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Probabilidade I
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de Bernoulli e Binomial 07/14 1 / 32
Distribuições DiscretasApresentaremos agora alguns dos modelos mais importantes para variáveis aleatóriasdiscretas.
Seguem, abaixo, alguns resultados que serão utilizados em algumas demonstrações.Seja a> 0 e b< 1.
1. (a+b)n =∑n
x=0 (nx)a
x bn−x e (a+b)n−1 =∑n−1
x=0 (n−1
x )ax bn−1−x ;
2. ex =∑∞
n=0xn
n! ;
3.∑∞
x=k ax = ak
1−a , k ≥ 0;
4.∑∞
x=1 xax = a(1−a)2 ;
5.∑∞
x=2 x(x −1)ax = 2a2
(1−a)3 ;
6. x(nx)= n(n−1
x−1);
7. (nr)=
nr (
n−1r−1);
8.∑r
x=0(m
x )(n−mr−x )
(nr )
= 1 e∑r−1
x=0(m−1
x )(n−1−m−1r−1−x )
(n−1r−1)
= 1
9.∑∞
x=0[(1−a)et ]x = 11−(1−a)et para t < ln
11−a
, pois (1−a)et < 1 para a série ser convergente.
10. 1(1−b)r =∑∞
x=0 bx .
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Distribuição Bernoulli
Distribuição de Bernoulli
Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados
Exemplo:
1. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
2. O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ounegativa.
3. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
4. No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;
1
5. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.
Estas situações tem alternativas dicotômicas e podem ser representadasgenericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso. Associaremos p, aprobabilidade de sucesso, ao evento que nos interessa e 1-p, será aprobabilidade de fracasso.
Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam umav.a. com distribuição de Bernoulli.
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Distribuição Bernoulli
Distribuição de Bernoulli
Uma V.A. (X) de Bernoulli é aquela que assume apenas dois valores 1se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), comprobabilidade de sucesso p, isto é,
Temos então que:
1, se ocorrer “sucesso”
X =
0, se ocorrer “fracasso”
1
A função de probabilidade de X é dada por:
p(x)=px (1-p)1-x , para x=0,1.
Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli comparâmetro p.
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Distribuição Bernoulli
Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos.
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Distribuição BernoulliEXEMPLO 1: Suponha que a probabilidade de óbito de um paciente, ao darentrada na terapia intensiva, seja de 25% (risco de morte). Seja X uma variávelbinária indicadora de óbito, se um paciente der entrada no CTI, obtenha adistribuição de probabilidade, a média e a variância.
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Distribuição BernoulliEXEMPLO 2: Seja X uma variável aleatória de Bernoulli com p = 0.6. Encontre afunção de distribuição acumulada de X .
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Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
Exemplo 2: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes eprobabilidade de cara seja p em cada lançamento. Determinar adistribuição de probabilidade da variável X, número de caras nos 3lançamentos.
Denotemos:
S: sucesso, ocorrer cara (k)
F:fracasso, ocorrer coroa(c)
1
P(sucesso)=p P(fracasso)=q=1-p
Ω=FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS
Xi é uma variável aleatória Bernoulli (i=1,2,3).
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Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
1
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Distribuição Binomial
===
===
===
===
)()3(
),,()2(
),,()1(
)()0(
SSSPXP
SSFSFSFSSPXP
SFFFSFFFSPXP
FFFPXP
Daí temos que:
A função de probabilidade da v.a. X é dada por:
1
)(
3210
xXP
x
=
O comportamento de X , pode ser representado pela seguinte função:
== )( xXP
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Distribuição Binomial
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Distribuição Binomial
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Distribuição Binomial
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Distribuição Binomial
Distribuição de uma v.a. Binomial
Considere a repetição de n ensaios idênticos de Bernoulli independentes.
Seja X o número total de sucessos obtidos.
Diremos que X segue o modelo Binomial com parâmetros n e p e sua função deprobabilidade é dada por:
,,1,0,)1()()(
nxppx
n
xXPxpxnx
=−
===
−
L
1
Binomial. ecoeficient o representa,)!(!
!
.,0
xnx
n
x
nonde
cc
−
=
Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial comparâmetros n e p.
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Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos.
E(X) =n∑
x=0
x
nx
px(1−p)n−x(iniciando soma em 1 e usando 6.)
=n∑
x=1
n
n−1x −1
px(1−p)n−x
= nn∑
x=1
n−1x −1
p.px−1(1−p)n−x−1+1
= npn∑
x=1
n−1x −1
px−1(1−p)(n−1)−(x−1)(fazendo y = x −1)
= npn−1∑
y=0
n−1y
py(1−p)n−1−y(usando 1.)
= np(p+1−p)n−1
= np
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Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos.
E(X 2) =n∑
x=1
x2
nx
px(1−p)n−x(usando o artificio x2 = x(x −1)+ x)
=n∑
x=1
[x(x −1)+ x]
nx
px(1−p)n−x
=n∑
x=1
x(x −1)
nx
px(1−p)n−x +n∑
x=0
x
nx
px(1−p)n−x
=n∑
x=1
(x −1)n
n−1x −1
px(1−p)n−x +E(X)
= nn∑
x=1
(n−1)
n−2x −2
p2px−2(1−p)n−x−2+2 +np
= n(n−1)p2n∑
x=1
n−2x −2
px−2(1−p)(n−2)−(x−2)+np
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Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos.
E(X 2) = n(n−1)p2n∑
x=2
n−2x −2
px−2(1−p)(n−2)−(x−2)+np (y = x −2)
= n(n−1)p2n−2∑
y=0
n−2y
py(1−p)(n−2)−y +np
= n(n−1)p2(p+1−p)n−2 +np
= n2p2−np2 +np
Var(X) = n2p2−np2 +np−n2p2
= np(1−p)
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Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos.
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Distribuição Binomial
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Distribuição Binomial
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Distribuição Binomial
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Distribuição Binomial
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Distribuição Binomial
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Distribuição Binomial
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Distribuição BinomialEXEMPLO 4: Discuta a validade do modelo binomial nos seguintes casos:
a) Dos alunos de uma grande universidade, sorteamos 5 e contamosquantos se declaram usuários de drogas.
b) Escolhemos 20 lâmpadas ao acaso na prateleira de umsupermercado, sendo 10 de uma fábrica e 10 de outra. Contamoso número total de defeituosas.
c) Quinze automóveis 0 km de uma mesma marca e tipo sãosubmetidos a um teste anti-poluição e contamos o número delesque passaram no teste.
d) Um motorista é submetido a um teste em que deve estacionar seuveículo num pequeno espaço (baliza). Em 10 tentativas, contamoso número de vezes em que o motorista estacionou corretamente.
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Distribuição BinomialEXEMPLO 5: Determinar a probabilidade de, ao lançar três vezes uma moedahonesta, aparecerem:
a) 3 caras.b) 2 caras e 1 coroa.c) 2 coroas e 1 cara.d) 3 coroas.
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Distribuição BinomialEXEMPLO 6: Em um determinado processo de fabricação, 10% das peças sãoconsideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5unidades cada uma.
a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas emuma caixa?
b) Qual a probabilidade de haver pelo menos duas peças defeituosasem uma caixa?
c) Se a empresa paga uma multa de R$10.00 por caixa em quehouver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multaem um total de 1000 caixas?
d) Considerando 10 caixas com 5 peças em cada, qual aprobabilidade de que seja necessário pagar multa para no máximouma caixa?
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Distribuição BinomialEXEMPLO 7: Um exame consta de 10 perguntas de igual dificuldade e mesmapontuação. Sendo 7 a nota de aprovação, qual a probabilidade de que sejaaprovado um aluno que sabe 40% da matéria?
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Distribuição BinomialEXEMPLO 8: Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada.Os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar serãoindenizados. A probabilidade de uma semente germinar é 0.98.
a) Qual a probabilidade de um pacote não ser indenizado?b) Se o produtor vende 1000 pacotes qual o número esperado de
pacotes indenizados?c) Quando o pacote é indenizado, o produtor tem um prejuízo de
R$1.20, e se o pacote não for indenizado, ele tem um lucro deR$2.50. Qual o lucro líquido esperado por pacote?
d) Calcule a mádia e a variância da variável número de sementesque não germinam por pacote.
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Distribuição BinomialEXEMPLO 9: Uma máquina apresenta 20% de defeitos na sua produção. Uminspetor de qualidade, ignorando a percentagem real de defeitos da máquina,retira ao acaso uma amostra de 8 peças da sua produção. Qual é a probabilidadede que ele venha a concluir, com base nessa amostra, que a proporção dedefeitos é superior a 20%? Tirando-se 6 amostras de 8 peças cada uma, qual é aprobabilidade de se terem 3 amostras com mais de um defeito?
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Distribuição BinomialEXEMPLO 10: Verifique que a atribuição de probabilidade nos modelos Bernoullie Binomial satisfazem às propriedades de função de probabilidade. EXEMPLO
11: Se X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p, qual a distribuição deY = n−X?
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Uso da Tabela da Binomial
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