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Problema 1: Il campo magnetico • Si espongano, in maniera sintetica, gli elementi fondamentali relativi ai seguenti argomenti: Magnetismo. Campi magnetici prodotti da correnti elettriche. Effetti dei campi magnetici sulle cariche in moto. Momento torcente su una spira di corrente. Momenti magnetici. Orbite di particelle cariche in campi magnetici. • Si risolvano i seguenti quesiti, inerenti agli argomenti di cui sopra: 1. Un fascio di ioni aventi ciascuno una sola carica si muove in una regione di spazio sede di un campo elettrico uniforme 𝐸 = 10! !
! e di un campo magnetico uniforme 𝐵 = 2 ∙ 10!!𝑇.
Il campo elettrico e quello magnetico sono ortogonali ed entrambi perpendicolari al fascio. Qual è la velocità di quegli ioni che si muovono senza deviare attraverso i due campi incrociati? Gli ioni non deviati entrano attraverso una fenditura in un campo magnetico uniforme 𝐵! = 0,09 𝑇 , perpendicolare alla direzione del loro moto. Se si tratta di una miscela di ioni neon di masse 20 e 22 UMA rispettivamente, a quale distanza cadranno le due specie di ioni su una lastra fotografica, dopo aver percorso una semicirconferenza?
𝑣 =𝐸𝐵 = 5 ∙ 10! 𝑚 𝑠 ; ∆𝑅 =
∆𝑚 ∙ 𝑣𝑒𝐵!
; 𝑑 = 2∆𝑅 = 2,31𝑐𝑚
2. Secondo il modello di Bohr, nell’atomo di idrogeno un elettrone ruota attorno ad un protone in un’orbita circolare di raggio 𝑎! = 0,53 ∙ 10!!"𝑚 con un periodo 𝜏 = 1,523 ∙10!!"𝑠𝑒𝑐. Si calcoli il valore del campo magnetico B al centro dell’orbita dell’elettrone e il valore del momento magnetico equivalente 𝜇!(“magnetone di Bohr”).
𝐵 =𝜇!2
𝑖𝑎!=𝜇!2
𝑒𝜏𝑎!
= 12,45𝑇; 𝜇! = 𝑖𝑆 =𝑒𝜏 𝜋𝑎!
! = 9,27 ∙ 10!!" 𝐽 𝑇
3. Una spira circolare di raggio R, percorsa da una corrente di intensità i, genera in un punto P sull’asse della spira e precisamente ad una distanza z dal centro di questa, un campo magnetico la cui intensità B è data da:
𝐵 =𝜇!2
𝑖𝑅!
𝑅! + 𝑧! !! .
Si studino le due funzioni 𝐵 = 𝑓 𝑅 𝑒 𝐵 = 𝑓(𝑧) e si commentino i grafici ottenuti.
𝑎) 𝐵 = 𝑓 𝑅 𝑚 0, 0 𝑀 𝑧 2,𝜇! 39
𝑖𝑧
𝐹! 0,434𝑧;… 𝐹!(2,305𝑧;… )
𝑏) 𝐵 = 𝑓 𝑧 𝑀( 0,𝜇!2
𝑖𝑅 )
𝐹𝑅2 ,4𝜇! 525
𝑖𝑅
-‐ Unità di massa atomica 1𝑈𝑀𝐴 = 1.6605 ∙ 10!!"𝑘𝑔 Carica dell’elettrone 𝑒 = 1,60 ∙ 10!!"𝐶 Permeabilità magnetica del vuoto 𝜇! = 4𝜋 ∙ 10!! 𝐻 𝑚 .
Problema 2: La relatività ristretta. • Si espongano, in maniera sintetica, gli elementi fondamentali relativi ai seguenti argomenti: Le basi della relatività ristretta. I postulati di Einstein. Le trasformazioni di Lorentz. La contrazione della lunghezza e la dilatazione del tempo. Variazione della massa con la velocità. Massa ed energia.
• Si risolvano i seguenti quesiti, inerenti agli argomenti di cui sopra: 1. La stella più vicina alla Terra è “ Proxima Centauri ” (una delle componenti della stella
tripla “ Alpha Centauri “), la cui distanza è 4,3 anni luce. Se un astronauta compisse il viaggio dalla Terra a “ Proxima Centauri “ con una velocità uniforme v = 0,95 c, quanto tempo impiegherebbe secondo un orologio situato sulla Terra? Quanto impiegherebbe secondo l’orologio dell’astronauta?
4,526 anni; 1,413 anni
2. Dal superprotosincrotrone (SPS) del CERN di Ginevra emergono protoni la cui velocità è solo di 822 m/sec inferiore a quella della luce. Quanto sembra lunga a questi protoni una traiettoria circolare di raggio r= 1200 m nel laboratorio? Qual è la massa di questi protoni? E la loro energia cinetica?
𝑆𝑒 𝛽 ≅ 1 𝑣 ≅ 𝑐 ∶ 1− 𝛽! = 1+ 𝛽 1− 𝛽 ≅ 2 1− 𝛽 .
1− 𝛽! ≅ 2,34 ∙ 10!!; 17,643 𝑚; 𝑚 ≅ 427 𝑚!; 𝐸! ≅ 400 𝐺𝑒𝑉 3. Dall’espressione relativistica dell’energia cinetica 𝐸! si ricavi 𝑣! in funzione di 𝐸! ,
verificando che risulta:
𝑣! = 𝑐! ∙𝐸!! + 2𝑚!𝑐!𝐸!𝐸! +𝑚!𝑐! ! .
Si studi la funzione 𝑣! = 𝑓 𝐸! e si commenti il grafico ottenuto. Si scriva infine l’equazione della tangente in O a tale grafico e la si confronti con l’espressione classica di 𝑣! in funzione di 𝐸! .
𝐴.𝑂. 𝑣! = 𝑐! !; 𝑣! =2𝐸!𝑚!
-‐ Velocità della luce nel vuoto 𝑐 ≅ 3 ∙ 10! 𝑚/𝑠 Energia a riposo del protone 𝑚!𝑐! = 938,259 𝑀𝑒𝑉.
Problema 3: Capacità elettrica e condensatori • Si espongano, in maniera sintetica, gli elementi fondamentali relativi ai seguenti argomenti: Capacità di un conduttore. Capacità di un conduttore sferico. Condensatori. Condensatore piano. Condensatori in serie e in parallelo. Energia di un condensatore carico. • Si risolvano i seguenti quesiti, inerenti agli argomenti di cui sopra: 1. Tra le armature di un condensatore piano aventi la superficie di 15 𝑐𝑚! e distanti 3 mm sono interposti due fogli, uno di cartone dello spessore 𝑑! = 1,8 𝑚𝑚 (costante dielettrica relativa 𝜀! = 4 ) ed uno di mica (𝜀! = 6) dello spessore 𝑑! = 1,2 𝑚𝑚. Si determini la capacità del condensatore.
𝐶 =𝜀!𝜀!𝜀!𝑆
𝜀!𝑑! + 𝜀!𝑑!= 20,42 𝑝𝐹
2. Si ricavino le leggi di scarica e carica di un condensatore di capacità C attraverso una resistenza R e si traccino i rispettivi grafici; in entrambi i casi si calcoli il valor medio della differenza di potenziale V nell’intervallo di tempo [0, 𝜏], essendo 𝜏 = 𝑅𝐶 la costante di tempo.
𝑠𝑐𝑎𝑟𝑖𝑐𝑎: 𝑅! + 𝑉 = 0; 𝑉 = 𝑉!𝑒!! !"
𝑉 = 𝑉! 1−1𝑒 = 0,632 𝑉!
𝑐𝑎𝑟𝑖𝑐𝑎: 𝑅! + 𝑉 = 𝑉!; 𝑉 = 𝑉! 1− 𝑒!! !"
𝑉 =𝑉!𝑒 = 0,368 𝑉!
3. Un condensatore piano con le armature, ciascuna di superficie 𝑆 = 1𝑚!, poste a distanza
d = 2 cm, viene caricato con una d.d.p. 𝑉! = 500𝑉 ed immagazzina un’energia 𝑊 = 2,77 ∙10!! 𝐽. Si determini la costante dielettrica relativa 𝜀! del dielettrico interposto. Supposto che tale dielettrico abbia resistività 𝜌 = 2 ∙ 10!"Ω ∙𝑚, si determini il tempo necessario perché la d.d.p. tra le armature si riduca a 𝑉! = 100 𝑉.
𝜀! = 5; 𝑡 = 𝑅𝐶 ln𝑉!𝑉!= 𝜌𝜀! 𝜀! ln
𝑉!𝑉!= 14,24 ∙ 10! sec = 39,5 ℎ
-‐ Costante dielettrica del vuoto 𝜀! = 8,85 ∙ 10!!" !
!