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PRISME DE WOLLASTON - PROFILOMETRIE Durée 3h. Ce TP comporte 6 pages.

1. MATERIEL/LOGICIELS/DOCUMENTS

Logiciel Excel � Logiciel VisuIm � Laser He-Ne � �

Lentilles (f = 10; 150; 300 mm) � Polariseurs � Miroirs �

Prisme de Wollaston � Eléments mécaniques de liaison�Platine motorisée Polytec � Carte de commande platine ins-tallée dans ordinateur � Carte d�imagerie Matrox Meteor II �Caméra CCD avec objectif � Objets à étudier - Courschap.BIR1.

2. INTRODUCTION

2.1 Le prisme de Wollaston.

Un prisme de Wollaston est constitué de deux pris-mes en quartz. Dans le premier, l'axe optique est dans leplan de figure (Cadre 14 en haut), dans le second, l'axeoptique est perpendiculaire au premier. (Cadre 14 enbas).

Les indices ne et no du quartz sont donnés Cadre 1en fonction de et Cadre 15 à 589nm.

La biréfringence est peu dépendante de la longueur d'onde.

Etudier en s'aidant des exercices du chapitre BIR1 comment un rayon incident sur un prisme de Wollaston enquartz est séparé en deux ondes e et o.

L'angle séparant les faisceaux émergents est donné par :

2 n ne o tan (1)

2.2 But du TP

Le prisme de Wollaston est un diviseur d'amplitude et séparateur de polarisations. Un faisceau monochromati-que incident donne deux faisceaux o et e de polarisations orthogonales et séparés d'un angle .

On cherchera à comprendre dans une première partie les conditions (cohérence de phase et de polarisation)qui permettent l'interférence des faisceaux o et e.

3. TRAVAIL DEMANDE

3.1 Construction d'Huygens.

Compléter le schéma de la figure du Cadre 15 Précisez la polarisation des rayons émergents.

Calculer avec (1) l'écart (en mrad et ' ) entre les faisceaux à 633 nm. (Donnée constructeur : = 18°.)

3.2 Interférences en lumière polarisée.

3.2.1 Etude des faisceaux émergents.

Placer d�abord le laser L muni d'un expenseur de faisceau, le polariseur P, et le prisme de Wollaston W, montésur une table à déplacements micrométriques.

Observer : W sépare le faisceau parallèle incident en deux faisceaux rectilignement polarisés orthogonaux. Ils font entre eux un angle .

Cadre 1 : la biréfringence du quartz.

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Faire tourner l�"axe" du polariseur P (axe = direction de polarisation privilégiée transmise par P). Observer les

extinctions successives des faisceaux. En déduire leur direction de polarisation respective : ce sont les lignes neu-tres du cristal.

Mesurer l�angle . Il suffit pour cela de mesurer la distance L des deux traces, sur un écran placé à une distance

D de W : dL

D2L

ATAN2

(2)

3.2.2 Franges localisées

Les franges (si elles existent) sont localisées dans le plan (intersection des faisceaux émergents). Pour les observer, on peut faire l�image du plan par un objectif L (f = 85 mm) sur un écran E à distance D as-

sez grande. Assurez-vous que E est bien dans le plan conjugué de . Observer l'existence de franges en l'absence de polariseurs en présence du polariseur P1 seul en présence du polariseur P2 seul en présence de P1 et P2.Mesurer l'interfrange image I et déterminer le grandissement transversal G du montage.Répondre aux questions suivantes.

Quelles sont les directions des lignes neutres du prisme (par rapport à l'horizontale) ?Quel est le rôle du polariseur P1 ? Quel est le rôle du polariseur P2 ?Quelle doit être l'orientation des "axes" des polariseurs par rapport aux lignes neutres du prisme pour observer

les franges les mieux contrastées ?

Pourquoi n'observe-t-on pas de franges quand l'axe de P1 ou/et P2 est horizontal ou vertical ?Quelle est la mesure de ? I ? |G| ?Calculer l'interfrange i par les relations

i

et i

G

I

3.2.3 Déplacement des franges.

Déplacer le prisme perpendiculairement au faisceau incident. Observer le déplacement des franges sur l'écran.

Mesurer le déplacement y du prisme correspondant au défilement de N interfranges en un point de l'écran.

Ecran

L

P

cadre 2 : séparateur de faisceaux, mesure de .

E

Laser

P1

W

L P2

p p'

Cadre 3 : interférence en lumière polarisée.

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On montre que la différence de marche introduite par le

déplacement y transversal du prisme est donnée par : = y= N

En déduire la valeur de l'angle :

Ny

(3)

Recommencer plusieurs fois la mesure. Compléter le tableau des résultats.

En déduire la valeur de par cette méthode avec son in-tervalle de confiance.

Comparer les valeurs obtenues par (1), (2) et (3).Sur le schéma du Cadre 4, montrer que le chemin optique

du rayon R1 (de polarisation horizontale o) est (on admet ladéviation très faible) :

d ne

y ne

yo e1 2 2

tan tan

Calculer de même le chemin optique du rayon R2 (de pola-risation verticale). Montrer que la différence de marche est

donnée par :

2 n n yo e tan

En déduire l'expression de la différence de marche :

y (4)A.N : de combien faut-il déplacer le prisme pour obtenir

une différence de marche de /4; /2; 3/4; ?

3.3 Projection des franges sur un objet

Il s'agit de mesurer la forme d'un objet, sans contact,permettant d'obtenir les coordonnées tridimensionnelles

d'un grand nombre de points. Le relief de l'objet est une fonction décrivant l'altitude z = f(x,y) du point de la surface. On projette des lignes zi = f(x,yi) sur la surface. Nous utiliserons pour cela les franges au profil sinusoïdal localisées dans le prisme de Wollaston dont on fera

l'image avec un grandissement transversal GT = -8. Les franges auront alors un pas p0 = 8i.

Projetées sur plan de référence, sous une incidence , les lignes dessineront un réseau de pas p :

cos

pp 0

Les franges sont observées par une caméra CCD dans une direction perpendiculaire au plan de référence. Un plan de référence donne une image semblable à celle du cadre 6. Projetées sur l'objet d'étude, les franges seront déformées par le relief (cadre 7). Plusieurs traitements de l'image peuvent être envisagés pour conduire au relief ou au profil.

Nous utiliserons la méthode du décalage de phase qui permet un bon contraste. Elle aboutit à une image pha-sée de la référence (cadre 9) et de l'objet (cadre 8) puis au profil modulé(cadre 12) et enfin au profil après démodulation (cadre 10).

Un étalonnage permettra ensuite de convertir les niveaux de gris du

profil en altitude pour chaque point.

0

y

z

e

R1

R2

Cadre 4 : chemin optique d'un rayon incident en y.

Mesure N° 1 2 �.

y (mm)

N

(mrad)

(')

Tableau 1

cadre 5 : Image 3D

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cadre 6 : image du plan de référence.cadre 7 : Image de l'objet.

cadre 8 : Image phasée de l'objetcadre 9 : Image phasée de la référence

cadre 10 : Image démodulée (dépliée) et

calibrée (étalonnée).

L (10 mm)1 L (300 mm)2

WP1 P2

E

15 à 20°

p1 = 170 mm p'1 = 1350 mm

CCDL (150 mm)3

310 mm

Obj 25 mm

P.I.

cadre 11 : Montage interférométrique et projection des franges

cadre 12 : Image modulée ou pliée de

l'objet : soustraction des images phasées

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3.4 Description et géométrie du montage optique.

Disposer les éléments du montage conformément au cadre 11. On veillera à respecter les consignes suivantes : W est placé sur une platine motorisée P.I. permettant sa translation perpendiculaire à l'axe M2E. L1 et L2 forment un expanseur de faisceau. Calculer la distance L1L2. W et E sont conjugués par la lentille L (f = 15 cm) qui réalise un grandissement transversal GT = �8. On choisira

pour cela p1 = 17 cm et p'1 = 135 cm. L' "axe" du polariseur P1 est à 45° des lignes neutres de W. L'axe de P2 est perpendiculaire à P1 (polariseurs

croisés).

E est l'objet de référence (plaque blanche) monté sur support 3D. Le plan de E est incliné de 15 à 20° par rap-port à M2E.

La caméra, à environ 30 cm de E, observe ce plan dans une direction normale au plan, faisant l'angle 15 à20° avec les faisceaux. On peut pour cela réaliser un triangle rectangle WEH avec WE = 152 cm; EH 145 cmet HW 50 cm ou utiliser le gabarit en carton mis à votre disposition.

Montrer le montage à un professeur.

3.5 Projection de franges sur un profil.

3.5.1 Profil plan (référence)

D�une frange à l�autre, la phase varie de 2. Un point d�abscisse x est caractérisé par la phase

px

2Réf

Elle est périodique de période p.

3.5.2 Profil non plan (objet).

Observer le schéma du cadre 13 les franges sontprojetées sur un objet non plan et observées avec la

caméra.

Un point d�abscisse x et altitude z est caractérisé par

la phase

p

)tan(*zxObj

2 (3)

On en déduit que la différence = Obj � Réf est pro-portionnelle à z :

p

)tan(*z 2

Une variation d'altitude )tan(

pz

provoque un dé-

phasage de 2.

3.6 Le décalage de phase

La méthode consiste à enregistrer trois autres images des franges déphasées de /2, et 3/2 pour l'objet deréférence (plan) et pour l'objet dont le relief est à étudier.

Il suffit pour cela de déplacer le prisme de Wollaston grâce à la platine motorisée.

Les intensités sont des expressions :

y,xcosC10 II00

2y,xcosC10II90

y,xcosC10II180

cadre 13 : projection de franges

0 à /2 /2 à à 3/2 3/2 à

Signe deS

Signe deC

Tableau 2 : Etude des signes

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23

y,xcosC10II 270

La résolution de ce système d'équations donne le déphasage (x,y) (modulo 2) en tout point de la surface étu-diée.

L'opération *255/2 donne l'image phasée où l'éclairement de chaque point est l'image de sa phase (exprimée

en niveaux de gris NG modulo 256). Calculez : S = I270 � I90 puis C = I00 � I180 puis

18000

90270

II

II

T . Montrez que ATAN (T) = (modulo ).

Etudier le signe de S et C en complétant le Tableau 2. Exemple : on relève l'éclairement en NG d'un point sur les quatre images successives : I00 = 135 ; I90= 93 ; I180

= 205 ; I270 = 135. Quelle est la phase (modulo 2). Montrez que cette phase sera représentée par NG =106 (en niveaux de gris).

Expliquez le détail du calcul.

La différence des images phasées Obj � Réf permet d'obtenir le profil de l'objet (en NG modulo 256). La démodulation permet d'obtenir le profil en NG.L'étalonnage permet d'obtenir le profil z en µm.

3.7 Réalisation d'un profil.

3.7.1 Etalonnage en z En acquisition permanente, déplacer l'objet de référence de z jusqu'à ce qu'une frange prenne la place de celle

qui la suivait (ou précédait).

Faire plusieurs essais. Compléter le tableau Tableau 3.

Le calcul )tan(

pz

conduit à z 3 mm.

En cas de contradiction rechercher l'erreur et faire appel à

un professeur. Enregistrer votre Tableau 3 sous Moiré2.xls.

Placer cette valeur de z dans le paramètre qui permet de

définir l'échelle en µm du menu profil.

3.7.2 Mesure d'un profil Dans Acq. image phasée à quatre images, Introduire les paramètres permettant d'obtenir les déphasages

de /2 entre images successives . Faire l'acquisition de l'image phasée du plan de référence. L'enregistrer : réf_phasée.tif.

Placer l'objet sur le plan de référence et réaliser l'image phasée de l'objet. Enregistrer Obj.tif et obj_phasée.tif. Poursuivre les opérations (calculs, éventuellement filtrages, démodulation). Enregistrer Démodulée.tif.

Demander le profil et relever (en µm) l'altitude de certains points remarquables du profil de l'objet. Reprendre la manipulation pour bien maîtriser les différentes opérations.

Présenter un exemple à un professeur.

Enregistrer un exemple bien choisi sous Profil.tif.

Mesure N° 1 �. 5

z

z moyen = ����.. µm

z calculé 3 mmTableau 3 : étalonnage en z

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NOMS : ���������.

��������..

FEUILLE A RENDRE AVEC LE COMPTE-RENDU

BAREME CORRECTION

3.1 Schéma + calcul (formule 1) ___/3

Mesures ; I ; G (par visualisation des franges)3.2.2

Réponses aux questions

___/3

Tableau 1 de mesures . Valeur de . (par dépla-cement des franges) (3)

3.2.3

Démonstration d1 ; d2 ; (4)

___/3

3.4 Réalisation et description du montage ___/4

3.6 Décalage de phase � Tableau 2 ___/2

Etalonnage � Tableau 3 ___/2 3.7

Mesure d'un profil ___/3

kkkkkkk

SURFACES D'ONDE

VoVe

Vo

Ve

Axe opt.

Axe

opt

.

Cadre 14 : surfaces d'onde oet e

Quartz :n =1,5442n =1,5533

O

E

WOLLASTON

Normale

Rayonincident

Cadre 15 : construction d'Huyghens.