probabilidad condicional
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PROBABILIDADES
Probabilidad Condicional y
Teorema de Bayes
Docente: Juan Carlos Broncano Torres FISE-UTP-Lima-Perú
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¿Se podrá determinar la probabilidad de
que un estudiante sea de sexo femenino,
sabiendo que tiene el cabello rubio?
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PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sean A y B dos eventos en un espacio muestral Ω. La probabilidad condicional de A dado B es el número P(A/B) que se define por:
( )( / )
( )
P A BP A B
P B
E espacio muestral
A
B
Ejemplo 1: Se selecciono una muestra de 500 encuestados de la ciudad de Lima para estudiar el comportamiento del consumidor. Los resultados fueron los siguientes:
Disfruta comprando Ropa
Género Total
Masculino ( M ) Femenino ( F )
Sí ( S ) 136 224 360
No (N) 104 36 140
Total 240 260 500
Si se elige al azar un encuestado a) ¿Cuál es la probabilidad de que disfrute comprando ropa? 360
( ) 0.72 72%500
P S
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b) Suponga que el encuestado elegido es mujer ¿Cuál es la probabilidad de que ella disfrute de comprar ropa?
( ) 224( / ) 0.86 86%
( ) 260
P S FP S F
P F
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el encuestado disfrute comprando ropa dado que es varón? ( ) ( ) 136
( / ) 0.567 56.7%( ) ( ) 240
P M S n M SP S M
P M n M
Propiedades
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Ejemplo 2 :
¿Y la probabilidad de que una carta escogida al azar sea roja sabiendo que es un as?
𝑃(𝑅𝑜𝑗𝑜 𝐴𝑠) =𝑃(𝑅𝑜𝑗𝑜 ∩ 𝐴𝑠)
𝑃(𝐴𝑠)
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EVENTOS INDEPENDIENTES
PROPIEDAD
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Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y AC el evento de seleccionar la caja 2, entonces P(A) = P(AC) = 1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de seleccionar una esfera blanca, entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3 esferas blancas en un total de 7 y P(B/AC) = 8/12 porque en la caja 2 hay 8 esferas blancas en un total de 12.
Ejemplo 3 :
Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca.
Solución
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Ejemplo 4:
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Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos
A1 A2
A3 A4
Son una colección de sucesos A1, A2, A3, A4… Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. Divide y vencerás
A1 A2
A3 A4
B Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema. B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U (B∩A4)
Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples.
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Probabilidad total
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces podemos calcular la probabilidad de B.
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 ) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …
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La ley de probabilidad total
Ejemplo 6: En un aula el 70% de los alumnos son hombres. De ellos el 10% son fumadores, además el 20% de las mujeres son fumadoras. ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?
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Del ejemplo 06
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Ejemplo 7: En una urna hay 5 bolas: 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola de la urna y sin mirarla, se guarda. A continuación se vuelve a sacar otra bola que es verde. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido verde? b) Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea verde? c) Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea azul? Nota: Realiza un árbol de sucesos. Llama (A1 y A2), al suceso "sacar azul la primera bola y azul la segunda" y análogamente los restantes: (A1 y V2), (V1 y A2), (V1 y V2).
Solución:
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Pruebas Diagnósticas
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La diabetes afecta al 20% de los individuos que acuden a una consulta. La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su sensibilidad (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,3 y la especificidad (tasa de aciertos sobre sanos) de 0,99. Calcular los índices predictivos (P(Enfermo/Test +) y P(Sano | Test -).
Ejemplo 8:
Solución:
El índice predictivo positivo es la probabilidad de que, sabiendo que el test es positivo, el paciente sea diabético.
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El índice predictivo negativo es la probabilidad de que, sabiendo que el test es negativo, el paciente sea sano.
Observaciones: a) En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la
probabilidad de que tenga una enfermedad.
b) A continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva
información: Presenta glucosuria o no. c) En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que esté enfermo. – Nuestra opinión a priori ha sido modificada por el resultado de un experimento