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Probabilités et BiostatistiqueProbabilités et Biostatistique

2 – Variables aléatoiresP incipales lois de p obabilitéPrincipales lois de probabilité

PAES Faculté de Médecine P. et M. CurieV M iV. Morice

Variable aléatoireUne variable aléatoire désigne la grandeur mesurée lors d'une expérience aléatoiremesurée lors d une expérience aléatoire

Exemples : âge, couleur des yeuxRésultats possibles de l'expérience ⇒ valeurs

ibl d l bl lépossibles de la variable aléatoireTypes de variables aléatoires

Si résultats numériques (variable quantitative)Si résultats numériques (variable quantitative)V.a. continue : les valeurs couvrent ou un intervalleV.a. discrète : les valeurs sont discontinues ( )

Sinon (variable qualitative)Sinon (variable qualitative)V.a. ordinale : les valeurs sont ordonnéesV.a. nominale ou catégorielle : valeurs sans ordre

V. Morice - Biostatistique PAES 2

Fonction de répartitionSoit X une v.a. quantitativeOn cherche une fonction définissant la probabilité de tout intervalle [a ; b]p [ ; ]Soit l’événement [X ≤ x] où x est un nombrenombrePr ([X ≤ x]) dépend de la valeur xF ( ) F( ) P ([X ])FX(x) = F(x) = Pr ([X ≤ x]) = fonction de répartition de X


Fonction de répartition :Fonction de répartition : premières propriétés

FX(-∞) = 0( )FX(+∞) = 1

a < b ⇒P ([X ≤ b]) P ([X ≤ ]) + P ([ < X ≤ b])Pr ([X ≤ b]) = Pr ([X ≤ a]) + Pr ([a < X ≤ b])car [X ≤ a] et [a < X ≤ b] = événements exclusifs

F (b) = F (a) + Pr ([a < X ≤ b])FX(b) = FX(a) + Pr ([a < X ≤ b])FX est monotone croissanteOn trace la courbe en cumulant les probabilités rencontrées l tlorsque x augmente

Pr ([a < X ≤ b]) = FX(b) - FX(a)


Fonction de répartition :Fonction de répartition : exemple d’une v.a. discrète

Jet d’une pièce : E = {p, f} ; Pr (p) = Pr (f) = ½V.a. X : X(f) = 0 ; X(p) = 1Fonction de répartition


Fonction de répartition :Fonction de répartition : exemple d’une v.a. continue

Appel téléphonique dans l’intervalle [0,T]t =instant d’appel : Pr (t1 ≤ t ≤ t2)=(t2-t1)/T (t1 et t2 ∈ [0 T])t =instant d appel : Pr (t1 ≤ t ≤ t2)=(t2 t1)/T (t1 et t2 ∈ [0,T])Fonction de répartition

Si x<0, l’appel n’a pas eu lieu avant x : F(x) = 0( )

Si x >T, l’appel a eu lieu avant x : F(x) = 1

Sinon F(x)=Pr (0≤ t≤ x)= x/T


Fonction de répartition :Fonction de répartition : autres propriétés

On sait Pr ([x - < X ≤ x]) = FX(x) - FX(x -)Si Pr ([ < X ≤ ]) Pr ([X ])Si x - → x, Pr ([x - < X ≤ x]) → Pr ([X = x]) Si X est une v.a. continue

F est continue (si - → F ( -) → F ( ))FX est continue (si x - → x, FX(x -) → FX(x))Pour tout x, Pr ([X = x]) = 0Pr ([a ≤ X ≤ b]) = Pr ([a < X < b]) ([ ]) ([ ])

Si X est une v.a. discrèteFX est discontinueX

En chaque point x de discontinuité, la hauteur du saut(FX(x) - FX(x -) lorsque x - → x) est la probabilité de x


v.a. discrète : distribution desv.a. discrète : distribution des probabilités


v.a. continue : densité dev.a. continue : densité de probabilité

xxxx X

X d)(dF )f( )(f ==

Densité de probabilité

F ti d é titiFonction de répartition∫ ∞−= x

XX ttx )d(f )(FPr ([a ≤ X ≤ b])

f( )≥0 (F croissante)

([ ])= FX(b) – FX(a)

∫= ba )d(f xxX

f(x)≥0 (F croissante)f(x)dx=Pr ([x≤X≤x+dx])f(x)dx≈ Pr ([X=x])( ) ([ ])

1 )df(- =∫∞∞ xx


Pour définir une v.a. …

v.a. discrète v.a. continuev.a. discrète ou qualitative

v.a. continue

Définition de la Tableau des Densité de proba f(x)Définition de la loi de proba

Tableau despi=Pr (X=xi)

Densité de proba f(x)

Propriétés p ≥ 0 f(x) ≥ 0∫ ==≤≤ba

F(a)-F(b))df(b])([a xxXPr

Propriétés pi ≥ 0

Uniquement si

f(x) ≥ 0∑= =n

i ip1 1 1 )df( =∫∞∞− xx

∫x tt)df()F(Uniquement si

quantitative : f(x)dx = Pr (x≤X≤x+dx)f( )d Pr (X )∑= px)F(

∫ ∞−= x ttx )df()F(


f(x)dx ≈ Pr (X=x)∑ ≤xix ipx)F(

Espérance mathématiqueEspérance mathématique [variable quantitative]

Moyenne au niveau de la populationNotation E(X) = μX = μCalcul : somme de toutes les valeursCalcul : somme de toutes les valeurs pondérées par leur probabilité

∑ == ni ii pxX 1 )E(V.a. discrète :

∫∞= xxxX )df()E(V a continue : ∫ ∞−= xxxX )df( )E(V.a. continue :


Espérance mathématique :Espérance mathématique : propriétés

E(c) = cSoient des v.a. X et Y et des constantes a, b, c

E(c) = cE(X+c) = E(X)+cDémonstration du cas discret : Y=X+c a pour valeurs yi=xi+cDémonstration du cas discret : Y X c a pour valeurs yi xi cE(X+c) = E(Y) = ∑yiPr (Y=yi) = ∑(xi+c)Pr (Y=yi) Or Pr (Y=yi) = Pr (X+c=xi+c) = Pr (X = xi) = piDonc E(X+c) = ∑(xi+c)pi = ∑xipi + c∑pi = E(X)+c( ) ( i )pi ipi pi ( )Plus généralement si Y=g(X), on a ∑yiPr (Y=yi) = ∑g(xi)pi

Si c = -E(X) ⇒ E(X -E(X)) = E(X) - E(X) = 0Une v a d’espérance nulle est dite centréeUne v.a. d espérance nulle est dite centrée

E(aX) = aE(X)E(X +Y) = E(X) + E(Y)


E(X +Y) = E(X) + E(Y)

Variance (et écart-type)Variance (et écart-type)[variable quantitative]

Variance = mesure de la variabilité autour de l’espéranceNotation var(X) = σ2

X = σ2Notation var(X) = σ X = σDéfinition var(X) = E[(X -E(X))2]On ne peut utiliser E[X -E(X)] qui est nul

CalculCalculV.a. discrète ∑= =

ni ii pXxX 1

2))E(-( )var(

V.a. continue xxXxX )df())E(-( )var( -2

∫= ∞∞

A t défi iti (X) E(X 2) E(X)2Autre définition var(X) = E(X 2) -E(X)2

Car E[(X -E(X))2] = E[X 2-2X E(X)+E(X)2] = E(X 2)-2E(X)E(X)+E(X)2 = E(X 2) -E(X)2

CalculV di èt 22 )E()( nV.a. discrète 22 )E(-)var( XpxX n

i ii∑= =1

V.a. continue 2- )E(-)df( )var( XxxxX ∫= ∞∞

2

Ecart-type = σX = σ = )var(X


Ecart type = σX = σ = )var(X

Variance : propriétésVar(X) ≥ 0 (somme de carrés)Variance nulle pour une constanteVariance nulle pour une constante.Variance faible pour une variable peu dispersée

Si X possède une unitéE(X) t t l ê itéE(X) et σ ont la même unitéVar(X) a cette unité au carré

Si c est une constanteSi c est une constanteVar(c) = 0Var(X +c) = var(X)Var(X c) var(X)Var(c X) = c2var(X)

Var(X +Y) = ?


Loi de 2 variables discrètes ouLoi de 2 variables discrètes ou qualitatives

X et Y, deux v.a. discrètes ou qualitatives mesurables sur les mêmes individussur les mêmes individusEX = {x1, x2, …, xn} ; Ey = {y1, y2, …, ym} Exemple :Exemple :X =sexe (x1=H ; x2=F)Y =CSP (y1=agriculteur ; y2=ouvrier ; … ; ym=retraité)

Pour parler simultanément de X et Y il fautPour parler simultanément de X et Y, il faut considérer l’espace produit :EX ×Ey = {(x1,y1), (x1,y2), …, (x1,ym), …, (xn,ym)}On doit se donner les probabilités de chaque couple :Pr ([X = xi] ∩ [Y = yj]) = pxi,yj


Loi de 2 variables discrètes :Loi de 2 variables discrètes : tableau des probabilités

X \ Y y1 y2 … ym ∑y

x1 p 1 1 p 1 2 … p 1 p 1x1 px1,y1 px1,y2 … px1,ym px1

x2 px2,y1 px2,y2 … px2,ym px2

… … … … … …

xn pxn,y1 pxn,y2 … pxn,ym pxn

∑x py1 py2 … pym 1

p xi,yj = Pr ([X = xi] ∩ [Y = yj])p i = ∑p i j ; p j = ∑p i jpxi ∑pxi,yj ; pyj ∑pxi,yj

px et py sont souvent appelées lois marginalesCe sont les lois des variables X et Y indépendamment l’une de l’autre


Covariance et corrélationCovariance et corrélation [variables quantitatives]

Var(X+Y) = E[((X+Y)-(μX+μY))2] = E[((X -μX)+(Y -μY))2] = E[(X -μX)2 +(Y -μY)2 +2(X -μX)(Y -μY)] = σX

2+ σY2 +2cov(X,Y)

Première définition : cov(X,Y) = E[(X -μX)(Y -μY)]Seconde définition : cov(X,Y) = E(XY)-μX μY = E(XY)-E(X)E(Y)car E[(X -μ )(Y -μ )] = E(XY-μ Y-Xμ +μ μ ) = E(XY)-μ μ -μ μ +μ μcar E[(X -μX)(Y -μY)] = E(XY-μXY-XμY+μX μY ) = E(XY)-μX μY-μX μY+μX μY

Calculs pour deux variables discrètes :cov(X,Y) = ∑i,j(xi-μX)(yj-μY) pxi,yj

cov(X,Y) = ∑i,jxiyj pxi,yj - μX μY

La covariance est une mesure de l’intensité de la liaison linéaireentre deux variablesentre deux variables

La corrélation est toujours entre -1 et 1σσ

ρYX

XYYX ),cov( =Corrélation


La corrélation est toujours entre 1 et 1

Indépendance de deuxIndépendance de deux variables aléatoires

X et Y quantitatives sont indépendantes si et seulement si les événements [X ≤ x] et [Y ≤ y] sontseulement si les événements [X ≤ x] et [Y ≤ y] sont indépendants pour tout x et tout y⇔ Pr ([X ≤ x]∩[Y ≤ y]) = Pr ([X ≤ x])Pr ([Y ≤ y])([ ] [ y]) ([ ]) ([ y])⇔ FXY(x,y) = FX(x)FY(y)où FX et FY sont les fonctions de répartition de X et de Y, et FXY est la fonction de répartition du couple X, Y (définition)fonction de répartition du couple X, Y (définition)

Si X et Y sont des v.a. discrètes ou qualitatives, l’indépendance peut s’écrire (pour tout xi et tout yj) P ([X ] [Y ]) P ([X ])P ([Y ])Pr ([X = xi]∩[Y = yj]) = Pr ([X = xi])Pr ([Y = yj])⇔ pxi,yj = pxi pyj


Conséquences de l’indépendanceConséquences de l indépendance de 2 variables quantitatives

Si X et Y sont indépendantes alors :

cov(X Y) = 0 et ρ = 0

Si X et Y sont indépendantes, alors :

cov(X, Y) = 0 et ρXY = 0var(X + Y) = var(X ) + var(Y) E(XY) = E(X)E(Y) car cov(X Y) = E(XY) - E(X)E(Y)car cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

La réciproque est fausse


Loi normale N(μ ; σ2)Loi continue la plus importante

é21 ( )1 x μ−

E(X) = μ(X) 2 (d 0)

Densité : 2

12( )

e1

f( ) 2

x μ

σx

π−=

σ

var(X) = σ2 (donc σ > 0)Si X et Y sont N et indépendantes, alors aX+bY est NC ti li (0 1)Cas particulier N(0 ; 1)

Loi centrée (μ = 0) et réduite (σ = 1)21 2

2e1

f( ) 2

xx

π−=


Allure de la loi N(0 ; 1)

Courbe de la densitéSurface sous la courbe = 1Loi symétriqueAxe de symétrie = espéranceAxe de symétrie = espéranceMaximum sur l’axe de symétrieEcart-type = distance entre axe de symétrie et point d’inflexiond inflexion


Loi N(0 ; 1) et probabilitésProbabilité d’un intervalle = surface sous la courbesurface sous la courbePr (0,5 ≤ X ≤ 2) = 0,312 = surface griséeCalcul = intégration de f(x)⇒ ???Des tables numériquesDes tables numériques donnent les résultatsPr (-2 ≤ X ≤ 2) ≈ 0,95


Loi N(μ ; σ2) : influence de μ

σ = 1 pour les 3 courbesσ = 1 pour les 3 courbesL’allure de la courbe se conserve si on change de moyenneIl s’agit d’un simple décalagedécalage


Loi N(μ ; σ2) : influence de σ

μ = 0 pour les 3 courbesLa courbe s’aplatit si σElle se resserre si σLe maximum s’ajusteLe maximum s ajuste pour que la surface = 1Le maximum peut dépasser 1


Loi N(μ ; σ2) et probabilités

S l N(0 1) t t b léSoit X→ N(μ ; σ2). On cherche Pr (a ≤ X ≤ b)

Seule N(0 ; 1) est tabuléeMais )1;0( N →−= σ

μXYO t t éd i bt i l b bilitéOn va centrer et réduire pour obtenir la probabilité

)Pr()Pr( σσσμμXμX -b - -a b a ≤≤=≤≤

a b

Alors Pr (a ≤ X ≤ b) = Pr (c ≤ Y ≤ d)

Posons et σμ-a c = σ

μ -b d =

Alors Pr (a ≤ X ≤ b) Pr (c ≤ Y ≤ d)La probabilité sur Y se lit dans la table de la loi normale centrée réduite


Loi du « chi-deux » χ2(n)Famille de lois dérivées de N(0 ; 1)

Si X1 → N(0 ; 1), alors X = X12 → χ2(1)

Si X1, X2, …, X → N(0 ; 1) et sont indépendantes,Si X1, X2, …, Xn → N(0 ; 1) et sont indépendantes, alors X = X1

2 + X22 + … + Xn

2 → χ2(n)n est le nombre de degrés de liberté (ddl)g ( )X ≥ 0E(X) = n, var(X) = 2nLa probabilité d’un intervalle est donnée par une table (qui dépend du ddl)


Allure de la loi du χ2χExemples avec un ddl n = 1, 2, et 8Courbes = densités de probabilitéCourbes = densités de probabilitéSi n > 2, la courbe présente un maximum en n – 2Si n augmente, la courbe se rapproche d’une loi normale


Loi de BernoulliBase des lois discrètes ou qualitatives

é à é è éExpérience à deux résultats possibles succès et échecVariable de Bernoulli : X(échec) = 0, X(succès) = 1

èPr (succès) = Pr ([X = 1]) = ΠPr (échec) = Pr ([X = 0]) = 1 – ΠE(X) Π 1 (1 Π) 0 ΠE(X) = Π × 1 + (1 - Π) × 0 = Πvar(X) = E(X 2) – E(X)2

E(X 2) Π 12 (1 Π) 02 ΠE(X 2) = Π × 12 + (1 - Π) × 02 = Πvar(X) = Π - Π 2 = Π(1 - Π)


Loi binomiale B(n, Π)Construite sur n expériences de Bernoulli indépendantes (Π ne change pas entre lesindépendantes (Π ne change pas entre les épreuves)La variable X est le nombre de succès parmi les npexpériences (valeur entre 0 et n)

La probabilité d’avoir exactement k succès estp

( ) )()( )!(!!)Pr( Π− −ΠΠ− −Π −=== 11 knkknk

kn

knknkX

( )n

E(X) = nΠ ; var(X) = nΠ(1- Π)

est le nombre de manières d’obtenir k succès parmi nΠk(1-Π)n-k est la probabilité d’en obtenir une( )k

n


( ) ; ( ) ( )

Loi de PoissonLoi concernant la réalisation d’événements

Faiblement probables (loi des événements rares)Faiblement probables (loi des événements rares)IndépendantsExemples : accidents, files d’attente, ruptures de stock

La variable X est le nombre de réalisations de l’événementLa loi dépend d’un paramètre λ (λ > 0)La probabilité d’avoir k réalisations de l’événement rare est

L b k d é li ti i t 0 t ( l i bi i l )

La probabilité d avoir k réalisations de l événement rare est

!)Pr( kkXkλλe -==

Le nombre k de réalisations varie entre 0 et ∞ (≠ loi binomiale)λ−eE(X) = λ ; var(X) = λ ; Pr(X=0) =

Si X →Poisson(λ ) X →Poisson(λ ) X et X indépendantes


Si X1→Poisson(λ1), X2→Poisson(λ2), X1 et X2 indépendantes, alors X=X1+X2 → Poisson(λ1 +λ2)

Approximations d’une loiApproximations d une loi binomiale B(n, Π)

Approximation par une loi normaleX → B(n, Π)

Approximation par une loi normaleConditions : nΠ ≥ 5 et n(1-Π) ≥ 5

Variable pour l’approximation Y → N(nΠ ; nΠ(1- Π))Variable pour l approximation Y → N(nΠ ; nΠ(1 Π))On a Pr ([X=k]) ≈ Pr ([k - 0,5 ≤ Y ≤ k + 0,5])Les probabilités Pr([Y <0]) et Pr ([Y > n]) sont faibles, mais

llnon nullesApproximation par une loi de Poisson

Conditions : Π < 0,1 et n ≥ 50Conditions : Π < 0,1 et n ≥ 50 Variable pour l’approximation Y → Poisson(λ = nΠ)On a Pr ([X=k]) ≈ Pr ([Y=k]) L b bilité P ([Y ]) t f ibl i ll


La probabilité Pr ([Y > n]) est faible, mais non nulle

Approximation d’une loi deApproximation d une loi de poisson par une loi normale

X → Poisson(λ)Conditions : λ > 25Variable pour l’approximationVariable pour l’approximationY → N(λ ; λ)

On a Pr ([X=k]) ≈ Pr ([k - 0,5 ≤ Y ≤ k + 0,5])


Loi de Poisson et risque sanitaireLoi de Poisson et risque sanitaire pas encore observé

Après 10.000 prescriptions d'un nouveau médicament pas d'effet indésirablemédicament, pas d effet indésirableQue se passera-t-il après 1.000.000 prescriptions ?prescriptions ?Π = risque individuel d'effet indésirable, inconnu mais faibleinconnu mais faibleSur n individus, si X est le nombre d'effets indésirables observés, X → B(n, Π)indésirables observés, X → B(n, Π)

Π faible, n grand : X → Poisson(λ = nΠ)Pr(X=0) = e-λ = e-nΠ( )


Loi de Poisson et risque sanitaireLoi de Poisson et risque sanitaire pas encore observé (2)

Que peut-on dire de Π qui soit compatible avec la non observation d'effet indésirable sur n individus ?Règle : il n'est pas raisonnable d'imaginer ne pas observer d'effet indésirable si la probabilité de cette non observation est inférieure à 5%Si X 0 i di id P (X 0) nΠ 0 05Si X=0 sur n individus, Pr(X=0)= e-nΠ≥0,05 ⇒nΠ ≤ 3 ⇒ Π ≤ 3/nLa non observation d'effet indésirable sur n individus est compatible avec un risque individuel Π ≤ 3/ncompatible avec un risque individuel Π ≤ 3/nSi n=10000 prescriptions sans effet indésirable, et Π=3/n=3×10-4

Avec 1 000 000 de prescriptions on s'attend à 300 effetsAvec 1.000.000 de prescriptions on s attend à 300 effets indésirablesCe qui est énorme


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