problema isotopo (ecuaciones diferenciales)

7/25/2019 Problema Isotopo (Ecuaciones diferenciales)

1/8

1.10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 55

1.10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

Ejemplo 1.10.1 Decaimiento radiactivo

El istopo radiactivo Torio 234 se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad

presente. Si 100 miligramos de este material se reducen a 82.04 mg. en una semana,encontrar una expresin para la cantidad presente en cualquier instante. Encuentre tambin

el intervalo de debe transcurrir para que la masa caiga a la mitad de su valor original.

Siendo (en miligramos), la cantidad de Torio 234 presente en cualquier instante t(en

das).[1]

( )Q t

La funcin ( )d

Q t Qdt = (1)

Donde representa la proporcionalidad y la podemos sustituir por kquedando

( )d

Q t kQdt

= (2)

Siendo esta una constante negativa que se debe determinar, deseamos la solucin que

satisfaga las condiciones iniciales Q(0) 100= y Q(7) 82.04=

Utilizando la ecuacin general de decaimiento comentada en la seccin 1.1

( ) ktQ t ce= (3)

Donde es una constante arbitraria, la primera condicin inicial requiere c por lo

que tenemos

c 100=

( ) 100 ktQ t e= (4)

Trabajando con la segunda condicin haciendo 7t= y ( ) 82.04Q t = tenemos que

, por lo tanto782.04 100 ke= (.8204)7

lnk=

Resultando k d (5)10.02828( )= as

Instituto Tecnolgico de Chihuahua / C. Bsicas Amalia C. Aguirre Parres


2/8


Sustituyendo (5) en la ecuacin (4),queda el cual representa el valor

de ten cada instante.

.02828( ) 100 tQ t e mg =

El periodo en el cual la masa a la mitad de su valor original, se le conoce como vida media

del material.

Sea el tiempo en el cual Q t ( ) 50mg=

Obteniendo la ecuacin 50 o bien100 kte= ( )ln 2k= , las ecuaciones anteriores no son

solo vlidas para el Torio 234, sino para cualquier material que obedezca la ecuacin

diferencial inicial.(3), ( ) ktQ t ce=

Sustituyendo para el Torio 234 en la ecuacin nos queda ( )2 24.5( ).02828ln dias

=

Ejemplo 1.10.2 Poblacin

Suponiendo que un estanque de lagartos posee inicialmente 100 especimenes, y que su tasa

de mortandad es (de tal manera que no se estn muriendo en ese momento), la tasa de

natalidad es

0 =(0.0005)= de tal manera que aumenta conforme aumenta la poblacin.

De tal manera que podemos manejar la frmula ( )

2dP

Pdt =

(6)

De lo cual ( ) 2.0005dP

Pdt

= , 0= con dada en aos .t

Separando variables, ( )2 .0005dP

dtP

=

Integrando1

0.0005t cp

+ = cuando 0, 100t P= =

Entonces

1

100=

c , de tal manera que

2000

( ) 20P t t=

Si entonces10t=2000

(10) 20020 10

P = =

, lo cual significa que despus de 10 aos se

duplicar la poblacin de lagartos.



3/8


Ejercicio 1.10.3 Mezclas

En un gran tanque con 1000 litros de agua pura se comienza a vaciar un solucin salina con

una velocidad constante de . La solucin dentro del tanque se mantiene revuelta

y sale del tanque a razn de tambin. Si la concentracin de sal en la solucin

que entra en el tanque es de / .

6

0.1

/ minL

6 / mL

Kg L

in

Figura 1.10.1Tanque para lquido, con la misma razn de flujo

Determinar el momento en que la concentracin de sal en el tanque llegue a 0.05 ?/Kg L

Podremos ver el tanque como un compartimiento que contiene sal. Siendo ( )x t es la masa

de la sal, en el tanque en el instante t, podemos determinar la concentracin de sal en eltanque dividiendo ( )t entre el volumen del fluido en el tanque en el instante t

Utilizandodx

dt= razn de entrada - la razn de salida (7)

para encontrar ( )t , determinaremos la razn con la que sale la sal del tanque.

La solucin fluye hacia el tanque a razn de , con la concentracin de 0.1

.

6 / minL

/Kg L

La razn de entrada de sal en el tanque es 6 0.1 0.6min

L Kg

L m

=

Kg

in (8)



4/8


La solucin salina se mantiene perfectamente mezclada, de modo que podemos suponer

que la concentracin de sal en el tanque es uniforme. O sea, en cualquier instante t la

concentracin es ( )t en cualquier parte del tanque, entre el volumen del fluido en el

tanque. Como el tanque al inicio tena 1000 , y la razn de flujo de entrada y salida del

tanque es la misma, el volumen se mantiene constante en 1000 ,

L

L

De tal manera que la razn de salida de la sal es

( ) 3 ( )6

min 1000 500 min

L x t Kg x t k

L

=

g (9)

Al inicio el tanque contena agua pura, o sea (0) 0x =

Al sustituir las ecuaciones anteriores, en

dx

dt= razn de entrada - la razn de salida (10)

Para encontrar ( )x t , tenemos

30.6

500

dx

dt= (11)

Tal ecuacin es el modelo matemtico para un problema de mezclas.

Ahora resolviendo la ecuacin (11),300 3

500

dx x

dt

=

Despejando300 3 500

dx dt

x=

Integrando, tenemos1 1

(300 3 )3 500

ln x t c= +

Multiplicando por nos queda3

3(300 3 ) 3

500ln x t c = (12)



5/8


Aplicando propiedades de logaritmos3

3(300 3 ) 500

t cln xe e

+ =

O bien3

5003 3t

x ce

=300 despejando,3

500 100t

x ce

= , finalmente

3

500100t

x ce

= (13)

Sustituyendo condiciones iniciales para 0, 0x t= = tenemos que 00 100ce= +

De lo que la ecuacin quedara como c 100= , resultando

3

500100 1t

x e

=

(14)

Y nuestra ecuacin final se establece como3

500( ) 100 1t

x t e

=

Pero en el tanque tenemos 1000 litros de agua, por lo que la ecuacin de la concentracin

de sal en el instante t. que corresponde es

3

500( )

0.1(1 )

1000

tx te

= /Kg L (15)

Para determinar el instante en el que la concentracin de sal sea / igualamos la

anterior ecuacin de lo cual resulta

0.05 Kg L3

500(1 ) 0.05t

e

=0.1

3

5000.05

10.1

t

e

= + ,3

500 0.5t

=e ,3

500( ) (0.5)t

e Ln

=ln quedando3

0.6931500

t =

Resultando500

0.69313

t

=

115.52 mint= , en otras palabras, la concentracin del

tanque ser de / una vez que haya transcurrido 115.520.05 Kg L min

Ejemplo 1.10.4. Circuito Elctrico



6/8


Suponiendo que un condensador de CFarads soporta una carga inicial de Q Coulombs.

Para modificar esa carga, se aplica un voltaje constante de V Volts, a travs de una

resistencia de R Ohms, Describir la carga del condensador para 0t>

Como es constante, utilizando la siguiente ecuacin la cual es determinada por la

ley de Kirchhoff.

( )E t V=

( ) ( )( )

dq t q t R E t

dt C+ = , ecuacin de Voltaje en un circuito RC (16)

Dividiendo entre R ,

1( ) ( )d q t q t dt RC R

+ V= (17)

La cual queda en la forma estndar de una ecuacin lineal.

Siendo1

( )p tRC

= y el factor de integracin1

( )dt

RCu t e= ,

1

( )t

RCu t e=

Resolviendo la ecuacin diferencial, multiplicando por el factor de integracin a la

ecuacin diferencial

1 1( ) 1

( )t

RC RCdq t V

e q tdt RC R

+ =

t

e (18)

Observando (18), vemos que el lado izquierdo de la ecuacin corresponde a

1 1t

RC RCd V

e q edt R

=

t

(19)

Expresando la integral de ambos lados1 1

t tRC RC

d Ve q e d

dt R

=

t

Completando el diferencial1 1

t tRC RC

d Ve q RC e d

dt R

=

t



7/8


Integrando1 1

tRC RC

VRC e k

R

= t

+e q , simplificando1 1

tRC RCCVe

t

ke q= + , despejando

1t

RCq CV ke

= + (20)

Por lo que nos queda

1

( )t

RCq t CV ke

= + (21)

Como la condicin inicial es ( )q t Q= , en 0t= entonces

Sustituyendo condiciones iniciales en (21) ,( )

10

RCQ CV ke

= +

Por lo tanto Q C , despejandoV k= + k Q CV =

Sustituyendo el valor de nos quedak1

( ) ( )t

RCq t CV Q CV e

= +

Ejemplo 1.10.5 Poblacin

En cierta poca la poblacin del mundo era5.5 mil millones de habitantes, la tasa de

crecimiento aument a mil personas diariamente, Suponiendo que la tase de natalidad

y mortalidad se mantuvieron constantes.

250

En cuantos aos se esperara una poblacin mundial de 11 millones, (o sea el doble)? [5]

De la ecuacin, , mencionada en la seccin 1.1, renombrando las variables,0( ) kty t y e=

0( ) ktP t p e= (22)

Donde es la poblacin mundial en miles de millones y el tiempo ten aos, tomando

correspondiente al ao inicial, de modo que

( )P t

0t= 0 5.5P = , como fue aumentando en

mil, o bien mil millones de personas diarias en el instante t

P

250 6250*10

0=



8/8


Tenemos de (22), en0( ) ktP t p e= 0t= (0) 0.00025(365.25)P = , ya que un ao equivale

a 365.25 das . O bien miles de millones por ao(0)P = 0.0913125

Derivando (23)0( )

ktP t kp e=

Ya que es la razn de cambio del crecimiento de la poblacin con respecto al tiempo

Despejando la constante

0

( )kt

P tk

p e= (24)

Si t , entonces0=0

(0)Pkp=

, por lo que 0.09131255.5

k= , resulta 0.0166k=

De tal manera que la tasa de crecimiento en esa fecha fue de 1.66%

Si se desea determinar el tiempo en el cual la poblacin ser de 11 millones, entonces

o bien0.016611 ( ) 5.5 TP T e= = 0.016611

5.5

Te=

De tal manera que ( )0.016611

5.5

Tln e ln

=

, de lo cual resulta ( )0.0166 2T ln=

Despejando( )2

0.0166

ln=T , resultando que

0.6931

0.0166=T , por lo que

41.75T= aos (25)

De tal manera que basndose en la referencia, y que las tasas de natalidad y mortandad se

mantuvieran constantes, en casi 42 aos la poblacin sera el doble, de la fecha hipottica.


problema isotopo (ecuaciones diferenciales)

Documents