problema de circunferencia resuelto 04
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SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE
CIRCUNFERENCIAS
4.- Halla la ecuación de la circunferencia
que pasa por los puntos A( 1, 1) B( – 2, 3)
C(– 1,– 1)
Elaborado por Pascual Sardella
Solución al Problema Nº
4Datos del Problema: Como dichos puntos pertenecen a lugar
geométrico de la circunferencia cuya ecuación general es:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0Entonces tenemos que sustituir a «x» y «y» en la ecuación
anterior, así obtenemos tres ecuaciones con las variables A, B y
C:
Para P(1,1): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0(1)2+(1)2+𝐴 1 + 𝐵 1 + 𝐶 = 0 → 1 + 1 + 𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = 0
𝑨 − 𝑩 + 𝑪 = −𝟐 (1)
Para Q(-2,3): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0(−2)2+(3)2+𝐴 −2 + 𝐵 3 + 𝐶 = 0 → 4 + 9 − 2𝐴 + 3𝐵 + 𝐶 = 0
−𝟐𝑨 + 𝟑𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟑 (2)
Para R(-1,-1): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0−𝟏 𝟐 + −𝟏 𝟐 + 𝑨 −𝟏 + 𝑩 −𝟏 + 𝑪 = 𝟎 → 𝟐 − 𝑨 − 𝑩 + 𝑪 = 𝟎
−𝑨 − 𝑩 + 𝑪 = −𝟐 (3)
Luego tenemos el sistema siguiente:
𝑨 − 𝑩 + 𝑪 = −𝟐 (1)
−𝟐𝑨 + 𝟑𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟑 (2) 𝟏 −𝟏 𝟏
−𝟐 𝟑 𝟏−𝟏 −𝟏 𝟏
−𝟐−𝟏𝟑−𝟐
−𝑨 − 𝑩 + 𝑪 = −𝟐 (3)
Solución al Problema Nº 4
Paso 1: Empezamos a calcular el determinante del sistema (∆𝑺)
∆𝑺=𝟏 −𝟏 𝟏
−𝟐 𝟑 𝟏−𝟏 −𝟏 𝟏
Paso 2: Resolvemos este determinante por la Regla de Sarrus,
es decir:
a) Repitiendo filas 1 y 2 debajo de la fila 3:
∆𝑠=
1 −1 1−2 3 1
−1 −1 11 −1 1−2 3 1
= 6 − (−2) → ∆𝐒= 𝟖
Ó b) repitiendo columnas 1 y 2 después de la 3:
∆𝑺=𝟏 −𝟏 𝟏
−𝟐 𝟑 𝟏−𝟏 −𝟏 𝟏
𝟏 −𝟏
−𝟐 𝟑−𝟏 −𝟏
→ ∆𝑺=𝟏 −𝟏 𝟏
−𝟐 𝟑 𝟏−𝟏 −𝟏 𝟏
𝟏 −𝟏−𝟐 𝟑−𝟏 −𝟏
= ∆𝑺=8
Debe dar igual, por lo que puedes usar cualquier método.
𝟏 −𝟏 𝟏
−𝟐 𝟑 𝟏−𝟏 −𝟏 𝟏
−𝟐−𝟏𝟑−𝟐
Solución al Problema Nº 4Ahora debemos hallar el determinantes de las variables A, B y
C, es decir:
∆𝑨=−𝟐 −𝟏 𝟏−𝟏𝟑 𝟑 𝟏−𝟐 −𝟏 𝟏
→ ∆𝑨=−𝟐 −𝟏 𝟏−𝟏𝟑 𝟑 𝟏−𝟐 −𝟏 𝟏
−𝟐 −𝟏−𝟏𝟑 𝟑−𝟐 −𝟏
∆𝑨= 𝟏
∆𝑩=𝟏 −𝟐 𝟏
−𝟐 −𝟏𝟑 𝟏−𝟏 −𝟐 𝟏
→ ∆𝑩=𝟏 −𝟐 𝟏
−𝟐 −𝟏𝟑 𝟏−𝟏 −𝟐 𝟏
𝟏 −𝟐−𝟐 −𝟏𝟑−𝟏 −𝟐
∆𝑩= −𝟐𝟏
∆𝑪=𝟏 −𝟏 −𝟐
−𝟐 𝟑 −𝟏𝟑−𝟏 −𝟏 −𝟐
→ ∆𝑪=𝟏 −𝟏 −𝟐
−𝟐 𝟑 −𝟏𝟑−𝟏 −𝟏 −𝟐
𝟏 −𝟏−𝟐 𝟑−𝟏 −𝟏
∆𝑪= −𝟑𝟖
𝑨 =∆𝑨
∆𝑺=
𝟏
𝟖; 𝑩 =
∆𝑩
∆𝑺= −
𝟐𝟏
𝟖; 𝑪 = −
𝟑𝟖
𝟖
Ahora se debe sustituir estos valores en la ecuación general,
es decir:
Solución al Problema Nº 4𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑥2 + 𝑦2 +1
8𝑥 + −
21
8𝑦 −
38
8= 0
𝟖𝒙𝟐 + 𝟖𝒚𝟐 + 𝟏𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟑𝟖 = 𝟎
Luego la ecuación de la circunferencia es:
𝟖𝒙𝟐 + 𝟖𝒚𝟐 + 𝟏𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟑𝟖 = 𝟎
Para llevarla a la ecuación ordinaria o usual se agrupa términos en
«x» y en «y» y se busca configurarlo como trinomios notables, es
decir:
𝟖𝒙𝟐 + 𝟖𝒚𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟑𝟖 = 𝟎
𝟖𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟖𝒚𝟐 − 𝟐𝟏𝒚 = 𝟑𝟖 → 𝟖 𝒙𝟐 +𝟏
𝟖𝒙 + 𝟖 𝒚𝟐 −
𝟐𝟏
𝟖𝒚 = 𝟑𝟖
8 𝑥2 +1
8𝑥 +
1
256− 8 ·
1
256+ 8 𝑦2 −
21
8𝑦 +
441
256− 8 ·
441
256= 38
8 𝑥 +1
8
2+ 8 𝑦 −
21
8
2= 38 +
8
256+
3528
256=
13264
256
𝑥 +1
8
2
+ 𝑦 −21
8
2
=829
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Gráfica del Problema Nº 4
Para la representación gráfica utilizamos el software Geogebra