Resultado de aprendizajey Desarrollar la capacidad en el alumno para aplicar

herramientas de Probabilidad y Estadstica en datos obtenidos en experimentos y observaciones para someter a prueba sus hiptesis establecidas.

Unidades de Aprendizaje

Objetivos de aprendizaje

Temas De Aprendizaje

Resultados de Aprendizaje

Sesin Nmero Nombre

Breve historia de las matemticas 1. Clasificacin de las matemticas 1. 1. Introduccin a la estadstica El alumno conocer la evolucin de las matemticas y la estadstica a travs del tiempo. Definicin de estadstica Objetivo de la estadstica 1. Clasificacin de la estadstica El alumno conoce el concepto y objetivo de la estadstica, as como su clasificacin. El alumno identifica el propsito general de la estadstica en la poca contempornea. 1 Introduccin a la estadstica

Introducciny Antes de que suceda algo, no es posible predecir con

precisin que va a pasar

y El clculo de la probabilidad se fundamenta en la

medida de aparicin o no aparicin de ciertos acontecimientos.

y Tiene gran importancia en todos los problemas de

prediccin: juegos al azar, seguros, investigacin operacional, pronsticos electorales, mecnica ondulatoria, creacin de nuevos productos, etc.

y La probabilidad de un acontecimiento es igual a uno. y La probabilidad de un acontecimiento imposible es

igual a 0.y La probabilidad de que dos sucesos independientes se

lleven a cabo es igual a la suma de sus probabilidades.

y En el clculo de las probabilidades, se definen funciones llamadas variables aleatorias, susceptibles a tomar cierto numero de valores reales. y Por tanto es posible asociar a cada uno de estos valores su probabilidad (siendo la suma de sus probabilidades igual a 1) y de trazar la curva correspondiente llamada "curva de distribucin". y Si se acumulan las probabilidades de cada uno de los valores (siendo la acumulacin igual a 1 para el ultimo valor) se obtiene la curva de reparticin, que permite conocer la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor inferior a un valor dado.

y Cada vez que medimos una variable, recibimos una seal u observamos un sistema, obtenemos una salida o resultado que puede ser diferente. A este tipo de medicin u observacin de resultados se le llama un experimento aleatorio. y Qu es un experimento? y Un experimento es un procedimiento mediante el cual se trata de comprobar (confirmar o verificar) una o varias hiptesis relacionadas con un determinado fenmeno, mediante la manipulacin de la/s variables que presumiblemente son su causa. y Qu es aleatorio? y Para este caso no se conoce el resultado o conjunto de resultados .

y La probabilidad mide la posibilidad de que un

resultado o conjunto de resultados ocurra y se representa por un numero entre cero (que sea imposible que ocurra) y uno (existe la certeza de que ocurrir).

y Subjetiva. Asignamos la probabilidad basados en nuestras

creencias o sentimientos subjetivos. Esta forma de asignar probabilidades no se estudia en este curso, pero es una forma muy comn utilizada por jugadores profesionales.

y Emprica. En esta forma se realizan un experimento

muchas veces y se trata de inferir algn modelo probabilstico de los datos. Se asigna la probabilidad basados en la frecuencia de ocurrencia de los resultados. en un marco matemtico que proporciona todas las reglas que el modelo debe seguir. Esta forma de asignar probabilidades proporciona un marco general para el material y elimina cualquier regla o prediccin inconsistente.

y Axiomtica. Aqu se estudian los modelos de probabilidad

Espacio muestraly Probabilidad es un nmero asignado a una salida o resultado, o a conjunto de salidas o resultados para indicar que tan posible es que estos resultados ocurran. y Para poder manipular estos resultados o conjunto de salidas, es necesario discutir los elementos bsicos de teora de conjuntos. y Los conjuntos son una coleccin de elementos. Sin embargo, en este caso, representan una coleccin de salidas de un experimento aleatorio y tambin se les llama eventos. SE PARTE DE LA OBSERVACIN DE UN EVENTO

y Se define la coleccin de todas las posibles salidas de un experimento aleatorio como un espacio muestral y se identifica por la letra S. Los diagramas de Venn son figuras que muestran el espacio muestral S y todos sus posibles resultados. y Hay espacios muestrales discretos y continuos, un espacio muestral se dice que es discreto si es finito o es contablemente infinito y continuo de cualquier otra manera.

IntroduccinEsta imagen representa un conjunto de

Por qu es un conjunto?Para que un conjunto pueda ser definido los elementos que lo forman deben compartir al menos una propiedad, para que en un momento determinado sea posible identificar si un objeto cualquiera es un elemento del conjunto.

Qu conjuntos representa u teclado?

Tipos de conjuntosy Segn el nmero de elementos que contiene cada conjunto podemos identificar los siguientes conjuntos: y Unitario, y Finito,y y

M={x/x es mes del ao} Por que sabemos que el ltimo mes es Diciembre

y Vaco, se representa {} y Infinito, y Ejemplo: M={x/x es nmero natural} y Por que no sabemos que cual es el ltimo mes es el ltimo nmero y Universal: Se denomina as al conjunto formado por todos los

elementos del tema de referenciay y y

Ejemplo: U={x/x es un animal} A={x/x es un mamfero} B={x/x es un reptil}

y Conjuntos disjuntosy

Son 2 conjuntos que no tienen elementos en comn y A= {x/x es un alumno del 106} y B= {x/x es un alumno del 107}

y Conjuntos iguales: cuando todos los elementos

pertenecen a ambos conjuntos y Inclusin: Cuando todos los elementos de un conjunto A pertenecen a un Conjunto By y

A= {x/x es un alumno de la UPEG} B={x/x es un alumno del grupo 106}

A B

lgebra de conjuntosy Un conjunto A es una coleccin de objetos llamados

elementos del conjunto. y La notacin de los conjuntos es por medio de letras maysculas A, B, C, .. y La notacin de sus elementos es por medio de minsculas a, b, c, .. y Ejemplo. Si el conjunto A = {a, b, c}.y a A Significa que a es un elemento de A y d

A Significa que a no es un elemento de A

Qu es relacin de pertinencia?y Es la relacin que existe entre un elemento y un conjunto, as, un

elemento pertenece al conjunto, y se representa de esta forma.

y y y Ejemplo, A = {x/x es dedo de la mano} y B= ndice, entonces

y y Cuando un elemento no esta en el conjunto dicho elemento no

pertenece al conjunto, y se representa de la siguiente manera

y y Ejemplo, A = {x/x es mes del ao} y B= enero, entonces

B A

Formas de expresar los conjuntosy Por extensin: Cuando se nombran todos y cada uno de sus elementos.

y Por comprensin: Cuando se indica una propiedad que caracteriza a sus

elementos.

EJERCICIOSy Expresar los siguientes conjuntos por comprensin:

y Exprese los siguientes conjuntos por extensin:

Siempre y cuando

EJERCICIO: Dados los siguientes conjuntos, obtn los complementos que se solicitan: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; A = {0, 1}; a) A= b) B = c) C = B= {2, 4, 6, 8}; C= { 9}

y D=A

AB y E = B AB y C=A+B

y Para cualquier par de conjuntos A y B podemos definir su suma (o

unin) como el conjunto C = A + B, que consiste de todos los elementos que pertenecen a A, B o a ambos.

y La unin se denota como A B Para dos conjuntos se define su

producto como en conjunto D = A B = AB el cual consiste de todos los elementos de pertenecientes a A y B. smbolo ; por ejemplo, F = A B.

y El trmino interseccin es sinnimo de producto y se denota con el y Para cualquier conjunto A se define su complemento como el conjunto

y consiste en todos los elementos que no pertenecen a A.

y Con A

B se define el conjunto diferencia B A, como el conjunto de los elementos que de B que no pertenecen a A.

Ejercicioy Aplicar las operaciones para los conjuntos 106 y 107 con y y y y y

sus maestros 106 / 107 106 / 107 Subconjunto de alumnos que pertenecen al 106 / 107 Unin 106 y 107 Interseccin 106 y 107

y El conjunto nulo denotado por

o { } es un conjunto

vaco y no contiene elementos. y Dos conjuntos son iguales, A = B si, cualquier elemento de B es un elemento de A y cualquier elemento de A es un elemento de B. Un conjunto A es un subconjunto de B s cualquier elemento de A esta en el conjunto B. Se escribe A B(oB A) . y Al lgebra de conjuntos se aplican las leyes de Asociativas, Conmutativas y Distributivas.

y A y y y y y

= A U=A A A=A (A')' = A (A B)' = A' (A B)' = A'

B' B

Absorcin Modulativa Idempotencia Involutiva Ley de Morgan Ley de Morgan

y Propiedad reflexiva: Todo conjunto est incluido en si mismo. Esto se

expresa de la siguiente forma: V A =>, A A que se lee: para todo conjunto A se verifica que A est incluido en A.

y Propiedad antisimtrica: Dados dos conjuntos diferentes A y B, si A

est incluido en B, B no puede estar incluido en A. Es decir: Si y A diferente B y A B = B NO A

y y Propiedad transitiva: Si un conjunto A est incluido en otro conjunto By A={a,b,c}; B={a,b,c,d,n}; C={a,b,c,d,n,m}

y a su vez B esta incluido en C, A esta incluido en C. Sean los conjuntos:

y en los cuales se observa con claridad que si los elementos del conjunto

A son elementos del conjunto B, y los del conjunto B son tambin elementos del conjunto C, los elementos de A sern elementos de C.

y Producto cartesiano: es el conjunto formado por todos

los pares ordenados de elementos (a,b), tal que a Ay b se representa por A x B donde B x A no es lo B; mismo. y A = {a, b, c, d, e} y B = {m, n}y

Podemos hallar el producto cartesiano de A x B, resultando:

y A x B = {(a, m), (a, n), (b, m), (b, n), (c, m), (c, n), (e, m),

(e, n).}.y

Sin embargo, si hallamos el producto cartesiano de B x A:

y B x A = {(m, a), (m, b), (m, c), (m, d), (m, e), (n, a), (n,

b), (n, c), (n, d), (n, e).}

Ejemploy A = {conjunto de hombres} y B = {conjunto de mujeres} y AxB = y BxA=

y Propiedades del producto cartesiano y Conjunto por un conjunto vaco = conjunto vaco y A x {} = {} y Propiedad distributiva respecto a la unin: A (B U C) = (AxB) U (AxC) y Propiedad distributiva respecto a la interseccin: Ax(BnC) = ((AxB)n(AxC))

Ejercicioy Un dado es aventado y su resultado es anotado. El y conjunto de posibles resultados es el conjunto S = {1, 2,

3, 4, 5, 6}. y Sea el conjunto A los posibles resultados {1, 2, 3} y Sea el conjunto B los posibles resultados {2, 4, 6}

Ejerciciosy 1.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6} y Hallar y A U B; y A U C; y B U C; y BUB y Solucin: y A U B = {1,2,3,4,6,8} y A U C = {1,2,3,4,5,6} y B U C = {2,4,6,3,5} y B U B = {2,4,6,8}

y 1).- Cul es conjunto formado por la interseccin de y y y y

los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}? 2).- Representa la unin de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o} 3).- Cul es la interseccin de los siguientes conjuntos: A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o} 4).- Obtener la diferencia A\B si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}

y 2.- Cules de los siguientes conjuntos son: vacos, y y y y y y

unitarios, finitos, infinitos? a) A = { x I x es da de la semana} b) B = { vocales de la palabra conjunto} c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} d) D = {x I x es un nmero par} e) E = {x I x < 15} f) F = {x I es la solucin de y(x)=IxI }

y 3.- Demuestre con diagrama de Venn que y 4.-Demuestre las leyes de De Morgan:

y 5.-Demuestra las propiedades asociativas siguientes:

y .- En el diagrama de Venn que sigue rayar, y (1) y (2)

1.1.

Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}.Hallar A B = ?, A B=?

2.1.

Dado los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5, 7}, B = {3, 4, 6}. C = {1, 2, 4, 8, 9, 5}Hallar A B = ?, A C = ?, B C = ?, A B = ?, A C = ?, B C=?

3.1.

Dado los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5, }, B = {2, 4, 6}. C = { 2, 4, 8, 9,}Hallar A B = ?, A C = ?, B C = ?, A B = ?, A C = ?, B C=?

4.1.

Dado los conjuntos: A = {a, b, c, d, e}, B = {a, e}. C = {d, f, g}Hallar A B = ?, A C = ?, B C = ?, A B = ?, A C = ?, B C=?

5.1.

Dado los conjuntos: A = {c, h, a, t}, B = {c, h, a, r , m}. C = {h, r, t, n}Hallar A B = ?, A C = ?, B C = ?, A B = ?, A C = ?, B C=?

6.y Se realiz una encuesta a 11 personas, sobre sus preferencias por y y y y

dos tipos de productos A y B. Obtenindose lo siguientes resultados: El nmero de personas que prefirieron uno solo de los productos fueron 7. El nmero de personas que prefirieron ambos productos fue igual al nmero de personas que no prefiri ninguno de los dos productos. El nmero de personas que no prefieren el producto A y prefirieron el producto B fueron 3. Se desea saber:y y y

a.-Cuntas personas prefieren el producto A? b.-Cuntas personas prefieren el producto B solamente? c.-Cuntas personas prefieren ambos productos?

7.y Se llev a cabo una investigacin con 1000 personas, para

determinar que medio utilizan para conocer las noticias del da. Se encontr que 400 personas escuchan las noticias en forma regular por TV, 300 personas escuchan las noticias por la Radio y 275 se enteran de las noticias por ambos medios.y y y y y

a.-Cuntas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la TV? b.-Cuntas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por Radio? c.-Cuntas de las personas investigadas no escuchan ni ven las noticias? d.- Cuntas personas no dieron su opinin? e.- Cul es la representacin de la interseccin de las personas que ven y escuchan las noticias?

8.y Se le pregunt a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de refrescos Pepsi y Coca Cola. Obtenindose lo siguientes resultados: y El nmero de estudiantes que prefirieron Pepsi pero no Coca Cola fue de 3. y El nmero de estudiantes que no prefirieron Pepsi fueron 6. y Se desea saber: y a.-Cuntos de los encuestados prefirieron Pepsi? y b.- Cuntos de los encuestados prefirieron Coca Cola? y c.- Cuntos de los encuestados prefirieron Pepsi o Coca Cola?

Ejemplos complejosy Glosario: y Para todo y Pertenece y No pertenece y No existe y Siempre y cuando

y El enunciado abierto p(x) : x = x se convierte en proposicin si para td

numero natural se cumple que x = x, que es verdaderay x N/x=x y Se lee: para cualquier x Natural, x = x

y Una proposicin con cuantificador universal tiene la siguiente forma: y x D , p(x) y Negacin de proposiciones con cuantificadores y Considerando: y x N / x 4 = 9 como verdadera, la negacin es [ xy

N / x 4 = 9]

Se lee: no existe un numero natural x tal que x 4 = 9, que equivale a decir, todo numero natural x es tal que no se cumple x 4 = 9

y En smbolos: y x N, no se cumple x

4 = 9, o tambin

x

N, x 4

9

y El conjunto A esta incluido en B se cada elemento de A es tambin

elemento de By

A

B

( x:x

A

x

B)

y En virtud de la definicin anterior, diremos que A no esta incluido en

B sino todos los elementos de A son elementos de B, de la misma forma, si al menos un elemento de A no es elemento de B.y

A

B

( x:x

A

x

B)

y Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.

En smbolos:y

A=B

(A

B

B

A)

y Esta definicin nos dice que si se sabe que A = B entonces A

ByB A. Asimismo si se sabe que A B y B A entonces A = B. Para probar la igualdad de dos conjuntos se debe probar la mutua inclusin de ellos.

y Se llama diferencia entre dos conjuntos A y B, escrita Ay y

conjunto de todos los elementos de A que no estn en BA B={x/x Ejemplo:y

B, Al

A

x

B}

Si A={a, b, c, d, e} y B = {c, e, f, g}, entonces A - B = {a, b, d}

y La diferencia simtrica entre A y B, escrita A

B, esta formada por todos los elementos de A que no son de B, junto con los elementos de B que no son de A. y Es decir: A B = (A B) (B A) y En concreto: A B = (A B) - (B A) y En smbolos:y

A

B = {x/x

(A

B), x

(A

B) (A

B)}

y Ejemplo: Calcular la diferencia simtrica entre los conjuntos A =

{1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {5, 6, 7, 8} y Solucin: A-B = {1, 2, 3, 4} y B A = {7,8}. Uniendo ambos conjuntos tenemos que A B = {1, 2, 3, 4, 7, 8}

y La cardinalidad de un conjunto A, que se escribe n (A),

es el nmero de elementos diferentes que poseen dicho conjunto.y Ejemplo: y Si A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6} entonces n(A) = 5, n(B) = 3 y

n( A B )=6 y Propiedady

n( A

B )= n ( A ) + n ( B ) - n ( A

B)

EjercicioA Unin B A Interseccin de B

Es claro que el hecho de quees condicin necesaria y suficiente para afirmar que

y