Probabilidad y

Estadística

Conteo con reemplazamiento

Considerando ahora un experimento en que una bola, seleccionada de una caja con n bolas, se regresa a la misma caja. Si se hace un total de k selecciones de esta forma, el espacio muestral S contiene todos los vectores de la forma:

A este proceso se le llama muestreo con reemplazamiento.

Como existen n posibles resultados para cada una de las bolas/selecciones, el número total de vectores en S es

Conteo con reemplazamiento

Si en el experimento anterior quisieramos saber la probabilidad del evento A en que cada una de las k bolas seleccionadas sean distintas.

El número de vectores donde los k componentes son distintos está dado por

Como el tamaño del espacio muestral es , entonces la probabilidad del evento es

Métodos de conteo

Ejemplo:El problema del cumpleaños (versión simplificada)

Un planeta gira alrededor del sol en 3 días. ¿Cuál es la probabilidad de que Manolo y Juan cumplan años en diferente fecha (sin considerar el año) en ese planeta?Las posibilidades son:

Y la probabilidad de cada uno de estos resultados es:

Métodos de conteo

Problema del cumpleaños:

¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas de un grupo de k personas (2< k < 365) hayan nacido el mismo día (festejen su cumpleaños).

Supongamos que los nacimientos son independientes (gemelos son excluidos!). Entonces para cada una de las k personas hay 365 posibilidades. Por tanto, el espacio muestral es

Métodos de conteo

La probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos es

Así pues, la probabilidad de que al menos dos personas tengan el mismo día su cumpleaños es

Métodos de conteo

Combinaciones

Supongamos que tenemos un conjunto con n distintos elementos (distinguibles), de los cuales escogemos k elementos.

¿Cuál es el número de subconjuntos diferentes que se pueden formar con los n elementos?● En este problema el orden de los elementos es

irrevelante● No hay dos combinaciones que tengan los mismo

elementos

Métodos de conteo (combinaciones)

Cada subconjunto se trata como una unidad y a ésta se le llama combinación.

El número de combinaciones se denota por:

(n combinación k)

Ejemplo: un conjunto contiene los elementos a,b,c,d.

¿Cuál es el número de subconjuntos de 2 elementos que podemos formar?

Respuesta: {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}

Métodos de conteo (combinaciones)

Ejemplo: Se quiere seleccionar un comité de 8 personas de un grupo de 20. ¿Cuál es el número de comites que pueden formarse?

Respuesta: número de combinaciones de 8 elementos tomados de un grupo de 20.

Métodos de conteo (combinaciones)

Teorema del binomio

Métodos de conteo (combinaciones)

Ejemplo:

Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y queremos determinar

a) la probabilidad de obtener 3 caras exactamente

b) la probabilidad de obtener 3 caras, o menos

Métodos de conteo (combinaciones)

Ejemplo (usando regla de multiplicación):

En una clase hay 15 hombres y 30 mujeres. De estos 45 estudiantes, 10 serán seleccionados aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 hombres sean seleccionados?

Métodos de conteo (combinaciones)

Ejemplo (playing cards):

Un paquete de 52 cartas se distribuyen entre 4 jugadores, de modo que cada jugador recibe 13 cartas. Si el paquete contiene 4 aces, determinar la probabilidad de que cada jugador reciba un as.

Coeficientes multinomiales

Generalización de los coeficientes binomiales.

Veamos antes un ejemplo:

Supongamos que con 20 personas se forman 3 comités: A, B y C. Los comités A y B tendrán 8 miembros, mientras que C tendrá 4 miembros.

¿Cuál es el número de formas posibles en que las 20 personas pueden repartirse en cada uno (y sólo uno) de los comités?

Coeficiente multinomiales

Supongamos que tenemos n elementos distintos que serán repartidos en k grupos, de modo que para , el j-ésimo grupo contiene exactamente elementos, donde

Entonces, el número de formas distintas en que los n elementos pueden repartirse entre los k grupos puede obtenerse de la siguiente forma:

a) Los elementos del primer grupo pueden seleccionarse de los n elementos disponibles de formas.

Coeficientes multinomiales

b) Los elementos del segundo grupo pueden seleccionarse de los restantes elementos de formas distintas.

De aquí que el número total de formas distintas de seleccionar los dos primeros grupos es

c) Continuando con este procedimiento para el tercer grupo tenemos formas posibles de escoger elementos y un total de

formas para los 3 grupos

Coeficientes multinomiales

Por lo tanto, el número total de modos distintos de seleccionar/repartir n elementos en k grupos es

Al número se le llama

coeficiente multinomial

Coeficientes multinomiales

Ejemplo

En un paquete de cartas (52 cartas), 13 son corazones. Suponga que las cartas serán repartidas entre 4 jugadores A, B, C y D. De modo que cada jugador recibirá 13 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador A reciba 6 corazones, el jugador B, 4 corazones; C, 2 corazones y el jugador D, un corazón?

Combinaciones (con reemplazamiento)

Así como hemos visto en el caso de las permutaciones, ahora nos preguntamos por el número de combinaciones de k elementos seleccionados de n con reemplazamiento.

Antes veamos un ejemplo para ver que hay una relación uno a uno entre el número de combinaciones de tamaño k (de n objetos) con reemplazamiento y el número de combinaciones de muestras de tamaño k (de n+k-1 objetos), sin reemplazamiento.

Combinaciones (con reemplazamiento)

Consideremos 3 bolas con los números 1, 2 y 3:

es decir, n=3 y k=3

Combinaciones (con reemplazamiento)

1,1,1 -------- 1,2,31,1,2 -------- 1,2,41,1,3 -------- 1,2,51,2,2 -------- 1,3,41,2,3 -------- 1,3,51,3,3 -------- 1,4,52,2,2 -------- 2,3,42,2,3 -------- 2,3,52,3,3 -------- 2,4,53,3,3 -------- 3,4,5

Muestras con reemplazo | Muestras sin reemplazo k=3, n=3 k=3, n+k-1=5

Combinaciones (con reemplazamiento)

Es decir, el número de combinaciones con reemplazamiento de k objetos seleccionados de n está dado por

Enfoque físico

Supongamos que tenemos k partículas indistinguibles que queremos repartir en n niveles (cajas) distinguibles

¿De cuántas formas distintas se pueden repartir las partículas?

Estadística de Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein y Fermi

Un sistema contiene un número de partículas N. La estructura del sistema es tal que existen R niveles de energía, con energías y cada nivel de energía contiene (degeneración) estados cuánticos.

Encuentre el número de formas posibles en que las partículas se pueden repartir entre los estados cuánticos, tal que el i-ésimo nivel de energía contenga partículas, bajo las siguientes condiciones:

Estadística de Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein y Fermi

a) Las partículas son distinguibles y no hay restricción alguna en el número de partículas en cada estado.

b) Las partículas son indistinguibles y no hay restricciones en cuanto al número de partículas en cada estado.

c) Las partículas son indistinguibles con un máximo de una partícula en cada estado.

Estadística de Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein y Fermi

Estadística de Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein y Fermi

Olvidémonos por un momento de la degeneración en cada nivel.● Caso a: Si las partículas son distinguibles entonces

ya sabemos el resultado: recién hemos visto el número de formas distintas en que n objetos pueden repartirse en k grupos (en nuestro caso k=R). De aquí que

es el número de arreglos distintos que podemos hacer con las N partículas

Estadística de Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein y Fermi

● Caso b:

Ahora, si las N partículas son indistinguibles de cuántas formas distintas se pueden repartir éstas en los R niveles, con partículas en cada nivel :

De una sóla forma !

Estadística de Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein y Fermi

Ahora vamos a considerar la degeneración.

Llamemos al número de formas en que las partículas pueden distribuirse/acomodarse en el i-ésimo nivel de energía .

De esta forma el número de posibles formas distintas en que las N partículas pueden repartirse en los R niveles con partículas por nivel es:

Partículas distinguibles

Partículas indistinguibles

Estadística de Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein y Fermi

Nos resta tener una expresión para

Caso a:

Como no hay restricción en el número de partículas en cada estado, cada partícula en el i-ésimo nivel puede estar en cualquiera de los estados, i.e.,

Estadística de Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein y Fermi

Por lo tanto, para el caso a, tenemos finalmente que

Esta es la llamada estadística de Maxwell-Boltzmann que se utiliza en mecánica estadística clásica.

Estadística de Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein y Fermi

Caso b:

Ahora las partículas son indistinguibles y no hay restricción en el número de partículas en cada estado.

Por tanto:

Estadística de Bose-Einstein