Probabilidad y estadstica UVM En Lnea 1

Esta semana damos inicio a la Unidad 3. Iniciaremos describiendo lo que es

una distribucin de probabilidad, las diferencias entre variable discreta y conti-

nua, as como el clculo de la media y varianza de una distribucin de probabi-

lidad. Posteriormente se da a conocer una de las distribuciones de probabilidad

discreta ms conocida y utilizada: la distribucin de probabilidad binomial; as

como la distribucin hipergeomtrica y de Poisson. Se presentan ejemplos para

poder utilizar las tablas de distribucin de probabilidad, y a lo largo de la se-

mana se realizan ejercicios prcticos para reforzar los conceptos vistos.

Propsito de

la Unidad

El estudiante aplicar las distribuciones de probabilidad en procesos de toma de decisiones a fin de resolver proble-

mas relacionados con su mbito.

Unidad 3 Distribucin de la probabilidad

Temas 3.1. Distribuciones de probabilidad discreta

Probabilidad y estadstica

Unidad 3. Distribucin de la probabilidad

Resumen

Probabilidad y estadstica UVM En Lnea 2

Esta Unidad inicia con el estudio de distribuciones de probabilidad. Una distri-

bucin de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden presentarse

como resultado de un experimento. Una distribucin de probabilidad es similar

a una distribucin de frecuencias relativas, pero en vez de describir el pasado,

describen qu tan probable es un evento futuro. Por ejemplo, un fabricante de

un medicamento afirma que el medicamento causar la prdida de peso en

80% de la poblacin. Una agencia de proteccin al consumidor puede probar

este medicamento en una muestra de seis personas. Si la declaracin del fa-

bricante es verdadera, es casi imposible tener un resultado en el que ninguna

persona de la muestra pierda peso, y es muy probable que 5 de las 6 pierdan

peso.

Introduccin

Probabilidad y estadstica UVM En Lnea 3

Qu es una distribucin de probabilidad?

Una distribucin de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden

presentarse como resultado de un experimento. Una distribucin de probabili-

dad es similar a una distribucin de frecuencias relativas; sin embargo, en vez

de describir el pasado, describe qu tan probable es un evento futuro.

Una distribucin de probabilidad indica todos los resultados posibles de un ex-

perimento junto con la probabilidad correspondiente a cada uno de ellos

Ejemplo:

Supngase que se quiere saber el nmero de caras (H) que se obtienen al lan-

zar tres veces una moneda al aire. Los posibles resultados son: cero, uno, dos

y tres caras. Cul es la distribucin de probabilidad del nmero de caras?

Existen ocho posibles lanzamientos que se indican en la siguiente tabla, donde

H es cara (sol) y T es cruz (guila).

Resultados posibles

Lanzamiento de moneda

Primero Segundo Tercero Nmero de caras

1 T T T 0

2 T T H 1

3 T H T 1

4 T H H 2

5 H T T 1

6 H T H 2

7 H H T 2

8 H H H 3

Tabla 1. Resultados posibles al lanzar una moneda 3 veces

Observe que el resultado cero caras, se obtuvo solamente una vez, una ca-

ra apareci tres veces, dos caras, tres veces y el resultado tres caras so-

lamente una vez. Cero caras ocurri en una de ocho veces, por lo que la pro-

3.1. Distribucin de la probabilidad

Probabilidad y estadstica UVM En Lnea 4

babilidad de cero caras es un octavo (1/8), de una cara (3/8), etc. La distribu-

cin de probabilidad se muestra en la tabla siguiente:

Nmero de caras X

Probabilidad del resultado P(x)

0 1/8= 0.125

1 3/8=0.375

2 3/8=0.375

3 1/8=0.125

T o t a l 8/8=1.000

Tabla 2. Distribucin de probabilidad de los resultados posibles al lanzar una moneda 3 veces

La representacin grfica del nmero de caras que se obtiene en tres lanza-

mientos, se muestra en el grfico siguiente.

Figura 1. Grafica de la distribucin de probabilidad de los resultados posibles al lanzar una mo-

neda al aire 3 veces

Variables aleatorias

Cuando se realiza un experimento aleatorio, los resultados se presentan al azar

y por lo tanto nos referimos a una variable aleatoria.

Si se cuenta el nmero de empleados ausentes de su turno de trabajo del lu-

nes, el nmero puede ser 0,1,2,3, ; esto es, el nmero de inasistencias es

una variable aleatoria. Si se tiran al aire dos monedas y se cuentan el nmero

de caras, nos referimos a una variable aleatoria.

0

0.125

0.25

0.375

0 1 2 3

Pro

bab

ilid

ad

Nmero de caras

Probabilidad y estadstica UVM En Lnea 5

Una variable aleatoria es la cantidad que es el resultado de un experimento,

y debido al azar, puede tomar valores diferentes.

Una variable puede ser discreta o continua.

Una variable aleatoria discreta slo puede asumir cierto nmero de valores

especficos. Si hay 100 empleados en una empresa, la cantidad de los ausentes

los lunes, puede ser 0,1,2 hasta 100, es decir es el resultado de contar algo.

Una variable aleatoria continua puede tomar un valor de una cantidad infi-

nitamente grande de valores, por ejemplo el ancho de una habitacin, la altu-

ra de una persona, la distancia entre dos ciudades; estas son cifras con deci-

males.

Media, varianza y desviacin estndar

Una distribucin de probabilidad se resume indicando su media y su varianza.

Media

La media es un valor que se utilizar para representar una distribucin de pro-

babilidad, y tambin se le conoce como valor esperado.

El clculo del valor esperado se realiza como:

)(xPx

Donde P(x) es la probabilidad de cada valor que puede tomar la variable alea-

toria x.

Ejemplo:

Juan invierte su dinero en Anderson Savings and Loan, en donde recibe un in-

ters anual del 7% sobre la inversin. Un amigo suyo le platic que va a abrir

una cafetera de autoservicio y quiere que Juan invierta. Despus de investi-

gar la oportunidad, Juan prepara una distribucin de probabilidad de las utili-

dades posibles sobre la inversin. Calcule la utilidad esperada sobre la inver-

sin. Considere la siguiente distribucin.

Probabilidad y estadstica UVM En Lnea 6

Rendimiento sobre la inversin %

Probabilidad P(x)

-10 0.05

0 0.15

5 0.20

10 0.40

20 0.15

30 0.05

Tabla 3. Distribucin de probabilidad de las utilidades posibles sobre una inversin

Aplicando la frmula de valor esperado, la utilidad esperada est dada por:

)(xPx

%9

)05.0(30)15.0(20)40.0(10)20.0(5)15.0(0)05.0(10

Esto es, la utilidad esperada es en promedio del 9%.

Varianza y desviacin estndar

La frmula para la varianza de una distribucin de probabilidad es:

)(22 xPx

Donde P(x) es la probabilidad de cada valor que puede tomar la variable alea-

toria x y es la media.

Ejemplo:

Juan Ramrez vende automviles nuevos y tiene mayores ventas los sbados.

La distribucin de probabilidad para el nmero de vehculos vendidos por da,

est dado por:

Probabilidad y estadstica UVM En Lnea 7

Nmero de vehculos vendidos

Probabilidad P(x)

0 0.10

1 0.20

2 0.30

3 0.30

4 0.10

Tabla 4. Distribucin de probabilidad del nmero de vehculos vendidos

Note que se trata de una distribucin discreta, ahora calculemos el valor espe-

rado, o nmero promedio de automviles vendidos.

1.2

)10.0(4)30.0(3)30.0(2)20.0(1)10.0(0

)(

xPx

El valor esperado lo podemos interpretar como que el seor Juan vende en

promedio 2.1 coches por da.

Ahora realicemos el clculo de la varianza:

Nmero de vehculos vendidos

Probabilidad P(x)

(x-)

(x-)2

(x-)2 P(x)

0 0.10 0-2.1 4.41 0.441

1 0.20 1-2.1 1.21 0.242

2 0.30 2-2.1 0.01 0.003

3 0.30 3-2.1 0.81 0.243

4 0.10 4-2.1 3.61 0.361

2=1.290

Tabla 5. Clculo de la varianza para los vehculos vendidos

Al sacar raz cuadrada de la varianza (1.290), obtenemos la desviacin estn-

dar que es 1.136.

Probabilidad y estadstica UVM En Lnea 8

Distribucin de probabilidad binomial

La distribucin de probabilidad binomial es un ejemplo de una distribucin de

probabilidad discreta. Una caracterstica de esta distribucin binomial, es que

solo hay dos resultados posibles en cada ensayo de un experimento. Por ejem-

plo, el enunciado en una pregunta de verdadero o falso, los resultados son ex-

cluyentes, esto es, no pueden ser verdaderos y falso a la vez. Otro ejemplo,

en un departamento de control de calidad se clasifica un producto como acep-

table o no aceptable. Otra caracterstica de la distribucin binomial es que la

variable aleatoria es el resultado de conteos; esto es, se cuenta el nmero de

xitos en la totalidad de ensayos. Por ejemplo, se lanza cinco veces una mone-

da y se cuenta el nmero de caras que resultan; se seleccionan 10 trabajado-

res y se evala el nmero de ellos que tienen ms de 50 aos, o se escogen

20 cajas de cereal y se cuentan las que pasaron el control de calidad.

Otra caracterstica de esta distribucin es que la probabilidad de un xito si-

gue siendo la misma de un ensayo a otro. La probabilidad de que se adivine

correctamente la primera pregunta de una prueba de verdadero o falso es ,

la probabilidad de adivinar de manera correcta la segunda es , la probabili-

dad de adivinar la tercera es y as sucesivamente.

La ltima caracterstica de una distribucin de probabilidad binomial es que

cada ensayo es independiente de cualquier otro. Esto significa que los resulta-

dos no siguen ningn patrn.

En resumen:

El resultado de cada ensayo de un experimento se clasifica en una de

dos categoras mutuamente excluyentes: xito o fracaso.

La variable aleatoria cuenta el nmero de xitos en una cantidad fija de

ensayos.

La probabilidad de un xito permanece igual en todos los ensayos, lo

mismo sucede con la probabilidad de un fracaso.

Los ensayos son independientes, esto es, el resultado de un ensayo no

afecta el resultado de algn otro.

Probabilidad y estadstica UVM En Lnea 9

La distribucin de probabilidad binomial est dada por:

ensayo cada de xito de adprobabilid:

xitos de nmero:

ensayos de nmero:

ncombinci:

1)()(

x

n

nCx

CxPxnx

xn

Recuerde que en la Semana 6 revisamos la Frmula de Combinacin, para el

caso de la distribucin de probabilidad binomial es necesario obtener primero

este valor con la frmula:

)!(!

!

rnr

nCrn

Ejemplo:

Entre dos ciudades hay cinco vuelos diarios. Si la probabilidad de que un vuelo

llegue retrasado es 0.20, cul es la probabilidad de que ninguno de los vuelos

se retrase el da de hoy?, cul es la probabilidad de que exactamente uno de

los vuelos llegue tarde hoy?

Debido a que la probabilidad de que un vuelo llegue retrasado es de 0.20, se

tiene =0.20, hay cinco vuelos, por lo tanto n=5, y x es el nmero de xitos.

En este caso es un avin que se retrasa, pero como no hay vuelos retrasados

x=0. Aplicando la frmula:

3277.0)3277.0)(1)(1(

20.0120.0)0(

1)(

050

05

CP

CxPxnx

xn

La probabilidad de que exactamente uno de los cinco vuelos llegue retrasado

hoy, es:

4096.0)4096.0)(20.0)(5(

20.0120.0)1(

1)(

151

15

CP

CxPxnx

xn

Probabilidad y estadstica UVM En Lnea 10

La probabilidad para el nmero de vuelos retrasados se muestra en la siguien-

te tabla.

Nmero de vuelos retrasados

Probabilidad

0 0.3277

1 0.4096

2 0.2048

3 0.0512

4 0.0064

5 0.0003

Total 1.000

Tabla 6. Probabilidad del nmero de vuelos retrasados

La grfica de los valores de probabilidad obtenidos en la tabla anterior, se

muestran en la siguiente grfica.

Grfica 2. Grfica de la probabilidad de nmero de vuelos retrasados

0.328

0.410

0.205

0.051 0.006 0.000 0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

0.450

0 1 2 3 4 5

Probabilidad

Probabilidad y estadstica UVM En Lnea 11

Tablas de probabilidad binomial

Una distribucin de probabilidad binomial, puede expresarse mediante una

frmula, sin embargo en casos donde la n es mayor, los clculos son tediosos

y se puede consultar una tabla que nos indique las probabilidades de el nme-

ro de xitos para diferentes valores de n y , una pequea parte aparece a

continuacin.

Tabla 7.Tabla de la distribucin de probabilidad binomial para distintos valores de n y x

Ejemplo:

Cinco por ciento de los engranes producidos por una mquina, resultan defec-

tuosos cul es la probabilidad de que al seleccionar seis engranes, ninguno

sea defectuoso? Cul es la probabilidad de que haya exactamente dos?

Exactamente tres o cuatro?

Note que se satisfacen las condiciones:

Existe una probabilidad constante de xito

Hay un nmero fijo de ensayos

Los ensayos son independientes

Existen solo dos resultados posibles (defectuoso o aceptable)

Probabilidad y estadstica UVM En Lnea 12

Con la tabla mostrada anteriormente, determine la probabilidad de tener

exactamente 0 engranes defectuosos. Consultamos en la tabla para un va-

lor de n=6, =0.05 y x=0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, observamos que el valor co-

rrespondiente para x =0 es de 0.735; de la misma forma se obtienen los

valores para los dems nmeros de defectos.

Nmero de engranes

defectuosos x

Probabilidad de ocurrencia

P(x)

Nmero de engranes

defectuosos x

Probabilidad de ocurrencia

P(x)

0 0.735 4 0.000

1 0.232 5 0.000

2 0.031 6 0.000

3 0.002

Tabla 8. Tabla de probabilidad de nmero de engranes defectuosos

Tenemos un valor de n =6 y =0.05, que corresponde con los valores obte-

nidos y los que se observan en la tabla.

En la siguiente grfica podemos observar la representacin de la distribu-

cin de probabilidad binomial para un valor de = 0.10 y valor de n=7, 12,

20 y 40. Se puede observar que conforme aumenta el valor de n, la forma

de la distribucin binomial es cada vez ms simtrica.

Grfica 3. Distribucin binomial para distintos = 0.10 y n=7, 12, 20 y 40

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7

P(x

)

Nmero de xitos x

n=7 n=12 n=20 n=40

Probabilidad y estadstica UVM En Lnea 13

Distribucin de probabilidad hipergeomtrica

Cuando se utiliz la distribucin binomial, la probabilidad de xito permanece

igual de un ensayo a otro, pero cuando la muestra se realiza sin reposicin (o

sin reemplazo) y la muestra se obtiene de una poblacin relativamente peque-

a, la probabilidad de xito no permanece igual de un ensayo a otro y no se

debe utilizar la distribucin binomial, en su lugar la distribucin hipergeomtri-

ca debe ser utilizada. Esto es, si se selecciona una muestra de una poblacin

finita sin reposicin y si el tamao de la muestra es mayor que 5% del tamao

N de la poblacin, se utiliza la distribucin hipergeomtrica para determinar la

probabilidad de un nmero especfico de xitos o fracasos.

poblacin la de tamao:

poblacin laen xitos de cantidad:

poblacin la de tamao:

)(

x

S

N

C

CCxP

nN

xnSNxS

Ejemplo:

Una fbrica de juguetes tiene 50 empleados en el departamento de ensamble.

De estos, 40 pertenecen a un sindicato y 10 no. Se van a elegir cinco emplea-

dos aleatoriamente para que integren un comit que hablar con el gerente

acerca de la hora de inicio de los distintos turnos, cul es la probabilidad de

que cuatro de los cinco elegidos pertenezcan al sindicato?

Tenga presente que el muestreo se efecta sin remplazo, as que la probabili-

dad de elegir un obrero que pertenezca al sindicato, varia de un ensayo a otro,

por lo que la distribucin hipergeomtrica es la apropiada para este problema.

Los datos con los que contamos son:

N = 50, nmero de empleados

S= 40, nmero de empleados del sindicato

x=4, es el nmero de empleados del sindicato que fueron seleccionados

n=5, es el nmero de empleados elegidos

Probabilidad y estadstica UVM En Lnea 14

431.0

760,118,2

)10(390,91

5!

4647484950

!1

10

!4

37383940

45! 5!

45!4647484950

!9 !1

!910

!36 !4

!3637383940

45! 5!

50!

!9 !1

!10

!36 !4

!40

)(

nN

xnSNxS

C

CCxP

La probabilidad de elegir aleatoriamente 5 empleados de los 50 del departa-

mento de ensamble la probabilidad que 4 de ellos pertenezcan al sindicato es

de 0.431

Distribucin de probabilidad de Poisson

La distribucin de probabilidad de Poisson describe la cantidad de veces que

ocurre un evento en un intervalo determinado. La distribucin se basa en dos

supuestos: i) la probabilidad es proporcional a la extensin del intervalo, y ii)

los intervalos son independientes. Esto es, cuanto mayor sea la magnitud o

extensin del intervalo, mayor ser la probabilidad; y el nmero de ocurrencias

en un intervalo no afecta a los otros intervalos.

La distribucin de Poisson se describe mediante la siguiente frmula:

xde dadoun valor paracalcular a vase que adprobabilid :

(xitos) socurrencia de nmero el es :

2.71828 constante :

especfico intervaloun en (xitos) socurrencia de nmero del media:

!)(

P(x)

x

e

x

exP

x

Probabilidad y estadstica UVM En Lnea 15

Ejemplo:

Una aerolnea rara vez pierde el equipaje. En la mayor parte de los vuelos no

se observa un mal manejo de las maletas; algunos pasajeros reportan una ma-

leta perdida; unos cuantos tienen dos maletas extraviadas; rara vez se tienen

tres, y as sucesivamente. Supngase que una muestra aleatoria de 1000 via-

jes, se presentan 300 maletas perdidas. La media aritmtica del nmero de

equipajes por vuelo es de 0.3 () , que se obtiene de 300/1000. Si la cantidad

de maletas perdidas por viaje areo sigue una distribucin de Poisson con

=0.30, podemos calcular las diferentes probabilidades, por ejemplo, la proba-

bilidad de no perder ninguna maleta (x=0), y de perder una maleta (x=1), es-

tn dadas por:

2222.0!1

3.0)1(

7408.0!0

3.0

!)(

3.01

3.00

eP

e

x

exP

x

Es decir la probabilidad de perder no perder ninguna maleta e de 0.7408 y de

perder una maleta es de 0.222.

Probabilidad y estadstica UVM En Lnea 16

Ritchey, F. (2008). Estadstica para las Ciencias Sociales. Mxico: McGrawll

Hill.

Allen L. W. (2001). Estadstica aplicada a los negocios y la economa. Mxi-

co: Mc Graw Hill.

Referencias Bibliogrficas