prismas - · pdf fileobservação 1.3: quando um prisma é descrito como...
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Hewlett-Packard
Ano: 2016
PRISMAS Aulas 01 e 02
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Sumário PRISMAS .................................................................................................................................................................. 1
CLASSIFICAÇÃO DE UM PRISMA.............................................................................................................................. 1
ÁREAS EM UM PRISMA ........................................................................................................................................... 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................................. 1
VOLUME DE UM SÓLIDO ......................................................................................................................................... 2
PRINCÍPIO DE CAVALIERI ......................................................................................................................................... 2
VOLUME DE UM PRISMA ........................................................................................................................................ 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................................. 2
PARALELEPÍPEDO .................................................................................................................................................... 2
PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO ................................................................................................................. 3
CUBO ................................................................................................................................................................... 3
DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO ....................................................................................... 3
ÁREA TOTAL DA SUPERFÍCIE DE UM PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO ........................................................... 3
VOLUME DE UM PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO .......................................................................................... 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................................. 3
CAIU EM PROVAS ANTERIORES ............................................................................................................................... 4
GABARITO ............................................................................................................................................................... 4
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho, Matheus Bernardini e Paulo Luiz Ramos Página 1
AULA 01 PRISMAS
Observe a representação de um prisma:
Os elementos de um prisma são: bases, altura, faces laterais, arestas da base e arestas laterais. No caso do prisma apresentado acima, esses elementos são:
Bases: polígonos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴′𝐵′𝐶′.
Altura: distância entre os planos 𝛼 e 𝛽.
Faces laterais: retângulos 𝐴𝐴′𝐵′𝐵, 𝐵𝐵′𝐶′𝐶 e 𝐴𝐴′𝐶′𝐶.
Arestas das bases: segmentos 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶, 𝐴′𝐵′, 𝐵′𝐶′ e 𝐴′𝐶′.
Arestas laterais: segmentos 𝐴𝐴′, 𝐵𝐵′ e 𝐶𝐶′.
Observação 1.1: Nos prismas, as faces laterais sempre
são paralelogramos.
CLASSIFICAÇÃO DE UM PRISMA Podemos classificar os prismas quanto ao número de
lados de um dos polígonos da base (triangular,
quadrangular, pentagonal, etc.) e quanto à inclinação
de suas arestas laterais em relação ao plano de uma
base (reto ou oblíquo).
A seguir, temos alguns prismas e uma de suas
classificações:
Prisma Triangular Prisma Quadrangular
Prisma Hexagonal
Prisma Reto Prisma Oblíquo
Observação 1.2: A altura de um prisma reto coincide
com a medida de uma aresta lateral, o que NÃO ocorre
em um prisma oblíquo.
Observação 1.3: Quando um prisma é descrito como
um prisma regular, há a implicação de dois fatos:
ele é um prisma reto; e
as suas bases são polígonos regulares.
ÁREAS EM UM PRISMA Área de uma das bases (𝑨𝒃): área do polígono de
uma das bases;
Área lateral (𝑨𝒍): soma das áreas das faces laterais;
Área total (𝑨𝒕): soma das áreas de todas as faces do prisma.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1) PSA 19.2
𝐴𝑡 = 2 ∙ 𝐴𝑏 + 𝐴𝑙
Tablet: (Leitura) – Definição de Prisma
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VOLUME DE UM SÓLIDO
Medir uma região do espaço é compará-la com outra
região do espaço fixada como unidade. Adota-se
frequentemente, como unidade de volume, o volume
de um cubo de aresta unitária. Desse modo, tem-se:
Medida da aresta Volume do cubo
1 dm 1 dm³
1 cm 1 cm³
1 m 1 m³
PRINCÍPIO DE CAVALIERI Sejam 𝑃 e 𝑄 dois sólidos limitados e 𝛼 um plano. Se
para todo plano 𝛽//𝛼 as interseções 𝛽 ∩ 𝑃 e 𝛽 ∩ 𝑄 são
vazias ou têm a mesma área, então os volumes de 𝑃 e
𝑄 são iguais.
Observação 1.4: Se dois sólidos 𝑃 e 𝑄 tem o mesmo
volume, então dizemos que 𝑃 e 𝑄 são sólidos
equivalentes.
VOLUME DE UM PRISMA Pode-se mostrar que o volume 𝑉 de um prisma em que
a área de uma base é 𝐴𝑏 e a altura é ℎ é dado por:
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.2) Determine a área total e o volume de um prisma
triangular regular, em que uma das arestas de uma
base mede 2 𝑐𝑚 e uma das arestas laterais mede
√3 𝑐𝑚.
1.3) PSA 20
1.4) PSA 31
AULA 02 PARALELEPÍPEDO Um prisma em que todas as faces são paralelogramos
é denominado paralelepípedo.
Exemplo 1: Os prismas quadrangular e oblíquo
apresentados na AULA 01 são exemplos de
paralelepípedos.
𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ
Relembrando...
Diagonal de um quadrado de lado 𝑙:
Altura de um triângulo equilátero de lado 𝑙:
Cálculo de áreas de alguns polígonos
Triângulo Equilátero de lado 𝑙:
Quadrado de lado 𝑙:
Hexágono regular de lado 𝑙:
Retângulo de dimensões 𝑏 e ℎ:
Tablet: (Leitura) – Definição de Volume
𝑑 = 𝑙√2
ℎ =𝑙√3
2
𝐴 =𝑙2√3
4
𝐴 = 𝑙2
𝐴 = 6 ∙𝑙2√3
4
𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ
Conversão de unidades de volume
1 dm³ = 1 L
1 cm³ = 1 mL
1 m³ = 1000 L
TAREFA 1: P.S.A.: 12, 18, 21, 28 e 29 .
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PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO Um paralelepípedo em que todas as faces são
retângulos é denominado paralelepípedo reto
retângulo.
Costuma-se chamar as medidas 𝒂, 𝒃 e 𝒄, da figura a
seguir, de dimensões do paralelepípedo.
CUBO Um paralelepípedo em que todas as faces são
quadrados é denominado cubo.
Costuma-se chamar a medida de uma de suas arestas
de 𝒂.
DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO
RETO RETÂNGULO Pode-se mostrar que a medida de uma diagonal de um
paralelepípedo reto retângulo de dimensões 𝑎, 𝑏 e 𝑐 é
dada por:
Observação 2.1: No caso de um cubo, cuja medida de
uma aresta é 𝑎, a medida de uma diagonal é dada por:
ÁREA TOTAL DA SUPERFÍCIE DE UM
PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO Pode-se mostrar que a Área Total, 𝐴𝑇 , de um
paralelepípedo reto retângulo de dimensões 𝑎, 𝑏 e 𝑐 é
dada por
Observação 2.2: Como o cubo é um tipo de
paralelepípedo reto retângulo, então a área total 𝑨𝑻
da superfície de um cubo, com as três dimensões de
medida 𝒂, é dada por
VOLUME DE UM PARALELEPÍPEDO
RETO RETÂNGULO Pode-se mostrar que o volume 𝑉 de um paralelepípedo
reto retângulo de dimensões 𝑎, 𝑏 e 𝑐 é tal que
Observação 2.2: Como o cubo é um tipo de
paralelepípedo reto retângulo, então o volume 𝑽 de
um cubo, com as três dimensões de medida 𝒂, é dado
por
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1) Determine a área total e o volume de um cubo, em
que uma de suas diagonais mede 6 cm.
2.2) PSA: 14, 17, 19.1 e 27
𝐷 = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
𝐷 = 𝑎√3
𝐴𝑇 = 2 ∙ (𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐)
𝐴𝑇 = 6 ∙ 𝑎2
𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐
𝑉 = 𝑎3
Desafio 1.1: Demonstrar as fórmulas para cálculo da
medida de uma das diagonais do paralelepípedo reto
retângulo e de uma diagonal do cubo.
TAREFA 2: PSA: 5, 7, 10, 13, 16, 22, 24, 25 e 26
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CAIU EM PROVAS ANTERIORES
1) Na figura a seguir tem-se o prisma reto ABCFDE ,
no qual 6DE cm, 8DF cm e DE é
perpendicular a DF , em D .
Se o volume desse prisma é 120 cm³, a sua área
total, em centímetros quadrados, é igual a
a) 144. b) 156. c) 160. d) 168. e) 172.
2) Considere um recipiente na forma de um prisma
hexagonal regular, cujas medidas de uma das
arestas da base e de uma das arestas laterais, em
cm, são iguais a 8 e 12,5, respectivamente.
Determine, em mL, o volume de água presente
nesse recipiente quando a coluna d’água atingir
80% da altura do recipiente.
3) Calcule o volume de um prisma quadrangular
regular cuja área total é igual a 110 m² e cuja área
de uma face lateral é igual a 3
5 da área de uma das
bases.
4) Um prisma hexagonal regular é tal que a medida
de uma aresta de uma das bases é igual à sua
altura. Sabendo que seu volume é igual a
96√3 cm³, calcule a área da superfície desse
prisma.
GABARITO EX. FUNDAMENTAIS
1.2) 𝐴𝑇 = 8√3 cm² e 𝑉 = 3 cm³
2.1) 𝐴𝑇 = 108 cm² e 𝑉 = 54√2 cm³
CAIU EM PROVAS ANTERIORES
1) D
2) 960√3
3) 75 m³
4) 192(√3 + 2) cm²