priscila . estadistica. teorema de multiplicacion (1)

7/24/2019 Priscila . Estadistica. Teorema de Multiplicacion (1)

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Teorema Multiplicacin

El teorema de la multiplicacin de probabilidades era conocido por casi todos los

estudiosos a travs de clculos particulares. Sin embargo, fue Abraham De Moivre

(!!"

#"$%& el primero 'ue los enunci con autoridad. En la introduccin a su obra Doctrina

delas osibilidades de ", De Moivre present el importante concepto de

independencia de sucesos aleatorios) as*, escribi+ Diremos 'ue dos sucesos son

independientes, si uno de ellos no tiene ninguna relacin con el otro- procedi a

definir los sucesos dependientes+ Dos sucesos son dependientes si estn ligados el uno

al otro la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos influe en la probabilidad de

ocurrencia del otro-.

El teorema de multiplicacin es un cierto tipo de identidad 'ue es obedecida por

muchas funciones especialesrelacionadas con la funcin gamma. ara el caso e/pl*cito

de la funcin gamma, la identidad es un producto de los valores, de ah* el nombre. 0as

diversas relaciones 'ue todas esta identidades tienen vienen del mismo principio

subacente, es decir, la relacin de una funcin especial se puede derivar de la de las

dems, es simplemente una manifestacin de la identidad misma de diferentes formas.

Funcin Gamma

0a frmula de duplicacin el teorema de multiplicacin de la funcin gammason los

prototipos de e1emplos. 0a frmula de duplicacin de la funcin gamma es

Es tambin com2nmente llamada frmula de duplicacin de 0egendre o relacin de

0egendre, en honor a Adrien3Marie 0egendre.El teorema de multiplicacin es

para enteros k4 , suele ser conocido tambin como frmula de multiplicacin de

5auss,6en honor a 7arl 8riedrich 5auss. El teorema de multiplicacin para las

funciones gammas puede ser entendido como un caso especial, para elcarcter trivial,

de la frmula de 7ho9la#Selberg.

Si A : son eventos contenidos en el mismo espacio muestral S,

donde A ; < : ;< entonces A: = A : A .
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?a vimos 'ue la probabilidad condicional est definida por

. Despe1ando (A:& se obtiene+

(A:& = (:& (A > :&

En forma similar partiendo de (: > A& se llega a+

(A:& = (A& (: > A&

@eamos el caso de tres eventos.

Sean los eventos A, : 7 del mismo espacio muestral S,

donde (A& ; 7&llegamos a (A:7& = (7& (: > 7& (A > :7&.

7uando se tienen n eventos, la regla de multiplicacin 'ueda+

(AA6. . .An& = (A& (A6 > A& (A > AA6& . . .(An > AA6. . . An3&

Ejemplo 1:

En un saln de clases de 7ontabilidad de la np contiene 6$ carpetas , de los cuales %

son defectuosos. Si se e/traen 6 carpetas al aFar, encontrar la probabilidad de 'ue los

dos sean defectuosos.

Solucin

Definimos los eventos+

A = Gx> xla primera carpeta es e/tra*do es defectuosoH

: = Gx> xla segunda carpeta es e/tra*do es defectuosoH


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De acuerdo a estas definiciones, para la primera carpeta es e/tra*do se tiene 'ue

(A& = . 7omo a se e/tra1o una carpeta defectuoso, las condiciones para e/traer la

segunda carpeta son 'ue ha 6% carpetas, de los cuales son defectuosos, por lo 'ue

(: > A& = . tiliFando la egla de Multiplicacin tenemos+

P(A B) = P(A) P(B | A) = = 0.02

Ejemplo 2:

Se tiene una ca1a 'ue contiene % calculadoras verdes ! ro1as. Si se e/traen 6

calculadoras sin reemplaFo I7ul es la probabilidad de 'ue la primera sea ro1a la

segunda verdeJ.

Solucin

Sean lo eventos+

7 = Gx> xla primera calculadora es ro1aH

D = Gx> xla segunda calculadora es verdeH

En total ha < calculadoras , por lo 'ue para la primera calculadora 'ue se

e/trae se tiene 'ue . En el momento de e/traer la segunda calculadora ha K

calculadora en la ca1a , de las cuales % son verdes, por lo 'ue . Aplicando la

egla de multiplicacin 'ueda+

.

Ejemplo 3:

Doce docentes de la niversidad Lacional de iura (! administradoras, % contadores

6 economistas& realiFan un paseo en un pe'ueo autob2s, al llegar a cierto lugar,

ba1an del autob2s cuatro personas una tras otra, determine la probabilidad de 'ue) a. 0a

primera segunda persona 'ue ba1en sean administradoras, el tercero sea un economista

por 2ltimo ba1e un contador, b. Nue ba1e un economista , luego un hombre contador,

luego otro economista por 2ltimo 'ue ba1e una administradora, c. Nue ba1e una


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administradora, luego un contador, despus otra administradora por 2ltimo otro

contador.

Solucin+

a. M= evento de 'ue ba1e del autob2s primero una administradora

M6= evento de 'ue ba1e en segundo lugar una administradora

L= evento de 'ue ba1e en tercer lugar un economista.

O%= evento de 'ue ba1e en cuarto lugar un contador

(MM6LO%& = p(M&p(M6M&p(LMM6&p(O%MM6L& =

= (!P6&Q($P&Q(6P


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O%= evento de 'ue en cuarto lugar ba1e un contador.

p(MO6MO%& = p(M&p(O6M&p(MMO6&p(O%MO6M&

= (!P6&Q(%P&Q($P

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