1. La figura muestra un sistema formado por dos esferillas idnticas de masas m y una plataforma mvil de masa M. Si el sistema parte del reposo de la posicin mostrada en la figura, determine las rapideces de las esferillas en el instante en que estas se encuentran a punto de chocar en la parte inferior de su trayectoria. Desprecie todo tipo de rozamiento.

Resolucin

Vamos a analizar el sistema esferillas-plataforma y aplicaremos el principio de conservacin de la energa mecnica y el principio de conservacin de la cantidad de movimiento en la direccin horizontal.

Se cumple el principio de conservacin de la energa mecnica (PCEM) debido a que las fuerzas de gravedad de las partes del sistema son conservativas y las fuerzas de interaccin entre las esferillas y la plataforma (reaccin normal) no realizan trabajo sobre el sistema debido a que no originan un desplazamiento relativo a lo largo de estas fuerzas.

Se cumple el principio de conservacin de la cantidad de movimiento (PCCM) del sistema en la direccin horizontal (eje x) debido a que sobre el sistema NO acta ninguna fuerza horizontal.

Consideraremos como estado inicial el estado donde el sistema parte del reposo y como estado final el estado en donde las esferillas se encuentran en la parte

inferior de su trayectoria. Como R2 es mayor que R1 es de esperar que v2 sea

mayor que v1.

Por PCEM:

2 2 21 2 1 2

2 2 21 2 1 2

1 1 1

2 2 2

2 ( ) ... (1)

inicial finalEM EM

mgR mgR mv mv Mu

mv mv Mu mg R R

=

+ = + +

+ + = +

Por PCCM:

1 2

2 1

0 ( )

( )... (2)

x xinicial finalP P

mv Mu m v

m v vu

M

=

= + + --

=

Reemplazando (2) en (1) realizando las operaciones y simplificado tenemos:

2 22 1 2 1 1 2( ) ( ) 2 2 ( ) 0M m v M m v mv v Mg R R+ + + - - + =

A partir de esta ecuacin podemos concluir que la rapidez y = v2 es una funcin

de la rapidez x = v1. Dividiendo la expresin anterior entre (M + m):

2 2 1 22 ( )2 0 ... ( )Mg R Rm

y x yxM m M m

a++ - - =+ +

La grfica de esta relacin es una elipse rotada que es simtrica respecto de la bisectriz del primer cuadrante. Como y > x solo consideraremos la relacin cuya grfica se muestra como una lnea slida de color azul.

Para determinar el mximo valor de la variable y utilizaremos el criterio de la

derivada. Obtenemos la derivada de la expresin y = y(x) respecto de la variable

x y esta la igualamos a cero.Derivando implcitamente la expresin (a) respecto de la variable x tenemos:

22 . ' 2 ( )( ' ) 0

my y x y x y

M m+ - + =

+

De esta expresin, despejando la derivada y e igualndola a cero tenemos que:

2( ) 2

' 0 ( )2( ( ) )

my x

mM my x y

m M my xM m

-+= = \ =

+-+

Reemplazando en la ecuacin (a):

2

2 1 22 ( )2( ) ( ) 0Mg R Rm m m

y y y yM m M m M m M m

++ - - = + + + +

De aqu, despejando se deduce que:

2 1 22 ( )( )2

M my v g R R

M m

+= = +

+

Y por tanto:2

1 21

2 ( )

( )( 2 )

g R R mx v

M m M m

+= =

+ +