Problem transporta

Specijalni problemi linearnog programiranja

1

Jednostavan primjer

U dva pogona jedne tvornice proizvodi se jedan proizvod. Prvi pogon mjesečno proizvede 10 pošiljaka tog proizvoda a drugi 20. Proizvod se potom šalje u tri centra distribucije. Prvi potražuje 8 pošiljaka mjesečno, drugi 14, treći 8.

Troškovi transporta jedne pošiljke proizvoda iz svakog pogona u svaki centar distribucije su poznati i dani tablicom.

2

3

Prvi centar

distribucije

Drugi centar

distribucije

Treći centar

distribucije

Prvi pogon 5 2 3

Drugi pogon 1 3

4

4

Potrebno je odrediti program transporta pošiljaka iz pogona u centre distribucije tako

da su ukupni troškovi transporta najmanji.

Primijetimo da je ukupna ponuda ishodišta 10+20=30.

Primijetimo da je ukupna potražnja odredišta 8+14+8=30.

Možemo s ponudom pogona zadovoljiti potražnju centara distribucije. Štoviše,

ponuda će se iscrpiti.

5

Matematički model

Varijabla odluke je

xij -broj pošiljaka koji se prevozi iz pogona i u centar distribucije j, i=1,2; j=1,2,3.

Imamo xij ≥ 0, i=1,2; j=1,2,3. Kriterij za donošenje odluke su najmanji

ukupni troškovi transporta. Funkcija cilja je T(x)=5x11+2x12+3x13+x21+3x22+4x23

6

ponuda

x11 x12 x13 10

x21 x22 x23 20

potražnja 8 14 8

Ograničenja

za prvi pogon x11+x12+x13 =10

za drugi pogon x21+x22+x23=20

za prvi centar x11 +x21 = 8

za drugi centar x12 +x22 =14

za treći centar x13 +x23=8

7

Matematički model

min (5x11+2x12+3x13+x21+3x22+4x23)

x11+x12+x13 = 10

x21+x22+x23 = 20

x11 +x21 = 8

x12 +x22 = 14

x13 +x23 = 8

xij ≥ 0, i=1,2; j=1,2,3.

8

9

Imamo problem linearnog programiranja, problem minimuma u kojem je 6 varijabli i 5 ograničenja. Može se riješiti tako da se koristi poznati pristup-WINQSB-LPILP.

Probajte!

Malo matematike Kandidat za optimalno rješenje je vrh

odnosno bazično moguće rješenje. Matrica A koeficijenata sustava linearnih

jednadžbi ima 5 redaka i 6 stupaca. Rang te matrice je 4 odnosno

Broj ograničenja -1=5-1=4= broj bazičnih varijabli.

Preostale varijable su nebazične i imaju vrijednost nula.

10

Metode za određivanje početnog bazičnog mogućeg rješenja Metoda sjeverozapadnog kuta-Northwest

Corner Method Vogelova metoda Metoda uzajamno preferiranih tokova-Matrix

Minimum Minimum u retku-Row Minimum Minimum u stupcu-Column Minimum I druge

11

Jedno moguće rješenjeLako provjerimo: zbroj varijabli u retku=ponuda.

Zbroj varijabli u stupcu=potražnja.

Ukupni troškovi=97. Ovo rješenje nije BMR jer barem dvije varijable moraju biti nula.

12

ponuda

5 4 110

3 10 720

potražnja 8 14 8

ponuda

5 4 110

3 10 720

potražnja 8 14 8

Metoda sjeverozapadnog kuta Prvo polje koje se popunjava je polje (1,1). Na to polje

stavlja se min{10,8}=8. Time je popunjen prvi stupac, jer je zadovoljena potražnja prvog odredišta. Žuto polje je prazno, varijabla ima vrijednost 0. Plava polja su polja u kojima treba odrediti varijable

13

ponuda

810

20

potražnja 8 14 8

Na izabrano plavo polje stavlja se min{2,14}=2, jer je u prvom pogonu ostalo dvije pošiljke a drugi centar traži 14. Time je iscrpljena ponuda prvog pogona, prvi redak je popunjen

14

ponuda

82 10

20

potražnja 8 14 8

Novo polje u sjeverozapadnom kutu plavog dijela koji još nije popunjen

Na izabrano plavo polje stavlja se min{12,20}=12, jer je u drugom pogonu ostalo 20 pošiljki a drugi centar traži 12, jer je dvije već dobio. Na preostalo plavo polje stavlja se 8

15

ponuda

82 10

20

potražnja 8 14 8

Novo polje u sjeverozapadnom kutu plavog dijela koji još nije popunjen

Ukupni troškovi su 112, žuta polja su prazna, tu je vrijednost varijabli 0

16

ponuda

8 210

12 820

potražnja 8 14 8

Početno rješenje

Malo mišljenja…imamo parametre modela

17

ponuda

5 2 310

1 3 4 20

potražnja 8 14 8

Metoda uzajamno preferiranih tokova

Prvo se popunjava polje s najmanjim troškom Najmanji trošak je1 -na ljubičastom polju. Time je

popunjen prvi stupac i on je izostavljen u preostalom postupku.

Na ostatku tablice na polju s najmanjim troškom je slijedeća popuna- tamnoplavo polje i time se popuni redak…

18

ponuda

1010

8 4 820

potražnja 8 14 8

Vogelova metoda Računaju se kazne za svako ishodište-redak i svako

odredište-stupac. Kazna za redak-razlika dva najmanja troška u retku. Kazna za stupac-razlika dva najmanja troška u stupcu. Bira se redak ili stupac s najvećom kaznom i u njemu

polje s najmanjim troškom. U odabrano polje stavi se manji broj od ponude ishodišta

i potražnje odredišta. Time je popunjen redak ili stupac, njega izostavljamo. Postupak se ponavlja na ostatku tablice

19

Najveća kazna 4najmanji trošak u prvom stupcu 1 i to je prvo polje koje se popunjava

kazna

5 2 3 1

1 3 4 2

kazna 4 1 1 ()

20

Ovim postavljanjem varijable x21=8 popunjen je prvi stupac, njega izostavljamo i postupak se nastavlja

Ponuda

5 2 3 10

1 8 3 4 20

potražnja 8 14 8 ()

21

Mrežno modeliranje

WINQSB-Network Modeling

22

Mrežna reprezentacija

Dva čvora iz kojih izlaze lukovi-ishodišta

Tri čvora u koje ulaze lukovi-odredišta

Lukovi povezuju ishodišta i odredišta

23

Mrežna simpleks metoda

Početno rješenje Za testiranje optimalnosti razvijene su

dvije metode 1. Skakanje s kamena na kamen –

Stepping Stone Method 2. MODI metoda

24

Test praznih polja

Računa se c(i,j)-z(i,j) za svako prazno polje Ako je c(i,j)-z(i,j)≥0 za svako prazno polje,

STOP rješenje je optimalno Ako je c(i,j)-z(i,j)<0 na barem jednom

praznom polju, rješenje nije optimalno. Ako na tom praznom polju (i,j) se aktivira varijabla i s vrijednosti 0 naraste na 1, ukupni trošak se smanji za c(i,j)-z(i,j).

25

Zatvoreni problem transporta

Homogeni proizvod smješten u m ishodišta ili centara ponude treba poslati u n odredišta ili centara potražnje. Poznata je ponuda svakog ishodišta, potražnja svakog odredišta i jedinični troškovi transporta iz svakog ishodišta u svako odredište.

Ako je ukupna ponuda = ukupnoj potražnji problem se zove zatvoreni.

26

Osnovni elementi Pretpostavke

Proizvod se šalje direktno iz ishodišta u odredišta

Troškovi transporta proporcionalni su količini robe koja se prevozi.

Cilj

Cilj je pronaći program transporta takav da se iscrpi ponuda svakog ishodišta, zadovolji potražnja svakog odredišta te da pri tom ukupni troškovi transporta budu najmanji.najmanji.

27

Oznake Parametri ai ponuda ishodišta i, i=1,…,m

bj potražnja odredišta j, j=1,…,n

cij jedinični trošak transporta iz ishodišta i u odredište j, i=1,…,m;j=1,…,n.

Varijable xij količina robe koja se šalje iz ishodišta i

u odredište j, i=1,…,m;j=1,…,n.

28

Matematički model zatvorenog problema transporta

),...,1(),,...,1(,0

),...,1(

),...,1(,

min

,1

1

1 1

njmix

njbx

miax

xc

ij

j

m

iij

i

n

jij

ij

m

i

n

jij

Bazične varijable Ograničenja su sustav od m+n linearnih

jednadžbi s uvjetima nenegativnosti na mn varijabli. Jedna linearna jednadžba je suvišna jer je linearna kombinacija preostalih. Preostalih m+n-1 jednadžbi je linearno nezavisno odnosno rang matrice koeficijenata sustava je m+n-1.

Broj bazičnih varijabli je m+n-1. Ostale varijable su nula.

30

Dual problema transporta

31

),...,1;,...,1(,

max11

njmicvu

vbua

ijji

n

jjji

m

ii

Otvoreni problem transporta

Ako su ukupna ponuda i ukupna potražnja različiti, problem se zove otvoreni. Razlikujemo dva slučaja.

Ako je ukupna ponuda > ukupne potražnje, ponude ishodišta neće biti iscrpljene.

Ako je ukupna ponuda < ukupne potražnje, potražnje odredišta neće biti zadovoljene.

32

Matematički modeli otvorenog problema transporta

Ukupna ponuda >ukupne potražnje

Prvi model

Ukupna ponuda <ukupne potražnje

Drugi model

33

),...,1(),,...,1(,0

),...,1(

),...,1(,

min

,1

1

1 1

njmix

njbx

miax

xc

ij

j

m

iij

i

n

jij

ij

m

i

n

jij

Drugi model Drugi model Drugi model Drugi model

),...,1(),,...,1(,0

),...,1(

),...,1(,

min

,1

1

1 1

njmix

njbx

miax

xc

ij

j

m

iij

i

n

jij

ij

m

i

n

jij

Otvoreni problem transporta rješava se tako da se svede na zatvoreni

Ako je ukupna ponuda > ukupne potražnje, uvodi se fiktivno odredište s potražnjom koja problem zatvara. Time smo dobili još jedan stupac u kojem su jedinični troškovi nula.

Ako je ukupna ponuda < ukupne potražnje, uvodi se fiktivno ishodište s ponudom koja problem zatvara. Time smo dobili još jedan redak u kojem su jedinični troškovi nula-

34

Primjer 2.

Odredite optimalno rješenje problema transporta danog tablicom

35

ai

7 8 5 4 15

3 1 2 4 7

2 3 5 8 18

bj 10 10 10 10

Primjer 3.

Odredite optimalno rješenje problema transporta danog tablicom

36

ai

7 8 5 4 15

3 1 2 4 7

2 3 5 8 10

bj 10 10 10 10

Primjer 4.

Odredite optimalno rješenje problema transporta danog tablicom

37

ai

7 8 5 4 15

3 1 2 4 7

2 3 5 8 18

bj 6 10 10 10

Primjer 5. U tri pogona jedne tvornice proizvodi se

proizvod koji se prevozi u četiri centra distribucije. Pogoni P1, P2, P3 mjesečno proizvode 12, 17 i 11 pošiljaka tog proizvoda.

Svaki centar distribucije treba primiti točno 10 pošiljaka robe.

Poznate su udaljenosti između pogona i centara distribucije ( u km) i dane u tablici.

38

Koliki su najmanji troškovi transporta?

C1 C2 C3 C4

P1 80 130 40 70

P2 110 140 60 100

P3 60 120 80 90

Vozarina za svaku pošiljku iznosi 100 kuna uvećana za 0.5 kuna po kilometru.

39