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Docente: Ing°. Pedro E. Monja Ruiz. [email protected]

TEMA N° 9 : ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS, USO DE TABLAS

MATERIAL ELABORADO POR: PEDRO MONJA RUIZ

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ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISCRETAS.- Distribución Binomial. - Distribución de Poisson. - Distribución Hipergeométrica.CONTINUAS:- Distribución normal.- Distribución normal estándar o Z.- Distribución t.- Distribución Ji-cuadrada X2.- Distribución F.


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DISTRIBUCION BINOMIALPARTIMOS DE UNA EXPERIENCIA EN LA QUE SÓLO

CONSIDERAMOS DOS SUCESOS A (ÉXITO) Y SU COMPLEMENTO AC (FRACASO). SUS PROBABILIDADES SON P(A)= p y P(AC)= q=1-pSI REPETIMOS “n” VECES LA EXPERIENCIA, Y ESTAMOS INTERESADOS EN EL NÚMERO DE ÉXITOS, LA VARIABLE ALEATORIA TOMARÁ LOS VALORES 0, 1, 2, ...n. ENTONCES SE LLAMA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE PARÁMETROS n (nº DE REPETICIONES) Y p (PROBABILIDAD DE ÉXITO). SE DESIGNA B(n, p).EJ. LA META DE PRODUCCIÓN O VENTAS DEL MES SE PUEDEN O NO LOGRAR.


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CARACTERISTICAS

CADA ENSAYO SOLO TIENE DOS RESULTADOS POSIBLES “E” EXITOS Y “F” FRACASOS.LOS ENSAYOS SON INDEPENDIENTES.LAS PROBABILIDADES p Y q, PERMANECEN CONSTANTE DE ENSAYO A ENSAYO.EL NUMERO DE ENSAYOS ES FIJO Y NO MUY GRANDE.µ = np , V(X) = npq.


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FUNCION DE PROBABILIDAD

donde:n : número de ensayosx : número de éxitosp : probabilidad de éxitos en un ensayoq : probabilidad de fracaso en un ensayo

n - x : número de fracaso en el ensayo

xxxx

x -nqp )!-(n !

n! = )=P(X


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EJEMPLO 01.¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER 6 CARAS AL LANZAR UNA MONEDA 10 VECES?EL NÚMERO DE ACIERTOS K ES 6. ESTO ES X=6

EL NÚMERO DE EXPERIMENTOS “n” SON 10LA PROBABILIDAD DE ÉXITO p, ES DECIR, QUE SALGA "CARA" AL LANZAR LA MONEDA ES 50% Ó 0.50LA FÓRMULA QUEDARÍA:

P (K = 6) = 0.205ES DECIR, QUE LA PROBABILIDAD DE OBTENER 6 CARAS AL LANZAR 10 VECES UNA MONEDA ES DE 20.5% .

46 0.50 * 0.50 )!6-(10 !6

10! = )6=P(X


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EJEMPLO 02.¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER CUATRO VECES EL NUMERO 3 AL LANZAR UN DADO OCHO VECES?EL NÚMERO DE ACIERTOS K ES 4. ESTO ES X=4

EL NÚMERO DE EXPERIMENTOS “n” SON 8LA PROBABILIDAD DE ÉXITO p, DE QUE SALGA 3 AL LANZAR UN DADO ES ( 1/6 = 0.166666…)LA FÓRMULA QUEDARÍA:

P (K = 4) = 0.026ES DECIR, QUE LA PROBABILIDAD DE OBTENER CUATRO VECES EL NUMERO 3 AL LANZAR UN DADO 8 VECES ES DE 2.6% .

44 0.8333. * 0.1666.. )!4-(8 !4

8! = )4=P(X


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USO DE TABLA BINOMIALUTILIZANDO LA TABLA DE PROBABILIDAD BINOMIAL SE PUEDEN RESOLVER LOS EJEMPLOS ANTERIORES. PARA ESTO DEBE SABER LOS VALORES K Y B (N,P) . K ES EL NÚMERO DE ÉXITOS QUE BUSCAMOS. ESTE VALOR SE ENCUENTRA ENTRE 0 Y n.EN EL PARÁMETRO B(n,p) n DEBE SER MAYOR QUE 0 Y p UN VALOR DESDE 0 AL 1.

En los ejemplos 1 y 2 los parámetros B(n,p) son B(10,0.50) y B(8,0.1666) respectivamente.


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USO DE TABLA BINOMIALObtenga más información de cómo asignar

probabilidades utilizando otras técnicas diferentes a las tablas.


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USO DE TABLA BINOMIAL


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DISTRIBUCION DE POISSON Cuando en una distribución Binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribución de Poisson.

Se tiene que cumplir que:

p < 0.10

p * n < 10


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UTILIDADEn situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. Ósea cuando no se sabe el total de posibles resultados.

Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.

Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña.

Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido.


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APLICACIÓN DE POISSON

LA LLEGADA DE UN CLIENTE A LA EMPRESA DURANTE UNA HORA.

LAS LLAMADAS TELEFÓNICAS QUE SE RECIBEN EN UN DÍA.

LAS GRIETAS EN PISTAS Y VEREDAS POR CADA METRO CUADRADO CONSTRUIDO.

LOS ENVASES LLENADOS FUERA DE LOS LÍMITES POR CADA 100 GALONES DE UN PRODUCTO GASIFICADO TERMINADO.


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PROPIEDADES DE UN PROCESO DE

PÒISSONEL NUMERO PROMEDIO DE OCURRENCIAS DE EVENTOS EN UNA UNIDAD DE MEDIDAD ES CONOCIDO E IGUAL A LAMBDA (λ), µ = λ = n*p

EL EVENTO DEBE SER ALEATORIO E INDEPENDIENTE DE OTROS EVENETOS.

EL INTERES ES LA V.A X: NUMERO DE OCURRENCIAS DE UN SUCESO EN UN INTERVALO DE TIEMPO O EN UN AREA DEL ESPACIO t.


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FUNCION DE PROBABILIDAD

DONDE:P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la

variable discreta X toma un valor finito k.

λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Es igual a p por el segmento dado. La constante e tiene un valor aproximado de 2.711828

K es el número de éxitos por unidad


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EJEMPLO 01La probabilidad de que haya un accidente en una compañía industrial es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es menor que 10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de distribución de Poisson:

Al realizar el cómputo tenemos que P(x = 3) = 0.0892Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 días de trabajo es de 8.9%.


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EJEMPLO 02.La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados hayan 5 defectuosos? En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor que 0.1, y el producto n * p (800 * 0.012 = 9.6), menor que 10, por lo que aplicamos el modelo de distribución de Poisson:

El resultado es P (x = 5) = 0.04602Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos defectuosos entre 800 recién producidos es de 4.6%.


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USO DE TABLA POISSONUtilizando la tabla de probabilidad de Poisson

se pueden resolver los ejemplos anteriores. Para esto, se debe saber los valores X y λ. X es el número de éxitos que buscamos. Este es el valor K.λ es el número promedio de ocurrencias por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Se consigue multiplicando a p por el segmento dado n.


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USO DE TABLA POISSONObtenga más información de cómo asignar

probabilidades utilizando otras técnicas diferentes a las tablas.


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USO DE TABLA POISSON


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GRACIASPROXIMA CLASE

PRACTICA DIRIGIDA


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