priru 269 nik iz matematike-nasiha fazli 263
TRANSCRIPT
jYl''-'' .' (""", i' }vIr ! 0 • ' \..-,11/___ , '~'c_ ,j, /
0;'fJ OJ/u)IIC ~S r)c~! Nosiho Fazlic
v
PRIRUCNIK . IZ
MATEMATlKE
Tuzlo, 2000. godino
(31 ~? j.
Nasiha Fazlit PRIRUC:NIK IZ MATEMATIKE
Recenzcnti: Dr Sabahet Drpljanin, prof. Ekonomski fakultet, TuzIa
Mr Mehmed Nurkanovi6, v. asis., Ekonomski fakuitet Tuzla Ahmed Hadiiaganovic, prof. matematike,
Gimnazija "Dr Mustafa Kamari6" Gracanica Besim Sahbegccic, prof. matematike Gimnazija "Mesa Sclimovic" Tuzla
Tchnicka priprema i graficki dizajn: Bego Mchuric
lzdavac: DOO "Harfograf' Tuzla
Za izdavaca: Safe! Pasic
Stampa: DOO ,.Harfograf' TuzIa Tiraz: 1000 primjcraka
C1P-Katalogizacija u puhlikaciji Nacionalna i lIniverziletska bibiioleka Bosnc i Hcrccgovine,
51 (075.:1)
NaSlha l'nrucnik iz matcmatike! Nasiha Fazlic:;
(crteze uradio Begu Mehllric). - I.izd. Tuzla: Harfograf. 20(lO.-IX, 164 slr :graLprikazi: 14 CIT)
ISBN99.'i~Hm2- I Vi
COBISS/BIH-ID 73259511
Prcrna Odobrenju Minislarstva obrazovanja, nauke, kulture i sparta Tuzlanskog kantona, broj lOll 15-7]6/00 od 54.2000 godine Prirucnik odobren ,ie za koristenje tl naslavi matcmatike u srednjim skulam:J.a prema MisljCllJU Fecicrall10g ministarstv;:J obrazovanja , nauke, kulture i sporta broj cn-JS-J635/00 od 7.4.2000. shodno odredbam:1 clana 19. Tacka 12. Zakona () porczu n;] promet proizvoda i usluga, osloboden jc placanja poreza na promet.
'I. ,
Predgovor
Ci(j pisanja ovog "Prirucnika lZ matematike" je hiD da svc vainije formule i pravila, ractena tokOln osnovne i sredl~je §kole, budu u jednoj knjizi i na jednom n~iestu) kako hi daei sto brze i la/de prona!iii ano sto im U odredenom trenutku zatreha. Pri tom trazenjzt uvelika ce im pomoCi deta(jan i preglcdno naprav(jn sadriaj na poc'etku /o?jige.
Fonnule i lJravila su izloiena sistcnzat,r:;ki ~
sadriaje progrmna po razredima i l!iihovu logiC/at
Nije se iL~lo na definisa!~je p(~jnlOva i iskazivCl1~je leorel1W jer v pri,')'tup bi zahUevao daleko veCi obim prirucnika,
Naravno, "Priruc'::nik" ne moze zamijelliti udibenike i zbirke zadataka, ali se nadan1 da ce korisno vosluiiti ctaeima i studentin1r..l,
1
ZahvaUl,~jeJn se reeenzentima sto su strpUivo pregledali rukopi,r:; 1 dali korisne prirt~jedbe i sugestlJe.
Tuzla, januara 2000. gOLf.
Autor
SADRZAJ strana
Matematicke oznake --------------------------------------------- 1
Grcki alfabet --------------------------------------------------- 1 Sku pov i --------------------------------------------------------- 1 Oznake za relacije--------------------------------------------- 2 Oznake u geometriji ------------------------------------------ 2 Oznake za konstante ------------------------------------------ 2 Oznake u algebri ---------------------------------------------- 3 Matematicka analiza ------------------------------------------ 3 Kompleksni brojevi ------------------------------------------- 4
Sku povi -------------------------------------------------------------- 5
Zadavanje skupova ------------------------------------------- 5 Pods ku p -------------------------------------------------------- 5 Presjek i unija skupova--------------------------------------- 6 Razlika skupova ----------------------------------------------- 7 Dekartov proizvod -------------------------------------------- 8
Skupovi brojeva --------------------------------------------------- 8
Skup prirodnih brojeva N ------------------------------------ 8 Djeljivost u skupu No----------------------------------------- 9 Prosti i slozeni brojevi---------------------------------------l 0 Najveci zajednicki djelilac (NZD)-------------------------ll Najmanji zajednicki saddalac -----------------------------11 Skup cijelih brojeva------------------------------------------ 11 Operacije sa cijelim brojevima ----------------------------- 12 Mnozenje i dijeljenje cijelih brojeva ----------·------------12 Upotreba zagrada -------------------------------------------- 13 Skup racionalnih broj eva ----------------------------------- 13 Prosiri vanje razlomaka -------------------------------------- 13 Skracivanje razlomaka -------------------------------------- 14 Uporedivanje razlomaka ------------------------------------14
I
. strana Declmalni razlomci --------------------------------------____ 14 Operacije sa razlomcima --------------------------------____ 15 Mnozenje i dijeljenje razlomaka --------------------------- 16 Decimaini brojevi -----------------------------------________ 16 Sabiranje j oduzimanje decimalnih brojeva -------------- 17 Mnozenje i dijeljenje decimalnih brojeva ---------------- 17 Pretvaranje decimalnog broja u razlomak ----------------18 Iracionalni brojevi J ----------------------------------------- 19
Razmjere i proporcije, brojne sredine ---------------------_ 20
Prosiri vanje razmjere ---------------------------------_______ 20 Aritimeticka, geometrij ska, harmonij ska sredina ------- 21 Postotni racun -------------------------------------------_____ 21
Qt . u epenl ---------------------------------------.---------------________ 21
Operacije sa stepeni ma -----------------------------------___ 22 Stepeni sa negativnim eksponentom -_____________________ 'J')
Stepenovanje binoma ---------- ______________________________ ~~ "--_l
Rastavljanje na faktore ----------------------------------_______ 23
Razlika kvadrata ---------------------------------------______ 23 Razlika kubova ---------------------------------------________ ')1 Zbi r ku bova ---------------------------------------------______ ;3
Korijeni ----------------------------------------------------________ 24
Operacijc sa korijenima -------------------------------______ 25 Racionali san je nazi vni ka ---------------------------------___ 26
Skup kompleksnih brojeva --------------------------------____ 28
Stepeni imaginarne jedinice ------------------------------ __ 28 Operacije sa kompleksnim brojevima--------------_______ 29 Graficko predstavljanje kompleksnih brojeva ----------- 29
II
strana
Trigonometrijski oblik kompleksnog braja -------------- 30
Logaritmi --------- ----------------------- --------- ----------------- 31
Operacije sa logari tmi ma ----------------------------------- 31
Lincarne jednacine i sistemi linearnih jednaCina --------32
Linearna jednaCina ------------------------------------------- 32 Sistem linearnih jednacina sa dvije nepoznate-----------32 Metode l~jesavanja sistema jednacina --------------------- 33 Diskusija rjesenja sistema od dvije lineame jednacine - 34 Sistem od tri jednacine sa tri nepoznate ------------------ 35
Linearna funkcija ------------------------------------------------- 36
K vadratne j ednacine -------------------------------------------- 38
Diskusija rjesenja kvadratne jednacine -----------------~- 38 Vi et -ova pra vila ---------------------------------------------- 39 Rasta v \j an je kvadratnog trinoma -------------------------- 39 Diskusija 0 rjesenjima kvadratne jednacine-------------- 39
K vadratna funkcija ---------------------------------------------- 40
Polozaj nule kvadratne funkcije prema datom razmaku 41
.J cd naCine viSeg red a --------------------------------------------- 43
M a tema ticka in d u kcij a ----------------------------------------- 45
Aritmeticki i gcomctrijski nizovi ----------------------------- 46
Ari tmeti cki n iz------------------------------------------------ 46 Geometrij ski ni z---------------------------------------------- 47 Beskonacni geometrij ski red ------------------------------- 47
Binomni obrazac ------------------------------------------------- 48
Ko m bina to rika -------------- -------------------- -- --- ------------ 49
strana V j erovatnoca ------------------------------------------------------ 50
G EO METRIJ A --------------------------------------------------- 51 Tacka, prava i ravan u prostoru ---------------------------- 5 1 U gl ovi --------------------------------------------------------- ') 2 Kruznica, uglovi kruznice ---------------------------------- 53 Mjerenje uglova ---------------------------------------------- 54 U glovi uz transferzal u --------------------------------------- 55 U glovi mnogougla, zbir unutrasnj ih j spoljasnjih ------- 56 U glovi na kruznici ------------------------------------------- 57
Mnogouolovi ---------------------------------------- -7 b ------.-------- ~
~rou gao -------------------------------------------------------- 57 Cetvero u gao --------- -- ---------------- ---------------- ------- 58 Tangentni i teti vni mnogougao ---------------------------- 60 Broj di j agonala mnogougla --------------------------------- 61 Odnos izmedu stranica trougla ----------------------------- 61 Podudatnos t traugl ova --------------------------------------- 61 Sl icnost trouglova (mnogouglova) ------------------------ 62 Kruznica i hug ----------------------------------------------- 63
GEOMETRIJSKA TIJELA (povrsine i zapremine) ----- 64
Prizma, kocka, kvadar --------------------------------------- 64 Piramida, zarubljena piramidLf ------------------------------ 64 Valjak, siplji valjak ------------------------------------------ 65 Kupa, zarub lj ena ku pa --------------------------------------- 65 Lopta, dijelovj lopte ----------------------------------------- 66 Torus ----------------------------------------------------------- 67
Iracionalne jednacine i nejednaCine ------------------------- 68
III 1\1
strana Eksponencijalna funkcija --------------------------------------- 69
Eksponencijalne jednacine i nejednacine------~---------- 70
- Logaritamska funkcija ------------------------------------------ 70
Logaritamske jednacine ------------------------------------- 71 Logaritamske nejednaCine ---------------------------------- 72
TRI GON 0 METRIJ A ------------------------------------------- 73
Definicija trigonometrijskih funkcija no. pravouglom troll gl u ---------------------------------------------------------7 3
Trig~nometrijska krllznica ----------------------------------- 74 Svodenj e na prvi kvadrant ---------------------------------- 74 V rijednosti trigonometrijskih funkcija -------------------- 75 Veza izmedll trigonometrijskih funkcija istog ugla ----- 76 Adicione teoreme -------------------------------------------- 77 Trigonometrijske funkcije clvostrukog ugla --------------- 77 Trigonometrijske funkcije polovicnog ugla ------------- 77
- a -8 I zraza vanj e preko tga 1 tg - ------------------------------- / 2
Transformacija zbira i razlike u proizvod i obrnuto ---- 78 Funkcije viseslrukih uglova -------------------------------- 79 Rjesavan je pravouglog trougla ------------------------------ 80 S inusna teorcma ---------------------------------------------- 81 Kosinusna teorema ------------------------------------------- 81 Tangensna teorema ------------------------------------------ 82 Uglovi trou (J la ------------------------------------------------ 83
~ b
Poluprecnik opisane i upisane kruznice ------------------ 83 Povrsina trougla ----------------------------------------._----- 84 Grafici trigonomctrijskih f unkcij a ------------------------- 85 Trigonometri j ske j ednacin e--------------------------------- 86
Sferna trigonometrija ------------------------------------------- 87
V
" strana AN ALIT! eKA GEO METRI J A ------------------------______ 89
U daljenost dvije tacke --------------------------------_______ 89 Koordinate tacke koja dijeli duz --------------------------_ 90 Koordinate sredista duzi --------------------------------____ 90 Koordinate tezista trougla ------------------------------____ 90 Povrsina trougla ---------------------------------------_______ 90 Prava i jednacine prave----------------______________________ 91 Prava kroz jednu tacku ------------------------------________ 92 Prava kroz dvije tacke ------------------------------_________ 92 U gao izmedu dvije prave ---------------------------________ 93 Uslov paralelnosti dvije prave --------------------------___ 93 U 'I 1. . - d --S 0'1 OKolmtostJ viJe prave------------------- ____________ 93 Udaljenost tacke od prave -----------------------------_____ 93 Uzajamni polozaj dvije prave -------------------------------94 Jednacina simetrale ugla ------------------------------______ 94
KRUZNI CA ---------------------------------------------__________ 95
lednacina kruznice sa centrom u ishoclistu --------------- 9S lednacina kruznice sa centrom u tacki S(p,q)------------95 Tangen ta kruzn i ce -------------------------------------______ 95 U slov tangenci onalnosti ------------------------------_____ . __ 96 Palama jednacina kruznice -----------------------------_____ 96 Parametarska jednacina kruznice -------------------------- 96
E Ii psa --------------------------------------------------_____________ 97
J ednacina tangente j normalc eiipse --------------------___ 99 U slov tangencionalnosti ----------------------------_________ 99 Elipsa sa centrom u tacki M( c,d) -----------------------___ 99 Povrsina elipse ---------------------------------------______ 100
Hiperbola ---------------------------------------------___________ 100
VI
strana Asimptote hiperbole --------~------------------------------ 102 Us loy tangencionalnosti ----------------------------------- 102 J ednacina tangente i normale----------------------------- 102
Para bo Ia -------------------- ------ ---------- ---------------------- 102
U slov tangencionalnosti----------------------------------- 104 J ednacina tangente i normale----------------------------- 104 Povrsina odsj ecka parabole ------------------------------- 104
VEKTORSKI RACUN --------------------------------------- 105
Operaci je sa vektorima ------------------------------------ 106 RazlagL{nje vektora na komponente --------------------- 107 Vektori u koordinatnom sistemu ------------------------- 109 Linearna zavisnost vektora ------------------------------- 110 Skalarni proizvod elva vektora --------------------------- 113 Vektorski nroizvod dva vektora ------------------------- 115 M jesovi ti ~roizvoc! tri vektora --------------------------- 116
ANALITICKA GEOMETRIJA U PROSTORU--------1l8
Rastojanje dvije tacke u prostoru ------------------------ 118 Koordinate sre Ista dUZl ---------------------------------- "- . d o 'v ° 119
Povrsina trougla -------------------------------------------- 119 Zapremina tetraedra u prostoru --------------------------- 119
Ravan u prostoru ---------------------------------------------- 120
J ednacina ravni u prostoru -------------------------------- 120
Uslov paralelnosti i okomitosti dvije ravni------------- 121 Scgmentni obli k jednaCine ravni ------------------------- 121 .1ednacina ravni kroz jednu taeku, kroz tri tacke------- 121 Parametarske jednacine ravni ---------------------------- 122 Rastojanje date tacke od ravni ------------------------"-- 122
VII
strana U gao izmedu dvije ravni ----------------------____________ 122 Presj ek tri ravni u j ednoj tacki ------------------ _________ 122
Prava u prostoru ----------------------------------_____________ 123
Parametarske jednacine prave ---------------------_______ 123 Jednacina prave kroz dvije tacke ------------------______ 123 U gao izmedu dvije prave ----------------------___________ 124
REALNA FUNKCIJA REALNE PROMJENLJIVE __ 125
Zadavan je funkcije--o ---____________________________________ 125
Nula funkcije -------------------------~----------- ___ o _______ 125 Osobine funkcij e -------------------------------____________ 126 In verzne funk cij e ----------------- -----------______ _________ 129
Inverzne funkcije trigonornetrijskih funkcija ------_____ 130
Osnovni odnos izmeciu ciklometrijskih funkcija ---___ 133
Granicne vrij ednosti funkcij a ----------------------_________ 135
Pravila za racunanje sa granicnim vrijednostima---- __ 135 N eki primjeri granicnih vrijednosti -------------_________ 136 N eprekidnost funkcije --------------------------___________ 137
Asimptote krivih iinija u ravni ---------------------__________ 138 ~ I v -DU ERENC JALNI RACUN---------_______________________ 140
lzvodi - geometrijsko znacenje ----------------------_________ 140
Osnovna pravi la izvoda -------------------------__________ 141 Tabela izvoda osnovnih funkcija ----------------________ 142 Izvod slozenc funkcij e ---------------------------- ________ 143 Izvoel impl icitne funkcije --------------------_____________ 144 Di ferencij aJ funkcije --------------------------_____________ 145 Primjena izvoda u fizici ---------------------------________ 146
VIII
strana J ednacina tangente i normale----------------------------- 146
Neodredeni izrazi, Lopitalovo praviio --------------------- 147
Rascenje i opadanje funkcije. Stacionarne tacke ------- 148
Ekstremi funkcije ---------------------------------------------- 148 Crtanje grafika ---------------------------------------------- 151
NEO D RED EN I INTEG RALI ------------------------------- 152
Primitivna funkcija ---------------------------------------- 152 Osobine neodredenih integral a --------------------------- 152 Tabela osnovnih integraia -------------------------------- 153 Osnovne metode integracije ------------------------------ 154 In tegraci j a raci onaln ih funkci j a -------------------------- 155 Integracija iracionalnih funkcij a ------------------------- 155 Integracij a trigonometrij skih funkcij a ------------------ 157 Integracija transcedentnih funkcij a ---------------------- 158
ODREDENI INTEGRALI----------------------------------- 160
Osobine odredenog integral a ----------------------------- 161 Newton-Leibnizova formula ----------------------------- 161 Integrali neogranicenih funkcija ------------------------- 162
Izracunavanje povrsine ravnog lika --------- .. ------------- 162
Zaprel'nina i povrsina l'Otacionog tijela ------------------- 163
Duzina Juka krive ------------------------------------------ 164
IX
[Mat~maticke oznake I 1. GRCKI ALFABET
Aa alfa It jota B ~ beta KK kapa ry gama AA lambda Lio delta MJ.l mi E£ epsilon Nv nl Zs zeta 3~ ksi HTJ eta 00 omikron 813- theta IIn pI
2. Skupovi
N Z Q I R C o iIi {} k: u rl_
\ E
e: 'rj
3 3!
Skup prirodnih brojeva Skup cijelih brojeva Skup racionalnih brojeva Skup iracionalnih brojeva Skup realnih brojeva Skup kompleksnih brojeva Prazan skup
Podskup
Unija skupova
Presjek skupova
Razlika skupova Pripada ( je element)
Ne pripada (nije element) Svaki
Postoji
Postoji tacno jedan
Pp rho L (j S; sigma T't tau Yy ipsilon <D<p fi Xx hi '¥\jf psi .Qw omega
1
3. Oznake za relaclje
J jednako
=f:: nije jednako
I identicki jednako
priblizno jednako J ~
6 0 k lb' zna e u a!ge n /a / apsolutna vrijeclnost broja a, modul od a + sabiranje
< manje ~ oduzimanje < manje iIi jednako mnozenje > vece diie1enje .
> vece iIi jednako
=> slijedi
ekvivalentno ( ako i samo ako) I <=> 1\ konjukcija ( i )
f-.
an n-ti stepen broja a
~ .f -kvadratni (drugi) korijen r
rfa l1-ti korijen
I disiunkcija ( ili ) V
4.0znake u geometnJl , 1 pantlclnn
-
* paralelno i jednako
.1 okomito I )
~ slicno
I I pocluclarno
i Lili<t ugao I
1 1::,. I trougao L pr"vi ucrao o. b
-~ duz AB 1 I AS luk
[ + siiccc )
5. Oznake za konstante
n 3 14159··· odnos obim akruznice sa precnikom -, e 2,71828··· baza priroclnog Iogaritma
I c=O,57722 ... Eulerova konstanta
loga logaritam za bazu a
I log logaritam za bazu 10 (dekadski) In logaritam za bazu e (prirodnj)
i ! faktor;el J
n I (k) I b1l10mni koeficijem (,,11 nad k") I I ~) I· J ~~------------------.
7. Matematicka analiza lim limes (granicna vri'e
I -7 tezi k ...
-CXJ beskonacno -L suma
n
f I . "
dnost) l -"""------------1
--~--.=1 i L Selma U kOJO] se , l1l1Jenja od I do n I I 1=1
Ir(X),P(x) oznake za funkciju ----1 11~~~~~i-P-I7'il-.a~st~~~~~-----=---- _________ ~ III --~d----~d~i~fu~re~l~lC~D~'a~l-----------------------________ J ~----~--~~~-------------------~
2
3
I df f prva derivacija (izvod) , dx
d2f " druga derivacija (izvod) f
" , dx-
f integral b
f odredeni integral a
f (k)
krivolinijski integral
f,f integral po povrsini s, po volumenu v s v
Sf dvostruku integral
HI trostruki integral
8. Kompleksni brojevi
4
C skup kompleksnih brojeva i imaginarna jedinica z=a+bi kompleksan broj .. z = a - bi konjugovano kompleksl1l bro]
I z \= ~a2 + b 2 modul kompleksnog br~ja realni dio kompleksnog broJa imaginarni dio
Rc(z) Im(z)
l j I Skup je osnovni pojam u matematici i ne definira se.
Prirnjeri skupova: Skup ucenika petih razreda jedne skole. Skup tacaka neke duE
Skup clanova neke sekcije. Skupove najcesce oznacavamo velikim slovima A, B, X,S, ... Npr. skup ciji su elementi brojevi 2, 3 i 4 mozemo oznaciti A={2,3;4}.
Ako neki element a pripada skupu A oznacavamo aE A.
Ako neki element b nije u skupu A (ne pripada) oznacavamo sa be: Zadavanie skupova
1. Skupove mozemo zadavati tako Sio napi,~emo svc nJegove elemente npr. S={1,2,3,4}. ~
2. Mozemo zadati neki usiov koji elementi /~_ 4iil4 l.-. skupa treba da zadovolje. Npr. skup S je \ 3$ /
skup svih prirodnih brojeva manjih od 5 iIi \~ •.• 2 ( simbolicki S={x I XE N 1\ x<5} \.J..-----'
tIS se: takvih do je iIi sa osobinom 3. Graficki (crtezom). Crtez se zove Venov dijagram.
Prazan skup:Skup koji nema ni jednog ekmenta zove se prazan skup; Oznacava se sa 0 ili { }.
Jednakost skupova: Ako dva skupa A i B sadrze jednc ie iste elemente kaie sc da su jednaki i pise A=B.
Podskup: Ako svaki element skupa C pripada skupu D onda je skup C podskup skupa D i pise se CcD. (Svaki
skup je podskup samog sebe AcA, prazan skup je podskup svakog skupa 0cA . Npr. C= {2,3,4} D={ 1,2.3,4,5}, C~D, Grafick sc to predstavlja :
CeD
5
Brojnost skupa: Broj elemenat~ ne~og .konacnog skupa A oznacavamo sa k(A) i zovemo kard1l1alm braj skupa A.
Ekvipotentni skupovi:Ako dva konacna sk~pa imaj.u ~sti bro~ elemenata (imaju jednake kardinalne broJe~e) pn. cemu tl elementi ne moraju biti svi isti kaze se da su ekvlpotent11l.
Presjek skupova A i B je skup koji sadrzi .sve elemente ,koji istovremeno pripadaju i skupu A i skupu B.TaJ skup se oznacava sa A (] B, gdje znak (] Citamo: presjek.
A (] B={x I xEA i xEB}
Npr: A={2,3,4,5) B={3,4,5,6}; A (] B={3,4,5)
V rij edi: A (] B= B (] A; A (] 0=0 ; A (] A= A
Unija skupova A j B je skup sto ga cine svi elementi koji pripadaju bar jednom od skupova A iii B. Oznacava se sa A u B, crdj'e znak U citamo: unija. b.
Au B={xlxEA Hi XES}
Npr. A={ 1,2,3,4} i B={ 0,1,2,3}, A u B={ 0,1,2,3,4}
Vrijedi Au B= B u A; Au 0=A; Au A=A
6
Razlika skupova: Neka su A j B neki skupovi. Skup kojeg cine elementi skupa A koji nisu u skupu B nazi va se razlika skupa A j
skupa B i oznacava se A \ B, gdje znak \ Citamo "razlika".
B A \ B={xlxEA i XEB}
Npr.A={0,1,2,3,4} B={l,2,5}; A \B={O,3,4} ili B \A={5}
Vrijedi A \ B:;t B \ A ; A \ 0=A ; 0 \ A=0 (znak ;/: citaj nije jednako)
Komplement skupa: Ako je A~B moze se definirati komplement skupa A U odnosu !la skup B (u oznaci Cs(A)) na sljedeci nacin: Cu(A)={x I X EB 1\ XE A}, odnosno Cs(A)=B\A.
U slucaju da nije A~B, ne moze se definirati komplement skupa A u odnosu na B.
Partitivni skup: Skup svih podskupova skupa A
partitivni skup skupa A. 9?A)={ p I pcA }
Primjer: A={ 1,2,3}
9(A)={ 0,{ 1 },{2},{3 },{1,2 },{ 1,3 },{2,3 },A}
" 3t ;; I (1.3)
c.
" C[)
2 1 "0
(2.1 )
naZlva se
Ureden par (a,b) je skup od dva elementa kod kojeg se tacno zna da je a prvi element a b drugi. Prvi element a uredenog para (a,b) lOve se jos prva koordinata, dok je b druga koorclinata.
~i-21 (i.2)
I "3 prva poluprava
Vrijedi (a,b);/:(b,a) iIi (2,3):;t:(3,2)
7
DpL-artov (Kartezijev) proizvod .~ -'" \ n / (ij (2,5) (3.5)\ skupova: Skup svih ure?enih. parov~ G5.1--I-~------i\!'-----~! (a,b) Kojima je prva Koordu:at: d. E .,1 __ Li~~.jl_j:~~ __ 1(l41 A,,!l
element skupa A, a druga koordlJlala b 4 1 l: i i) element skupa B zove se Dekarto~ , I~! ~2 ~jJ
. d skupa A sa skupom B 1 I\.
prOlZvo . .. B A x Ik{(a,b)laEA i hEEJ oznacava sa: A x B (citaj A puta) Vrijedi: A x B '* B x A
. 1 A B\_l (A)·k(B) ako su A Brojnost Dekartovog prmzvoda: (( ~ x )-K\ "
i B konacni skupovi.
Skupovi tacaka
O rl,. o','novnihgeometrijskih pojmova. Skup Tacka J'e jedan ,,- - J
pod "". kLll,JOVe r.,rostora zovemu Nepr3zne ". t' tacaka je prostor. CTcometrij ske figure, b ,
Neki podskupOVI prostora:
/ H~
/ / / /
/ a / / j / f
/ / ,J J
L1L... f / prava poluprava auf ravan
I Skupovi brojeva ]
. N' 1 '! 3 4 } pri rodnih brojeva S' rirodnih broJeva =\ ,-, , ,.... ',-, , ,,' 1 imp p v Sk P sto (]Cl cine prirodl1l DrOjeVl 1 nu a ima beskonacno mnogo. u, bC'
oznacavamosaNo={O,1,2,3,4, ... ): ... ,,'" b:lo '" . b' :, 1 a ne postoJl nC1.Jvecl. 1 Postoii naimanJl pnrodm lOJ, W Je , I' .. ,
- • J J • • <' b _ .. d' iedna od re aena. koja dva pnrodna broJa d I VllJC 1" •
8
a=b (ajednako b); 3=3 a<b (a manje ad b); 5<7 a>b (a vcce od b); 8>4
Zbir dva iii vise prirodnih brojeva je prirodan broj. 1+3+7=12EN
ProizYod dva iii vise prirodnih brojeva jt prirodan broj. 3,4·S=60EN
Zbog toga se kaze da je skup N zatvoren U odnosu na operaeije sabiranja i mnozenja.
Razlika dva prirodna broja nije uvijek prirodan bro]. Kolicnik dva prirodna broja nije uvijek prirodan bro].
Zbog toga se kaze da skup N nije zatvoren U odnosu na operacije oduzimanja i dijeljenja.
Djeljivost u skupu No
Za broj aE No kazemo da je djeljiv prirodnim brojel11 b ako posioji broj qE taka v da jc a=bq.
" Nula je djeljiva svakirn prirodnim brojcm. .. Svaki element skupa djeljiv je brojem 1. E Svaki prirodni broj djeljiv je SJ samim subom.
" Svaki prirodni broj djeljiv jc sa barem dva priroclna broja. s brojem 1 i sa samim sobom.
" Za prirodall broj kazcmo je pawn ako je djeljiv sa 2, Npr.parni prirodni brojevj su 2,4,6,8~ .. ,
" Biio koji paran prirodan broj se uopsteno oznaciti sa gdje je n neki prirodan
" prirodne brojeve 'j nisu djeljivi sa dva I,tj. 1 msu pami) kazemo da su neparni. , 1,3,5,7,
to Bito koji neparan prirocbn broj mozemo oznaciti sa 20-] gdje je n neki prirodan oroj,
" Prirodan broj je djeljjv ",a J () ako i samo ako mu je cifra jedinica O.
9
.. Prirodan broj je djeljiv sa 2 ako samo ako mu Je ci1'ra
jedinica jedna od cifara 02,4,6,8. " Prirodan broj je cijeljiv sa 5 ako samo ako mu Je cifra
jeciinica 0 iii 5. Il Prirodan broj je djeljiv sa 3 ako i samo ako mll je zbir cifara
djeljiv sa 3. (Npr. broj 207 je djeJjiv sa 3, jer rnu je zbir cifara
2+0+ 7=9 i 9 je djeJjivo sa 3) II Prirodan broj je djeljiv sa 9 ako i samo ako mu je zbir cifara
djeJjiv sa 9. .. Prirodan broj je djeljiv sa 4 ako i samo ako mu je dvocifreni
zavrsetak djelji v sa 4. (N pr. brojevi 424, 516). II Prirodan broj je djeljiv sa 6 ako i sarno ako je istClvremeno
djeljiv sa 2 i sa 3. I" Prirodan broj je dje\jiv sa 8 ako su mu tri zadnje cifre nule iIi
cine broj djeJjiv sa 8. '" Prirodan broj je djeljiv sa 25 ako i sarno ako mu je dvocifreni
zavrsetak djeljiv sa 25.
Prosti i slozeni brojevi Broj koji je djeljiv sarno sa 1 i sa samim sobom zove se prost
hroj. (2,3,5,7,11, ... ). Brojevi koji osim jedinice i samog sebe imaju i drugih
djelitelja ZOyu se slozeni brojevi. Svaki slozen broj se moze prikazati U obliku proizvoda
prostib brojeva. Npr: 300 = 2·150 315 = 3·105
10
=2.2.75 = 3·3·35
=2·2·3·25
=2·2·3·5·5
= 3·3·5·7
NajveCi zajednicki djeIilac (NZD)
Za pr~rod.an. broj a kazemo cia je sadrZalac prirodnog broja b, a .za. b da Je ~J~lIl.~c od ~ ako je a cijeljivo sa b. Najveci zajednicki d~el~lac dva III VIse ~roJev~ je najveci broj koji je u isto vrijeme dJehlac svakog oci oVlh broJeva. Npr: Za brojeve 240 i 360
240=(2·2·2·3)·2·5 NZD(240,360)= 2·2·2·3=24 360=(2·2·2·3)·3·5
Npr. Za brojeve 126, 180,84
126=2·3·3·7
180=2·2·3·3·5
84=2·2·3·7
NZD(l26,l80,84)= 2·3=6
. Ak~ je. najv.eci. zajednocki djelilac dva iIi vise broieva 1 o11da se tl broJevI naZlvaJu rnedusobno prosti. Npr. 4, 10 IS'
4=2·2 '
10=2·5 15=3·5
NZD(4,1O,15)=1
N~jma?ji z~jednicki ~adrZalac dva iIi vise brojeva-NZS je naJma~JI br~J u kome Je sadrzan svaki od tih brojeva. Ako su b:'oJevl r~latl1mo prosti njihov najmanji zajednicki sadrzalac je I1Jhov prOlzvod. A~o b:'~je~i. nisu relativno prosti npr. 18, 24 NZS odredujemo na slJedecl naC111; 18=2·3·3, 24=2·2·2·3 NZS(18,24)= 2·2·2·3·3=72.
Skup cijelih brojeva
Z={ ... -2,-1,0,1,2,3, ... }
negativni cijeli brojevi nula pozilivni cijeli brojevi ---+I--+f--rl ~1r-'f--+--+--t-~r-~-4--+ f f ... brojna osa
-3 - 2 -I 0 2 3 4
. . Ako se ~ijeli broj a nalazi (na brojnoj osi) lijevo od cijelog Drop b onda Je a manji od b. ~
11
Svaki negativan cijeli broj je manji od bilo kojeg pozitivnog cijelog broja. . .
. -5 i 5 su suprotni cijeli brojevi.CNa brojnoj osi im odgoyaraJu simetricne tacke u odnosu na nulu.)
Apsolutna vrijednost (modul) cijelog broja je udaljenost tog broja od Hule. ( na brojnoj osi).
Operacije sa cijeHm brojevima
Sabiranicciielih brojeva istog znaka: saberemo apsolutne vrijednosti rih brojeva i rezultatu dopisemo predznak tih brojeva.
Npr.(-5)+C-2) =-7
3+5 = 8 Sabir:mje cijelih brojeva suprotnog znaka: Oduzmemo
apsoJutne vrijednosti tih brojeva i rezultatu dopisemo predznak o~og broja koji je po apsolutl1oj vriy:dnosti yeci.
Npr. (-7)+2=-5 4+( -8)=-4 (-2)+ I 0=8
Oduzimanje cijelih brojeva pretvaramo u sabiranje po pravilu a-b=a+( -b)
Npr. (-7)-(-2)=(-7)+(+2)=-5 (-7)-( +8)=-7+( ··8)=-15
110zcnje i dijeijenje cijelih brojeva
Ako mnOlJl110 (iIi dijeiimo) dva cijela broja istog znaka onda pomnozimo (iii podijelimo) njihove apsolutne vrijednosti a
d ' v k 1/ If rezultatu ' oplsemo zna' + . Npr mnozenjc' (-7)·( 14, dijeljenje: (·8):(-2):::+4
J 1, = .' 12 : 6 = 2 ~ ~ 0
Ako mnozimo (iii dijelimol dya cijela broja suprotnog predznaka onda pomnozimo (iii podjelimo) njihove apsolutne • . 1 d' v k" If vrijednostl a rezultatu oplsemo zna -.
12
Npr. (-8)-(+2)==-16 (+ 16):( -4)=-4
. ~ko p.rili~om mnozenjc imamo vise faktora, proizvod je poz!tlvan ako JC broj negativnih faktora paran, a negativan ako ih je neparan broj.
Npr. (-2)·3·(-4)=24 (dVil negativna faktora)
(-2)·3·(-1)·(-2)::::-12 (tri negativna faktora)
U skupu cijelih brojevd Z, za svaki cijeli broj a vrijedi:
lHO=a i <,<+(-a)=O. U potreba zagrada
-3+(2-11 )=-3+2-11 =-1 ispred znak +)
-(7-5+2)=-7+5-2=-9+5=-4
1 (zagr::tda se izostavi ako Je
Ako je isprcd zagrade - onda sc prilikom iwswvljanja zagrade moraju prornjeniti predznaci.
Npr. -7+[2-(3-1 )+5]=-7+[2- 3+ 1 1=-7+2-3+ 1 +5=-2
Skup racionalnih brojeva
[ml Q ==. _." m c= Z' "c:: Z· n::i.e (i l tn' ~-"''- ,~. 'J
Racionalni broj .Ie onaj broj koii razlomka
sc moze llapisati U obliku
Z I 1 a. " a raz omaK -:-, n ::= (J kaze se cia 111 b definisan Jer ," 1 •
01JeLenJC sa
nulom nije moguce (ncdellnisano)
a k'il --::::-- Smijemo
nazivnik nekog razlnmka ,..,,,nH-,n·,',,· sa ednim tc istim (razJicit llule). (razlomak se ne mijenja .
3 2·3 6 Npr. -=--__ _ 5 2·5 10
13
a a:k Skracivanje razlomaka b = b: k' k:;t.:O, Smijemo brojnik i
nazivnik nekog razlomka podijeliti jednim istim brojem (razlicit
od nule), (razlomak se nece promjeniti),
45 45: 5 9 Npr. 20 = 20: 5 = "4
Uporedivanje razlomaka
Razlomke najlakse mozemo
nazivnike i1i jednake brojnike,
uporedivati ako imaju jednake
2 5 Npr. - < - (manji je onaj
7 7
razlomak ciji je brojnik manji) i1i : < ~ (manji je onaj razlomak
ciji je nazivnik veci), Ako nemaju jednake nazivnike niti brojnike onda ih
prosirujemo do zajeclnickog nazivnika, Npr, Treba uporediti
2 . 3 2 2·5 10 3 3,3 9 razlomke _ I _, _=--=- -=--=- Kako je
3 5' 3 3·5 15 5 5·3 15
10 9 kl' v' d' 2 3 _>- za JucuJemo aJe ->-, 15 15 3 5
Decimalni razlomci su oni u kojima je nazivnik jedan od brojeva
10, 100. 1000, .. ,
14
Razlomak ~ Uedna desetnina) cesto se oznacava sa 0, 1
10 (citaj: nula cijelih ijedna clesetnina),
2- = 02 (nula ci,J'elih i dviJ' e desetnine) 10 '
Razlornak 4 004 ( I 100 = , . nu a cijelih i cetiri stotnine),
3 Razlomak --= 0 ()03 (llUl ," l'j' 'h'" 1000' a cIJe III tn lljadnine),
f
l 37 215
3,7=-; 2,15=--' 10 100'
Operacije sa razlomcima
3,034 = 3034 'J 1000
Sabiranje i oduzimanie:Mocru se naJ'laksve sabl'j'at" d" . . I : .., , .: bel I 0 uZlmaU laZ OrnCI kOjl ImaJU 1St1 nazivnik (Sa·b'· 'j' d ' . ' , " ,.lrdmO 1 I 0 uZlmamo blOJl1lke a nazlvl11k ostavimo isti)
2 3 5 17 4 13 -+-=- ---7 7 7 15 IS-iS
Ako razlomci nernaJ'u isti naZiV111'k d' , on a lh prosirivanjem moramo dovesti n41 z41jednicki nazivnik,
N pI'. 2 + ~ = 2, 5 + 3· 7 =.!Q. + 3.! _ 31 7 5 7 ' 5 5 ' 7 35 35 - 35 5 2 5,1 2·2 5 4 1 ----=----- ----=-
6 3 6·1 3·2 6 6 6
Zbir prirodnog broja i razlomka, npr. 3 +! cVesto 5 se pise bez
znaka 1/+" pa se dobije broj 3 ~ (tri cije1a i jedna petina), koji se
naziva mjesoviti razlomak
15
Mnozenje i dijelenje razlomaka
Mnozimo brojnik brojnikom a nazivnik nazivnikom.
2 2 4 2 6 Npr. -::;'5= 35 3· 7 =-::; Kod dijelenja podijelimo brojnik brojnikom a nazivnik
nazivnikom ako je moguce;
16 2 16; 2 8 npr. -;-=---=-
9 3 9:3 3 Ako nije moguce onda prvi raz10111ak poml1ozimo sa
reciprocnom vrijednoscu drugog razlomka (kad brojnik i nazivnik zamjene mjesta).
. 7 3 7 4 28 -:-=-.. -=-; 9 4 9 3 27
8 8 1 8 .-::::-
5 5.3 _ 2 _ 3 15 ,",0_=::;._=_ -" 3 2 2
Decimalni broj se promjeniti mu na kraju dopiserno jednu ili .
Npr. 2,1 10=2,1
Decimalni mnozimo sa dekadskol11 jedinicom tako malni zarez pomjerimo nadesno za iko mjesta koliko nub
Im2t
sa i 0 da decimalni z21rez
Npr. 23,75·1 ili 15·lO=OJ 5
16
Decimalni broj mnozimo sa 100 tako da decimalni zarez pomaknemo za dva mjesta u desl1o.
Npr. 6,275·100=627,5 iIi 0,05.100=5
Decimalni broj dijelimo sa dekadskom jedinicom tako da decimalni zarez pomjerimo ulijevo za onoliko mjesta koliko nu!a ima dekadska jedinica. .
Decimalni broj clijelirno sa 10 ako mu clecimalni pomaknemo za jedno mjesto u lijevo.
Npr. 37,58: 10=3,758 ili 0,05: 10=0,005
zarez
Decimalni broj dijelinlO sa 100 ako mu clecimalni zarez pomaknemo za dva mjesta ulijcvo .
Npr. 236,7: 100=2,367 iii : 100=0,005
Sabiranje i oduzinmnje decimal nih brojeva
Npr. 0,758 8,67 69,00
+23,1 .24 - 2,38 -- ---23.858 5,43 66,62
Mnozcnje i dijeijenje decimalnih brojeva
Mnozi se kao da nema decimaJnog zareza a zatim 1I
proizvodu naznacimo onoliko decimalnih mjesta koliko ih je u oba faktora zajedno.
Npr. 23,7·4.25
1185
474 948
100,725
0,053 ·0,7 == 0,0371
17
Kod dijeljenja dva decimalna broja djelilac i dijeljenik pomnozimo sa 10 ako djelilac ima jednu decima\u, sa 100 ako ima dvije, sa 1000 ako ima tri itd, pa se dijeljcnje decimalnim brojem svodi na dijeJjene decimalnog broja cijelim brojem.
Npr. 5,664: 2,4::: 56,64: 24 2,36
86 144
00
Pretvaranje decimalnog broja u razlomak
U razlomak se mogu pretvoriti svi decimalni brojevi sa konacno 111nogo decimalnih mjesta i decimalni brojevi koji imaju beskonacno mnogo decimalnih mjesta kod kojih se ponavlja jedan te isti broj (0,33333 ... ) iii grupa od dva iii vise brojeva (2,39393939 ... ).
18
235 2 35 .. Npr. 235 = -- == -- (mjesovtti broJ)
, 100 100 Kako se broj 0,333 ... moze pretvoriti u razlomak?
0,333 ..... ==X /·10 3,33 ...... ==10x 3+0,33 .. ==lOx 3+x =lOx 3 == 10x-x
3 3' ::::} x = - znaci broj 0,333 ... = - ; 0,333= 0,3
9 9 3=9x
Kako se broj 2,3939 ... pretvara u razlomak? 2,3939 ... =2+0.3939 ... 0,3939 ... =X /·100
39,39 ... =100x 39+0,39 ... =100x 39+x =100x
39 39=99x ::::} x =-
99
znaci 2,393939 ... =2+0,393939 ... =2+ 39 = 198 + 39 = 237 . 99 99 99'
2,3939 ... = 2,39
Iracionalni brojevi
.. Decimalni br~j~vi sa beskonacno mnogo decimalnih 111jesta kOJ~ se ne pona~IJaJu po nekom pravilu ne 1110gU se napisati u obhku razlomka 1 takve brojeve zovemo iracionali brojevi.
Npr. J2 = 1,4142 ... , .J3 == 1,73205 ... , e == 2,7182 ... ,
11: = 3,14 ...
Skup iracionalnih brojeva se oznacava sa J.
Unija racionalnih i iracionalnih broieva cini skup realnih brojeva R.
19
Razlnjere i propordje, brojne sredine 1 Odnos izrnedu dva broja ili dvije velicine zove se razmjera. Aritimeticka razmjera govori za koliko je jedna veliCina
manja iIi veta od druge i oznacava se a-b. Geometrijska razmjera govori koliko puta je jedna velicina
a mania iIi veca ad drupe i oznacava se a:b iIi -, b;t:O.
J 0 •
n Jednakost dvije razmjere zove se proporcija. a:b=c:d; aid su spoljasnji clanovi proporcije, dok su b I c
(b:;t:O. d:;t:O) unutrasnji 61anov1 proporcije. Proizvod spoljasnjih clanova proporcije jednak je proizvodu
unutrasnjih clanova. Ako jc a:b==c:d tad a vrijedi ;)·d::::b·c i svak! clan proporcije se
moze racunati
a·d b::::--;
a-d c:.::.:--;
b·c d=--
c b
fa:c=b:d I
Akojea:b=c:d, tada jeiid:b=c:a
ld:c=b:a
f(am): (bm)= c: d
Takode, a:b=c:d, tadaje i i (a: m): (b: m)= c: Ii
l(a:m):b=(c:m):d
r (a ± b!; ~ c ± = a : c = b : d Ako je a:b=c:d, J(a+ b): ic+d)= (a - b.): Ie-d)
a
tada je i 1 \; \ { . (' . l ~na + nb): \1Jl.C + nd)= .ma - nb): (me·- )
Produzena proporcija: a:b:c=p:q:s
20
Ako je a1: b I = CI : d 1
a2 : b2 = C2 : d2 ....................... an : bn = cn : dn
tadaje (ala2 ... an) : (b 1b2 ... bn ) == (CIC2 ... C ) : (d d d) n I 2··· n
Ako je a:b==b:c, tad a 'e b-&. .. . . _ _ . J - ac (b Je geometnJska sredina za a i c)
Iz a.b-c.d=e f=="'-m'n-k . . -. - mogu se Izraziti a==bk, c==dk,. "
Aritimeticka sredina A(xn
) = Xl + x2 + x3 + .. ,xn
n Geometrijska sredina G(x ) - ne
n -yx1 'X2 'x3''' X - n , Xj20, (i=1.2, ... n)
Harmonijska sredina H( n xn) = -,;-----:-___ _ 1 1 1 -+-+.,,+-
Xl X2 Xn
Kvadratna sredina: K(xn ) = ~xf + xi + .. _x2
Vrijedi K ~ A ~ G ~ H n
Postotni (procentni) racun
(I-postotni iznos, p-postotak (o/c) G J . . G. 0, -g avnlca (osnovna vrijednost)
I=--P G = 100·1 _ 100-1 7 100' p' p--G (7%=-=007)
100 '
l Stepeni ]
a-a =a2 3 '--v-' a -a . a = a a . a . a ... -a = an
2 faktora ~ '-------v----:: 3 faktora n faktora
Izraz an se zove n-ti stepen bro'a a d' . izlozilac iIi eksponent stepena. ~ ,g Je Je a baza stepena a n
21
al=a, aO=1 (a:;t:O)
a2k>0 Npr. 24=16 iIi (-2)4=(-2)-(-2)0(-2)-(-2)=16 a 2k
+1>O za a>O; a2k
+1<O za a<O
Npr. 33=27 a (-2i= (-2)·(-2){-2)=-8 . (Vrijednost stepena je pozitivan broj ako je eksponent paran bro] a ako je eksponent neparan broj onda je vrijednost stepena pozitivna ako je, baza pozitivna a negativna ako je baza negati vna.)
Operacije sa stepenima
Moge se sabirati i oduzimaU sarno stepeni jednakih baza jednakih eksponenta.
5a3+7a\::lOa3, 8b5-3b5=5b5
Mnozenje stepena: - jednakih baza:
m "_am+l1• pr a2
,<> 7=a2+7=a9 a ·a - 'co i:t
-jednakih eksponenata: all.b!l=(a·-bt; pi". 23.53=(2.5)\::103=1000.
Dijeljenje stepena ~jednakih baza:
-jednakih eksponenata:
a": b"~(: J ,pr. 27': 94=(Z;J = 34 = 81, b*Q Stepeni sa negativnirn eksponentorn
( ·-2
a-ll=~ fa-ol-O) or 2-3=_~=~. '\! I =_1_=..!.=9 an ,r " 2' 8', 3 ) (~ y !
22
( \-n ( In Vrijedi :.1 = :
Stepenovanje stepena (a ill r = a m·n , pr (a 2 ) = a 6
Steponovanje binoma
(a + b)2 = a 2
+ 2ab + b 2 kvadrat zbira
(a - b)2 = a 2 - 2ab + b 2 kvadrat razlike
pr. (2x - 3y)2 = (2x)2 - 2(2x)· (3y) + (3y)2 = 4x2 -12xy + 9y2
kub zbira
(a_b)3=a3 - 3a2b+3ab2
- b3 kub razlike
pr. (2x-y)3 =(2X)3 - 3(2x)2. y + 3(2x)-(yi - i=8x3 - I 2x2Y+6x/-i
(a±b)4::::a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4
RastavIjanje na faktore nekih poznatih izraza 2 2
a - b = (a - b )(a + b) razlika kvadrata
pr. 64x4
- 9/=(8x2 3y) (8X2+3y)
a3
- b3 = (a - b)(a
2 + ab + b 2) razlika kubova
a3
+ b3 = (a + b)(a 2 -ab + b 2
) zbir kubova
27 3 r 3 y 9 6y 2 '\ pr. 3 -8y = --2y I '-+--+4y I
x ,x A x )
4 "2 2 3 -b =(a-b)(a-'+a b+ +b")=(a 2 _b 2
as + b5 = (a+ b)(a4 -a3l;+a 2b 2 -ab 3 + b4)
23
a 2 + b 2 = (a 2 + 2a b + b 2 ) - 2a b = (a + b - .J 2ab )( a + b + .J 2ab )
a 4 + b 4 = (a 4 + 2a 2b 2 + b 4 ) - 2a 2b 2 =
= (a2 + b 2 -abfi)(a2 + b 2 +abfi)
opcenito
a 2n _ b 2n = (a _ b )(a 2n- 1 + a 2n - 2b + ... + ab 2n- 2 + b 2n - 1 )= = (an _ b n )(an + b n )
a 2n + 1 ± b 2n + 1 =
= (a ± b )(a2n + a 2n - 1b + a 2n - 2b 2 =+= ... + a 2b 2n - 2 + ab 2n- 1 + b 2n )
32n + b 2n + n + h n - a % b ; J2ll-n + b n + a % b % J2l
I Korijeni I Za svaki real an broj a:2:0, za svaki prirodni broj n postoji
jedan i sarno jedan realan broj b:2:0, tako da je : bn=a.
Taj broj b zoverno n-tirn aritirnetickim korijenom broja a
oznacavarno ga b = rf;; . a-podkorjena velicina iIi radikand n eksponent korijena
Iz b3=a slijedi da je b = ~; V8 = 2 ,jer je 23=8
f2 {a za a ;::: 0 r:; I I "';a~ = , drugacije pisano "';a~ = a -a zaa<O
24
f,1 ~ J (3 3 r +31 ; J (3 - b Y ~ la _ hi ~ { a - b za a ;?: b -(a-b) zaa<b
J(-7)2 =1-71 =7
Operacije sa korijenima
Korijen proizvoda T.l/a. b = rf;. rJb ;
Korijen kolicnika
npr. )9.25 = /9.!2S = 3·5 = 15
.fa ~ .,;;; ~64 V6i 4 Vb I.{/b' npr 27 = lf27 == 3
Stepenovanje koriJ'ena' ~1r;;~ - ~ak ( t . . \va) - s epenuJemo podkOljenu velicinu).
KOljenovanje korijena: ~V; = nV; ; npr. Jv;; = V;;
Prosirivanje korijena: ~aP = nVaPk . 3/2 _ Vi 2 \2 6/4 ,npr.Va~- \a J ='1a-'
- k VJ Skracivanje korijena: ~ a k = ill a ill . n . 618 _ 3/4 , pI. Va u
- Va"
Uvlacenje pod korijen: aI.{/b = ~ a lib ;
npr. a2fu = ~(a2 )~b = ~a 7b
Mnozenje korijena jednakih eksponenata:
'f;. t{t; = rJ ab
25
sadrZalac. Ako je u nazivr.iku zbir ili razlika dva iIi vise korijena: Ako 11JSU jednaki eksponenti dovedemo ih na zajednicki
;if;. Vb == 1~ .14"b3 = 1~a4b3 Korijen se moze izraziti kao stepen sa racionalnim eksponentom.
k 1 2
~ a k = a ~ ; pr. Fa == a 2:; if;2 == a "3 npr.
Za a>O, b>O i a2 -b>0 vrijedi r--.--;:===== J €li- Jb + J a - Jb :::; ~ 2a + 2 ~ a 2
- b 2 a)
b) ~a+Jb -~j{; =~2a-2~a2 _b 2
c) Ja+[b=~a+J:2-b +~a-J:2-b
d) I h _ a+Ja 2
-b ja-Ja2 -b
-va-"b - 2 -, 2
e) fa ±.jb =~ a ± 2J a b + b
Racionalisanje nazivnika
26 27
I Skupkompleksnih brojeva! U skupu realnih brojeva nije mogu6e rijesiti jednacinu oblika
x2+1=O <=> x2= -1, jer ne postoji real an broj koji kvadriran daje negativan broj. Zato je uvedena imaginama jedinica i ciji je kvadrat broj -1,
znaCi vrijedi P=-l pa je i = H . h = i.[; ; (a>O)
Npr: .J-16 =i.J16 =i·4=4i; (4if =16i 2 =16·(-1)=-16
Stepeni imaginame jedinice ·1 . ·4k+l . I =l l =1
·2 1 l =-
·3 . I =-l
·4 1 I =
i 4k +2 =-1
.4k+3 . l =-l
·4k 1 1 = ·35 ·4·8+3 . pr. 1 = 1 =-[
, (k=O,1,2, ... )
Kompleksan broj je zbir realnog i imaginamog broja z=a+bi. a - realan dio kompleksnog broja Re(Z) b - imaginami dio kompleksnog broja Im(Z) pr. z =2 - 3i ; Re=2, Im=-3
Jednakost komplesnih brojeva
28
a + bi = c + di ako i samo ako je a = c i b = d
z = a+ bi} - konjugovano komleksni brojevi Z = a-hi
Modul kompleksnog broja (apsolutna vrijednost)
/z/=/a+bi/=Ja2+b 2 ;
pr./4-3i/=J4 2 +(-3)2 =-J16+9 =..fi5 =5
Za module kompleksnih brojeva vrijedi
IZl +z2/::;jzll+/z2/
/Zl-Z2/~I/Zl/-/Z2/1 IZl 'Z2/ =/Zl/'/Z2/
Z1 IZI/ -=-,-,;Z2:;t:O Z2 Z2
Operacije sa kompleksnim brojevima
(a+ bi)± (c+di)= (a± e)+ i(b ±d)
(a + bi). (c+ di)= (ae+ bd)+ i(ad + be)
(a + bi) = (a + hi). (e - di) _ ae + bd . be - ad
(e+di) (C+di). (e-di) - c2 +d2 +1 e2 +d 2
Graficko predstavijanje kompleksnog broja J imaginama 0'3 KompleksllO b" . m IOJU z=a+bl
2 M(3,2) Z=3+2i
zl
C(O.O) 3 x reaina 05[1
moze se pridruziti tack a sa koordinatama (a, b) ravni 1C i obmuto. tacki M sa koordinatama (a,b) ravni TC
moze se pridruziti kompleksan broj z=a+bi
29
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
y
a = p cos <P
x
b tg<p =
a
b == P sin <P
Ako u z=a+bi zamjenimo a i b koji su odreaeni prema slici dobijamo trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
z = p(cos <P + i sin <p)
Operacije sa kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obliku.
z 1 = P 1 (cos <Pl + i sin <PI)' z 2 = P 2 (cos <pz + i sin <P2)
zl . 'Zz = PIPZ [COS(<Pl + <pz)+ i sin(<Pl + <pz)]
ZIP 1 r ( .). . ( )] -=-' leos <PI -<PZ +lSm <PI -<P2 Zz PZ
Stepenovanje kompleksnog broja
zn = [P(cos<p+ isin<p)t = pO (cosn<p+ i sinn<p)
Specijalno za;
P = I:::::} (cos<p + isin<p)n = cosn<p + i sinn<p -Moivreov obrazac
Korienovanje kompleksnog broja
nl nCr <p + 2kn <0 + 2kn "J ~ z =" p cos + i sin . -, (k=O,l ,2, .. ., n-l) ~ n n
30
[L0garitmi .1
Logaritam nekog pozitivnog broja N za bazu a (O<a:;t:l) je eksponent k kojim treba stepenovati bazu ada se dobije broj N.
log a N = k ¢:} ak == N
npr. log2 8 = 3 , jer vrijedi 23=8
Za logaritme vrijedi
Vrijedi:
lou x a ba = X
loga1=O jer aO=l; logaa=l jer aJ=a.
1 loga b =---
10gb a
-logaritam proizvoda loga (xy) = loga x + log a Y
X -loboaritam kolicnika log log x I a -= i a - oga y
y
-logaritam stepena log a xk = k loga X
-logaritam korijena log a ~ = !Joga x n
Ako je baza logaritma broj 10 onda se logaritam zove dekadski i tad se baza izostavlja: IOglOX=JOg x.
Ako je baza logaritma broj e=2,718 ... zove se prirodni logaritam: logex=ln x.
Veza izmeau dekadskih i prirodnih logaritama. log x=ln x·log e ; log e=O,434294 ... =M (modul Briggsovih logaritama)
logx 1 Inx =-;---= logx·--;
loge loge
1 -1 - = 2,302585 ... = M loge
31
Linearne jednacine i sistemi linearnih jednacina
Svaka jednacina koja se moze svesti na jednacinu oblika ax=b zove se linearna jednacina sa jednom nepoznatom.
1. Ako je a:tO jednacina je odredena i ima tacno jedno rjesenje
1. b
ob lka X=-a
2. Ako je a=O i b:tO onda je jednacina nemoguca tj. nema rjesenja. 3. Ako je a=O i b=O jednacina je neodredena i rjesenje joj je bilo
koji broj x.
Npr. l.
2. 3.
3 ·x=6, odredena, rjesenje x = i = 2 . 3
o ·x=7 , nemoguca, nema rjesenja. o ·x=O , neodredena, Ijesenje \::fx.
Sistem dvije linearne jednacine sa dvije nepoznate
Sistem od dvije linearne jednacine sa dvije nepoznate moze se napisati u obliku;
alx + b1y = cl
a2x +b 2y=c2
gdje su koeficijenti aj,bt,c},32,b2,C2E R a x veliCine.
Y nepoznate
Rjesiti sistem znaCl promjenljivih (a,~)=(x,y) istinita brojna vrijednost.
odrediti uredeni par vrijednosti za koje svaka od jednaCina postaje
32
Metode rjesavanja sistema I metoda zamjene
(1) 31x + b1y = cl
(2) 32x + b 2y = c2
Iz (1) izrazimo npI'. Y = c1 -alx ----"--~ , ako je bl:tO i zamjen. u (2) b i
koji smo dobili kad smo izrazili Y = a 1c 2 - a2c1
31 b 2 -a2b }
alb2x-a2blx=Clb2 -b1c2
x=c1b 2 -b1c2
a1 b 2 -a2b !
Dobijenb x zamjenimo u jednu od jednacina sistema odakle
d b.. alc2 - 32c1 o I J emo Y = --::;-=---=-...;~ a1 b 2 -a2b l
Metoda determinanti.
31X+b1Y=Cl
32x + b 2y =C2
33
Formiramo determinante II reda:
D al b I
=a1b 2 -b1a 2 (determinanta sistema) a2 b 2
D =' cl b1 = c}h2 - b1c 2 (determinanta za nepoznatu x)
x I c2 b 2
D y = a1 cl
= aieZ -cIaZ (determinanta za nepoznatu y) a2 c2
D'x=D . D·v=D x , .; y
Diskusija r.iesenja sistema Old dvije Hnearne jednacine
Da Ii sistem ima iii nema rjesenja zavisi, prvenstveno, od toga da
Ii je D:;t:O iIi je D=O.
1. Ako je D:;t:O sistem ima jedno i sarno jedno ljesenje.
x=
Ako je u sistemu C]==:C2=O, za sistem kazemo da je homogen. Tada
ie Dx=O i Dy=O, pa ako je D:;t:O jedino l~iesenje homogenog sistema Je par (0,0): za koji kazemo daje ocigledno iIi trivijalno rjesenje.
Da bi homogeni sistem imao i netrivijalnib rjcScnja, potrebno je i dovoljno da je D=O.
2. Aka je D::-:D,=Dy=O, sistem neodreden, tj. im3 beskonacno mnogo rjescnja ili nema uopste rijesenja.
34
Ako su svi odgovarajuci koeficijenti sistema proporcionalni sistem je neodreden.
32 b z Cz -=-=-=k 31 b I Cl
3.Ako je D=O j Dx:;t:O iIi Dy:;t:O tada je sistem protivrjecan, on dakle nema rjesenja.
a2 = b 2 ; ~:;t: ~ iIi b 2 :;t: C2
31 b I 31 Cl b1 Cl
Graficki prvi slucaj znaCi da se prave koje su odredene
I D ' D \
jednacmama sistema sijeku u jednoj tacki T, ( Dx Dy I). Drugi slucaj znaci da se prave odredene jednacinama sistema
poklapaju odnosno predstavljaju jednu pravu.
Treci siucaj znaci da su prave paralelne.
Sistem od tri iednacine sa tri nepoznate
31X+b1Y+CIZ=d1
32x + b 2y + czz = d 2
33 X +b 3Y+C3 Z =d3
! 31 bI cil , ell =1 a'j I - b 2 e21 Ib i bI D b z Cz =31 -32 1+ 33 I - b3
h3 C31 Ib3 C3. bz e21 1 3 3 C3 I
d1 bI i
C1 I D = d2 b2
I
x ezl X· == D x , y-D= 5 z-D=Dz !
d 3 b 3 c31
35
Determinantu treceg reda mogzemo rijesiti i pomocu Sarus-ovog pravila.
. a 1""'" bxC~ .. ~1 /,1
a~b;<C2. '. 'a2 ...... b 2 a3 b3 'C3 "a3 'b 3
= alb2C3+blC2a3+Cla2b3-clb2a3--a 1 C2b3-b I a2c 3
Sistem od tri linearne jednaCine sa tri nepoznate mozemo i nekim drugim metodama rjesavat. Npr. Metodom zamjene tako sto jedanu nepoznatu izrazimo iz jedne jednaCine sistema (najjednostavnije) pa tu nepoznatu zamjenjujemo u preostale dvije tako da dobijemo sistem od dvije jednacine sa dvije nepoznate. Mozemo metodom suprotnih koeficijenata uzimajuci dva puta po dvije jednacine i eliminisuci jednu istu nepoznatu dobiti sistem od dvije jednaCine sa dvije nepoznate.
Linearna funkdja
Funkcija oblika y=kx+n je linearna funkcija i njen grafik je prava linija; k je koeficijent smjera (usmjerava pravu), n odsjecak na y os!.
'I A(O,n)
y
A(O,n)
n n
k>O, ugo a ostri, funkcija raste; k<O, a-tupi , funkcija opada
36
Nula funkcije je vrijednost argumenta x za koju funkcija uzima vrijednost 0 (y=O).
y=kx+n; O=kx+n; -kx=n
n x = --. nula funkcije
k Geometrijski (graficki) nula funkcije je tacka u kojoj grafik sjece x-osu. Specijalni slucajevi
y
y=n
n
a=O° k=O; y=n a=1800 r
y
x=o x=a
n=O, y=kx
Dvije prave Yl=k1x+nl i Y2=k2x+n2 su paralelne ako je k l=k2
.
Dvije prave se poklapaju ako je kl=k2 i nl=n2'
Dvije prave su ortogonalne ako je k,., =_~ - k'
1
37
[ K vadratne j edna cine
lednacina oblika ax1+bx+c=O, a:tO zove se kvadratna jednacina.
Nepotpune kvadratne jednacine
1. b=O i c;<o ; ox'+c=o rjeScnje XJ.2 = ±~_ c . a
b x(ax+b)=O rjesenje Xl=O, X2::::: --
a 3. b=O i c=O ; ax1=O rjesenje je x=O
Potpuna kvadratna jednacina (opca kvadratna jednacina)
ax2+bx+c=O, a,b,c:tO I "I
-b±~b~-4ac Njeno rjesenjeje xI,2 =------
2a
ax2+bx+c=0 /:a
? b c x-+-x+-=o
a a Za
b -=p, a
, p y xk+px+q=O xl,2 = - 2 ± V~--q
c - ::::: q imamo jednacinu a
Diskusija rjescnja kvadratne jednacinc
r b 2 -4ac 1 Diskriminanta D ::::: i 2 ~
IL_q j l 4
Ako je D>O rjdenja (korijeni) su realni i razliciti, X (;t:X2
38
D=O dvostruki realni korijeni (jednaka rjesenja) XJ=X2
D<O konjugovano kompleksni korijeni
Viet-ova pravila
b xl + X2 ::::: --:::::-p
a C
Xl 'X2 =-=q a
Rastavljane kvadratnog trinoma
ax1+bx+c::=a(X-XI)(X-Xl) gdje su Xl ax2+bx+c=0
X2 rjesenja jednacine
Diskusija 0 rjeSenjima kvadratne J'cdnacine 2 .
X +px+q=O ; neka je Xl::;; X2
{p > 0, Xl < x2 < 0
q > 0 ... I cP<O, O<xI <x2
D=p2
-4q>OJ q =O"'X1 =0, x2=-P
fp >0,
!q < O'''jP = 0, l p<O,
(
Xl<O<X2I X ll>xz Xl ::::: -X2
Xl <O<X2,!Xl!<X2
Ip>O ... Xl =x, =-p <0 2 ~ 2
D=p -4q =O.j
lp<o ... Xl =Xz =-~ >0
D=p2_4q<O kOljeni konjugovano kompleksni,
39
I K vadratna funkdja
y = ax 2 + bx + c = J x + ~ \2 + 4ac - b2
parabola sa tjernenorn \ 2a) 4a
r-b 4ac-b2 J
u tacki T -, 4 \ 2a a \
b .... i pravcern x = -- kao OS1 slmetrlJe.
2a
Mogu6i slucajevi:
\ "") \ / D>O \ Ddl
\ \, x ~/ x x i-II> a>
Xj=X2=---2a
_~, 4ac-b I ~ 2 '
. 2a 4a )
T
)\b" x x I!I
\ / XI X2=-- T 2a
A / thO \ / / D=O
/ \ / \ I
40
Polozaj nule kvadratnie funkcije prema datom razmaku
Neka su a i ~ realni brojevi i a<~. Da bisrno mogli govoriti 0
polozaju nula XI, X2 kvadratne funkcije f(x)=ax 2+bx+c odnosno rjesenja kvadratne jednaCine ax 2+bx+c=O prerna razmaku
(intervalu) (a,~) mora diskriminanta biti nenegativna, jer, u protivnom, ne rnozemo uporedivati imaginarne nule funkcije sa realnirn brojevima a i ~.
1. Da bi jedna j samo jedna nula bila u razmaku (a,~), potrebno je i dovoljno daje f(a)·f(~)<O
(a<xl <!3<xl)iIi(Xl <a<x2 <p)qf(a).f(p)<O
/\ r / \ f3 ~ ;' \ ! I \ " ~/ \
! '----f" [' )' / ~a, (a) , a) b)
f(a)·f(~)<O povlaci uslov 0>0 pa ga ne treba posebno navoditi, Zelimo Ii, jos preciznije, odrediti uslove LIZ kojc' jedna Dula u razmaku (a,(3) a druga desHo iii iijevo od tog razmaka, tada imamo:
(a<xl <p< q [af(cx»o IdJJ fCf)< 0 ] slikaa
<0:< < ¢:::? [af(a)<O /\ a f(!3) > 0] slikab
Ako je jedna nula lijevo . a druga desno od razrnaka tada imamo:
(xl <a<!3<x2)¢:} [af(a)<O /\ af(f3)<O]slikac
41
/ \ --- ..... I: I: I ,
I b I I I I
ex ~ x
c) d)
3. Ako su dvije nule u razmaku (cx,~) tada imamo
iD20 /\afCCX»O J\af(~»ol .
< A -"-" b shka d (CX<xl $x2 t-'~ A J\CX<--<t-' I
L 2a J
4. Ako su obje nule Jijevo od razmaka (cx,~) tada imamo:
xl <;X2 <a"" In;'OAaf(a»o A- :a <a J slikae L
I / --- .... ,
b
b ex ~/ x .. I
I B X / I
I I
f)
5. Ako su obje nule desno od razmaka (CX,~) tada irnarno - b l .
A <v~ ¢:::} lD20J\3f(B»O J\B<--I shkaf I-' < Xl "- ft. L 2a I
..J
42
I J ednacine viseg reda
Bikvadratna jednaCina ax4 + bx
2 + e = 0
at 2 + bt+c = 0
Rjcsenja bikvadratne jednaCine su onda
(smjena x2 = t)
x 1,2 = ±,Jt; ; X 3,4 = ±Jt; .
Kubna jednacina ax3 + bx2 + ex + d = O. Odredimo jedno
cjelobrojno IjeSenje X, koje mora biti (ako postoji) faktor broja d.
Zatim polin om ax3 + bx 2 + ex + d podijelirno sa X-Xl i dobiveni rezultat Uednacina drugog stepena) dalje rjeSavamo.
Simetricna jednacina treceg stepena
Simetricna jednacina cetvrtog stepena
43
Binomne jednaCine
xn±a=O I:a Xll .. d v' n+1 Ok . Smjena -=Y paJeJe nacmay - = oJu
a
a posmatramo kao l±l n::::o pa rastavljamo na
proste faktore. ;t
Npr: x3±1::::0 (x ± IHx2 =+= x + 1)=0
Trinonme iednaCine
44
1l\1atematicka indukcija ! Zakljucivanjem nazivamo izvodenje jednog stava iz drugog
iIi vise drugih stavova. Tako izvedeni staY naziva se zakljucak. U matematici se koriste dva oblika zakljuCivanja ito: deduktivno i induktivno.
Dedukcija je zakljucivanje od opsteg ka posebnom. Indukcija je zakljucivanje kojim se iz konacnog broja posebnih stavova izvodi opsti stay koji se odnosi 11a sve slucajeve, i1 i haec: indukcija je zakljucivanje od posebnog ka opstem.
Postupak kod zakJjuCivanja opstih stavova pomocu matematicke indukcije je slede6i:
a) Utvrdi se da taj stay vrijedi u jednOITl iii nekoliko posebnih slucajeva iste vfste,
b) Prctpostavi se da taj staY vrijedi za proizvoljan broj k takvih slucajeva i
c) ako se zatim dokaze da taj stav vrijedi i za vise od k takvih slucajeva, tj (k+ 1), onda se smatra da taj staY ima opstu vrijednost i da vrijedi za sve moguce takve slucajeye.
Princip matcmaticke indukcije~ Jedan iskaz (iii stay) 'fen) cija formulacija sadrzi prirodan broj n je istinit za svaki prirodan broj:
1. ako je istinit za prirodan broj n::::n(i~l, T(no), ako iz pretpostavke-da je istinit za prirodan broj n=k>no,
T(k) slijedi da je istinit i za prirodan broj n=k+l, T(k+l) T(k)=>T(k+ 1) Svaki dokaz matematickom mdllkci_:~)m sastoji se tri a) Provjera da je iskaz tacan za n=n(l~l, [T(no)] b) pretpostayka da je iskaz tacan za n=k>no , [TOe)]. c) Dokaz daje iskaz tacan za n=k+l [T(k+l)]
Primjer: Dokazati da je za svaki prirodni broj n izraz
45
a) Provjera da tvrdnja vrijedi za n=l
Sl-1 +21 =So +2=I+Z=3 b) Pretpostavka da vrijedi za n=k tj.
Sk-l+ Zk=3·A, AEZ
c) Dokaz da na osnovu pretpostavke vrijedi za n=k+l
Sk+l-1 +Zk+l =S.Sk-l +Z.Zk =S.Sk-l +(S-3).Zk ==
=S.Sk-l +S.Zk -3.Zk =5(Sk-l +Zk)_3.2k ==
== S· 3A - 3 . Zk == 3( 5 A - Z k )
Aritmeticki i geometrijski nizovi
Aritmeticki niz a1) a2, a3, ... an, .0. ima osobinu 32 - a}= 33 - 32= a4-33="'= 3n - 3n.l=d (razlika ili diferencija niza). aJ Ll2=al+d Ll3=a]+2d
3n=31+(n-l)d n-ti iIi opsti clan aritimeticlog niza.
Svaki clan aritmetickog niza osim prvog i zadnjeg je aritmeticka
• • • v 3 n -1 + 3 n +1 sredma svoJ3 dva susJedna cIana 3n == 2
Zbir prvih n clanova aritmetickog niza ;
Sn == ~(31 + an) iIi 2
Diferencija d] interpoliranog aritmetickog niza data je sa;
b-a d 1 = --, a b - krajnji clanovi niza, r- broj umetnutih
r+l clanova.
46
Geometrijski niz aX, a2, a3, ... am ... ima osobinu
a2 a3 an - = - = ... == -- == q (kolicnik geometrijskog niza) a1 32 3n-l
31
a2=al'q 2 a3=31'q 3 a4=al'q
3n=al·qn.1 -n-ti iIi opsti clan geometrijskog niza
Svaki clan geometrijskog niza OSl111 prvog i zadnjeg je geometrijska sredina svoja dva susjedna clana
an = Jan-I' 3 n +1 .
qfl -1 Zbir prvih n clanova geometrijskog niza S = 3 - __
nIl q-r;
Kolicnik interpoliranog geometrijskog niza qj = r+~: ' a-prvi
clan, b-posljednji clan, r-broj umetnutih clanova.
Beskonacni geometriiski red (I q I < 1) Njegova sumaje
S I, S 2 3 - 31 == nn'n==31+ 31Q+alQ +31Q + ... =--n~= l-Q
47
\ Binomni obrazac I . Proizvod svih prirodnih broJeva od I do n oznacavamo
n!=1·2·3·· .. n (En faktorijel)
Npr. 6l==1·2·3-4·5·6==720 Binomni koeficijent
(n "1 = nen -l)(n - 2) .. · (n - k + 1) ; (n2k;n,kE N) ("En nad kit) _ k) I·Z·3· .. ··k
/
, / \ (\ (nJ=l;il'O 1::::1; 1
11 )'=1 10 , () I l n \ \ J. ( " (
. .. . . . ., ( n , _ n! . n I:::: I n Za binomm koeflclJent vnJedl\ k j- k!(n-k)! '\ k) l n-k
\ /
.. (9)_( 9')=(91= 9.8:::: N pl.l 7 1-\ 9 _ 7 I I 2) 1· 2
\ ) \ J \, /
(n'l (n 'j (n+li irelaCijal 1+11 11=ik+
1JI
k! \ K+ ) \ ' j" 1', .. / " . ,..., tr 1 a +r' la Binomni clementi se mogu oaredltl 1 pomOCl PdSKa ovo b L.oug
n+
48
( In '- -
(1.\1 (1'1 ~o) ~1)
1
/2\ (2') , 0) i'l I 2 \ / ',/
(~J (~J (01 (ni (0 i 1 1"'1\ k ilk + 1 \. / , / \
, ~\ n+1 .,.. I ..... 1) k + 1
+1
n+l
1 1 121
1 331 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Stepen binoma n=l n=2 n=3 n=4 n=5
Svaki koeficijent dobijamo tako da sabererno dva koeficijenta iznad njega (s lijeve i desne strane).
Binornna formula
(a+bf =an +(n}n-lb +l(n\n-2b2+.,,+( n \/ab n- 1 +bn (,1 2) n-l
j
Opci clan u razvijenom obliku binoma (a+b)1l je ( \
In J n-k k Tk+l = ~ k a b
Ir" K-o-m-b-i-n-a-t-or-i-k-a'I
Perrnutacije: Broj permutacija ad n elemenata, od kojih se I1!
jedan ne ponavlja p(n) = 1· 2·3 .... n :::: nl .
Perrnutacije s ponavljanjem elemenata ( I jednakih is jednakih) nl
Pr .s (n) = -, -, I.S.
Kombinacije
Broj kombinacija [-te klase (r-tog razreda) od n elemenata a) bez ponavljanja
n(n -l)(n - 2)··· (n - r + 1) (nJ Kr(n):::: = r! r
49
b) s ponavljanjem - _ n(n+l) ... (n+r-l) =(n+r-lj KrCn)- ! r r.
Varijacije
Broj varijacija r-te Klase (r-tog razreda) od n elemenata
a) bez ponavljanja n'l
v~(n)=n(n-1)."(n-r+l)=( J,r! . -' r
( - ! Vr(n)=K r n)'L
b) s ponavljanjem
V;(n)=n r
IVjerovatnoca
Vjerovatnoca elementarnog dogadaja A
m P(A)=
n . I l'11r,),rTl1hh eiementarnih dogadaja, m Je broj (n je broj jedna (Q s ~
realizacija dogadaja A) .. _ . . '0 P{-:-A L 1- peA) Suprotna vjerovamoca . \,1\;- , '.
Totaina vJerovatnoca (vjerovatnoca " ili - iii ": peA) = peAl) + P(A 2 ) + ... + P(An)
Slozena vjerovatnoca (vjerovatnoca "i - i "
PCA) = P(A l )' P(A 2 )····· P(An)
Matematicko ocekivanje . . - \ N = C· v (C je svota, v vjerovatnoca dobltka svote).
50
I Geometrijal Tacka , prava i ravan u prostoru
To su osnovni geornetrijski pojrnovi koji se ne definisu. ledna tacka odreduje beskonacno mnogo pravih. Dvije razlicite tacke odreduju jednu i samo jednu pravu.
•• Sve tacke koje pripadaju jednoj te A B P istoj pravoj zovu se kolinearne
tacke. Postoje najmanje tri nekolinearne tacke.
jednu ravan.
Tri nekolineame tacke odreduju jednu j same jednu ravan. Sve tacke koje pripadaju jednoj te istoj ravni zovu se kompIanarne. Postoje najmanje cetiri nekomplanarne tacke. Dvije prave koje se sijeku U
jednoj tacki odreduju jednu i samo
Dvije prave koje pripadaju jednoj te istoj ravni a nemaju zajednickih tacaka su paraleine.
Dvije prave koje nemaju zajednickih tacaka a ne pripadaju jednoj ravni su mimoHazne.
Dvije prave koje imaju bar dvije zajednicke tacke su identicne ( poklapaju se )
Prava a je paralelna ravni 'IT.
Prava b lezi u ravni 'IT.
Prava c prodire kroz ravan 'IT.
Dvije ravni mogu biti paralelne, mogu da se sijeku u jednoj pravoj i mogu da se poklapaju (identicne su ).Identicne ravni imaju bar tri zajednicke nekolinearne tacke.
51
'Duz AB A B P Dio prave p izmedu tacaka A
B ukljucujuCi i te tacke zovemo duz AB.
: P Dio prave p sa jedne strane njene tacke A
zove se poluprava. Tacka A je onda granicna tacka te poluprave.
Uglovi U gao je dio ravni ogranicen dvjeme polupravama sa
zajednickim pocetko.m
Tacka 0- tjeme ugia Polupraye Op i Oq kraci ugla
<a ili <AGE iii samo a i ~
Susjedni ugloyi su oni koji se nalaze u istoj ravni i imaju jedan krak zaajednicki.
su:-,jcuni
1 Uporedni su susjedni ugloyi cija se druga dYa kraka nalaze na jednoj
/
~! ex pray oJ. m o p
U gao koji je podudaran svom uporednom je prayi ugao (praye p i q
su okomite; p.lq)
52
m p
opruzeni ugao
CIW /".H_
konvcksan ugao
nulaugao G • p. P
P q q pum ugao
~
Kruznica sa sredistem u tacki 0 i poluprecnikom OP je skup svih
tacaka raYni cije su udaljenosti od tacke 0 jednake d(O,P).
k
Krug i prava t
l
a
Duz OP je poluprecnik r kruznice k.
Praya a sijece kruznicu k u dvjema
tackama A i B. Duz AB je tetiYa kruznice
kna={A,B}.
Praya t dodiruje kruznicu (tangira) pa
se zoye tangenta kruznice. t n k = {T}
Tangenta t je okomita na poluprecnik r 1I
- tacki T. Prava b i kruznica k nemaju zajednickih tacaka;
bnk = 0.
Sredisnji (centralni) ugao kruznice
Syaki ugao kojemu je yrh u sredistu
kruznice k a kraci ugla sijeku tu kruznicu u tackama A, B zove se centralni ugao te kruznice. Kaze se da uglu a odgoyara kruzni luk AB. Ako su centralni uglovi
53
a i ~ jednaki onda su i kruzni lukovi i tetive koje im odgovaraju takode jednake. '
Mjerenie uglova Mjera ugla je dio punog kruga koji je
potrebno da prede krak p da bi se poklopio sa krakom q. Obrtanje kraka u smjeru suprotnom smjeru kretanja kazaljke na satu uzima se za pozitivno, a u smjeru kretanja kazaljke na satu za negativno. Uglovi se mogu mjeriti (izrazavati) u:
1.Stepenima Pun ugao (cio krug) je 360° ; 1 °=601=3600"
2.Radijanima
q
p
Centralni ugao kruznice kod kog je duzina pripadnog mu kruzl10g luka jednaka poluprecniku kruznice nazivc.;:no radijan.
3600
0 1800
1 rad = --;:::: 57 17'45"; ................ a rad = --. a 21t 1t
o 2n 0 1t 1 ==--rad: ..................................... a =--·arad
3600 ' 180
1t 60° =- fad
3 '
Komplementni (supJementni) uglovi
Pravi ugao je ugao od 90°, a ispruzeni ima 180°, puni 360°. Dva ugla su komplementna ako je njihov zbir 90°, a suplementna ako je njihov zbir 180°.
54
a + ~ == 900
, a i ~ komplementni
a + ~ == 1800
, a i ~ supJementni
W~ Unakrsni uglovi (a i a') su jednaki.
Uglovi uz transferzalu
a=a' ~=W
ab Pb Y2, 02-spoljasnji uglovi a2, fh, Yh OI-unitrasnjsnji uglovi pllg
(Xl i (X2
~1 i P2 Y1 i Y2 01 i O2
SagJasni uglovi i medusobno su jednaki.
;11 ii ;: } N' . . v •
. alzmJemCl1J uglovi i medusobno su jednaki. Y1 1 (X2
01 i P2 .J
a l i >:2 \~. .
~l i;2 Suprotn! uglnv! i suplementni suo
YI i ~z s:. I 01 1 Uz-'
55
U glovi sa para1elnim kracima
q' q
-'-------T--P' ~ __ ~ 0, P ____ ~"'-~-----'-O, __
pllp' i qllq'
Uglovi sa paralelnim kracima su medusobno jednaki, a=a' i f3=(3'
iIi su suplementni a + a' = 180.0 Uglovi sa okomitim kracima
~ la~q
P' q'
pi .-l P , I I q -L q =? a=a
U giov! mnoQ:ouQ:la
Y'~
Jil' ~B'
, , , ,
q
/ a'~ L./~a1L--__ l-" ---P
I I I
, I
Pi
a, (3, y-unutrasnji uglovi trougla
a+ f3+y::: 180°
aI, (3', i -spoljasnji uglovi trougla at +13' +yt =360°
f3' =a+y, at =/3+y, i =a+f3 Za n-tougao:
a l + a2 + a3 + ... + an == (n - 2) ·180° -zbir unutrasnjih uglova,
a l + ai + a 3 + ... + a~ == 3600
-zbir spoljasnjih uglova.
56
Za jedan unutrasnji ugao a pravilnog n-tougla (sve stranice i svi
a __ (n-Z).180 D
uglovi jednaki) vrijedi n
U gIovi na kruznici
a-centralni ugao nad lukom AB ® ..--.... (3-periferni (periferijski ) ugao nad Iukom AB
B A a=Z~
Svi periferijski uglovi nad istim lukom su jednaki. Periferijski ugao nad precnikom (polukruznicom) je pravi ugao (900).
tlr ugao izmedu tangcntc
i retive
f'/1nogouglovi I Trougao
('
-=R 2 0
0,+[3+)'+6=180° tctivni cetvorougao
~1 \ II /1:' L/u\
tangentni cetverougao
-Pravougli trougao
a+b-c ---=ru
(poluprecnik opisane kruznice) 2
(poluprecnik upisane kruznice)
57
2 a =p·c; 2 b =q·c;
lednakostranicni trougao
Raznostranicni trougao J\
/(1. \
\ /R( \ "'-B aYe
p=a.h a =b.h b =c· 222
Cetverolillli
kvadrat
58
_ a r::: a2J3 h - - 'V 3 , P = ,0 = 3a 24'
2 aJ3
a+b+c S=---
2
Ro=-h=--3 3
1 a/3 fu=-i1=--
3 ()
p= Is(s-a)(s-b)(s-C/l (H \) , ~ \ Ieronov
obrazac)
= 4a;
a r =-'
u 2 ' I
0=a",2
P = r ·s u
p= abc 4R o
d Ro=-
2
;1, & I
pravougaonuk
a romb
c I
I
a romboid
b
im II
~-·:::-:.-::~:.-~~:.t~~~,~~~;--:r ._.~.- I '-._._ I I h
a
jednakokraki trapez
0= 2a+2b
P=a·b
d R =-
o 2
d 2 = a 2 + b Z
7 0=4a
P = ah = °1 ,0Z 2
h r =-
u 2
1 P=a·h
0= 2a+2b
/ P =ahsina
0= a+2b+d
a+c P=m·h=--·h
'1 .. m-srednja linija trapeza
59
Centar opisane kruznice je na presjeku simetrala stranica.
deltoid
p= d 1 ,d 2
2 Centar upisane kruznice je na presjeku simetrala uglova. DijagonaJe se sijeku pod pravim uglom.
trapezoid
. D P=-(h1 +h?\ 2 ~.
tangentni mnogougao
60
-(mnogougao u koji se moz.e upisati kruznica)
O=a+b+c+'"
O·r p=-
2
tetivni cetvrougao -(cetverougao oko kojeg se moze opisati kruznica)
c
a
O=a+b+c+d
o S=-
2
P = ~(s -a)(s - b)(s -c)(s -d)
Broj dijagonala nekog mnogougJa je:
D") n(n-3) ., ,n = , n-broJ strana.
2 Odnos izmedu stranica i uglova trougla
Naspram jednakih stranica u trouglu nalaze se jednaki llglovi. Naspram vece stranice je ve(~i. ugao. Naspram veceg ugJa je veta stranica.
Odnos izmcdu stranica trougla
Dllzina bilo koje stranice trollgla manja je od zbira duzina ostalih dviju stranice tog trougla a veca od apsolutne vrijednosti raz]ike drugih dviju stranica.
a<iHc i 3>lb-c I Podudarnost trouglova (mnogouuiova)
Dva trougla (mnogougla) su podudami ako imaju sve stranice i sve uglove jednake.
Stavovi 0 podudarnosti tromdova
I stav usn Dva trougla su podudama ako imaju
podudarnu i dva ugla koji leze na toj stranici. iednu
J stranicu
61
II stav SUS Dva su trougla podudarna ako imaju podudame dvije stranice
i ugao izmedu tih stranica.
In stay SSS Dva trougla su podudarna ako su 11TI sve tri stranice
podudarne.
IV stay SSU Dva trougia su podudarna ako imaju podudarne dvije stranice
i ugao naSpralTl vece od tih strana.
Slienost trouglova (mnogouglova)
Dva trougJa (mnogougla) su sliena ako su im odgovaraju6i uglovi jednaki a odgovarajuee stranice proporcionalne.
c
/~~ /~, a=a'; P=W; Y=Y
!J "" ~ "-..." a:b:c=a/:b':cl
"~ b' ~a' " "BC-. AA'B/C' N (J. ~ "-....'" B,I\' a' B' ~'B' ilfi. '-u
c c'
Dva trougla su sliena : 1.Ako su dva ugla jednag trougla jednaka odgovarajucim uglovima drugog trougla. 2. Ako imaju po jedan odgovarajuci ugaa jednak i ako su ii11 odgovarajuce stranice koje obrazuju taj ugao proporcionalne. 3. Ako su im sve tri odgovaraju6e stranice proporcionalne.
Odnos obima, visina i povrsina s1i6nih mnogouglova
62
Ako su dva trougla (mnogougla) sliena onda vrijedi:
0:01 =a:a l =b: b l =c:c' ha:ha' =hb:hh' =hc:h,/ =a:a l = ... P: p' =a2:a,2= ...
Kruznica i krug
Kruzni luk Kruzni isjecak Kruzni odsjecak
0=2rn
- rna !=AB=--
180 0
Kruzni prsten
0= 2nCR+r)
P = r 2n
1= [2na
3600
1'.( 1=-
2
P = (R 2 -r2)n = (R-r)(R + r)n
!
Dio kruznog prstena
na ') 2 I = --. (R - - r )
36(r
I I, +t,
=-"-::"(R-r) 2
63
POlencija tacke na kruzn iell
A o
-2 OA·OB=OT
eometrijska tijela (povrSine i zapremine Kocka Prizlna
V=B·
P=2B+M
B-je povl"sina baze prizme. M-je povrsin<l omolaca
tck?1 • I ~l
l/~----lY a
V=a 3
/ 2 P=oa
D=a13
Prnvuugli pJraklupipcd (h. vaJar)
V=abc
P = 2(ab + be + ac)
D=W+b2 +e 2
Piramida Krnja (zarubljena) piral!lida
64
B·H V =----
3
P=B+M
B :B} = H;: x2
HI ·JB1
X = JB _.jB;-
Valjak
, I I I
I I I I :H I I I
... ------i-------/""" .---!----~'
P = B + M = 2rn(r + H)
V = B . H = r 2nH
Kupa (stozac)
\ \
H s
P=M+B=rn(r+s)
B·H r 2nH V=--3-= 3
Suplji valjak
I I I I :H I I I I
J- ---___ -_-_-J_-_: ____ :~ ':" .r I ,,-- I r .... ,' , ,; ¥ l.. ______ ~
~,~ _________ ---F
P = 2n(R 2 -r 2 )+2nH(R+r)
') 2· H V = n(R - - r ).
V = nH(R - r)(R + r)
Krnja (zarubljena) kllpa (stozac)
1 P = n [( R 2 + r 2 + (R + r)s J
V = n· H 02 + r 2 ~+ R . r) 3 ./
Lopla
P = 4r 2n
4r3n V==--
3
Pojas iii sloj
P=2rnH
n·Hf 2 " =6\3P +3Pl+
66
Kalota (kuglin odsjel'ak)
P=n(2rH+p2)
P = 2mH povrsina kape
H 2n V = --(3r - H) iii 3 .
V= n.H(3p 2+ H 2) 6 .
Isjecak
~, f :II " ~ ... ' .... :.',., , ~ r \ ,·-1" \ • I
I
~~) P==rn(2H+p)
V· 2 2 H .=-fn' 3
Suplja Jopta
P == 4n(R2 + r2)= n(D2 + d2)
V = 4n (R2 _r2)= n (D2 _d2) 3 6
Torus
P == 4n2 . R . r == n 2D· d
2 2 n 2d 2D
V =2n ·R·r =---4
67
lracionalne jednacine i nejednacine
JednaCine kod kojih se nepoznate javljaju i pod korijenom su iracionalne jednacine. Korijen se u tom slucaju uzima sarno aritmeticki. Rjesavaju se uglavnom "oslobadaju6i", se korijena.
1) Vf(x) = ~g(x) <=> f(x) = g(x) ,ako je n neparan broj.
2) Ako je n paran broj vrijedi ~f(x) = Vg(x) <=> f(x) = g(x) u
oblasti u kojoj je
iii
Specijalno:
f(x)~O i g(x)~O
f(x) < ° i g(x) < 0
~f(x) = g(X) <=> ff(x)=g2(X)
19(x) ~ 0
Nejednacine
1) Nejednacina 2~f(x) < g(x) (n E N) ekvivalentna je sistemu
nejednacina:
68
!r(x) < [g(x)f" 2~f(x) < g(x) <=> ~lf(X.) ~ 0
g(x) > 0
3)
2~f(X) > g(x) ¢::}
{
f(X) ~ 0
g(x) < 0 iIi
{rex) > [g(x)fn
,g(x) ~ 0
2n+~f(x) < g(x) <=> f(x) < [g(x)2n+l J
2n+~f(x) > g(x) ¢::} f(x) > [g(X)2n+l ]
Eksponencijalne funkcije, eksponencijaine jednaCine nejednacine
Funkcija oblika y = aX (a> 0) je eksponencijalna funkcija.
Osobine eksponencijalne funkcije:
1) Funkcija y = aX je definisana za svako x u skupu R i uz uslov za baw O<a;i: 1
2) Pozitivna je za svako x (ax> 0 za \:j x E R) .
4) Ako je O<a<l, tad a X1<X2 ¢::? aX, > a X2 tj. monotone opadaju6a.
5) i\.ko je x=O, tada je a x = 1 , za sve a>O.
6) Za a> 1 u intervalu (-cc,O) je O<ax<l, a za O<a<1 je aX> 1. U intervalu (0,+=) za a>1 je a X>1' a za O<a<l je O<ax<1.
69
\ ill \~ i. ______ /_ y=2'
I \ I
i \ : I \ I
: \. : I \. I I ~-- I I I'" I I I '\. I
I I "'" ! I I I I I ....... I I I --- --~ I
__ L ___ ----:--""1=-:n -I \ ~
Jednacine
Prilikom rjesevanja eksponencijalnih jednacina najcesce
jednacinu dovedemo na oblik af(x) = ag(x) (O<a:;tl). Ona je
ekvivalentna jednacini f(x)=g(x) .
af(x) = ag(x) ¢::> f(x) = g(x)
Kod eksponencijalnih nejednacina, nejednacinu najcesce
svodimo na oblik af(x) < ag(x) , odakle imamo:
f(x) g(x) {f(X) < g(x) za a> 1 a <a ¢::>
f(x»g(x) za O<a<1
Logaritamska funkcija, logaritamska jednacina i nejednaCina
Funkcija oblika y = loga x (0 < a :;t 1) je logaritamska funkcija.
Osobine:
1. Definisana je za x>O.
2. lmajednu nulu a to je x=l za bilo koju baw O<a:;tl tj.
y = loga x = 0 ¢::> x = 1
70
3. Znak funkcij e
za a> 1: Jogax<O za XE (0,1) logax>O za XE (1,+oc)
za O<a<l logax>O za XE (0,1)
logax<O za XE (1,+oc)
4. Tok funkcije
Za a>1 funkcijaje strogo rastuca tJ·. x·<x -"-' 10 • I 1 2""""" i gaXj< ogax2
Za O<a<1 funkcija je opadajuca tj. Xj<X2 ¢::> logaXl>logax2
Pr. logaritamske funkcije
,
-_ 10 x
:1
1
' -------- ---~ .. y!!'oJog I x
1Il
Logaritamske iednacine
r f(x) > 0 Ioga f(x) = log a g(x) ¢:;> i g(x) > 0
If(x) = g(x)
Ako svi I.ogaritmi ,u j~dn~~ini nemaju istu bazu moramo ih prvo svestl na lstu bazu Konstecl formulu
1 loga b=---
10gb a iIi
[
fo<a:;tl')
O<b:;tl1
O<c:;tl)
71
Logaritamskc neiednacine
Nejednacina oblika iog a rex) < loga g(x) iii loga f(x) < k .
Vrijedi:
72
ff(x»o Za a>l loga f(x) < loga g(x) <=> i g(x) > 0
0<£1<1
I f(x)' < g(x) L • \'
ff(x»O toga fIx) < loga g(x) ¢=:? i g(x) > 0
I f(x) > g(x) \. '
Nejednacina loga f(x) < k se uz uslov f(x»O
f(x)<a k za a> 1 odnosno f(x»a k 28 O<a<l.
svodi n£1
ITRIGONOMETRIJA I Definisanje trigonometrijskih funkcija na pravouglom trouglu.
A ex,~ ostri uglovi pravouglog trougla. a b-naspramna kateta za ugao ~. nalegla za
ugao ex.
L b a-naspramna kateta za ugao ex, nalegla za
ugao ~.
B II c c-hipotenuza
. naspramna kateta a Slna= =-
hipotenuza c '
nalegla kat eta b cos a == =-
hipotenuza c ~
, naspramna kateta a rga= =
'~'~',",'" kateta b
• A b Sin!-' =-
c
a cosp =
c
nalegla b 1 ctg ex = = :::=> ctg cx = ---
naspramna kateta a tgo:
1z gomjeg se zapaza da za ostre uglove ex i ~ pravouglog trougla (i za sve komplementne uglove ex i vrijedi:
sin ex = cos ~ cos ex = sin p
tg ex = ctg p etg a = tg ~
Takode vrijedi
ako je a+p=90°
a sin cx {' a --=....:::...=-=to cx' cos a b b b'
C
cos a dga=-
sin a
73
a b tg a . ctg a = _. - = 1 ,
b a
sirla+co;a=l
tg a·ctg a=l
Trigonometrijske funkcije na trigonometrijskoj kruznici
Trigonomrtrijska kruznica je kruznica sa centrom u koordinatnom pocetku poluprecnika 1-1.
y ell! U.
rr2
3rr/2
Znaci trigonometrijskih funkcija po kvadrantima.
I II III IV
sin a + + - -
cos a + - - +
tg a + - + -
ctg a + - + -
Svodenje trigonometrijskih funkcija na I kvadrant (izrazavanje
prcko ostrog ugla (x<900)
90o±a 1800 ±a 2700 ±a 360o±a
sm +cos ex +sin G. I -cos a ±sin (J, ,.
cos +sin ex. ~ -cos ex ±sin ex. +cos a
±tg Ct. - ±tg ex ta +clg Ct. I +ctg ex
0 .....>..--.....
crg ::L'g ex I ±ctg G. +tg a ±ctg Cl ".' I ----'- -'
74
r
i I
~ I
Ugao orijentisan u smjeru obmutom kretanju kazaljke na satu je pozitivno orijentisan +a, a ugao orijentisan u smjeru kazaljke na satu je negativno orijentisan ugao -a. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija negativno orijentisanih uglova (pamost i nepamost trigonometrijskih funkcija).
sin (-a) :::: -sin a (neparna) cos (-a) :::: cos a (pama)
tg (-a) :::: - tg a (nepama) ctg (-a) :::: -ctg a (neparna)
[Za neku funkciju f(x) definisanu na skupu D kaze se da je:
pama ako vrijedi f( -x)::::f(x) za V XE D
nepama ako vrijedi f(-x)::::-f(x) za \j XE D]
V .. d "h . nJe nostI tn onometrijskoih funkcija za neke uglove
00 rrJ6 1114 rrl3 rr12 1t 3rr12 a
30° 45° 60° 90° 180° 2700
fi ,--
1 .J3 sin a 0
- -- 2 2 1 0 -1 2
13 Ii 1 1
- -cos a 2 2 - 0 -1 0
2
J3 tga 0
-1 13 3 ±oe 0 =Foe
I 13
J3 ctg a ±oe 1
-0 3 =Foe 0
21t 360°
0
1
0
±oe
,
75
Periodicnost trigonometrijskih funciia
sin (a+2kn)= sin a Funkcije sin a; cos a su periodicne sa cos (a+2kn)=cos a osnovnim periodom 2n, a tg a i etg ex
tg (a.+kn:)= tg a imaju osnovni period?t. ctg (a+kn)=ctg a k-je proizvoljan cijeli broj (k=O±1,±2, .. )
Nule trigonometrijskih funkcija
sin x=O za x=kn
n cos x=O za x::(2k-l)·
, " .k
tgx=O za x=lm
n ctg x=O za x=(2k~1)· -
2
Veza izmedu trigonometrijskih funkcija istog ugla ex
sin a
sina sin a
I --I cos ex.
tg a + I I ,
vi-sin'" a
ctga sina
cos a
± Jl-cos2
a I I
:J ± Jl-cOS~ I
cosa
cosa ±-;====
-cos2 a
tg a
+ tga - I ,
"';1 +tg~a
tg a
1
tga
1 ±_ ctg1q Ji+C~ I
I ---1
+ ctga
- ~1+ctg2a
1
ctgo:
I ! I __ c~ L-___ ~ ________ L-______ ~ ______ ~
76
Adicione formule (funkcije zbira i razlike dva ugla) sin (ex. ± (3) = sin ex cos (3 ± cos ex. sin (3
cos (ex ± (3) =:: cos ex cos /3 =+= sin 13 sin a
tg ( ex. ± B):::: tg a ± tg (3 , 1 =+= tg ex tg f3
t ' A' ctg ex ctg (3 - 1 cg~ex+l--')= '-----
rtga +ctg 13
t ' ( /3, ctg ex ctg f3 + 1 c g ,ex - ):::: '
ctg/3 -,ctg ex
Trigonometriiske funkcllf dvostrukog ugla
sin 2ex :::: 2sin a cos 0: • ". 0: 0: SUI ex :::: ""sm -cos-
2 2 'j , 2 • 2 cos ... 0: = cos 0: - 8m 0: i 0: 20: cos ex = cos~ --sin -
ctg 2a -1 ctg 20: = --.::=-.J __
2ctgex
. a II-cos a sln-=± / 2 V 2
2 2
t 2 ex " c g --1
CifE a = -__ ..J_, -a
2 'ex,
ctg-2
1 '" . 2 a , - cos 0: = L, SIn -2
77
cos':':. ~ ±~1 + cos a 2 2
a ~-cosa tg-=± 2 l+cosa
a l+cosa ctg-=±
2 1-cos a
a lzrazavanje preko tg a i tg 2:
2tgex sin2a=----
] + tg 2a
" 1- tg- a ctg2a=---
2tga
, 2 ex 1 + cos ex = 2 cos -
2
ex 2tg-
sin a = __ -:::Z=--
1 + tg2 ex 2
2 ex I-tg -2 ctg ex = -----'--
ex 2tg-
Z Transformaciia zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod
a+[3 ex-[3 sin ex + sin [3 = 2 sin--cos-·-
2 2
. ex:+[3 . 0:-13 sin ex - sm [3 = 2 cos --sm--
')i 'j ... ...
78
B sin (ex+S)
tg ex: + tg J = . ~. . cos ex: cosf:)
. R sin (ex-[3) tg ex - tg f-J = ----'--
cos ex: <.:os[3
cos ex + cos [3 = 2 cos ex + [3 cos ex - f) 2 2
. a+f) . ex-f) cos ex - cos f) = -2 sm--sm--
2 2
Proizvod u zbir i razliku
sin a sin B = -.!.[cos(ex + f)) - cos(a - f3)] 2
sin ex: cos f) = ~[sin(a + f)) + sin(ex: - f))] 2
cos ex: sin f3= ! [sin(a+f))-sin(a-f3)] ...,
cos a cos f) = ~ [cos( ex + B) + cos( a - B) ]
Funkcije visestrukih uglova
sin (a + f3) ct~ a + cto f3 = ----'--
'" e sin a sin f3
t t A sin (a-f3) cga-cgl-'=---_
sin ex sin f3
. 3 3' 4·:3 sm ex: = sm a - sm - a
cos3a = 4 cos3a - 3 cosa
sin 4a = 8 sin a cos 3a - 4sin acosa
cos 4a = 8 cos 4a - 8 cos 2a-1
3 3tga-tg3a
tg a= 1
I-3tg-a
4tg a-4to \x tg 4a = e
1-6tg2a+tg4a
-:! ctg3a-3ctg a ctg _,a = .-~---
3 (~tg£a-1 4
ctg4a - 6 ctg 2a + 1 rtg a = ---==-----=--_
4 ctg '\x - 4ctg a Stepeni trigonometriiskih funkciia
. , 1 ( sm - ex = - 1- cos 2ex)
2
1 cos2 ex ='::'(1 + cos 20:)
2
1 sin 3
0: = -(3 sin ex - sin 3ex) 4
3 1 ~ cos a = -(3 cos a + cos ja)
4
1 sin4 a = -(cos 40. -4C08 2a+ 3)
8 "I
cos4 ex = ~(cos 40: + 4 cos 2a + 3) 8
RieSavanie pravouglog trought Rijesiti pravougli trougao znaci odrediti mu sve stranice
ostre uglove. a . b su duzine kateta c' duzina hipOlenuze 0: i ~ su uglovi
katete: a=c·sin a=c·cos !3 h=c·sin ~=c·cos a a=b·tg a=b·cig !3
f3=a'ctg a
hipotenuza:
a a b b C=-'-=--=--=--
p= ac 2
80
a cos ~ ~ cos 0:
';
B be - a~ B )=-sina=-tg =-tga; 2 2 2 -
P=-sin2a 2
Pravilni mnogougli r~-poluprecnik opisane kruznice Pn-poluprecnik upisane kruznice s,,-stranica pravilnog n-tougla
r =----n 180 0
2sin-n
O-S2 180 0
P = __ n_ctg ----4. n
Kosougli trougao
r", ( r- \ s- r7~ Po:; ;::: -'-' .-JS + III=-~ /515 + 2",5
. 4 \ 10 1J \
a, b, c -duzine stranica, R ~poluprecnik opisane kruznice.
{) a j p, y -naspramni ugJovi,
Sinusna tcorema:
iIi
a : b : c = sin ex : sin p : sin y
abc --=--=-·--=2R sina sin B sin y
Kosinusna teorema:
2 2 ') a = h + c - - 2 be cos ex iIi
T It!
2bc
81
iIi
Transformisana kosinusna teorema
b-c a=--, tgq> =
eosq>
a-c b ---- . tgq> =
cos <p
.Jbc . a ') be ·sm.. 2
b-e
I . ~ 2-..)ac '8m-2
a-c
2-Jab . sin Y . 2 a-b C=--,
cos<p taq> =
b 3-b
Mollweidove formule: a-~ . Y
(a+h) :c=cos-Z-:sm2 'b) . a-p·co,Y ta- :c=sm-
2-·· '-2
Tangensna teorema:
a+p tg---
a+h 2 h+c [3+y
tg-- 2
y+a tg---
c+a 2 -a---b - --a-=-'-p- ,
to-b 2
82
b-c p-y to-
b 2
--:::----c-a -a
tg 2
. a+b+c UgIOVl u troug]u; s == • p poluprecnik upisane kruznice.
2
. a _~'(S-b)(S-C) 8m-- ,
~ (s-a)(s-c) sin- ==
2 be 2 ac
a_~s(s-") cos-- , 2 be
Y' (s - a)(s - b) sin -:::
2 ab
P 1!8(8-b) cos-=
2 V ac
a (S-b)(5-C) tg-
2 = =
p P tg-= s(s-a) s-a 2
Y _ /'8(S-C) cos- - 11
2 v ab
(s-a)(s-c) p
s(s-b) s-b
tg.l::: (s-a)(s-b) == p . 2 S(8-C) s-c
Poluprecnik oQisane kruznice R i Qoluprecnik IJQisane kruznice 0
abc R= ::: :::--
2sina 2sinp 2siny
s R==------
4cos ex cos~cos y 2 2 2
ex . B. Y p = (s-a) tg "'2 = (5- b) tgz= (s-c)tg 2
J(s-a)(s-b)(s-c) . p p::: • tJ. p= - (P-povrsina)
s s
83
Povrsina trougla
p = ~s(s-a)(s- b)(s-c)
P_ _abc (s-a)(s-b)(s-c) -p·s----=------
4R p
ab ac be p =-siny =-sin~ = -sina.
2 2 2
P == 2R 2 sin a sin ~ sin y
2 ex ~. y p == p cto--ctg-ctg.:...
""'2 ~2 -2
2, ex B y p == s tg-tg-to --2 2 b 2
Veza izmedu trigonometrijskih funkcija uglova u trouglu.
84
ex+f3+y=180°
sin ex + sin ~ + sin y = 4 cos ~cos ~-cosl 2 2 2
. ex ~ Y ex+B ex+y ~+'V cos - + cos - + cos - = 4 cos --cos --cos --'
2 2 2 4 4' 4
tg ex + tg f3 + tg y = tg ex . tg ~ . tg Y
a, 13 y a 13 y ctg-Tctg-+ ctg...:.. == eto-·ctg_·ctg-
2 2 2 °2 2 2
Grafid trigonometrijskih funkcija
y
y=l ....... .
y=-l········
sin x=O za x=k1t, kE Z
cos x=O za 1t
x=C2k-l) -, kE Z 2
"
y==ctg x
~-~nf+----;~---~~----~----~~----l-.x
tg x=O za x=k1t, kE Z
ctgx=O za x=(2k-l) ~ ,kE Z
85
."
Trigonometrijske jednacine Jednacine kod kojih' se nepoznata javlja kao argument
trigonometrijske funkcije zovu fie trigonometmjske jednaCine. Rijesiti trigonometrijsku jednaCinu znaci odrediti sve
vrijednosti nepoznate x za koje je jednaCina zadovoljenja. Kod veceg broja trigonometrijskih jednaCina nastojimo jednaCinu dovesti na oblik u kome ce sve funkcije biti istog ugla i iste vrste . U glavnom se five svodi na jednostavne trigonometrij ske jednacine.
x
y
86
sin x=a sin x=sin a xl=a+2kn xz=(n-a)+2kn, k=O,±l,±2,'H
cos x=b cos x=cos a xl=a+2kn x2=-a+2kn,
tg x=c tg x=tg a x=a+kn, k=O,±1,±2, ...
ctg x=d x ctg x=ctg a
x=a+kn , k=O,± 1 ,±2, ....
Sferna trigonometrija
Duzine stranica sfemog trougla su abc' 1 . f3 '-- , ,lUg OVI a, . , y.
Sferni eksces: 8=a+l3+y=1800.
Povrsina sfemog trougla: P = r2nC ( I
r po uprecnik lopte) 180 0
Pravougli sferni trOl!O'ao to'
(a,b duzine kateta, c duzina hipotenuze, (.{ uglovi) a, JJ naspramni
Neperovo pravHo Ako se na kruznici oznace dementi kao na sIici, tad a je kosin us svakoa - , b
oznacenog elementa jednak proizvodu k.otangensa dvaju blizih iIi proizvodu Sl11usa dvaju daljih elemenata.
cos c=ctg a-rtg p=sin (90o-b)-sin (900-a)
cos a=~tg c-ctg (9CJ"-b)·=sin 0'sin (900-a) cos (90 -b)= ctg a-etg (90
o
.a)·=sin eosin p
87
I I
Kosougli sferni trougao
sin a sin b sin c Sinusna teorema -- = --=
sin a sin 13 sin y
Kosinusna teorema za stranice
cos a = cos b . cos c + sin b . sin c . cos a
cos b = cos a . cos c + sin a . sin c . cos 13
cos c = cos a . cos b + sin a . sin b . cos Y
Kosinusna teorema za uglove:
88
cos a = -cos 13 . cos y + sin 13 . sin y . cos a
cos 13 = -cos ex· cos y + sin ex . sin y . cos b
cos Y = ~cos a . cos 13 + sin ex . sin 13 . cos c
Uglovi u sfernom trougl u:
. ex sin(s-b)·sin(s-c) Sln-=
2 sin b ·sin c
a sin s . sines - a) cos-=
2 sin b· sin c
a sin(s-b)·sin(s-c) tg--=
2 sin s . sin (s - a)
13 y Analogne formule vrijede za uglove 2' 2
a+b+c s=
2
[Analiticka geometrija I Pravougli koordinatni sistem
y ordinatna osa
Il ,.Jl.(-~,:V._. 2
I 1 ·-·----·-·-·-·r A(3,!)
I
-2 .u 0 ~! " x ap,<,cisna osa
/II L-'l i IV C(-I,-2) : I .-.---.- ... D(2,.3)
Polarni koordinatni sistem
m/M"'.' ~ • polar-na osa
x
I, II, III, IV -kvadrant
r- radijus vektor (uvijek pozitivna velicina)
<p- ugao izmedu pol arne ose i radijus vektora
Veza izmedu pravouglih i polar-nih koordinata
F---------. M r
x
Udaljenost dvije tacke ptavougli KoonJinami si~LelT1
<p = arctgL x
x=r cos <p
y=r sin<p
polarni koordilJatni ~j:-.lcm
B(c,,'P,)
c,
89
Koordinate tacke koja zadanu duz dijeli u zadanom omieru
MA Ako tacka M(x,y) dijeli datu duz AB u omjeru MB = A ,
tad a su koordinate te djelisne tacke,
_ xl - AX2 _ Y 1 - AY 2 X=1-~' Y- 1-A
Ako je A>O tacka M dijeli datu duz AB izvana, a za /",<0 iznutra.
• • V' x1 +x2 _Y1+Y2 Koordll1ate sredll1e dUZl Xs = , Y 2 -
. 2 2 Koordinate tdista trougla. Ako je tacka T (XT,YT) teziste trougla A(Xl,Yl), B(X2,Y2), C(x}, Y3) onda vrijedi
xl+ x2+ x3 . _Yl+Y2+Y3 xT = , YT - 1
3 ~
Povrsina tromda A(Xt,Yl), B(X2,Y:», C(X3,Y3)
P=!\X1(Y2-Y3)+X2(Y3 -Yl)+x3(Yl -Y21 2
Uslov da tri tacke Ide na jednoj pravoi
Xl Y1 11
ili X2 -xl Y2 - Yl iIi x2 Y2 1 =0 = X3 -xl Y3 -Y1 IX 3 Y3 1
90
Prava i jednaCine prave
+1
eksplicitni oblik y=kx+! k=tg a ! odsjecak na y osi
1. Ako je k=O imamo pravu Y= 1 (paralelna sa x osom)
2. Ako je 1=0 imamo pravu y=kx koja prolazi kroz ishodiste.
1=0 i k= 1 -simetrala I i III kvadranta 1=0 i k=-l -simetrala II i IV kvadranta
y=O jednaCina x ose x=O jednacina y ose
Segmentni oblik jednacine prave (preko odsjecaka na koordinatnim osama)
x v -+~=1 rn n
111- odsjecak na x osi n - odsjecak na y osi
91
II'
Implicitni (opei) oblik jednaCine prave
A C C Ax+By+C =0, k = -"B' t = -"B=n, m =-A"
Normalni (Hesse-ov) oblik
x cos f) + y sin f) - p = 0 Ax+By +C =0
±JA2+Bz
x
x
p-duzina normale na pravu iz izhodista ~-ugao koji ta normla zaklapa sa pozitivnim dijelom x ose.
A . B cos ~ = , sm ~ = /
±~A2+B2 ±VA2+B2
C -p=--===
±~A2+B2
p r=--..:::...--
cos(f) - <p)
p-udaljenost prave od pola (visina)
f3-ugao Roji p zaklapa sa Ox
Prava kroz jednu tacku A(Xl,Yl)
y-Yl=k(x-Xl) k=tg 0:
Prava kroz dviie tacke A(XI,Yl), B(x;?J;;l
92
Ugao izmeciu dvije prave y
iIi ako su prave u opcem obliku
A1x+B1y=C1 A2x+B2v=C2
AIB2 - A?Bl tg <p = -A1A z +B1Bz
Uslov paraIeInosti dviju pravih
- prave: y=kjx + t 1 y=k2x + t 2 su paraIeIne ako je 0:1 = 0: 2 ± 180
0
tj. kl=kz
iii ako su prave date u opcem obliku
A1x+B1y=C1
Al = BI iIi A2 B2
Us]ov okomitosti
kl = __ 1_ iii u oDcem obliku Al = _ H2 k2 ~ BI A2
UdaIjenost tacke od prave
Tacka M(Xl,yd i prava Ax+By=C
d = Ax} +BYI +C
±JA2+S2 d = -(xl cos f) + Y 1 sin ~ - p)
93
Uzaiamni polozaj dviju pravih
prave A1x+B 1y+C 1=O
Jednacina simetrale ugla
Ako se prave A 1x+B1y+C1=0 i A2x+B2j'+C2=O sijeku, jednaCina simetrale uglova koje one obrazuju su:
A 1x+B1y+C1 + A 2 x+B 2y+CZ =0
±JAr+Bi ±~A~+B~ Znak (+) izmedu razlomaka odgovara simetrali koja prolazi kroz ugao u kome ne lezi ishodiste koordinatnog sistema, a znak (-) za ugao u kome leZi ishodiste, iii za prave y=k1x + II i y=k2x + 12 koje se sijeku u tacki (xl,YJ)jednacinajedne simetraleje
94
1 -Y-Yl =k(x-Xl) adruge Y-Yl =-k(X-Xl)
al +a gdje je k = tg 2
2
Kruznica
Centralna kruznica (sa centrom u iShodi~tu)
X2 -l- 2 2 . Y =r
x tangenta u tacki (XhYJ) na kruznici
Uslov da prava v-kx+ # bud' t k V· 2 ') .J - l e angenta ruZl11ce r (k - + 1) = f2
Opca iednacina kruznice sa centrom u tacki S(p,q)
tY
y ----~('.yl
q ---'---------Ld \ \ :S(P.q)
. I
iii
I I I I I
X2 -l- ') C . Y - + x + Dy + E = 0
C =-2p,
C p=--
2
D=-2q
D q=--
2
Tangenta u tacki (XID::l) 113 kruznici
(XI-P )(x-p )+(y r-Q)(y-q)=r2
95
U slov da prava y=kx+ t bude tangenta kruznice
(x_p)2+(y_q)2=r2 Je r2(1+k2)=(q_kp_t)2
Jednacina kruznice kroz tf1 tacke: (Xl,YI), (X2,Y2), (X3,Y3) dataje determinantom,
2 2 x +Y x Y 1
2 2 1 xl + Yl Xl Yl =0 2 2 1 x2 +Y2 x2 yz I Z 2 1 x3 +Y3 x3 Y3
Polama jednacina kruznice
p, <p -tekuee polame koordinate
Po, <po -koordinate centra kruznice
r- poluprecnik
o
Jednacina kruznice u parametarskom obliku
96
x=xo+r cos l
Y=Yo+r sin t
(t je ugao koji cine poluprecnik r sa +x)
Polara kruznice
Ako je tacka P(xo,Yo) pol kruznice onda jednacina polare je :
(xo-p)(x-p)+(Yo-q)(y+q)=r2 polara opee kruznice
XoX - Yoy=r2
polara centraine kruznice.
Elipsa
Elipsa je geometrijsko mjesto tacaka jedne ravni za koje jc zbir udaijenosti (1'1 i r2) od dvije stalne tacke FI i F2 (zize iIi fokusi
DW,hJ elipse) sta1an (=2a) ; fl+fz=2a gdje je 2a velika osa e1ipse.
AB=2a -velika osa elipse
CD=2b -mala os eIipse C«(),-b)
,- FI i F2 -zize (fokusi) elipse
e = -va z - b 2
-linearni ekscentricitet.
e E == - (£<1) -numericki ekscentricitet
a
2b Z
2p = -- -2izni parametar (tetiva kroz zizu paralelno sa 111a10111 a
osom).
Osna iedn;;tcina elipse
iIi X,2 yZ -+-=1
2 b2 a
97
d "V Ll nckoi tacki M(c,d) cijc su ose Jednacina clipsc sa src lstel!Ll1~'.....22~-=..L..""== paralelne koordinatnim osama
2 )2 (x - c) + (y - d = 1
a 2 b2
Tjemena jednacine elipse
'1 P 2 v~ = 2px--x , a
Parametarska jedna(:ina eliJ2.;;~
x=a cos
sin t
98
Velika osa na y osi, mala osa na x osi, fokusi na y osi
Uslov tangencijalnosti
Uslo\' da prava y=kx+! bude tangent a elipse b2xL+a2y2::=a2b2 je :
a2k 2+b2= lednacina tangenle i normale u datoj tacki T(xm) 11<1 elipsi
Cel1traJna eJipsa (centar u ishodistu koordinatnog sistema)
~ / I ~>,~ ( I ,/"\1 (XI.Yl) I! yO I~ \ C),) \ '" \ / \ A
\ I / ""-."--. I / --~.
tangcnta
) normala
Pravac Ax+By+C::::O dira I . " k" A 1 1 B 2b2 C (' ellpsu a ·0 Je 11..-a-+ . + ::= f
-tangenta
-normala
99
Povrsina elipse
y
Bx
N(x,-y)
Hiperbola
P=nab povrsina elipse
x BMN=abarccos·--xy (odsjecak)
a
ab x BOM= -arc cos- (isjecak)
2 a
Hiperbola je geometrijsko mjesto tacaka jedne ravni za koje je razlika udaljenosti (rJ i r2) od dvije stahle tacke F 1 i F2 (zize) te ravni stalna (=2a); rl-1'2=2a i rTrJ=2a. Tacke za koje je rJ-r2=2a pripadaju jednoj grani hiperbole a tacke za koje je rrrJ=2a pripadaju drugoj grani hiperbole.
2
2 2b .. b 1 . p::::: --, -parametar hIper 0 e a
Osna (centraIna )jednacina hiperbole.
100
2a -realna osa hiperbole
2b -imaginarna osa
e = ~ a 2 + b 2 -linearni
ekscentricitet
e ,vk' E = -, -numenc !
a ekscentricitet
JednaCina hiperbole sa centrom u tacki MCc,d) i osama paralelnim koordinatnim osama
1stostrana hiperbola
y ,
"""'" // 'r<~>11
x
1nverzna hiperbola
x
x
( X -c)2 iii
Ako asimptote uzmemo za koordinatne ose tada.ie jednacina is(ostranc hipcrboie
y
a
a 2
xy=-2
-------+-------+x
\
101
To su prave kojima se grane hiperbole neograniceno pribiizavaju pri udaljavanJu u beskonacnost.
Koeficijent smjera asimptota .
b ±-
a
y = ± x J
LJ f
h -(1 ,;. tangenta
)
zadane
y i' p>o I __ ~ ______ . iif. r I ; .. X,y)
d=X=-~ I I
10 ____ ~~--L---------~X
2.. ~'\ F( -"-,Ol
2.1·~. ! !
p<O r I .
-------1----1
I I , I d=2.. I 2
:; y = otvorena
tJemenom Ll OSOI11
y
U ovom
103
Uslov tangencionalnosti 2 2 .
Usiov da prava y=kx+t bude tangenta parabole y = px Je p=2kt
jednaCina tangente i normale u datoj tacki T(Xl,Yl) parabole
y -tangenta paraboie
y-Yl= - Y 1 (x - xl) -normala parabole p
Povrsina odsjecka parabole y
104
x
4 OMN=-xy
3
I Vektorski racun I Skalama velicina je potpuno odredena jednim brojem
(temperatura, masa vrijeme, povrsina geometrijske figure itd). Vektorska velieina (vektor) je svaka velie ina koja je
definisana (odredena) pravcem, smJerOJ11 intenzitetoJ11 (modulom). --Vektori se oznacavaju a, b, ... iii AB, MN ... gdje prvo slovo
predstav~ja poeetak vektora a drugo slovo kraj vektora.
p 3 = AB , prava p nosac vektora
13 1=1 AB lintenzitet vektora je duzina vektora mjerena odredenom mjemom jedinicom,
Nula vektor: Vektor ciji Je intenzitet jednak 0 zove se nula -
vektor i oznacava 0 .
Jedinicni vektor: Vektor eiji je intenzitet jednak jednici zove se
jednicni vektor iIi art i oznacava se 30'
Pravac vektora odreduje prava (nosac) na kojoj se nalazi. Dva vektora imaju isti pravac ako su im nosaci paralelni ili se poklapaju. Za takve vektore kazemo da su kolineami.
-b
/ 3 i b kolineami
105
Vektori mogu hiti slobodni, vczani za tacku, nadovezani.
---p. -'
c ~ y ---"!p' -a
slobodni nadnvezani vezani za tacku
Smjcr vektora se uzima od pocetne ka krajnjoj tacki i oznacava se
strelicom.
a
pravllo poiigona (p,j(Jovt'Z! vanje-m)
i vise vektora imaju sti smjer ako imaju isti pomjeranjem moze
a irn budu sa iste strane
pravi!o il<lfaklograma
-man.1e a - b se moze posmatrati kao
sabiranje ~i + ( suprotan -
vektoru b. (Imaju pravac a suprotan
smjer)
106
Mnozeliie vektora skalarom
Proizvod vektora a i skalara aE R je vektor aa istog prayeD. kao i
vektor a , a smjer mu je isti kao smjer vektora a ako je (1)0, a
suprotan ako je a<O. Intenzitet mu je , a " a I. Za vektore a i b kazemo da su kolinearni ako vrijedi
b = aa iIi a = ab Svaki vektor se moze napisati a =1 a I ao .
mnozenje vektora skalarom vrijede osohile
1. 1-a=a -l·a =-3
3. O-a=O - -
4. a·O= ()
5 . (a·l3)a = a(13 . ri) = 13( a . a)
6. (a + 13) . a = aa + 13 a 7. a(a+ =aa+ab
Razlaganje vektora na kmnponente
-komplanami vektori
tri i vise vektora kazemo da su komplanami ako Ide u istoj ravni.
komplanami vektori
Dva vektora su uvijek komplanama.
107
Neka su data tri komplanama vektora a , b i r i pri tome vektori
alb nisu kolineami
OC=OA+OB --c OC=r, OA=aa, OB=l3b
I I
I I
I I
~--------~7-~a o A
Relacija r = aa + I3b jednoznacno
definise razlaganje vektora r po -
nekolineamim vektorima a i b.
Vektor OA je komponenta vektora r u pravcu vektora a, a -
vektor OR je komponenta vektora r u praveu vektora b .
Brojevi ex i 13 zovu se koeficijenti razlaganja vektora r po
vektorima a i b.
Neka su data cetiri vektora a, b , c vektori a , b i c nekomplanami.
r, prl tome neka su
108
Relaeija r = exa + I3b + yc definise razlaganje vektora
r po nekomplanarnim
vektorima a , b ,c gdje su ex, 13, y realni brojevi.
Vektori u koordinatnom sistemu
Neka su data tri nekomplanama vektora a, b , c sa zajednickim
pocetkom u tacki 0, gdje je a prvi vektor, b drugi i c treci
vektor. Ta trojka vektora zove se triedar vektora. Kada su ta tri vektora uzajamno okomiti, triedar je ortogonalan iIi pravougli.
c r . I b p--
-a
-h
lijevi lIiedar desni triedar
-(smjer rotaeije vektora a prema vektoru b oko vektora c u
smjeru suprotnom kretanju kazaljke na satu je desni triedar). Z PoIoZaj proizvoljne tacke M u
M, " " "
k
" , " ,
" M
o ~-lI>--T-----"_. y
prostoru odreden je vektorom
polozaja OIv1 koji se moze
predstaviti kao zbir vektora
kolinearnih sa i , j , k
(jedinicni vektori na osama x, - -
y, z). OMI = xi , OM 2 = yj ,
-OM3 =zk.
OM = OMI +OM2 +OM3
x, y, z su pravougJe koordinate vektora OM. Prema tome ,
vektor OM , mozemo napisati pomocu pravouglih koordinata u obliku:
109
-. .~ -OM == xi + Y j + zk a njegov intenzitet
--+
Uvodi se obiljezavanje OM == {x,y, 'j' O"'j,,;rJ - 1, A 1'0 1 I sarno Vi tX,y,z J . rU ..
se vektor OM projektuje ortogonalno na koordinatne osc bice:
x=\ OM icosa, Y=i OM !cose, z=i OM Icos gdje SLl a, ~, y
koje veklor gracli sa korespodentnim osama, vrijedi
7 COS- 0(,+
vektora 1m
-a=
~\ + cos 2 y = 1
1
J -- 7 : 1 b=x2 1 +Y2J+Z 2'Y2,Z2J
kazemo da su jednaki, ako SL! im odgovarajucc koordinate jednake
tj. Xl=Xl. Yl 1:1=Z2'
Linearna vektora
Linearna kombinacija vektora a b je tre6i vektor
pa+qb -
gdje su p i q -a b 11l su
linearno nezavini kada Je pa + qb:;tO ('ip,q:;tO). 1..1 protivnom
kada postoje jednaka nuli, daje
broja
aa+ =0
koja
-za vektore a b kazemo da su lmearno zavisni.
11 ()
lstovremeno
- B b- 0 .,. - ." 'i ~ a = -~ ,a:;t lJl a = A b , za A == --(X a
Cinjenica cla se jedan vektor izraza\ra preko drugog govori da a -b imaju isti pravac. To znaci da su dva linearno zavisna vektora
uvijek kolinearni. Za dva vektora, razlicita od nula vektora, data svojim
koordinatama a={x1'Yl,Zl} i b={X2'Y2,z2},kazclllodasu
kolinearni ako -a= - - -i+Yd+z!k=
tj. 2 '
Za tri vektora a , b , C kazemo su
-I' , V '.;
2 '
+z
= 2
ZaVISl1l
Tada se jedan vektor moze izraziti pomocu druga dva
K_ Y -. /-' -a=---b--c iIi
->
a= a a
linearno zavisna vektora su kompJanarna, i obrnuto.
bi tri vektora bila komplanarna potrebno je i dovoljno da ZaVISI11.
Primjer:
Primjenom vektora dokazati da se tdisne Iinije trougla ABC sijeku u jednoj tacki i da ta tacka dijeli teZisne linije u razmjeri 2:1.
III
B
Neka je S presjek tdisnih linija AAI i BBI trougla ABC. Dokazimo da tezisna linija CCj, prolazi kroz S.
Vektori AS i AA 1, odnosno
BS i BBI su medusobno kolinearni, to je
AS=AAAI
--Posto je AS = AB + BS dobijamo da je :
Kako je dalje
AAAI = AB + !-!Blh
---. ----+ I-----+-AAI =AB+-BC
2
( 1 )
( 2) to 1Z (1) i ( 2 )
(3 )
---"" -----'10- 1 --- ~ 1 ----+ ----+- 1 ---I!o- --+ ,
BBI =BC+-CA =BC+-(-AB-BC)=-(BC-AB) 222 -- - --Jer Je AB + BC+ CA = 0 odakle je CA = -AB -BC .
Prema tome jednakost ( 3 ) postaje
( !-! 'J- ( J" !-! ,-
l' A+--l AB+ .---IBC=O (4) 2 2 2)
Posto su vektori AB BC linearno nezavisni, jer nisu
kolinearni, to iz ( 4 ) slijedi
112
odakle je :
A+~-l=O 2
A !-! ---=0 2 2
2 !-!=-
3
Skalarni proizvod dva vektora
B
b
o
i I I I
" I , I
" I 'I ~, I ' 1 "
A
- -
pr j)a = I a Icos(a,b) projekcija
vektora a na vektor b.
pr ab = I b Icos(a,b) projekcija
vektora b na vektor a . Kako je cos(a, b) = cos(b,a) onda se skalarni prizvod moze pisati
i u obliku a· b = I a I prab iIi a· b = I b I prba
Za ugao izmedu dva vektora vrijedi
L a
a·b>O
cos(a,b) > 0
a
a·b <0
cos(a, b) < ()
_ - a·b cos(a,b) = --_
lal·lbl
b i b,
-a
a·b=()
cos(a,b) == 0 jlj a == 0 iii b == ()
113
okomitosti dva vektora .Ie da je njihov skaiarni prizvod -. - a· b cos(a.b) = --_-
. I iii ·1 bl Kako je ) .
Skaiarni proi dva vektora ima osobine:
a·b=b·a
- I 7 -; -; I a I = V xi' + yj + Zl
3.
Vektorski .--a b -- "-c=a b
rtovoln k i b c== xb
Inatnom SJ
-+ ~. 2: +
b -I -, +
c: -. c
--<- -.
'k ==
., -a b=!ailhl -, (. ort
m v ]ma
no 1.axb=O
x
a(a>(
11
5. Ui + b)x c = (ax c) + (b x c) 6. axa=O
Ako su vektori a i b dati svojim koordinatama u Dekartovom
pravouglom koordinatnom sistemu:
..... _..... ..... - --<"
a=x1i+Yd+zlk , b=x2 i +Y2j+z2k
tada se njihov vektorski proizvod moze napisatiu obliku simbolicke determinante
- - -i j k
-axb= xl Yl Zl
X2 Y2 Zz I
- -pri cemuje i . i = J j=k·k=O
....... -+ -.. -+ -- --<.
i·j=k, j·i=-k, j·k=i, k'j=-i, k·i=j, i·k=-j
Mjdoviti proizvod tri vektora
Neka su a, b, c tri nekomplanarna vektora.
,r---------------------~
~a x b /// //')'
,..-" / ,,',' .-:------/---------------;''' "
... ,' - --------------,!------~;-'
C " "",'" h b " /' , ,
,/ --_.//
a
Pod mjesovitim proizvodom ta tri vektora podrazumjevamo skalar,
(axb)·c
koji je jednak zapremml paralelopipeda konstruisanog nad tim vektorima i to sa znakom + ako vektori Cine desni triedar, a
sa znakom - ako cine lijevi triedar vektora.
116
Po,(rsina baze paraJelopipeda je I a x Ii i a algebarska vrijednost njegove visine h, koja odgovara ovoj bazi, je projekcija vektora
c na vektor axb ,paje :
(axb)·c =/ axb He Icos (iixb,c) =1 axb I prUXbc =Rh=V
Osobine mjesovitog proizvoda tri vektora
1. Ciklickim pomjeranjem vektora u mjeSovitom proizvodu, vrijednost tog proizvoda se ne mijenja, tj.
2. Mjesoviti proizvod je jednak nuli ako:
jedan vektora iz proizvoda nula-vektor b) su ma koja kolinearna c) su vektori komplanarl1l.
Ako su vektori ii, b i c dati pravouglim koordinatama:
onda je njihov mjeSoviti proizvod
YI
yz
Y 3
-c=
117
IAnaliticka geometrija u prostoru
Pravougli koordinatni sistem
Polozaj tacke je odreden sa tri pravougJe koordinate T(XI,YI,zd
Rastojanie dvije tacke u prostoru
r I I TI(~.-.:.:hJ __ :!.i(Xl.Y2.Z1)
)-
I TT1=
Koordinate tacke S(xo,xQ,l:Qlioja datu duz T j T 2 dijeli u datom
omjeru A
v --Y--.,0- I-A
Ako je I\, > 0 tacka S je izvan duzi TIT 2' a ako je ),,<0 tatka S je
na duzi Tl T 2 .
118
Koordinate sredista duzi
Povrsina trougla u prostoru
z
X Yl 1[ I" 1 ., 1
PI = X2 Y2 1 , Pz = Y2 Ix 3 Y3 1 Y}
Za12remina tetraeclra u prostoru
zl 1 [Zl xl 11 Zz 1 P3 = Izz x2 11 z} 1/ /Zj x 11 I - 3
119
Ravan u prostoru
Opsti oalik jednacine ravni
+By+Cz+ =0
C konstante (koeficijenti) N={A;B:C} - normajni
vektor ra vni
Ako su neki koeficienti jednaki nuli mogu6i su ovi slucajevi;
1) Samo jectan koeficijent jednak nuli
c)
d)
f)
+ + =0
+ + :::::0
+ + =0
+ , =0 .~
+
+ By+
=0
=0
=0
+D=O
+ =0
+ ==0
ravan kroz ishodiste
ravan paralelna osi
')'l'"'ljelpa osi 1- '- 1. (---- "jL " ' I \~- na
paralelna osi na
nuli
sadrzi Z OS11
saddi y osu
:~adrzi x osu
paralelna ravni xOy
paralelna ravni xOz
Daralelna ravni vOz , "
na
UsIov paralelnosti i okomiwsti dviie ravni
Za dvije ravni
A v+B,"-,- z' I'" 1." "'
B
+c 1 B1 C1
~ --=-:::: A2 C2
paralelne
C ---I :=:---= C
poklapaju se
x 'v z , ~' , 7'---;--=
, m
=0
I' :.:::..,- :::: '-'-- n::::: ---A B
3) Tri koeficijenta jednaka nuli 2 ~
(Ct:O) ravan xOy T~1(X ,J' , .3
b) A=C=D=O By=O (8#)) ravan zOx
c) B=C=D=O (A:;t:O) ravan yOz =0
120
vrijedi
tc
121
Parametarske jednacine ravni
x = Xl + Aal + I-lb1
Y=Yl + Aa 2 +llb 2
Z = Zl +Aa 3 +l-lb 3
Rastojanje date tacke od date ravni. Tacka M(Xl,Y1Zj).
lAx} + BYl + CZ1 + DI d = -'--~====---'.
JA2 +B2 +C2
U gao izmedu dvije ravni
Za ugao izmedu dvije ravni lIZima se ugao koji zaklapaju njihovi normalni vektori.
presiek tri ravni u jednoj tacki
Tri ravni
lX+U1y+
2x+H +
+H +
z+ =0
+ =0
imace za presjek jednu tacku ako je determinanta sistema njihovih jednaCina razlicita od nule, tj.
122
Prava u prostoru
Neka prava ! u prostoru, moze biti odredena kao presjek bilo koje dvije ravni koje tom pravom prolaze. U tom slucaju na pravoj tIde sve one tacke prostora koje leze u obje ravni.
A1x+H1y+C1z+D1 =0; Nl =={A1,B1,C1
}
Azx+BzY+Czz+Dz ==O;N 2 =={A1,B1,CZ
}
Taj sistem predstavlja opsu jednacinu prave.
f Or---__________ +y
a ={p,q,sl= N J xN 2
x a -vektor pravca prave i
Parametarske iednaCine prave Kanonski oblik
x = xl + !'P
Y = Yl + Aq
Z = 'l1 + AS
lednacina prave kroz dvije dateJacke
p q s
123
X=
X-Xl =J-:rL= Z- Z 1
XZ-Xl YZ-Yl Z2--1:1
U gao izmedu dvije ugao njihovih vektora
=
Realna funkcija realne promjenljive
Neka su D i V skupovi realnih brojeva i f j presJikavanje skupa D na simp \1, Tada piscmo y=f(x), XE
i kaZemo da je Y jednoznacna funlccija od rcaine promjenljive x, Promjenljiva x zOVt: se nezavisno promjenljiva a y promjenljiva. Skup D se zove definicioni sImp (dornen) iii definisanosti funkcije y=f(x} a V . U najjednostavnijim zatv(;reni
a one
za
sana za \ } .
XoE Z3 f( zove se , nula funkcije je presjek funkciJc sa x-osom,
1
v f
y=ax2+bx+c
2a
x
x
iinearna funkcija kvadratna funkcija
r x
y = log" x ,0 < a < 1
eksroncncijalna (nema nub)
Osobine funkcija
Za funkciju f(x), definisanu u intervalL! (-a,a) kazemo da je :
-parna ako je f( -x)=f(x) za \;/XE (-a,a), (grafik simetrican u odnosu na y OSU)
ako je odnosu na ishodiste)
126
za (grafik simetrican u
neki primjeri: y
-x x
i i pama parna
y y
Ogranicenost
Za funkciju f(x) kazemo da je ogranicena ako postoje brojevi m za koje vrijedi
+Y I
m=O
y=a'
(1<a' ogranicenu odozdo
m:S;f(x):S;M, \;/XE D
t Y I
I y=l
---~~%----JC:5\:::i~-':---x
/l ~ ~ ~---~- -----------~-I y=-l
m=-j i M:=J -J:>sinx::::l
ogran iccnu i odozdo i odozgo
127
Periodicnost:
1
funkci ispunjava uslov:
, ((J) konstanta :;;::0), 'dXE
da odicna sa periodom 0.1 NajmanjQ pozitivna ill za ) zove se
Tl-OSnOVfl1
kTt- period
Tok funkcije (monmonost)
Nekaje Xl<X2, Xj,X2E [a,b]cD . Ako vriJedi: a) f(XI)::5:f(X2), funkcija je neopadajuca b) f(XI):::::f(xz), funkcija.ie nerastuca c) f(XI)<f(Xl), funkcija je rastuca d) f(Xl»f(xz), funkcija je opadajuca
na intervalu [a,b]. funkcije koje zadovaoljavaju . gornjih uslova kaz.emo
da SL! monotone.
f:
a) 'dyE B je sl se
Za 'dx I,XzE vrijedi' x (nema ni jednog elementa u skupu B na koji se preslikavaju iii vise elemenata skupa Je
Ako je funkcija sirjektivna injektivna onda .W ona bijektivna. Bijektivne funkcije imaju svoje inverzne funkcije. Neka je f:A~B bijektivna funkcija. lednacinom y=f(x) definisano je y kao funkcija ad x, Aka ovu jednaCinu rijesimo po x dolJicerno x=<p(y). Ako u jednacini x=<p(y) zamjenimo slova x i y dabi(:erno funkciju y=(p(x) koja je inverzna funkciji sa fl(x),
) i ona se 'cno ozr-2lCaVLl
Grafici inverznih funkciJ'a su simetricni U odnosu na nravu v=x , , ~
(simetrala I i III kvadranta).
Primjer: Datoj funkciji f(x)=2' naci inverznu funkciju.
129
lednacinu y=2x Ijesimo po x i dobijemo x=log2Y· ~ad ~~mjenimo 'I 'dobiJ'emo y=log2x. To je inverzna fmkclJa, Prema s ova x 1 y, , ." [1' ) I ' tome, datoj funkciji f(x)=2x inverzna Je funkclp (X = Og2X
funkcije trigonometrijskih funkcija
lnverzne funkcije trigonometrijskih funkcija zov,emo.. ' cikJometrijske funkcije. Kako trigonometrij~ke f~nkcJJe mSl~. 'V"
bijektivne n3 svojim oblastima defimsanostl mozemo se og,amcltJ
r rc rc l ' ", 1 [0' rcl " t rval l-- - sa sinus 1 tangens 1 mterva. '" na zatvorcm 111 e 2' 2 J .
sa cosinus i cotangens na kojem zadovoljavaju uslov bijekcije pa
potrazimo njihove inverzne funkcijc. rc
Z'11"11-1C) na nrimj'cr Ja ie za ugao a =-;-- : --' u '>-- .f ~ ~, . t)
rc 1
6 2 1
jednak 2
130
sada pitanje koliki je ugao Ciji jc sinus
1 To pisemo arcsin - =? To je inverzna operacija od trazenja
2 sinusa a funkciju y=arcsin x zovemo inverznom funkcijom
., . . I [ 7t 7t] D f' , funkclJe y=smx na ll1terva u - 2' 2 . omen .unkciJc
y~arcsin x je (-1.1) a njen kodomcn je [ - ~ , ~ l Mozemo posmatrat i funkciju y=Arc sin x ciji je domen [-1,1] a kodomen (-oc, +oc) koja je beskonacno muHiformna (beskonacno viseznacna) ,[jednoj vrijednosti nezavisno promjenljive x odgovara beskonacno mnogo vrijednosti y] ,
y=arcsin x je luk hive y=Arc sin x koji se zove glavna vrijednost funkcije. Slicno se definisu i ostale ciklometrijske funkcije.
Grafici ciklo etrij.i~h ~unkcija
I I I
I I I nr'---' 12
II;~
1)----il , I
I \1 Y= Arcsin x"
131
y
tg x
132
.-. .;. .. :----""~~=:-:::~~~..,.=~~ ------ - - -- "'1/
• x
",Y I In
------l;- -------
f'C=~ ~In ------1 2 ------
y=:uc X
-------
x
... y
______ ~------Y:.1L
~ 2
X ..
y=arc ctg X
Y=Arc ctg x
Osnovni odnos izmcctu ciklometriiskih funkcija
sin(arc sin X)=X, XE [-1,1] ; arc sin (sin x)=x, XE[-!!-,!:l 2 2J
cos(arc cos x)=x, XE [-1,1] ~ arc cos(cos x)=x, XE [0,11:]
tg(arc tg x)=x arc tg(tg x)=x, (
11: 1!1 XE - 2 '2-J
ctg(arc ctg x)=x arc ctg(ctg x)=x, XE ( 0,11: )
Veza izmedu ciklometrijskih funkcija istog ugla ,----
arc sin x = arc cos~ 1 - X 2 == arc
~1_x2 xEl-l,lj
. r---] 2 X r 1 1J arccosx=arcsmv·-x =arcctg .--' XEL-,
1 arc tg x = arc ctg- = arc
x
I 2 -V 1- x
133
Zbir ciklometrijskih funkcii'!
. n arcsmx+arccosx =-
2
IT arc tg x + arc ctg x = -
2
Ciklometrijske funkciJ.~.J}~gmjvnih mdova
arc sin (-x)=-arc sin x
arc cos (~x)=n-arc cos x
134
arc (~x)=-arc x
arc ctg (-x)=n-arc rtg
[Granicne vrijednosti funkcija ,
Neka je £>0, proizvoljno mali broj, a konstanta i x promjenljiv
broj. Ako je Ix-al<£ kaze se da x tezi ka a i pise x~a . Ako je x<a i vrijedi Ix-al<£ kaze se da x tezi ka a sa lijeve strane i obiljeZava x~a~O. Aka je x>a onda x tezi ka a sa desne strane i obiljeZava
x-ta+O. Kaze se da funkciJa f(x) tezi ka A (r(x) -t ) kad x tezi ka a
(x-ta) iIi da je = A , ako za rna kakav proizvoUno
broj £>0 postoji broj 0::::0(£»0 takav da je
If(x) - < E Cirn je IX-31<0,
A-granicna vrijednost funkcije u tacki x=a.
Ako postoji lim == - 0) kazemo da funkcija irna ., X-l-U-O
gmicnu vrijednost za x=a i ako f +
ima desnu granicnu vrijednost. Da bi postojala granicna vrijednost funkcije u x=a
potrebno je i dovoljno da je, za svaki niz Xli za koji Xn---7a, kad
n-t=, !1 ) == x-..,.oo
u x==a 1j
= B tad a
1) c·f
2) [f(x) ± g(x)j= ± lim g(x) == ± B X-)ll X-l-a X-l-U
135
3) lim [f(x), g(x)]= lim f(x)' lim g(x) = A, B x~a . x~a x~a
f(x) lim f(x) A 4) lim -- = x~a (B i= 0) i g(x)i=O
X~a g(x) lim g(x) B
r ] Iimf(x) A 6) Hm LCf(X) = Cx-,u = C
x~a
7) !~[Iogh f(x)]= 10gb L~a f(X)] = 10gb A
8) x~a if(x) = ~!~~ f(;) = fA
Neki primjeri granicnih v!:ii.Ydnosti
136
(broj 718.,.)
in +-) = e,
n ->00 n
-1
x a =
a
ex: za a> J
1 za a = 1
o zaO<a <1
lim a x = {+ ~ :: x~-oo
o za
O<a<l
a=l
a>l
{+ oc za a> 1 }
lim loga x = X~+OC .-ex: za O<a<l
Xfi Hm -=0 X~+= aX
I' loga x 1m
X~+OC XU
n
lim ~=O n~+=
(a> 1, n EN)
I' sin x lm--=l, x~o X
w' sinkx k 11m =, lim sinkx = ~ x~o X X~() mx In
I' sinx " dm--=u X~= X
I' tgx 1 dIll -- = , x~o X
] n lim arc tg ~ = - , x~o+ x 2
Neprekidnost funkcije
Hm tgkx =~ X->O ill m
1 1t arctg-=--
x~o- x 2
Za funkciju kazemo da je neprekidna za x=a ( iIi u tacki a) ako su ispunjeni sljedeci uslovi:
1) Postoji vrijednost funkcije za x=a: f(a) (definisana za x=a) 2) Postoji lijeva i desna granicna vrijednost za x=a tj f(a-O) i
f(a+O), 3) Lijeva granicna vrijednost, desna granicna vrijednost i
137
vrijednost funkcije u tacki x=a su medusobno jednake tj.
f(3 - 0) = Hm f(x) = f(a) = lim = + 0) x ---7 a - () X ---7 a-l. 0
Ako je funkcija neprekidna za svako xE (a,b) kazemo da je neprekidna na intervalu (a.b).
Ako postoje konacne vrijednosti f(a-O), [(a) i f(a+O) i ako medusobno nisu jednake tacka a se zove tacka prekida prv'og reda (inaee su prekidi drugog reda).
Funkcija f(x) je ravnomjerno neprekidna na nekom skupu
za svako £>0 postoji da za ma koje
IXI => If(x!
138
se za
D.x-prirastaj argumenta x
r I
01 / I I , / I !
/
11 x,J
Prava Ax+By+C=O,zove se aSlmptota krive y=f(x), aka ima osobinu da rastojanje tacke koja se krece krivoj y=f(x) od te prave teze nub x iii y beskonacnosti.
Vertikalna asimptota
Horizontalna asimptota
Ako postoji broj a takav da ie .1
Hm f(x) == too onda je prava X---7a±O
x=a vertikalna asimptota .
;;;; _____ ::::::::---.... ---=t:;::::::::::::::::::::::::::. y=h Ako postoji broj b taka v da je
~ f(x) = b , onda ie prava X-t±oa J
y=b horizontalna asimptota.
Kosa asimptota
Ako postoje
. f(x) k = hm ~,k;t:O k;t:±oc
i n = lim [rex) - kx 1 ond" .l.e fl---t±oo J ' d a. _
prava y=kx+n kosa asimptota.
139
IDiferencijalni raCUll
Izvodi
y
-------~----------
/
Xi
Ako se argument x, funkcije y=f(x) promjeni od x=x! do X=Xz, onda se razlika LlX=XZ-XI naziva prirastaj nezavisno promjenljive,
a razlika Lly=f(Xl+LlX)-f(Xl) prirastaj funke~e. Kolicnik Lly zove LlX
sc srednja brzina promJcne funkcijc y=f(x) na intervalu
(Xj,Xl+Llx).
G.cometrijski, kolicnik ~: ' predstavlja koefieijent pravea sjecice
s povucene kroz tacke Mj[XI,f(Xl)] i IVIz[x2,f"(X2)].
Lly ks =tgp=-A
L.l.X
Granicna vrijednost kolicnika LlY , kad LlX-'tO (kad se tack a M2 LlX
pribli.zava tacki M 1; M2-'tM 1) ako postoji, naziva se prvi izvod
funkcije y=f(x) u tacki X=Xl, j obiljezava se y'. Znaci da je:
140
, I' Ll v y= Im-~ t.X-70 LlX
U proizvoljnoj tacki x prvi izvod je
y,=dy = lim Lly = lim f(X+LlX)-f(x) =f'(x) dx t.X-70 Llx t.X-70 LlX
Geometrijsko znacenje prvog izvoda je: y'=tg a=kt, gdje je k t
koefieijent pravca tangente na krivoj y=f(x) u tacki x.
Da bi postojao f 'ex) potrebno je (ali ne i dovoljno) cia funkeija bude neprekidana.
Ak . f k" f' k' ,. f(X+LlX)-f(x) '0 Je un elJa y= (X) nepre rldna a Hm .. = too c,.X-7() LlX
onda kazemo da funkcija ima beskonacan izvod u tacki x, a tangenta u tacki x je okomita na x osu.
Ako je f I(X)=O tangenta u tacki x je pnralelna sa x osom.
Osnovna pravHa izvoda
Neka je c konstanta, u=f(x) i v=g(x) funkcije koje imaju izvod~ tada vaze praviJa
1) c/=O (izvod konstanteje nula)
2) (c -u)'=cou'
3) (u ± v)'=u' ± (izvod zbira iIi razlike)
4. (u ·v)'=u'v+v'u (izvod proizvoda)
(izvod kolicnika)
141
Tabela izvoda osnovnih funkdja
FunkciJa y-c y-x
y-kX+m
I y=sin x y=cos x
y=tg x
y=ctg x
y=arc sin x
i y=arc cos x
I y=arc tg x
r I y=arc ctg x
y=a" y-e" -- ,
142
, 1 y=--2Fx
I y'=cos x y'= -sin x
, 1 y:::---. ')
cos M
X
1 yf::: __ _ • • 2
SIn x
f 2 -VI-x
, 1
Prvi i Z v 0 d
(x> 0)
I -~-------·I
I
(Ixl < 1) I y=-I 2 '\II-x I 1 I ---
")
I l+x~
1 ----
I 1 + x2
y'=axlna
~ j(=ex
I
Funkcija !
y=Iogax )oga e
x
y=ln x I 1 y=-
x y -sh x I =.r>h y _ x y-chx y':::sh x
0/
y=th x I 1 Y=--
2x
y=cth x I 1 y=---
sh
y=Ar sh x
1 y=Ar cn x
Jx2--1
y=Ar th x I 1 y=
I-x 2
y=Ar cth x I y=-1
l-x 2
Izvod slozene funkciie
Je gdje
(
P r v i izvod
-----Ixl<l)
( Ixl>!)
"I
I i I
I
i i I
I I
---------------------~
imaju izvod tada .
=
143
hvod funkcija koje nisu eksplicitno zadane
1) lzvod inverzne funkcije
f( ) \lj"l'J'edl' y'(x) ..... O, onda J'e za nJ'oj; Ako za neku funkciju y= x, -;-inverznu funkciju x=f (y):
I 1 1 x =-=--
Y dv y~ ,J
dx
2) Izvod implicitne funkcije
lednacinu F(x,Y)=O treba diferencirati po x smatraju6i da, )~. ~ funkcija od x i iz tako dobijene jednacine na6i ,tj treba flJesltl
jednacinu ~[F(X,y)]= 0 po dx
Primjer:
~ 2 0 x-+y -2x=
2x+2y·y' -2=0 2-2x J-x
::::} y' = = 2y y
(y:;t() )
Primjedba: OVdjc izgleda kao da je i funkcija od dvije nezavisno promjenljive x,y. Medutim to je same prividno jer
, .. 2 2 ') 0 izmedu x 1 y postO]1 veza x + y - .... x = ,
3. lzvod funkcije date u parametarskom obliku
Ako je y funkcija od x zadata posredstvom parametra t:
dy
x=f(t) Y dt tadaje y~ =-= d
v • ~ .1\\
x dt
144
Logaritamski izvod
Logaritamski izvod funkcije y=f(x) je izvod od Iny, tj,
(Iny)' = r = f'(x) y f(x)
Diferencijal funkcije
t' ~f(x) f "d' ~f(x) f') , 0 un = '(x) vnJe I = '(x +E gdJe Je E----'1
Ll.x-+O ~x Llx
kad ~X----'10. Ako izrazimo Llf(x), imamo:
~f (x) = f ~ . Llx + EL1X
Izraz f~ . ~x zove se difemcijal funkcije t~x) i oznacava
dy=f'(x)~x
kako je prirast argumenta jednak diferencijalu argumenta imamo
dy=f '(x)dx iii dy=y'dx
odakle imamo v' = dy pa sc pry! izvod cesto nazi va ~ dx
ditercncijalnim kolicnikom, raCUll sa izvodima zove se diferencijaln! racun a trazenje izvoda zovel11O
Geometrijsko znacenje ciifercncijala
1z pravouglog trougla
MNP: tga= -- .
NM=L\X=dx;
imamo Y' =--
PN Id I Z' " 'l=Y x=c y. naC1 diferencijal je prirastaj duzi tangente.
145
lzvodi viSeg reda
lzvod viseg reda funkcije y f(x) se definisu postupno
y(ll) = (v(n-l))' npr. yU=[yT
:r'rimjena izvoda u fizici
Ako se materijalna tacka krece po Ox OSl
koordinate x=f(t) tada je u trenutku t: u trenutku t 1ma
~x dx brzina v = lim -- = -
ubrzanje
kretanje brzinom
i ug:lovnim ubrzanjem. L· •
y
1
L'l.1--t() L:J.t
d -=--
2
CVfstOg tijela karakterise se ugiovnom
• L:J.<p W= hm -.
L'l.1--t() Llt
L:l..w £ = lim -- gdje (fl
LIJ--tO
krive u tacki
tangenta y - = f'
normala v-v, =----,. ,. > f!
Duzina normale =
rotacije.
2:
Duzina subtangente PT = I~ IY i
Duzina subnom1ale PN = Iyy'l
U polamom koordinatnom sistemu
Ako je p=f(x) jednacina u polamom koordinatnom sistemu, p ugao izmedu potega OM i tangente
MT,ondaje
Neodredeni Lopitalovo pravHo
') N . "- .. bl" O. 00 1 eoareaem lzraz 0 Ika - i _
o 00
p
p'
Ako su funkcije ·1 cp(x) beskonacno male iii beskonacno
I ·, . 1 . f(x) ve Ike za x-)a, tJ. a1(O Je --. kad x-)a neodreden izraz
cp(x)
0 00
- iIi tada 0 00
i kad
I\;loze postojati
. f(x) hm---=
f' (x)
x-."a cp(x) X--til <p'
postoji lim -,,--:-' X--tll <p tX}
= -- a da ne postojl cp(x)
1
2) Neodredeni izraz oblika O·oc i oc-OC
Ako je lim f1 (x) == 0 lim f2 (x) == 00 onda proizvod f l (x)·f2(x) x-ta X-t8
f1 (x) . 0 '.) ili f 2 (x) (tip ~). [reba napisati U obliku 1 ( tip 0 1 00
f 2(x) flex)
U slucaju OC-o<:, treba izraz f I(x)-f2(x) transformisari U oblik
r f 2 (x)l f1(Xll- f1 (x) J'
Ako je lim f 2 (x) := 1 tada je neodredenost svedena na prethodni X-t3 f} (x)
siucaj.
3) Neodredeni izrazi oblika 1 =, () =
Prethodnim logaritmovanjem
svode se na oblik 0·=.
izraza
y
funkcije
Tacke krive linije ) u kojima je tangenW paralelna sa osom Ox nazivamo stacionarnim tackama .
Ci" tangente sa
+x stacionarnim
tackama cx=O te swcionamih tacaka dobijamo rjesavanjem
jednacine f (potreban uslov da
kriva ima ekstremnc vrijednosti).
148
fma1110 tri vrste stacionamih tacaka.
a
- 0 +
3) r / f I /M A: --~--~;I-~----
-iL' : i j' :tga!>o
, I I 1
I, : i I ! tga, > (J i : / : -
'UI ! 11 (Xl i - , y > a r
I
~y
+ 0 +
Ordinata stacioname tacke veca od okolnih ordinata, kazemo da kriva U 10j tacki ima maksimu{11. U ovom slucaju prvi izvod je lijevo ad stacioname tacke pozltlvan, U
stacionamoj tacki je nula , a desno je negativan.
Ordinata stacioname tacke manja od okolnih ordinata onda je ta tacka minimum funkcije, Lijevo od stacioname tacke prvi izvod je negativan, u stacionarnoj tacki 0, a desno pozitivan.
Lijevo od stacioname tacke ordinate manje od orclinata stacioname tacke, a desno veee. U ovom slucaju stacionama tacka se zove prevojna iIi tacka infleksije. Lijevo od stacionarne tacke izvod Je pozitivan, U
stacionarnoj tacki je Hula, a desno opet pozitivan.
149
Lijevo od stacioname tacke ordinata je veta od ordinate stacioname tacke a desno manja. Takoae prevojna tacka. Lijevo od stacionarne tacke izvod je nega[ivan, U
stacionamoj tacki nula, a desno takode nagativan.
U prevoJ111111 tackama laiva mlJenp konveksnost. Sva ova razl1lmranja mozemo sematski prikazati.
x a-£ a a+E I + 0 y ! - max I
v - 0 + mm
;i + I, u + prevojna tacka
.:l - 0 - prevojna tar:ka
Drugi nacin za ispitivanjc ekstrema funkcije je pomocu drugog . 1 lzvoaa. RjeSavanjem jednaCine f I(X)=O dobijamo apselse stacionarnih tacaka.
U tacki x=a kriva ima m(a,
U tacki kriva im3 ako f "(b)<O;
150
Ak? j: za neku apscisu C drugi izvod takode jednak nuli pitanje je ner~Je.seno pa ~~ traze vrijednosti slcdecih izvoda. Pri tom, ako je prvl lzvod kOJl je razliCit od nulc, parnog reda, funkciia ima e~stremne vrijednosti ito: maksimum ako je on manji od" nule i mmumum ako je ve6i od l1ule. Ako je prvi izvod koji je raz!icit od nule neparnog reda funkcija ima prevojnu tacku.
Crtanje £!rafika.
Prilikom crtanja grafika funkcije potrebno Je ispitati sicdece osobine funkeije:
1. ObIast definisanosti funkcije
A(x) -- . >0
Ponasanje funkeije na krajevima oblasti definisnosti (dcsne Iijeve graniene vrijednosti, asimptote ako
3. Nule funkeije f(x)=O
4. Znak funkc~je, pamost, nepamost, periodicnost.
5. Ispitaju se stacionarne tacke '(x)=O)
6. Intervali 1110notonosti opadajuca)
f I(X»O rastucCl, za f
7. Priroda stacionarne tacke. Ekstremi i prevojne tacke . . f m1l11lTIum, <
8. Intervali i konkavnosti (Kriva je na intervalu konkavna ako je f imervalu, a konveksna ako je f If(x)<O)
na tom
Na osnovu gore navedenih osobina efta se grafik funkcije.
151
je u nekom intervalu funkcija funkcije
Tabela osnovnih integrala
I I l. f dx=x+C I I I fdx I I I I 2. I --;- = Inlx! + C
I I I
'") f xu
+1 I
J. . '\fUd V - ' C ,
~ ".----j- n:f: I !
. n+1 I I I f 1 11+x'
! ! 4. ! I
=-In-- +(' i I ! 11 ') " "--' I 1.-;.:- k II-x
I , I I
I N eodredeni integrali J Primitivna funkciia
Ako je f(x) neprekidna funkcija i F '(x)=f(x) onda je
f f(x)dx = F(x) + C , gdje je C proizvoUna konstanta. oJ
Funkcija integral od ).
zovc se pmmtlvna funkcija funkcije iJi nalazenja svih primitivnih funkcija
naziva se integracija.
onda je i funkcija gdje C proizvoljna konstanta
takode funkcija funkciJe f( . 5.
Funkcija f(x) naziva se podintegralna funkcija ili integrand.
Osobinc neodredenih integrala: 6. I; J dx J( arc tgx+ C
I 1 + x2 l- arc ctox + C ' .. b
7. f ,dx = f arc sin x + C Ix 1<1 I ~1-x2 1- arc cos x + C , ' i 1. J df(x) = f(x) + C
f x
1 8. x a
a =--+C (a>O) ina '
rf l 2. dl f(x)dx J = f(x)
3. J . f(x)dx = C f f(x)dx 9. f eX =ex + C '"
4. J[f(X)±g(x)}ix= J f(x)dx± J g(x)dx 10. I f sinx dx = -cosx + C
11. f cos x dx = sin x + C
153 152
r 12 I f sh dx = ch x + C
f ch dx = sh x + C 13.
f dx 14. . 2 =tg X+C COS X
l"-
I I
I
I !
I
.. dx 15. J ---=-ctgx+C
I . 2
SIn x
f dx 16. --2-=cth x +C ! sh x
I r dx
17. --=-thx+C J ch 2x
Osnovne metocle integracije
1. Metoda dekompozicije. Ako je
f(x)=f1(x)+f2 (x) ondaje ff(X)dx=ffI(X)dX+ jf2 (X)dX
2. Metoda smjene promjenljiyih
Ako se stavi X=<p(t) , gdje su <pCt) i <p'(t) neprekidne funkcije, dobija se ,. ,.
J f(x)dx = J f(<p(t»)<p'(t)dt
3.Metoda parcijalne integracije
Ako su u i v diferencijabilne funkcije od x, onda je
J udv = u . v - J vdu
154
Integracija racionalnih funkciia
1. Ako je razlomak pod integral om nepravi (stepen brojnika veti iIi jednak od stepena nazivnika) prethodno treba izdvojiti iz njega cijeli dio.
2. Ako je razlomak pod integralom prayi (stepen brojnika manji od stepena naziynika) onda se njegov nazivnik rastavi po mogucnosti na Cinioce oblika (x-aYx i (x2+px+g)f:l, p2-4q<O, (a,pE N) pa se zatim razlomak razlaze na zbir elementamih razlomaka na sledeci na6in
P(x) Al A2 Au =--+ + ... + +
(x-a)a.(x 2 +px+q)p x-a (x-a)2 (x-a)u
MIX+Nl Mzx+N z , Ml3 x +Nt3 + + T • " + ---'._--"-_
x2
+px+q (x 2 +px+q)2 (x 2 +px+q)t3
Integracija iracionalnih funkcija
1. Integral! oblika
R(x,y) racionalna funkcija. svode se respektivno smjenama ax+b=t
U
i axID+b=tU na integraciju racionalnih funkcija.
2. Integral oblika
1 racuna se smjenom x-a= -.
t
155
3. Integrali oblika JR( x,iaZ -x2 !dX i ~ )
f , x,~a2 + x2 rX svode so respektivoo smjenarna x=a sint
x=a tgt na integraciju racionalnih funkcija. In Ill-I I
II" aox + a 1 x + ... T a 4. Integral ·~x moze da se svede na
J Jax2+bx+c
integral iz tacke 3. iIi se napise U obliku m m-I . r a x + x + ... + f m-I
JI.~. ---=tA{lx + ... + , v
gdje je ~ ax 2 + bx + c , koeficijenti A, se nalaze
diferenciranjem zadnje jednakosti, oslobadanjem imenioca 1
uporedivanjem koeficijenata na lijevoj i desnoj strani uz iste stepene od x,
5. Integral f xrn(a+bxn)PdX, (a,bER; m,n,pEQ)
a) kad je p cio broj, razlaganjem na sabirke, snjenom t = Vx, gdje je r najmanji zajednicki sadrhlac nazivnika racionalnih brojeva min.
m + 1 n s ~.. . '1
kad je -- cio broj smjenom a+bx =t l gOJe Je s naZlVnIK n
broja p,
m+l c) kad je -- +p cio broj, smjenom ax,n+b=e, gdjc je s
n nazivnik razlomka
156
Integraciia trigonometriiskih funkciia
1. Integrali racionalnih funkcija po sin x i cos x smjenom
2: x '. 2t 1- t 2dt dx =:----
1 -1--,2 J_ , L
tg- = t , odkle Je sm x = --- cosx == ___ _ 2 1+t 2 ' 1+t2 '
svode se na integraciju racionalnih funkcija po t.
2. lntegrali oblika f sinn xdx i f cos ll xdx . gdje je n prirodan
broj, mogu se izracunati pomocu rek_urentnih formula do kojih se dola7:i parcijalnom integracijom
n n-1 xeos 11-2
(n >.
n- I f x + -"-_. cosn- 2
n
3. Integrali oblika fax " sinn x r dx
---n -, 11 prirodan broj, '" cos x
racunaju se pomocu rckurentnih formula koie se dobiiu metodom parcijalne integracije. --
f ax , Ii
sm x cosx n-2f dx ------+---
(n -1)sinn- 1 x n -1 sin n - 2 x
f dx _. ___ s_in_x _ !_! -_2 f dx
cos ll x (n -1)cosn- 1 x n -1 cosn-2 x
(n > 1)
I"
4. Integrali oblika J sinffi
x coso x dx, gdje su min cijeJi brojevi.
racunaju se koristenjem pogodnih transformacija iii primjenol11 nekurentnih formula.
157
f· . m+l 0-1 1 f _ m 0 SIn x cos x n -. _
sin xcos xdx = + smm xcosn 2 xdx
m+n m+n
f . m-I n+1 sm xcos x m-I
sin m xcosn xdx = . + r sinm-
2 xcosn xdx m+n m+n ..
za m+n:;t:O
5. Pri racunanju inlegrala oblika
faxcosbxdX, gdje su a i b realne konstante
koriste se trigonometrijski identiteti
a ~ = ~ [cos(a -~) -cos(a + f)]
cos acos~ = ~ [cos(a - f)) + cos(a +~)]
acos~ = ~[sin( a - f)) + sine a + f))] 2 .
Integracija transceQentnih funkcija
l.Integrali oblika
J P(x)eaxdx , f P(x)sinaxdx i f P(x)cosaxdx ,
gdje je P(x) polinom n-tog stepena, izracunavaju se metodom parcijalne integracije.
158
2. Integrali oblika f xneaxsjnbxdx i f xneaxcosbxdx
izracunavaju se metodom parcijalne integracije stavljaju6i
u = xI! i dv = e3X sin bx odnosno dv=eilXcosbx.
3.Integrali oblika J P(lnx)xlldx i f P(arcsinx)dx , gdje je P(x)
polin om po lnx odnosno arcsinx, svode se smjenom lnx=t
odnosno arcsinx=t na integrale f P(t)e(n+l)tdt j f P(t)costdt _
159
Odredeni integrali
r I
I 01
I
~~) ~-~ :: ! I'
/~ _ _ J : '" I ; I
! :! \ I
I : I:: : : r- --{ i I", 1 I 1- I I I: I I I I I i I .. ! I I i I I I", I ! I I 1! ~ r:. I 1
: :f(Q) I I
~ :; ~ . "" IIi
:<;1 : __ ~ ___ ~~ __ L-~~ __ ~,-~
Xl,'" \YI.'" X.n-U X
""X,
je funkcija definisana na intervalu na n dijelova tackama:
n
posmatraJmo sumu Lf(~i i==l
n
Podijelimo
gdje
LlX,=Xi- Xi-i. Ako postoji "'\:' f(~i )t'lXi i ako je konacan, za ma B-l-ooL..c
i=l
podjelu intervala[ a,b] zvat cemo ga odredenim integralom b
funkcije u granicama od a do b i oznacavati f f(x)dx .
a
Znaci daje
U tom slucaju kaze se da je funkcija integrabilna na odsjecku [a,b]. Da bi funkcija bila integrabilna na [a,b], dovoljno je da je neprekidna iIi da ima konacan broj prekida prvog reda.
160
Osobine
a jO
1. J f(x)dx == 0
a
b a
integraia
; f f(x)dx = - ff(X)dX Of •
a b
b Ib
c b
3. J $' i
a a c
4 funkcija
5. Je neparna funkcija onda
a '" I
J -a I)
=0
Ako je funkcija f(x) neprekidna na ja,bJ, rada postoji na tom
odsjecku neodredeni integral: f f(x)dx == F(x) + C i va~i sledeca
jednakost
b
[r ' r 1 b (xjdx = IF(x)J a= F(b) - FI\a)
.J
161
IntegraH neograniccnih funkcija
Ako je [(x) neogranicena U x=CE [a,b] i neprekidna za XE [a,c) b
XE (c,b] onda se j f(x)dx definise na sledec;i nacin
a
h c-£ b
f f(x)dx =: J. f(x)dx + lim jf(X)dX J £~O 5~O a a c+5
postoje i konacni SU, integral konvergna, inace divcrgira.
b
f J
162
==
) tada je b
f b~coJ
a
h ,. I f(x)dx
a~-=J a
na ogranicenog lukom
X ose za XE [a,b] racuna pO formuli b
iIi P =: _. f f(x)dx ako je f(x)SO J a
se
y
b x
ogranicen lukovima krivih
Ij\ y
l' i ,; 1\1 -L I~B~
Neka su f(x) i g(x) neprekidne funkcije na illtervalu [a,b], Tada je
~f(X)
F : ;
I ' I I
.~g(X) AI iB
I I I I ! !:>
a b x
i povrsina
b
=: frf(X)-'" a
Zapremina tijela nas/ala rotacijom ako ose X
krivolinijskog ogranicenog pravama x==a, x=b. Inkom ve y==f(x) i x osom je
b
v=:nj
163
Ako krivolinijski trapez ogranicen krivom y=(x) i pravama y=c, y=d i y-osom rotircl oko y-ose, opisuje tijelo cija je zapremina
d
V=n:Jx2dY
c
Formula za povrsiflolot-pJohe koja je nastala rotacijOln krivc y=t'(x) oko ose Ox.
I' I,
, Y
P"---
izmcdu tacaka sa apscisama x=a i x=b .
0'\ ~ I ~[t ~,,_!'(,") '\ I .1-' ~.
I ,
~ ~ ~ ?
164