Probabilistisk sårbarhedsanalyse

Thomas Mejer Hansen

Invers Modellering og Geostatistik Projektet

http://imgp.gfy.ku.dk

.... bidrag fra ...

Data og problemstilling

Rambøll A/S,

Lars Lønstrup Nicolaisen

Lars Møller Marcussen

Integrering af geofysiske data

Klaus Mosegaard

Albert Tarantola

Andre Journel

IMGP

Invers Modellering og Geostatistik ProjektetMål : Sammenkoble invers teori og geostatistik.

http://imgp.gfy.ku.dk/

kombination af information A

data/information data behandling model

log

geof

ysik

expe

rt v

iden Samlet

model

TEM

PACEStomografi

geostatistik

kombination af information B

data/information data behandlingprobabilistisk analyse

probabilistisk model

log

geof

ysik

expe

rt v

iden

realisationer

Sek

vent

iel s

ampl

ing

kombination af information B

data/information data behandlingprobabilistisk analyse

probabilistisk model

log

geof

ysik

expe

rt v

iden

realisationer

Sek

vent

iel s

ampl

ing

kvantificering af information

Alt information beskrives ved hjælp af sandsynligheds fordelinger !!

kvantificering af information

Prob ( A | Brønddata og Geologiske kort)

Prob ( A | Brønddata og rumlig model)

Prob ( A | Geofysik )

Prob ( A | Brøndata, GeoKort, GeoFysik )

Læg kun den information ind I modellen du er sikker på !

eksempel fra Suså

2 problemstillinger– Udbredelsen af

sandlag 2– Lokalisering af

sandvinduer

Suså data – Brønd data

● 700 boringer med oplysninger om

● ler/sand indhold, ● antal sandlag, ● tilstedeværelsen af 3

identificerede sandlag● Samlet mængde ler

og sand

Suså data – Geologisk informationdiskrete kort

Suså data – Geologisk informationkontinuerte kort

Suså data – Geologisk informationdiskretiserede kontinuerte kort (3 zoner)

probabilistisk model for udbredelsen af sandlag 2

udbredelsen af sandlag 2

hvor kan man forvente at finde sandlag 2 ?

er der forbindelse mellem sandlag 2 observeret i boring A og B ?

Boring A

Boring B

hvor kan man forvente at finde sandlag 2 ?

er der forbindelse mellem sandlag 2 observeret i boring A og B ?

udbredelsen af sandlag 2

eksistensen af sandlag 2

● Statistik fra geologiske kort + brønddata– Prob(S2)– Prob(S2 | kort1), Prob(S2 | kort2 ) ...– Prob(S2 | kort1, kort2, ... )

● Rumlig sammenhæng (geostatistik)– Kriging/simulering ud fra brønddata)

● Probkrig ( S2 | Brønd)

– Kriging/simulering ud fra brønddata og geokort● Probkrig ( S2 | Brønd, GeoKort)

sandsynligheden for S2

dvs. som en grov 1. approximation er sandsynligheden 18% for at

sandlag 2 er tilstede

0.1822

754

17811 ==

N

=S2N==S2Prob

Suså – S2 – 1D betingede Probs

Suså – S2 – 1D betingede Probs

Suså – S2 – Prob Kort (3 zoner)

Suså – S2 – Prob Kort (5 zoner)

ND SSF fra 1D marginaler

● Begrænset antal målinger – typisk ikke nok til at danne en d-dimensionel statistisk model

● 1D marginal fordelinger kan meget ofter bestemmes

● Vi arbejder med to metode til at kombinere 1D marginaler til een konsistent ND dimensionel SSF :

– Tau model (Journel, 2003)– Marginal tomography (Mosegaard og Hansen)

kvantificering af information

uafhængige observationer

P(A|B,C)=P(A|B)*P(A|C)/P(A) (Bayes formel)

afhængige

P(A|B,C)=F( P(A) , P(A|B) , P(A|C) , tau ) (Tau model; Journel 2003)

P(A|B,C)=F( P(A) , P(A|B) , P(A|C) ) (Mosegaard og Hansen)

betingede sandsynlighed ud fra geologiske kort - opsummering

● Man kan opstille en (grov) model for sammenhængen mellem geologiske parametre og en egenskab i undergrunden.

● Hvis der er mange data, kan man direkte opstille ret detaljerede modeller.

● Hvis der er få data, må man kombinere 1D marginaler til en samlet ND SSF

A : geostatistisk model for udbredelsen af sandlag 2

B : som A med brug af modellen opstillet med geologiske kort

● Kriging : – Kriging er en teknik til at I et punkt at bestemme en

betinget sandsynligheds fordeling (typisk normalfordelt)

● Prob[x,y,z](A | observationer )– Man skal bruge en model for

● Middelværdi, varians og kovarians

● Sekventiel Simulering– Er en teknik der generer 3D realisationer af …

● VI vil se på to modeller for udbredelsen– Baseret på konstant middelvædi (forventning er den

samme I hele området)– Baseret på den middelværdi/forventning vi fastslog

ved brug af geologiske kort

S2 : Kriging tilgang – forventning/middelværdi

Prob(S2|brønddata)=0.18

Prob(S2|Brønd,Geo)

s2 – semivariogram analyse

Sph

Exp

s2 – kriging middel

Kriging konstant middel Kriging varierende

s2 - kriging varians

Kriging konstant middel Kriging varierende

s2 – kriging middel en loesning

En kriget middel flade er IKKE en ‘loesning’, men middelvaerdien af alle loesninger !

Men, kriging middel + varians beskriver tilsammen den lokale usikkerhed/sandsynligheds fordeling

s2 – forbindelse ?

sandsynligheden for at s2 er tilstede kan nu bestemmes i hvert punkt.

men, hvad med sandsynligheden for at s2 er forbindet mellem boring A og B ?

A B

sekventiel simulering

s2 – realisationer (med geokort)

Kriging med kendt middel simulering

Sandsynligheden for at Sandlag 2 er forbundet mellem punkt A og B

Prob (S2,A<->B| brønd,geokort) =

23/100 = 0.23 !

probabilistisk model for udbredelsen sandvindue

Lokalisering af sandvinduer

● 0-10 meter ler – ringe beskyttelse

sand-vindue

● 10-60 meter ler – rimelig beskyttelse

● 60-> – meget god

beskyttelse

Sand

vindue God

beskytt

else

Sandsynligheden for SandVindue

dvs en sandsynlighed på 22% for at der er et sandvindue et tilstede.

0.22

585

12711 ==

N

=SN==SProb vindue

vindue

1D conditionals

prob model for udbredelsen af sand vindue ud fra geologiske kort

semivariogram – sand vindue

sandvindue : krigingkriging middel

uden geokort med geokort

sandvindue : krigingområder med Prob(Svindue)<0.1

uden geokort med geokort

Inkludering af geofysiske data i geostatistisk simulering

Seismisk tomografi – reference model

●Gaussian distribution of velocity field :

●Vmean = 5 km/s

●σ = 0.1km/s

●(isotrop) kovariance model :

●0.1 Sph (0.4)

Seismisk tomografi – 2 datasæt

Type A data (point data)

log data

Type B data. (volume gennemsnits data)

Tomografi data

Seismisk tomografi - typiske resultater

Geostatistisk tilgangSekventiel Gaissisk Simulering betinget på brønddata

Lineær invers teoriLeast squares løsning til et lineært inverst problem betinget paa straaledata og brønddata.

mest CM,est

Seismisk tomografi

Ref model + data •SGSIM (samples)

Seismisk tomografi : 4 stråler

samplesRef model + data

Seismisk tomografi : 25 stråler

samplesRef model + data

Seismisk tomografi : 64 stråler

samplesRef model + data

Seismisk tomografi Etype – LSQ middel

Ety

pe

Poin

twis

e m

ean

Least

square

sm

ean

Simple Kriging !

0 Rays 4 Rays 25 Rays 64 Rays

Seismisk tomografi Statistik af realisationerne

•Covariance

•Semivariance

Velocity field

distribution

Data reproduction

Korrekt a-priori 2-punkt statistik

kriging/simulering med geofysiske data

● Ved at bruge sekventiel sampling kan man generere en række realisationer fra a posteriori fordelingen af et lineært inverst problem !!

● DVS modeller med en ‘rigtig’ rumlig fordeling.

● Den sekventielle fremgangsmaade goer at en man loeser mange smaa lineaere systemer, istedet for eet stort.

● Derfor er det mulight at loese meget store problemer, og have mange forskellige slags data

● Man kan ‘noejes’ med kun at generere samples I en del af modellen !

● En serie af realisationer er ideel som basis for en saarbarheds analyse. (evt sammen ved SSV)

Geofysiske data + Geostatistik

kortlægning vest for Århus

Kan sekventiel sampling anvendes her ?

En serie af realisationer af 3D resistiviteter grundvands model/sårbarheds analyse

Forslag til 3D simulering betinget på brøndata og geofysik

● Enhver TEM, PATEM, SkyTEM, ..... måling kan ses som et en vægtet middelværdi et et område/volumen (apparent resistivitet) !

Møller et. al. (XX)

Forslag til 3D simulering betinget på brøndata og geofysik

● linearisering – beregne 3D

følsomhedskerner ud fra allerede inverterede data.

● Benytte disse følsomheds kerner som midlingskerner

● mangler– effektiv metode til at

beregne følsomheds kerner

Møller et. al. (XX)

Fordel ved brug af simulering til løsning af inverse problemer

+ Inversion af flere geofysiske data på én gang

+ Modeller med den rigtige rumlige fordeling generes ('ikke bløde' modeller)

+ flow modellering på realistiske sand/ler fordelinger+ Selv MEGET store data sæt kan behandles

+ Geologiske constraints kan inkluderes (viden om bestemte features som f.eks laggrænser), geologisk expert viden,…

Opsummering

● Observationer beskrevet ved betingede sandsynligheds fordelinger kan samles i én konsistent sandsynligheds model

● Alle observationer er beskrevet some en sandsynligheds fordeling

● Fornemmelser/expert viden kan inkluderes.

● Realistiske modeller for et grundvands reservoir kan opstiller

● Sårbarhedkort vil kunne genereres der er konsistent med logs, geologi OG geofysik !!

... tak for opmærksomheden...

og husk http://imgp.gfy.ku.dk/