probabilidad y estadistica 2009

8/16/2019 Probabilidad y Estadistica 2009

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guías formativas del componente de formación

b á s i c a y p r o p e d é u t i c a

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

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PROBABILIDAESTADÍSTICA


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M E N S A J E

l desarrollo de la sociedad debe sustentarse en la educación que provea el estado a losciudadanos. Para lo cual se requieren emprender acciones que contribuyan a su

Ebeneficio, en términos de equidad, calidad y cobertura.En el estado de Hidalgo estamos convencidos de que para lograr los niveles de progreso quenos hemos planteado debemos continuar invirtiendo en la educación de los hidalguenses.Compromiso que asumí desde el inicio de mi administración y que se materializa en todas lasinstituciones educativas de la entidad, de los niveles: básico, medio superior y superior.

Seguimos invirtiendo en la infraestructura, el equipamiento y los recursos didácticos propiosdel proceso de enseñanza – aprendizaje. Asimismo, emprendemos acciones de capacitacióny actualización del personal docente y de apoyo y asistencia a la educación, como el principalmecanismo para lograr la calidad educativa.

Con estas acciones en cuatro años de gobierno, logramos beneficiar a los 17 planteles delColegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Hidalgo, en la construcción yequipamiento de 59 aulas, 12 laboratorios, 3 talleres y 67 anexos, en los cuales se invirtieron100 millones 20 mil 63 pesos. Además, continuamos impulsando los proyectos editoriales quede manera colegiada realiza el propio personal del CECyTEH, en la elaboración de guías deaprendizaje. En el interés de garantizar los recursos didácticos con la metodología adecuadaal modelo de educación basada en competencias que se oferta en este Colegio.Posicionándonos como la única institución de educación media superior tecnológica delsubsistema en el país que entrega libros de texto gratuitos a su comunidad estudiantil y alpersonal docente.

En el marco de la Reforma Integral de la Educación Media Superior que se implementa en laRepública Mexicana, en la entidad tomamos la iniciativa de elaborar textos para loscomponentes de formación básica y propedéutica, sustentadas en la metodología para la

elaboración de secuencias formativas, con la intención de coadyuvar al desarrollo de lascompetencias genéricas y disciplinares – básicas y extendidas - ;en paralelo propiciamos lapráctica de las competencias docentes establecidas en el Acuerdo Secretarial número 447.

Estos proyectos de enorme impacto social se pueden concretar en el CECyTEH, gracias a laparticipación coordinada de los gobiernos federal y estatal, el liderazgo de su director general yla entusiasta y profesional colaboración del personal docente, mismos que asumen una actitudemprendedora, para innovar y trasformar los paradigmas de la educación tradicional, en elmodelo de formación que exigen las sinergias globales del siglo XXI.

Por ello, con gran satisfacción continuamos invirtiendo en el CECyTEH, pues estamosconvencidos de su permanente compromiso, tanto del personal, como de los estudiantes y lospadres de familia. Como muestra están los resultados de la primera aplicación de laEvaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares en el nivel medio superior, endonde obtuvimos el primer lugar nacional de los CECyTEs.

Por esta y más razones, ser parte del CECyTEH, es ser parte del éxito de una instituciónvanguardista y de una generación de triunfadores.

Lic. Miguel Ángel Osorio ChongGobernador Constitucional del Estado de Hidalgo

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l estudiar la historia de la educación en México, es necesarioanalizar los objetivos planteados el 12 de febrero de 1959,Adía en que se crea la Comisión Nacional de Libros de Texto

Gratuitos. En ese entonces el Presidente Adolfo López Mateos,impulsó a través del Secretario de Educación Jaime Torres Bodet unambicioso programa con la visión de que los libros se constituyerancomo un derecho social, a fin de que fueran el vehículo que facultarael diálogo y la equidad en la escuela.

Desde ese entonces el Presidente López Mateos advirtió que elprincipio de gratuidad de la educación básica – consagrada en laconstitución – no estaba siendo plenamente cumplida, pues loslibros de texto eran excesivamente costosos e inaccesibles para lamayor parte de las familias mexicanas.

Los retos en materia de educación para México eran de grandesdimensiones, ya que existía una enorme población con niveles deanalfabetismo alto y la pobreza minaba el acceso equitativo a losservicios educativos. Aunado a ello, las personas que acudían a lasescuelas, asistían sin los libros.

Desde ese entonces, durante 50 años nueve regímenespresidenciales han distribuido libros de texto gratuitos a la poblaciónde la educación básica – primaria y actualmente a secundaria – Sinembargo, a nivel nacional estas acciones no se han consideradopara la educación media superior, a excepción del Gobierno delEstado de Hidalgo, que invierte en libros para los estudiantes delCECyTEH.

Al inicio de la administración del Lic. Miguel Ángel Osorio Chong secrea en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estadode Hidalgo el Consejo Editorial para el diseño y la elaboración de lasguías de aprendizaje, en el compromiso de coadyuvar al desarrollode las competencias establecidas en los componentes deformación profesional que se ofertan en los 17 planteles.

En el Consejo participan Comités Técnicos que trabajan bajo lacoordinación de un Grupo Técnico Estatal, los cuales sonresponsables de redactar las guías, posteriormente el Comité deRedacción, Ortografía y Estilo, revisa los trabajos, para finalmenteentregarlos al Comité de Diseño, en el cual incluso, participanestudiantes, mismos que dan la presentación final a los textos.

Esos textos desde el mes de febrero de 2007 se distribuyen demanera gratuita a la comunidad estudiantil del CECyTEH, así comoal personal docente, en el compromiso de garantizar el accesoequitativo a la educación de la población hidalguense que acude anuestro Colegio.

Con acciones de gobierno de esta naturaleza, el CECyTEH seposiciona en el panorama nacional, como una institución sensible alas necesidades de los estudiantes, mismos que provienen deregiones en donde existen niveles altos de marginalidad. Si bien esun proyecto que incrementa su cobertura de manera gradual, lameta es entregar los libros necesarios para todas las asignaturas ysubmódulos de los seis semestres que se contemplan en el mapacurricular.

Una más de las fortalezas de este ambicioso proyecto, es materialización de la planeación escolar, toda vez que los libros son elaborados de manera unilateral, bajo la percepción de una so

persona, sino por medio de la participación colectiva, logrando asplaneación incluyente a través de la suma de opinioneaportaciones y experiencias de los actores académicos del ColegEn los trabajos también participan docentes de diversos CECyTdel país, los cuales se reúnen para revisar los planes y programde estudio, a fin de actualizarlos y entonces, elaborar recursdidácticos que coadyuven al proceso de enseñanza – aprendizaje

A partir del semestre agosto 2008 – enero 2009 y avizorando retos que vendrían con la implementación de la Reforma Integral la Educación Media Superior, creamos un Comité más paraConsejo Editorial, el cual se encargaría de elaborar las GuíFormativas para el desarrollo de las competencias genéricasdisciplinares. Con lo cual se contribuye a cumplir los compromispara lograr los niveles de concreción institucional, de planteáulicos.

Las guías de aprendizaje y formativas están elaboradas sobesquemas metodológicos del modelo de educación basada competencia, en las cuales se consideran los siguientes elemento

· Diagnóstico.· Desarrollo de habilidades y destrezas.· Generación de productos.

Es decir, se parte de actividades que permiten identificar lconocimientos previos y entonces establecer el punto de partipara la generación acciones que coadyuven al desarrollo conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes, finalmente deben concretar en la elaboración de un producto en específico.igual manera y con el firme propósito de continuar a la vanguardde la educación media superior tecnológica en el país, heminiciado en el semestre febrero – julio 2009 con la implementacde la metodología de proyectos integradores. Los cuales harconverger a todas las asignaturas y submódulos en un proyecsustentado en el componente de formación profesional.

Para ello, el personal docente se reúne en Consejos de Grupo pplantel, para definir los proyectos que le solicitaran a estudiantes, mismos que trabajaran en equipo y por medio de lcuales serán evaluados de manera conjunta por sus maestros entercer parcial.

Con los libros de textos y los proyectos integradores, la RIEMS enCECyTEH es una realidad en las aulas, laboratorios y talleres, pemás aún, en la vida propia de los estudiantes, pues desarrollan u

formación científica, tecnológica, humanista y de competenclaborales, haciendo énfasis en las habilidades lógico matemáticael análisis, la reflexión y el aprovechamiento de las tecnologías decomunicación y la información.

P R Ó L O G O

Lic. José Ramón del Campo OrtegaDirector General del Colegio de EstudiosCientíficos y Tecnológicos del Estado de Hidalgo

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Directorio General de Planteles

Colegio de Estudios Científicosy Tecnológicos del Estado de Hidalgo

Dirección General

Circuito Ex Hacienda La ConcepciiónLote 17 Edificio B, San Juan Tilcuautla, C.P. 42160

Municipio de San Agustín Tlaxiaca, Hgo.

01 771 71 707 30

AcaxochitlánProl. de allende s/n Barrio Tlatzintla

Acaxochitlan, Hgo. C.P. 43720

0177675 2-01-9501 776 75 200 95 Presidencia

AtlapexcoCarret. Tianguistengo km. 5

Atlapexco, Hgo. C.P. 43060

0178989 4-41-2201 789 89 44120, 44119, 44122 (caseta y fax)

01 789 89 44003 Secundaria Técnica (enfrente)

CalnaliDomicilio conocido carret.

Calnali Tostlamantla Ahuimol Calnali, Hgo. C.P. 43230

Presidencia 0179797 4-20-48Fax 0179797 4-20-06 4-21-74017749742159,42048, 42001

ChapulhuacánCarret. Chapulhuacan La Loma Km. 3

Col. Porvenir Chapulhuacan, Hgo. C.P. 42280

Dejar Recado 014833782251Fax 014833782040

014833782062,82056,(caseta)

HuautlaDomicilio Conocido Carret. Los Tohuacos

La Puerta Huautla, Hgo. C.P. 43050

Celular 04477171224220447711016997

HuejutlaCarrt. Fed. México Tampico Km. 217

Col. Santa Irene Frente a La Tienda ISSSTE, HuejutlaHgo. C.P. 43000

01 789 89 658 94

HuichapanCarret. Huichapan Tecozautla

Km. 2 Barrio Santa Bárbara Huichapan, Hgo.C.P. 42400

044 771 1116051 Celular del Plantel.01 761 78 219 21

Ixmiquilpan Av. Alamos No. 100 Barrio El Maye

Ixmiquilpan, Hgo.

01 759 72 3-43-83

MetztitlánDomicilio Conocido

Barrio del Tepeyacapa s/n

01 774 74 3-09-72

OmitlánDomicilio Conocido Crucero de Huasca

Mpio. Omitlán de Juárez, Hgo. C.P. 43560

0177979 2-20-70 2-22-74

Pachuca Av. Magisterio s/n Fracc.

Piracantos Lote Único entre Calle 11 y 12

771 71 6-64-74

Poxindeje Av. Juárez Norte s/n Carret. San Salvador Poxindeje.

Hgo C.P. 42642

01 772 72 7- 42-57727-42-58 Fax

SantiagoProl. Juárez s/n

Col. Francisco Villa Santiago Tulantepec, Hgo.

01 775 75 3-80-02

TepetitlánCamino a La Sub-Estacion de Pemex La “siberia” s/n Tepetitlan, Hgo.

01 773 73 2-56-21

Tepehuacán Av. Democracias/n Tepehuacan de Guerrero

Hgo. C.P. 43120

01 774 74 4-00-52 55 Y 5974 270 81 Caseta

TetepangoCarret. Ajacuba Tetepango

s/n Col. Rojo Gomez Tetepango, Hgo. 42940

01 778 78 2-42-76

TizayucaCarret. México-Pachuca Km. 50

Tizayuca, Hgo. C.P. 43800

01 779 79 6-03-80

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El ser creativo es una condición humana que se adquiere al desarrollas competencias para transformar lo cotidiano en oportunidades desarrollo.

Es en las instituciones educativas donde debe estimularse el senticreativo de las personas para que en la colectividad, se generproyectos factibles, pertinentes y sustentables, que integren aplicación de competencias adquiridas en las diversas áreas formación, a fin de propiciar la transformación del entorno y la evolucide la sociedad.

Juan Benito Ramírez Romero

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Créditos

Profesores que Elaboraron las Guías Formativas

Norma Isela MendozaCoordinadora Técnica

Adriana García OrtízCoordinadora General

Beatriz Hernández GuerreroAdriana García Ortíz

Metodología

Coordinadores del Proyecto en Hidalgo

Lic. José Ramón Del Campo OrtegaDirector General

Ing. Juan Benito Ramírez RomeroDirector de Academia

Arq. Renán Tlacaélel Mejía Soto

Coordinador Editorial

Coordinadoras

Venus Lilia Franco Sanjuan PachucaJuana Monza lvo Hernández Pachuca

Rosa María Reyes Fernández MeztitlanRodolfo Hernández Pelcastre TizayucaJuan José Carrasco Bonilla Ixmiquilpan

Dévora Escorcia Custodio PachucaLuvianca Melo Vite Omitlán

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Objetivo General

os estudiantes desarrollarán capacidades yhabilidades a través del análisis deLproblemáticas relacionadas con su entorno,

para aplicar la probabilidad y la estadística en loscampos de la investigación, el desarrollotecnológico y el medio ambiente, para resolver losproblemas que se les presenten.

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Contenido de la Guía Formativa

I. Introducción

II. Simbología

III. Estructura General de la Asignatura

IV. ¡En sus marcas…listos…!

V. Secuencias Formativas

VI. ¡…Fuera…!

VII. Guía para la formulación del proyecto integrador

VIII. Fuentes de Información

IX. Glosario

X. Anexos

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Introducción

l Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Hidalgo, instituciónformadora de técnicos, responde a las exigencias tanto sociales e institucionales queEactualmente se requieren para poder brindar contenidos actuales a los estudiantes que

alberga en sus aulas, una acción que ayude al propósito antes mencionado es la elaboración de laguía didáctica formativa de la asignatura de Probabilidad y Estadística, la cual forma parte de lapreparación propedéutica de los alumnos que cursan el 5º semestre de bachillerato Tecnológico.

La presente guía formativa fue diseñada para servirte de apoyo en la materia Probabilidad yEstadística, la cual presentan sugerencias para tu actuar durante el proceso de aprendizaje de loscontenidos de la misma, con un enfoque multidisciplinar e interdisciplinar, dejando, la libertad paraque las secuencias disciplinares, sean adecuadas a las circunstancias y necesidades que sepresenten en las diferentes regiones que conforman al Estado de Hidalgo.

Con el objeto de aplicar conceptos básicos de probabilidad y estadística en tu formación integralque posibiliten tu ingreso y permanencia en el nivel superior, así como aplicarlos al tratamiento deproblemáticas sociales, políticas, económicas y de la ciencia y la tecnología, se propone utilizar elmapa de contenidos que permite, con la libertad que generan los temas integradores, abordarconvenientemente temas centrales y agotar tus interrelaciones con temas circundantes que llevena reforzar, con la profundidad pertinente, los conceptos fundamentales de la probabilidad y

estadística.

Es aconsejable practicar los abordajes mencionados mediante la presentación de problemas queincluyen el contexto inmediato, para lo cual tu docente deberá tener presente siempre talescondiciones. También es posible su abordaje mediante la explicación de fenómenos que sepresenten en tu entorno social y tecnológico, dependiendo del área formativa elegida(físico–matemático, químico – biológico, y económico – administrativo).

También es muy importante el manejo completo de los contenidos fundamentales de lasasignaturas, por parte del docente, con el objeto de que se aproveche el abordaje conceptualadecuadamente y se agote su riqueza de aplicación y reforzamiento para los temas y conceptoscircundantes. Lo anterior llevará a clarificarte algunos de los problemas que abordan y generar,

convenientemente, otros que promuevan el interés por nuevos problemas, suscitando de estamanera, la cultura del “déjame pensar” en lugar del “déjame recordar”.

Con esta finalidad el curso se centra en aplicaciones para la estadística básica descriptiva y laprobabilidad de tal manera que se conforme el medio para integrar conocimientos, habilidades,aptitudes y actitudes adquiridas en los cursos anteriores con el objeto de consolidar tu formaciónpropedéutica para el nivel profesional y de servicio a la vida social.

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Simbología

Desarrollo desecuencia formativa

Objetivo

Atención!

Ejercicio

Un mensajepara tí

Práctica

Introducción

Conclusiones

Ejemplo

Mapacurricular

Errores típicos

Guía deportafolio

Mapa decontenidos de lasecuencia formati

¡En sus marcas...listos...!

¡... fuera!

¿Y para qué?

Estructura Generade la Asignatura

5 8 1

0

Rúbrica

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Estructura General de la Asignatura

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¡En sus marcas... listos...!

¡Qué gusto encontrarnos nuevamente!

Estas a un paso de concluir tus conocimientos matemáticos a nivel bachillerato, donde hastenido la oportunidad de contar con varias herramientas como: libros, internet, calculadora,entre otros. Así mismo, contar con el apoyo de tus compañeros, y por supuesto de tusfacilitadores los que oportunamente te aclararon y aclararán tus dudas a la vez quereafirmarán tus conocimientos.

Sabes bien que para lograrlo es importante tu interés, desempeño, colaboración y sobre tododisposición al trabajo individual y en equipo, porque esto se verá reflejado en tu aprendizaje aldesarrollar tus habilidades y competencias.

Cuantas veces te has preguntado: si compro un billete de lotería, “¿me ganaré el premiomayor?”, ¿Es oportuno comprarme un Play III ahora o en Diciembre?, ¿Por qué un programade TV. Es más visto que otro?. Estas interrogantes aunque tú no lo creas tienen respuesta yesta guía está preparada para que las encuentres, resolviendo todas las actividades que ellate marque.

¡Atrévete! ¡Lucha! ¡Es tu momento! ¡Triunfa!

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1Los Postres

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Secuencia Formativa 1

Competencias Genéricas a las que contribuye la asignatura

Competencias Elementos de competencia5. Desarrolla innovaciones

y propone soluciones aproblemas a partir demétodos establecidos.

Expresión verbalExpresión escritaProponeObservaReconoceParticipaciónSentido de colaboraciónRespetoEscucharInterpretaInnovaConstruye

7. Aprende por iniciativa einterés propio a lo largo dela vida.8.- Participa y colabora demanera efectiva en equiposdiversos.

9. Participa con unaconciencia cívica y ética en

la vida de su comunidad,región, México y el Mundo.10. Mantiene una actitudrespetuosa hacia lainterculturalidad y ladiversidad de creencias,valores, ideas y prácticassociales.11. Contribuye al desarrollosustentable de maneracrítica, con accionesresponsables

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Reconocerás el uso de tablas, gráficos y distribución de frecuencias a partir de losantecedentes de la estadística, e interpretaras y construirás problemas que colaboren

en beneficio de la sociedad en un sentido de respeto y responsabilidad.Competencias Genéricas a las que contribuye la asignatura

Álgebra, Geometría y Trigonometría: Nos auxiliamos de estas asignaturas en temas como:Expresiones algebraicas, lenguaje algebraico, gráfica de funciones.

L.E.O. y E. Nos auxiliamos de esta disciplina para expresarse en forma verbal y escrita

adecuadamente a fin de comprender el mensaje y así transitar al lenguaje con símbolos y expresionesalgebraicas para la deducción e interpretación de la función matemática.

Física, Química y Biología. Vinculación de estas materias con la asignatura en los temas como: Entemas de temperatura, calor, electricidad, rapidez de movimiento, mezclas de sustancias, velocidad dereacción; Movilidad de especies.

C.T.S. y V I Y II. Contribuimos al análisis del ambiente y la alteración de este (contaminación,explosión demográfica), en problemas sociales y a la promoción de valores universales.

Módulos profesionales. Contribuye y vincula los temas con las diferentes especialidades.

Resultado de aprendizaje de la asignatura con respecto a la competencia

Relación con otras disciplinas

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Los postres

Probabilidad y Estadística Estadística Descriptiva

AntecedentesTablas de Distribución de FrecuenciasTipos de Gráficos

Tiempo y diversidad 25 horas/clase.

Categorías Tiempo Programado

No.

Tema Integrador

Concepto Fundamental Concepto Subsidiario

Concepto(s) Subsidiario(s) de primer nivel

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Mapa de Contenidos de la Secuencia Formativa

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Dimensión de la Competencia

Conceptual (aprender a conocer): Antecedentes históricos de la Estadística

Tablas de Distribución de Frecuencia Tipos de gráficos

Procedimental (aprender a hacer):Reconoces la importancia que tiene esta materia en la interpretación de lo que sucede en tú entorno

familiar, escolar y cotidiano con la estadística.Construye tablas y gráficos con conocimientos básicos de matemáticas.

Aplica los conocimientos adquiridos en esta asignatura para estudiar, analizar tu entorno.Elaboración de problemas

Actitudinal (aprender a ser):ParticipaciónInterés

RespetoSentido de colaboración

CreatividadSaber escuchar

Tolerancia

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Actividades de Apertura

Lee cuidadosamente la siguiente información e identifica las palabras claves, investígalas y escribe susignificado en la tabla.

“EL ORIGEN DE LA ESTADÍSTICA”

Si bien el origen de la estadística es tan lejano como la civilización misma, no alcanzo un desarrollonotable hasta el surgimiento de los Estados, acontecimiento bajo el cual se convirtió en un instrumentopreciso para describirlos haciendo uso de elementos numéricos. De ahí viene el nombre de estadisciplina.La estadística es un método científico que encuentra aplicación en una gran diversidad de campos delsaber humano y cuya utilidad, como quedo demostrado en el siglo pasado, va más allá de la meradescripción, pues permite el descubrimiento de leyes y tendencias. Dentro de los diversos ejemplosque permiten ilustrar esto, podemos encontrar el caso del estadístico Alemán Ernesto Ángel (1821 –1896) que adquirió renombre en el terreno de las investigaciones económicas y sociales al descubrir laley que lleva su nombre y que se enuncia “Cuando menor es el ingreso familiar, mayor es la

proporción destinada a la compra de alimentos”.

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Con datos recabados en 1857, al muestrear, observo que esa proporción era de 62%, 55% y 50% enfamilias de clase baja, media y alta, respectivamente. Al difundirse esta ley, resulto evidente que

cuando mayor es la parte del ingreso familiar que se invierte en alimentos, menor es la que se puededestinar a otros fines (vestido, salud, recreación, comodidades, etc.) y viceversa. Por esta razón, esaparte o proporción ha sido utilizada como unidad de medida del bienestar social.

La estadística no es la simple acumulación de hechos y cifras con fines meramente académicos o dearchivo, sino se trata de una disciplina que incide significativamente en la vida cotidiana de los sereshumanos.

No obstante, como todo instrumento tiene sus limitaciones, no puede por si sola diseñarinvestigaciones, seleccionar problemas para someterlos a estudio, ni aportar resultados valiosos o darinterpretación de resultados en ausencia de una solida teoría. Por otro lado, todos los resultadosestadísticos, exactos o no, se expresan de modo preciso mediante números. Pero preciso no es

sinónimo de exacto; son exactas las operaciones a ritméticas, pero las mediciones que conducen a losdatos que las hacen posibles no siempre son confiables. Por esta razón los resultados estadísticosdeben ser siempre sometidos a crítica.

Pero ¿Qué es la estadística? Desde mediados del siglo XVIII hasta cien años después, esta ha sidoobjeto de bastantes definiciones, las cuales han obedecido evidentemente, a las diferentesconcepciones que se han tenido de ella a lo largo del tiempo. Sin embargo será suficiente por ahoraque te familiarices con una definición que responda al objetivo de este curso.

Palabra SignificadoEstadística Conjunto de procedimientos que sirven para

organizar, describir y resumir datos, hacerinferencias a partir de ellos y trasmitir los

resultados de manera clara, concisa ysignificativa

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Resuelve el siguiente crucigrama.

2 4 6 8

7 2

1 3

3

4

5 75

8

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HORIZONTAL VERTICAL1. Es la estadística cuyo conjunto de procedimientos

sirven para organizar, describir y sintetizar datos,sin que las conclusiones que se extraen de estosrebasen su ámbito especifico.

1. Es un elemento de la muestra.

1 Forma de expresar una característica de un grupode elementos, por ejemplo el peso de una persona.

2. Es aquella variable que puede tomar cualquiervalor dentro de un intervalo.

2 Es aquella variable que solo puede tomar algunosvalores validos, ejemplo número de personas quecomen pastel.

3. La estadística que se encarga de analizar unpequeño grupo de datos, a fin de conoceraproximadamente las características de unapoblación.

3 Es considerado también como la población 4. Variable que se expresa en forma numérica,ejemplo la cantidad de dulces que consume un niñoen un día determinado.

4 Es el total de elementos de un conjunto. 5. Conjunto de elementos tomados de un grupo mayorconocido como población.

5 Es aquella variable que expresa una característicano numérica. Ejemplo el grado de madures de unamanzana.

6. Elemento utilizado para presentar informaciónestadística en forma clara y entendible.

6 Aquella población cuyos elementos puedencontarse.

7. Es el número de elementos incluidos en la clase

7 Aquella población cuyos elementos son sumamentegrandes o no medibles como el número de estrellasdel universo.

8. Tabla que presenta el número de elementos quepertenecen a cada una de las c lases o categoríasen las que se haya dividido para su estudio ungrupo de datos.

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Actividades de Desarrollo

Investiga y llena la tabla siguiente, contestando lo que se te indica.

Nombre Concepto

Marca de clase

Grafica

Grafica de barras

Grafica circular

Histograma

Polígono de frecuencias

Ojiva porcentual

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Ejemplo

Tabla de Distribución de Frecuencias de variable cuantitativa

Vamos a construir una tabla de distribución de frecuencias para datos sin agrupar con la siguienteinformación que representa la edad de25 jóvenes que fueron entrevistados en un café.

17, 18, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 20, 19, 21, 21, 22, 22, 21, 21, 22, 25, 22, 26, 25, 28, 26, 28, 30.

Primero lo que debes hacer es ordenar los datos en forma descendente, los cuales quedan de lasiguiente forma:

17, 18, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 25, 25, 26, 26, 28, 28, 30.

Tabla de distribución de frecuencia de las edades de jóvenes entrevistados en un café.Edad (x, años) Frecuencia(f) Frecuencia

Acumulada (fa)Frecuencia

Relativa (fr. )%Frecuencia

Relativa Acumulada (fra.)%

17 1 1 4 418 3 4 12 1619 2 6 8 2420 3 9 12 3621 5 14 20 5622 4 18 16 7225 2 20 8 8026 2 22 8 8828 2 24 8 9630 1 25 4 100

n = ? = 25n = 25 (total de datos)

Información obtenida el 30 de abril de 2009 en el estado de Hidalgo.

+

? significa sumatoria, indica que se van

sumando los elementos.No se te olvide toda tabla debe tener un titulo,que indique lo que se está analizando.No se redondean los valores, sino seaproximan al valor siguiente.

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Para obtener la frecuencia relativa, se aplica la formula

Tabla de Distribución de Frecuencias de variable cualitativaTabla de distribución de sabores de pasteles exhibidos en un centro comercial el 10 mayo de

2009.

Sabor Frecuencia(f) Frecuencia Acumulada (fa)

FrecuenciaRelativa (fr. )%

FrecuenciaRelativa

Acumulada (fra.)%Chocolate 6 6 24 24Vainilla 4 10 16 40Fresa 5 15 20 60Cajeta 3 18 12 72Yogur 3 21 12 84Napolitano 4 25 16 100

Al interpretar lo que muestra la información sombreada podemos decir que:

1. La parte sombreada de la fila 1 indica que había 6 pasteles de sabor a chocolate.2. La parte sombreada de la fila 3 indicar que había 15 pasteles de sabor chocolate, vainilla y

fresa que representan el 60% de todos los pasteles.3. La parte sombreada de la fila 4 indica que había 3 pasteles de cajeta que representan el

12% de los pasteles.

Ejemplo de tabla de distribución de frecuencias, para datos agrupados, únicamente paravariables cuantitativas.

Construir una tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados con la siguiente informaciónque representa la edad de25 jóvenes que fueron entrevistados en un café.

17, 18, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 20, 19, 21, 21, 22, 22, 21, 21, 22, 25, 22, 26, 25, 28, 26, 28, 30.

Antes que nada al igual que se hizo con la tabla de datos sin agrupar, hay que ordenar los datos,quedando:

17, 18, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 25, 25, 26, 26, 28, 28, 30.

Para elaborar esta tabla, tienes que determinar primero el número de clases, hay varias formasde hacerlo, en este material la que utilizaremos es la siguiente: saca raíz cuadrada al total dedatos, esto como tienes 25 datos tu número de clases será 5, en caso de que el resultado nosea un entero aproxima tu valor al entero siguiente.

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total de datos, esto como tienes 25 datos tu número de clases será 5, en caso de que elresultado no sea un entero aproxima tu valor al entero siguiente.

También necesitas calcular la amplitud, esta se obtiene, calculando primero la diferencia entreel dato mayor y el dato menor, posteriormente este resultado lo divides entre el número declases.

Clase

Limites Limite exactosMarca declase(M.C.)x

Frecuencia (f)

Frecuencia

acumulada (fa)

Frecuencia Relativa

(fr.)%

Frecuencia Relativa

Acumulada (fra.)%

Inferior

Superior

Inferior

Superior

A 17 19 16.5 19.5 18 6 6 24 24B 20 22 19.5 22.5 21 12 18 48 72C 23 25 21.5 25.5 24 2 20 8 80D 26 28 25.5 28.5 27 4 24 16 96E 29 31 28.5 31.5 30 1 25 4 100

n = 25 100

El límite inferior de la primera clase, es el dato menor

Así sucesivamente se obtienen los de las demás clases.variacióndeunidad-amplitud + claseladeinferiorLimite=claseladesuperiorLimite

De esta forma se obtienen los siguientes.

La unidad de variación es la mínima diferencia entre dos datos del conjunto que se analiza, comopodemos ver esta es 1.

La marca de clase se obtiene dividiendo la suma de los límites, superior e inferior de cada clase entredos.

25



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Construcción de Graficas

Si uno de los objetivos de la estadística es comunicar los resultados de una investigación deforma clara, concisa y precisa, las representaciones en graficas de los resultados, noobedecen a una intención solamente estética, sino que son un valioso recurso para el logrodel objetivo.

Un gráfico estadístico es la representación de datos estadísticos haciendo uso de figurasgeométricas (puntos, líneas, rectángulos, etc.), cuyas medidas son proporcionales al valornumérico de los datos.

En la representación grafica se debeconstruir el eje vertical de tal modo que laaltura del punto máximo sea

aproximadamente a4

3 de la longitud que

media entre el origen y el último datoindicado

Tabla de distribución de frecuencias de las edades de 25 estudiantes entrevistados en un café.

Clase Limites Limite exactosMarca

declase(M.C.)x

Frecuencia(f)

Frecuenciaacumulada

(fa)

FrecuenciaRelativa(fr.)%

FrecuenciaRelativa

Acumulada(fra.)%

Estcolum

teapoypar

hacegraficircu

(grad

Inferior Superior Inferior Superior

A 17 19 16.5 19.5 18 6 6 24 24 86.B 20 22 19.5 22.5 21 12 18 48 72 172C 23 25 21.5 25.5 24 2 20 8 80 28.D 26 28 25.5 28.5 27 4 24 16 96 57.4E 29 31 28.5 31.5 30 1 25 4 100 14.4

n = 25 100

26



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Para llenar la última columna de esta tabla, se realiza aplicando la formula.

gradosn

f 4.8625

6*360*360 Este cálculo es para la primera clase, de esta manera se

van calculando las demás clases.

Y para hacer la grafica, apoyándote de un transportador marca los grados que calculaste en laúltima columna de esta tabla y trázalos, dentro de un círculo, con un radio adecuado para quese pueda observar la información. En cada sector de círculo coloca, los porcentajes de lacolumna de frecuencias relativas.

Grafico de barras de la edad de 25 jóvenes que fueron encuestados en un café.

De acuerdo a la grafica escribe que elementos de la tabla de distribución de frecuenciascontiene.

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Histograma de edad de 25 jóvenes que fueron entrevistados con relación al postre favoritoque consumían en un café.

Esté histograma es una grafica que representa lo que se muestra en la tabla del ejemplo, lefaltan algunas barras menciona cuales y describe como fue construido esté y que errorobservas.

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Polígono de frecuencias de la edad de 25 estudiantes entrevistados en cuanto al consumo depostres en su visita a un café.

Ojiva porcentual de la edad de 25 estudiantes que se encontraban en un café.

Esta se construye tomando de la tabla de distribución de frecuencias como eje horizontal, los límitesexactos, y en eje vertical, se utiliza la columna de las frecuencias relativas acumuladas.

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Grafica circular de 25 estudiantes entrevistados en un café.

Ejercicio

Estos son los pasos que debes seguir para la elaboración de tablas de distribución de frecuencias.

Recopilación de datos.Clasificación de los datos de menor a mayor.Especificación del número de clases

Cálculo del tamaño exacto del ancho o amplitud de claseIdentificación de los límites de clase.Conteo de los datos.

1. Los siguientes valores corresponden a la producción mensual, en toneladas, de unaempacadora de plátanos. Clasifique estos datos en clases de tamaño uniforme y elabora unatabla de distribución de frecuencias:782, 1333, 515, 1475, 696, 832, 1052, 700, 987, 542, 1296, 704, 814, 1482, 1023, 739, 643,956, 1023, y 784.

2. Clasifica los siguientes valores en cinco clases de tamaño uniforme todas las cantidades enpesos que se gasta en un año 22 estudiantes de bachillerato en el consumo de chocolates,

elabora con ellos una tabla de distribución de frecuencias e indica el tipo de variable: 800.00,1350.00, 450.00, 1500.00, 700.00, 850.00, 1050.00, 700.00, 1000.00, 550.00, 1100.00,1300.00, 700.00, 800.00, 1400.00, 1550.00, 1000.00, 750.00, 600.00, 950.00, 1000.00, y 800.00

3. Determine los límites exactos, las marcas de clase y la frecuencia relativa, construye la tabla dedistribución de frecuencias en tu libreta apoyándote de la información que se te presenta.

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31/124

Límite inferior Límite superior Frecuencia37.7 50.2 23

50.3 62.8 19z62.9 75.4 2275.5 88.0 21

4. Determina lo que le falta a la tabla de distribución de frecuencia.

Límiteinferiorexacto

Límitesuperiorexacto

Frecuencia

503.5 595.5 21595.5 687.5 19687.5 779.5 22779.5 871.5 23871.5 963.5 20

5 Haciendo uso de hojas milimétricas, juego geométrico y colores, elabora los diferentesgráficos estadísticos con los siguientes datos, que representan el tiempo en horas utilizadasen la preparación de diferentes tipos de postres.

4, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 6, 5, 4, 4, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 8, 6, 5, 4, 4, 3, 10, 9, 9, 9, 8, 6, 5, 4, 4, 3,3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 6, 6, 5, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 8, 7, 5, 4, 4, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 5, 4, 3, 4, 5,5, 3, 7, 5, 4, 3, 10

Recuerda que todos losgraficos deben tener un tìtulo,igual que el de la tabla dedistribución de frecuencias

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Errores Típicos

No olvides que los datos de variables cualitativas no se pueden agrupar.

Cuando obtienes el promedio de dos cantidades si lo haces en calculadora utiliza paréntesis.Por ejemplo si vas a calcular la marca de clase recuerda que la formula es

Actividades de Cierre

Actividad 1.

a) Con los siguientes datos, que representan litros de leche usados diariamente por unnegocio de pasteles, durante abril y mayo de 2009, construye una tabla de distribuciónde frecuencias y los diferentes graficos estadisticos, hacienco uso de hojas

milimetricas, juego gemetrico y colores.29, 30, 26, 32, 44, 37, 27, 40, 40, 51, 57, 28, 46, 35, 26, 37, 42, 59, 61, 60, 34, 27, 52,44, 46, 54, 35, 36, 41, 31, 45, 54, 33, 35, 37, 39, 42, 59, 60, 37, 36, 55, 39, 31, 36, 43,49, 29, 38, 40, 28, 52, 35, 49, 32, 38, 43, 54, 59, 37.

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33/124

b) Con los datos siguientes, que representan el tiempo dedicado a vender postres fuera

de los horario de clases, estudiantes de bachillerato, construye una distribución dedatos agrupados de 7 intervalos, haciendo uso de excel.

3, 2, 5, 8, 2, 5, 11, 21, 7, 1, 11, 4, 3, 15, 4, 5, 16, 6, 13, 10, 8, 9, 20, 4, 3, 12, 1, 12, 23,11, 22, 6, 17, 5, 2, 13, 8, 1, 10, 3, 7, 4, 2, 15, 6, 4, 14, 5, 12, 10, 5, 2, 10, 17, 9, 2, 1, 6,16, 1, 3, 18, 18, 3, 6, 1, 6, 11, 4, 12.

Actividad 2. Resuelve los ejercicios que te indique tu maestro en forma correcta.

Actividad 3. Resuelve un ejercicio por cada texto (tres) de diferentes autores, indicando labibliografía utilizada.

Práctica

Elabora en equipo de cinco integrantes un ejercicio donde apliquen todo lo visto en lasecuencia, que resuelva un problema de tu vida cotidiana, y expónganlo ante tus compañeros.

5 8 1

0

Rúbrica

Las actividades de cierre se calificaran de acuerdo a la siguiente rúbrica.

NIVEL DEDOMINIO

ASPECTOS A EVALUAR

EXCELENTE(10)

MUY BIEN(9)

BIEN(8)

REGULAR(7)

SUFICIENTE(6)

INSUFICIENTE(5)

Actividades

PROCEDIMIENTOSDESGLOSADOS

CLARAMENTE

RESULTADOSCORRECTOS

REALIZAR TODOSLOS EJERCICIOS

PROCEDIMIENTOSDESGLOSADOS

RESULTADOS

CORRECTOS

REALIZAR TODOSLOS EJERCICIOS

PROCEDIMIENTOSPARCIALEMNTEDESGLOSADOS

ALGUNOS

RESULTADOSINCORRECTOS

REALIZARPARCIALMENTETODOS LOSEJERCICIOS

PROCEDIMIENTOSPARCIALEMNTEDESGLOSADOS SINORDEN

ALGUNOSRESULTADOSINCORRECTOS

CASI NO RESOLVIOEJERCICIOS

PROCEDIMIENTOS SINDESGLOSAR

ALGUNOSRESULTADOSINCORRECTOS

CASI NORESOLVIOEJERCICIOS

PROCEDIMIENTOSSIN DESGLOSAR

RESULTADOSINCORRECTOS

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2El gusto

por lamatemática

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Competencias Elementos de competencia

4.- Escucha, interpreta y emitemensajes pertinentes en distintoscontextos mediante la utilización demedios, códigos y herramientasapropiados.

Expresión verbalExpresión escritaExpresión visualObservaReconoceInterpreta

Resuelve AnalizaProponeParticipaciónSentido de colaboraciónRespeto

7. Aprende por iniciativa e interés propioa lo largo de la vida.

8.- Participa y colabora de maneraefectiva en equipos diversos.

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2Resultado de aprendizajeCompetencias Genéricas a las que contribuye la asignaturaInterpreta y analiza situaciones relacionadas con su vida cotidiana de manera verbal, numérica,y visual para reunir la información con herramientas estadística de un conjunto de datos y deesta forma encontrar causas, variaciones para que posteriormente se tomen decisiones lo más

cercanas al objetivo que se plantea en un problema determinado, en un ambiente decolaboración y respeto.

ECONOMIA: Ayuda para determinar los promedios de desarrollo económico, para analizar cuáles son

los sucesos que forman parte de los elementos de desarrollo, escases, necesidades de un país, ypoder entender sus efectos nacionales e internacionales.

ALGEBRA: Necesita de esta disciplina para traducir los problemas y traducirlos del lenguaje común alalgebraico y utilizar correctamente las formulas en Estadística.

FISICA Y QUIMICA: Es una herramienta en estas especialidades, para determinar los efectos y lascausas de los fenómenos que ellas estudian.

LEOyE: Esta disciplina es de gran importancia ya que mediante la adecuada lectura se puedentraducir las incógnitas en los problemas a resolver.


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El gusto por las matemáticas

Estadística Descriptiva Medidas de tendencia central

Medidas de dispersión

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MediaModaMedianaCuantiles

MEDIDAS DE DISPERSIÓN RangoVarianza poblacional y muestralDesviación MediaDesviación estándar o típica poblacional y muestral.

Diversidad, Espacio, Tiempo 25 horas




Tema Integrador

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Mapa de Contenidos de la Secuencia Formativa

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Conceptual (aprender a conocer):Conceptos de las medidas de tendencia central:

Media Moda

Mediana Cuantiles.

Concepto de las medidas de dispersión:Rango

Varianza poblacional y muestralDesviación Media

Desviación estándar o típica poblacional y muestral.

Procedimental (aprender a hacer):Realizar una investigación

Hacer uso correcto de las formulas

Identif icación de variables e incógnitasInterpretación correcta de los datos obtenidosRealizar análisis adecuado de los resultados

Clasificación adecuada de las variablesInventar ejercicios en otros contextos

Problemario

Actitudinal (aprender a ser):Participación

InterésRespeto

Sentido de colaboraciónSolidaridadColabora

Dimensiones de la Competencia

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Para iniciar te pido que contestes lo siguiente:

1.- Anota al menos 5 métodos que usarías para obtener información acerca del agrado que tienen tuscompañeros por las materias impartidas relacionadas con las matemáticas en tu escuela?

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

2.- ¿Crees que sea posible concentrar la información de manera que puedas efectuar conclusiones? Y¿Cómo le harías para hacerlo?_________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

En la escuela, se realizó una encuesta sobre el gusto que tienen los alumnos por las matemáticas enlos diferentes semestres.

40



41/124

0

5

10

15

20

25

T rigonomet r ía Geomet r íaanalítica

Geometr ía pl ana Si les agradan lasmatemáticas

Alg ebr a Calculo A plicadas No le agr adan lasmatemáticas

P o r c e n

t a j e d e a l u m n o s

Graficando los datos obtenidos:

Contesta el siguiente cuestionario:

1.- ¿Qué nombre recibe la gráfica?______________________________________________________

2.- ¿En promedio que materia agrada más a los alumnos?___________________________________

3.- ¿Cuál es la materia que tuvo menor porcentaje de agrado?________________________________

4- ¿En general que materia es la que casi no agrada a los alumnos? ___________________________

5.- ¿Qué porcentaje es mayor, al que le gusta el cálculo o a los que no les gustan las matemáticas? __ __________________________________________________________________________________

6.- ¿Observa la gráfica y menciona que materia tiene mayor aceptación?_______________________

_________________________________ ¿Por qué? _______________________________________

__________________________________________________________________________________

41



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7.- ¿En donde se encuentra el mayor porcentaje de las respuestas en la grafica y a que crees que sedeba? ____________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

8.- ¿Qué otra información puedes obtener de la gráfica? ____________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

9.- ¿Qué porcentaje de la población pertenece al 25%?

10.- ¿Qué porcentaje de la población pertenece al 10 %? __________________________________________________________________________________11.- ¿Qué porcentaje de la población pertenece al 75%?

__________________________________________________________________________________12.- ¿Qué porcentaje de la población pertenece al 100%?

_________________________________________________________________________________

13.- Genera tres preguntas más apoyándote en la gráfica:

a.- _______________________________________________________________________________

b.- _______________________________________________________________________________

c.- _______________________________________________________________________________

14.- ¿Qué tan dispersas están las respuestas que se obtuvieron de las respuestas acerca de si lesgustan o no las matemáticas?__________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

15.- ¿Qué diferencias hay entre el gusto por el Cálculo y el Algebra? ___________________________

__________________________________________________________________________________

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16- ¿Qué diferencia hay entre el agrado por la Geometría y la Geometría Analítica?______________

Efectuando una investigación en internet busca:MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL1.- ¿Qué son las medidas de tendencia central?2.- ¿Cuáles son y porque se llaman así?3.- ¿Cuál es su uso práctico4.- Al menos da 5 ejemplos de su aplicaciónMEDIDAS DE DISPERSIÓN1.- ¿Qué son las medidas de dispersión? 2.- ¿Cuáles son y porque se llaman así?3.- ¿Cuál es su uso práctico?4.- Al menos da 5 ejemplos de su aplicación

_________________________________________________________________________________

Actividades de Desarrollo

En equipos de 4 personas y utilizando la investigación de medidas de tendencia central, completa loscuadros que a continuación se te presentan, para que no tengas dudas se da un ejemplo en cada uno

de ellos:

Medidade

tendenciacentral

Definición Aplicaciones

Media

ó

Media

Aritmética

Es el promedio detodos los datos

1. Se utiliza para obtener el promedio académico de unalumno.

2. Para calcular los ingresos medios anuales de untrabajador.

3. Encontrar los pesos medios de los individuas de unaciudad y determinar los niveles de obesidad.

4. Calcular el promedio de personas que emigran a losE.U.5. Hallar el salario medio de los maestros de una escuela.

43



44/124

Mediana

1.

2.

3.

4.

5.

Moda

1.

2.

3.4.

5.

44



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CUANTILES

Cuartil

1.

2.

3.

4.

5.

Decil

1.

2.

3.

4.

5.

Percentil

1.

2.

3.

4.

5.

45



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Medida deDispersión Definición Aplicaciones

Rangoó

recorrido

Es la diferencia entre los valoresextremos, máximo y mínimo.

Es una medida de dispersión yaque basta con que un dato sealeje mucho de la media para queel rango o recorrido resulte muyafectado, ya que depende de dosvalores, sin que influyan los datosrestantes.

1. Verificar la posición real de un corredor endiferentes competencias en las que haparticipado.

2. Encontrar qué diferencia hay con latemperatura más alta y la menor de unenfermo.

3. Encontrar las discrepancias de los salariosde los trabajadores de una institución

4. Buscar las divergencias de los objetosanalizados en un laboratorio

5. Verificar las diferencias de edades en ungrupo de alumnos.

DesviaciónEstándar

1.

2.

3.

4.

5.

Varianza

Típica

1.

2.

3.

4.

5.

Auxiliándote de la investigación que elaboraste y en binas, realiza un formulario de cada una de las

definiciones de los cuadros anteriores, con el objetivo de que sea más fácil usarlas en los ejercicios,igualmente se te proporciona un ejemplo.

Nota: Podrás darte cuenta que si la investigación no es completa no podrás llenar todos los renglonesde los cuadros, por lo que te recomiendo que hagas una búsqueda exhaustiva de tus tareas deinvestigación y que te acostumbres a realizar todo así.

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

DATOS NO AGRUPADOS

No.

Nombre Fórmula Significado de las incógnitas ysímbolos

1Media

óMedia

Aritmética

x media

x cada uno de los elementos delconjunto de datosn conjunto de datos? x es la suma de todos loselementos del conjunto de datos? símbolo que indica suma

2 Moda

3 Mediana

4Media

Ponderada

n x x

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CUANTILES

5 Deciles

6 Cuartiles

7 Percentiles

48



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DATOS AGRUPADOS

8 Media

9 Mediana

10 Moda

49



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CUANTILES

11 Deciles

12 Cuartiles

13 Percentiles

50



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MEDIDAS DE DISPERSIÓN

DATOS NO AGRUPADOS

14 Rango

15 DesviaciónMedia

16 Varianza

17DesviaciónEstándar

18Varianzamuestral

19 DesviaciónestándarMuestral

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DATOS AGRUPADOS

20 Rango

21 Varianzapoblacional

22 Desviaciónpoblacional

En caso de que existan formulas adicionales, se agregan fi las y columnas para que las anotes.

23

24

25

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Algunas desventajas de las medidas de tendencia central cuando se le da traducción de acuerdo alproblema en específico son las s iguientes:

1. Los datos se disparan y esto afecta pórque se pueden inclinar a uno de ellos en específico (se

dice que es un estadísticio insesgado).

2. En ocasiones no tiene nada que ver con la población.

3. Se pueden repetir, o no haber.

4. Se acentúa más el problema de la media aritmética.

Los siguientes datos son los lugares obtenidos de un corredor de carreras 1, 2, 1, 2,25, calculando:

a) Media lugar x

62.65

31

5

252121 analizando los lugares

obtenidos es injusto no crees, ya que ha ganado primer y segundo lugar.

b) Mediana 252211~ x el dato que queda a la mitad es 2 por lo queahora le conviene.

c) Moda x̂ los numeros que más se repiten son 1 y 2 por lo que ahora cual esel real.

d) Si se calcula el rango medio 132

251

r y ahora le va peor.

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54/124

Los cuantiles son medidas de posición, es el valor para el cual una pprción específica de ladistribución queda arriba o debajo de él. Los cuartiles se dividen en cuatro partes., los deciles en 10 ylos percentiles en 100, como lo muestra en la grafica siguiente:

CUARTILES: Las posiciones se indican con Q1,Q2,Q3, Q4

DECILES: Las posiciones se indican con D1,D2,D3,D4….D10

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PERCENTILES: las posiciones se indican con P1,P2,P3,P4,P5,P6,………………..P100

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Ejemplo

Ahora vamos a desarrollar un ejemplo para las medidas de tendencia central y de dispersión para queveas la aplicación directa y su interpretación.

DATOS NO AGRUPADOS

Para incentivar a los alumnos y lograr un alto nivel en matemáticas el Colegio de Estudios Científicos yTecnológicos del estado de Hidalgo (CECyTEH) a nivel estado va a realizar competencias estatales.

Los premios son una computadora personal para el primer lugar, una calculadora graficadora alsegundo lugar y y un IPOD de 4 Gb al tercer lugar

Los directores de los planteles realizaron una encuesta para que verificaran el número de alumnosque podrían participar quedando la información en la siguiente tabla no agrupada.

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57/124

Plantel No. de alumnos Acaxochitlán 36

Atlapexco 22Calnali 27Chapulhuacan 42

Huahutla 22Huejutla 36

Huichapan 45Ixmiquilpan 22Metztitlán 36Omitlán 27Pachuca 42Poxindeje 36Santiago 22

Tetepango 27Tepetitlán 27

Tepehuacan 36Tizayuca 22

17 PLANTELES 527 ALUMNOS

Calcula las medidas de tencencia centralMEDIA

n

x x

Se suman todos los elementos del conjunto y se divide entre el total

3117

527

17

3622272722364227362245362242272236 x son los alumnos que en

promedio van a participar de todos los planteles.

MEDIANA

Ordenando los valores tenemos

22,22,22,22,22,27,27,27,27,36,36,36,36,36,42,42,45

2

1~ n

x aplicando ésta fórmula ya que el número de alumnos

es impar

Para la mediana tienesque ordenar los valoresde menor a mayor o

viceversa, ademásrevisar si los datos sonpares o impares

57



58/124

Para la modarecuerda que puedehaber varios datosque se repitan.

92

117~

x que es la posición del dato, por lo que la mediana vale 27 es el número de alumnos

que al ordenar quedan justo en medio.

*Suponiendo que el número de datos fuera par se haría lo siguiente:

82

16tomando en

cuenta los mismos datos del ejercicio y eliminando el 45 debes contar la posición 8 y el dato sería22,22,22,22,22,27,27,27,27,36,36,36,36,36,42,42, como puedes notar el dato no cambio, pero noquiere decir que esto siempre va a suceder

MODA

Los datos que más aparecen son 22 y 36 por lo que es bimodal y son elnúmero de alumnos que más se repiten de los planteles.

PROMEDIO O MEDIA PONDERADA

En la siguiente tabla se incluyen las ponderaciones ya que si el lugar del concurso ésta fuera de la jurisdicción del CECyTEH, se tiene que definir quienes si participaran y quienes no debido a lasituación económica de la institución.

La institución se divide en zonas, tomar la decisión de quién participa es difícil, por lo que la escuelaha tomado la opción por dar ponderaciones a cada una de acuerdo a los promedios obtenidos por losalumnos en sus evaluaciones y determinar justamente quienes pueden competir.

Para esto se utiliza la media ponderada realizando el siguiente procedimiento, la tabla muestra lainformación antes descrita.

22

nelementosde Número Medianalade par Posición

58



59/124

También puedes tomarpara el numero devalores, el total dealumnos por zonas y ladesición no cambia

Zona centro

0.81

3074071010206

PM

Zona sur

7.81

3084091062010

PM

Zona norte

4..81

308409108208

PM

El número de valores es uno ya que es por zonas, aunque puedes tomar el número de zonas que estres, el resultado para tomar la decisión debe ser la misma, verificando lo anterior:

Zona centro

4.63

3074071010206

PM

Zona sur

1.73

3084091062010

PM

Zona norte

8.6

3

308409108208

PM

Según los datos obtenidos, la zona que tendría preferencia para concursar es la zona SUR

Plantel Conocimientos20Actitud

10Desempeño

40Producto

30No. de

alumnos

CENTRO6 10 7 7 215

SUR10 6 9 8 195

NORTE8 8 9 8 117

TOTAL ALUMNOS 527

n x f x

valoresde Númerovalor cadan ponderacióde factor suma PM ).()()(

59



60/124

En caso de que el resultado seadecimal, debes redonderar lacantidad y elegir la que más seacerque al valor dado. Si es21.7, al redondear es 22.

CUANTILES

Hay que determinar los valores del tercer cuartil, del séptimo decil y el trigésimo noveno percentil, delos alumnos que van a participar en el concurso por los premios.

Como puedes darte cuenta los datos están ordenados 22, 22, 22, 22, 22, 27, 27, 27, 27, 36, 36, 36,36, 36, 42, 42, 45.

TERCER CUARTIL

Posición

131214

481

4

117313

Q El valor que corresponde a la posición 13 es 36, por lo

que el valor del tercer cuartil es 36 alumnos.

SEPTIMO DECIL

Posición

2.122.11110

1121

10

117717

D

Como el valor es inexacto, para decidir la posición exacta, se hace los siguiente, se localizan lasposiciones entre las que quedo el valor obtenido de aplicar la formula que en este caso son los lugares12 y 13 de los datos como se marca a continuación.

22, 22, 22, 22, 22, 27, 27, 27, 27, 36, 36, 36, 36, 36, 42, 42, 45.

Se hacen los siguientes pasos

1.- Se resta la posición donde quedo el entero con la siguiente posición: 03636

2.- Se suma la posición donde quedó el entero con el producto de los decimales del resultado anterior,es decir:

3603602.036

La posición del séptimo decil es de 36 alumnos

4

)1(1

nicuartil del Posicióni posiciónlaendatodel Valor icuartil del Valor

10

)1(1

nidecil del Posicióni posiciónlaendatodel Valor idecil del Valor

60



61/124

100

)1(1

ni porcentil del Posicióni posiciónlaendatodel Valor i porcentil del Valor

En caso de que el resultado seadecimal, debes redonderar lacantidad y elegir la que más seacerque al valor dado. Si es 21.4, alredondear es 21.

No quiere decir que siempre la restasea cero, depende de los datos quese trabajen.

PERCENTIL

Posición

24.724.61

100

6241

100

11739139

P

Como el valor es inexacto, para decidir la posición exacta, se hace lo siguiente, se localizan las

posiciones entre las que quedo el valor obtenido de aplicar la formula que en este caso son los lugares7 y 8 de los datos como se marca a continuación.

22, 22, 22, 22, 22, 27, 27, 27, 27, 36, 36, 36, 36, 36, 42, 42, 45.

Se hacen los siguientes pasos

1.- Se resta la posición donde quedo el entero con la siguiente posición: 02727

2.- Se suma la posición donde quedó el entero con el producto de los decimales del resultado anterior,

es decir:

27027024.027

La posición del trigésimo noveno percentiles de 27 alumnos.

61



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Se agrupan los datoscuando la informaciònes demasiada, y lasgraficas no se vean

saturadas con ellos.

DATOS AGRUPADOS

El procedimiento de cálculo para este tipo de datos casi no difiere con los no agrupados, sólo que es unpoco más laborioso como lo veremos enseguida.

La tabla que se te presenta es la tabla agrupada de los datos anteriores, como puedes ver se necesitanmás valores, que tú por supuesto ya viste en la secuencia anterior y que ya sabes obtener.

ClaseLimites Limite exactos Marca de

clase (M. C.)xFrecuencia

(f)

Frecuenciaacumulada

(fa)

(MC)(f)

Inferior Superior Inferior Superior A 22 26 21.5 26.5 24 5 5 120B 27 31 26.5 31.5 29 4 9 116C 32 36 31.5 36.5 34 5 14 170D 37 41 36.5 41.5 39 0 14 0E 42 46 41.5 46.5 44 3 17 132

n = 17 ? = 538

Calcular las medidas de tendencia central

MEDIA

6.3117

538

30545

)3*44()0*39()5*34()4*29()5*24(

X el resultado se redondea a 32

alumnos

El resultado difiere un poco de los datos agrupados siendo más exacto el de las tablas no agrupadas,ya que la información esta desglosada.

fC

fC MC x

clasecadade frecuenciaSuma

clasecadade frecuencia xclasede MarcaSuma Media

).(

)(

)(

62



63/124

MEDIANA

Como son datos impares se debe calcular la posición de la mediana con

Se calcula primero la posición de la mediana

92

117~

x , este valor se encuentra en la segunda clase, por lo que se utiliza la frecuencia anterior,es decir 5. Aplicando la fórmula de la mediana tenemos:

44.2894.15.26)5(9

52

17

5.26~

x se redondea a 28 alumnos

MODA Acomodar en el formulario

c D D

D L Moda

21

1

1 Donde:

L1 = Límite inferior exacto de la clase más abundanteD1 = Frecuencia de la clase más abundante – Frecuencia de la clase anteriorD2 = Frecuencia de la clase más abundante – Frecuencia de la clase siguientec = Ancho del intervalo de la clase más abundante

Aplicando la fórmula para hallar la moda tenemos:

6.25)5(6

55.21)5(

)45()05(

)05(5.21ˆ

X

se redondea a 26 y el dato queda en la primer clase que va de 22 a 26. Como se repiten dos valoresde la frecuencia se tiene que proceder con los dos datos.

33.32)5(6

15.31)5(

)05()45(

)45(5.31ˆ

X se queda en 32 que pertenece a la tercera clase

que va de 32 a 36.

clasecadade s frecuen c iadeSuma N

medianalacontienequ eclaseCM

c f

a f N

L xCM ladeervalodel An choCM lade frecuen cia

CM ladeantesacumulada fre cuencia N

CM deexactoerior Lim ite M edianamedia na

i

2~int2

inf

2

1~2

1 n xelementosde Número Medianaladeimpar Posición

63



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CUANTILES

Hay que determinar los valores del tercer cuart il, del séptimo decil y el trigésimo noveno percentil, de losalumnos que van a participar en el concurso por los premios.

Para que se más fácil colocaremos la tabla agrupada con la que hemos estado trabajando y puedasobservar de donde se toman los datos.

Recuerda que:i=es el cuantil deseadon=es la frecuencia totalL=es el límite inferior exacto de la clase que contiene el cuantil deseadofa = es la frecuencia acumulada de la calse anterior a la que contiene elcuantil deseado

Frecuencia de la clasees la frecuencia de la clase que contiene el cuantildeseadoc=es el ancho del intervalo de la clase que contiene el cuantil deseado

ClaseLimites Limite exactos

Marca declase (M.

C.)x

Frecuencia(f)

Frecuenciaacumulada

(fa)

(MC)(f) (MC-? ?

(MC-? ? ?

Inferior Superior Inferior Superior A 22 26 21.5 26.5 24 5 5 120 7 49B 27 31 26.5 31.5 29 4 9 116 2 4C 32 36 31.5 36.5 34 5 14 170 3 9D 37 41 36.5 41.5 39 0 14 0 8 64E 42 46 41.5 46.5 44 3 17 132 13 169

n = 17 ? = 538

TERCER CUARTIL

131214

)117(31

cuartil del Posición

Este número se encuentra en la tercera clase y su límite inferior exacto es 31.5; su frecuencia es 5;lafrecuencia acumulada hasta antes de esa clase es 9, el ancho de la clase es 5, aplicando la fórmulapara encontrar el cuartil deseado:

25.355)75.0(5.3155

94

173

5.313

Q , redondeando 35 alumnos

cclaselade frecuencia

fan

i

Licuartil del Valor ni

icuartil del Posición

44

)1(1

64



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SEPTIMO DECIL

Posición del decil 2.122.11110

)117(71

éste número se encuentra en la tercera clase y

su límite inferior exacto es 31.5 ; su frecuencia es 5; la frecuencia acumulada hasta antes de esa clasees 9, el ancho de la clase es 5, aplicando la fórmula para encontrar el cuartil deseado:

4.349.25.3155

910

177

5.313

D , redondeando 34 alumnos

TRIGÉSIMO NOVENO PERCENTIL

Posición del percentil 24.724.61100

)117(391

éste número se encuentra en la segunda

clase y su límite inferior exacto es 26.5 ; su frecuencia es 4; la frecuencia acumulada hasta antes deesa clase es 5, el ancho de la clase es 5, aplicando la fórmula para encontrar el cuartil deseado:

53.2803.25.2654

5100

1739

5.263

Q , redondeando 29 alumnos


fan

i Lidecil del Valor

niidecil del Posición

10

10

)1(1


fan

i Lidecil del Valor

nii porcentil del Posición

100

100

)1(1

65



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MEDIDAS DE DISPERSIÓN

DATOS NO AGRUPADOS

Utilizaremos el mismo ejercicio de la tabla no agrupada. Calcular las medidas de dispersión los datosordenados son:

Plantel No. de alumnos x-? (X-? )2 Acaxochitlán 36 5 25

Atlapexco 22 9 36Calnali 27 4 16

Chapulhuacan 42 11 121Huahutla 22 9 81Huejut la 36 5 25

Huichapan 45 14 196Ixmiquilpan 22 9 81Metztitlán 36 5 25Omitlán 27 4 16Pachuca 42 11 121Poxindeje 36 5 25Santiago 22 9 81

Tetepango 27 4 16Tepetitlán 27 4 16

Tepehuacan 36 5 25Tizayuca 22 9 81

17 PLANTELES 527 ALUMNOS

Calcular las medidas de dispersión los datos ordenados son: 22, 22, 22, 22, 22, 27, 27, 27, 27, 36, 36,36,36,36,42,42,45

RANGO: 45-22=23 alumnos

DESVIACIÓN MEDIA

3117

527

17

4542423636363636272727272222222222

Media

17.717

122

17

95449511459145911495

DM

mínV V Rmenor Valor mayor Valor Rango max

n

x

valoresde Número

valoresdeSumaaritmética Mediala primerocalcular que Hay

medialaesdonde N

x DM

valoresde Número

Mediavalor CadaabsolutoValor Sumamedia Desviación

i

66



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VARIANZA

7.6017

19612112125252525251616161681818181812

es el número de

alumnos elevado al cuadrado.

LA DESVIACIÓN ESTANDAR

alumnosVARIANZA ESTANDAR DESVIACIÓN 879.77.60

DATOS AGRUPADOS

De la misma manera utilizaremos la misma tabla de datos noagrupados para realizar el ejercicio

Clase

Limites Limite exactosMarca

de clase(M. C.)x

Frecuencia (f)

Frecuenciaacumulada

(fa)

(MC)(f) (MC-??

(MC-??

?

(MC-? ?

??

F?Inferior Superior Inferior Superior A 22 26 21.5 26.5 24 5 5 120 7 49 147B 27 31 26.5 31.5 29 4 9 116 2 4 16C 32 36 31.5 36.5 34 5 14 170 3 9 45D 37 41 36.5 41.5 39 0 14 0 8 64 0E 42 46 41.5 46.5 44 3 17 132 13 169 507

n = 17 ?= 538

N

x

valoresde Numero

Mediavalor CadaSumaVarianza

i

2

2

2

67



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RANGO

LI LS R R = 46.5 – 21.5 = 25 alumnos.

VARIANZA

Calcularemos primero la media:

6.3117

538

30545

)3*44()0*39()5*34()4*29()5*24(

X redondeando se queda en 32alumnos, pero para la aplicación de la formula utilizaremos los decimales.

A continuación se realizará el cálculo de la varianza

05.4217

507045161472

cantidad de alumnos elevada al cuadrado.

DESVIACION ESTANDAR

48.605.42 ESTANDAR DESVIACION Estamos hablando de alumnos, por lo que eldato se redondea a 6 alumnos

clase primeraladeexactoerior Límiteclaseúltimaladeexactoerior Límite Rango inf sup

i

ii

i

ii

f

f MC

absolutas s frecuen cialasdeSumaclasecadad e frecuenciaclaselade MarcaSuma

Media

xócomoindicar puede sequemanera s iguien teladerealizar puede semedialadecalculoel

f

f MC

absolutas s frecuencialasdeSuma

clasede frecuencia Mediaclasede Mar caSumal poblac ionaVarianza

22

68



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Actividades de Cierre

Ejercicio

Logramos terminar de ejemplificar como se utilizan las formulas, cuáles son sus variables e incógnitas,ahora te toca realizar ejercicios, y plantees dudas a tus maestros.

En todos encuentra las medidas de tendencia central y de dispersión.

EJERCICIO1.- Dentro de una investigación sobre porque no gustan las matemáticas, se obtuvieron lossiguientes datos, específicamente se pregunto sobre sus habilidades básicas en matemáticas,quedando de la siguiente manera:

16 15 20 24 24 18 18 18 25 27

41 37 37 37 26 26 26 27 27 32

32 32 29 40 40 45 45 48 18 45

34 34 30 30 30 28 28 28 25 28

42 42 30 22 30 24 30 22 24 20

28 16 22 28 35 22 25 28 35 26

28 45 16 45 26 16 40 20 26 32

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EJERCICIO 2.- Los siguientes datos, que representan los días que dedica cada alumno a estudiar

matemáticas al semestre en el colegio, construye una distribución agrupada y no agrupada con sieteintervalos; así como las medidas de tendencia central y las de dispersión:

17 12 16 13 16 13 14 16 14 15

14 19 15 17 15 20 16 17 15 14

18 14 11 15 14 17 17 14 15 13

16 14 17 10 12 18 13 14 14 12

14 14 17 10 12 18 13 14 14 12

15 17 18 13 13 17 14 13 13 17

16 20 13 13 17 14 11 11 12

EJERCICIO 3.- Para dar asesorías de matemáticas la escuela agrupó a los alumnos en las siguientesclases. Calcular las medidas de tendencia central: media, moda y mediana, así como los cuantiles quese indican: primer cuartil, sexto decil y percentil 30.

grupos TOTAL DE NIÑOS (69)17 – 22 923 – 28 729 – 34 2

34 – 39 1240 – 45 24

EJERCICIOS EN OTRAS APLICACIONES

1.- Los 12 carteles que se les pidieron a una agencia de publicidad tienen las medidas siguientes.Determine para las medidas de tendencia central: 1.68 m, 1.83m, 1.75 m, 1.72 m, 1.65 m, 1.78 m, 1.74m, 1.68 m, 1.79 m, 1.67 m, 1.81 m y 1.87m.

2.- Determine la moda de los siguientes colores en sweaters de una tienda de lujo: ROJO, VERDE,ROJO, AZUL, VERDE, AZUL, ROJO, VERDE, VERDE, BLANCO, VERDE, AZUL, ROJO, VERDE,VERDE.

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3.- Calcula las medidas de tendencia central de la siguiente tabla de distribución de frecuenciascorrespondiente a las paletas producidas en la paletera “La fresa”.

Clase Límiteinferior

Límitesuperior

Frecuencia

1 115 145 62452 150 180 72643 185 215 114504 220 250 29235 255 285 8152

4. Calcula las medidas de dispersión de los siguientes valores correspondientes a las alturas de 15personas que quieren entrar al ejercito de la nación: 73, 82, 75, 49, 47, 79, 85, 66, 99, 62, 88, 56, 85, 73,y 69.

Práctica

Ahora vas a efectuar en equipos de 3 personas, un ejercicio de tu vida cotidiana en el contexto en quetu quieras trabajar, ya sea de ámbito social, político, económico, para que ejrecites tus habilidades quehas adquirido en los ejercicios y ejemplos.

Es importante que realices las encuestas y generes los datos que son necesarios para realizar lapráctica. Debes hallar las medidas de tendencia central y las de dispersión, todo en un solo ejercicio.

Resuelve los ejercicios que el facilitador te indique, en caso de que no entiendas, es importante queaclares tus dudas.

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Competencias Elementos de competencia4. Escucha, interpreta yemite mensajes pertinentesen distintos contextosmediante la utilización demedios, códigos yherramientas apropiados.

Expresión verbalExpresión escritaProponeObservaReconoceParticipaciónSentido de colaboraciónRespetoEscucharInterpreta

Innova

5. Desarrolla innovacionesy propone soluciones aproblemas a partir demétodos establecidos.

7. Aprende por iniciativa einterés propio a lo largo de

la vida.8.- Participa y colabora demanera efectiva en equiposdiversos.

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Reconoce en su entorno familiar, escolar y cotidiano los eventos que conllevan una

probabilidad y aplica sus conocimientos para construir los cálculos de dichaprobabilidad que le permitan tomar decisiones.


Aritmética y Algebra. Nos auxiliamos de estas asignaturas en temas como: Operaciones básicas,Expresiones algebraicas, lenguaje algebraico, productos notables, factorización, ecuaciones de primery segundo grado.

LEOyE. Nos apoyamos de esta disciplina para expresarse en forma verbal y escrita adecuadamentea fin de comprender el mensaje y así transitar al lenguaje con símbolos y expresiones algebraicas parala deducción e interpretación de la función matemática.

Física, Química y Biología. Estas asignaturas se vinculan con la probabilidad en los temas como: Leyde Hooke, Peso, Embarazo, Genero, Genética, Grupos sanguíneos

CTSyV I Y II. Contribuimos al análisis del ambiente y la alteración de este (contaminación, explosióndemográfica) y a la promoción de valores universales.



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El azar

Probabilidad y Estadística

Probabilidad

Técnicas de conteo.Tipos de probabilidad.


No.Tema Integrador



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Conceptual (aprender a conocer):

Antecedentes históricos de la probabilidadTécnicas de conteo

Tipos de probabilidad

Procedimental (aprender a hacer):Reconoce en su entorno familiar, escolar y cotidiano los eventos que se relacionan con la probabilidad.

Resolución de problemas con conocimientos básicos de matemáticas. Aplica los conocimientos adquiridos en esta asignatura para estudiar eventos de su entorno.

Elaboración de problemas

Actitudinal (aprender a ser):Participación

InterésRespeto

Sentido de colaboraciónCreatividad

Saber escucharTolerancia

Dimensiones de la Competencia

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1.-.Realiza la lectura y contesta.

JUEGOS DE MESA, ¿SABES CONTAR?

¿Alguien de tu familia juega ajedrez? ¿Tú papa, tú abuelo, alguno de tus tíos?

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

Jugar ha sido una actividad muy importante en la vida del ser humano. Se han inventado juegos parademostrar la destreza física, la agilidad mental o ambas. Entre los juegos antiguos podemos contar alos Olímpicos, que se realizaron en Grecia. También forman la historia el Circo Romano y el juego dePelota en Mesoamérica. Los juegos han evolucionado a tal grado que en la actualidad existe genteque se dedica a estudiar sus características. Incluso se ha llegado a enunciar la teoría de juegos que

es una rama de las matemáticas.Los juegos de mesa, en particular, han motivado muchos y muy interesantes estudios, porque pareceque los seres humanos no jugamos solamente por pasar el tiempo y nada más. A lo mejor no sabías,pero incluso hay gente que se hace adicta al juego a tal grado que éste se convierte en algo así comouna droga que no se puede dejar.

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La baraja, la ruleta, el black jack y el domino son ejemplos de juegos de mesa en los que saber contares muy importante.

Tan fundamentales son los juegos de azar que, a partir de ellos, el matemático francés Pierre Simónde Laplace (1749 – 1827) desarrolló una teoría a la que llamo “el sentido común reducido al cálculo”,relacionada con la teoría de la probabilidad. Según Laplace, está teoría comenzó a desarrollarse apartir de los juegos en donde interviene la suerte.

Escribe qué otros juegos de mesa conoces y coméntalos con tus compañeros y compañeras como se juegan. __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

Seguramente también has participado en juegos de azar, como lanzar una moneda,

1.- ¿Qué resultados obtienes al lanzar la moneda? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

2.- Si el juego consistiera en lanzar dos veces una moneda cuales serian los resultados posibles.

Compara tus resultados con los de tus compañeros y busca una manera de asegurarte que son todoslos resultados que posibles. __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

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¿NIÑA O NIÑO?

2.- Pero la probabilidad no solo se utiliza en los juegos de azar, analiza el diagrama, el texto ycontesta.

¿Sabes cómo se determina el sexo de un bebé?

Durante los dos primeros meses de vida no es posible diferenciar el sexo de un em

probabilidad y estadistica 2009

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