problema 12
DESCRIPTION
P ROBLEMA 12 André Cardoso, Nº2 Catarina Coval, Nº3 Patrícia Santos, Nº 13 Retira-se ao acaso, três bolas. Determina a probabilidade de as bolas: Determina quantas bolas pretas foram introduzidas de novo na taça, sabendo que a probabilidade condicionada p(B|A) é 70%. Às treze bolas foram acrescentadas mais bolas pretas. São retiradas sucessivamente, sem reposição, duas bolas. Considera os acontecimentos: Serem todas da mesma cor; Serem uma de cada cor; Não serem da mesma cor. 2TRANSCRIPT
![Page 1: Problema 12](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042608/568bd7311a28ab20349ed6a2/html5/thumbnails/1.jpg)
PROBLEMA 12 André Cardoso, Nº2
Catarina Coval, Nº3
Patrícia Santos, Nº 13
![Page 2: Problema 12](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042608/568bd7311a28ab20349ed6a2/html5/thumbnails/2.jpg)
ENUNCIADO
Uma taça contém 13 bolas, de três cores, indistinguíveis ao tacto: 4 vermelhas, 3 pretas e 6 amarelas.
Retira-se ao acaso, três bolas. Determina a probabilidade de as bolas:
Serem todas da mesma cor;
Serem uma de cada cor;
Não serem da mesma cor.
Às treze bolas foram acrescentadas mais bolas pretas. São retiradas sucessivamente, sem reposição, duas bolas. Considera os acontecimentos:
A: “a primeira bola retirada é vermelha”;
B: “a segunda bola retirada não é amarela”.
Determina quantas bolas pretas foram introduzidas de novo na taça, sabendo que a probabilidade condicionada p(B|A) é 70%. 2
![Page 3: Problema 12](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042608/568bd7311a28ab20349ed6a2/html5/thumbnails/3.jpg)
P(SEREM TODAS DA MESMA COR)
4C3 + 3C3 + 6C3 13C3
≈ 0,0874
Combinações possíveis
se as três bolas que
saírem serem vermelhas
Combinações possíveis
de as três bolas que
saírem terem cor preta Combinações possíveis
de as três bolas que
saírem possuírem a
cor amarela
Utiliza-se o símbolo
da adição porque ou
se escolhe uma ou
outra ou outra.
Número total de combinações
caso se escolha três bolas
aleatoriamente e
independentemente da cor
(número de casos possíveis)
3
![Page 4: Problema 12](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042608/568bd7311a28ab20349ed6a2/html5/thumbnails/4.jpg)
P (SEREM UMA DE CADA COR)
4A1 x 3A1 x 6A1 13C3
≈ 0,2517
Utiliza-se o símbolo da
multiplicação porque
se escolhe uma e mais
uma e mais outra. Escolha de uma bola
das seis de cor amarela,
sem repetição
Escolha de uma bola
das três de cor preta,
sem repetição
Escolha de uma bola das
quatro de cor vermelha,
sem repetição Número total de combinações
caso se escolha três bolas
aleatoriamente e
independentemente da cor
(número de casos possíveis)
4
![Page 5: Problema 12](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042608/568bd7311a28ab20349ed6a2/html5/thumbnails/5.jpg)
P (NÃO SEREM DA MESMA COR)
4C3 + 3C3 + 6C3 13C3
≈ 0,9126 1 -
Número total de combinações
caso se escolha três bolas
aleatoriamente e
independentemente da cor
(número de casos possíveis)
Visto que, o
acontecimento
“serem todas da
mesma cor” é o
acontecimento
contrário do
acontecimento “não
serem da mesma
cor” e sabendo que,
a soma de
acontecimentos
contrários é 1,
então p(não serem
da mesma cor) é
igual a: Combinações
possíveis se as três
bolas que saírem
serem vermelhas
Combinações possíveis
de as três bolas que
saírem terem cor preta Combinações possíveis
de as três bolas que
saírem possuírem a
cor amarela
5
![Page 6: Problema 12](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042608/568bd7311a28ab20349ed6a2/html5/thumbnails/6.jpg)
Nº DE BOLAS PRETAS INTRODUZIDAS
3 vermelhas
3+X pretas
6 amarelas
)(
)()|(
Ap
ABpABp
xx,,
x
x, 67048
12
670
4,867,0 xx
3,0
4,2x
4,23,0 x
8 x
R: Foram introduzidas
8 bolas pretas na taça.
Probabilidade de sair bola
amarela sabendo que a primeira
(vermelha) já saiu
6
![Page 7: Problema 12](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042608/568bd7311a28ab20349ed6a2/html5/thumbnails/7.jpg)
COMPOSIÇÃO
LEI DE LAPLACE
Seja E uma experiência aleatória (de uma taça
com treze bolas de cores diferentes retirar três
bolas ao acaso), sendo equiprováveis os n
acontecimentos elementares. A probabilidade de
um acontecimento é dada pelo quociente entre o
número de casos favoráveis (n.c.f.) e o número de
casos possíveis (n.c.p.).
7
![Page 8: Problema 12](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042608/568bd7311a28ab20349ed6a2/html5/thumbnails/8.jpg)
COMPOSIÇÃO (CONTINUAÇÃO)
Neste problema, o n.c.p. corresponde ao número
total de combinações caso se escolha três bolas
aleatoriamente e independentemente da cor.
Corresponde a:
O n.c.f., no caso da primeira e última alínea do
primeiro exercício, corresponde ao número total
de combinações possíveis caso as três bolas que
são extraídas sejam da mesma cor. Corresponde
a:
O n.c.f., na segunda alínea da primeira questão,
corresponde à escolha de uma bola de cada cor,
sem repetição. Corresponde a:
13C3
4C3 + 3C3 + 6C3
4A1 x 3A1 x 6A1 8
![Page 9: Problema 12](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042608/568bd7311a28ab20349ed6a2/html5/thumbnails/9.jpg)
COMPOSIÇÃO (CONTINUAÇÃO)
Relativamente à segunda questão, o que se
pretende é determinar a probabilidade de não
sair bola de cor amarela sabendo que a primeira,
que possuía cor vermelha, já saiu e não foi
reposta.
9
![Page 10: Problema 12](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042608/568bd7311a28ab20349ed6a2/html5/thumbnails/10.jpg)
EXPLORAÇÃO
Sabendo que se retirou o numero de bolas
suficientes para que haja o mesmo número de
bolas para cada cor.
Determina a probabilidade de sair duas bolas pretas
e uma vermelha ou amarela (p(P)), aleatoriamente
e sem reposição.
Determina a probabilidade de sair duas bolas pretas
e uma vermelha ou amarela (p(P)), aleatoriamente
e com reposição.
10
![Page 11: Problema 12](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042608/568bd7311a28ab20349ed6a2/html5/thumbnails/11.jpg)
P
P
P
V
A
V
P
V
A
A
P
V
A
V
P
P
V
A
V
P
V
A
A
P
V
A
A
P
P
V
A
V
P
V
A
A
P
V
A
28
1
7
3
8
2
9
3
28
1
7
2
8
3
9
3
28
1
2
2
8
3
9
3
28
1
7
3
8
2
9
3
28
1
7
2
8
3
9
3
28
1
7
2
8
3
9
3
3 bolas vermelhas
3 bolas pretas
3 bolas amarelas
9 bolas
11
![Page 12: Problema 12](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042608/568bd7311a28ab20349ed6a2/html5/thumbnails/12.jpg)
P(P) SEM REPOSIÇÃO
14
3)(
168
6)(
28
16)(
28
1
28
1
28
1
28
1
28
1
28
1)(
Pp
Pp
Pp
Pp
12
![Page 13: Problema 12](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042608/568bd7311a28ab20349ed6a2/html5/thumbnails/13.jpg)
P
P
P
V
A
V
P
V
A
A
P
V
A
V
P
P
V
A
V
P
V
A
A
P
V
A
A
P
P
V
A
V
P
V
A
A
P
V
A
27
1
729
27
9
3
9
3
9
33 bolas vermelhas
3 bolas pretas
3 bolas amarelas
9 bolas
27
1
729
27
9
9
9
3
9
3
27
1
729
27
9
9
9
3
9
3
27
1
729
27
9
9
9
3
9
3
27
1
729
27
9
9
9
3
9
3
27
1
729
27
9
9
9
3
9
3
13
![Page 14: Problema 12](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042608/568bd7311a28ab20349ed6a2/html5/thumbnails/14.jpg)
P(P) COM REPOSIÇÃO
127
1)(
162
6)(
27
16)(
27
1
27
1
27
1
27
1
27
1
27
1)(
Pp
Pp
Pp
Pp
14
![Page 15: Problema 12](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042608/568bd7311a28ab20349ed6a2/html5/thumbnails/15.jpg)
FIM!
15