problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra
DESCRIPTION
. E = - ∂ B / ∂t. ∆. . H = J f + ∂ D / ∂t. ∆. ρ f = 0. • ∆. D =. B = 0. • ∆. Óptica não-linear em fibras. Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra conhecendo o pulso inicial E (z=0, t) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Problema: descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra
conhecendo o pulso inicial E (z=0, t)
Solução: determine ∂E / ∂z (i.e., como E varia ao longo de z)
∆
ρf = 0
E = - ∂ B/ ∂t
∆H = Jf + ∂ D/ ∂t
• ∆
D =
• ∆
B = 0
Equações constitutivas:
D = εo E + P
B = µo H + M
D, H fluxo elétrico e magnético
P descreve a resposta do material à presença do campo elétrico
Óptica não-linear em fibras
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∆
E) = - ∂/∂t B = ( - ∂ / ∂t ( µo
∆
∆
H ) = - µo ∂2 / ∂t2(εo E + P)
∆
∆
(
∆
E) = - 1/c2 ∂2 E /∂t2 - μo ∂2 P /∂t2
Elimina termos magnéticos B e H
∆Para resolver para P precisa-se de mecânica quântica. Longe de resonâncias,
vale a expansão de Taylor :
P = εo [ χ(1) E + χ(2) E•E + χ(3) E•E•E + …] Aproximação de dipolo elétrico
(termos do tipo B E, E. E, etc são desprezados)
∆
Óptica não-linear em fibras
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∆
E) = (
∆ ∆
•E) - 2 E(
∆ ∆
2 E - 1/c2 ∂2 E /∂t2 = μo ∂2 P /∂t2
∆Pulse propagation equation
Óptica não-linear em fibras
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-
∆2E Pµo=∂
2
∂ t2
1c2
E ∂2
∂ t2Equação de onda para luz em materiais
P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) E.E.E + ...
não-linearlinear
[1 + χ(1)]+∂2
∂ z2
E ω2
c2E = 0
Caso linear: P ~ E
Assuma modos transversais: autoestados de propagação
Seja Etot = E (z) exp (iωt) + E* (z) exp (-iωt)
n2 (depende de ω = dispersão)
Óptica não-linear em fibras
∂2
∂ y2
E∂2
∂ x2
E + +
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Sellmeier equation
n
ωα/c ω
ω
ωo
Normal dispersion
Anomalous dispersion
n decreases with ω
Refractive index is well described far from resonances by:
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Equação de onda para luz em materiais
Solução:
Separa variáveis e elimina x e y: E (r,t) = F(x,y) A(z,t) exp [i(βz-ωt)] x
Equação transversal: ∂2 F /∂x2 + ∂2 F /∂y2 + [ε(ω)Ko2 - β2] F = 0
Condições de contorno fazem aparecer modos
F(x,y) são funções de Bessel, combinadas em HEmn e EHmn
LP01 LP11 LP02
+
∆2E Pµo=∂
∂ t2
n2ω2
c2
E ∂2
∂ t2
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P = o (1) E + o (3) E.E.E
Seja Etot = E (z) exp (iωt) + E* (z) exp (-iωt)
E.E.E = E 3 exp 3(iωt) + 3 E E* E exp (iωt) + 3 E* E E* exp (-iωt) + E *3 exp 3(-iωt)
ITHG
E.E.E = E 3 exp (i 3ω t) + 3 I E exp (iωt) + cc
O termo não-linear pode ser expresso como uma correção de n P = o (1) E + (3 o (3) I.) E
(n0 + n2I)Índice de refração depende da intensidade
Automodulação de fase
Assuma modos transversais: autoestados de propagação
I
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Consequências da automodulação de fase
• o índice de refração é alterado pelo próprio pulse de luz
• SPM depende da intensidade do pulso
• Na presença de SPM a onda se adianta ou se atrasa
• Isto se traduz na mudança da frequência do pulso
• O espectro se alarga: as caudas não sofrem SPM
o pico sofre SPM, λ muda
λ
λ
t
No SPM
SPM
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Pulso = cos (ωot-kz)Fase instantânea = (ωot-kz) = (ωot-2πnz/λ)Frequência instantânea ∂Φ/∂z = ωo if n = no
ωo-2πn2z/λ dI/dz if n = no + n2I
Chirp: varredura de frequências, Desenvolvido durante a 2a guerra para compressão de radar
Com SPM o espectro alarga mesmo se a forma do pulso permanecer constante (na ausência de dispersão)Depende de dI/dT, altas intensidades criam um chirp grande
Óptica não-linear em fibras
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A frente do pulso se torna avermelhada
A causa se desloca para o azul
Varredura linear onde o pulso é mais intenso
Varredura positiva: frequência aumenta
Pulsos quadrados só tem SPM durante as rampas
Qual é o chirp induzido por um laser CW de 200 W ao longo de uma fibra de 1 km-long devido a SPM?
frentecauda
ω+ δω ω
ωo
ω - δω
Time
Time
Automodulação de fase
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ω
Time
Mesma frequência, diferentes temposinterferência
Qualitativamente: porque oscilações?
Automodulação de fase
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Em fibras de vidro
P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) E.E.E + ...
Quando um campo DC é gravado (poling)
P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) Erec Eappl E + ...
(2)eff
Quando um campo intenso é aplicado
P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) Eappl Eappl E + ...
Kerr
effect
Outros efeitos não-lineares de 3a ordem
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Outros efeitos não-lineares de 3a ordem
SHG com campo gravado
Efeito eletro-óptico com um campo DC gravado
22==+++ 0(3)
0dc
22==+++ 0(3)(3)
0dc0dc0dc
=++0
0dc(3) =++0
0dc0dc0dc(3)(3)
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Poling
(2) = 0 in fibras(2) = 0 in fibras
Não exibe não-linearidade de segunda ordemNão exibe não-linearidade de segunda ordem
Vidro é um material simétricoVidro é um material simétrico
Quebrando a simetria: Grava-se um campo permanente DC!
Poling
Quebrando a simetria: Grava-se um campo permanente DC!
Poling
Apesar de (2) ainda ser zero, Apesar de (2) ainda ser zero,
(3) EDC . E . E ~ (2)eff E . E(3) EDC . E . E ~ (2)eff E . E
P
E
P
E
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Gravando o campo elétrico
IR, visible (optical poling)
Visible + electric field (optical-field assisted poling)
UV + electric field (UV poling)
Fs + electric field (fs poling)
-rays + electric field (gamma-ray poling)
Heat + electric field (thermal poling)
Ion implantation
Heat + electrostatic charging (thermal charging)
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Poling óptico
FiberNd:YAG laser
SH
IR.
Fiber
Seeded
Nd:YAG laser
SH
IR.KTP
P2ω ~ Eω Eω Erec
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Poling óptico
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 801E-7
1E-6
1E-5
1E-4
1E-3
0.01
0.1
1
10
SH
Pow
er (
mW
)
Time (minutes)
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Optical poling
Fibra atacada com HF e examinada num microscópio
Rede com QPM é gerada pelo campo óptico
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++
--
silicasilica
280 280 ooCCR. Myers, S. Brueck et al, Opt. Lett. 16, 1732 (1991)
Strong recorded electric field~108 - 10 9 V/m !
Top layer < 15 µm
2 mm
Poling fused silica
Create an effective (2) Create an effective (2)
(3) Edc . E . E ~ (2)eff E . E(3) Edc . E . E ~ (2)eff E . E
Poling térmico
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Poling sobre um hot-plate
3 dB 3 dB
Active arm
Reference arm
HOT-PLATE~265 oC
High voltage
280 oC
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Fibras electroópticas
Índice depende fracamente do campo aplicadoÍndice depende fracamente do campo aplicado
Applied fieldLow amplitude
Small phase shift
Antes do polingSó efeito Kerr
P = PL + Eω Eappl Eappl
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Applied field
P = PL + Eω Erec Eappl
Low amplitudeSmall phase shift
Depois do polingSó efeito Kerr
Erecorded
P = PL + Eω Eappl Eappl
Antes do polingSó efeito Kerr
Índice depende do campo aplicadoÍndice depende do campo aplicado
Fibras electroópticas
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Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 23 www.acreo.se
Applied field
P = PL + Eω Erec Eappl
Erecorded
P = PL + Eω Eappl Eappl
Large phase shiftLow amplitude
Índice depende do campo aplicadoÍndice depende do campo aplicado
Fibras electroópticas
Depois do polingSó efeito Kerr
Antes do polingSó efeito Kerr
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0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Vo
lta
ge
[kV
]
Time [s]
-0,06
-0,04
-0,02
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
In
ten
sity [
mV
]
Caracterização
Mach-Zehnder
3 dB3 dB 3 dB3 dB
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Modulador de fase electroóptico
Componente a fibra polarizada
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Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 26 www.acreo.se
Modulador eletroóptico a fibraModulador eletroóptico a fibra
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14-60
-40
-20
0
20
40
60
80
Phase
shift
( r
ad
ian
s
Applied voltage (kV)
110 π phase shiftΧ(2) = 0.25 pm/V
Vπ = 110 V
Phase modulator
Typical values @ 1 µm
Vπ ~ 100 V
Electrical bandwidth: 20 MHz
Loss: 1 dB (fast axis)
10 dB (slow axis)
Χ(2) = 0.25 pm/V
Typical values @ 1 µm
Vπ ~ 100 V
Electrical bandwidth: 20 MHz
Loss: 1 dB (fast axis)
10 dB (slow axis)
Χ(2) = 0.25 pm/V
Slow
Fast
OE 17, 1553 (2009)
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Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 27 www.acreo.se
Depois do poling
1540 1545 1550 1555 1560-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Tra
nsm
issi
on (
dB)
Wavelength (nm)
U = 0 V U = 38 V
ΔL = L2 – L1 ~ 200 µm
Vπ = 38 V
2x2 push-pullfiber switch/modulator
3 dB3 dB
Interferometro Mach-Zehnder a fibra
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Transmissão de vídeo
Poled fibre modulator for video transmission
Det.Det.
1V1V 15Vpp15VppVideosourceVideosource
fiber interf.fiber interf.ElectroopticalElectrooptical
Fiber linkFiber link
CW laserCW laser
TVTV
Acreo – ECOC 2004 exhibition
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Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 29 www.acreo.se
Transmissão de vídeo
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Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 30 www.acreo.se
Quasi-phase matching in poling óptico
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Length
Phase matched
QPM in Xtal
QPM by Erasure
SHG
Not phase matched
Coherencelength
Comprimento de coerência:
• em cristais ~5 µm • em fibras ~40 µm
Quasi phase-matching
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Apagamento periódico com UV
Poling creates a uniform (2) in the coreχ
Periodic UV erasure
Metal-filled contacted fiber
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Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 33 www.acreo.se
Determinando o período necessário
FiberNd:YAG laser
SH
IR.
Fiber
Seeded
Nd:YAG laser
SH
IR.KTP
P2ω ~ Eω Eω Erec
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Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 34 www.acreo.se
Optical poling
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 801E-7
1E-6
1E-5
1E-4
1E-3
0.01
0.1
1
10
SH
Pow
er (
mW
)
Time (minutes)
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Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 35 www.acreo.se
Optical poling
Etched fiber under microscope
36.1 µm
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Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 36 www.acreo.se
500 510 520 530 540 550 5600
10
20
30
40
50
60
70
80
Sig
nal (
nW)
Wavelength (nm)500 510 520 530 540 550 5600
20406080
100120140160180200
Sig
nal (
nW)
Wavelength (nm)
Two sets of gratings
![Page 37: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/37.jpg)
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500 510 520 530 540 550 5600
20406080
100120140160180200
S
ign
al (
nW
)
Wavelength (nm)
Reproducibility in wavelength
![Page 38: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/38.jpg)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 38 www.acreo.se
510 515 520 525 530 535 540 545 550
34.0
34.5
35.0
35.5
36.0
36.5
37.0
37.5
38.0
Q
PM
per
iod
(µm
)
Wavelength (nm)
531.0 nm - 36.276 m532.0 nm - 36.400 m532.2 nm - 36.429 m
Linearidade: período para QPM
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High-average-power second-harmonic generationfrom periodically poled silica fibers, A. Canagasabey et al, Opt Lett, 15 Aug 2009
Fibra poled periodicamente
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Stimulated Raman scattering (Blillouin…)
Energy is lost to vibrations (in silica peak ~440 cm-1)
Shift from 1.06 µm to 1.12 µm, and then 1.18 µm, 1.24 µm…
Shift at 1.48 µm is to 1.58 µm
At room temperature, most atoms are in their vibrational ground state
Laser excites vibrations (Stokes)
Laser de-excites vibrations extremely unlikely (no anti-Stokes peak seen)
Espalhamento Raman
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Espalhamento Raman
Espalhamento Raman estimuladoGanho do espalhamento Raman
![Page 42: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/42.jpg)
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Espalhamento Raman estimulado
![Page 43: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/43.jpg)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 43 www.acreo.se
Na aproximação de envelope variando lentamente
∂A/∂z + β1 ∂A/∂t + i/2 β2 ∂2A/∂t2 + αA/2 = + i γ |A|2 A
Redefine time origin (travel with pulse referential)
i∂A/∂z = -iαA/2 + 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A
γ = n2ωo/cAeff nonlinear coefficient of the fiber (in STF γ ~2/W km)
β1 = 1/vG
β2 = GVD parameter
Equação de onda para luz em materiais2
+
∆2E Pµo=∂
∂ t2
n2ω2
c2
E ∂2
∂ t2
![Page 44: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/44.jpg)
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i∂A/∂z = -iαA/2 + 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A
AbsorptionDispersion
Nonlinearity
Como estimar a importância destes efeitos?
(Govind rules ok!)
LD = To2 /|β2| Comprimento de dispersão
LNL = 1/γPo Comprimento de não-linearidade
Equação não-linear de Schroedinger (when α~0)
i∂A/∂z = 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A
![Page 45: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/45.jpg)
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i∂A/∂z = 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A
Normalizing for pulse duration and power
t = T/To
A(z,t) = √Po exp(-αz/2)U(z,t)
i∂U/∂z = ± 1/2LD ∂2U/∂T2 – 1/LNL exp(-αz) |U|2 U
(sign of β2)
Third order dispersionn(I) leads to ∆β(ω)Self-steepening
Delayed material responseRaman SFS
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Four regimes:
1) L<<LD and L<<LNL no dispersion, no nonlinearity
2) L>LD and L<<LNL dispersion, no nonlinearity
3) L<<LD and L>LNL no dispersion, nonlinearity
4) L>LD and L>LNL dispersion, nonlinearity
Quatro regimes de pulsos
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LD = To2/β2 large: long pulse (or low dispersion)
LNL =1/γPo large: low power (or low nonlinearity)
i∂U/∂z = ± 1/2LD ∂2U/∂t2 – 1/LNL exp(-αz) |U|2 U
i∂A/∂z = -iαA/2
A = Ao exp(- αz)
i∂A/∂z = -iαA/2 + 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A
Caso 1
Pulso apenas se atenua
time
λ
time
λ
![Page 48: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/48.jpg)
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No nonlinearity (intensity or γ too low)
For example, To = 1 ps, Po = 1 mW
L>LD and L<<LNL dispersion, no nonlinearity
GVD governs propagation: i∂U/∂z = β2/2 ∂2U/∂T2
Solve using Fourier transform
The phase depends on the frequency (and propagated distance)
Red and blue are phase shifted by different amounts
Caso 2: dispersão
![Page 49: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/49.jpg)
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dispersiontime time
λ λ
redblue
What happens to a chirped pulse when it propagates under a regime dominated by GVD? Predispersed
If the pulse is chirped to start with, the pulse duration can narrow due to GVD
Caso 2: dispersão
![Page 50: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/50.jpg)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 50 www.acreo.se
Chromatic dispersion
Dispersão cromática
Broadband optical input
Broadband optical output
![Page 51: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/51.jpg)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 51 www.acreo.se
Problema em telecom
Input
Output
1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
![Page 52: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/52.jpg)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 52 www.acreo.se
No dispersion but SPM; L<<LD and L>LNL α = 0
∂U/∂z = i/LNL |U|2 U
Typically for SMF: LNL ~1 km (at 1W power)
Solution: U gains a nonlinear phase along z
U(z,T) = U(0,T) exp (iΦNL(z,T))
where
ΦNL(z,T) = 1/LNL |U(0,T)|2
How does the shape of the pulse change under SPM only?
|U(z,T)|2 = |U(0,T)|2 exp(iΦNL(z,T) exp(-iΦNL(z,T)
No change!
zeff
Caso 3: não-linearidade (SPM)
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Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 53 www.acreo.se
Caso 3: não-linearidade (SPM)
![Page 54: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/54.jpg)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 54 www.acreo.se
SPM broadens spectrum of unchirped pulse
New frequencies appear on front and trailing edges
The pulse becomes less coherent
In the absence of dispersion, no change in pulse shape in time
SPMtimetime
λλ
Caso 3: não-linearidade (SPM)
![Page 55: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/55.jpg)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 55 www.acreo.se
SPM and Dispersion; L>LD and L>LNL
i∂U/∂z = ± 1/2LD ∂2U/∂t2 – 1/LNL |U|2 U
The sign of β2 is decisive:
- the effects of dispersion and SPM add to each other (normal regime)
+ the effects of dispersion and SPM can cancel each other (anomalous)
Soliton!
Caso 4: dispersão e não-linearidade
![Page 56: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/56.jpg)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 56 www.acreo.se
Regime de dispersão normal, β2 positivo (D negativo)
Pulso alarga
Espectro alarga
Caso 4: dispersão e não-linearidade
![Page 57: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/57.jpg)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 57 www.acreo.se
Dispersão anômala, β2 negativo (D positivo)
Pulso e espectro atingem
Um regime estacionário
Forma do pulso U(t) = sech (t)
Caso 4: dispersão e não-linearidade
![Page 58: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/58.jpg)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 58 www.acreo.se
Dispersion
No dispersionSoliton
![Page 59: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/59.jpg)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 59 www.acreo.se
Cross-phase modulation
Refractive index at λ1 is affected by the presence of pulse at λ2
PNL(ω1) = χeff ( |E1|2 + 2|E2|2)E1
PNL(ω2) = χeff ( |E2|2 + 2|E1|2)E2
PNL(2ω1- ω2) = χeff E12 E2*
PNL(2ω2- ω1) = χeff E22 E1*
Parametric mixing, four-photon mixing
![Page 60: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/60.jpg)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 60 www.acreo.se
Parametric amplification
![Page 61: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/61.jpg)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 61 www.acreo.se
![Page 62: Problema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813342550346895d9a3820/html5/thumbnails/62.jpg)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 62 www.acreo.se
The end