probabilitas

Statistik dan Probabilitas 21012

PELUANG ( PROBABILISTAS )

PENDAHULUAN

Probabilitas atau dalam bahasa Indonesia sering di artikan kemungkinan adalah

konsep dasar yang biasanya dipelajari pada awal-awal perkualiahan statistic. Probabilitas

adalah peluang terjadinya sebuah peristiwa. Probabilitas dinyatakan dalam pecahan seperti

1/2, 1/3, ¼ ataupun dalam bentuk decimal seperti 0,25, 0,50 ataupun 0,75. Rentangan

probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa

adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan bahwa

probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti terjadi.

Penjelasan konsep probabilitas yang sering digunakan dalam menjelaskan

probabilitas adalah pelemparan mata uang. Jika kita melempar mata uang, maka

kemungkinan sisi depan untuk muncul sama dengan kemungkinan munculnya sisi belakang.

Dengan demikian, probabilitas munculnya sisi depan adalah 1/2 atau 0,5 dan demikian pula

dengan sisi belakang. Akan tetapi jika kita mengambil satu kartu dari satu set kartu bridge

yang berjumlah 52, maka kemungkinan terambilnya satu kartu adalah 1/52.

Dua hal yang harus dipahami dalam konsep probabilitas adalah mutually exclusive

dan collectively exhaustive. Mutually exclusive adalah peristiwa yang terjadi terpisah satu

sama lain. ketika kita melempar uang logam, maka hanya ada satu sisi yang memiliki

kemungkinan untuk muncul. Karena itulah kemungkinan munculnya sisi belakang atau sisi

depan disebut mutually exclusive. Akan tetapi jika ada lebih dari satu kemungkinan untuk

munculnya sebuah peristiwa maka hal itu disebut collectively exhaustic.

RUANG SAMPEL

Pada suatu percobaan melantunkan sebuah dadu enam sisi dan diamati angka yang

muncul di muka sebelah atas maka kemungkinan munculnya angka adalah 1,2,3,4,5 dan 6.

Sedangkan pada percobaan melantunkan sebuah mata uang dan diamati sisi yang menghadap

ke atas, maka kemungkinan munculnya adalah A(angka) dan G(gambar).

Statistik dan ProbabilitasSyukri Nazar Drs,M.Kom

Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana

‘121


Definisi 2. Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan lambang S.

Tiap hasil dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel tersebut,

atau dengan singkat disebut titik sampel. Pada contoh pertama diatas maka ruang sampelnya

adalah S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan pada contoh 2 ruang sampenya adalah S = A, G .Bila

ruang sampel mempunyai unsur yang hingga banyaknya, maka anggotanya dapat didaftar /

ditulis dengan menuliskannya diantara 2 akolade, masing-masing unsur dipisah oleh koma.

.Bila ruang sampel anggota tak hingga banyaknya lebih mudah ditulis dengan suatu

pernyataan atau aturan.

Misal : S = x x adalah penduduk Indonesia orang berumur lebih dari 60 tahun

DIFINISI PROBABILITAS

Andaikan kejadian E dapat terjadi dalam h cara dari seluruh n cara yang mungkin,

dan cara ini berkemungkinan sama maka peluang terjadinya peristiwa tersebut

(kesuksesannya) menyatakan oleh : P { E }=h

n

Probabilitas (Peluang) tidak terjadinya ini (yang disebut juga kegagalannya) dinyatakan oleh :

Q=P {Bukan/ tidakE }=n−hn=1−h

n=1−P=1−P {E }

Kejadian “tidak E ” kadangkala dinyatakan E¿̂ atau E

−

¿

Jadi P+Q=1 atau P {E }+P {E− }=1Contoh :

Jika E adalah kejadian bahwa angka 3 dan 4 muncul pada satu kali pelemparan sebuah dadu.

Dadu dapat dijatuh dengan enam cara, yang menghasilkan angka 1,2,3,4,5 atau 6. dan jika

dadu seimbang kita dapat menganggap ke enam cara ini berkemungkinan sama. Karena E

dapat terjadi dalam dua cara ini, kita punya. P=P {E }=2

6=1

3

Probabilitas tidak mendapatkan 3 atau 4 (yaitu untuk mendapatkan suatu 1,2,5 atau 6) adalah

Q=P {E }=1−13=2

3



‘122


Perhatikan bahwa probabilitas suatu kejadian adalah suatu angka antara 0 dan 1. Jika kejadian

itu dapat terjadi probabilitasnya adalah 0. Jika kejadian itu pasti terjadi probabiltasnya adalah

1.

Ruang sample (lambang S) adalah gugus semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan

statistika.

Contoh :

Misalkan 3 buah lampu pijar dipilih secara acak dari 10 hasil produksi, tiap lampu diperiksa

dan digolongkan menurut keadaan cacat atau tidak cacat maka ruang sampel yang mungkin

adalah :

S = {CCC, CCB, CBC, BCC, CBB, BCB, BBC, BBB}

B= Baik/tidak cacat

C = Cacat

K E J A D I A N

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.Pada contoh pelemparan dadu

munculnya angka 1 adalah bagian dari S={0,1,3,4,5,6}. Misalkan A= {t | t≤S } himpunan

bagian ruang sample S= {t | t≥0 } t menyatakan unsure (dalam tahun) suatu komponen mesin

tertentu dan A menyatakan kejadian bahwa komponen akan rusak sebelum akhir tahun

kelima. Contoh diatas menunjukkan bahwa setiap himpunan bagian dapat menyatakan suatu

kejadian yang unsurnya adalah himpunan bagian tersebut. Hubungan antara kejadian dan

ruang sampel dapat pula digambarkan dalam bentuk diagram Venn.

Contoh :

Kejadian yang menyatakan mahasiswa yang mengambil kuliah Jaringan dan Perancangan

diberikan dalam diagram berikut.



‘123


Daerah irisan pada gambar disamping menyatakan kejadian bahwa

seorang mahasiswa mengambil kuliah jaringan dan perancangan,

sedang yang tidak diarsir menyatakan kejadian bahwa mahasiswa

mempelajari matakuliah lain yang bukan jaringan dan perancangan.

Operasi Pada Kejadian

Irisan (¿ )

Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambing A ¿ B ialah kejadian yang unsurnya

termasuk dalam A dan B

contoh :

Misalkan sebuah dadu dilantunkan, misalkan A menyatakan kejadian bahwa pada genap

muncul disebelah atas dan B kejadian bahwa bilangan ganjil yang muncul disebelah atas.

Kejadian A = {2,4,6} dan B = {1,3,5} → jadi A ¿ B = Ø

Gabungan ( ¿ )

A ¿ B ialah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A atau B atau keduanya

contoh :

A = {2,3,5,8} dan B = {3,6,8} maka

A ¿ B = {2,3,5,6,8}

Komplemen

Komplemen suatu kejadian A terhadap S ialah himpunan semua unsur S yang tidak

termasuk A . komponen A dinyatakan dengan lambing AI. Unsur A’ dapat ditentukan

dengan aturan

A ' { X |X∈S dan X∉ A } . Dalam diagram Venn unsur kejadian A’ dihitomi

Contoh :

Ruang sampel S = {buku, rokok, cangkul, montir, temperature, es}

Misalkan A = {rokok, montir, temperatur} maka AI = {buku, cangkul, es}Statistik dan ProbabilitasSyukri Nazar Drs,M.Kom


‘124


Hasil berikut mudah diturunkan dari definisi diatas dan dapat diperiksa dengan mudah

dengan bantuan Diagram Vann

1. A ¿ Ø = Ø

2. A ¿ Ø = A

3. A ¿ AI = Ø

4. A ¿ AI = S

5. SI = Ø

6. ØI = S

7. (AI)I = A

DIAGRAM VANN

● Hubungan antara kejadian dan ruang sampel padanannya dapat digambarkan dengan diagram

Venn.

Contoh Kejadian yang menyatakan mahasiswa yang mengambil kuliah matematika dan yang

mengambil kuliah fisika diarsir berlainan.

MENGHITUNG TITIK SAMPEL

Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan bila untuk tiap cara ini operasi kedua

dapat dikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasi ini dapat dikerjakan bersama-sama

dengan n1 .n2 cara.

contoh :

Berapa banyak titik sampel dalam ruang sampel bila sepasang dadu dilantunkan sekali.

Jawab :

Dadu pertama dapat menghentikan salah satu dari 6 kemungkinan, untuk tiap posisi tersebut

dadu kedua dapat menghasilkan 6 kemungkinan. Jadi, pasangan dadu itu dapat menghasilkan

(6)(6) = 36 kemungkinan



‘125


Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi

kedua dapat dikerjakan denagn n2 cara, dan bila untuk setiap kedua cara operasi tersebut

operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara, dan seterusnya maka, deretan k operasi dapat

dikerjakan dengan n1 , n2 , …………….nk cara.

contoh :

Berapa macam hidangan dapat disajikan bila masing-masing hidangan dapat terdiri atas Sop,

Nasi Goreng, Bakmi dan Soto, bila tersedia 4 macam Sop, 3 macam Nasi Goreng, 5 macam

Bakmi dan 4 macam Soto.

Jawab :

Jumlah hidangan semuanya (4) (3) (5) (4) = 240

contoh :

Berapa banyak bilangan genap yang terdiri atas tiga angka dapat dibuat dari angka 1, 2, 5, 6

dan 9. bila tiap angka itu hanya boleh digunakan sekali.

Jawab :

Karena bilangan yang hendak dibentuk ialah bilangan genap (jadi harus berakhir dengan 2

atau 6. contoh: 916, 652 dsb), maka ada 2 pilihan untuk tempat satuan (angka terakhir).

Untuk tiap tempat puluhan terdapat 4 pilihan dan kemudian 3 pilihan untuk tempat ratusan.

Jadi semuanya ada sebanyak (2) (4) (3) = 24 bilangan bulat.

P E R M U T A S I

Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil

sebagian atau seluruhnya.

Banyak permutasi n benda yang berlainan adalah n !

contoh :

Banyak permutasi 4 hurup a, b, c, dan d. adalah :

4! = 4.3.2 = 24

Banyaknya permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus adalah :

n Pr=

n !(n−r ) !



‘126


Contoh :

Dari 20 kandidat, 2 orang diambil untuk menjadi ketua dan wakil ketua.

Hitunglah banyak titik sampel dalam ruang S

Banyak seluruh titik sampel

20 P2=20 !18 !

= (20 ) (19 )= 380

K O M B I N A S I

Kombinasi adalah banyaknya cara memilih r benda dari sejumlah n tanpa memperdulikan

urutannya.

Jumlah kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r adalah :

(n ¿ ) ¿¿

¿¿

Contoh :

Bila ada 4 kimiawan dan 3 fisikawan

Carilah banyaknya panitia 3 orang yang dapat dibuat, yang beranggotakan 2 kimiawan dan 1

fisikawan

Jawab :

Banyaknya cara memilih 2 kimiawan dari 4 adalah :

(4 ¿ ) ¿¿

¿¿

Banyaknya cara memilih seorang fisikawan adalah :

(3 ¿ ) ¿¿

¿¿

Banyaknya panitia yang dapat dibentuk yang beranggotakan 2 kimiawan dan 1 fisikawan.

(6 ) (3 )=18

PELUANG SUATU KEJADIAN



‘127


Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A. jadi :

O≤P ( A )≤1 , P (φ )=O dan P ( S )=1

Contoh :

Sebuah mata uang yang dilantunkan 2 kali. Berapa peluangnya bahwa paling sedikit muncul

sekamli muka .

Jawab :

Ruang sampel percobaan ini adalah S= { MM ,MB , BM , BB } bila mata uang tersebut

setangkup, maka tiap hasil mempunyai kemungkinan muncul yang sama. Karena itu tiap titik

diberi bobot b , sehingga 4 b=1 atau b= 1

4

Bila A menyatakan kejadian bahwa paling sedikit satu muka muncul maka P ( A )=3

4

Contoh :

Suatu dadu diberati sedemikian rupa sehingga kemungkinan muncul suatu bilangan bulat dua

kali lebih besar dari pada kemungkinan muncul suatu bilangan ganjil. Bila k menyatakan

kejadian munculnya suatu bilangan yang lebih kecil dari 4 dalam suatu lantunan. Hitunglah

P (k ).

Jawab :

Ruang sampel, misalkanlah bobot tiap bilangan ganjil b maka bobot tiap bilangan bulat

adalah 2 b . karena jumlah semua bobot 1 maka 3 b atau 9 b atau b . Jadi tiap bilangan ganjil

berbobot

19 sedangkan tiap bilangan genap berbobot

29 .

Jadi : P (k )=1

9+ 2

9+ 1

9=4

9

BEBERAPA HUKUM PELUANG (PROBABILITAS)

1. Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka : P ( A∪B )=P ( A )+P ( B )−P ( A∩B )

2. Bila A dan B dua kejadian yang terpisah, maka : P ( A∪B )=P ( A )+P ( B )



‘128


contoh :

Peluang seorang mahasiswa lulus matematika

23 dan peluangnya lulus biologi

49

. Bila

peluangnya lulus paling sedikit 1 matakuliah

45 .

Berapakah peluangnya lulus dalam matakuliah kedua-duanya ?

Bila M menyatakan kejadian lulus matematika dan B kejadian lulus biologi maka :

P ( M∩B )=P ( M )+ P ( B )−P ( M∪B ) =2

3+ 4

9−4

5=14

45

contoh :

Berapa peluangnya mendapatkan nilai 7 atau 11 bila 2 dadu dilemparkan.

muncul dalam 6 dari 36 titik sampel dan jumlah 11 dalam 2 titik sampel. Karena semua titik

sampel berkemungkinan sama, maka :

P ( A )= 636

=16

dan P ( B ) 236

= 118

Kejadian A dan B saling terpisah karena jumlah 7 dan 11 tak dapat terjadi pada lemparan

yang sama sehingga :

P ( A∪B )=P ( A )+P ( B )=16+ 1

18=2

9

PELUANG BERSYARAT

Peluang terjadi suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut

peluang bersyarat dan dinyatakan dengan P (B / A ).

Peluang bersyarat

B dengan diketahui A , dinyatakan dengan P (B / A ) ditentukan oleh :

P (B / A )= P ( A∩B )P ( A )

bila P ( A )>0

contoh :



‘129


Misalkan ruang sampel S menyatakan orang dewasa yang telah tamat SMA disuatu kota

kecil. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan, sebagai berikut :

Bekerja Tidak bekerjaLelaki 460 40Wanita 140 260

Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata dan seorang akan dipilih secara acak untuk

mempropagandakan nya keseluruh negeri. Kita ingin meneliti kejadian berikut :

M = lelaki yang terpilih

E = orang yang terpilih dalam status bekerja

Dengan menggunakan ruang sampel E yang diperkecil diperoleh :

P ( M /E )=460600

=2330

Misalkan n ( A ) menyatakan jumlah unsur dalam suatu himpunan A dapat ditulis :

P ( M /E )=n ( E∩M )n ( E )

=n ( E∩M )/n (S )

n ( E )/n ( S )=

P ( E∩M )P ( E )

P ( E∩M ) dan P (E ) diperoleh dari ruang sampel, semula S .

Untuk memeriksa hasil ini, perhatikan bahwa :

P ( E )=600

900=2

3

P ( E∩M )=460

900=23

45

Jadi :

P ( M /E )=

2345

23

=2330

Bila kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan, maka :

P ( A∩B )=P ( A ) P ( B/ A )

Bila dalam suatu percobaan kejadian A1 , A2, A3, .. . .. dapat terjadi, maka :



‘1210


P ( A1 ,∩A2 ,∩A3∩. .. . . )=P ( A1) P ( A2 / A1) P ( A3/ A1∩A2 ) .. . ..

Kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika : P ( A∩B )=P ( A ) P ( B )

contoh :

2 dadu dilantunkan 2 kali. Berapa peluangnya mendapatkan jumlah 7 dan 11 dalam 2 kali

lantunan ?

Misalkan A1 , A2 ,B1 dan B2 masing-masing menyatakan kejadian bebas, bahwa jumlah 7

muncul dalam lantunan pertama, 7 muncul dalam lantunan ke kedua, 11 muncul pada

lantunan pertama, 11 muncul dalam lantunan ke dua. Yang ingin dicari ialah peluang

gabungan kejadian A1∩B2 dan B1∩A2 yang saling terpisah, jadi :

P [ ( A1∩B2 )∪(B1∩A2)]=P ( A1∩B2 )+P (B1∩A2)

=P ( A1) P (B2)+P (B1 ) P ( A2)

=( 16 ) ( 1

18 )+(1 18) ( 16 ) = 1

54

ATURAN BAYES

Dari contoh soal peluang bersyarat, dimisalkan tersedia keterangan tambahan bahwa 36 dari

status bekerja dan 12 dari yang menganggur adalah anggota koperasi.

Berapakah peluang orang yang terpilih dalam status bekerja bila, diketahui bahwa orang

tersebut anggota koperasi.

Misalkanlah A kejadian bahwa orang yang terpilih anggota koperasi,

Peluang bersyarat yang ditanya adalah

P ( E/ A )=P ( E∩A )P ( A )

A dapat ditulis sebagai gabungan dua kejadian yang terpisah E∩A dan E

I∩A . Jadi

A=( E∩A )∪( E I∩A )

P ( A )=P ( E∩A )+P ( E I∩A )

P ( E/ A )= P ( E∩A )P ( E∩A )+P ( E I∩A )



‘1211


P ( E∩A )=36900

= 125 +

P ( E I∩A )=12900

= 175

P ( E/ A )=

125

125

+175

=34

Soal

1. Berapa banyak ruang sampel dihasilkan bila 3 dadu dilantunkan sekaligus dan berikan

contoh beberapa kombinasi dadu yang akan muncul.

2. Berapa macam hidangan dapat disajikan bila masing-masing hidangan dapat terdiri

atas sop kambing, nasi putih, lontong, sate kambing, bila tersedia 4 macam sop, 3

macam nasi putih, 3 macam sate kambing. dan 2 macam lontong.

3. Bila ada 25 relawan dan 6 orang dokter. Tentukan banyaknya team relawan yang

dapat dibentuk jika tiap team terdiri dari 4 orang relawan dan 1 orang dokter.

4. Jika dua dadu dilantunkan 2 kali. Berapa peluangnya mendapatkan jumlah 5 dan 8

dalam 2 kali lantunan ?



‘1212

probabilitas

Documents