагласува важноста да се учи, размислува и комуницира математички во нивните цели за K-12 учениците97. Обичниот јазик и математичките симболи се идентификувани како „единствениот начин на кој математичката култура може да се пренесе на новите генерации“98.

Една студија, направена во најуспешните училници по математика во Охајо, утврдува дека една од карактеристиките на овие училници е тоа што учениците зборувале со јазикот на математиката99. Друга студија, спроведена од колеџот Кингс во Лондон, исто го препознава разговорот воден со јазикот на математиката како клуч за постигнување на математичка писменост100.



98 Силвер, Килпатрик и Шлесингер (1990).

99 Кале (1999).

440

Што откриваат разговорите со јазикот на математиката?

Кога учениците зборуваат во училниците на час по математика, тие зборуваат за другите и за самите себе. Зборувањето за другите е со цел да се оствари комуникација ученик со ученик и му овозможува на наставникот да се доближи кон размислувањето на учениците. Зборувањето за самите себе е главно со цел да им се овозможи на учениците да го изразат сопственото размислување и да ги организираат своите мисли101. Преку тестирање, појаснување и утврдување на своите сопствени идеи, учениците се здобиваат со поголемо разбирање. Овие причини за зборување на час по математика се исто така наведени како причини за објаснување и причини за истражување102. Секоја од нив е доволна причина да се побара од учениците да го опишат и оправдаат своето математичко размислување.

Трета причина е тоа што учењето е социјален процес. Разговорите се начин да се изгради и појасни општото разбирање. Тие се начин за да се почне со развивање на математичкото размислување.

Ситуациските проблеми им даваат можност на учениците да употребат сопствени начини на решавање за да најдат соодветно решение. Поверојатно е дека ќе бидат способни да го опишат своето размислување за некоја интуитивна стратегија отколку за некоја процедура научена напамет. Процесот на опишување и докажување им помага на учениците да дознаат како размислуваат другите, така што може да ги споредат тие идеи со сопствените103. Ова им помага да користат нови информации за да изведат нови претпоставки за математичките врски104. И усната и писмената комуникација се важни активности во овој процес105.

Како дополнување на знаењето што го носат со нив, учениците стекнуваат повеќе знаење преку идеите претставени во училницата, преку процесот на изразување на сопствените идеи и слушањето на идеите на другите. Учењето се постигнува кога сето ова е интегрирано заедно.

101 Пим (1987).

102 Пим (1987).

103 Ло, Витли и Смит (1991b).

104 Балашеф 1990; Путнам, Лемперт и Петерсон (1990).

105 Фон Глејзерфелд (1987).

441

Интуиција и разговор

Кога проблемите што учениците ги решаваат се во склоп на нивното сопствено искуство, тие имаат интуитивно складиште од каде може да додадат на часот од друг аспект. Кога третоодделенци без претходна формална настава за делење биле запрашани да пронајдат начин да поделат 0.5 долари на четири ученици подеднакво, тие го искористиле своето искуство со пари за да добијат точни одговори106. Структурната анализа на проблемот била водена од наставникот, кој ги задолжил да ги довршат речениците: „Секој има по...“; „Ние мислиме така затоа што...“. Освен тоа, тие требало да го објаснат своето математичко размислување107.

Во друга училница, третоодделнци биле способни да „изведат логички заклучоци и да комуницираат за нивните математички идеи поефективно“108 како резултат на пристапот на наставникот, кој ја поттикнал дискусијата за математика на часот. Исто така, позитивни промени се појавиле во однесувањето на учениците во почитување на останатите идеи и контролирање на сопствените емоции.

Од опишување до докажување

Вклучувањето на учениците во дискусиите за математички идеи исто така помага за преминување на интелектуалниот авторитет од наставникот кон учениците. Опишувањето и докажувањето им ја дава можноста на учениците да земат сопствено учество во процесот на решавање проблеми и да создадат сопствено значење. Одговорот повеќе го оправдуваат овие дискусии отколку одлуката на наставникот. Коб и неговите колеги откриле дека успехот на учениците вклучени во одделение што било склоно кон поставување прашања се засновал на развојот на нивните начини на решавање на проблемите, а не на тие на наставникот109. Во продолжената студија за овие ученици по една година, во одделение што не било ориентирано кон поставување прашања, тие откриле дека учениците покажуваат уверување дека успехот се заснова на придржување кон начинот на решавање проблеми даден од наставникот, а не на нивното сопствено мислење110. Овие резултати укажуваат дека, кога учениците се вклучени на часови каде што опишувањето и докажувањето на сопствените начини на решенија не се потенцирани, тие помалку се

106 Бернс (1991).

107 Бернс (1991), стр. 15.

108 Ло (1991b), стр. 20.

109 Коб, Вуд, Јекел, Николс (1991).

110 Коб, Вуд, Јекел и Перлвиц (1991).

442

потпираат на сопствените можности, а повеќе на тие на наставникот за точноста во размислувањето математика. Промената во интелектуалниот авторитет е еден аспект за поставување математичка заедница на почетници. Учењето што значи да се биде дел од таа заедница е исто така дел од тоа што значи да се знае математика111. Се разбира, наставникот мора да внимава овие заемни докажувања да бидат оправдани и да не дозволи одделението да го прифати објаснувањето што е фундаментално погрешно.

Исплатливост на водењето разговори

Ресник112 наведува некои карактеристики од разговорите на час што го поттикнуваат учењето. Без нив разговорот може да не вклучува фактичко учење. Таа смета дека исплатливиот разговор:

• одговара и го развива она што другите го велат;

• го истакнува точното знаење;

• е релевантен за прашањето за кое се дискутира;

• користи докази на начини соодветни на дисциплината; и

• следи воспоставени норми на добро размислување.

Поврзување решенија со приказни

Силвер и Шапиро заклучиле дека тешкотиите со проблемите за делење што вклучуваат остатоци може да се поврзат со неуспехот на учениците на крајот да го поврзат нивниот процес на решавање и одговорите со приказната113. Задавањето задача на учениците да опишуваат и докажуваат треба да им помогне во надминувањето на проблемите со остатоци и да им овозможи да ја направат таа врска. Кога се бараат објаснувања, поверојатно е дека учениците ќе ги поврзат одговорите со проблемите за да ги оправдаат своите одговори. Едно истражување исто така утврдува дека, кога учениците биле во атмосфера на час каде било вообичаено да се објаснуваат и да се оправдуваат одговорите, навраќањето на тоа што го правеле и обмислувале им помогнало да го појаснат и изложат своето размислување114. Дискусијата на час се покажала како мошне продуктивна за учење математика. „Додека учениците комуницирале меѓу себе, тие постепено разбрале дека не е доволно само да

111 Национален совет на наставници по математика (1991); Путнам (1990).

112 Ресник (1999).

113 Силвер и Шапиро (во печат) (1988).

114 Ло и др. (1991b).

443

не се сложат со нечиј став, туку требало да ги наведат и причините за своето несогласување“115.

Оваа последна акција е поврзана со мислењето дека разговорот на час е интегрален дел на наставата, односно на развојот на разбирање на математичкиот аргумент116. Спротивно на она што многумина веруваат, во математичкиот аргумент има многу повеќе одошто формални математички докази. Поставувањето проблеми, изведувањето претпоставки и вклучувањето во процесот на размислување се важни делови од она што го прават математичарите.

Претпоставувањето и демонстрирањето логична оправданост на претпоставките се суштината на креативниот акт на математиката. На учениците им треба доста време и многу искуство да ја развијат способноста да составуваат валидни аргументи за проблемите и да ги проценуваат аргументите на другите117.

Понатаму, имаме примери како изгледа математичкото размислување во пониските одделенија, спротивно на формалните докази. Бол има направено пионерска работа во запишувањето на обидите на младите ученици за оправдување на нивните одговори. Ова е процес што бара чекор по чекор, исто како и градењето формален доказ. Не може да се прескокне некој чекор во текот на процесот118. Еден краток разговор што таа го забележала започнал кога ги запрашала учениците да состават броен израз чиј збир бил 10 и да има повеќе од два собироци.

Еден ученик ја понудил реченицата:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 = 10. Кога бил запрашан да објасни како се добива резултатот 10, тој едноставно повторил дека додал 1 плус 1 и така натаму, практично читајќи ја реченицата, кажувајќи дека тоа е 10. Бол потоа го прашала да размисли повторно како може да ги убеди другите дека изразот навистина има вредност 10. Овој пат ученикот го објаснил секој чекор: „Има 1, потоа следува 1, па 3...“ и понатаму додека не стигнал до 7 и продолжил, „и уште 3 се 8, 9, 10“. Тоа го содржело оправдувањето чекор по чекор каде што основата за секој последователен чекор е видлива, исто како во поформални математички докази.

115 Ло и др. (1991b), стр. 20.

116 Ламперт (1986); Путнам и др. (1990).


118 Бол (2000).

444

Размислувајќи за ова во рамките на проблемите со множење, некој ученик може првично да го оправда својот одговор на 6 x 7 = 42 со кажување дека:

Шест пати по 7 значи 6 групи со 7, како 6 пакувања со 7 парчиња чоколадо во секое пакување. Во првото пакување има 6, потоа уште 6 во второто пакување прават 12 (додадов 6 + 6); потоа се собира третото пакување и сега 12 + 6 е 18; потоа четвртото дава уште 6, па 18 + 6 е 24; петтото пакување додава 6 на 24 и тоа е 30. Шестото пакување е 30 плус 6, што е 36. Потоа седмото е 36 плус 6. Тоа е 42.

Ако одделението разбере дека овој ученик собира и брои во своето објаснување, објаснувањето ќе биде задоволително. Ако не, тој ќе треба да го објасни своето размислување понатаму.

На крајот, вклучувањето на учениците во активности што бараат од нив да ги објаснат своите процеси на размислување дава дијагностички информации за наставникот. Неточен одговор на проблем не нуди доволно знаење за причината за грешката. Способноста да се открие степенот на разбирањето на ученикот е клучот во водењето настава. Додека учениците јавно го објаснуваат своето размислување и во исто време го бранат, се воочуваат и предностите и слабостите.

Големата пракса во соочување со разни размислувања и погрешни аргументи е клучна за развивање подлабоко разбирање на математиката.

ИНТЕГРАЛЕН ДЕЛ НА НАСТАВАТА Е ДА СЕ БАРА ОД УЧЕНИЦИТЕ ДА ГО ОПИШАТ И ОПРАВДААТ СВОЕТО РАЗМИСЛУВАЊЕ

Овозможете им на учениците да ги појаснат своите размислувања и да изградат ново знаење преку комуникацијата за математика!

1. Охрабрете ги учениците да ги објаснат своите решенија со сопствени зборови!

2. Употребете поставување на прашања за да им помогнете на учениците да се поправат самите за време на своите објаснувања!

3. Поттикнете разговор за означување на квантитетите!

445

Преместете го интелектуалниот акцент од наставникот како авторитет кон учениците како мислители!

1. Воспоставете атмосфера во која сите обиди за комуникација се вреднувани, но внимавајте тоа да не изгледа како сите обиди да даваат точни заклучоци или решенија!

2. Поттикнете богата математичка дискусија преку заштитување и помагање на говорниците, давање помош при прекините и решавање на задачата на час119!

3. Воспоставете атмосфера каде што се охрабрува комуникацијата, идеите се вреднуваат, а грешките се гледаат како можности да се искористат вештините за критичко размислување со цел да се пронајдат и да се поправат!

Поттикнете го развојот на вештини поврзани со математички аргументи!

1. Направете во училницата да се чуствуваат сигурни оние што прашуваат и оние што се предизвикани преку поставување прашања, претпоставки и размена на идеи базирани на нови информации како природен дел од процесот на размислување!

2. Овозможете им на учениците да ги користат симболичките врски кога можат! Обезбедете ги пишаните симболи за учениците кога е неопходно!

3. Наведете ги учениците да поврзуваат решенија со оригиналниот проблем преку прашања како: „Што се случи во ситуацијата?“ „Дали квантитетите во твојот одговор имаат смисла?“ „Дали го одговори прашањето поставено во проблемот?“

4. Дозволете им на учениците да користат разни начини на опишување и оправдување на своето математичко размислување, вклучувајќи цртежи, редови, приказни, дијаграми за претставување на ситуацијата или директно да ја претстават со помош на нагледни средства!

Користете ја комуникацијата за поставените проблеми како дијагностичка наставна алатка!

1. Употребете прашања за да го откриете изворот на грешките!

2. Откријте ги индивидуалните или групните погрешни сфаќања, грешки во размислувањето и препреки!

119 Ло, Витли и Смит (1991a).

446

3. Употребете стратегии што го извлекуваат и прошируваат размислувањето на учениците!

Следниве предлози се од Фравилиг, Марфи и Фјузон, кои изложуваат Примери на наставни стратегии за извлекување, поддршка и проширување на математичкото размислување на децата120.

1. За олеснување на одговорите на учениците, извлечете повеќе методи на решенија за еден проблем, почекајте и ислушајте ги описите на учениците за начините на добивање решенија, прашајте ги да ги објаснат своите одговори и покажете став на прифаќање за грешките на учениците и напорите за решавање на проблемите! Искористете ги објаснувањата на учениците во лекцијата; одлучете кои ученици треба да зборуваат и кои начини на решавање треба јавно да се разгледаат!

2. За да го поддржите размислувањето на учениците, направете поврзување со концептуално слични проблемски ситуации, обезбедете поткрепено знаење и помогнете им на учениците да ги појаснат своите начини на решавање! Претставете начини на решавање без охрабрување да се прифати одреден начин, запишете ги симболички начините на решавање на учениците и прашајте друг ученик да го објасни начинот на решавање на проблемот од својот врсник!

3. За одржување високи стандарди и очекувања за сите ученици, овозможете им да ги испробаат различните проблеми и различните начини на решавање! Охрабрете ги учениците да анализираат, споредуваат и генерализираат математички концепти и дискутирајте за врските помеѓу концептите! Задолжете неколку ученика да пробаат алтернативни начини на решавање за одредена проблемска ситуација! Но, притоа обезбедете значително поефективни начини на решавање!

ПРИФАЌАЊЕ ПОВЕЌЕ НАЧИНИ НА РЕШАВАЊЕ

Настава со „примени математика“ повеќе не се фокусира на учењето напамет и на поставените процедури121. Технолошки развиеното општество, големата културна разновидност и потребата за флексибилна работна сила придонеле за ова променето гледиште.

Истовремено е присутно гледиштето дека учењето се фокусира на активниот развој на знаење кај учениците преку користење на првично

120 Фравилиг, Марфи и Фјузон (1999). Напредување на математичкото размислување на децата во Училници за дневна математика. Весник за истражување во математичкото образование, том 30, бр. 2.

121 Денвир (1990); Национален истражувачки совет (1989).

447

знаење за решавање проблеми со помош на интуитивни стратегии и поврзување на овие стратегии кон ново знаење. Во овој поглед, учениците може да користат стратегии на кои не биле формално подучени, но кои имаат смисла за нив. Дали ова ќе се случи зависи од културата и атмосферата во училницата. Бараната култура е околина во која децата се слободни да ги користат сопствените стратегии. Ова, за возврат, зависи од наставниците што „гледаат на децата како на носители на сопственото учење“122. Најубедливата причина за наставниците да прифатат повеќе стратегии на решенија, кои водат кон точни одговори на проблеми поставени во училницата, зависи како од воспоставувањето „клима“ погодна за математички прашања така и од добивањето точни одговори123.

ПОВРЗУВАЊЕ РАЗНИ КОНЦЕПТИ И МОДЕЛИ ПРИ РЕШАВАЊЕ

За време на поставувањето математички прашања, истражувањето на разни стратегии е средство за развој на воспоставување врски помеѓу идеите и моделите и исто така помеѓу светот на учениците и математичкото знаење. Ова се врските што водат кон разбирање за броеви и математичко знаење. За да се развијат овие врски, учениците мора да бидат во можност да гледаат на проблемите на различни начини и да препознаат слични особености за различни проблеми или решенија. Тие треба да ја видат врската помеѓу нивните „сопствени светови ... задачите за учење ... и знаењето“ што тие ја градат преку „решавање задачи“124.

Како што е веќе речено во Математика со размислување 1, сите ученици не размислуваат исто и не функционираат на исто ниво на математичко разбирање при воведувањето нови проблемски ситуации. При прифаќањето нови патишта кон одредено решение, наставникот им овозможува на учениците да искусат успех при изложување алтернативни стратегии. Притоа се ценат напорите и прашањата на учениците, и во исто време дискусиите на час може да резултираат со поврзувања што произлегуваат од споредбени стратегии и од гледањето на истата идеја во различни форми. Ова вообичаено ги води учениците до поефективни начини на решавање со тек на време125. Меѓутоа, не е доволно само да се

122 Денвир (1990), стр. 79.

123 Коб, Вуд и Јекел (1991); Ресник (1991).

124 Денвир (1990), стр. 82.

125 Лемперт (1986), (1992); Лејнхарт (1987); Ресник, Бил и Лесголд (во печат).

448

охрабрат и да прифатат разни стратегии. Лејнхарт вели дека има работи што прават наставниците да изградат поголемо разбирање126.

„Наставниците … прифатиле повеќе идеи, но ги задолжиле учениците да ги анализираат тие идеи. Тие ги охрабриле учениците:

да ги проверат идеите што не биле поддржани, да ги прошират идеите што не биле целосни, и да ги поврзат еквивалентните идеи“.

Понатаму, штом учениците зборувале за своите размислувања и стратегии, тие користиле „принципи и докази за да размислуваат околу клучни концепти и процедури“.

ОБЕЗБЕДУВАЊЕ ВРЕМЕ ЗА АЛТЕРНАТИВНИ НАЧИНИ/СТРАТЕГИИ НА РЕШАВАЊЕ

Учениците се здобиваат со математичка способност, чувство за броеви и флексибилност преку применување на своето концептуално разбирање на креативни начини. На наставниците им преостанува да бидат поеднакво креативни во воспоставување атмосфера на математички прашања што им помагаат на учениците да научат да ја вреднуваат математиката и да бидат сигурни во сопствената способност да ракуваат со математика127.

Во преминувањето кон ситуации со множење, учениците ќе употребат поголем број стратегии отколку за собирањето и одземањето. Некои ученици ќе се чувствуваат најудобно со користење на стратегии за собирање. Други ќе употребат стратегии што се однесуваат повеќе на процесот на множење. Целта на наставникот во прифаќањето на сите точни стратегии за решавање проблеми е да го поддржи успехот на сите ученици, во исто време охрабрувајќи ги да се префрлат кон пософистицирани степени на знаење. Кога наставникот предвреме инсистира на користење единична стратегија (т.е. формалниот алгоритам), некои ученици може никогаш да не стигнат до целта. Напротив, тие нема да ја ценат сопствената интуиција, и ако постепено ги научат процедурите, тоа ќе биде без разбирање.

126 Лејнхарт (1995). Како наставниците експерти го користат јазикот за градење знаење, Учење, ЛРДЦ: Универзитет на Питсбург.


449

ПРЕМИНУВАЊЕ ОД ИНТУИТИВНО СОБИРАЊЕ КОН РАЗМИСЛУВАЊЕ ЗА МНОЖЕЊЕ

Во неколку земји каде што постигнувањата во математиката се високи, наставниците внимателно избираат проблеми за да го направат множењето полесно и попосакувано отколку повторливото собирање. За време на процесот на решавање проблем станува досадно да се користи повторливото собирање, па така разговорот преминува кон воведување на стратегијата за множење. На пример, студии од Советскиот Сојуз во математичкото образование откриле систем на наставни ситуации за воведување множење128. Тие искористиле проблем во кој единицата мерка што требало да ја користат за пресметување не била соодветна и ја замениле со единица мерка што била поголема. Потоа ја нашле врската меѓу двете мерни единици и го решиле проблемот.

Ситуацијата 1 мора да ја прикаже неопходноста од промена на единиците. Наставникот прикажува голем контејнер вода и бара да се пронајде колку зајаци може да се напијат вода ако секој има потреба од мала чаша вода. Контејнерот е тежок, тешко е да се налева од него, и водата се претура. Децата се сложуваат дека овој проблем ќе бара доста време.

Ситуација 2. Наставникот претставува модел за операциите што учениците треба да ги научат. Наставникот вади голема шолја и почнува повторно да ја мери водата. По шест пати мерење, наставникот прашува што ќе прикажат овие мерки. „Шест“, одговараат учениците. „Што шест?“ „Шест шолји вода“. Наставникот укажува дека тоа нема да им помогне да дознаат колку мали чаши вода има. Откако учениците ќе размислат дека бројот на мали шолји ќе помогне, тие одлучуваат дека може да пронајдат колку мали чаши има во една голема шолја. Излегува дека има пет. Секоја голема шолја претставува пет мали чаши вода. Се развива голем дијалог додека наставникот не биде сигурен дека учениците ја разбрале врската помеѓу големите шолји и малите чаши. Главната хипотеза се повторува многу пати како одговор на прашањата на наставникот. Таа користи фрази како: „Зедовме пет, два пати“. На крајот, наставникот повторува што се случи. „Зедовме шест шолји вода од бокалот. Има пет мали чаши во секоја шолја; зедовме пет, шест пати. Ќе го запишеме ова на табла“ (запишува „5 помножено со 6“). Ни требаат пет мали чаши да земеме шест пати за да го наполниме бокалот со вода.

128 Давидов (1991). Психолошка анализа за множење, Психолошки можности на децата во основното образование во Русија во учењето математика. Превод од Универзитетот во Чикаго. Национален совет на наставници по математика: Ресон, Ва.

450

Ситуација 3. Бокалот сега може да се пополни со други нешта и може да се искористат различни мали предмети за работа со слични процеси. Тие го користат јазикот „толку по толку пати“ и запишуваат „10 помножено со 8“.

Ситуација 4. Сега наставникот се навраќа кон запишување на процесот на множење симболички. Во дискутирањето за некои претходно разработени проблеми, наставникот нагласува дека може да се запишат на пократок начин. „5 помножено со 6“, на пример, станува 5 x 6. Учениците учат да го прочитаат поимот и го свртуваат своето внимание на тоа како да го добијат резултатот. По повторно дискутирање за значењето на поимот, наставникот запишува

5 x 6 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 и тие добиваат 30. Значењето на секој број и знак повторно се разгледува.

Она што е важно во овој пристап е дека учениците се ставени во ситуација да разберат дека постои причина да размислуваат повеќе од собирање во некои ситуации. Потоа тие почнуваат да го градат овој концепт на размислување со групи на предмети.

Јапонците укажуваат дека треба да им се помогне на учениците да ја разберат полезноста од процесот на множење. Тие исто така потенцираат дека учениците треба да разберат како се изградени таблиците за множење пред да бидат задолжени да ги меморираат.

Во воведување на структурите на множење важна е улогата на наставникот како посредувач помеѓу јазикот на учениците и јазикот на математиката. Ова посредување се случува за време на процесот на опишување и оправдување додека наставникот го преведува добро познатиот јазик на учениците во формален математички јазик и симболи. Постоењето на јазик што е базиран на сопствениот јазик и стратегии ја зголемува веројатноста дека учениците ќе прават математички поврзувања129.

Како што нема само еден стандарден алгоритам за одземање во светот, така постои повеќе од еден алгоритам за делење. Тука, на пример, е долгиот пат на делење што им се објаснува на четвртоодделенците во Франција130.

За да се пресмета 743 поделено со 15:

1. Пронајдете го бројот на цифри во количникот преку претставување на 743 како производ од два множители од кои едниот е 15!

129 Лемперт (1992); Пим (1987); Ресник (1992).

130 Брегеон и Досат (1996). Bon en maths CM 1, Париз: Нетан Паблишерс.

451

15 x 10 < 743 < 15 x 100

Количникот е пронајден помеѓу 10 и 100, и има две цифри.

2. Напишете ја табелицата множење со15!

1 x 15 = 15 6 x 15 = 90

2 x 15 = 30 7 x 15 = 105

3 x 15 = 45 8 x 15 = 120

4 x 15 = 60 9 x 15 = 135

5 x 15 = 75

3. Најдете го бројот на десетки!

7 4 3 1 5

– 6 0 0 4 (4 x 15 = 60,

па 40 x 15 = 600)

1 4 3

4. Најдете го бројот на единици!

7 4 3 1 5

– 6 0 0 4 9 (9 x 15 = 135)

1 4 3

– 1 3 5

0 0 8 остаток

Количникот е 49, остатокот е 8.

Некој може да напише: 743 = (49 x 15) + 8.

Забележете дека 8 < 15!

452

Текстот укажува дека даденото објаснување им дозволува на просечните ученици да ја разберат комплексната операција.

ПРИФАЌАЊЕ НА ПОВЕЌЕ СТРАТЕГИИ/НАЧИНИ НА РЕШАВАЊЕ НА ПРОБЛЕМИ ВО НАСТАВАТА ПО МАТЕМАТИКА

Олеснување на употребата на повеќе стратегии на решенија

1. Употребете ситуации во кои може учениците да минуваат низ различни нивоа на разбирање!

2. Поставете проблеми што не укажуваат која стратегија да се употреби!

3. Понекогаш употребете ситуации што може да имаат повеќе од еден точен одговор!

4. Воведете групно решавање на проблеми за да се промовираат повеќе начини на решавање и решенија!

5. Воспоставете дух на математичко испрашување каде што „грешките“ се можности за понатамошно истражување, а не причина за негативна реакција! Почитувајте ги различните алгоритми што учениците од други држави ги научиле! Поттикнете споредување и евалуација на различните стратегии/начини на решавање!

Демонстрирање повеќе стратегии на добивање решенија

1. Употребете различни алгоритми за да го поттикнете разбирањето на учениците за концепти и примени!

2. Претставете ги решенијата на различни начини!

3. Додека ги надгледувате стратегиите што ги користат учениците, забележете кои имаат различни стратегии и задолжете ги да ги споделат со другите ученици!

4. Учениците нека ги споредат различните стратегии, потенцирајќи дека секоја има свои предности и недостатоци!

5. Претставете формален математички јазик, покрај јазикот на учениците, со цел да се постигне општо разбирање!

453

КОРИСТЕЊЕ РАЗНИ ФОРМИ И ТЕХНИКИ ЗА ПОУЧУВАЊЕ

Учењето е динамички процес што се појавува кога тој што учи е активен учесник во наставните случувања, а не е пасивен примач на информациите пренесени од наставникот. Учењето од учебник по принцип на лекции создава пасивна атмосфера во која учениците слушаат, имитираат и пресметуваат. Активните учесници имаат потреба од атмосфера во која тие се охрабруваат да ја користат својата интуиција, да размислуваат критички и да учат додека го прават тоа. Низ овој процес, учениците земаат активно учество во математичките откритија и придаваат значење на тоа што го прават.

Принципите и стандардите за математика во училиште на НСНМ зборува за визија на наставата, која е „значително различна од она што многумина од самите наставници го имаат искусено како ученици на часовите по математика“131. Од промените може да се издвојат: 1) користење на логичко заклучување и докази од страна на учениците наместо потпирање на информациите од наставникот како авторитет; 2) размислување наместо учење напемет; 3) решавање проблеми и инвентивност наместо фокусирање на „точниот одговор“; 4) гледање на училницата како математичка заедница; и 5) нагласување на математичките врски во склоп на предметот и на други предмети. Во училницата се потребни разни искуства (од целиот клас, од мала група и од индивидуални ученици). Промената на улогите на наставникот и ученикот се неопходни во реализацијата на зголемената комуникација и концептуалното разбирање барано во Принципите и стандардите за математика во училиште.

Истражувањето, како и основата на Математика со размислување, укажува на потребата за придвижување кон оваа насока. Десетте принципи на Математика со размислување, што се последица од тоа како децата учат математика на час, се средство за постигнување на наведените цели. Голем број наставни стратегии се неделиви од имплементацијата на десетте принципи. Многу алтернативни стратегии може да се најдат низ овој документ. Во ова поглавје ќе разгледуваме: како решавањето проблеми ги поддржува различните примери и методи на решенија, како различните наставни стратегии може да се применат во усвојувањето основни факти и како дури и на традиционалните алгоритми може да им се пристапи на разни начини.

131 НСНМ (2000).

454

ПРЕДАВАЊЕ ЛЕКЦИИ НА РАЗНИ НАЧИНИ/ФОРМИ И ТЕХНИКИ

Фактот дека има многу начини да се реши одреден проблем го отсликува фактот дека има и многу начини учениците да научат. Ова води кон потребата за настава со разни стратегии. Има многу техники што наставниците може да ги искористат при предавање лекција. Тие може да му предаваат на целото одделение, на помала група, да користат групи за соработка на часот, да претстават лабораториско искуство за индивидуално испитување и така натаму. Друга ефективна наставна техника на учење и поучување е решавањето проблеми да се направи како основа за лекцијата. Добрата реализација на лекции може да биде составена од ситуации од секојдневниот живот, да бидат преземени од текст или енциклопедија или да бидат засновани на проблем поставен од страна на учениците. Кога учениците се подготвени, наставникот може да почне со испитување на проблемот што вклучува математичко размислување на ниво на броеви. Трето на што треба да се размислува при секоја наставна стратегија е: што треба учениците да направат за да ја завршат лекцијата. Дали ќе биде вербална, писмена, дискусија на час или индивидуален или групен проект? Комбинација? Дали лекцијата ќе се заврши за еден час или ќе се прошири на два дена или пак на цела недела?

РЕШАВАЊЕ ПРОБЛЕМИ

Реализацијата на наставата со ситуации за решавање проблеми поврзани со вистинскиот живот им демонстрира на учениците дека математиката е дел од нивните секојдневни животи. Учениците се помотивирани и со желба да решаваат математички ситуации, особено во кооперативни мали групи, кога планираат екскурзија или излет. Во рамките на интегрирана наставна програма, учениците воочуваат дека математиката се провлекува низ сите предмети.

Друга причина за да се фокусираме на решавањето проблеми е што тоа бара концептуално и процедурално знаење. „Процесите на разбирање и толкување што се користат во решавањето математички проблеми вклучуваат создавање врски меѓу процедуралното и концептуалното знаење“132. Се покажува дека успешното решавање зависи од поврзувањето на текстот на приказната со математичкото запишување и потоа повторно враќање кон текстот или ситуацијата на која се однесувал текстот. На пример:

132 Силвер (1986), стр. 182.

455

Господин Бикел купил 2.880 коцки за својата училница. Преку експримент открил дека може да стави 250 коцки во една торба.

1. Колку торби може да наполни? 2. Колку торби користи за сите коцки? 3. Колку коцки ќе му останат што не полнат една торба?

Пронаоѓањето на одговорот на секое од горепоставените прашања ја бара истата пресметка, 2880 ÷ 250, но секој од одговорите е различен.

Тој што не знае добро да го реши проблемот оди од текстот на проблемот до пресметката, но никогаш не се навраќа назад кон ситуацијата или текстот за да види како пресметката се поврзува со решението, кое може да биде различно за секое прашање133.

Лошо решение на проблем

Tекст приказна Ситуација приказна

Математичка

пресметка

Добриот решавач на проблеми, од друга страна, продолжува да прави поврзување помеѓу ситуацијата, текстот и пресметката. На овој начин математичката процедура го задржува значењето.

Добар решавач на проблеми

Текст приказна Ситуација

Математичка

пресметка

133 Заклучоци и графикон од Силвер и Шапиро (во печат).

456

ПОВЕЌЕ НАЧИНИ НА ПРЕТСТАВУВАЊЕ ПРОБЛЕМИ

Има повеќе математички начини што учениците може да ги искористат за да го решат проблемот со коцките даден погоре. Тие вклучуваат користење на нагледни средства, илустрации или работење единствено со броеви, во зависност од тоа дали се наоѓаат во рамките на разбирањето134.

НАСТАВА ЗА ОСНОВНИТЕ ФАКТИ

Наставата за основните факти е традиционално сметана од многумина како камен-темелник на основната математика и често како единствен пристап се смета меморизацијата и вежбањето. Математика со размислување не препорачува одвојување преголемо време за учење напамет како начин да се научат фактите за броевите. Авторите веруваат дека учениците може да ги научат фактите за броевите преку нивна секојдневна употреба во интересни ситуации и преку користење мисловни стратегии. Студии со необразовани возрасни луѓе од Ајвори Коуст покажале дека тие значително се потпирале на запаметените факти како што старееле, најмногу како резултат на честото секојдневно искуство со нивна употреба135.

Ангилери и Џонсон укажуваат дека таблиците за множење треба да им се дадат на учениците што сè уште не ги знаат основните факти136. Таблицата им дозволува на учениците подготвено да ги проверуваат фактите. Како што се зголемува самодовербата кај учениците, тие сè помалку ќе се осврнуваат на таблиците. Таблиците исто така служат како алатка за разбирање на врската помеѓу броевите во множењето и делењето. Меѓутоа, други сметаат дека учениците стануваат зависни од графикони и не се мотивирани сами да ги научат фактите. Ова е контроверзно прашање.

Иако постојат различни гледишта за примањето на основните факти, постојат малку информации за врската помеѓу меморирањето на основните факти и разбирањето за множење и делење. Меѓутоа, Шлиман верува дека, кога учениците во нејзината студија ги знаеле фактите за множење, имале подобри резултати бидејќи биле способни да ги препознаат пропорционалните шеми поподготвено137.

134 Технологијата може, а исто така и треба да се вклучи како алатка. Меѓутоа, ние нема да ја разгледуваме оваа широка тема во овој том.

135 Гинсбург и Алардис (1984).

136 Ангилери и Џонсон (1988).

137 Шлиман, лична комуникација, јули (1990).

457

Едно истражување за тоа како учениците го градат своето знаење може да се поврзе со прашањето за основните факти. Когнитивната наука укажува дека компетентноста се зголемува преку реконфигурирање на знаењето, автоматски процедури и развивање стратегии и модели што го водат ученикот да одлучи кога и како материјалите и вештините се релевантни. Компетентноста се зголемува кога учениците имаат доволно концептуално разбирање да го поврзат знаењето со нови ситуации и да користат соодветни стари модели или кога ќе бидат способни да развијат нови138. Со други зборови, самата меморизација не е доволна. Учениците треба да знаат броеви и факти на различни начини. Треба да имаат доволно концептуално знаење да знаат како и кога да го применат и да знаат како да изградат ново базирано на старото. Автоматизираноста на процедурите е исто така дел од истражувачката листа на посакувани вештини; способноста да се поврзе математичкото знаење, способноста што когнитивното истражување ја смета за клучна во зголемувањето на компетентноста, е суштината за решавањето проблеми, многу поголем приоритет за Математика со размислување отколку меморирањето на основните факти.

Сепак, фактите за множење и делење ја олеснуваат работата со структурите за множење. Секако, нивното знаење без да се размислува го ослободува умот за размислување поврзано со проблемот. Разбирањето на факти е исто така неопходно да се одлучи дали некој одговор е разумен. Тоа е неопходно за проценка. Неопходно е за користење на традиционалниот алгоритам за делење, покрај другите. Прашањето е како го олеснувате учењето, колку време е посветено на овој дел во споредба со другите делови, дали тестовите помагаат во учењето и, ако тоа е случај, колку и дали учениците треба да решаваат проблеми додека не ги меморираат основните факти.

Со цел да се постигне добро совладување на фактите, дали е неопходно да се жртвува концептуалното знаење? На пример:

За да се добие 7 x 8, некој ученик може да состави (3 x 8) + (3 x 8) + (1 x 8) = 7 x 8.

Притоа, тој демонстрира разбирање за тоа како 7 е составен и како множењето се заснова на групи од осум, и тој го применува дистрибутивното својство. Неговото разбирање за броеви му дозволува да премине од знаењето за 3-ки кон откривање на 7-ките. Некој ученик може да поврзе 100 факти за 2 минути, а да нема ништо од ова разбирање. Основната цел на Математика со размислување е учениците да можат да најдат не само решенија за проблемите туку и алтернативни стратегии за меморирање на фактите додека не ги научат автоматски.

138 Путнам, Лемперт и Петерсон (1990).

458

КОРИСТЕЊЕ РАЗНИ НАСТАВНИ СТРАТЕГИИ ВО НАСТАВАТА ПО МАТЕМАТИКА

Нагласување на решавањето проблеми и размислувањето

1. Посветете повеќе време на решавање проблеми, а помалку за вежбање на изолирана пресметка!

2. Учениците нека соберат и испитаат информации од вистинскиот живот!

3. Поттикнете дискусија на часот, која:

a. се фокусира на значењето на броевите,

б. ги нагласува повеќето начини кон точни одговори,

в. ги поттикнува учениците да дадат докази за тоа што го кажуваат,

г. ги поттикнува учениците да споредуваат различни решенија, и

д. ги поттикнува учениците да генерализираат принципи или заклучоци од она што било утврдено во минатото (на пр., множењето не „прави поголемо“ при користење на броеви помеѓу 0 и 1).

4. Употребете разни начини на организирање на часот, од работа во групи до мали групи или индивидуална работа!

Практикување повеќе форми и техники на поучување

Следнава листа на предлози за настава е пример за користење разни наставни техники на учење за еден концепт: здобивање основни факти. Слични на оваа листа на разни стратегии може да се развијат и да се користат при наставата на други теми. Идејата е да се применат разни техники на учење за секоја тема.

1. Прво овозможете им на учениците запознавање со фактите за множење и делење во повеќе ситуации! Ова ќе помогне во разбирањето на групите како концепт што подлежи на „фактите за множење и делење“.

2. Учениците нека користат предмети или нагледни средства за градење модели од ситуации со броеви! На пример, броењето жетони може да се искористи да прикаже 3 групи од 4 предмети, кои помножени даваат резултат еднаков на 12 предмети (3 x 4 = 12).

3. Прескокнете броење на предмети од вистинскиот живот што доаѓаат во групи!

459

4. Споредете факти кога едната таблица изнесува двојно од другата (на пр., 4-ките изнесуваат двојно од 2-ките)!

5. Развијте шеми на табела со помош на калкулатор!

6. Употребете повеќе факти за да им помогнете на учениците да го развијат разбирањето за обратната врска помеѓу множењето и делењето! Ова разбирање им овозможува на учениците да наоѓаат множител што недостасува при операцијата множење, наместо да се повикуваат на операцијата делење. На пример, учениците може да размислуваат дека 7 x ? = 56 наместо 56 ÷ 7 = ?

7. Искористете обратна ситуација за да ја развиете идејата за комутативност! На пример, 4 коли/кутии x 6 кутии и 6 коли/кутии x 4 кутии.

8. Научете ги учениците да изградат непознати факти од познатите со помош на дистрибутивното својство за развивање на мисловните математички вештини и разбирање за броеви!

9. Употребете графичка хартија за цртање на правоаголници за да ги илустрирате фактите!

10. Во училиштата каде што има компјутери, употребете компјутерски вежби за основните факти, што е уживање поради атмосферата што потсетува на игра! Компјутерот дава директни одговори на прашањата без да го посрамотува ученикот пред врсниците. Меѓутоа, постои опасност во вежбањето на компјутер ако наставниците прво не го развијат концептуалното разбирање за тоа што е множење и делење. Исто така, не е пожелно редовно да се користат овие вежби од страна на учениците за „откривање“ факти на компјутер, бидејќи тоа го попречува искуството во решавањето проблеми и богатата интеракција на заедницата меѓу учениците во училницата.

11. Направете го учењето на факти полесно преку охрабрување на учениците да користат повеќе стратегии на учење139!

a. Вежбајте само еден факт на ден!

б. Кажете го тој факт со различен глас (висок, низок, шепот, итн.)!

в. Водете сметка за научените факти за таблицата множење!

г. Работете наназад за да ги потенцирате тешките факти во 80-ки, 70-ки, 60-ки итн.

139 Стенмарк, Томсон и Коси (1986), стр. 108–110.

460

д. Концентрирајте се прво на фактите за бројот на квадратчиња!

ѓ. Вежбајте „слични факти“ за множење/делење заедно!

е. Користете картички за брзо вежбање само откако ќе ги научите фактите!

ж. Научете шеми во таблицата множење!

Стратегии во наставата за учење на алтернативни начини за решавање проблеми

Употребата на разни нагледни средства и техники на прашување е дел од следниве примери за наставни стратегии. Користевме ознаки или референти за сите квантитети за да ја нагласиме важноста што ја имаат во проблемите со множење. Може некогаш да не биде практично да се означува секој квантитет, но во тие случаи ќе зборуваме за референти.

КРАТОК ОПИС 1: Метод со редови за множење

Наставникот воведува проблемска ситуација пред одделението:

Џон одлучи да засади градина со зеленчук затоа што сака да јаде салата во лето. Тој засади редови со марула, кромид, трупки и домати. Колку растенија му требаат за да има 3 реда со 4 растенија во секој ред?

Ќе се развие општа дискусија на часот во која акцентот е ставен на разбирањето на проблемската ситуацијата. Дискусијата ќе се фокусира на информациите дадени во приказната, што е тоа што треба да се реши и кои чекори се потребни за да се дојде до решение. Треба да се посвети доволно време во оваа дискусија за да се развие добро разбирање за ситуацијата. Потоа лекцијата ќе се развие преку употребата на нагледни средства, како на пример копчиња, дискови или други единици, со акцент врз наоѓањето решенија преку разни методи.

Н = наставник Џ = Џери

Н: Кажи ми еден начин за решавање на овој проблем, Џери!

Џ: Составив 3 реда со 4 растенија (дискови или други средства) во секој ред.

Наставникот го задолжува Џери да го прикаже редот што го користел, кој му помогнал да го реши проблемот:

461

O O O O

O O O O

O O O O

Наставникот може да го именува овој модел како „ред“ и да го напише зборот ако дотогаш не бил воведен на час. Децата може да забележат дека еден ред е составен од еднаков број на колони и редови што ја претставува ситуацијата за множење. Овој формат е одличен начин за да го видат учениците големиот ефект што може да го создаде множењето. Повеќето деца размислуваат во рамките на собирање (на пр., 4 и 3 изнесуваат 7). Редот им овозможува да го визуелизираат и да добијат 12 при користењето на 3 и 4 во ситуација со множење.

Техника што прави побрз премин кон делење е употребата на кутија ред, која го поставува моделот за множење/делење вака:

x 3 (домати)

4 O O O

(реда) O O O

O O O

O O O

Кутијата ред има вертикална линија и хоризонтална линија со евентуална ознака „пати“ во аголот (што ја поттикнува идејата за множење). Ученикот го запишува соодветниот број на секоја страна, означувајќи го бројот на предмети во колоната што оди надолу и во редот што оди надесно. Преку прашања, наставникот ги води учениците да забележат дека O во горниот лев агол претставува елемент и од хоризонталниот и од вертикалниот ред. Со користењето на овој модел, наставникот може да ги наведе учениците да разберат дека 3 реда од 4 во оваа приказна може да го дадат истиот одговор како и 4 реда од 3 во слична ситуација. Споредбата на овие две поставувања е препорачлива, како и воведувањето на поврзани факти. Тогаш на учениците може да им бидат претставени разни начини на писмено претставување на множењето со помош на моделот со редови:

462

x 4 x 3 12 12 3 O O O O 4 O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O 3 x 4 = 12 4 x 3 = 12 4 3 x 3 x 4 12 12

34

12 43

12

КРАТОК ОПИС 2: Метод со редови за делење

Начинот на решавање со редови може да се употреби за решавање проблеми со делење на следниов начин:

Господин Фолгер има 42 клупи на часот по музичко. Колку редови може да состави ако има по 7 клупи во секој ред?

По групна дискусија за претставените информации во проблемската ситуација, учениците ќе ги употребат своите нагледни средства за да најдат решение за овој проблем. Наставникот ќе повика еден ученик да го прикаже своето решение на проектор пред останатите ученици.

Н = наставник E = Еун

Н: Еун, гледам дека употреби ред за да го решиш проблемот. Како?

E: Направив редови со 7 клупи. Продолжив да составувам редови додека не ги искористив сите клупи.

Таа почнува да демонстрира, составувајќи ред по ред:

X X X X X X X

X X X X X X X

X X X X X X X

X X X X X X X

X X X X X X X

X X X X X X X

463

Н: Па, колку редови може да состави господин Фолгер за часот по музичко?

E: 6 редови со клупи.

Одделението запишува:

42 клупи ÷ 7 клупи = 6 редови

Може исто така да запишат:

x 6 редови

7 42 клупи

КРАТОК ОПИС 3: Користење на дистрибутивното својство во наставата за множење

Користењето на методот со редови за структурите за множење може да доведе до инвентивни решенија низ имплементацијата на дистрибутивното својство. Еден начин за нагласување на ова својство е да им се дозволи на учениците да пронајдат редови во редови за множење и делење. На пример, ако учениците се запрашани да најдат одговор на одреден проблем вклучувајќи го основниот факт 3 x 8, тоа може да се претстави на следниов начин:

Розмари многу сака гуми за џвакање со вкус на овошје. Таа ги џвака постојано, така што мора секогаш кај себе да има многу гуми. Вчера таа појде до продавница да си купи од омилените гуми за џвакање. Колку парчиња гуми за џвакање со вкус на овошје има Розмари ако купи 3 пакувања со 8 парчиња во секое пакување?

Откако учениците ќе ја завршат дискусијата за ситуацијата и ќе одлучат да ја употребат равенката 3 x 8 = ?, нагледните средства може да се прикажат на проектор на следниот начин:

x 8 гуми за џвакање

O O O O O O O O

3 пак. O O O O O O O O

O O O O O O O O

Групната дискусија може да ја води наставникот со цел да им дозволи на учениците да откријат одговор на проблемот преку размислување за тоа

464

кои други редови се содржани конкретно во овој. Учениците може да бидат задолжени да нацртаат кутии со редови од редовите што се наоѓаат на овој модел 3 x 8. Како пример, учениците може да видат два реда 3 x 3 и еден ред 3 x 2. Со помош на маркер ова може да се нацрта на табла, така што ќе се демонстрира дистрибутивното својство:

x 8 гуми за џвакање

3 O O O O O O O O

O O O O O O O O

O O O O O O O O

3 x 3 3 x 3 3 x 2

9 + 9 + 6 = 24

Наставникот ќе ги извлече резултатите од секој од подредовите (на пр., 3 x 3 = 9) и ќе ги запише броевите внатре во самите редови. Ова ќе претставува поконкретна врска отколку запишувањето на писмениот поим на хартија.

Наставникот и учениците може да согледаат, да дискутираат и да запишат:

3 x 8 = 3 x (3 + 3 + 2)

3 x 8 = (3 x 3) + (3 x 3) + (3 x 2)

Наставникот мора да привлече внимание при употреба на знаците + во овие случаи. Тоа го прави преку прашувањето што претставува помалиот ред – деловите на целото – и како тоа се поврзува со користењето на знакот за собирање. Учениците често мислат дека знакот x (пати) се користи за сè.

Проблемот може да се претстави со нагледни средства и да се запише на следниов начин:

3 x 8 = (3 x 3) + (3 x 3) + (3 x 2)

3 x 8 = 9 + 9 + 6

3 x 8 = 18 + 6

18 + 6 = 24

3 пакувања x 8 парчиња гуми за џвакање = 24 парчиња гуми за џвакање.

465

Други можни редови што учениците може да ги состават се:

3 x 8 = (3 x 4) + (3 x 4)

3 x 8 = 12 + 12

3 x 8 = 24

3 x 8 = (3 x 2) + (3 x 2) + (3 x 2) + (3 x 2 )

3 x 8 = 6 + 6 + 6 + 6

3 x 8 = 12 + 12

3 пакувања x 8 парчиња гуми за џвакање = 24 парчиња гуми за џвакање.

Ова е особено корисен начин на решавање кога учениците работат со потешки бројни изрази. Тие може да разложуваат и повторно да составуваат, што го подобрува разбирањето за броеви. Дистрибутивното својство им дозволува на учениците да ја користат логичната процедура наместо стандардниот алгоритам каде што логичноста често се заборава.

КРАТОК ОПИС 4: Употреба на дистрибутивното својство во наставата за делење

Дистрибутивното својство им дозволува на учениците да градат од факти што ги знаат со цел да го најдат одговорот на потежок проблем.

Се претставува ситуација за која се дискутира во детали така што учениците може да ја разберат. Може да се користат нагледни средства, како копчиња или дискови:

Продавницата Кауфман донираше 96 јарди материјал за нашата претстава на час за античка Македонија. Прочитавме дека за тоги ни требаат 6 јарди материјал. Колку тоги може да се направат од материјалот дониран од Кауфман?

Наставникот може да се зафати со проценки и умствена математика преку прашување на учениците, пред тие да почнат да работат со нагледни средства и пишани поими, дали сметаат дека може да се направат тоги за повеќе од 10 или помалку од 10 ученика. Тие мора да го оправдаат својот избор. Наставникот може да им ја открие врската на нивната проценка со фактот 6 x 10. Бидејќи 60 е малку помалку од 96, тогаш разумно е дека материјалот ќе обезбеди повеќе од 10 ученика со тоги.

Со помош на редови, наставникот може да ги води учениците во развивање на дистрибутивното својство за проблемот со делење: 96 ÷ 6

466

Во дијалогот што следува Н стои за наставник, а У стои за ученик.

Н: Некогаш нема да имаме доволно нагледни средства за поставување на проблеми со делење на поголеми броеви. Може нема да сакаме да ги цртаме сите делови за да го откриеме решението. Па како ќе најдеме пократок начин да го решиме овој проблем? (Помогнете им на учениците да се сетат на дистрибутивното својство што го користеле за решавање на проблеми со множење, ако никој не се сети на тоа!)

У: Може да почнеме со факт што го знаеме.

Н: Кажи ми познат факт што може да се поврзе со нашата приказна!

У: 6 x 4 = 24.

Во овој момент ученикот или наставникот може да го поврзе ова со 24 ÷ 6 = 4. Ако ни требаат 6 јарди материјал за една тога, тогаш за 4 тоги ни требаат 24 јарди. Па 24 јарди материјал може да се поделат за да се добијат 4 тоги.

Наставникот ќе ги наведе учениците да разберат кој факт е најсоодветен за приказната, фокусирајќи се на 6 јарди материјал за една тога.

Н: Џенифер, зошто не дојдеш овде да ни покажеш како може ова да се запише?

Џенифер запишува: 96 ÷ 6 = (24 − 6)

Н: Зошто стави големи загради?

Џ: Тоа покажува дека 24 јарди се само дел од 96 јарди.

Н: Од тие 24 јарди, колку тоги?

Џ: Има четири 6-ки во 24, значи 4 тоги.

Џ: Продолжи!

Џ: Има уште 24 јарди.

96 ÷ 6 = (24 ÷ 6) + (24 ÷ 6) +

Н: Колку јарди употреби сега?

Во овој момент часот може да заземе неколку тека, во зависност од способноста на учениците. Таа може да запне и да не го види редот со 96

467

нацртан со две 4-ки по 6 реда внатре. Ова ќе и овозможи да види дека може да нацрта повеќе 4-ки по 6 реда.

Потоа Џенифер може да нацрта уште две 4-ки по 6 реда на моделот. Нејзиниот цртеж и писмен запис може да изгледаат како следново:

× ? 96

• • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • •

6 • • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • •

24 24 24 24

96 ÷ 6 = (24÷6 )+ (24÷6) + (24÷6) + (24÷6)

96 ÷ 6 = 4 + 4 + 4 + 4

96 ÷ 6 = 8 + 8

96 ÷ 6 = 16

Друга варијанта е дека таа може да препознае израз 6 x 8 и да напише:

96 ÷ 6 = (24 ÷ 6) + (24 ÷ 6) + (48 ÷ 6)

96 ÷ 6 = 4 + 4 + 8

96 ÷ 6 = 8 + 8

96 ÷ 6 = 16

96 јарди материјал ÷ 6 јарди/тога = 16 тоги

Наставникот треба да им помогне на учениците да откријат дека користењето поголеми факти што им се познати е поефикасен начин за решавање. Корисно е учениците да научат да размислуваат со поголеми делови и да користат содржатели на 10 или 100. Ова се однесува на развивање подобри вештини за проценки, како и на утврдување на рабирањето за броеви.

468

Горенаведениот проблем може да се претстави на друг начин со цел да се нагласи употребата на содржатели на 10. Наставникот може да постави воведни прашања за да го започне процесот на делење и проценка: „Може ли да земеме 10 групи од 6? 20 групи од 6? Која е најголемата група од 6 што ја знаете?“ Последното прашање обично завршува со одговорот 6 x 10 = 60. Учениците ќе почнат да увидуваат дека одговорот ќе биде помеѓу 10 и 20 бидејќи 6 x 10 = 60 и 6 x 20 = 120, а 96 се наоѓа помеѓу 60 и 120. Редот со 96 може сликовно да се прикаже како ред со 6 x 10 плус ред со 6 x 6 како подолу:

X 6 x 10 + 6 x 6

• • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • •

6 • • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • •

Со помош на редот 6 x 10 и дистрибутивното својство може да се развие следниов писмен запис:

96 ÷ 6 = ?

96 ÷ 6 = (60 ÷ 6) + (36 ÷ 6)

96 ÷ 6 = 10 + 6

96 ÷ 6 = 16

Сликовните редови може да се опишат вака:

X 10 + X 6

6 60 6 36

Ова може појасно да им илустрира на учениците дека 60 + 36 = 96. Тоа исто така го отсликува процесот на делење. Важно е да се навратиме назад кон приказната за да дадеме значење на тоа што претставува 16:

96 јарди материјал ÷ 6 јарди/тога = 16 тоги.

469

Оваа активност може да се прошири со прашување колку јарди материјал се потребни за обезбедување тоги за целото одделение составено од 25 ученици. Ова претставува можност да се размислува пропорционално.

Продавницата Кауфман донираше 96 јарди материјал за нашата претстава на час за античка Македонија. Прочитавме дека за една тога ни се потребни 6 јарди материјал. Колку јарди материјал ни се потребни за обезбедување тоги за целото одделение составено од 25 ученици?

Наставникот може да почне со проценки и умствена математика прашувајќи ги учениците дали сметаат дека одговорот е повеќе или помалку од 100 јарди материјал. Учениците нека го оправдаат својот избор. Нека ја откријат врската на нивната проценка со резултатот на 6 x 10. Бидејќи 6 x 10 = 60, а за 25 тоги треба двојно од таа сума, крајниот одговор треба да биде повеќе од 100 јарди.

Почнете да ги ставате броевите наведени од учениците во табела, илустрирајќи ја пропорционалната врска помеѓу броевите.

Тоги Јарди

1 6

10 60

20 120

Преку оваа табела наставникот ќе ја извлече од учениците врската за множење во склоп на пропорцијата. Оваа врска „6 пати“ може да се примени на 10. Тоа може да се прикаже како

61

= ?

20

Дискусијата исто така може да се фокусира на разните начини за добивање на вкупниот број потребен за 25-те ученика.

Назначете дека графиконот прикажува дека на 20 ученици им требаат 120 јарди материјал за нивните тоги! Прашајте уште на колку ученици им требаат тоги, и како може да одредат уште колку јарди се потребни! Назначете дека е потребен материјал за уште 5 ученика! Учениците може да предложат неколку различни методи за да го добијат вкупниот број јарди материјал:

470

1. За да се добие сумата материјал за уште 5 ученика, размислувајте како што направивме за да ја добиеме сумата за 20! За да дојдеме од сумата потребна за 1 ученик до таа потребна за 5 ученика, помножете со 5!

61 =

?5 =

jardi ucenici

305

Сега додајте 30 кон претходните 120 јарди! Ви требаат 150 јарди.

2. Преполовете ја сумата за 20 ученика за да ја добиете потребната сума за 10 ученика!

2120220÷÷ =

6010

260210

÷÷

yards students =

yards students305

3. Искористете го односот 1:6 (сумата потребна за еден ученик) и помножете ја со бројот на ученици!

251 student =

1256 yards

4. Помножете со 6 јарди (потребна сума за секој ученик)!

1 ученик 5 ученици

x 6 x 6

6 јарди 30 јарди

Ова е добра можност за наставникот да ја нагласи важноста на операторите во рамките на пропорционалното размислување.

Комплетирајте ја пропорционалната табела и поврзете ја назад со приказната како процедура за извлекување логика за одговорот.

471

КОРИСТЕЊЕ ТЕКОВНИ ПРОЦЕНКИ ЗА НАСТАВАТА

Не можеме да обезбедиме детален третман на проценка овде. Меѓутоа, станува евидентно дека кога наставниците прават значајни промени во начинот на кој предаваат, тие мора да го променат и начинот на кој проценуваат. Во спротивен случај, има постојан конфликт помеѓу тоа што го добиваат како соодветни наставни цели и инструментите за проценување што проверуваат нешто друго. Ова поглавје дава основни информации за тоа што се случува во полето на проценки во математиката генерално и нуди предлози за алтернативни методи на евалуација, кои може да влијаат врз наставата што е заснована на пристапот на Математика со размислување .

ОСНОВА И ПРАШАЊА

Оценувањето секогаш било составен дел од училишното искуство. Иако учениците, едукаторите и јавноста имаат различни потреби и очекувања во поглед на тестирањата, тие сепак делат заедничка желба за фер и ефективна евалуација. Постојат многу причини за оценување на учениците140:

да се информираат родителите како им напредуваат децата; да се одреди колку од наставните цели на одредени програми се исполнуваат;

да се даде приказ на промена во текот на одреден временски период; да се насочи наставата преку посочување на изворот за грешките што ги прават учениците;

да се најдат предностите и слабостите на учениците; да се изберат и постават учениците во посебни програми или напредни одделенија;

да се изберат и постават ученици во колеџ-програми; да се процени општиот степен на знаење на учениците.

Соодветноста од користењето тестови на сите горенаведени начини зависи од правењето проценка што е адекватна мерка за овие цели. Не е потребно да се каже дека користењето на овие тестови за соодветност и селекција е екстремно комплексна работа. Постои дури широка дебата дали тие воопшто треба да се практикуваат. Како што може да се предвиди, овие тестови може да извршат силно влијание на училишната наставна програма – некои сметаат дека ригорозната евалуација може да ги подигне стандардите за образование, додека други сметаат дека наставата може, за жал, да се ограничи на темите опфатени на тестот141.

140 Лајнхарт (l983); Лестер и Крол (1991); НСНМ (l989); Ресник и Ресник (1992).

141 Видете Мичел (1992) за подетална дискусија за овие прашања.

472

СТАНДАРДИЗИРАНИ ТЕСТОВИ

Стандардизираните тестови потекнуваат од желбата да се биде фер кон сите ученици, оценувајќи ги сите нив со истиот иструмент и на ист начин со „јасни, оправдани и доследни стандарди“142. Една цел на овие тестови е да се заштити детето од предрасуди (карактер, раса, пол) од страна на наставникот. Стандардизираните тестови можат да обезбедат општо учество на математичкото знаење на учениците во разни региони, но знаењето е конкретно поврзано со прашањата и видот на бараниот одговор (обично избор на повеќе одговори) на дадениот тест. Овие тестови даваат малку информации за тоа како учениците размислуваат или мислат или дали ученикот го научил она што било нагласено на час. Тие можат да мерат краткотрајно паметење наспроти вистински „навики на умот“ што не може да се увидат со еден тест143. Стандардизираните тестови може да дадат повеќе информации за целите отколку за самите ученици. Се поставија многу прашања за адекватноста на овие тестови во нивната сегашна форма и за погрешната употреба на нивните резултати. Тие се проценети како предубедувања, несоодветен избор од она што се учи во наставната програма и, генерално, погрешно се употребени за означување училишта и ученици. Овие прашања изгледа дека имаат добра основа. Повеќето тестирања се засновани на надмината верзија на учење теорија и на надминат модел на училиштата како институции144.

И покрај фактот што пристапот на Математика со размислување не е добар избор за целите на стандардизираните тестови, прелиминарните информации собрани од училниците што ја применуваат Математика со размислување укажуваат дека резултатите на стандардизираните тестови не се намалиле како последица на ставањето различен акцент и применувањето различни наставни стратегии145. Всушност, во многу случаи, резултатите се подобриле146.

ТЕКОВНО ОЦЕНУВАЊЕ ВО РАМКИТЕ НА МАТЕМАТИКА СО РАЗМИСЛУВАЊЕ

Оценувањето исто така има примено ново значење на ниво на час. Така, наставата и оценувањето се сметале за одделни работи. Соодветен начин, според ова гледиште, е да се предадат неколку лекции од понеделник до четврток и да се направи тест во петок. Сегашните реформи повикуваат

142 Вигинс (1989), стр. 704; исто така видете Мичел (1992), Поглавје 7.

143 Вигинс (1989), стр. 706.

144 Л. Ресник, обраќање на Работилницата за проект на нови стандарди (Сноумас, Коло), јули 1991 год.

145 Хојнаки и Гроувер (1991).

146 Ресник, Бил и Лесголд (во печат).

473

на поврзување на наставата и оценувањето. Сите наставни активности треба да обезбедат информации за наставниците и учениците заедно за да се постигне успех и напредување на учениците во разбирањето на научените концепти. Потоа овие информации треба да ја водат понатамошната настава. Токму за овој аспект на оценување зборуваме во рамките на Математика со размислување.

Училницата што ја практикува Математика со размислување, во која флексибилноста и математичката дебата се вреднуваат, не е место за евалуација што мери учење напамет или одделни вештини. Напротив, оценувањето треба да одговара на стилот и содржината на наставата, предизвикувајќи ги учениците да размислуваат за математиката. Самото ефективно тестирање е искуство на учење. Овој вид оценување ја води наставата. Информациите добиени преку честото оценување треба да послужат како основа за добро осмислено планирање на наставата, за дијагностицирање и реакција, како и за евалуација на учениците147. Учениците исто така имаат корист кога ќе го проценат сопствениот напредок. Тековното оценување од овој вид е многу различно од традиционалното „тестирање“, и во поглед на методот и во поглед на целта.

Пристапот на Математика со размислување за наставата им нуди на наставниците корисни начини за да определат што знаат учениците, како и колку ефективно тоа можат да го применат и да комуницираат со своето математичко знаење. Иако постојат многу типични објаснувања за многу чекори од решавањето проблеми, ние очекуваме дека учениците ќе бидат предизвикани исто така да користат креативни математички аргументи за да ги поддржат сопствените процедури.

Учениците може да бидат способни да следат меморирана процедура за да решат некој проблем, но од друга страна да не бидат способни да црпат од концептуалното знаење за да ја претстават или објаснат истата ситуација148. Оценувањето на процесот на решавање, наместо само одговор, ги открива пропустите во знаењето и исто така ги поддржува напорите на учениците. Преку обезбедување делумна поддршка, се влева доверба во идејата дека напорната работа носи успех наместо во идејата дека не е прифатливо ништо помалку од совршенство.

Едно истражување утврдило дека периодичните испрашувања комбинирани со можноста да се користат нагледни средства за претставување решенија и опишување на математичкото размислување довеле до значајно подобрување во разбирањето на математичките

147 Брајарс и Томсон (1990); Национален совет на наставници по математика (l989).

148 Пек, Џенкс и Конел (1989).

474

идеи149. Овие резултати ги потврдуваат препораките содржани во Принципи и стандарди за математика на училиште дадени од страна на НСНМ150 и приодот кон наставата претставен во Математика со размислување. Разговорите за математика помеѓу наставникот и ученикот исто така даваат можност за пристап до знаењето на ученикот. Кемперт изложува примери за сопствената интеракција со ученици од одделенија во основното образование каде што таа ја имала улогата на тренер и помагач на учениците во развивањето на сопствени решенија и во поткрепувањето на тие процедури со математички аргументи151. Свеста за „размислувањето“ на учениците помага во идентификување на тие моменти во наставата, кога се постигнуваат наставните цели. На пример, кога учениците изразиле разбирање дека нивната цел (во делење) „се доближува до одговорот со најмалку пресметки“, таа знаела дека почнале да користат пропорционално размислување како алатка за решавање на тие проблеми.

Когнитивно барање

Од многу причини, оценувањето на час, формално и неформално, традиционално се фокусира на знаење што може брзо да се евалуира. Ова води кон брза проверка на одговори со пресметки и на прашања што може брзо да се одговорат. Иако ова може да донесе некои корисни информации, тоа е недоволно бидејќи не вклучува друго знаење освен процедуралното. Ниту пак обезбедува некакви значајни информации потребни за понатамошно планирање на наставата.

Главен фактор што недостасува во практичната работа на наставниците е разбирањето за тоа какви видови задачи всушност може да доведат до повисок или понизок степен на мисловната активност на учениците. Тие што го имаат ова разбирање може да направат подобро оценување на дневна основа за тоа што знаат или не знаат нивните ученици. Особено корисен обид во овој поглед претставува Проектот QUASAR за математика во средните одделенија. Нивната работа е применлива на сите нивоа. Го анализира когнитивното барање – што се бара од страна на тој што го решава проблемот. Водичот за анализа на задачи152 ги наведува следниве карактеристики.

149 Пек, Џенкс и Конел (1989).

150 НСНМ (2000).

151 Лемперт (1992).

235 Стајн, Смит, Хенигсен и Силвер (2000).

475

ПОНИЗОК СТЕПЕН НА БАРАЊА

Задачите за меморирање:

вклучуваат или бараат репродукција на предходно научени факти, правила, формули или дефиниции, или меморирање на факти, правила, формули или дефиниции;

не можат да бидат решени со примена на постапки, бидејќи не постои постапка или пак времето што е на располагање е премногу кратко за да се примени постапка;

се многу јасни – ваквите задачи бараат прецизна репродукција на предходно виден материјал, и она што треба да се репродуцира е јасно наведено;

не се поврзани со концептите или значењето освен со фактите, правилата или дефинициите што се учат или репродуцираат.

Процедурите без поврзување:

се алгоритамски; поставуваат ограничено когнитивно барање за успешно завршување; мала е нејасноста околу тоа што и како треба да се направи;

не се поврзани со концепти или значење на кои се базира процедурата што се користи;

се фокусираат на давање точен одговор наместо на развивање на математичко разбирање;

во нив користењето постапка е или конкретно побарано, или нејзиното користење е очигледно поради претходните инструкции, искуството или поставеноста на задачата;

не бараат објаснувања, или се даваат објаснувања што се поврзани единствено со процедурата што треба да се искористи.

ПОВИСОК СТЕПЕН НА БАРАЊА

Задачите со процедури со поврзување: го фокусираат вниманието на учениците на користење постапки со цел развивање на подлабоки нивоа на разбирање на математичките концепти и идеи;

сугерираат дадени насоки за следење (експлицитно или имплицитно), кои се пошироки – општи постапки што се тесно поврзани со главните концептуални идеи за разлика од построгите алгоритми, кои, пак, се понејасни во поглед на концептите во задачата;

вообичаено се прикажани на разни начини (визуелни дијаграми, помагала, симболи, проблемски ситуации); поставувањето на врските меѓу различните претставувања помага во развивањето на значењето;

476

бараат одреден степен на когнитивен напор. Иако општите процедури може да се следат, тие не може да се следат без размислување. Ученикот треба да се ангажира со концептуалните идеи што се однесуваат на постапките за да може успешно да ја заврши задачата и за да развие разбирање.

Математичките задачи: бараат сложено и неалгоритамско размислување (на пр., не постои предвидлив, добро извежбан пристап или насока што е експлицитно дадена со задачата, со инструкциите за задачата или изработен пример);

бараат од ученикот да ја испита и разбере природата на математичките концепти, постапки и односи;

бараат од ученикот негово сопствено надгледување на когнитивните процеси;

бараат користење на соодветно знаење и искуства и нивно правилно користење во работењето на задачата;

бараат од учениците да ја анализираат задачата и активно да ги испитаат ограничувањата на задачата што можат да ги попречат можните стратегии и решенија;

бараат значителен когнитивен напор и можат да предизвикаат одредено ниво на напнатост кај ученикот поради непредвидливата природа на процесот за доаѓање до решението.

Овие описи треба да го водат не само оценувањето туку и изборот на наставни задачи.

Нетрадиционално оценување

Има неколку форми на оценување што почнуваат да се користат со намера да се добие појасна слика за постигнувањата од онаа што ја овозможува тест со избор на прашања или пак тест што се оценува единствено преку „точни одговори“. Иако треба да им се пристапи со претпазливост, овие алтернативни пристапи се во согласност со истражувањето што вели дека вистинското знаење не доаѓа во одделни делови и со новоразвиените сфаќања за тоа што значи да се знае математика. „Сега знаеме дека знаењето е способност да се извршуваат целосни, комплексни задачи вметнати во ситуации. Начинот на кој учиме е целосно поврзан со тоа што ќе научиме“153. Така, давањето задачи на децата фокусирани на ситуации обезбедува соодветно средство за оценување на нивната способност да применат и да поврзат знаење. Директното набљудување во овој поглед може да доведе до значајна евалуација.

153 Л. Ресник, обраќање на Работилницата за проект за нови стандарди (Сноумас, Коло), јули 1991 год.

477

ОЦЕНУВАЊЕ ИЗВЕДБА

Една форма за нетрадиционално оценување што вклучува ученици во такви активности се вика „оценување изведба“. На учениците им се дава можност за анализа, објаснување и решавање проблеми додека се запознаваат со задачата, проблемот или истражувањето, и се надгледуваат додека ја изведуваат задачата154. „Оценувањето изведба ... соодветно развиено и имплементирано ... овозможува солидно мерење на размислувањето по предметите што се изучуваат во училиштето. Тоа нуди начин да се ослободат наставниците од притисоците на одделни форми со ниски степени на учење, на крајот дополнети со тестови. Тие исто така може да постават позитивни стандарди за образовен систем чија цел е да го развива размислувањето“155.

ДРУГИ АЛТЕРНАТИВИ

Се користат многу други алтернативи на традиционално тестирање. Изведените прашања со избор на повеќе одговори дозволуваат ефективно оценување, но бараат размислување од учениците наместо само едноставна пресметка. Пример е следниов проблем156:

×

Петте броеви – 1, 2, 3, 4 и 5 – се поставени во кутиите погоре за да состават проблем со множење. Ако се поставени да го дадат максималниот резултат, резултатот ќе биде некаде помеѓу:

A. 10,000 и 20,000

Б. 22,001 и 22,300

В. 22,301 и 22,400

Д. 22,401 и 22,500.

(Точниот одговор е В.)


155 Ресник и Ресник (1992), стр. 72.

156 Оддел за образование во Калифорнија (1991).

478

Друг извор на информации за тоа дали учениците може да ја применат математиката доаѓа од проширените истражувања каде што учениците собираат и толкуваат информации од вистинскиот живот.

Веруваме дека овие алтернативни средства за оценување се не само погодни за употреба во училницата што ја применува Математика со размислување туку се и суштински за помош во реализирањето на наставата. Меѓутоа, мора да потенцираме дека, затоа што овие видови оценување се релативно нови, постојат малку информации за тоа колку се ефективни во добивањето подобра наставна практика и поздраво учење. Исто така, стандардите за евалуација со помош на овие алатки во моментов се во фаза на развој.

КОРИСТЕЊЕ ТЕКОВНО ОЦЕНУВАЊЕ ВО ТЕКОТ НА НАСТАВАТА

Математика со размислување треба да оцени што се вреднува според замислата на проектот на тековна основа и да вклучи разни стратегии за собирање информации за одделни ученици и групи157.

Фокус на оценување

1. Фокусирајте се на стратегии на решенија и концептуално разбирање, како и на одговори!

a. Проценете дали процедурата на решение е поврзана со ситуацијата!

б. Проценете дали ученикот може да ја претстави ситуацијата на истиот начин!

в. Понудете докази за разбирање за броеви!

г. Оценете ја способноста за опишување и докажување!

д. Не давајте временски тестови! Одредете дали ученикот компетентно ги совладува фактите при решавање на проблемите!

ѓ. Со тестови на хартија учениците нека ја прикажат својата работа и нека пишуваат за своите решенија или нека вклучат илустрации!

е. Дајте делумно признание за знаење ако ученикот соодветно се истакне наместо никакво признание поради мала грешка или нецелосно знаење!

157 Некои од предлозите во овој дел се преземени од мала но детална брошура на Советот за математика на Калифорнија и проектот EQUALS (Стенмарк, 1989). Други доаѓаат од Кларк, Кларк и Ловит (1990); Диксон, Хоул и Леинвонд (1991); и од Одделот за образование на Вермонт (1991).

479

ж. Оценете ги процесите на добивање решенија, наместо одговорите, за да откриете дали компетентноста е придружена со разбирање!

2. Вршете континуиран преглед за знаењето на учениците како неформален дел од наставата што претставува извор за планирање на наставата158!

3. Избегнувајте да ги судите одговорите на учениците само според вашиот начин на размислување!

Методи на проценка

1. Неформално надгледувајте ги учениците додека работат заедно или пак индивидуално!

a. Креирајте преглед на вреднувани вештини што се користат во одреден временски период на систематски начин!

б. Надгледувајте како учениците ја применуваат математиката во други области од наставната програма159!

в. Водете графикон, како тој што е даден подолу, на кој може да запишувате забелешки или непредвидени проблеми што се појавуваат на час160!

ДЕТЕ УВИД/ПОТРЕБА

Шила Користена компензација.

Енди Го заменува 81 со 18.

Трејси Броење десетки како единици

г. Употребете техники на испрашување за време на редовните часови за да го испитате степенот на разбирање!

д. Составете и користете отворени прашања низ наставата!

2. Користете оценување изведба!

158 Брајарс и Томсон (1990).

159 Лемперт (1992); НСНМ (1989), стр. 197.

160 Кларк, Кларк и Ловит (1990).

480

a. Побарајте од учениците да извршат вистински задачи (на пр., пример или замислување ситуација од вистинскиот живот)!

б. Побарајте од учениците да го објаснат своето размислување!

3. Користете белешки!

a. Користете белешки како доказ за напредокот на ученикот со тек на време!

б. Соберете неколку примери за работа на одреден концепт наместо да се потпирате на еднодневна работа!

в. Вклучете писмен разговор или објаснување на решенијата, како и одговори од наставникот за проблемите наведени од учениците!

г. Учениците нека ја оценат својата работа, објаснувајќи го оценувањето по одделни чекори!

д. Размислете дали да воведете неделни дневници во кои учениците ќе ги запишуваат своите мисли за најважните работи што ги научиле во текот на неделата, за што им треба помош, проблем што сакаат да се решава на час и така натаму!

4. Користете испрашување на учениците! Испрашувајте ги учениците за одредени решенија преку тестови на хартија за да соберете покорисни информации за нивното разбирање!

ПРИСПОСОБУВАЊЕ НА ВРЕМЕНСКАТА РАМКА ЗА ВОВЕДУВАЊЕ НОВИ ТЕМИ

Уште еднаш ја ставаме настрана идејата за строга математичка хиерархија што се користеше долго време за да го ограничи она што им се предава на децата и продолжуваме со ставот дека тие имаат интуиција што им овозможува да научат многу повеќе и многу побрзо отколку што се очекува.

Иако сите истражувачи не се согласуваат кога учениците треба да почнат со решавање проблеми за множење161, постојат многу докази дека учениците можат да почнат да ги совладуваат овие концепти уште во раното образование. Иако множењето и делењето генерално беа резервирани за ученици во трето и четврто одделение (со едноцифрени

161 Мерилин Брнс (1991) вели дека наставниците чекаат со воведување на концептите за делење преку искуствата со решавање проблеми до почетокот на трето одделение.

481

множители и делители), Вики Бил има постигнато успех при предавање на овие концепти на ученици од прво и второ одделение во контексти на решавање проблеми162. Во прво одделение на учениците им биле давани проблеми со дропки фокусирани на една половина два пати неделно и секој ден при крајот на годината. Второодделенците совладувале дропки и пропорции, степенување нагоре и надолу и проблеми со делење со помош на еднакви групи и редови.

Програмата за детална математика во училиштата во Калифорнија (ПДМУК) исто така го воведува делењето на ниво на прво одделение преку проблемски ситуации163. Децата се запрашани да ги испитаат различните начини за поделба на 12 чоколада164. Оваа активност го гради интуитивното разбирање на децата за поделба на работи на одредена група. Првоодделенците обезбедуваат решенија за проблемот, и тоа очигледно пред да го научат алгоритамот за делење.

Штеф покажува дека седумгодишните деца може да развијат сопствени интуитивни алгоритми за решавање на проблеми со множење165. Кајрен прикажува работа со деца на возраст од 7 и 8 години, кои биле способни да решаваат задачи што вклучувале поделба на 3 пици на 7 луѓе (и на двајца) и знаеле како да поделат 9 пици на 6 луѓе166. Па така, тие почнале со приказ на форми (на пр., инсистирајќи на обележување на питата со Y за да ја поделат на 3 дела; или пак користење на старо искуство и преполовување на 3-те парчиња и делење на 3 половинки на секој од 6-те луѓе), но стигнале до поважно разбирање (одлучувајќи прво да поделат цела пита на секого и само преполовувајќи ги останатите 3 во проблемот „9 за 6“). Куба ги има простудирано процесите за решавање проблеми на младите деца во структурите за множење167. Нејзината работа укажува на потребата да им се обезбедат алатки на младите деца за претставување на овие ситуации. Кога нема нагледни средства на располагање, учениците од прво и второ одделение интуитивно ги користеле своите прсти за да бројат и да го пресметаат одговорот. Тие исто така биле подобри со цртежите отколку со умствената математика кога немале на располагање нагледни средства и хартија и пенкала.

162 Видете Математика со размислување 1.

163 Лекциите од Програмата за детална математика се сметаат за примери на денешното гледиште за улогата на решавањето проблеми во наставата по математика од прво до шесто одделение. E. A. Силвер, лична комуникација, јуни 1990. АФТ/ЛРДЦ работилница.

164 Програма за детална математика во училиштата (1981), стр. 1.

253 Штеф (1990).

166 Кајрен (1990).

167 Куба (1990).

482

Пиџет забележал дека, на возраст од девет години, децата почнувале систематски да ги применуваат врските во процесот на множење со пропорционалните проблеми168. На возраст од 12 години, американските деца „почнувале да ги земаат предвид својствата за множење на броеви при изведувањето слични судови ... во врска со равенки и степенување со 2“169. Четвртоодделенците се способни за пропорционално размислување, но се посклони да користат собирање170. Се поставува прашањето дали децата ќе бидат побрзо способни за такво размислување ако училишната настава порано вклучува множење и пропорционално размислување.

УЧЕСТВО НА НАСТАВТА ВО ПРИСПОСОБУВАЊЕТО НА ВРЕМЕНСКАТА РАМКА ЗА ВОВЕДУВАЊЕ НОВИ ТЕМИ

Слабеење на хиерархијата во градење на разбирањето за групи

1. Учениците нека избројат неколку поклопувања, како прстите на една рака (серија од пет), три тркала (серија од три) итн., за градење на концептуалното знаење за броење, како и разбирање за повторливи структури на собирање (собирање групи на работи)!

2. Претставете ситуации со множење и делење од сопствените искуства на учениците, почнувајќи од првоодделенците!

3. Воведете пропорционално разбирање пред наставната програма формално да го одреди поимот пропорции!

Готовност за познати ситуации или интуитивно разбирање

Искористете го интуитивното разбирање на учениците за собирање и пропорции што води кон вистинско размислување за множење!

Подготвеност за дополнување на материјалите од учебниците

Осврнете се кон Математика со размислување 1: Основи за дискусија околу употребата на учебници во наставата, затоа што истите грижи се однесуваат на наставата за структурите за множење!

168 Пиџет, Гриз, Земинска и Бенг (1977).

169 Ресник и Сингер (во печат), стр. 23.

170 Рико (1982).

483

Комуникација со родителите околу промена на наставата

Информирајте ги родителите за приспособувањата во временската рамка за да ги спречите негативните последици од страна на наставниците и учениците! Советувајте ги родителите за:

1. воведување на теми порано одошто претходно;

2. потребата да им се дозволи на децата да ги истражат алтернативните методи пред да ги научат традиционалните алгоритми;

3. фактот дека некои вештини што традиционално се учеле напамет ќе се појават подоцна од очекуваното, но дека тоа е природно кога учениците се здобиваат со вистинско разбирање и тоа не значи дека ќе заостануваат зад врсниците на крајот од годината; и

4. вашиот метод на оценување заснован на размислување, поврзување и комуницирање наместо меморирање, пресметка и еден точен одговор.

484

РЕФЕРЕНЦИAmerican Federation of Teachers (1983). AFT Educational Research and

Dissemination Program: Training Manual, Volume 2. Washington, D.C.: American Federation of Teachers.

Anghileri, J., & Johnson, D. C. (1988). Arithmetic operations on whole

numbers: Multiplication and division. In T. R. Post (Ed.), Teaching mathematics in grades K-8: Research-based methods (pp. 146-189). Boston: Allyn and Bacon.

Balacheff, N. (1990). Towards a problematique for research on mathematics

teaching. Journal for Research in Mathematics Education, 21(4), 258-272. Ball, D. (2000). Introducing the idea of reasoning and proof in lower grades.

Presentation at NCTM Annual Conference. Bell, A. (1989). Multiplicative word problems—Recent developments. In C.

Maher, G. Goldin, & R. Davis (Eds.), Proceedings of the Eleventh Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp. 198-204). New Brunswick, N.J.: Rutgers University Press.

Bell, A., Fischbein, E., & Greer, B. (1984). Choice of operation in verbal

arithmetic problems: The effects of number size, problem structure, and context. Educational Studies in Mathematics, 15(2), 129-147.

Bell, A., Greer, B., Mangan, C., & Grimison, L. (1989). Children's

performance on multiplicative word problems: Elements of a descriptive theory. Journal for Research in Mathematics Education, 20(5), 27-39.

Brégeon, J., & Dossat, L. (1996). Bon in maths CM 1. Paris: Nathan

Publishers. Bodenhausen, J., Denhart, N., Gill, A., Kaduce, M., Miller, M., Grover, B.,

Resnick, L., Leinhardt, G., Bill, V., Rauth, M., & Billups, L. (1991). Thinking Mathematics, Volume 1: Foundations. Washington, D.C.: American Federation of Teachers.

Briars, D. J., & Thompson, A. G. (1990). Assessing students' learning to

inform teaching: The message in NCTM's Evaluation Standards. Arithmetic Teacher, 37(4), 22-26.

Bright, G. W. (1986). One point of view: Using manipulatives. Arithmetic

Teacher, 33(6), 4-5.

485

Burns, M. (1991). Introducing division through problem-solving experiences. Arithmetic Teacher, 38(8), 14-18.

California Department of Education (1991). A sampler of mathematics

assessments. Sacramento: California Department of Education. Carpenter, T. (1986). Conceptual knowledge as a foundation for procedural

knowledge: Implications from research on the initial learning of arithmetic. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp. 113-132). Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

Carpenter, T. C., Fennema, E., Peterson, P. L., Chiang, C., & Loef, M.

(1989). Using knowledge of children’s mathematical thinking in classroom teaching: An experimental study. American Educational Research Journal, 26(4), 499-531.

Carpenter, T. P., & Moser, J. M. (1983). The acquisition of addition and

subtraction concepts. In R. Lesh & M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes (pp. 7-44). Orlando, Fla.: Academic Press.

Carraher, T. N., Carraher, D. W., & Schliemann, A. D. (1985). Mathematics

in the streets and in schools. British Journal of Developmental Psychology, 3, 21-29.

Charles, R. I., & Lester, F. K. (1984). An evaluation of a process-oriented

instructional program in mathematical problem solving in grades 5 and 7. Journal for Research in Mathematics Education, 15(1), 15-34.

Charles, R. I., & Silver, E. A. (Eds.) (1988). The teaching and assessing of

mathematical problem solving (Vol. 3). Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics.

Clark, H. H., & Chase, W. G. (1972). On the process of comparing sentences

against pictures. Cognitive Psychology, 3, 472-517. Clarke, D. J., Clarke, D. M., & Lovitt, C. J. (1990). Changes in mathematics

teaching call for assessment alternatives. In T. J. Cooney & C. R. Hirsch (Eds.), Teaching and learning mathematics in the 1990s: The 1990 yearbook (pp. 118-129). Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics.

Cobb, P., Wood, T., & Yackel, E. (1991). A constructivist approach to second

grade mathematics. In E. von Glaserfeld (Ed.), Radical constructivism in mathematics education (pp. 157-176). Boston: Kluwer Academic Publishers.

486

Cobb, P., Wood, T., Yackel, E., & Perlwitz, M. (1991). A follow-up assessment of a second-grade problem-centered mathematics project. West Lafayette, Ind.: School Mathematics and Science Center, Purdue University.

Cobb, P., Wood, T., Yackel, E., Nicholls, J., Wheatley, G., Trigatti, B., &

Perlwitz, M. (1991). Assessment of a problem-centered second-grade mathematics project. Journal for Research in Mathematics Education, 22(1), 3-29.

Comprehensive School Mathematics Program (1981). CSMP teaches division:

Sample lessons. St. Louis, Mo.: Mid-Continent Regional Educational Laboratory.

Davis, R. B. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics:

A summary analysis. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp. 265-300). Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

Davydov, V. V. (1991). A Psychological Analysis of Multiplication:

Psychological Abilities of Russian Primary Children in Learning Mathematics. Translation by University of Chicago School Mathematics Project. Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics.

Denvir, B. (1990). Children learning mathematics. In L. P. Steffe & T. Wood

(Eds.), Transforming children's mathematics education: International perspectives (pp. 78-83). Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

Dixon, S., Hole, B., & Leinwand, S. (1991). Performance task sampler.

Hartford, Conn.: Common Core of Learning Assessment Project, Connecticut State Department of Education.

Fischbein, E., Deri, M., Nello, M., & Marino, M. (1985). The role of implicit

models in solving verbal problems in multiplication and division. Journal for Research in Mathematics Education, 16(1), 3-17.

Fraivillig, Murphy & Fuson, K. C. (1999). Advancing Children’s

Mathematical Thinking in Everyday Mathematics Classrooms. Journal for Research in Mathematics Education, 30(2).

Fuson, K. C. (1992). Research on learning and teaching addition and

subtraction of whole numbers. In G. Leinhardt, R. T. Putnam, & R. A. Hattrup (Eds.), Analysis of arithmetic for mathematics teaching (pp. 53-187). Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

487

Gelman, R., & Gallistel, C. R. (1986). The child's understanding of number (rev. ed.). Cambridge, Mass.: Harvard University Press.

Ginsburg, H. P., & Allardice, B. S. (1984). Children's difficulties with school

mathematics. In B. Rogoff & J. Lave (Eds.), Everyday cognition (pp. 194-219). Cambridge, Mass.: Harvard University Press.

Good, T. L., Grouws, D. A., & Ebmeier, H. (1983). Active mathematics

teaching. New York: Longman. Graeber, A. O. (1991, November). Strategies for dealing with middle school

students' misconceptions about division. Paper presented at the Southeastern Regional National Council of Teachers of Mathematics Conference, Baltimore, Md.

Graeber, A. O., & Tirosh, D. (1988). Multiplication and division involving

decimals: Preservice elementary teachers' performance and beliefs. Journal of Mathematical Behavior, 7(3), 263-280.

Greeno, J. G. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual

domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22(3), 170-218.

Haladyna, T. M., Nolan, S. B., & Haas, N. S. (1991). Raising standardized

achievement test scores and the origins of test score pollution. Educational Researcher, 20(5), 2-7.

Harel, G., Behr, M., Post, T., & Lesh, R. (in press). The impact of the

number type on the solution of multiplication and division problems: Further considerations. In G. Harel & J. Confrey (Eds.), The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany, N.Y.: SUNY Press.

Hiebert, J., & Behr, M. (1988). Introduction: Capturing the major themes.

In J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle grades (pp. 1-18). Reston, Va.: Lawrence Erlbaum Associates and National Council of Teachers of Mathematics.

Hiebert, J., & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in

mathematics: An introductory analysis. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp. 1-27). Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

488

Hojnacki, S. K., & Grover, B. W. (1991). AFT/LRDC Thinking Mathematics Project: 1990-91 Student Assessment Report. Pittsburgh, Pa: Learning Research and Development Center, University of Pittsburgh.

Holden, L. (1987, October). Even middle graders can learn with manipulatives. Learning, 53-55.

Howden, H. (1989). Teaching number sense. Arithmetic Teacher, 36(6), 6-11. Kahle, J. B., Tobin, K. G., & Rogg, S. R. (1999). Impressions of Reform in

Ohio Schools. Washington, D.C.: National Science Foundation. Karplus, R., Pulos, S., & Stage, E. K. (1983). Proportional reasoning of early

adolescents. In R. Lesh & M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes (pp. 45-90). New York: Academic Press.

Kieren, T. E. (1990). Children's mathematics/ Mathematics for children. In

L. P. Steffe & T. Wood (Eds.), Transforming children's mathematics education: International perspectives (pp. 323-333). Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

Kiyoshiyo shidosho: shogakko sansuu, Volume 3, (1995). Gakko Tosho

Kabushiki Gaisha, Tokyo, Japan. Kouba, V. (1990, April). Young problem solvers' attempts at multiplication

and division word problems. Paper presented at the annual meeting of the American Educational Research Association, Boston, Mass.

Kulm, G. (1980). Multiplication and division algorithms in German schools.

Arithmetic Teacher 27, 26-27. Lamon, S. J. (1990, April). Ratio and proportion: Cognitive foundations in

unitizing and norming. Paper presented at the annual meeting of the American Educational Research Association, Boston, Mass.

Lampert, M. (1986). Knowing, doing, and teaching multiplication. Cognition

and Instruction, 3(4), 305-342. Lampert, M. (1992). Teaching and learning long division for understanding

in school. In G. Leinhardt, R. T. Putnam, & R. A. Hattrup (Eds.), Analysis of arithmetic for mathematics teaching (pp. 221-282). Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

Leinhardt, G. (1983). Overlap: Testing whether it is taught. In G. F. Madaus

(Ed.), The courts, validity, and minimum competency testing (pp. 153-169). Boston: Kluwer-Nijhoff Publishing.

489

Leinhardt, G. (1987). Development of an expert explanation: An analysis of

a sequence of subtraction lessons. Cognition and Instruction, 4(4), 225-282.

Leinhardt, G. (1988). Getting to know: Tracing students' mathematical

knowledge from intuition to competence. Educational Psychologist, 23(2), 119-144.

Leinhardt, G. (1989). Math lessons: A contrast of novice and expert

competence. Journal for Research in Mathematics Education, 20(1), 52-75. Leinhardt, G. (1995). How expert teachers use discourse to build

understanding. Learning. Learning Research and Development Center, University of Pittsburgh.

Leinhardt, G., Putnam, R. T., & Hattrup, R. A. (Eds.) (1992). Analysis of

arithmetic for mathematics teaching. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

Lester, F. K., & Kroll, D. L. (1991). Evaluation: A new vision. Mathematics

Teacher, 84(4), 276-284. Levine, L. (1990, August). Assessment: Building blocks for the whole child.

Paper presented at the Florida Department of Education's Mathematics/Science Teacher Enhancement Training Session (Statewide Coordinators' Workshop), Tampa, Fla.

Lo, J.-J., Wheatley, G. H., & Smith, A. C. (1991a, April). Brad is off task: A student's view of mathematics class

discussion. Paper presented at the annual meeting of the National Council of Teachers of Mathematics, New Orleans, La.

Lo, J.-J., Wheatley, G. H., & Smith, A. C. (1991b, April). Learning to talk mathematics. Paper presented at the

annual meeting of the American Educational Research Association, Chicago, Ill.

Marzano, R. (1999). Eight Questions You Should Ask Before Implementing

Standards-Based Education at the Local Level. www.mcrel.org/standards/articles/8-questions.asp: Mid-Continent Regional Educational Laboratory.

490

Marzano, R., & Kendall, J.S. (1996). Designing Standards-Based Districts, Schools, and Classroom. Aurora, Colo.: Mid-Continent Regional Educational Laboratory.

McKnight, C. C., Crosswhite, F. J., Dossey, J. A., Kifer, E., Swafford, J. O.,

Travers, K. J., & Cooney, T. J. (1987). The underachieving curriculum: Assessing school mathematics from an international perspective. Champaign, Ill.: Stipes Publishing Co.

Mitchell, R. (1992). Testing for learning: How new approaches to evaluation

can improve American schools. New York: Free Press. Moyer, J. C., Sowder, L., Threadgill-Sowder, J. T., & Moyer, M. B. (1984).

Story problem formats: Drawn versus verbal versus telegraphic. Journal for Research in Mathematics Education, 15, 342-351.

National Center for Education Statistics (1997). Pursuing Excellence: A

Study of U.S. Fourth-Grade Mathematics and Science Achievement in International Context. Washington: U.S. Department of Education.

National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and

evaluation standards for school mathematics. Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics.

National Council of Teachers of Mathematics (1991). Professional standards

for teaching mathematics. Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics.

National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and

standards for school mathematics. Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics.

National Council on Education Standards and Testing (1991). Standards,

testing council endorses assessment system. Report on Education Research, 23(17), 1-2.

National Education Goals Panel (1991). The national education goals report:

Building a nation of learners. Washington, D.C.: National Education Goals Panel.

National Research Council (1989). Everybody counts: A report to the nation

on the future of mathematics education. Washington, D.C.: National Academy Press.

491

National Research Council (1999). How people learn: Brain, mind, experience and school. Washington, D.C.: National Academy Press.

National Research Council (2001). Adding it up: Helping children learn

mathematics. Washington, D.C.: National Academy Press. Nesher, P. (1986). Are mathematical understanding and algorithmic

performance related? For the Learning of Mathematics, 6(3), 2-9. Nesher, P. (1988). Multiplicative school word problems: Theoretical

approaches and empirical findings. In J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle grades (pp. 19-41). Reston, Va.: Lawrence Erlbaum Associates and National Council of Teachers of Mathematics.

Nesher, P. (1992). Solving multiplication word problems. In G. Leinhardt, R.

T. Putnam, & R. A. Hattrup (Eds.), Analysis of arithmetic for mathematics teaching (pp. 189-219). Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

Parham, L. (1983). A meta-analysis of the use of manipulative materials and

student achievement in elementary school mathematics. Dissertation Abstracts International, 44A, 96.

Paris, S. G., Lawton, T. A., Turner, J. C., & Roth, J. L. (1991). A

developmental perspective on standardized achievement testing. Educational Researcher, 20(5), 12-20.

Peck, D., Jencks, S., & Connell, M. (1989). Improving instruction through

brief interviews. Arithmetic Teacher, 37(3), 15-17. Pimm, D. (1987). Speaking mathematically: Communications in mathematics

classrooms. New York: Routledge & Kegan Paul. Polya, G. (1973). How to solve it. Princeton, N.J.: Princeton University Press. Putnam, R. T., Lampert, M., & Peterson, P. L. (1990). Alternate perspectives

on knowing mathematics in elementary schools. In C. Cazden (Ed.), Review of Research in Education: Vol. 16 (pp. 57-150). Washington, D.C.: American Educational Research Association.

Resnick, L. B. (1992). From protoquantities to operators: Building

mathematical competence on a foundation of everyday knowledge. In G. Leinhardt, R. T. Putnam, & R. A. Hattrup (Eds.), Analysis of arithmetic for mathematics teaching (pp. 373-429). Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

492

Resnick, L. B. (1999). Making America Smarter. Education Week, June 16,1999. Washington, D. C.

Resnick, L. B., Bill, V., & Lesgold, S. (1990). Developing thinking abilities in

arithmetic class. In A. Demetriou, M. Shayer, & A. Efklides (Eds.), The modern theories of cognitive development go to school. London: Routledge.

Resnick, L. B., Bill, V., Lesgold, S., & Leer, M. (1991). Thinking in

arithmetic class. In B. Means & M. S. Knapp (Eds.), Teaching advanced skills to educationally disadvantaged students (pp. 27-53). San Francisco: Jossey-Bass.

Resnick, L. B., & Greeno, J. G. (1990). Conceptual growth of number and

quantity. Unpublished manuscript, Learning Research and Development Center, University of Pittsburgh.

Resnick, L. B., & Resnick, D. P. (1992). Assessing the thinking curriculum:

New tools for educational reform. In B. R. Gifford & M. C. O'Connor (Eds.), Changing assessments: Alternative views of aptitude, achievement, and instruction (pp. 35-75). Boston, Mass: Kluwer Publishers.

Resnick, L. B., & Singer, J. (1994). Protoquantitative origins of ratio

reasoning. In T. Carpenter, E. Fennema, & T. A. Romberg (Eds.), Learning, teaching, and assessing rational number concepts: Multiple research perspectives. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

Ricco, G. (1982). Les premiere acquisitions de la notion de fonction lineaire

chez l'enfant de la 7 a 11 ans. Educational Studies in Mathematics, 13, 289-327.

Riley, M. S., & Greeno, J. G. (1988). Developmental analysis of under-

standing language about quantities and of solving problems. Cognition and Instruction, 5 (1), 49-101.

Riley, M. S., Greeno, J. G., & Heller, J. I. (1983). Development of children's

problem solving ability in arithmetic. In H. P. Ginsburg (Ed.), The development of mathematical thinking (pp. 153-196). New York: Academic Press.

Saxe, G. B. (1988). Candy selling and math learning. Educational

Researcher, 17(6), 14-21. Schliemann, A. D., & Acioly, N. M. (1989). Mathematical knowledge

developed at work: The contribution of practice versus the contribution of schooling. Cognition and Instruction, 6 (3), 185-221.

493

Schliemann, A. D., & Magalhaes, V. P. (1990). Proportional reasoning: From shopping to kitchens, laboratories, and, hopefully, schools. In G. Booker, P. Cobb, & T. N. de Mendicuti (Eds.), Proceedings of the Fourteenth Psychological Measurement in Education Conference (Vol. 3, pp. 67-73). Oaxtepec, Mexico: Program Committee of the Fourteenth Psychological Measurement in Education Conference.

Schliemann, A. D., & Carraher, D. W. (in press). Proportional reasoning in

and out of school. In P. Light & G. Butterworth (Eds.), Context and cognition. Hemel Hempstead (Hertshire), Great Britain: Harvester-Wheatsheaf.

Schwartz, J. L. (1988). Intensive quantity and referent transforming

arithmetic operations. In J. Hiebert & M. J. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle grades (pp. 41-52). Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics.

Sellke, D. H., Behr, M. J., & Voelker, A. M. (1991). Using data tables to

represent and solve multiplicative story problems. Journal for Research in Mathematics Education, 22(1), 30-38.

Silver, E. A. (1986). Using conceptual and procedural knowledge: A focus on

relationships. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp. 181-198). Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

Silver, E. A. (1989). On making sense of number sense. In J. T. Sowder & B.

P. Schappelle (Eds.), Establishing foundations for research on number sense and related topics: Report of a conference (pp. 92-96). Center for Research in Mathematics and Science Education, San Diego State University.

Silver, E. A., Mukhopadhyay, S., & Gabriele, A.J. (1988). Referential

Mappings and the Solution of Division Story Problems Involving Remainders. Unpublished manuscript. Learning Research and Development Center, University of Pittsburgh.

Silver, E. A., Kilpatrick, J., & Schlesinger, B. (1990). Thinking through

mathematics: Fostering inquiry and communication in mathematics classrooms. New York: College Entrance Examination Board.

Silver, E. A., & Smith, M. S. (1990). Teaching mathematics and thinking.

Arithmetic Teacher, 37(8), 34-37. Silver, E. A., & Shapiro, L. J. (in press). Examinations of situation-based

reasoning and sense-making in students' interpretations of solutions to a

494

mathematics story problem. In J. P. Mendes da Ponte (Ed.), Advances in mathematical problem solving. New York: Springer-Verlag.

Smith, M. L. (1991). Put to the test: The effects of external testing on

teachers. Educational Researcher, 20(5), 8-11. Sowder, J. T. (1992). Making sense of numbers in school mathematics. In

G. Leinhardt, R. T. Putnam, & R. A. Hattrup (Eds.), Analysis of arithmetic for mathematics teaching (pp. 1-51). Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

Sowder, J. T., & Schappelle, B. P. (Eds.) (1989). Establishing foundations for

research on number sense and related topics: Report of a conference. Center for Research in Mathematics and Science Education, San Diego State University.

Sowder, L. (1988). Choosing operation in solving routine story problems. In

R. I. Charles & E. A. Silver (Eds.), Teaching and evaluation of problem solving (pp. 148-158). Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics.

Sowell, E. J. (1989). Effects of manipulative materials in mathematics

instruction. Journal for Research in Mathematics Education, 20(5), 98-505. Steffe, L. P. (1990, April). Children's multiplying and dividing schemes. Paper

presented at the annual meeting of the American Educational Research Association, Boston, Mass.

Steffe, L. P., & Cobb, P. (1984). Multiplicative and divisional schemes. Focus

on the Learning of Mathematics, 6(1 & 2), 11-29. Stein, M. K., Smith, M., Hennigsen, M. A., & Silver, E. A. (2000).

Implementing standards-based mathematics instruction. New York: Teachers College Press.

Stenmark, J. K. (1989). Assessment alternatives in mathematics: An

overview of assessment techniques that promote learning. Lawrence Hall of Science, University of California-Berkeley.

Stenmark, J. K. (1991). Mathematical assessment: Myths, models, good

questions, and practical suggestions. Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics.

Stenmark, J. K., Thompson, V., & Cossey, R. (1986). Family math. Lawrence

Hall of Science, University of California-Berkeley.

495

Suydam, M. N., & Higgins, J. L. (1977). Activity-based learning in elementary school mathematics: Recommendations from research. Columbus, Ohio: ERIC Center for Science, Mathematics, and Environmental Education.

Vergnaud, G. (1983). Multiplicative structures. In R. Lesh & M. Landau

(Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes (pp. 127-174). New York: Academic Press.

Vergnaud, G. (1988a). Multiplicative structures. In J. Hiebert & M. J. Behr

(Eds.), Number concepts and operations in the middle grades (pp. 141-161). Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics.

Vergnaud, G. (1988b). Understanding proportion, fraction, and ratio at the

primary level. Paper presented at the Fifth International Congress on Mathematics Education, Adelaide, Australia.

Vermont Department of Education (1991). Looking beyond "the answer”:

The report of Vermont’s Mathematics Portfolio Assessment Program. Montpelier, Vt.: Vermont Department of Education.

von Glaserfeld, E. (1987). Learning as a constructive activity. In C. Janvier

(Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics (pp. 3-17). Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

Weiland, L. (1985). Matching instruction to children's thinking about

division. Arithmetic Teacher, 33(4), 34-35. Wheatley, G. H. (1983, December/1984, January). Problem solving makes

math scores soar. Educational Leadership, 52-53. Wiggins, G. (1989). A true test: Toward more authentic and equitable

assessment. Phi Delta Kappan, 70(9), 703-713. Wolf, D. P. (1987, December/1988, January). Opening up assessment.

497

МАТЕРИЈАЛИ ЗА ДОПОЛНИТЕЛНО ЧИТАЊЕ

(за поглавјата 6, 7, 8 и 9)

499

Публикацијата „Собирање“129 се однесува на изучување на математиката во основното образование. Таа го одразува консензусот постигнат по внимателно разгледување на постојното истражување од страна на широка група образовни работници во областите: математика, истражувачка математика, когнитивна наука, педагогија и бизнис. Оваа група ги застапуваше и двете страни во неодамнешната дебата за изучување на математиката. Претседателот на комитетот, Џереми Килпатрик, забележува дека оваа студија е посеопфатна од претходно објавените истражувања. Студијата, не само што се осврнува на погорните одделенија од третото, вели тој, туку математиката е посебен вид предмет и дисциплина. Извештајот претставува консензус за тоа што претставува математичката вештина, како децата учат математика и како се достигнува добра настава по овој предмет. На крајот дава пет препораки. Тие се: 1. Интегриран и врамнотежен развој на математичката вештина

во основното образование. 2. Висококвалитетен стручен развој на наставниците, одржлив и

внимателно осмислен. 3. Наставните помагала, училишната организација и оценувањето

да бидат насочени кон математичката способност. 4. Прибирање научни докази за различни методи користени за

зголемување на математичката подготвеност. 5. Одредување на области кои бараат дополнително истражување. Резимето на извештајот се осврнува на знаењето по математика со кое децата доаѓаат на училиште, потребата за процедурално и за концептуално разбирање, важноста на начинот на кој наставниците ја осмислуваат и ја презентираат работата на учениците, како ги вклучуваат во конверзација и како ги изразуваат очекувањата. Исто така, се осврнува на математичкото знаење што наставникот треба да го поседува. Бидејќи броевите се застапени во целата математика во основното образование и бидејќи најголемиот дел од истражувањата се направени во оваа

129 Публикација на Одборот за изучување на математиката од 2001 година на Националниот истражувачки совет. Издание на National Academy Press, 24 јануари 2001.

Избрани наоди од „Собирање“

Како да им помогнете на децата да учат математика1

500

област, особено внимание е посветено на развојот на вештините со целите броеви и со рационалните броеви. На другите вештини, иако потврдени како потребни на сите нивоа, им е посветено помало внимание.

ШТО Е ПОТРЕБНО ДА СЕ ЗНАЕ ЗА БРОЕВИТЕ?

Броење. Броењето е сложен процес што се изведува во фази. Броењето е основа за решавање на основните проблеми на собирање, одземање, множење и одземање со цели броеви.

Нула. Нулата (како идеја) се појавува во најраните училишни години, но нулата (како број) за некои ученици и наставници претставува сериозна препрека. Претстави. Секоја операција има неколку конкретни толкувања. Броевите и операциите во училишната математика се организирани во нумерички – бројни системи, а секој систем дава начини за истовремено работење со броевите и со операциите и на тој начин им овозможува на учениците да се фокусираат на структурата и на правилата во тој систем. Сите системи на математиката што е изучувана во нивоата пред нивото градинка и до осмо одделение, се наоѓаат во единствен систем што е претставен со број. Сите идеи бараат претставување, а нивната корисност е зголемена преку повеќекратни претстави. Бидејќи секоја претстава има свои предности и негативности, треба да ги разликуваме и да ги интерпретираме. Пресметувањето бара алгоритми, а треба да се одлучи кој да се употреби, зашто секој алгоритам има свои предности и недостатоци. За добро да ја извежбаат математиката до осмо оделение, децата мора добро да ги владеат броевите и операциите, разгледани во ова поглавје, и да ја владеат основната алгебра, мерките, просторот, податоците, соодносот и пропорцијата. Апстракцијата е таа што ја прави математиката. Ако премногу се концентрирате на некоја ограничена примена на една математичка идеја, со тоа ѐ ги одземате нејзините најважни орудија: аналогијата, обопштеноста и едноставноста. Рационалните броеви, очигледно, претставуваат поголема тешкотија за учениците, отколку негативните цели броеви.

501

ШТО Е ПОЗНАВАЊЕ НА МАТЕМАТИКАТА? Познавање на математиката е она што сметаме130 дека е неопходно секој да го научи за да ја владее математиката. Владеењето на математиката, како што ние ја гледаме, има пет делови или насоки. Петте насоки даваат рамка за разгледување на знаењето, вештините, способностите и убедувањата што го претставуваат познавањето на математиката. Оваа рамка има извесни сличности со онаа што ја користеше НАЕП (NAEP), и вклучува: концептуално разбирање, познавање на постапките и решавање задачи, и, исто така, вклучува и дополнителни одредби за резонирање, поврзување и комуницирање. Владеењето на математиката не може да се постигне со фокусирање само на една или две од овие насоки.

Концептуално разбирање – познавање на математичките концепти, операции и релации.

Концептуалното разбирање се однесува на едно интегрирано и функционално разбирање на математичките идеи. Учениците со концептуално разбирање знаат нешто повеќе од изолирани факти и постапки. Тие сфаќаат зошто една математичка идеја е важна и во кои контексти таа е корисна. Овие ученици го организираат своето знаење во една неразбиена целина што им овозможува да восприемат нови идеи преку поврзување на ваквите идеи со она што веќе го знаат. Концептуалното разбирање е во прилог на одржување на знаењето. Иако наставниците често го бараат доказот за концептуалното разбирање во способноста на ученикот да ги вербализира врските помеѓу различните концепти и претстави, концептуалното познавање не е потребно да биде јасно изразено. Често пати учениците разбираат и пред да можат да го вербализираат ова разбирање.

Јасен знак за постоење на концептуално разбирање е кога математичките ситуации можеме да ги претставиме на различни начини и кога знаеме дека различните претстави може да се искористат за различни цели.

Истражувачите укажуваат на постоење јасна врска помеѓу „уличната математика“ на учениците и училишната математика, што укажува на тоа дека знаењето стекнато без разбирање се стекнува како изолиран сегмент на тоа знаење. Концептуалното разбирање бара знаење што е поврзано.

130 Одбор за изучување на математиката.

502

Процедурална флуентност – изведување постапка на лесен, точен, брз и соодветен начин. Собирањето сè повеќе се смета за врата што води кон суштествената структура на системот на броеви. Операциите со едноцифрени броеви во САД се сметаат за „учење на основни факти“ и фокусот е ставен на меморирање на овие факти напамет. Терминот комбинации на основните бројки го користиме за да истакнеме дека знаењето е поврзувачко и дека не мора да биде запомнето напамет. Возрасните и „стручните“ деца користат разни стратегии, меѓу кои и автоматските или полуавтоматските правила и процеси на резонирање за навремено да ги произведат комбинациите со основните броеви. Поврзувачкото знаење, како комутативноста, не само што го засилува учењето на комбинации со основните броеви, туку можеби, исто така, е во основата на менталната претстава (или ја афектира) на основното знаење. Иако наставниците порано верувале дека децата ги помнат „основните факти“ како условни одговори, истражувањата укажуваат дека децата не преоѓаат од никакво познавање за собирањето и одземањето кон помнење на комбинациите со основните броеви. Наместо ова, тие поминуваат низ серија прогресивно–понапредни и апстрактни методи за изработка на одговорите на едноставните аритметички проблеми. Освен тоа, како што стануваат повозрасни, децата сè подобро ги користат овие процедури. Не сите деца ја следат истата патека, но сите деца развиваат некакви привремени процедури. Стратегиска способност – способност за формулирање, поставување и решавање математички проблеми. Карпентер и соработниците открија дека кога децата се фокусирани да решат некоја задача не само што подобро ја решаваат туку и совладуваат повеќе комбинации од децата чија поука се состои од вежби и практикување на основните факти. Браунел и Чазел (Brownell; Chazell, 1935) откриле дека вежбата на аритметичките факти не мора да доведе до потсетување. И покрај вежбањето, децата и понатаму ги употребуваат постапките што ги задоволуваат нивните нумерички потреби. Вежбањето не ги оспособува децата да решаваат бројчени комбинации на позрел начин. Тие тврдат дека на вежбата треба да ѐ претходи звучна поука. Еден од најзначајните контексти во кои малите деца ја развиваат способноста со целите броеви претставуваат поставените задачи со некој проблем или текстуални проблеми. Ако децата знаат да

503

бројат, почнуваат да го користат броењето при решавање на едноставни текстуални проблеми. Всушност, при самото решавање на текстуалните проблеми, дечињата можат да го искористат своето најнапредно знаење на броењето, како и да создадат репертоар на постапки во сметањето. Децата често создаваат проблемски ситуации за кои измислуваат постапки кои ги отсликуваат тие активности. Ваквиот едноставен, но значаен пристап ја одржува процедуралната флуентност во непосредна близина на концептуалното разбирање.

Децата најпрво ги решаваат оние задачи што ги разбираат, задачи што можат да ги претстават или обликуваат служејќи се со физички облици и што вклучуваат броеви што веќе ги научиле. Ваквиот пристап им овозможува да решат зачудувачки голем дијапазон задачи и проблеми, вклучувајќи ги и оние со множење и делење. Бидејќи децата ги решаваат текстуалните задачи интуитивно, преку моделирање на дејството и односите кои се опишани во нив, битно е да се направи разлика помеѓу различните видови задачи (проблеми) што може да бидат поставени преку собирање и одземање и помеѓу задачите кои имат множење и делење.

Менталните претстави имаат централна улога. Начинот на којшто учениците ги замислуваат и поврзуваат делчињата на знаењето е клучен фактор за тоа дали добро ќе го разберат и ќе го употребат при решавање на задачите. Когнитивните научници заклучиле дека способноста во истражувањето зависи од знаењето што не е само сочувано туку е и ментално претставено и организирано (поврзано и структурирано) на начин со кој се овозможува лесно потсетува-ње и примена.

Приспособливо размислување – капацитет за логичка мисла, рефлексија, објаснување и оправдување. Приспособена експертиза е она што уште се нарекува метазнаење – познавање на сопственото размислување како и способноста за набљудување на сопственото разбирање и дејството на решавање на проблемите. Овоие фактори ја помагаат стратегиската способност и приспособливото размислување. Продуктивна природа – гледање на математиката како на разумна и корисна, надополнето со верба во трудољубивост и сопствено дејствување.

504

Со ваков еден став кон математиката, ученикот нема лесно да се откаже, верува дека вложениот напор во размислување на задачите ќе даде резултат и е убеден дека ќе ја разбере поставената задача и што се бара од него.

Други забелешки од извештајот

Долготрајниот тренд на НАЕП (NAEP) во математичкото оценување „става повеќе тежина врз познавањето на основните факти од страна на ученикот и врз неговата способност да изведе нумерички алгоритми со употреба на молив и хартија, да покаже знаење за основните мерни формули што се употребуваат во геометријата и да затвора прашања со што ќе одразува директна примена на математиката во секојдневните животни ситуации“.

Процедурите смислени од учениците не се секогаш алгоритми, затоа што чекорите не се прецизно наведени, туку само следат насока која се кристализира низ самиот процес.

Не е толку јасно како учениците ги совладуваат рационалните броеви, како што е јасно како ги совладуваат целите броеви. Најпрво, учениците имаат неформално сфаќање за пресекот, дисјунктните множества и проценување на инструкцијата врз која ќе развиваат понатаму. Второ, во конвенционалната наставна програма, совладувањето на рационалните броеви од страна на учениците не е рамномерно низ петте насоки, што често пати се изолирани една од друга. Трето, совладувањето на рационалните броеви зависи од тоа колку наставата на час е добро осмислена и колку таа им дава време на учениците да создадат и да одржат блиски врски со различните насоки.

Повеќето деца се прeокупирани со тоа дали секој ќе добие еднаков број од нешто, отколку од неговата големина. Како што напредуваат од најниските одделенија па нагоре, децата стануваат почувствителни за големината на елементите.

ПРАКСАТА од истражувањата на рационалните броеви во изминативе две декади ги открива следниве интерпретации за секој рационален број: релацијата дропка (дел од цело), количник, мерка/степен, сооднос и операција со која се зголемува или намалува големината на нештото. Наставната пракса што тежнее кон предвремена апстракција и прекумерно користење симболи доведува

505

учениците да имаат сериозни тешкотии при прикажување на рационалните броеви со стандардните пишани симболи и при соодветното користење на симболите.

Сегашната настава често пати недоволно посветува внимание на развивање на значењето на различните рационални нумерички претстави и нивните споеви. Доказ за ваквата запоставеност е дека поголемиот број ученици во САД ги научиле правилата за пренос на облиците, но малку ги разбираат количествата што тие симболи ги претставуваат, па следствено на ова прават чести и несфатливи грешки.

Активностите по алгебра вклучуваат докажување, претставување, трансформирање, обопштување. Алгебрата се надоврзува на знаењето што учениците го стекнале по аритметика и го надоградува понатаму. Посебно, системот место-вредност за нумерација што се користи во аритметиката, имплицитно ги вклучува некои од основните концепти на алгебрата, а алгоритмите на аритметиката многу зависат од „законите на алгебрата“.

Ако сакаме да ја разбереме врската помеѓу математиката што се изучува во основното образование и алгебрата, корисно е да ја разликуваме алгебрата како систематски метод за изразување на обопштеноста и апстракцијата, вклучувајќи ја алгебрата и обопштената аритметика, и алгебрата како синтактичко водење на трансформациите на симболите. Првото се претвора во активности, како пренесување на говорните информации во симболи и равенки, кои, често пати, но не редовно, вклучуваат функции.

Познавањето на репрезентативните активности вклучува концептуално разбирање на математичките концепти, операции и релации изразени во говорната информација, и вклучува стратегиска способност за формулирање и претставување на таквата информација со алгебарски равенки и изрази.

Алгебарските трансформации во најголем дел се поврзани со менување (замена) на обликот на изразот или на равенката во еквивалентен облик, користејќи ги правилата за користење на алгебарските симболи. Аспектите на концептуалното познавање и на процедуралната тековност, во овој случај заемно дејствуваат.

506

Обопштувањето и докажувањето вклучуваат решавање проблеми (задачи), моделирање, запис на начинот на решавање, докажување и предвидување.

НАСТАВА ЗА ЗНАЕЊЕ Наставната програма им помага и на наставниците и на учениците во нивната работа, но и едните и другите може да се разликуваат во нивните интерпретации и користење на содржината, и во ресурсите за реализација на програмата. Згора на тоа, поучувањето се одвива во одреден контекст. Голем дел од постојната дебата се однесува на облиците и на пристапот кон наставата: „фронтална настава“ наспроти „активна настава“ „ориентирана кон наставникот“ наспроти „ориентирана кон ученикот“, „традиционална“ наспроти „реформирана“. Ваквите етикети создаваат реторички разлики што честопати ја промашуваат поентата за квалитетот на наставата. Овој преглед на направените истражувања јасно укажува дека делотворноста на математичката настава и изучување не може да се сведе на едноставни етикети. Во случајов, квалитетот на наставата е функција од знаењето на наставникот и употребата на математичката содржина, на вниманието и на начинот на кој наставникот ги третира учениците и на ангажирањето на учениците во математичките задачи и нивното користење. Освен тоа, делотворното поучување, она што го прифаќа развојот на математичкото знаење, со текот на времето добива различни облици.

Висококвалитетното поучување, иако доаѓа во различни облици, се фокусира на битната математичка содржина претставена и развиена во целина. Тоа подразбира земање предвид на постојното знаење на ученикот и начинот на размислување, но и на начините како овие да се доразвијат. Делотворната настава сепак зависи од неделивата врска што се развива со текот на времето помеѓу лекциите што здружено целат да постигнат важни математички цели.

Наставниците мора да имаат јасна визија за целта на наставата и за тоа што значи владеење на содржината што ја предаваат. Наставниците треба да ја познаваат математиката што ја поучуваат како и хоризонтот на таа математика – до каде оди и каде ги води нивните ученици. Тие треба да се способни да го

507

искористат знаењето во пракса, на еден флексибилен начин за да ги оценат и адаптираат наставните материјали, да ја претстават содржината на еден чесен и пристапен начин, да ја испланираат и да ја изведат наставата, и да го оценат она што учениците го учат. Наставникот мора да ја протолкува писмената работа на ученикот, да го анализира неговото размислување, и да одговори на различните методи што ги користел ученикот при решавање на некој проблем. Наставата подразбира способност да се согледаат сите математички можности на една задача. Најважни се три вида знаење во наставата по математика во училиштата: 1. познавање на математиката, 2. познавање на учениците, и 3. познавање на наставната практика. Оваа практикаа вклучува:

Да се знае како може да се претстават математичките идеи. Да се познаваат нормите и стандардите на докажување со кои е изведен аргументот и доказот.

Да се познаваат најчестите тешкотии со кои учениците се среќаваат.

Да се познава парадигмата и пристапот што го обликуваат размислувањето на ученикот.

Да се познава наставната програма, задачите и ресурсите што се потребни за развивање на математичкото знаење.

Математиката во основното и средното образование не е безначајна, а нејзините основни концепти и структура заслужуваат да добијат една сериозна и издржана студија од страна на наставниците.

508

Oд Журнал за математичко однесување 14, 349–362 (1995) ПРЕМОСТУВАЊЕ НА РАЗМИСЛУВАЊЕТО НА ВТОРООДДЕЛЕНЦИТЕ И МАТЕМАТИЧКОТО ЗАПИШУВАЊЕ Алис Џ. Гил Американска федерација на наставници (АФН) Арлин Томсон Основоно училиште „Вејлс Гејт“, Њубург, Њујорк Фокусот на оваа статија е како да се запише она што го прават и велат учениците за да ги отслика нивните дела или мисли, а не само да се прикаже еден обичен алгоритам кој не е поврзан со размислувањето на учениците. Ова ги отсликува повеќекратните стратегии што ги искористи една група второодделенци која реши задача со три збира и отсликува како наставничката доследно се обидува да го внесе нивното размислување во системот на математичкото запишување. Акцентот е ставен на постапното поврзување на делата, мислите и симболите што треба да се случат. Програмата „Математика со размислување“ што ја користеше наставничката, опишува како таа разви разбирање на смислата на броевите во кои се почитува размислувањето на учениците. Статијата потенцира дека на наставниците им е потребно искуство во професионалниот развој што им помага да разберат како децата најдобро учат математика за да можат ефективно да се справат со потребите на една група од хетерогени ученици и да ги подотворат портите за еден поголем успех. Гласниот повик да се доведат учениците од САД до едно светско ниво во математиката и науката му претходеше на развојот на Математичките стандарди на националниот совет на наставници (МСНСН) кои беа објавени во 1989. Тие продолжуваат и денес и се втемелени во Националните цели 2000. Иако се постигна голем напредок во некои делови од повикот за промена на начинот на кој се изучува математиката, малку се промени за најголемиот дел од учениците. Тие сè уште заостануваат зад нивните светски врсници и ги разочаруваат своите идни работодавци. Поголем број наставници во основното образование најголемиот дел од својот приватен и професионален живот се потопени во една култура која го дефинира математичкото знаење преку учење формули напамет и ефикасно пресметување. Ова искуство им отежнува на многумина да прифатат и/или да создадат една училница во која математичката моќ се изградува заедно со почитувањето на интуитивните идеи на учениците, допустливо е да се понуди сопствен начин на размислување и несложувањето станува основа

509

на едно поцврсто знаење. Во ваквата училница, учениците со различни нивоа на успех, успешно работеа на истите задачи користејќи најразлични начини и сите се здобија со математичко знаење. Додека еден ученик од една страна на дијапазонот користи конкретни броители, друг работи од една илустрација што самиот ја нацртал, а трет размислува во својата глава со апстрактни броеви, додека пак многумина ги спојуваат своите разбирања во мали групи. Таквата училница е во согласност со стандардите на МСНСН и би требало, според когнитивното истражување, да помогне во создавање на ученици со највисоки нивоа на математичко знаење. Сепак, и покрај бројните напори повторно да се образува наставничкиот персонал, ова не е вообичаена практика денес во најголемиот дел од училишта во САД. Предизвици За да се добие широка поддршка за промената на изучувањето на математиката и да се зголемат постигањата на учениците потребно е: а) да се прифати дека е потребна промена; б) поголемо разбирање на природата на математиката од страна на оние кои ја предаваат; в) верба од страна на наставниците дека тие можат да ги поддржат многуте начини на кои децата размислуваат и учат математика како и да ги познаваат овие начини; и г) верба дека ако им се понуди на децата друг начин на изучувачко искуство, тоа нема да ја компромитира туку ќе ја зголеми математичката содржина што ја изучуваат. Задачата да се убедат и наставниците и заедницата дека старата парадигма е недоволна за денешните потреби, но дека таа има доследна замена која можат да ја сфатат наставниците, кои можеби и самите имаат фобија од математика, сè уште е голем предизвик. Но, познати се многу работи кои можат да им бидат од помош на наставните програми. Во 1988 година, со финансии од Националната фондација за наука (НФН), Американската федерација на наставници (АФН) и Центарот за истражување и развој на учењето (ЦИРУ) од Универзитетот на Питсбург, направија напор да создадат начин за да се прошири она што им е познато за учењето и предавањето математика на наставниците во основното образование. Тим од наставници од целата држава и истражувачки тим на чело со Лорен Ресник и Геја Лајнхарт од ЦИРУ работеа четири години испреплетувајќи ги резултатите од истражувањата со стручноста на наставниците. Еден резултат беше програмата наречена „Математика со размислување“. Денес наставниците обучувачи се подготвени да ја рашират програмата во 49 училишни области низ државата, и има цело

510

богатство од ентузијазам помеѓу наставниците, учениците и родителите кои се вклучени во програмата. Наставниците што го користат пристапот се вчудоневидени секојдневно од тоа колку многу знаат нивните ученици и колку можат, како и колку можат наученото да го распространат. Тоа што порано беше предмет од кој децата се плашеа, сега постана омилен предмет. Наместо воздишките на часовите кога се изучува математика, наставниците се жалат: „Тие сакаат по цел ден да работат математика“. Една наставничка објаснуваше како секој ден кога ќе заврши часот, таа мора да каже: „Навистина морате да си одите, математика заврши“. ДЕСЕТТЕ ПРИНЦИПИ НА МАТЕМАТИКАТА Основата на овој пристап кон изучување на математиката лежи во десетте принципи што го водат предавањето. Овие приниципи произлегоа како резултат од истражувањето на Боденхаузен, Денхарт, Гил и Милер од 1992 година.

1. Надоградете го интуитивното знаење на учениците (Карпентер, Хиберт и Мосер, 1981; Коб, Јакел и Вуд, 1988; Декорте и Фершејфел, 1987; Фусон, 1992; Нунес, Шлиман и Карахер, 1993; Ресник, 1986; Рајли, Грино и Хелер, 1983)!

2. Воспоставете силно чувство за броеви (Соудер, 1992)! 3. Предавањето да се заснова на ситуациски приказни (Чарлс и

Лестер, 1984; Гуд, 1994, 1984. Гроус и Ебмејер, 1983; НСПМ, 1989; Витли, 1983)!

4. Употребувајте математички модели и други претстави (Фусон, 1992; Ресник и Омансон, 1987; Сујдам и Хигинс, 1977)!

5. Барајте учениците да го опишат и оправдаат своето математичко размислување (Ламперт, 1986; Ло, Витли и Смит, 1991; Путнам, Ламерт и Питерсон, 1990)!

6. Применувајте урамнотежување на концептуалното и постапното учење (Карпентер, 1986; НСПМ, 1989)!

7. Прифаќајте повеќе решенија и понекогаш одговори (Ламперт, 1986, 1992; Лајнхарт, 1987; Ресник, Бил и Лесголд, 1992)!

8. Употребувајте најразлични стратегии на предавање (НСПМ, 1991; Стенмарк, Томпсон и Коси, 1986)!

9. Употреба на постојана проценка за да се води предавањето (Брајарс и Томпсон, 1990; Милер, 1991).

10. Промена на распоредот на наставната програма (Коб и Меркел, 1989; Фусон, Стиглер и Барч, 1988; Ламперт, 1986; Ресник и др., 1992).

511

Овие принципи се развија од работата на когнитивните и математичките истражувачи чија работа не само што ги поддржува заклучоците на Математика со размислување туку и стандардите на НСПМ. Познавањето на истражувањето, кое стои зад принципите и активностите за професионален развој, кои повеќе се фокусираат на изградување на наставниците отколку едноставно нудење на серија активности, овозможува наставниците да се грижат за размислувањата на децата, сè со цел да ја развијат нивната можност да го направат видливо тоа размислување и да прифатат многу пристапи за решавање на задачите. „Математика со размислување“ користи процес за развој на наставникот што:

1. се заснова на синтезата на интересните резултати од истражувањето коишто се синтетизирани на јазик што е разбирлив за наставниците; 2. внесува веродостојност во обуките така што обучувачи се наставници кои веќе работеле по програмата Математика со размислување во училницата; 3. им овозможува на наставниците да го доживеат процесот преку улогите и на ученик и на наставник во една пријателска атмосфера; 4. втемелува нови перспективи и разбирања за математичките идеи кои наставниците можеби не ги развиле за време на нивното образование преку разгледување на перспективи од деца кои истражуваат и се споредуваат со вообичаената пракса за време на професионалниот развој; 5. одржува контакт откако ќе се заврши првичната обука со центрите за обука на Математика со размислување.

ЧИЕ РАЗМИСЛУВАЊЕ? Насочувањето кон тоа како размислува ученикот наместо кон тоа како размислува наставникот е централно за предавањето и учењето. Ова навистина е историски невообичаен начин да му се пристапи на изучувањето математика од градинка до четврта година средно образование. Ова бара наставникот да изгради мост меѓу интуитивните стратегии на учениците и нивната терминологија до поформалното запишување и поформалниот јазик. Овој случај нуди поглед за тоа како еден наставник ја пополни значајната улога на поврзување на размислувањето на една група второодделенци со програмата Математика со размислување со математичкото запишување. Од огромна важност е наставниците да заземат улоги различни од „кажувачи на точниот начин“ ако сакаат да го поддржат и развијат

512

размислувањето на учениците кое ќе овозможи достигнување на високи стандарди за различни и хетерогени групи на ученици. Има три аспекти на традиционалната улога на наставникот кои мораат да се променат. Прво, наставниците треба на учениците да им дозволат да ги искажат нивните мисли и начини и да одбегнат да избрзаат да им го покажат „ефикасниот алгоритам“. Второ, наставниците треба да бидат доволно трпеливи да ги ислушаат децата и да направат напор да ги разберат начините на размислување кои можеби се различни од нивните. Трето, треба да знаат доволно за математиката за да ги преведат овие идеи во симболи кои имаат смисла за децата и да го надополнат детскиот јазик онаму каде што е соодветно со математичкиот јазик. Она што постојано се работи мора да биде математички точно. Ако наставниците не се чувствуваат убаво кога го прават ова, тие нема да го овозможат значајното градење на знаењето, туку ќе се вратат на еден модел на наставнички авторитет и несоодветна процедура на учење напамет. ПОДДРЖУВАЊЕ НА РАЗМИСЛУВАЊЕТО НА ВТОРООДДЕЛЕНЦИТЕ Училницата која ја разгледуваме во овој случај ја сочинуваат второодделенци од Њубург, Њујорк. Наставничката Арлин Томсон ја доби својата обука за Математика со размислување на локално ниво откако два наставника од областа ја завршија националната обука и се вратија да го применат пристапот и да го распространат истражувањето. Важно е да се забележи дека пред лекцијата од ноември, за која зборуваме овде, г-ѓа Томсон секојдневно работеше за да воспостави пријатна атмосфера во која учениците беа охрабрувани да изнајдат многу начини да решат задачи, се почитуваше нивното поединечно размислувањето, „грешките“ беа основа за понатамошно истражување наместо оценка за неуспех, и атмосфера во која таа се обидуваше да го рашири разбирањето за да ги вклучи важните математички идеи. Учениците потрошија многу време истражувајќи и работејќи со помош на математичките модели со поголемите броеви на почетокот на годината. Градењето на чувството за броеви вклучуваше искуство со разложување и сложување на броевите. Учениците конструираа, одделуваа и делеа групи од предмети на многу начини користејќи се со јазикот за да ги објаснат своите дела и постапки. „Еден милион порано беше едноставно ‘многу’ за учениците. Сега има многу поголемо значење“, објасни наставничката. На почетокот учениците користеа математички модели за да ја истражуваат количината и алатките за решавање на задачите. Со текот на времето тие разложуваа и сложуваа броеви во својата глава.

513

Многу ситуации кои се употребија во училницата се од природни појави во училиштето и во околината, како на пр. купувањето и продавањето колачиња што ги направиле девојчињата. Во оваа средина го разгледуваме размислувањето на седумгодишни и осумгодишни ученици во второ одделение во групата во која се користи програмата Математика со размислување. Ситуацијата што им беше зададена на децата во класот на г-ѓа Томсон беше да одредат колку деца ќе одат на екскурзија. Имаше три одделенија со 24, 26 и 25 ученици во секое од нив. Во традиционалните училници за второодделенци, учениците не би работеле со овие броеви толку рано во годината, и кога тоа се случува ним им се даваат работни листови на кои единствено има броеви кои треба да се решат со помош на традиционалните постапки за прегрупирање што го вклучува „пренесувањето“. Во одделението на г-ѓа Томсон, учениците ја решаваа задачата на начини кои им беа познати. Ќе прикажеме како г-ѓа Томсон го сврти различното, но значајно размислување на учениците во математички симболи, премостувајќи ги нивните начини на размислување до еден поформален систем на математичко запишување. ОД ТРАДИЦИЈА ДО ПРЕПОЗНАВАЊЕ Задачата на наставничката беше да ги претвори нивните зборови, слики и модели, во симболи што се совпаѓаат со нивните зборови. Важно е да се забележи дека во некои случаи повеќе од еден начин на запишување би бил посоодветен за да ги прикаже мислите на учениците.

Највообичаениот алгоритам за задачата е:

24 26 25 75 Учениците кога објаснуваа што направиле, најчесто велеа: 4 плус 6 е 10 и 5 е 15; долу пишуваме 6 и единицата ја префрлуваме; 1 плус 2 е 3, плус 2 е 5; плус 2 е 7; 75. Запомнете го ова кога ќе разгледаме како го објаснуваат своето мислење учениците на г-ѓа Томсон! Решение 1 Првото дете, од материјалот,ги користи редовите од по 10 коцки. Неговите дела со коцките се прикажани во приказите од 1 до 5, заедно со објаснувањата. Забележете колку несоодветен е

514

стандардниот алгоритам на размислување на ова дете. Наставничката побара од него да објасни дека шестете десетки се секој од шестете редови од по десет коцки и дека тој броел по десет. Приказ 1. Ученикот претставува одделенија со редови од по десет коцки. Приказ 2: Ученикот: „Ги ставив шестете десетки заедно и добив 60!“

515

Приказ 3: Ученикот: „Направив уште една десетка!“ Приказ 4: Ученикот: „Така добив од четирите коцки и шесте коцки ... 70!“ Приказ 5. Ученикот: „И петте коцки и 70 е 75!“ Таа го поврза објаснувањето на детето со следнава конструкција: 24 + 25 + 26 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 4 + 6 = 10 60 + 10 = 70 70 + 5 = 75 Кога децата не се учат дека мораат да го започнат двоцифреното собирање оддесно, учениците по интуиција започнуваат со најголемиот дел од броевите и изведуваат предно решение (Марковиц и Соудер, 1988, цитирани во Соудер, 1992). Овој метод најчесто доведува до поточни калкулации бидејќи првичниот фокус е на најважниот дел од количината. Решение 2 Описот на следниот ученик, исто така, има потреба наставникот да го транскрибира објаснението. Ова дете научило дел од математичкиот јазик кога наставникот градел мостови меѓу неформалниот и интуитивниот јазик и оној на математиката. Ученикот 2: 2 десетки, 2 десетки, 2 десетки се 6 десетки и 6 десетки се 60. И 4, 6 и 5 се 15. Наставничка: Како знаеш? Ученикот 2: 4 и 6 се 10 и 5 е 15. ... Па ја извадив десетката од 15 и ја додадов на 60. Така тоа е 70 и уште 5 тоа е 75.

516

Наставничката ова го транскрибираше: 20 + 20 + 20 = 60 4 + 6 + 5 = 15 15 + 60 (15 – 10) + (60 + 10) 70 + 5 = 75 Забележете како детето ги согледува и ги комбинира 20-ките, додека пак првото дете работеше со 10+10. Но, второто дете, прво ги комбинираше сите единици пред да ја извади 10-ката, првото веднаш ја согледа 10-ката и ја додаде на другите десетки. Решение 3 Интуитивноста без јазик е многу честа кај децата. Третото дете едноставно напиша 75 на својата хартија и го заокружи бројот. Немаше ништо друго сработено. Кога беше запрашана како доби 75, таа одговори „Едноставно знаев!“ Децата за да преминат од својата интуиција до употребливи вештини на кои можат да се потпрат во идните ситуации, мора да разберат и да го артикулираат она што го работат (Силвер, Киркпатрик и Шлесингер, 1990). Повеќе не е соодветно едноставно да се прифати одговорот без да се побара стратегијата или размислувањето. „Точните одговори“ не означуваат концептуално размислување (Геј и Томас, 1993). Затоа наставничката го натера ученикот да проговори за своето размислување. Под притисок, детето на крај даде објаснение. Ученикот 3: Земав еден од 26-ката и го додадов на 24-ката и така сите беа 25-ки, и 3 дваесет и петки се 75. Иако за овој ученик размислувањето беше транспарентно и требаше да биде лесно воочливо, за другите деца во одделението тоа беше апстрактно. Наставничката одлучи дека е потребна демонстрација со математички модели за да можат другите да видат како сет од броеви може да се разложи и сложи во попријателски броеви. Важен дел од разбирањето е тоа што оригиналната количина мора да се зачува; ништо друго не можеше да се додаде или одземе од оригиналната сума.

Речениците со броеви беа напишани: 26 + 24 + 25 (26 – 1) + (24 + 1) + 25 25 + 25 + 25 = 75

517

Г-ѓа Томсон можеше да покаже како преместувањето на една бројка (или едно дете) од групата од 26 во групата од 24 не ја промени количината на броеви што се во употреба. Еден едноставно беше преместен во друга група – но сега групите можеа да ги претставуваат три „пријателски броеви“. Решение 4 Во следниот пример учениците се здобиваат со можност да го запишат начинот на нивното разбирање со симболи. 26 24 25 15 60 75 Ова девојче собираше во вертикални колони, но користеше делумни суми што � овозможуваа да ја има на ум вистинската вредност на броевите, за разлика од традиционалниот алгоритам што често го свртува вниманието кон поединечни цифри наместо цели количини. Кога се објаснува традиционалниот алгоритам, децата често велат: „Стави ја 5-ката на местото на единиците и пренеси ја (или прегрупирај ја) единицата; додади 1 плус 2 плус 2 плус 2. То е 7. 75“! Забележете го контрастот во чувството за количина во објаснението на детето. Ученикот 4: Додадов 6 плус 4 плус 5 тоа е 15; потоа додадов 20 плус 20 плус 20 и добив 60. И 15 плус 60 е 75. Решение 5 Друго девојче, откако веќе работеше со коцки од по десет каде десетките и единиците беа јасно визуелни, искористи хоризонтален алгоритам кој го отсликуваше нејзиното преместување на коцките. Таа напиша: 26+24+25. Потоа таа го објасни нејзиниот јазик со симболи и откри дека ги разложи и повторно ги сложи количините. Ученикот 5: Јас собрав 26 и 24. Јас собрав 20 и 20 што е 40. Шест плус 4 е еднакво на 10 плус 40 плус 10 е еднакво на 50. Додека објаснуваше ученичката, наставничката напиша: 26 + 24 20 + 20 = 40 6 + 4 = 10 40 + 10 = 50

518

Ученикот: Тогаш собрав 50 со 25. Педесет и 20 е еднакво на 70 и 5 е 75. 50 + 25 50 + 20 = 70 70 + 5 = 75 ПРИДОБИВКИ Во ниту еден случај размислувањата на децата не одеа во спротивност на кој било математички принцип, ниту пак размислувањето на наставничката или нејзиното запишување. Во секој од нив, на детето му беше допуштено да ги визуелизира целите количини, едно разбирање кое често им недостига на оние кои имаат потешкотии со традиционалните алгоритми. Учениците, исто така, беа охрабрувани да се изразат на јазик кој за нив имаше смисла. Целата идеја да им се допушти на учениците да им пријдат на задачите на нетрадиционални начини е тешка за наставниците кои се научени да даваат формули и кои бараат учење напамет како една непроменлива основа. Потребно е време и може да дојде до мала непријатност кога ќе се прави транзицијата. Дури и кога наставниците за прв пат навистина ќе се обидат да го разберат размислувањето на децата, тие често се враќаат кон запишување на традиционалните начини без самите да бидат свесни за тоа, бидејќи идејата за еден правилен начин е толку втемелена во нивното образование. Но со време, оваа тенденција се надминува.

Г-ѓа Томсон ја опишува и потребата и развојот на постапката на премостување на размислувањето на децата: Невозможно е за наставниците да знаат од каде доаѓа детето. Не можеме да се сетиме како беше кога ние бевме вклучени во процесот на учење на нешто ново – кога ние не го знаевме или пак целосно не го разбиравме. Интересното нешто потекнува од тоа кога ги гледаме и ги слушаме толку често и гледаме како се изразуваат регуларните модели на размислување. За малку се чувствувам како да можам да им ги читам мислите. (Тогаш) морам да се обидам да ги поврзам тие поединечни гледни точки со концепти, јазик, методи кои имаат смисла за детето и за другите деца. Често г-ѓа Томсон комбинира друг јазик заедно со оној што го користи ученикот, како на пример: „Значи земаш 1 од 26 (26 минус 1 е 25) и � го даваш на 24-ката (24 плус 1 е 25), значи сега

519

и обете се 25? (вербализирање на принципот на компензација)2 или: „Каде виде 20 плус 20?“ – „И двете имаат 2 десетки“. – „Значи 2 десетки се 20 и 2 десетки плус 2 десетки плус 2 десетки е исто што и 20 + 20 + 20 ? (појаснувајќи ги дадените вредности, количината и поврзаноста при запишувањето). На овој начин се одржува поврзаноста со ученикот кој зборува и резултатите се видливи за оние кои слушаат. Претходната задача многумина би ја согледале како вообичаено рутинска текстуална задача, иако и самите би признале дека не е рутинска за почетокот на второ одделение. Често едноставните почетоци се разгрануваат во други прашања и области за истражување во часовите кои ја следат програмата „Математика со размислување“. Всушност, начинот на предавање во пониските одделение може сè уште да се типизира според едно писмо до уредникот кое се појави во Вашингтон пост во ноември 1993 година. Овој татко беше толку разлутен од можноста на неговата ќерка да � здосади математиката поради што би добила ниски оценки. Тој напишал: Уште од градинка мојата ќерка секогаш беше една или две години понапред од наставната програма. Пред еден месец таа најде еден каталог за играчки и собра 20 артикли со сума од $ 375,67. Ја замолив да ја намали цената на под $ 100, и таа успешно ги одзема артиклите. Следниот ден, нејзината „предизвикувачка“ задача за второ одделение запраша: „Ако Џои има 12 нешта и сега има 6 колку изгубил?“ Додека образовната заедница се справува со тешката задача да се промени најголемиот дел од наставниците, особено оние во основните училишта, примери како одделението на г-ѓа Томсон, служат како илустрација за другите. Употребата дури и на едноставни ситуации може да доведе до дискусии за важните математички концепти и да разоткрие едно шаренило од размислувања. Штом наставниците и учениците ќе започнат да се чувствуваат пријатно при разгледување на задачите од повеќе агли и начини на размислување, тие ќе можат успешно да ги совладаат потешките и сложени задачи. Да се натераат учениците да разберат дека постои едно богатство во многу едноставни нешта, е многу важен чекор во транзицијата. Исто така, пречесто 2 Наставничката можеше да одбере да го потцрта асоцијативното својство кога поинаку би рекла: „Мислеше на 26 како на 25 плус 1?“ и да запише (25 + 1) + 24 и потоа 25 + (1 + 24). Исто така можеше да ја запише истата мисла вака:

26 + 24 + 25 25 + 25 + 25

Нејзината одлука се засноваше на нејзиното согледување во тој момент со ученик чии потреби ги знаеше.

520

се претпоставува дека на наставниците единствено треба да им се дадат богати активности и потоа автоматски ќе следи процесот на помагање на учениците да ги изработат во математички идеи. За оние кои имаат богато математичко искуство, ова можеби е точно. За другите, ова не мора да значи ништо, бидејќи тие самите прават големи умствени отскоци и го очекуваат истото од другите, без да знаат многу за тоа како тече мислењето на учениците. Идејата да им се допушти на учениците да им пријдат на задачите на нетрадиционални начини е тешка за наставниците кои се навикнати на улогата на даватели на знаење. Затоа Математика со размислување се фокусира на првичното внимание на задачите што имаат позната рамка за учениците, но кои можат да служат како основа за проширување кога наставниците ќе ја направат транзицијата. Постојат многу начини преку кои луѓето можат да им пријдат на задачите. Исто како што за говорниот јазик постојат природни дијалекти во различни делови од одредена држава, така постојат и дијалектички начини на размислување за математиката; некои луѓе би сакале да работат од целината кон деловите, некои пак од деловите кон целината, некои со „пријателски броеви“, а некои на кои „точниот алгоритам“ им е втемелен во главата умствено пренесуваат броеви во главата. Задачата на наставникот е да ги преведе овие дијалекти на јазикот на математиката на таков начин на кој сите ќе можат да зборуваат и да разберат. Со време децата ќе можат да напреднат од јазикот поврзан со материјалите кои ги користат кон јазикот поврзан со сликите на предмети, кон јазикот за самите броеви, и конечно кон јазикот на броеви и симболи. Кога ќе ги разберат концептите и ќе можат да го опишат и оправдаат она што го напишале, тие ќе можат да се справат со формалниот математички симболизам со голема леснотија и разбирање. Овој постапен процес, во кој учениците продолжуваат да работат на различните етапи во различни времиња и со различни задачи, го овозможува развојот на вистинската математичка моќ. Тие го отсликуваат растот и ги употребуваат нивоата на математичко знаење на Ресник и Грино (1992), според кои дури и на инженерите понекогаш им е попогодно да мислат на ненумеричко ниво и да влегуваат и излегуваат од нивоата како што ќе наложува задачата. Математиката не се состои од правила и формули кои ве оставаат парализирани ако заборавите едно од нив. Таа е разбирање како бројките (или геометриските фигури, итн. ...) се состојат и се конструираат како и ефектите од операциите; ако се заборави одредена формула, може да се реконструира процесот (НСПМ, 1989). Изли и Тејлор (1990) при

521

разгледување на разликите во начинот на предавање во Јапонија и во САД увидоа:

Решавањето на математичките задачи може да се согледа како експресивен серијал на дијалози за просторот, обликот, количината и времето. Само затоа што има високо организирана и извонредно систематизирана наставна програма не е замена за откривањето на атрибутите кои го промовираат размислувањето и можностите од кои можат да изберат наставниците. Математика со размислување го препознава ова во својот поглед кон професионалниот развој на наставниците. Единствено кога наставниците можат да создадат, да разберат и знаат како да ги приспособат лекциите или активностите, тогаш ќе можат најефективно да предаваат. Затоа ова не е пристап кој се води според одреден рецепт. Овој пристап има корени во и е потпомогнат од едно разбирање за тоа како децата најдобро учат математика и основите кои им се потребни на наставниците за да им помогнат да ги разберат количините, операциите, решавањето на задачите и местото на математиката во светот околу нив. Самата наставна програма не содржи начини да им се овозможи на учениците да го разберат дијалогот, што го појаснува нивното размислување не само за нас туку и размислувањето во нивните глави, и да учествуваат во него. Ако навистина се надградуваме на она што децата го придонесуваат во процесот, тогаш мора да постои флексибилност која не ја нудат „готвачите“. Наставниците мора да разберат каде се вклопуваат активностите, без разлика колку се вклопуваат, и да се вклучат во шемата на математиката и треба да разберат како тие можат да сместат еден опсег од нивоа на постигнувања во рамките на едно одделение. Кога ќе се случи ова разбирање, наставниците ќе согледаат дека тие се навистина наставници во една земја на чуда, освежени од неочекуваното, зачудени од моќта што можат да ја ослободат, славејќи го умот меѓу своите ученици чиешто мислење веќе го надминува нивното. (Писма и барања за копии можете да испратите до Alice J. Gill, American Federation of Teachers, 555 New Jersey Ave., NW. Washington. D.C. 20001-2079.)

522

РЕФЕРЕНЦИ Bodenhausen, Judith, Denhart, Nancy, Gill, Alice, Kaduce, Margaret, & Miller, Marcy. (1992). Thinking mathematics, Volume 1: Foundations. Washington, DC: American Federation of Teachers. Briars, Diane J., & Thompson, Alba G. (1990). Assessing students' learning to inform teaching: The message in NCTM's Evaluation Standards. Arithmetic Teacher, 37(4), 22-26. Carpenter, Thomas P. (1986). Conceptual knowledge as a foundation for procedural knowledge: Implications from research on the initial learning of arithmetic. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp. 113-132). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Carpenter, Thomas P., Hiebert, James, & Moser, James M. (198 1). Problem structure and first grade children's initial solution processes for simple addition and subtraction problems. Journal for Research in Mathematics Education, 12(l), 27-39. Charles, Randall L, & Lester, Frank K. (1984). An evaluation of a process-oriented instructional program in mathematical problem-solving in Grades 5 and 7. Journal for Research in Mathe-matics Education, 15(l), 15-34. Cobb, Paul, & Merkel, Graceann. (1989). Thinking strategies: Teaching arithmetic through problem solving. In P. Trafton & A. P. Schulte (Eds.), New directions for elementary school mathematics, NCTM 1989 yearbook (pp. 70- 8 1). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Cobb, Paul, Yackel, Erna, & Wood, Terry. (1988). Curriculum and teacher development: Psychological and anthropological perspectives. In E. Fennema, T.P. Carpenter, & S.J. Lamon (Eds.), Integrating research on teaching and learning mathematics (pp. 92-130). Madison: Wisconsin Center for Education Research. DeCorte, Erik, & Verschaffel, Lieven. (1987). The effect of semantic structure on first graders' strategies for solving addition and subtraction word problems. Journal for Research in Mathematics Education, 18(5), 363-38 1. Easley, Jack, & Taylor, Harold. (1990). Conceptual splatter in peer dialogues in selected Japanese and U.S. first grade mathematics

523

classes. In L. Steffe & T. Wood (Eds.), Transforming children's mathematics education: International perspectives (pp. 216-226). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Fuson, Karen C. (1992). Children's counting and concepts of number. New York: Springer-Verlag. Fuson, Karen C., Stigler, James W., & Bartsch, Karen. (1988). Grade placement of addition and subtraction topics in Japan, Mainland China, the Soviet Union, Taiwan, and the United States. Journal for Research in Mathematics Education, 19, 449-456. Gay, Susan, & Thomas, Margaret. (1993). Just because they got it right, does it mean they know it? Assessment in the Mathematics Classroom. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Good, Thomas L., Grouws, Douglas A., & Ebmeier, H. (1983). Active mathematics teaching. New York: Longman. Lampert, Magdalene. (1986). Knowing, doing, and teaching multiplication. Cognition and Instruction, 3, 305-342. Lampert, Magdalene. (1992). On teaching. In R. Glaser (Ed.), Advances in instructional psychology (Vol. 4), Hillsdale, NJ: Erlbaum. Leinhardt, Gaea. (1987). Development of an expert explanation: An analysis of a sequence of subtraction lessons. Cognition and Instruction, 4, 225-282. Leinhardt, Gaea, Hattrup, Rosemary, & Putnam, Thomas. (Eds.). (1992). Analysis of arithmetic for mathematics teaching. Hillsdale, NJ: Erlbaum. Lo, Jane-Jane, Wheatley, Grayson, & Smith, Adele C. (199 1, April). Learning to talk mathematics. Paper presented at the Annual Meeting of the American Educational Research Association, Chicago, IL. Miller, Ruth. (199 1). Testing for learning: How new approaches to evaluation can improve American schools. New York: The Free Press. National Council of Teachers of Mathematics. (1989). Curriculum & evaluation standards. Reston, VA: Author. National Council of Teachers of Mathematics. (199 1). Professional teaching standards for mathematics. Reston, VA: Author.

524

Nunes, Terezinha, Schliemann, Analucia D., & Carraher, David W. (1993). Street mathematics and school mathematics: Learning in doing: Social, cognitive, and computational perspectives. New York: Cambridge University Press. Putnam, Thomas, Lampert, Magdalene, & Peterson, Penelope L. (1990). Alternate perspectives on knowing mathematics in elementary schools. In C. Cazden (Ed.), Review of research in education: Vol. 16. Washington, DC: American Educational Research Association. Resnick, Lauren B. (1986). The development of mathematical intuition. In M. Perlmutter (Ed.), Perspectives on intellectual development: The Minnesota Symposium on Child Psychology19, pp. 159-194). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Resnick, Lauren B., Bill, Victoria, & Lesgold, Sharon. (1992). Developing thinking abilities in arithmetic class. In A. Demetriou, M. Shayer, & A. Efkides (Eds.), The modern theories of cognitive development to go to school. London: Routledge. Resnick, Lauren B., & Greeno, James. (1992). From protoquantities to operators. In G. Leinhardt, .R Putnam, & R. Hattrup (Eds.), Analysis of arithmetic for mathematics teaching (pp. 373–429). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Resnick, Lauren B., & Omanson, Susan. (1987). Learning to understand arithmetic. In R. Glaser (Ed.), Advances in instructional psychology (Vol. 3, pp. 41-95). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Riley, Mary S., Greeno, James G., & Heller, Joan 1. (1983). Development of children's problem solving ability in arithmetic. In H.P. Ginsburg (Ed.), The development of mathematical thinking (pp. 153-196). New York: Academic Silver, Edward A., Kirkpatrick, Jeremy, & Schlesinger, B. (1990). Thinking through mathematics: Fostering inquiry and communication in mathematics classrooms. New York: College En trance Examination Board. Sowder, Judith. (1992). Making sense of numbers in school mathematics. In G. Leinhardt, R. Putnam, & R. Hattrup (Eds.), Analysis of arithmetic for mathematics teaching (p. 14). Hillsdale NJ: Erlbaum.

525

Stenmark, Jean K., Thompson, Virginia, & Cossey, Ruth. (1986). Family math. Berkeley: Lawrence Hall of Science, University of California. Suydam, Marilyn N., & Higgins, Jon L. (1977). Activity-based learning in elementary school mathematics: Recommendations from research. Columbus, OH: ERIC Center for Science, Mathematics, and Environmental Education. Wheatley, Grayson H. (1983-1984, December-January). Problem solving makes math scores soar. Educational Leadership, pp. 52-53.

526

ЈАЗИК И РАЗГОВОР

Објаснувањето дека учениците промислуваат додека зборуваат, е доказ за природата и опфатот на нивното сфаќање. На сличен начин појаснувањата на наставниците го откриваат она што и самите тие го сфаќаат и го истакнуваат во одредената тема (Геа Лајнхарт)131.

Јазикот го сфаќаме и како пречка и како помагач во изучување на математиката. Го сметаме за пречка за оние ученици што слабо читаат и за оние што го изучуваат англискиот јазик во случаи кога има зборовни проблеми. Јазикот, исто така, е сметан за пречка во случаи кога оценувањето создава проблеми заради користење зборови што не им се познати на учениците. Од друга страна, јазикот помага во случаи кога појаснувањата и примерите се едноставни и јасни, кога наставниците ги поттикнуваат учениците да користат сопствени зборови и кога им помагаат да ги поврзат со јазикот на математиката кога е тоа соодветно, и кога јазикот им помага на луѓето прецизно да го објаснат тоа што го мислат. Јазикот, исто така, помага во случаите кога учениците се принудени да размислуваат и да искажат нешто што направиле, зошто нештото било или не било така како што е. Во последниот случај, јазикот им помага на учениците да развијат метаспознание за сопствениот начин на размислување. Кога учениците објаснуваат, наставниците откриваат можни празнини во знаењето или погрешното сфаќање и тогаш имаат можност подобро да ги конципираат лекциите во иднина.

УТВРДУВАЊЕ НА УСЛОВИТЕ НА РАЗГОВОРОТ

Разговорот во наставата по математика не го вклучува само јазикот на зборовите, туку и јазикот на претставите и симболите. Атмосферата во која учениците и наставникот го користат говорот за време на наставата многу придонесува за тоа како учениците ја сфаќаат суштината на математиката и што ќе научат.

Како тече разговорот? Дали ќе доминира говорот на наставникот? Дали разговорот ќе биде само во насока наставникот прашува – ученикот одговара? Дали главната поента на разговорот ќе бидат одговорите или концептите и стратегијата? Дали математиката е нешто што се меморира и репродуцира или има мноштво насоки што треба да се истражат и разберат? Што со наизменичните решенија? Ќе бидат ли дозволени? Како ќе бидат воведени термините и дефинициите? Дали само ќе бидат зададени или ќе произлезат од концептите што претходно биле развиени и сфатени? Како ќе биде вметнат јазикот што учениците го разбираат за да

131 Leinhardt, Gaea (1989). Појаснување за појаснувањата во учењето. Национален центар за истражување на учењето кај учениците, Универзитет Питсбург.

527

го разберат значењето на формалните термини? Кога ќе настане ваквата промена? Дали ќе се прифати секое појаснување на ученикот? Како наставникот ќе им помогне на учениците да бидат подобри во објаснувањето?

Бал забележува:

Одлуката што да биде именувано, кога да биде именувано и како да се појасни тоа што се именува, е битна компонента на математичкото чувство и е главна разлика при формирање на математичкотo знаење 132.

Наставниците имаат голема одговорност да го насочат објаснувањето на ученикот и дискусијата на часот. Во нејзината студија, како стручните наставници го користат разговорот при градење на знаењето, Лајнхарт наведува три битни задачи133. Наставниците кои поттикнале добри дискусии, ги охрабриле своите ученици да ги:

предизвикаат оние идеи што изгледале неизводливи;

разработат идеите што биле нецелосни; и

сврзат идеите што се слични.

Во суштина, тие ги поттикнуваат учениците на критички осврт кон содржината што им се нуди, процес кој им помага да размислуваат за сопствената работа и за нивниот пристап кон проблемите. Таквото метаспознание за тоа зошто нешто правиме или зошто е тоа исправно решение, им помага да го пренесат знаењето на различни или посложени ситуации. Многу важно во ваквото сценарио е наставникот внимателно да го слуша она што ученикот го кажува. Наместо да ги „преведе“ зборовите на ученикот во сопствените мисли, наставникот треба да утврди „дали сакаш да го кажеш ова или мислеше нешто друго?“ Не е невообичаено, на пример, да се претпостави дека ученикот сака „смена“, иако можеби таквата мисла воопшто не му дошла на памет.

Без оглед на формата на појаснувањето, вели Лајнхарт, „сите треба да го сфатат прашањето што се разгледува, што е потребно како доказ или објаснување, и како одредените примери, аналогии и активности се однесуваат меѓусебно“. Појаснувањето, исто така, треба да е едноставно за да може сите ученици да го сфатат.

132 Ball and Bass. Making Mathematics Reasonable in School 133 G. Leinhardt (1995). How expert teachers use discourse to build understanding. Во Learning 1995. LRDC.

528

ВОДЕЊЕ ЗАПИС

Проверка на решенијата е едно од средствата што им помага на учениците да ги поврзат концептите и вештините. Друг делотворен начин да се потврди поврзаноста на идеите е преку јавна дискусија што се запишува134. Слушањето на ваквите излагања има двојна функција, и корист и одговорност точно да се запише тоа што ученикот го кажува. Еднаш запишана, идејата повторно се дискутира, пречистува, доразвива, отфрла, прифаќа, споредува со други идеи, или се третира на друг некој соодветен начин. Основните идеи може да се надградуваат или извлечат, поврзат или да се пресликаат. Лајнхарт го спомнува воспоставувањето правила за „разгледување, побивање и надградување“ на запишаните идеи. За да им помогнеме на учениците да ги бранат сопствените идеи, вели таа, наставниците треба да употребуваат, и да ги охрабруваат учениците, со зборовите „затоа што“ и „заради“.

ЈАЗИКОТ НА СИМБОЛИТЕ ДА ЈА ОТСЛИКУВА МИСЛАТА НА УЧЕНИКОТ

Јавната дискусија што се запишува најчесто се случува откако учениците ја сработиле задачата. Да претпоставиме дека учениците треба да користат наставни помагала за да решат задача во која треба да се соберат 7 и 5. Наставникот треба да се движи наоколу и да гледа што прават учениците кога го користат работниот простор самостојно за да ја решат задачата. Ова на наставникот му овозможува да ги издвои учениците за понатамошна анализа и да одлучи кои решенија најпрво ќе бидат побарани. На пример:

Метода 1: Ако ученикот стави 7 џамлии во едниот дел, а потоа извади 4, тогаш користи одземање. Кога ученикот ќе појасни што направил, можеби ќе рече: „Имав 7 џамлии и сите 7 ги ставив во обележаниот дел. Потоа Семи му даде 4 џамлии на Двејн, па затоа извадив 4 од делот и ги ставив настрана“. Записот за ова би бил 7 – 4.

Метода 2: Ако ученикот стави 4 џамлии на една страна, а потоа додава по една сè додека не станат 7, тогаш користи броење со собирок што се додава. Овој ученик може да го каже следново: „Семи му даде 4 џамлии на Двејн, затоа јас ги ставав неговите џамлии во едниот дел и броев до 7 за да видам колку му останале на Сем“. Овој ученик не одзема туку додава, а нумеричкиот запис треба да покаже додавање: 4 + ? = 7.

Метода 3: Ако ученикот стави 4 џамлии на една страна, а 3 на друга, (без да брои до 7), можеби тој мисли 7= 4+3 зашто го знае основниот факт. Но, наставникот треба да запраша како знаел дека треба да ги запише 3 и 4,

134 G. Leinhardt (1995). Презентација на ER&D Winter Institute во главниот град Вашингтон.

529

за секој случај. Ако ученикот одговори: „Знам дека 7 е еднакво на 4 и 3“, седумката треба да стои на почеток на равенката. Додавањето и одземањето се спротивни операции. Едното го поништува другото. Концептот на спротивност е многу запазен во Јапонија135. И додека многу учебници во САД пишуваат за „фактичките семејства“, тие сепак не се фокусираат на концептот на спротивните својства што подоцна може да бидат употребени во множење, делење и во рефлексивното својство.

Многу ученици не се обидуваат да објаснат зашто не се сигурни што сака наставникот да чуе. Да се задоволи наставникот станува главна цел и се мисли дека треба да се одговори со оние зборови што наставникот ги дава или едноставно да се даде точен одговор. Со ова ученикот се ослободува од потребата да размислува. Сепак, учениците не престануваат своеволно да размислуваат со сопствена глава. Го прават тоа кога наставникот инсистира на строги начини за давање идеи ако воопшто побараат објаснување, ако не проверат дали ученикот го разбира тоа што го зборува, ако не се заинтересирани за начинот на кој ученикот дошол до одредениот одговор или ако инсистираат на употреба исклучиво на методата на наставникот и не бараат од ученикот да го каже тоа што го мисли.

ДОКАЖУВАЊЕ

Не само што објаснувањето им помага на учениците да ги изразат сопствените идеи и со тоа подобро да научат, ами заклучокот и формалното објаснување се неделиви сегменти на математиката како дисциплина. Заклучокот на објаснувањето во математиката лежи врз две основи. Едната е општоприфатеното знаење. Другата е јазикот, што се состои од симболи, изрази и други претстави и нивни дефиниции136.

Дефинициите не се само искажани наслови што треба да се меморираат. Тие се посеани концепти, зачнати, и се развиваат по пат на активно испитување и рефлексија, и кога ќе созреат, се раѓаат од потребата да се покрсти некоја богата или важна идеја, што бара едноставно упатување.

Хајман Бас, поранешен претседател,

Одбор за образование по математички науки 135 Јапонско друштво за математичко образование (Japan Society of Mathematical Education), 1995.

136 Бал и Бас, 2003, Разбирлива математика во училиштата, објавена во Research Companion to NCTM Principles & Standards for School Mathematics.

Принцип 5: Барајте од учениците да ја објаснат и да ја оправдаат нивната математичка мисла!

530

Бас забележува дека користиме критериуми што ги зачувуваат од-редените модели на математичката регуларност. Идејата за користење на математичките модели во објаснување на заклучокот или на одговорт е илустрирана подолу.

Одредени математички модели секогаш се употребливи. Еден таков е моделот на тројки од броеви. Без оглед на броевите, кога двата собироци даваат одреден збир, (a+b=c), одземањето на кој било собирок од збирот го дава другиот собирок (c-a=b; c-b=a). На овој начин дури и најмалите ученици кои сè уште не го научиле одземањето со повеќецифрени броеви, ако ја разберат оваа релација, треба да заклучат дека:

462 – 267 = 195, ако им се каже дека 267 + 195 = 462.

Друг ваков неменлив модел е структурата на таблиците со множење. Ако n го претставува множителот или големината на одредена група, секое наредно множење во таблицата го дава поранешниот производ плус n. (За одземање ќе биде минус n.) Производите од оваа таблица се зголемуваат за 4 ако се оди напред. Ако таблицата се користи наназад, производот се намалува за 4 со секое користење.

4 x 0 = 0 4 x 4 = 16

4 x 1 = 4 4 x 3 = 12

4 x 2 = 8 4 x 2 = 8

4 x 3 = 12 4 x 1 = 4

4 x 4 = 16 4 x 0 = 0

4 x -1 =-4 4 x –2 =-8

Проширување на моделот на таблицата наназад може да се искористи за да се објасни дека позитивниот број помножен со негативен број дава негативен производ.

Овој модел може да се искористи и за докажување на бројна оска, таблица или листа. Користењето на ваквите константи од математиката, за да објасниме одреден израз, го прејудицира формалниот доказ.

Бал илустрира како да се натераат децата да користат повеќе мате-матички изрази за да го поткрепи нивниот заклучок. За време на нејзината работа со деца од второ одделение, ги запрашала да состават нумерички изрази за бројот 10.

Еден ученик рекол: 1+1+1+1+1+1+1+3=10.

531

Кога го запрашала како знае дека е еднакво на 10, ученикот само ја прочитал повторно нејзината реченица. „Не ми ја препрочитувај реченицата“, рекла Бал. „Како знаеш дека тоа е еднакво на 10?“

Ученикот повторно почнал. „Значи, 1 плус 1 е 2, плус 1 прави 3, плус 1 прави 4, плус 1 е пет, плус 1 е шест, и плус 1 е седум. Па осум, девет, десет“. Секој чекор во неговото размислување се базирал врз претходниот чекор, што го одразува начинот на кој се градат логиката и доказот. Секој ученик ќе може да продолжи. Малите деца можат да објаснат со користење на изрази како „кога ќе додадеме еден на некој број, тогаш следниот број се додава“. Кога одземаме еден, тоа може да се објасни како бројот што претходи, концепт што е поврзан со идејата на Фоснот за „хиерархиска вклученост“.

Исто така, при користење на јазикот на математичките симболи, постојат правила на логиката и на синтаксата. Децата на кои им е дадена отворената реченица 5+ ? = 2 + 6, честопати не разбираат дека тука има две еднакви количества, едно на левата, а друго на десната страна од знакот за еднаквост. Сфаќањето на знакот за еднаквост е најважно во работа со формалната алгебра. Како што учениците треба да решаваат задачи со непознати што не се дадени низ моделите a+b=c или c-a=b, така наставниците треба постојано да бараат објаснувања со кои ќе се разјасни природата на изразот во кој се појавува знакот за еднаквост.

ПРАШАЊА КАКО ПОТТИК ЗА РАЗМИСЛУВАЊЕ

Инсистирање на математички идеи Кога учениците се среќаваат со основните факти на собирањето и одземањето низ ситуации дадени во задачи, можат да видат како двата дела може да се спојат заедно во еден и како целината може да биде разделена на делови137. Со ова им помагаме на децата да ја разберат инверзивната (спротивната) релација на собирањето и одземањето. Следниов пример илустрира како основната комбинација 3+4 може да се воведе преку користење претстави и прашања од наставникот за да се истакне овој концепт. Наставникот го дискутира проблемот во задачата со учениците и му остава на класот да продискутира како да го реши. Колку џамлии ќе има Џон ако Кејша му даде 3, а Тим му даде 4 џамлии? Примери на можните одговори од учениците за решавање на оваа задача:

да се покажат џамлиите; броење; собирање.

137 Resnick, 1989.

532

Наставникот ги прашува учениците што би собрале. (Тие одговараат: „3 џамлии и 4 џамлии“.) Наставникот на таблата запишува 3 џамлии и 4 џамлии, без знаци. Прашува кој знак треба да се употреби. Ова треба да ја поттикне потребата за знакот плус. Наставникот го вметнува знакот плус во изразот, со што им наговестува на учениците дека знакот плус е соодветен кога нештата се собираат заедно. Ова им го фокусира вниманието на децата врз значењето на знакот за собирање. Симболите се запишуваат на секој чекор од размислувањето. Користење на измена или комбинација во задачата, за да се претстават два броја како збир и разлика од трет број, овозможува ставање на фокусот врз едно битно својство: собирањето е комутативно – промената на местата на собироците не е важна. Ниту, пак, како во овој случај, се менува значењето на задачата. Н: Ќе замислиме дека нашите топчиња се џамлиите на Џон. Дали тој има само три џамлии или повеќе? У: Повеќе. Н: Во тој случај со вашите топчиња покажете ми три џамлии во едниот означен дел од површината.

Дел Дел

Цело

(Учениците го прават тоа. Наставникот шета наоколу и проверува и потоа го покажува на проектор. Не е важно кој дел од површината ја користат децата. Наставникот може да праша: „Дали има врска во кој дел ги ставив?“ Ако некое дете рече дека има, наставникот може да го замоли детето да ги намести џамлиите во другиот дел за да открие дали има врска. )

Н: Колку џамлии остануваат?

У: Четири.

Н: Дали ова се сите џамлии што Џон ги има или само дел од нив?

У: Само дел од нив.

Н: Тогаш, покажи ми каде се преостанатите четири џамлии на површината!

533

(Учениците го прават ова, и наставникот повторно проверува и го покажува тоа на проектор.)

Н: Како ќе дознаеме колку џамлии има Џон?

У. Да ги ставиме заедно.

Н. Во ред. Да ги ставиме сите џамлии во целиот дел. Колку е 3+4?

У: 7 џамлии.

Наставникот го прашува ученикот од каде знае дека е толку, и извлекува онолку начини да се дојде до заклучокот колку што ученикот дава. Некои од нив би биле:

собирање на сите (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7); броење (4 5, 6, 7 ....или.. 3 4, 5,6,7); или отповикување (сеќавање) на основниот факт.

Ако некој ги замени броевите и ако додаде 3+4 наместо 4+3, наставникот треба да им помогне на учениците да согледаат дека одговорот е ист. Кога собираме, не е битно кој број оди прв.

Кон инверзијата По разговорот за собирање, наставникот може да го користи моделот претставување на два броја како збир и разлика од трет број за да покаже дека она што се става заедно може повторно да се раздроби преку поставување на уште едно прашање што води до растурање на множеството џамлии. Кога во задачите има и одземање и собирање, тоа помага да се истакне врската помеѓу броевите во тројствата на собирање, и ја покажува инверзната врска помеѓу собирањето и одземањето.

Сега Џон има 7 џамлии. Тим сака да ги добие назад своите 4 џамлии. Ако Џон му ги врати четирите џамлии на Тим, колку му остануваат на Џон?

534

Наставникот повторно ги остава учениците да разговараат што е тоа што треба да го решат во задачата, и го поттикнува решението. Откако учениците ќе ги идентификуваат 7 и 4 како броевите што им требаат за да откријат колку џамлии ќе му останат на Џон, наставникот ги запишува овие броеви на табла, повторно без знакот минус. Некои ученици можеби ќе одлучат да го решат ова со собирање, мислејќи: „4 плус колку прават 7?“ Во овој случај, наставникот ги води да стават 4 „џамлии“ во едниот дел од масата, а на другиот онолку колку што треба за да се дојде до бројот 7. За оваа равенка наставникот ќе напише 4+?=7. (Со ова се пресликува размислувањето на ученикот за 4 како почетен број.) По ова, наставникот поттикнува и други решенија сè додека некој не предложи одземање. Наставникот потсетува дека почнале со седумте џамлии на Џон и дека Тим одзел четири. Бидејќи 7 е бројот на сите џамлии во задачата, ставаат 7 топчиња во делот наречен „цело“. Потоа го одвојуваат во другиот дел она што Тим го одзел. Другиот дел е она што му останува на Џон. Тие припаѓаат во другиот дел.

Н: Дали Џон има седум џамлии или седум е само дел од џамлиите што тој ги има?

У: Има вкупно седум.

Н: Ако има вкупно седум, ако тоа е збирот, дали ќе го прикажеш тоа во поединечните делови или во делото означен како цело?

У: Во делот означен како цело.

Н: (Пишува 7 на табла). Така, еве ги сите џамлиии тука. Што друго се зборува во задачата?

У: Тим ги зел назад неговите џамлии.

Н: Колку зел?

У: Четири.

Н: Што ќе правиме сега?

У: Ќе одземеме четири.

Н: Како да го запишеме тоа? Еве ги оние на Џон (покажува на седумката на табла), а како ќе ги прикажеме оние што Тим ги одзел?

У: Извадете 4.

Н: Добро. Ќе напишеме минус 4 (пишува ). Ајде сега да ги запишеме овие четири што ги зел Тим во еден од деловите.

535

Н: Што сега? Дали знаеме колку џамлии сега има Џон?

У: Три.

Н: Како знаеш?

У: Толку остануваат.

Н: Дали остануваат само уште три?

У: Не. Тим има уште.

Н: Каде се џамлиите на Тим?

У: Во еден од другите делови.

Н: Тогаш, каде мислиш дека треба да ги запишеме џамлиите на Џон?

У: Во другиот дел.

Н: Те молам запиши ги! Стави ги џамлиите на Џон во другиот дел! Добро, кој сака сега да го заврши нумеричкиот израз?

У: Три.

Н: Кажуваш дека 7 минус 4 е 3?

У: Да.

Н: Ајде сите да го запишеме ова и да ја завршиме нашата равенка!

Ја завршува равенката со 7–4=3

Настојување на метаспознанието

Додека трае лекцијата, наставникот открива како учениците доаѓаат до одговорите. Како знаат дека седум минус три е четири? Можат ли да нè убедат? Ако детето се служи со стратегијата на собирање опишана порано, зошто и во овој случај решението е точно? Како децата знаат дека три плус четири е седум? Пораката што наставникот ја праќа е дека одговорот не е доволен. Мора да се знае како е дојдено до тој одговор и што претставуваат сите броеви и симболи. Ова на учениците им помага да станат свесни за сопственото размислување, ако веќе не се. За решавање на оваа задача, учениците може да:

одбројуваат; бројат до одговорот; или да ја знаат таа нумеричка комбинација.

536

Важно е од секој ученик да побараме усмено да го повтори и да го потврди сопствениот одговор. Децата кои ги запомниле (меморале) „основните факти“ може да бидат прашани да ги измоделираат со предмети или со илустрација „за да им покажат на другите како дошле до решението“ и со тоа да почне постапката на неформална потврда на она што го знаат. Од најрана возраст, кога учениците го прават ова, служат за пример како да се воведат помалку напредните деца кон поефикасни постапки на броење.

Поттикнување на размислувањето кај учениците преку прашања

Во студијата Бал138, за она што им е потребно на наставниците и како да го дознаат тоа за да дадат делотворна настава, ја дава следнава поента за тоа како различни професионалци ја користат математиката:

И додека другите гледаат да го компресираат тоа што го прават, наставниците мора да ја рашират математиката. Работата на наставникот е да ја најде соодветната мерка за изразите и речениците и да ги одбере вистинските прашања за оние што ќе учат да ја разберат математиката.

Дали разговорот на час ќе им помогне на учениците да добијат подобро и подлабоко познавање зависи не само од тоа што ќе приднесат учениците во дискусијата туку во голем дел и од тоа како наставниците ја водат дискусијата. Многу е важно во дискусијата да се употребуваат прашања што ги поттикнуваат учениците на размислување, на објаснување, да го активираат сопственото знаење и да го поврзат со математичките идеи.

Еве неколку примери на прашања што може да се користат за оваа намена:

1. Дали мислиш дека може да почнеме со ... ?

2. Може ли да се сетиш на слична задача?

3. Што мислиш дека Меги сакаше да каже?

4. Дали се согласуваш со неа? Објасни зошто да или зошто не се согласуваш!

5. Зошто мислиш дека имаат различни мислења? Како ќе решиме кое од нив е точно?

6. Каде мислиш дека е грешката?

7. Како да го најдеме резултатот за n-тиот број?

138 D. Ball, презентација за Извршниот совет на АФТ (AFT Executive Council), мај 2006.

537

8. Толку се различни; како можат и двете да бидат точни?

9. Дали ова секогаш ќе биде точно ако се примени?

10. Дали знаеш некој друг начин да го кажеш (напишеш, покажеш...) ова истото?

Со потенцирање на јасните врски помеѓу фактите или идеите, како и со давање можност учениците сами да ги совладаат важните математички идеи, многу помагаме во развојот на концептуалното разбирање139.

Поттикнување на различни видови знаење

Прашањата можат да го поттикнат разбирањето дури и кога се работи за задачи само со броеви. На пример, погледнете ја разликата помеѓу поставените прашања во задачата а) и задачата б).

а/ Решете!

508 - 116

280 - 116

1.485 - 700

408 + 74

б) (Усна вежба.) Која разлика или збир е поголем/а и со колку?140

580 – 116 или 280 – 116

540 + 80 или 600 + 80

1,485 – 700 или 1,485 – 650

356 + 74 или 408 + 74

Со задачата под а) наставникот ќе дознае дали учениците може да ги пресметаат одговорите, нешто што во секој случај сакаме да го знаат. Сепак, учениците може да одговорат и ако ја знаат само постапката. Со задачата под б) намерно не се бара одговор. Учениците се тераат на размислување за поврзаноста на проблемот и за ефектот од менување на броевите. При задачи со одземање, учениците исто така се натерани да размислуваат за врската помеѓу големината на намалителот и големината

139 Делотворна настава за развивање на ветини и концептуално разбирање на броевите: Што е подобро? Цитат од Fuson & Briars, Hiebert & Wearne; Good, Grouws & Ebmeier. NCTM.org/news/content.aspx 140 Задача за второ одделение од преведен руски учебник. CSMP

538

на разликата. Ако одземете повеќе, ќе добиете помалку. Ваквиот вид прашања141 го поттикнува размислувањето на начин на кој прашањата од типот „колку е 62+38 или 100-74“ не го поттикнуваат.

Не е едноставно да се користи разговорот за поттикнување и обезбедување на бавниот процес на стекнување на знаењето и на разбирање на врските помеѓу различните идеи. Наставниците треба да ја земат предвид важноста на поставената математичка структура и односите во неа. Премногу често активностите што се забавни за учениците или кои бараат доста време со наставните помагала или прибирање податоци, стануваат цел за себе; се губат математичките замисли што ги содржат. Ова е една од разликите што Трафтон (Trafton)142 ги опишува, споредувајќи ги часовите што се насочени кон активности и часовите насочени кон решавање проблеми (задачи). (Види ја Табелата за активности за време на часот). Замислата за поединечната одговорност исто така може да биде изгубена, ако наставниците премногу се фокусираат на потребата за заеднички активности; заради ова предлагаме на описот што Трафтон го дава да му се додаде вредноста на поединечниот труд, покрај групната интеракција. Условите на час ги карактеризираме како насочени кон активности, кога во таквиот час површинските одлики заземаат повеќе важност отколку математичките цели.

Табела за активности за време на наставен час Насочен кон

активности Насочен кон решавање на проблем (задача)

Главни карактеристики.

Воден од постапка.

Воден од јазикот (размена, дискусија, докажување) по уснен или писмен пат.

Поглед кон учењето.

Резултати од поединечната активност.

Резултати од рефлексиите врз менталните акции и групната интеракција, како и од поединечниот труд. **

Поглед од децата.

Математички слаб/ограничен.

Математички робусен.

Квалитет на активноста што се базира врз (или се оценува од).

Колку децата уживаат/се вклучени.

Го промовира математичкото размислување. Чувството на одговорност кај ученикот.

Правењето поврзувања

141 CSMP. Руски учебник за второ одделение. 142 Трафтон, 1997.

539

(конекции).

Улога на наставните помагала.

Есенцијални за да се случи учењето.

Алатки за: решавање задачи; потврдување на решенијата; градење став кон математиката;

создавање контекст за истражување на математиката.

*Од презентацијата на Трафтон на Конференцијата на NCTM од 1997.

Со одобрение од Пол Трафтон. Добро поставени прашања што се однесуваат на операции

Вежбите како оние опишани143 подолу, им помагаат на учениците да размислуваат околу количествата и резултатите од операциите. Усните појаснувања ги прават замислите и концептите појасни. За да можат учениците лесно да дојдат до замисли и идеи, треба често да се потсетуваат. Примерите на можните објаснувања се дадени во загради.

Споредете ги следниве збирови без да го пресметате одговорот.

а) 12+9 и 9+12

425+67 и 76+425 (Овде е покажано комутативното својство. Броевите може да ги заменат местата, а збирот останува непроменет).

б) 124+60 и 124+80

(Вториот збир ќе биде поголем за 20 зашто се почнува со ист број и во двата случаи, но додаваме 20 во вториот случај).

в) 98+34 и 98+30

(Првиот збир ќе биде поголем зашто додадено е 4 на 98).

г) 128+25+75+16 и 25+16+128+75

(Двата збира ќе бидат еднакви и нема разлика по кој ред ќе се собираат броевите).

143 Вакви прашања се чести во руските учебници за основно образование.

540

Кој збир или разлика е поголем и за колку?

а) 470–112 и 270–112 (Се одзема истиот број, но 470 е за две 100-ки поголем од 270, затоа ќе останат дополнителни 200). б) 800–234 и 800–214 (Се почнува со ист број, но се одзема две десетки помалку во вториот. Така, вториот резултат ќе има 2 десетки или 20 повеќе.) в) 490+50 и 290+58 (Првиот број има две стотки повеќе, па затоа во збирот ќе има двесте повеќе, но во вториот дел бројот е поголем за 8, кои ќе мора да се одземат од 200 и на тој начин првиот збир ќе биде поголем за 192. Спротивната насока во размислувањето на вториот чекор е ментално доста тешка). Има други видови прашања што наставниците може да ги поставуваат за време на дискусијата, а со кои се поттикнува сличен начин на размислување. Што се случува со збирот ако првиот број се зголеми за 50, а вториот се намали за 50? За колку треба едниот број во задачата да се смени, за да се намали збирот за 24?

Повратна информација од наставникот и математички разговор

Иако е исклучително важно да се поставуваат прашања за време на изучувањето на концептите и вештините, а со цел поттикнување на математичките идеи, исто толку е важно како наставникот реагира кон учениците. Една од целите на вклучување на мислењето на учениците во наставата е да ги поттикне да размислуваат и да покаже дека многу начини на размислување се точни. Со ова се надеваме дека ќе се прошири бројката на ученици кои имаат самодоверба во сопствените способности по математика.

Сепак, за да ја постигнат оваа цел, понекогаш наставниците претеруваат во нивниот ентузијазам во поддржување на секоја идеја како добра, и во израмнување на она што треба да е ментална навика за смислување нешта, со решавање на нештата како последната теорема на Фермат. Многу е истражено за пофалбата што е дел од почетниот курс за Образовни истражувања и дисеминација (ОИД).

Истражувачот Џер Брофи (Jere Brophy)144 истакнува дека иако пофалбата има повеќекратна намена ако е правилно искористена, таа

144 Основи на ОИД (ER&D Foundations), Џер Брофи.

541

има краткорочни ограничувања. Некои наставници практикуваат да го пофалат секој одговор како одличен или феноменален. Учениците знаат кога премногу ги фалите, и со тоа ја намалувате вредноста на заслужената пофалба што ќе ја дадете. Пофалбата е многу поделотворна кога наставниците селективно ја даваат. Ако тие премногу даваат пофалби или ги фалат сите ученици, пофалбата станува двосмислена и безвредна за учениците.

… Наставниците треба селективно да даваат пофалби, и да го фалат вистинскиот напредок на ученикот или достигнувањето.. .Делотворната пофалба од наставникот е конкретна, и на ученикот му дава конкретна информација.

Едноставна и навремена повратна информација, што директно се однесува на работата на ученикот, што е од најголемо значење за учењето, за разлика од пофалбата, ја сакаат и наставниците и учениците. Учениците треба да знаат што е тоа што е добро во нивната работа, а што треба да го доработат. (Види „Водич за делотворна и неделотворна пофалба“, како и „Табела за повратни информации“, што се наоѓаат во поглавјето за ресурси).

Блек и Вилијам истакнуваат три најважни елементи на повратните информации на следниов начин: „признание за посакуваната цел, доказ за сегашната позиција, и извесно знаење како да се затвори празнината помеѓу двете. Сите три елементи треба, до извесен степен, да бидат сфатени од сите, пред да се почне што било за да се подобри учењето“145. Овие британски истражувачи повратните информации ги сметаат за особено корисни кога не даваат никаква алузија на оценката.

На учениците им се помага преку моделирање на стратегии (размислување наглас или учење како да се користат алатки за моделирање), менторство; охрабрување при блокада (а не кажување како нешто да се направи); потсетување (се сеќаваш кога... или што ако бројот е... …и делумно завршени постапки што треба да се дополнат); дискусија со цел клас.

Ткаење на целото

Во овие последни поглавија ги дискутиравме ситуациските задачи (проблеми), наставните помагала и другите претстави за задачите (проблемите), како и важната улога на дискусијата и на јазикот, вклучувајќи ги прашањата што се поставуваат. Ниеден од овие

145 Black, P. и Wiliam, D. (1998) „Внатрешноста на црната кутија: Подигање на стандардите преку оценување на час“, Во Phi Delta Kappan, октомври 1998.

542

елементи сам по себе нема да го подобри учењето. Нивната моќ се изразува кога се употребуваат заедно. Откако се собраа и проучија видеокасети со стотици наставни часа, Проектот 2061 заклучува дека постојат три важни области во кои:

... Истражувањата покажаа дека праксата на наставниците има многу значајна улога во совладување на математиката: 1) математичките претстави што наставниците ги употребуваат; 2) вештината на наставниците да го извлечат знаењето од учениците; и 3) способноста на наставниците да го насочат размислувањето и толкувањето на учениците.

Јазичните потреби и изучувачите на англискиот јазик

Заклучоците што се однесуваат на изучувачите на англискиот јазик, не се разликуваат премногу од останатите заклучоци што се однесуваат на тоа како децата учат математика. Наставниците, сепак, треба да бидат уште повеќе охрабрени да користат постапки кои имаат врска со животот на учениците и ги даваат нијансите или повеќекратните значења на зборовите што може да ги употребат. Постапките што им помагаат на учениците да се чувствуваат „културолошки“ пријатно се146:

Користење на минато искуство (Nieto 1999). Употреба на имињата на учениците и ситуациите од нивниот живот и средина.

Употреба на јазикот како средство за изучување на математиката (Whitin & Whitin 2003).

Поттик на учениците за користење на јазик со прашања (пр.: „Што гледате во оваа графа?“), наместо само да прашаат за бројот или одговор со еден.

Јасно предавање на англискиот вокабулар на „начин што учениците нема да го заборават“ (стр. 253 од Teaching Children Mathematics).

Употреба на вокабулар во контекст на наставникот и со внимателно објаснување на значењата.

Употреба на игри и групни натпревари.

Развој на вокабуларот Математиката има вокабулар што понекогаш станува поважен од концептот што се претставува со збор. Еден од заклучоците на видеокасетата за студија на наставниот час на ТИМСС е дека во 146 Дијана Торес Веласкез и Гилберто Лобо. Културолошки одговорна настава по математика и изучувањето на англискиот јазик. Во Teaching Children Mathematics (декември 2004/јануари 2005). NCTM.

543

лекциите во кои учениците имаат најголеми шанси да научат математика, концептите на лекциите се развиваат на самиот час. На пример, наставникот не рекол само – ова е формулата за изнаоѓање на површината на кругот – и учениците ја пресметале. Напротив, наставникот почнал со активност низ која се појавува концептот што води до формулата.

МОДЕЛ ЗА ВОКАБУЛАР НА ФРЕЕР

Дефиниција

Две или повеќе дропки што имаат иста вредност.

Карактеристики

Броевите и именителите од секоја дропка се во ист сооднос.

Тие го претставуваат истиот дел од количество или број.

Пример

21 е еднакво на

42 ,

63 и

4824 .

Спротивен пример

21 не е еднакво на

73 .

Ваквата стратегија ,исто така, овозможува вокабуларот да дојде до израз, штом учениците сфатат што значат одредените зборови. „Ова што сега го направи се вика...“, наставникот може да каже откако учениците со свој јазик го објасниле сработеното. Јазикот и изразите изградени врз концептуалното разбирање имаат повеќе шанси да бидат запомнети и разбрани. Втора стратегија за развој на вокабуларот извира од наставниот концепт. Фреер создал четвороделна графичка претстава. Во центарот е зборот или изразот што треба да се научи. Учениците пишуваат што значи, неговите карактеристики, еден пример и еден обратен пример. Примерот претпоставува дека учениците имаат научено и други зборови пред да се сретнат со оваа табела, како на пример собирок, именител, сооднос. Ако на учениците им се дозволи да ги обликуваат ваквите зборовни претстави од она што веќе го знаат, а не на

Еднакви дропки

544

почеток да им се даваат дефиниции од учебник, подобро ќе го разберат вокабуларот. Третата група препораки е за општата свест за математичкиот вокабулар што се среќава во секојдневниот живот. Рубинштајн19 идентификува извесен број категории од зборови кои бараат посебно внимание затоа што можат да ги збунат учениците. Во нив спаѓаат:

Зборови што во други контексти се употребуваат на друг начин. Пример: сила.

Зборови што се наоѓаат во други дисциплини. Пример: висина. Зборови што ги има само во математиката. Пример: именител. Зборови со повеќекратно математичко значење. Пример: коцка. Зборови што се изучуваат во парови. Пример: површина и периметар.

Зборови со сличен звук. Пример: „Tens“ (десетки), „tenths“ (десетте). Зборови чие значење се менува со одредени придавки. Пример: многуаголник – правилен многуаголник.

Колку и да се овие категории на зборови проблематични за оние на кои англискиот јазик им е мајчин - природен, замислете ја двојната мака што им ја задаваат на оние кои го изучуваат англискиот јазик. Учениците треба да бидат поучувани да развијат свест за математичките значења и разлики.

19 Рита Рубинштајн, 2007. Насочени стратегии за развој на вокабуларот во математиката на средните одделенија (Focused Strategies for Middle-Grades Mathematics Vocabulary Development. Во Mathematics Teaching in the Middle School. Vol. 13, No. 4, ноември 2007.)

priracnik-matematika so razmisluvanje vo pocetnite oddelenija-2009

Documents