problemario calculus

200
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA SECRETARÍA GENERAL COORDINACIÓN DE PROGRAMAS DE ATENCIÓN DIFERENCIADA PARA ALUMNOS C O P A D I PROBLEMARIO COPADI DE CÁLCULO DIFERENCIAL COORDINADORES ING. FRANCISCO BARRERA GARCÍA ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ ING. JORGE ALEJANDRO RANGEL RANGEL ESTUDIANTES AUTORES RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ RAÚL PULIDO MARTÍNEZ BOGDAD ROBERTO ESPINOSA VARGAS EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS ALEJANDRO FELIX REYES GABRIEL CALDERÓN OCHOA DANIELA GARCÍA RUBÍ IRENE RUBALCABA MONTSERRAT RAFAEL LIMA GUERRERO HUGO MENDIETA PACHECO PABLO LORENZANA GUTIÉRREZ DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA GABRIELA BERENICE VERA PADILLA RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO JUNIO DE 2005 ESTA OBRA SE REALIZÓ GRACIAS A LA DGAPA, A TRAVÉS DE UN PROYECTO PAPIME

Upload: gerardo-manuel-vazquez

Post on 28-Oct-2015

161 views

Category:

Documents


9 download

TRANSCRIPT

Page 1: Problemario Calculus

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

SECRETARÍA GENERAL

COORDINACIÓN DE PROGRAMAS DE ATENCIÓN DIFERENCIADA PARA ALUMNOS

C O P A D I

PROBLEMARIO COPADI DE CÁLCULO DIFERENCIAL

COORDINADORES

ING. FRANCISCO BARRERA GARCÍA ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ ING. JORGE ALEJANDRO RANGEL RANGEL

ESTUDIANTES AUTORES

RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ RAÚL PULIDO MARTÍNEZ BOGDAD ROBERTO ESPINOSA VARGAS EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS ALEJANDRO FELIX REYES GABRIEL CALDERÓN OCHOA DANIELA GARCÍA RUBÍ

IRENE RUBALCABA MONTSERRAT RAFAEL LIMA GUERRERO HUGO MENDIETA PACHECO PABLO LORENZANA GUTIÉRREZ DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA GABRIELA BERENICE VERA PADILLA RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO

JUNIO DE 2005

ESTA OBRA SE REALIZÓ GRACIAS A LA DGAPA, A TRAVÉS DE UN PROYECTO PAPIME

Page 2: Problemario Calculus

PRÓLOGO La Coordinación de Programas de Atención Diferenciada para Alumnos (COPADI) de la Facultad de Ingeniería de la UNAM, con algunos de los estudiantes del Programa de Alto Rendimiento Académico (PARA), y dentro de su Programa de Solidaridad Académica (PROSOLAC), se dio a la tarea de realizar sus PROBLEMARIOS COPADI. Cada uno considera una serie de ejercicios resueltos de algunas de las asignaturas con mayor grado de dificultad para los estudiantes en la División de Ciencias Básicas. Estos ejercicios son planteados y resueltos por estudiantes del PARA, y revisados por nosotros. Los objetivos de estos PROBLEMARIOS COPADI son, entre otros los siguientes:

Apoyar el desempeño académico de los estudiantes con ejercicios resueltos que les pueden ayudar a comprender y aprender los conceptos de que consta el programa de la asignatura, en este caso, CÁLCULO DIFERENCIAL, y poder así acreditarla y seguir adelante en sus estudios de ingeniería.

Reafirmar los conocimientos de los estudiantes autores en asignaturas que ya

acreditaron. Producir material didáctico para la Facultad, como un compromiso de los estudiantes del PARA.

Es importante comentar que este Problemario consta de 320 ejercicios de los temas de CÁLCULO DIFERENCIAL y, además de que se ha revisado el material, se ha pretendido dejar los ejercicios y sus enunciados tal como los hicieron y plantearon los estudiantes, ya que básicamente se trata de una publicación realizada por estudiantes y dirigida a estudiantes. Y esto es lo que le da carácter a la publicación. Sólo en ciertos casos tuvimos que incluir ejercicios cuando se consideró que hacían falta para cubrir un determinado tema. Hay ejercicios de Funciones (66), Límites y continuidad (76), La derivada y algunas de sus aplicaciones (78), Variación de funciones (máximos y mínimos) (45) y Sucesiones y series (60). Agradecemos la entusiasta ayuda de la Lic. Ana María Vieyra Ávila para el logro de esta obra, con sus labores de seguimiento, organización y convocatoria de los estudiantes autores. Es nuestro mejor deseo que este trabajo sea de utilidad para los estudiantes que cursan Cálculo Diferencial y que también sea motivo de genuino orgullo para los estudiantes que participaron en su realización, así como lo es para nosotros.

Ing. Francisco Barrera García Ing. Pablo García y Colomé Ing. Jorge A. Rangel Rangel

Page 3: Problemario Calculus

ÍNDICE Tema Página Funciones 1 Límites y continuidad 54 La derivada y algunas de sus aplicaciones 92 Variación de funciones 130 Sucesiones y series 170

Page 4: Problemario Calculus

1

FUNCIONES 1. Trazar la gráfica de la función f dada por ( ) 23f x x= − . ¿Cuáles son el dominio y el recorrido de f ? Solución. La función dada es una parábola cuya ecuación se escribe como: 23y x− = − . Su vértice está en el punto ( )0,3 , abre hacia abajo y su eje de simetría es el eje " "y . Su gráfica es:

Su dominio es: fD = y su recorrido es: ( ],3fR = −∞

ALUMNA: REYES CHAVEZ DAISY TESSIE 2. Dada la función 2( ) 5( 2) 4g x x= − − , determinar su dominio, recorrido y gráfica. Solución. Si se analiza esta función a través de la Geometría Analítica, se obtiene:

( ) ( )2 25 2 4 4 5 2y x y x= − − ⇒ + = − que es una parábola con vértice en ( )2, 4− , que abre hacia arriba y cuyo eje de simetría es la recta 2x = . Como es una función polinomial su dominio es: fD = y su recorrido: ( )4,fR = − ∞ . La gráfica es:

x

y

3 23y x= −

Page 5: Problemario Calculus

2

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ

3. Sea ( ) 22, 93

R x y y x⎧ ⎫= = +⎨ ⎬⎩ ⎭

. Indicar si la relación :R → es una función o no. En caso

afirmativo, determinar su dominio, contradominio y recorrido.

Solución. Se analiza la expresión 22 93

y x= +

( ) ( )2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 4 9 99 9 9 9 93 3 9 4 4

1 14 9 2 3

y x y x y x y x y x

y x y x

⎛ ⎞= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

− = ∴ − =

La relación es una hipérbola con centro en el origen, su eje de simetría es el eje de las ordenadas y sus semiejes son 2 en x y 3 en y . Y como solamente se consideran los valores positivos de la variable " "y , entonces sólo se toma en cuenta la rama superior y por lo tanto se concluye que es una función y su dominio contradominio (o codominio) y recorrido son:

( ] [ ) ( ); , 2 2, 2,2f f fD C y R= = = −∞ − ∪ ∞ = − −

ALUMNA: DÁVILA MERCADO MARÍA PAULA

x

y

( )2, 4−

Page 6: Problemario Calculus

3

4. Determinar el dominio de la función 2 1 1 2 4y x x= + + Solución. El radicando debe ser mayor o igual a cero. Se factoriza y obtenemos:

( )( )2 11 24 8 3x x x x+ + = + + . Por lo que hay que resolver la desigualdad ( )( )8 3 0x x+ + ≥ . Y para esto se utiliza la siguiente tabla en la que se colocan las raíces de los factores, su producto y se analiza el signo del mismo a lo largo del eje de las abscisas.

( 8 )( 3) 0 8 3x x x y x+ + = ⇒ = − = −

x 8x + 3x + ( )( )8 3x x+ +

( ), 8−∞ − − − + ( )8, 3− − + − − ( )3,− ∞ + + +

Observamos que en el intervalo ( )− −8, 3 tenemos signos negativos para x , por lo cual no podemos darle esos valores dado que es una raíz cuadrada. Entonces el dominio es: ( ] [ )= ∈ −∞ − ∪ − ∞, 8 3,fD x

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 5. Obtener el dominio y recorrido de la siguiente función 2( ) 7 12f x x x= − + + , y trazar aproximadamente su gráfica. Solución. Esta función se puede analizar de dos formas. La primera si se atiende únicamente al hecho de que el radicando debe ser mayor o igual a cero y que es factorizable; y la segunda desde el punto de vista de la Geometría Analítica ya que se trata de una cónica. De la primera forma se tiene que:

( )( )2 7 12 3 4 0x x x x+ + = + + ≥ . De donde tenemos tres opciones:

1a) ( )14 0 3 0

3 ,4 3

x xx x

φ+ > + >

∴ = − ∞> − > −

2a) ( )24 0 3 0

, 44 3

x xx x

φ+ < + <

∴ = −∞ −< − < −

3a) 3

4

44 0 3 034 3

x xx x

φφ

= −+ = + =∴

= −= − = −

Por lo tanto el dominio es: φ φ φ φ= ∪ ∪ ∪1 2 3 4fD ; ( ] [ ){ }= ∈ −∞ − ∪ − ∞ ∈, 4 3 , ;fD x x x Para el recorrido, se observa que el máximo valor que toma " "y es 0 y todos los demás valores son los reales negativos. Por lo tanto: ( ]{ }= ∈ −∞ ∈, 0 ;fR y y y . Por la Geometría Analítica se tiene que:

Page 7: Problemario Calculus

4

x

y

3− 4−

22 2 2 2 2 249 49 7 17 12 ; 7 12 ; 7 12 ;

4 4 2 4y x x y x x y x x y x⎛ ⎞= + + = + + = + + − + = + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

2 22

77 1 2 11 12 4

4 4

xyx y

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠+ − = ∴ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

luego es una hipérbola con centro en 7 ,02

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

, eje de

simetría el eje " "x y semiejes vertical y horizontal iguales a 12

. Y sus vértices son los puntos

( ) ( )4,0 3,0y− . Con lo cual se comprueba que el dominio y el recorrido obtenidos son correctos y como el signo indica la parte inferior de la hipérbola, entonces la gráfica es la siguiente:

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

6. Dada la función =−

1( )1 2

g xx

, determinar su dominio , recorrido y gráfica.

Solución. Como el denominador no puede ser cero, la " "x no puede tomar el valor de 12

; entonces el

dominio es: 1; ;2fD x x x x⎧ ⎫= − ∞ < < ∞ ≠ ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭

Para obtener el recorrido se despeja la variable " "x , de donde:

1 1 1 11 2 2 11 2 2

yy x x xx y y y

−= ⇒ − = ⇒ − = − + ⇒ =

con lo cual se aprecia que " "y no puede tomar el valor de "0" , y por lo tanto, el recorrido es: { }; 0 ;fR y y y y= − ∞ < < ∞ ≠ ∈ .

Page 8: Problemario Calculus

5

Ahora se traza en forma aproximada la gráfica, tomando en consideración que en el valor de 12

x = tiene una

asíntota vertical.

Nota. En el valor que hace cero el denominador se presenta una asíntota vertical y, cuando se obtuvo el recorrido se vio que también hay una asíntota horizontal en 0y = .

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ

7. Dada la función 2 9( )

3xg xx

−=

− , determinar su dominio, recorrido y gráfica.

Solución. Al factorizar el numerador y simplificar se tiene que:

( 3)( 3)( ) ( ) 3 ; 33

x xg x g x x xx

− += ⇒ = + ≠

por lo tanto el dominio es: { }3fD = − , el recorrido es: { }6fR = − y la gráfica está dada en la siguiente figura, donde se observa que en el valor correspondiente a 3x = la función presenta un “hueco” o un “vacío”, es decir, que ahí no existe valor de la función.

x

y

1 12

Page 9: Problemario Calculus

6

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ

8. Obtener el dominio de la siguiente función: =+ +2

37 1 0

xyx x

Solución. La x del numerador puede tomar cualquier valor; buscamos los valores para los cuales el denominador sea igual a cero para eliminarlos del dominio; entonces,

2 7 1 0 0 ( 5 )( 2 ) 05 2

x x x xx y x

+ + ≠ ⇒ + + ≠∴ ≠ − ≠ −

Luego el dominio de la función es: { } { }; 2, 5 2, 5fD x x x x= ∈ ≠ − ≠ − = − − − . Cabe hacer notar que en los valores 2 5y− − la gráfica de esta función presenta dos asíntotas verticales.

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT

9. Obtener dominio, recorrido y gráfica de la siguiente función: ( ) 212

xf xx x

+=

Solución. Se obtienen los valores para los cuales el denominador se anula

2 2 0x x− = ⇒ ( )2 0x x − = ⇒ 1 20 2x y x= = Por lo que el dominio de esta función es { }; 0,2fD x x x= ∈ ≠ En estos valores de 0 2x y x= = se presentan asíntotas verticales. La gráfica de la función es:

x

y

3

6

Page 10: Problemario Calculus

7

Al darle valores a " "y y afinar la tabulación se determina el recorrido aproximado de esta función que es:

( ] [ ), 1.87 0.134,fR = −∞ − ∪ − ∞

ALUMNA: DANIELA GARCÍA RUBÍ

10. Obtener el dominio de la siguiente función: 23

xyx+

=−

Solución. La raíz no puede tomar valores negativos, y el denominador debe ser diferente de cero. Luego,

tenemos que resolver la desigualdad 2 0 ; 33

x xx+

≥ ≠−

. Entonces se analizan los dos casos:

a) 2 02

xx+ ≥≥ −

3 03

xx− >>

( )∴ ∈ ∞3,x

b) + ≤≤ −

2 02

xx

− <<

3 03

xx

( ]∴ ∈ −∞ −, 2x

Por lo tanto el dominio está dado por: ( ] ( ), 2 3,fD = −∞ − ∪ ∞

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT

y

x20

Page 11: Problemario Calculus

8

11. Obtener el dominio, el recorrido y la gráfica de la siguiente función:

2 4 1 s i 4 x 22( ) 4 2 s i 2 x 0

2 s i 0 x 4

x x

f x x x

⎧ + + − < < −⎪⎪= − − − − < <⎨⎪ ≤ ≤⎪⎩

Solución. Para: = + +2 4 1y x x :

( )22 4 4 4 1 3 2y x x y x= + + − + ⇒ + = + es una parábola con vértice en el punto ( )2, 3− − , abre hacia arriba y su eje de simetría es la recta 2x = − . Para : = − − −2 4 2y x x :

( ) ( ) ( )22 24 2 4 4 4 2 2 2y x x y x x y x= − + + ⇒ = − + + − + ⇒ − = − +

es una parábola con vértice en el punto ( )2,2− , abre hacia abajo y su eje de simetría es la recta: 2x = − . La tercera regla de correspondencia es una función constante: 2y = . Por lo que el dominio es: ( ) ( ]{ }4, 2 2,4fD x= ∈ − − ∪ − . La gráfica está dada por.

y el recorrido es: ( ]{ }3,2fR y= ∈ −

ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO

x

y

4

2

−4 −2

−2

−3

Page 12: Problemario Calculus

9

12. Obtener el dominio, el recorrido y trazar la gráfica de la función:

⎧ − − − < < −⎪

= + + − < <⎨⎪ ≤ ≤⎩

2

2

1 4 5 2( ) 4 2 2 0

2 0 2

x x s i xf x x x s i x

s i x

Solución. Se grafican las tres reglas de correspondencia que definen a la función

De la figura y sabiendo que se trata de funciones polinomiales (parábolas) y una función constante, se deduce que el dominio es ( ] { }5 , 2 2fD = − − − y el recorrido es ( )= − 4 , 5fR

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 13. Obtener el dominio, el recorrido y dibujar la gráfica de la siguiente función:

2

2 1 0 s i 6 3

( ) 2 5 s i 3 0x + 1 0 s i 0 4

2

x x

f x x x

x

⎧+ − ≤ < −⎪

⎪= + − − ≤ <⎨⎪⎪ ≤ ≤⎩

Solución. Si se analizan las tres reglas de correspondencia, se observa que la primera y la tercera son dos segmentos de rectas y la segunda es un segmento de circunferencia con centro en el origen y radio igual a 5 . De donde la gráfica es como sigue y en ella se puede observar cómo para cada regla de correspondencia se considera el intervalo dado en su definición, teniendo presente cuándo toma o no los valores de los extremos.

y

5

2

2−2−5

−4

−2

x

Page 13: Problemario Calculus

10

De los intervalos de las reglas de correspondencia y de la gráfica de cada una de ellas, obtenemos que el dominio y el recorrido de la función son:

[ ] [ ]6,4 2,7f fD y R= − = −

ALUMNA: RODRÍGUEZ DE LA TORRE RHAMID H. 14. Obtener el dominio, el recorrido y trazar la gráfica de la función

( )

( )

( )

( )

2

2

66 2

88 9 2 2 534 5 5

xsi x

f x x si x

x si x

⎧ +− ≤ ≤⎪

⎪⎪⎪= + − − < ≤⎨⎪

− >⎪⎪⎪⎩

Solución. La primera regla de correspondencia es una sección de parábola con vértice en el punto ( )6,0− que abre hacia arriba y corresponde a una función polinomial por lo que toma todos los valores reales de su intervalo de definición. La segunda regla es una función algebraica y, como se trata de una sección de cónica, se procede como sigue:

x

y

7

5

−6 −3

−2

4

Page 14: Problemario Calculus

11

28( ) 9 ( 2)

3f x y x= = + − − ⇒ 28 9 ( 2)

3y x− = − − ⇒

228 9 ( 2)

3y x⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⇒

( )2

2 82 93

x y⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

que es la ecuación de una circunferencia con centro en el punto 82,3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

y radio igual a 3 ; su intervalo de

definición está contenido en su dominio. La tercera regla es una función polinomial, corresponde a una recta, por lo que no presenta problemas en su intervalo de definición. Así, se concluye que el dominio de la función es: [ ){ } [ )= ∈ − ∞ ∈ = − ∞6, ; 6,fD x x x . Y su gráfica es la que se muestra en la siguiente figura:

El recorrido de esta función es ( ){ } ( )= ∈ ∞ ∈ = ∞0, ; 0,fR y y x

ALUMNO: PABLO A. LORENZANA G. 15. Sea la siguiente función:

( ) ( )

cos 02

0

cos 22

x s i x

f x sen x s i x

x s i x

π π

π ππ π π

⎧ ⎛ ⎞− − < ≤⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪= − < ≤⎨⎪ ⎛ ⎞⎪ − < ≤⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

Determinar su dominio y recorrido, y trazar en forma aproximada su gráfica.

y

x 2 5

Page 15: Problemario Calculus

12

Solución. Las reglas de correspondencia son tres funciones trascendentes, cuyos dominios de definición son los reales. Luego el dominio en este caso es la unión de los intervalos, esto es:

{ }2 ;fD x x xπ π= − < ≤ ∀ ∈ Para graficarla se consideran los intervalos y se tiene la siguiente figura:

Como podemos apreciar, la función no toma valores positivos ni toma valores más negativos que –1 (que resulta evidente pues las funciones son trigonométricas). Por lo tanto, el recorrido es:

{ }| 1 0 ;fR y y y= − ≤ ≤ ∀ ∈

ALUMNO: FELIX REYES ALEJANDRO 16. Sea :f → con regla de correspondencia ( ) 32 += xxf . Determinar si la función es biyectiva. En caso afirmativo obtener la regla de correspondencia de 1f − y dar dominio, recorrido, codominio y gráfica de la función y de su inversa. Solución. Si es inyectiva, se debe cumplir que:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

; 2 3 ; 2 32 3 2 3 2 2

f x f x x x f x x f x xf x f x x x x x x x

= ⇒ = = + = +

= ⇒ + = + ⇒ = ⇒ =

Por lo tanto la función es inyectiva, lo que quiere decir que a diferentes valores del dominio les corresponden diferentes valores del codominio. Como está definida, esta función tiene como dominio a los reales y como codominio también a los reales, y al tratarse de una función polinomial (una recta), su recorrido son los reales. Entonces, como el codominio es igual al recorrido, la función será suprayectiva, lo que quiere decir que todos los elementos del codominio están asociados con elementos del dominio. Y al cumplir con ser inyectiva o “uno a uno” y suprayectiva o “sobre”, entonces es biyectiva y entonces admite función inversa, la que se obtiene de la siguiente manera:

x

y

π− π 2π

−1

Page 16: Problemario Calculus

13

x

y

f

1f −

32 3 ; 2 32

xy x x y y −= + = + ⇒ =

luego ( )1 32

xf x− −=

Y los dominios recorridos y codominios de ambas son los reales, es decir: 1 1 1; ;f f ff f f

D R R R C C− − −= = = = = = Las correspondientes gráficas son:

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 17. Determinar el valor de k que hace que la función f sea la misma que su función inversa. Obtener también el dominio y recorrido de ambas.

4( ) xf xx k+

=−

Solución. Como se dice que la función f y su función inversa 1f − deben ser la misma, entonces se cumple lo siguiente:

1( ) ( )f x f x−=

( ) ( )14 4 4 4; 4 1 41 1

x y kx kxy x xy kx y y x kx y f xx k y k x x

−+ + + += = ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ = ∴ =

− − − −para que las dos funciones, original e inversa, sean iguales, el valor de " "k debe ser igual a "1" . El dominio de la función original, recorrido de la función inversa, es { } 11f f

D R −= − = . Y, como 1f y f − son iguales, entonces { }1 1 ff

D R− = − =

ALUMNO: PABLO A. LORENZANA G.

Page 17: Problemario Calculus

14

18. Determinar si la función dada es biyectiva; si lo es, obtener su función inversa y dar dominio, recorrido y gráfica de la función y de su inversa.

2( ) 1 ; [0, )f x x x= − ∈ ∞ Solución. La ecuación 2 21 1y x y x= − ⇒ + = es una parábola con vértice en el punto ( )0, 1− , eje de simetría el eje " "y y que abre hacia arriba. Su dominio, que está establecido en la formulación del ejercicio, es: [ )0,fD = ∞ y resulta evidente que su recorrido está dado por: [ )1,fR = − ∞ . Como se trata de la mitad de la parábola, es decir, de la parte de la derecha del vértice, entonces es inyectiva y si se considera su codominio igual que su recorrido, es suprayectiva y por lo tanto biyectiva. Luego admite función inversa y la regla de correspondencia de ésta es:

2 21 ; 1 1y x x y y x= − = − ⇒ = + Y el dominio y recorrido de la función inversa son: [ ) [ )1, 0,f fD y R= − ∞ = ∞ . Las gráficas de ambas funciones se muestran en la siguiente figura:

ALUMNA: RODRÍGUEZ DE LA TORRE RHAMID H.

x

y

f

1f −

Page 18: Problemario Calculus

15

19. Dada la función ( ) ( ) ( ){ }→ = = − − −2: 3,9 ; , 9 36 3 f R f x y y x , verificar que es biyectiva y

determinar su función inversa, así como los dominios, recorridos y gráficas de la función y de su inversa. Solución. Se analiza la regla de correspondencia dada y se ve que:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

= − − − ⇒ − = − − −

⇒ − = − − ⇒ − + − =

2 2

2 2 2 2 2

9 36 3 9 36 3

9 36 3 3 9 6

y x y x

y x x y

Se trata de la parte inferior de la gráfica (por el signo del radical) de una circunferencia con centro en el punto ( )3,9 y radio igual a 6 . Y, dado su dominio de definición como ( )3,9fD = , entonces es la parte de la derecha. Luego cualquier recta horizontal corta a su gráfica en un sólo punto y entonces es inyectiva. Si se fija su codominio igual a su recorrido, es suprayectiva y por consiguiente biyectiva; por lo que tiene función inversa, cuya regla de correspondencia está dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 29 36 3 ; 9 36 3 9 3 36 3 36 9y x x y x y y x= − − − = − − − ⇒ − + − = ⇒ = + − −

( ) ( ) [ ]21 3 36 9 ; 3,9f x x x−∴ = + − − ∈

y los dominios y recorridos quedan como: [ ] [ ]1 13,9 3,9f ff fD R y R D− −= = = =

ALUMNA: DÁVILA MERCADO MARÍA PAULA

x

y

f

1f −

Page 19: Problemario Calculus

16

x

y

f

1f −

C

'C

20. Dada la función:

{ }2( , ) 3 16 ( 1) ; 1 5f x y y x x= = − − − ≤ ≤

investigar si es biyectiva, y en caso afirmativo determinar su función inversa, los dominios y recorridos de ambas funciones y trazar sus gráficas. Solución. Se analiza la regla de correspondencia y,

23 1 6 ( 1)y x= − − − ⇒ 2 2( 3 ) 16 ( 1)y x− = − − ⇒ 2 2( 1) ( 3) 16x y− + − = Se trata de una circunferencia con: 4r = y (1,3)C . Por lo tanto su dominio es { }1 5fD x x= ∈ ≤ ≤

y por el signo negativo sólo se toma la parte inferior, por lo que su recorrido es { }1 3fR y y= ∈ − ≤ ≤ Además, si se fija su codominio igual al recorrido, es suprayectiva y por lo tanto biyectiva. Se gráfica esta función y; Luego el dominio y el recorrido de la función inversa son:

{ }1 1 3f

D x x− = ∈ − ≤ ≤ y { }1 1 5f

R y y− = ∈ ≤ ≤ y la regla de correspondencia es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 23 16 1 ; 3 16 1 3 1 16 1 16 3y x x y x y y x= − − − = − − − ⇒ − + − = ⇒ = − − −

{ }1 2( , ) 1 16 ( 3) ; 1 3f x y y x x−∴ = = − − − − ≤ ≤

ALUMNO: MENDIETA PACHECO HUGO

Page 20: Problemario Calculus

17

21. Sea la función:

( )

2 4 1 4 21 6 2 02

24 0 44

x x s i x

f x x s i x

x s i x

⎧⎪ + − − ≤ ≤ −⎪⎪= − − − < <⎨⎪

− −⎪ ≤ <⎪⎩

Investigar si es biyectiva y en caso afirmativo, obtener su función inversa, así como dominio, recorrido y gráfica de 1f y f − Solución. La primera regla de correspondencia es la siguiente parábola:

( ) ( )2 22 24 1 4 4 4 1 2 5 5 2y x x y x x y x y x= + − ⇒ = + + − − ⇒ = + − ⇒ + = + cuyo vértice es ( )2, 5− − , se extiende hacia arriba y la recta 2x = − es su eje se simetría. Está definida en el intervalo [ ]− −4, 2 . La segunda es una recta por lo que es una función continua en su intervalo. La tercera es una recta también, es continua y tampoco tiene problema en su intervalo de definición. Por lo tanto, el dominio de la función es: [ )4,4fD = − . Se graficará ahora:

El recorrido de la función es: ( ]7, 1fR = − −

x

f

1f −

−4 −6 −7 −5

−6−7

−5

−4

y

Page 21: Problemario Calculus

18

Se observa en la figura que en toda la función, para cada valor de " "y hay uno y sólo uno de " "x , por lo que es inyectiva y si se hace el codominio igual al recorrido, es suprayectiva y por lo tanto biyectiva. Entonces tiene función inversa. Para obtenerla se hace lo siguiente:

( )22 24 1 ; 4 1 2 5 2 5y x x x y y y x y x= + − = + − ⇒ + = + ⇒ = − − + 1 16 ; 6 2 12 2 122 2

y x x y x y y x= − − = − − ⇒ = − − ⇒ = − −

24 24; 4 24 4 244 4

x yy x x y y x− − − −= = ⇒ = − − ⇒ = − −

por lo que finalmente la función inversa se puede definir como sigue:

( )1

4 24 7 62 12 6 52 5 5 1

x si xf x x s i x

x si x

⎧ − − − < ≤ −⎪

= − − − < < −⎨⎪ − − + − ≤ ≤ −⎩

Finalmente, el dominio de la función inversa es ( ]1 7, 1

fD − = − − y su recorrido es [ )1 4,4

fR − = − .

LOS COORDINADORES

22. Determinar la regla de correspondencia de la función inversa, si existe, de la función f definida por:

2

1( ) 1 2

2 2 2

x si xf x x si x

x si x

<⎧⎪

= ≤ ≤⎨⎪ + >⎩

En caso de existir, dar dominio, recorrido y gráfica de 1f y f − . Solución. Las tres reglas de correspondencia corresponden, respectivamente, a la función identidad, una parábola con vértice en el origen, eje de simetría el eje " "y y que abre hacia arriba, y otra parábola con vértice en el punto ( )2,0− y con eje de simetría el eje " "x y abre hacia la derecha. Por sus intervalos de definición, se ve que la función es inyectiva y siendo su recorrido, los reales, igual a su codominio, es suprayectiva y por lo tanto biyectiva, por lo que sí tiene función inversa. Su dominio y su recorrido son todos los valores reales, esto es, f fD R= = . La gráfica de ambas funciones se muestra en la siguiente figura:

Page 22: Problemario Calculus

19

Para definir la función inversa se procede de la siguiente manera con cada regla de correspondencia:

;y x x y y x= = ⇒ = 2 2;y x x y y x= = ⇒ = ±

( )2

2 82 2 ; 2 2 4 24

xy x x y x y y −= + = + ⇒ = + ⇒ =

Entonces la función inversa queda definida como:

( )1

2

11 4

8 44

x si x

f x x si xx si x

⎧⎪ <⎪⎪= ≤ ≤⎨⎪ −⎪ >⎪⎩

ALUMNO: CALDERÓN OCHOA GABRIEL

23. Sea la siguiente función:

( ) ( )2

2

5 1 4 43 1 3

8 1 2 4 2

4 2 04 2 0

x x

x x xf x

x xx x

⎧ − − −∞ < < −⎪⎪⎪ − + + − ≤ < −= ⎨⎪− − − ≤ <⎪

⎪ − − ≤ < ∞⎩

x

y

f

1f −1 2

4

1

Page 23: Problemario Calculus

20

x

y

f

1f −

1f −

f

Determinar si esta función es biyectiva y en caso de serlo, obtener su función inversa y determinar dominio, recorrido y gráfica de 1f y f − Solución. Se analiza cada regla de correspondencia y se llega a:

5 143 13

y x= − − es una recta por lo que está definida en el intervalo considerado.

( )2 8 12y x x= − + + es la ecuación de una cónica y para saber sus características hacemos lo siguiente:

( ) ( ) ( )2 22 2 2 28 16 16 12 4 4 4 4y x x y x x y= − + + − + ⇒ = − + ⇒ + + =

Es una circunferencia con centro en ( )4,0− y radio igual a 2 . Por lo que en el intervalo dado está definida.

24y x= − − es la parte inferior de la circunferencia 2 2 4x y+ = , con centro en el origen y radio igual a 2 . Luego está definida en el intervalo considerado.

4 2y x= − − es una recta por lo que está definida en su intervalo. Por lo tanto el dominio de la función es: { }= ∈fD x x . Al graficar la función podremos determinar, de una manera más sencilla, su recorrido: Como se ve en la gráfica y tomando en cuenta que las dos rectas no tienen limitaciones a la izquierda y a la derecha respectivamente, el recorrido es: ( ] ( ){ }= ∈ −∞ ∪ ∞ ∈,2 5.6, ;fR y y y .

Page 24: Problemario Calculus

21

Como podemos apreciar, para cada " "y existe un y sólo un valor de " "x . Esto hace que la función sea inyectiva. De igual manera podemos definir como codominio al recorrido con lo que la función que estamos estudiando también es suprayectiva. Debido a que la función es suprayectiva e inyectiva, llegamos a la conclusión de que es biyectiva y por lo tanto tiene inversa, y es la que se presenta en la gráfica de manera punteada (para el caso de la circunferencia con centro en el origen, la gráfica de la función y su inversa coinciden). Procederemos a desarrollar su inversa. En estos casos se recomienda hacer un cambio de variables en cada regla de correspondencia y luego despejar a " "y , con lo que se tendrá para cada caso la regla de correspondencia de su función inversa. Así,

5 14 5 14 5 14 3 42;3 13 3 13 3 13 5 65

y x x y y x y x= − − = − − ⇒ = − − ⇒ = − −

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 28 12 ; 8 12 8 12 8 12y x x x y y x y y x y y= − + + = − + + ⇒ = − + + ⇒ = − − −

( )+ + − + = − ⇒ + = − + ⇒ + = ± − ⇒ = + − −22 2 2 2 28 16 16 12 4 4 4 4 4 4y y x y x y x y x

2 2 24 ; 4 4y x x y y x= − − = − − ⇒ = − − 1 14 2 ; 4 2 4 24 2

y x x y y x y x= − − = − − ⇒ = − − ⇒ = − −

Para determinar la función inversa, debemos determinar el dominio de cada regla de correspondencia, esto se logrará con facilidad observando la gráfica de la función. Recordemos que el recorrido de una función es el dominio de su función inversa. Basándonos en esto la función inversa queda de la siguiente forma:

( )2

1

2

1 1 24 24 2 0

4 4 0 23 42 5 .65 65

x s i x

x s i xf x

x s i x

x s i x

⎧ − − − ∞ < < −⎪⎪⎪ − − ≤ <⎪= ⎨

+ − ≤ ≤⎪⎪⎪− − < ≤ ∞⎪⎩

Finalmente, el domino de la función inversa es: ( ] ( ){ }− = ∈ −∞ ∪ ∞ ∈1 ,2 5.6, ;

fD x x x y el recorrido

es: { }− = ∈1fR y y

ALUMNO: FELIX REYES ALEJANDRO

24. Para la función f , determinar su función inversa así como el dominio, recorrido y gráfica de la función y de su inversa.

3 02( )

0 4

senx si xf x

x si x

π⎧− − ≤ ≤⎪= ⎨⎪− < <⎩

Page 25: Problemario Calculus

22

x

y

f

1f −

Solución. La primera regla de correspondencia es una función trascendente con dominio en los reales. La segunda es la parábola de ecuación 2y x= , con vértice en el origen, eje de simetría el eje " "x y abre hacia la derecha; está definida con el signo menos en la raíz por lo que se trata de la rama inferior. Si se grafica se tiene que: En la gráfica se puede apreciar que la función es inyectiva y si su codominio se fija igual que su recorrido, entonces es suprayectiva y por lo tanto biyectiva por lo que su inversa es función, y sus respectivos dominios y recorridos son:

( ]1 1,4 2,32f ff f

D R y R Dπ− −

⎡ ⎞= − = = − =⎟⎢⎣ ⎠

y las reglas de correspondencia se obtienen como:

3 ; 33 3x xy senx x seny seny y angsen ⎛ ⎞= − = − ⇒ = − ⇒ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

2;y x x y y x= − = − ⇒ =

Por lo que la función inversa queda como: ( )2

12 0

0 33

x si xf x xangsen si x−

⎧ − < ≤⎪= ⎨ ⎛ ⎞− < ≤⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

ALUMNO: CALDERÓN OCHOA GABRIEL

25. Determinar si la función f expresada en forma paramétrica es biyectiva. Si lo es, obtener su función inversa, el dominio y recorrido de ambas y trazar las gráficas correspondientes.

1 ; 1: cosx-2

2

y sen yf

θθ

= + ≤⎧⎪⎨

=⎪⎩

Page 26: Problemario Calculus

23

Solución. Si se aplica la identidad trigonométrica: θ θ+ =2 2cos 1sen : θ = −2 2( 1)sen y y θ = −2cos 4( 2)x .

De donde 2 2 2cos ( 1) 4( 2) 1sen y xθ θ+ = − + − = ⇒ 2( 1) 1 4 8y x− = − + ⇒ 2 9( 1) 4

4y x⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ ;

Es una parábola con vértice en 9 ,14

V ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, con eje de simetría el eje 1y = ; el signo negativo del coeficiente

de x indica que abre hacia la izquierda, por lo que su dominio y recorrido son:

{ }9 ; 1 ;4f fD x x x y R y y y⎧ ⎫= ≤ ∈ = ≤ ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭ .

Como se tiene sólo la rama inferior de la parábola, entonces es inyectiva y si su codomino se fija igual a su recorrido, entonces es biyectiva por lo que tiene función inversa, donde el dominio y el recorrido son:

{ }1 1

91 ; ;4f f

D x x x y R y y y− −

⎧ ⎫= ≤ ∈ = ≤ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

Sus gráficas son:

Como la regla de correspondencia de la función dada en coordenadas cartesianas es: 1 4 9y x= − − + con

1y ≤ , entonces la regla de correspondencia de la función inversa estará dada por:

( ) ( )22 9 1

1 4 9 ; 1 4 9 1 4 94x

y x x y x y y− −

= − − + = − − + ⇒ − = − + ⇒ =

Por lo tanto la función inversa es: ( ) ( )21 9 1

; 14x

f x x− − −= ≤

ALUMNO: MENDIETA PACHECO HUGO

y

x

f

1f −

Page 27: Problemario Calculus

24

26. Para la función dada, verificar si es biyectiva y, en caso de serlo, obtener su función inversa y determinar dominio, recorrido y gráfica de −1f y f

2

cos 2 ; 0

( ) 1 ; 0 1ln ; 1

x x

f x x xx x

π− − ≤ <⎧⎪

= − − ≤ ≤⎨⎪ <⎩

Solución. La primera regla de correspondencia es una función trascendente, en su intervalo de definición es inyectiva, y si su codominio se iguala a su recorrido entonces es suprayectiva y por lo tanto biyectiva, por lo que tiene función inversa. La segunda regla de correspondencia es parte de una circunferencia con centro en el origen y radio igual a 1 .

21y x= − − ⇒ 2 21y x= − ⇒ 2 2 1x y+ = La tercera regla de correspondencia es la función logaritmo natural, por lo que es inyectiva (uno a uno) y si se considera que su codominio es igual a su recorrido es una función suprayectiva (sobre), por lo tanto es biyectiva y tiene función inversa. En la gráfica se puede observar si la función en su conjunto (con las tres reglas de correspondencia) es biyectiva, lo que se comprueba si cualquier recta horizontal la toca en un solo punto.

En la figura se observa que la fundón es inyectiva, luego, con lo dicho anteriormente, admite inversa, cuya gráfica se muestra en la figura. El dominio y el recorrido de cada uno de ellas es:

[ ) 1,f fD Rπ −= − ∞ = ; [ )3,f fR D= − ∞ =

x

y

1f −

f

−3

−1

1−1

1

Page 28: Problemario Calculus

25

Para obtener las reglas de correspondencia que definen a la función inversa, se cambian las variables y se despeja la nueva variable independiente “y”. Así se llega a: Primera regla: cos 2x y= − ⇒ cos 2y x= + ⇒ ( )cos 2y ang x= −

Segunda regla: 21x y= − − ⇒ 2 21x y= − ⇒ 2 21y x= − ⇒ 21y x= − (se toma el signo positivo de la raíz porque se trata de la parte de la circunferencia localizada en el cuarto cuadrante.) Tercera regla: como se sabe, la función inversa de la función logaritmo natural es la función exponencial.

lnx y= ⇒ xy e= finalmente, la función inversa está definida como:

1 2

cos( 2) 3 1

( ) 1 1 00x

ang x si x

f x x si xe si x

+ − ≤ < −⎧⎪

= − − ≤ ≤⎨⎪ < < ∞⎩

ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS

27. Dadas ( ) 4 2f x x= − + y ( ) 4g x x= − , obtener gf o , fg o y sus respectivos dominios. Solución. El dominio y el recorrido de cada función es:

{ }= ∈fD x x ; { }= ∈fR y y

{ }= ≤ ∈4 ;gD x x x ; { }= ≥ ∈0 ;gR y y y Para obtener gf o se hace lo siguiente:

( )( ) 2 4 4f g f g x x= = − −o

( ){ };f g g fD x x D g x D= ∈ ∈o . Como g fR D⊂ , entonces ( ], 4f g gD D= = −∞o Para obtener fg o se procede como sigue:

( )( ) ( )4 4 2 2 4g f g f x x x= = − − + = +o

( ){ };g f f gD x x D f x D= ∈ ∈o Para obtener el dominio de la composición, se debe investigar qué valores del dominio de " "f conducen al

recorrido ( ],4−∞ . Si ( ) 4f x = , entonces 14 4 2 4 22

x x x= − + ⇒ = − ⇒ = − .

Luego, el dominio de la composición está dado por: 1 ,2g fD ⎡ ⎞= − ∞ ⎟⎢⎣ ⎠

o

ALUMNA: DANIELA GARCÍA RUBÍ

Page 29: Problemario Calculus

26

28. Sean las funciones ( ) 1 ( ) 3 1.f x x y g x x= − = + Obtener las funciones f g y g fo o y dar sus respectivos dominios. Solución. Los dominios de las funciones son:

[ )1, ;f gD D= ∞ =

( )( ) 3 1 1 3f g f g x x x= = + − =o

[ )0,CD = ∞ . Luego [ )0,f g C gD D D= ∩ = ∞o ; donde CD es el dominio de 3x

( )( ) 3 1 1g f g f x x= = − +o

[ )1,CD = ∞ . Luego [ )1,g f C fD D D= ∩ = ∞o ; donde CD es el dominio de − +3 1 1x

ALUMNO: CALDERÓN OCHOA GABRIEL 29. Obtener f go y g fo si ( ) ( )2f x x y g x x= = Solución: Los dominios y recorridos de ambas funciones son:

[ ); 0,f gD D= = ∞

[ ) [ )0, ; 0,f gR R= ∞ = ∞

( )( ) ( )2f g f g x x x= = =o

( ){ };f g g fD x x D g x D= ∈ ∈o . Como [ )0,g f f g gR D D D⊂ ⇒ = = ∞o

( )( ) 2g f g f x x x= = =o

( ){ };g f f gD x x D f x D= ∈ ∈o . Como f g g f fR D D D⊆ ⇒ = =o

ALUMNO: MENDIETA PACHECO HUGO 30. Obtener las composiciones f g y g fo o , así como sus respectivos dominios, para las funciones:

( ) ( ) 2 1f x x y g x x= = + Solución:

[ )0, ;f gD D= ∞ =

[ ) [ )0, ; 1,f gR R= ∞ = ∞

Page 30: Problemario Calculus

27

( )( ) 2 1f g f g x x= = +o

( ){ };f g g fD x x D g x D= ∈ ∈o . Como g f f g gR D D D⊂ ∴ = =o

( )( ) ( )21 1g f g f x x x= = + = +o

( ){ };g f f gD x x D f x D= ∈ ∈o . Como [ )0,f g g f fR D D D⊂ ∴ = = ∞o

ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA 31. Dadas las siguientes funciones:

2( ) 4 ( ) 8 2f x x y g x x= = − determinar f g y g fo o , así como el dominio de las composiciones.

Solución. Los dominios de las dos funciones son, respectivamente

[ )0,f gD y D= ∞ = La primera composición pedida es igual a: ( )( ) ( )2 24 8 2 32 8f g f g x x x= = − = −o

De donde ( )( )2 232 8 0 4 0 2 2 0x x x x− ≥ ⇒ − ≥ ⇒ − + ≥ Las dos posibilidades son:

( ] [ ) [ ]2 0 2 2 0 2, 2 2, ; 2,2

2 0 2 2 0 2x x x x

x xx x x x

φ− ≤ ⇒ ≥ − ≥ ⇒ ≤

∴ ∈ −∞ − ∩ ∞ = ∴ ∈ −+ ≤ ⇒ ≤ − + ≥ ⇒ ≥ −

Por lo que el dominio CD es igual a: [ ]2,2CD = − Luego el dominio de la composición es: [ ]2,2f g C gD D D= ∩ = −o La otra composición es: ( )( ) ( )2

8 2 4 8 8 ; Cg f g f x x x D= = − = − =o

Luego [ )0,g f C fD D D= ∩ = ∞o

ALUMNO: PABLO A. LORENZANA G. 32. Sean las funciones f y g definidas por:

( ) ( )21f x x y g x x= − = obtener las reglas de correspondencia y los dominios de las composiciones f g y g fo o . Solución.

Page 31: Problemario Calculus

28

[ ] [ )1,1 ; 0,f gD D= − = ∞

[ ] [ )0,1 ; 0,f gR R= = ∞

( )( ) ( ) ( ]2

1 1 ; ,1Cf g f g x x x D= = − = − = −∞o

( ] [ ) [ ],1 0, 0,1f g C gD D D= ∩ = −∞ ∩ ∞ =o

( )( ) [ ]2 241 1 ; 1,1Cg f g f x x x D= = − = − = −o

[ ] [ ] [ ]1,1 1,1 1,1g f C fD D D= ∩ = − ∩ − = −o

ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA 33. Sean las funciones f y g , definir f g y g fo o y dar sus respectivos dominios.

[ )3 3( ) 1 0 , ( ) 1f x x si x y g x x si x= + ∈ ∞ = − ∈ Solución. Resulta conveniente conocer los dominios y recorridos de ambas funciones, por lo que:

[ )[ )0,1,

gf

gf

DDy

RR== ∞== ∞

Se obtiene la regla de correspondencia de la composición f go y:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )3

3 1 1 1 1f g x f g x x f g x x f g x x= = − + ⇒ = − + ⇒ =o o o

El dominio se expresa a través de ( ){ };f g g fD x x D g x D= ∈ ∈o . Las imágenes de g que pertenecen

a fD son [ )0,∞ ; luego se deben determinar los valores del dominio de g que conducen a esas imágenes. Para ello se hace lo siguiente:

30 ; 0 1 1y x x= = − ⇒ = . Luego el dominio de la composición es [ )1,f gD = ∞o . Se obtiene la regla de correspondencia de la composición g fo y:

( )( ) ( )( ) ( )( )3 3 1 1g f x g f x x g f x x= = + − ⇒ =o o El dominio se expresa a través de ( ){ };g f f gD x x D f x D= ∈ ∈o . Las imágenes de f que son parte del

gD son todas las de su recorrido, es decir, [ )1,∞ , luego el dominio de la composición es [ )0,g fD = ∞o

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

Page 32: Problemario Calculus

29

34. Dadas las siguientes funciones, obtener f g y g fo o y determinar sus respectivos dominios.

( ) ( ) 19f x x y g xx

= − =

Solución.

[ ) { }9, ; 0f gD D= ∞ = −

( )( ) 1 1 99 xf g f g xx x

−= = − =o

1 9 0 ; 0x xx−

≥ ≠

x 1 9x− x 1 9x

x−

( ),0−∞ + − − 10,9

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + +

1 ,9

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠

− + −

10 ,9CD ⎛ ⎤∴ = ⎜ ⎥⎝ ⎦

. Por lo que 10,9f g C gD D D ⎛ ⎤= ∩ = ⎜ ⎥⎝ ⎦

o

( )( ) 19

g f g f xx

= =−

o

( )9 0 9 9,Cx x D− > ⇒ > ∴ = ∞ . De donde ( )9,g f C fD D D= ∩ = ∞o

ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA 35. Dadas las funciones siguientes, determinar y gf g fo o y dar los dominios respectivos.

2( ) ; g(x) 21

f x xx

= = −−

Solución.

{ } ( ]1 ; ,2f gD D= − = −∞

[ ){0} ; 0,f gR R= − = ∞

( )( ) 22 1

f g f g xx

= =− −

o

Page 33: Problemario Calculus

30

Para obtener el dominio de " "C , es decir, de la expresión 22 1x− −

, se hace lo siguiente:

2 1 0 2 1 1x x x− − ≠ ⇒ − ≠ ⇒ ≠ ; además 2 0 2x x− ≥ ⇒ ≤ .Por lo tanto ( ] { },2 1CD = −∞ −

luego, el dominio de la composición f go es: ( ] { }, 2 1f g C gD D D= ∩ = −∞ −o

( )( ) 2 2 421 1

xg f g f xx x

−= = − =

− −o

Para obtener el dominio de " "C , es decir, de 2 41

xx−−

, se puede proceder como sigue:

2 4 0 ; 11

x xx−

≥ ≠−

x 1x − 2 4x − 2 4

1xx−−

( ),1−∞ − − + ( )1,2 + − − ( )2,∞ + + +

Luego ( ) [ ),1 2,CD = −∞ ∪ ∞ . Por lo que ( ) [ ), 1 2,g f C fD D D= ∩ = −∞ ∪ ∞o

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA

36. Dadas las siguientes funciones 26( )

9xf x

x=

− y ( ) 3g x x= , obtener f go y g fo señalando

sus respectivos dominios. Solución.

{ } [ )3,3 ; 0,f gD D= − − = ∞

( ( ))f g f g x= =o 2

6 3 6 3 2 33 9 3( 3 ) 9

x x xx xx

= =− −−

[ ) { }0, 3CD = ∞ − . Por lo tanto [ ) { }0, 3f g C gD D D= ∩ = ∞ −o

Por otro lado,

( )( ) 2 26 183

9 9x xg f g f x

x x⎛ ⎞= = =⎜ ⎟− −⎝ ⎠

o

Page 34: Problemario Calculus

31

218 0 ; 3,3

9x x

x≥ ≠ −

x 18x 3x − 3x + ( )( )183 3

xx x− +

( ), 3−∞ − − − − − ( )3,0− − − + + ( )0,3 + − + − ( )3,∞ + + + +

( ] ( )3,0 3,CD∴ = − ∪ ∞ . Luego ( ] ( )3,0 3,C fD D∩ = − ∪ ∞ .

ALUMNO: CALDERÓN OCHOA GABRIEL

37. Dadas las funciones siguientes, determinar f go y g fo y dar los respectivos dominios.

( )3 2

xf xx

=+

2g (x )x

=

Solución. Los dominios de las dos funciones son:

23

D f⎧ ⎫= − −⎨ ⎬⎩ ⎭

y { }0Dg = −

Si se procede como en el ejercicio anterior, se obtiene:

( )( )2

2 12 6 2 33 2xf g f g x f g f g

x xx

= = ⇒ = ⇒ =+ +⎛ ⎞ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

o o o

{ }{ } { } { }

33,0 3,0

0c

c g f gg

DD D D

D= − −

⇒ ∩ = − − ∴ = − −= − o

Y la otra composición es

( )( ) 2 6 4

3 2

xg f g f x g fx xx

+= = ⇒ =

+

o o

{ }02 2,0 ,02 3 3

3

c

c f g ff

DD D D

D

= −⎧ ⎫ ⎧ ⎫⇒ ∩ = − − ∴ = − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎧ ⎫= − − ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎨ ⎬

⎩ ⎭o

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA

Page 35: Problemario Calculus

32

38. Sean las funciones f y g definidas por :

( ) ( )2 11

xf x x y g xx

= − =−

Obtener las reglas de correspondencia y los dominios de las funciones f g y g fo o Solución.

{ }; 1f gD D= = −

( )( )2 2 2 2

2 2 22 1 2 11 1

1 2 1 2 1 2 1x x x x x xf g f g x

x x x x x x x− + − −⎛ ⎞= = − = − = =⎜ ⎟− − + − + − +⎝ ⎠

o

Como { }1CD = − , luego { }1f g C gD D D= ∩ = −o

( )( )2 2

2 21 1

1 1 2x xg f g f x

x x− −

= = =− − −

o

Como { }2 , 2CD = − − , luego { }2, 2g f C fD D D= ∩ = − −o

ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA 39. Dadas las funciones ( )f x y ( )g x , determinar ( )( ) ( )( )f g x y g f xo o así como sus respectivos dominios.

2 21 1( ) ; ( )

1f x g x

x x= =

+

Solución. Los dominios y recorridos de ambas funciones son:

{ }{ } { }

000

gf

gf

DDy

RR== −

= −= −

Se obtiene la regla de correspondencia de f go :

( )( ) ( )222

2

1 11

1

f g f g x f g x

x

= = ⇒ = +⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

o o

Para obtener el dominio de la composición que es ( ){ };f g g fD x x D g x D= ∈ ∈o , cuando los dominios de las funciones involucradas no son modificados sino que son los debidos a su definición, se puede utilizar la expresión siguiente: f g c gD D D= ∩o , donde cD es el dominio de la expresión obtenida al realizar la composición. En este caso, como c g f g f gD y D D D= = ⇒ = ∩ ⇒ =o o Ahora se obtiene la regla de correspondencia de g fo :

Page 36: Problemario Calculus

33 4

2 4 4

4 42

1 1 1( )( ) ( )( ) 1 1 11 11

xg f x g f x g f g fx x

x xx

= = ⇒ = ⇒ =+ +⎛ ⎞ ++⎜ ⎟

⎝ ⎠

o o o o

Para el dominio de esta composición se procede como en el caso anterior y se llega a:

{ } { } { }0 00

cc f g f

f

DD D D

D=

⇒ ∩ = − ∴ = −= − o

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

40. Dadas ( ) 42

xf xx+

=−

y ( )2

211

xg xx

+=

− obtener f go y g fo con sus respectivos dominios y

recorridos. Solución. { } { }; 2 ; ; 1, 1f gD x x x D x x x x= ∈ ≠ = ∈ ≠ − ≠

2 2 2

22 2

2 2 2 2

2 2

1 1 4 44 5 31 11 1 2 2 321 1

x x xxx xf g

x x x xx x

+ + + −+ −− −= = =+ + − + −−− −

o

{ }3 , 3CD = − − . Por lo que { }3, 1,1, 3f g C gD D D= ∩ = − − −o

2 2 2 2

2 22 2

2 2 2 2

2 2

4 8 16 8 16 4 41 1 2 4 20 2 102 4 4 4 48 16 8 16 4 4 12 12 6 64 11 4 4 4 42

x x x x x x xx x x xx x x x xg f

x x x x x x x xxx x x xx

+⎛ ⎞ + + + + + − ++ +⎜ ⎟ + + + +−⎝ ⎠ − + − += = = = =+ + + + − + − + ++⎛ ⎞ −−⎜ ⎟ − + − +−⎝ ⎠

o

{ }1CD = − − . Por lo que { }1,2g f C fD D D= ∩ = − −o

ALUMNO: ESPINOSA VARGAS BOGDAD ROBERTO 41. Sean las funciones siguientes. Determinar y g f f go o , así como sus respectivos dominios.

( ) ( )20 1;

2 0 5 1x si x x si xf x g xx si x x si x

< ⎧ ≤ −⎧= =⎨ ⎨+ ≥ − > −⎩ ⎩

Solución. Los dominios y recorridos de ambas funciones son: ( ) ( )( ) [ ) ( )

, ,,0 2, 6,

f g

f g

D D

R R

= −∞ ∞ = −∞ ∞

= −∞ ∪ ∞ = − ∞

Luego f go está dada por:

Page 37: Problemario Calculus

34

( )( )( )

2 15 1 0

5 2 0f g C g

x si xf g f g x x si x D D D

x si x

⎧ ≤ −⎪= = − − < < = ∩ = ∩ =⎨⎪ − + ≥⎩

oo

Por otro lado, g fo está dada por:

( )( )( )

2 15 1 0

2 5 0g f C f

x si xg f g f x x si x D D D

x si x

⎧ ≤ −⎪= = − − < < = ∩ = ∩ =⎨⎪ + − ≥⎩

oo

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA

42. Para la función dada en forma paramétrica, determinar su dominio y recorrido, dar su expresión cartesiana y graficarla.

( )3

3

4;

2 2x t t

f t ty t t⎧ = + +⎪= ∈⎨

= − −⎪⎩

Solución. De la expresión paramétrica de x : 3 4t t x+ = − y de la expresión de y , ( )32y t t= − + . Si se

sustituye el valor de 3 4t t x+ = − en " "y , se llega a ( )2 4y x= − − ⇒ 2 8y x= − + que es la forma cartesiana de la función. Como se observa se trata de una recta, por lo que su dominio y recorrido son:

( ),fD = −∞ ∞ ; ( ),fR = −∞ ∞ y su gráfica es la siguiente:

ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS

y

x4

8

Page 38: Problemario Calculus

35

43. Para la función dada en forma paramétrica, dar su expresión cartesiana, determinar su dominio y recorrido, y graficarla.

( )2

4 23 1x t

f ty t t⎧ =⎪= ⎨

= + −⎪⎩ , t∈

Solución. Primero se sustituye la expresión paramétrica de x en y : 2 3 1y x x= + − Del análisis de esta ecuación se puede ver que se trata de una parábola y para ver sus características se hace lo siguiente:

21 3y x x+ = + ⇒ 29 91 34 4

y x x+ + = + + ⇒ 213 3

4 2y x⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⇒

23 132 4

x y⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

luego la parábola tiene su vértice en 3 13,2 4

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

, su eje de simetría es paralelo al eje “y” y abre hacia arriba. Si

se analiza la expresión paramétrica de x , dado que t∈ , el valor de x siempre será positivo o igual a cero ( )0x ≥ , razón por la cual, la función ( )f t es solamente la parte de la parábola que se encuentra a la derecha del eje " "y . Entonces su dominio es [ ),0fD = . De la ecuación cartesiana 2 3 1y x x= + − , se tiene que para el valor mínimo de x ( )0x = , 1y = − , y dado que la parábola abre hacia arriba, el recorrido de la función

( )f t es: [ )1,R = − ∞ . Para terminar, se grafica la parábola 2 3 1y x x= + − .

Nota. Se utilizan escalas diferentes en los ejes coordenados y la gráfica es aproximada.

ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS

44. Dada las ecuaciones paramétricas 2

23

x ty t t= +⎧

⎨= +⎩

x

y

1−

Page 39: Problemario Calculus

36

indicar si determinan paramétricamente una función. En caso afirmativo, obtener el dominio, el recorrido y su gráfica. Solución. Se despeja el parámetro en ambas ecuaciones: 2t x x= − ⇒ ∈

2 3 9 4 93 0 ,2 4

yt t y t y− ± + ⎡ ⎞+ − = ⇒ = ⇒ ∈ − ∞ ⎟⎢⎣ ⎠

Ecuación cartesiana:

( ) ( )2 2 2

22 2

2 2 ; 2 3 2 4 4 3 6 2

1 1 9 12 24 4 4 2

x t t x y x x y x x x y x x

y x x y x x y x

= + ⇒ = − = − + − ⇒ = − + + − ⇒ = − −

⎛ ⎞+ = − ⇒ + + = − + ⇒ + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Se trata de una parábola cuyo vértice es el punto 1 9,2 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

con eje de simetría la recta 12

x = y que abre

hacia arriba. La gráfica es:

El dominio y recorrido son: 9 ,

4f fD y R ⎡ ⎞= = − ∞ ⎟⎢⎣ ⎠

ALUMNA: DÁVILA MERCADO MARÍA PAULA 45. Para la función f representada en forma paramétrica, determinar su dominio y recorrido, dar su expresión cartesiana y graficarla.

y

x 1− 2

2−1 9,2 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 40: Problemario Calculus

37

( )cos 2

x senf

θθ

=⎧= ⎨ =⎩

; 0 2θ π≤ ≤

Solución. Se hace uso de la identidad trigonométrica ( )2 1 1 cos 22

sen θ θ= − , de la cual se despeja el término

cos2θ : 22 1 cos 2sen θ θ= − ⇒ 2cos 2 1 2senθ θ= − . Se sustituye en las expresiones paramétricas que definen a la función, se obtiene su forma cartesiana:

2 21 2 1y sen y xθ= − ⇒ = − que es una parábola, y para determinar sus características se hace lo siguiente:

22 1x y= − ⇒ ( )2 1 12

x y= − ⇒ ( )2 1 12

x y= − −

luego su vértice está en el punto ( )0,1 y su eje de simetría es el eje “y”. Si se asignan al parámetro " "θ algunos valores dentro del intervalo de definición de la función, se tiene

θ 0 4π

2π 3

4π π 5

4π 3

2π 7

4π 2π

x 0 0.7071 1 0.7071 0

0.7071−

1−

0.7071−

0

y 1 0 1− 0 1 0 1− 0 1

Con estos valores, la gráfica de la función es la siguiente:

El dominio y el recorrido de esta función son, respectivamente [ ] [ ]1, 1 1,1f fD y R= − − = − .

ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS 46. Dada la función definida por las siguientes ecuaciones paramétricas, obtener su dominio, recorrido, gráfica y dar su expresión cartesiana.

4 ; 4 cos ; 02

x sen y πα α α= = ≤ ≤

y

x

22

− 22

1

Page 41: Problemario Calculus

38

Solución. Si se procede primero a obtener su expresión cartesiana, despejando a senα y cosα

cos4 4x ysen yα α= =

Se elevan al cuadrado ambas ecuaciones y se suman, obteniendo 2 2

2 2cos16 16x ysen α α+ = + . Como

2 22 2 2 2cos 1 1 16

16 16x ysen x yθ θ+ = ⇒ + = ⇒ + = , que es una circunferencia con centro en el origen y

radio igual a 4. Si se considera el intervalo dado, se concluye que se trata de un cuarto de circunferencia, en el primer cuadrante, como se observa en la figura.

Por lo que el dominio y el recorrido son: [0,4] [0,4]f fD y R= =

ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN 47. Para la siguiente función obtener su dominio, recorrido y trazar su gráfica.

( ){ }, | 3 cos , 4 ; 0F x y x t y sent t π= = = ≤ ≤ Solución. Si se despeja el parámetro " "t en ambas ecuaciones, se tiene que:

cos ;3 4x yt ang t ang sen= =

Se transforma su ecuación a su forma cartesiana, mediante la identidad trigonométrica 2 2cos 1sen t t+ = ; se llega a:

2 2

; cos ; 14 3 9 16y x x ysent t= = + =

que corresponde a la ecuación de una elipse con centro en el origen y semiejes "3 4"y respectivamente. De acuerdo con el intervalo de definición se trata sólo de la parte superior de la curva. Su gráfica es:

x

y

Page 42: Problemario Calculus

39

En la gráfica aproximada se observa que: Dominio [ ]3,3fD x= ∈ − y Recorrido [ ]0,4fR y= ∈

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 48. Para la función dada en forma paramétrica, obtener su dominio, recorrido y su ecuación cartesiana. Hacer un trazo aproximado de su gráfica.

2 4 3: ;3 3 cos 2 2

x senf

yα π παα

= +⎧≤ ≤⎨ = − +⎩

Solución. Se procede a obtener la ecuación cartesiana, despejando senα y cosα como sigue:

2 3cos4 3

x ysen yα α− += =

Si se hace uso de la identidad trigonométrica 2 2cos 1sen α α+ = , se obtiene: ( ) ( )2 22 31

16 9x y− +

+ = ,

que corresponde a la ecuación de una elipse con centro en ( )2, 3− , semieje mayor igual a 4 y semieje menor 3 . Para definir dominio, recorrido y gráfica, se construye la siguiente tabla con el intervalo dado:

α 2π 3

4π π 5

4π 3

x 6 4.8 2 0.8− 2−

y 3− 5.1− 6− 5.1− 3−

x

y

3−

4

3

Page 43: Problemario Calculus

40

El dominio y el recorrido de esta función son, respectivamente, [ ] [ ]2,6 6, 3f fD y R= − = − −

ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN 49. Para la siguiente función expresada en forma paramétrica, obtener su expresión cartesiana, su dominio, recorrido y trazar su gráfica.

sec; 0

2 tan 2x t πty t=⎧

< <⎨ =⎩

Solución. Se obtiene la ecuación de la función en su forma cartesiana y para ello se hace lo siguiente:

2 2secx t= ; 2 24 ta ny t=

Por identidad trigonométrica, 2 2sec tan 1t t− = ; luego 2

2 14

yx − =

Para su dominio y recorrido se tiene que: 1

0 ;0 2

x xt t

y yπ= → ∞⎧ ⎧

= ⇒ = ⇒⎨ ⎨= → ∞⎩ ⎩ ;

{ [ ) }; 1,fD x x x= ∈ ∈ ∞ ; [ ){ }; 0,fR y y y= ∈ ∈ ∞ Y la gráfica está dada por:

y

x 2− 6

6−

3−

Page 44: Problemario Calculus

41

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO 50. La función dada es biyectiva y está expresada en forma paramétrica. Obtener su función inversa en forma cartesiana, así como el dominio, el recorrido y la gráfica de ambas funciones.

2 3 ; 1cos 1

x sen yy

θθ

⎧ = +≥⎨

= +⎩

Solución. Se obtiene la forma cartesiana de la función dada. Entonces

( ) ( )

2

2 2

3

1 cos cos 1

x sen

y y

θ

θ θ

− =

− = ⇒ = −

Por la identidad trigonométrica 2 2cos 1sen θ θ+ = se llega a: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 1 1 1 4 1 4x y y x y x− + − = ⇒ − = − + ⇒ − = − −

ecuación que corresponde a una parábola con centro en ( )4,1 y que abre hacia la izquierda. Para pasarla a su forma explícita se despeja la variable " "y , de donde: ( ) ( ) ( )21 4 1 4 1 4 1 4y x y x y x f x x− = − − ⇒ − = − ⇒ = + − ⇒ = + − . De esta expresión se obtiene el dominio que es: ( ] 1, 4f f

D R −= −∞ = . Para obtener la regla de correspondencia de la función inversa, que existe porque la función original es biyectiva, se hace lo siguiente:

x

y

1

Page 45: Problemario Calculus

42

( ) ( )2 21 4 ; 1 4 4 1 4 1 4 1y x x y y x y x y x= + − = + − ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ = − −

Luego la función inversa es ( ) ( )21 4 1f x x− = − − . Las gráficas de ambas funciones son:

El recorrido de la función es [ ) 11,f f

R D −= ∞ =

ALUMNO: PABLO A. LORENZANA G. 51. Expresar el área de un círculo en función únicamente de su perímetro. Solución. El modelo geométrico de este problema es el siguiente:

El área del círculo es igual a 2A rπ= y su perímetro se obtiene a partir de la expresión 2P rπ= . Del perímetro se despeja el radio " "r y se sustituye en la expresión del área, con lo que se llega a la función pedida. Así,

2 2

2;2 2 4P P Pr A Aππ π π

⎛ ⎞= = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

ALUMNA: RODRÍGUEZ DE LA TORRE RHAMID H.

r

x

f

1f −

y

1

3

3 4

Page 46: Problemario Calculus

43

52. Dado el siguiente triángulo rectángulo, escribir la longitud de su cateto adyacente en función únicamente del seno del ángulo x .

Solución. Se utilizan los símbolos A OC y C para los catetos adyacente y opuesto, respectivamente.

1O

OCsenx C senx= ⇒ =

Mediante el Teorema de Pitágoras se tiene que 2 21 O AC C= + , de donde:

2 21 1A O AC C C sen x= − ∴ = −

ALUMNO: ESPINOSA VARGAS BOGDAD ROBERTO 53. Un granjero planea colocar una valla en un terreno de forma rectangular, uno de cuyos lados coincide con un la orilla de un río recto. Cuenta con 2000 m de valla. Definir el área del terreno rectangular en términos solamente de la longitud de los lados que no coinciden con el río y que son perpendiculares a él. Solución. Una figura que representa el problema es:

El área del terreno equivale a: A ab= . La longitud de valla en términos de las longitudes de la figura, sin tomar el lado que coincide con el río y que no es cercado, es:

2 2000 2000 2a b b a+ = ⇒ = − Se sustituye este valor de " "b en la expresión del área " "A y finalmente se llega a:

( ) 22000 2 2000 2A a a A a a= − ∴ = −

LOS COORDINADORES

a a

b

río

x

1

Page 47: Problemario Calculus

44

54. Para el triángulo isósceles dado, expresar su área " "A en función exclusivamente de " "x .

Solución. El área del triángulo está dada por

2x aA = .

Para obtener una relación entre x y a se utiliza el teorema de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos que forman el triángulo isósceles:

2 22 210 100

2 4x xa a⎛ ⎞= + ⇒ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Se sustituye este valor en el área y se tiene finalmente: 2

1004

2

xxA

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠=

ALUMNO: ESPINOSA VARGAS BOGDAD ROBERTO

55. En la figura se muestran las posiciones relativas de un avión y una torre de control en un aeropuerto. El principio de la pista se encuentra a una distancia de 90 m de la base de la torre, sobre la perpendicular. Expresar la distancia " "d de la aeronave a la torre de control como una función de la distancia " "x que el avión ha recorrido sobre la pista.

torre

90 m

x

d

10

2x

a

Page 48: Problemario Calculus

45

Solución. Como en la figura se forma un triángulo rectángulo, es posible utilizar el Teorema de Pitágoras, por lo que

2 2 2 290 8100d x d x= + ⇒ = +

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA 56. Se tienen 30 cm de alambre del cual, al cortarlo en dos partes, con una se construye un cuadrado y con la otra una circunferencia. Obtener una función que exprese la suma de las áreas de las dos figuras en términos únicamente del lado del cuadrado. Solución. El modelo geométrico es:

La suma de las áreas " "AS de las dos figuras está dada por 2 2

AS x rπ= + . Para relacionar el lado del cuadrado con el radio de la circunferencia se utiliza la longitud del alambre que equivale a la suma de los perímetros de las figuras. Así,

15 24 2 30 2 15 xx r x r rπ ππ−

+ = ⇒ + = ⇒ =

Se sustituye esta expresión en la función AS y se tendrá ésta en términos sólo del lado del cuadrado:

( )222 2 15 215 2

A A

xxS x S xππ π

−−⎛ ⎞= + ∴ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

LOS COORDINADORES

57. Una recta que pasa por el punto ( )3,4 forma con los ejes coordenados, en el primer cuadrante, un triángulo rectángulo. Definir una expresión del área del triángulo formado en términos exclusivamente de la longitud desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta el eje de las ordenadas, es decir, en términos de la ordenada al origen. Solución. Se representa gráficamente el problema planteado y,

x

x

r

Page 49: Problemario Calculus

46

Como se observa, el área del triángulo está dada por

2abA =

Por triángulos semejantes es posible escribir que

( )3 34 3 4 34 4

a a ba ab b a b b ab b

−= ⇒ = − ⇒ − = ⇒ =

Se sustituye este valor en el área y se llega finalmente a: 2

334

2 2 8

b b bbA Ab

−= ∴ =−

Otra forma de relacionar a y b , que son la abscisa y la ordenada al origen, respectivamente, es la ecuación de la recta en su forma simétrica es:

( )1x y bxbx ay ab a b y bx aa b b y+ = ⇒ + = ⇒ − = ⇒ =

En el punto ( )3,4 se tiene que 34

bab

=−

, por lo que al sustituir se llega a: 23

2 8bA

b=

LOS COORDINADORES

58. Un rectángulo está limitado por el eje " "x , con el cual coincide y por el semicírculo 225y x= − , en cuya gráfica tocan dos de sus vértices. Expresar el área del rectángulo en función únicamente de su base. Solución. El modelo geométrico es:

x

( )3,4

a

b

y

Page 50: Problemario Calculus

47

El área del rectángulo es A ab= . De la ecuación de la semicircunferencia a la que satisface el punto

,2a b⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

, se puede escribir que: 2

252ab ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ . Por lo que finalmente:

2 2 2210025 25 100

2 4 4 2a a a aA a A a A a A a−⎛ ⎞= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

LOS COORDINADORES

59. Un cono circular recto de dimensiones variables se encuentra inscrito en otro también circular recto de dimensiones fijas, con radio y altura de 5 y 10 unidades respectivamente. Obtener una función que represente el volumen del cono inscrito en términos de su radio. Solución. La figura es la siguiente:

Se sabe que 21

3V r hπ= ; entonces, por triángulos semejantes se obtiene lo siguiente:

10 h

5

x

y

225y x= −

b

2a

,2a b⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

5 5−

5

r

Page 51: Problemario Calculus

48

10 10 50 1050 5 10 10 2

5 5h rh r h h r

r− −

= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = −

expresión que se sustituye en el volumen y 21 (10 2 )

3V r rπ= −

ALUMNO: PABLO A. LORENZANA G.

60. Dos postes verticales de 6 8.5m y m de altura se encuentran a 10 m de distancia uno del otro. Se deben sujetar con cables fijados en un sólo punto, desde el suelo hasta los extremos de los postes. Expresar la longitud total del cable en función sólo de la distancia de la base del primer poste (de 6 m ) al punto del suelo donde están fijados los cables. Solución. En primer lugar se traza un modelo geométrico como sigue:

Si se representan con " " "10 "x y x− las respectivas distancias de las bases de los postes al punto del suelo, entonces se pueden determinar las longitudes de los cables mediante el Teorema de Pitágoras al aplicarlo en los dos triángulos rectángulos. De esta forma:

( )22 2 26 8.56 10 8.5L x y L x= + = − +

Por lo que finalmente la longitud total del cable, en función de la distancia " "x es:

( )22 2 2 236 10 8.5 36 20 172.25L x x L x x x= + + − + ∴ = + + − +

LOS COORDINADORES 61. Obtener el volumen del cono circular recto inscrito en una esfera de radio R, como función únicamente de su altura: Solución. Es conveniente una figura con el cono inscrito en la esfera y también una sección transversal.

6 8.5

x 10 x−

cables

Page 52: Problemario Calculus

49

El volumen del cono está dado por 21

3V r hπ= . En el triángulo rectángulo que se forma con ,R r y h R−

se aplica el Teorema de Pitágoras para relacionar el radio y la altura del cono, de donde ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2r h R R r R h R r R h hR R r hR h+ − = ⇒ = − − ⇒ = − + − ⇒ = −

Se sustituye esta expresión en la del Volumen y se obtiene la función de éste en términos únicamente de la altura.

( ) ( ) ( )2

2 2 31 2 2 23 3 3

hV h hR h V h R h V R hπ ππ= − ⇒ = − ⇒ = −

Otra forma para resolver el ejercicio parte de relacionar al radio del cono con su altura mediante los triángulos semejantes ABD y BCD . Luego

2h rr R h=

− ; 2 (2 )r h R h= −

Al sustituir en el volumen se tiene que: 1 [ (2 )]3

V h h R hπ= − ⇒ 21 (2 )3

V h R hπ= −

ALUMNO: CALDERÓN OCHOA GABRIEL

62. Se desea construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón rectangular que tiene dimensiones 20 30cm cm× . Para ello se recortarán cuatro cuadrados idénticos de área, uno en cada esquina y se doblarán hacia arriba los lados resultantes (véase la figura).Expresar el volumen " "V de la caja como función del lado " "x de los cuadrados recortados.

r

h2R

2R h−

A

B

C

D

C

r

R

Rh R−

h

Page 53: Problemario Calculus

50

Solución. El volumen de la caja que se construye es igual a V = área de la base × altura Las dimensiones de la base, después de los recortes son, respectivamente: 20 2 30 2x y x− − y la altura de la caja es " "x . Luego el volumen, en términos de " "x es:

( )( ) 2 3 220 2 30 2 600 40 60 4 4 100 600V x x x V x x x V x x x= − − ⇒ = − − + ⇒ = − +

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA 63. Un tanque de base cuadrada y con tapa debe construirse o fabricarse con un volumen 3200V m= . Si el costo por metro cuadrado de la base y de la tapa es de $ 10.00 y el de las caras laterales de $ 5.00 ; obtener una expresión para definir el costo total C de fabricación de dicho tanque en función exclusivamente del lado de la base.

Solución. El área y costo de la tapa y base están dados por:

( )( )2 2 2; 2 10 20Tapa Base B BA A x C x C x= = = ⇒ = El área de las caras laterales es:

( )( )4 ; 4 5 20Lateral L LA xy C xy C xy= = ⇒ = Luego el costo total es: 220 20B LC C C C x xy= + ⇒ = + El valor de y se obtiene de la siguiente manera:

22 2

200;VV x y y yx x

= ⇒ = =

Se sustituye este valor en el costo " "C y se obtiene el costo en función exclusivamente del lado " "x de la base.

xx

y

30

x

x

20

Page 54: Problemario Calculus

51

2 22

200 400020 20 20C x x C xx x

⎛ ⎞= + ∴ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

ALUMNO: ESPINOSA VARGAS BOGDAD ROBERTO

64. Un fabricante necesita elaborar vasos de aluminio en forma de cilindro circular recto, cada uno con un volumen de 316 cm . Formular una función que represente la cantidad de material necesario para construir un vaso en términos únicamente de su altura. Solución. El modelo geométrico con sus magnitudes es el siguiente:

Se utilizarán los siguientes símbolos

V = Volumen del cilindro = 316 cm r = Radio de la base del cilindro. a = Altura del cilindro. MA = Cantidad de Material necesario. De aquí:

2 316V r a cmπ= = ; 2 16r aπ = ; 2 16raπ

= ⇒ 4 (1)raπ

= L

Por otro lado, el área del vaso, que equivale al área de la base más el área de la superficie lateral, está dada por: ( )2 2 2MA r raπ π= + L

Se sustituye ( )1 en ( )2 y se tiene la cantidad de material necesario en términos únicamente de la altura. 24 4 162 8M MA a A a

aa aπ π π

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

65. Un tanque en forma de cilindro recto con tapa debe contener 10,000 litros de una determinada substancia química. Los materiales para su construcción tienen el costo siguiente: 2$ 200 / m para la base, 2$ 100 / m para la tapa y 2$ 180 / m para la superficie lateral. Obtener una expresión que defina la cantidad de material empleado en la construcción del tanque en función solamente del radio de su base. Solución. El tanque con sus dimensiones es el que se muestra en la siguiente figura:

a

r

Page 55: Problemario Calculus

52

El costo de los materiales para la construcción del tanque se da como el producto de las áreas (base, tapa y superficie lateral) por sus respectivos costos. Entonces el costo total de los materiales es:

( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2200 100 2 180 300 360C x x xy C x xyπ π π π π= + + ⇒ = + Para tener este costo en función sólo del radio de la base, se utiliza el dato del volumen.

3 3 22

1010000 10000 10 ; 10V litros dm m x y yx

ππ

= = = = ⇒ =

Se sustituye esta expresión en el costo y se logra que esté en función solamente del radio " "x 2 2

210 3600300 360 360C x x C xx x

π π ππ

⎛ ⎞= + ∴ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

LOS COORDINADORES

66. Un hombre " "H se encuentra mar adentro a dos kilómetros de la playa y desea llegar tierra adentro al

punto " "P como se muestra en el diagrama. El hombre puede nadar a un ritmo constante de 2 kmh

y

caminar con una rapidez constante de 4 kmh

. Expresar el tiempo " "t que emplea en llegar a " "P en

función únicamente de la distancia " "x mostrada en la figura.

x

2

1

3

Mar Tierra

3 x−

P

H

y

x

Page 56: Problemario Calculus

53

Como se observa, el hombre recorrerá la distancia de H a P en una trayectoria rectilínea para llegar a su destino. Esta línea forma dos triángulos rectángulos con la costa y las líneas perpendiculares a ella; con ellos se podrá determinar la distancia que recorre por Mar y por Tierra. Por Mar se ve que la distancia que recorre es: 2 22Md x= + .

Por Tierra se tiene que esta distancia es: ( )2 23 1Td x= − + . Ahora que ya se tienen las distancias habrá que calcular los tiempos correspondientes con la expresión conocida

para velocidad constante, que es d dv tt v

= ⇒ = .

Por lo que para el Mar: 2 42M

d xtv

+= =

Y por Tierra: ( )2 23 1 10 6

4 4T

xd x xtv

− + − += = =

Finalmente se suman los tiempos para obtener el tiempo total:

T Mt t t= + ⇒ 2 24 10 62 4

x x xt + − += +

ALUMNO: FELIX REYES ALEJANDRO

Page 57: Problemario Calculus

54

LÍMITES Y CONTINUIDAD 1. Calcular el siguiente límite:

134lim 2

2

1 ++++

−→ xxxx

x

Solución. Al sustituir el valor al que tiende la variable " "x , se tiene que:

134lim 2

2

1 ++++

−→ xxxx

x= ( ) ( )( ) ( )

2

2

1 4 1 3 0 011 1 1

− + − += =

− + − +

que es el valor numérico del límite.

ALUMNO: RAFAEL NOLASCO CASTREJÓN 2. Obtener el límite siguiente:

2

32

2 5 6lim8x

x xx→

− +−

Solución. Se sustituye el valor al que tiende la variable independiente x y se llega a

( ) ( )( )

2

3

2 2 5 2 6 408 2

− += → ∞

por lo tanto el límite no existe.

LOS COORDINADORES 3. Calcular el límite:

124lim 24 −−

−→ xx

xx

Solución. 00

1241644

124lim 24

=−−

−=

−−−

→ xxx

x (indeterminado)

Se factoriza, se simplifica y se llega a:

( )( ) 134

13

1lim34

4lim12

4lim4424

=−

=−

=+−

−=

−−−

→→→ xxxx

xxx

xxx

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ

Page 58: Problemario Calculus

55

4. Resolver el límite:

2

2 23

6 7 2lim 49

x

x x

x→ −

+ +

Solución. Se sustituye el valor al que tiende la variable independiente x y se llega a:

2

2

2 2 8 146 7 2 2 03 3 3 34 4 04 29 99 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = =

⎛ ⎞ −− −⎜ ⎟⎝ ⎠

, que es una indeterminación. Para eliminarla se factorizan

numerador y denominador, se simplifica y se tiene que:

( )2 23 3

2 26 3 6 36 3 1 33 3lim lim 2 42 2 2 2 43 33 3 3 3

x x

x xx

xx x→ − → −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−+ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

LOS COORDINADORES

5. Calcular el límite:

2

2r 3

2 3lim7 12

r rr r→−

+ −+ +

Solución. Se sustituye el valor al que tiende r y:

2

2r 3

2 3 0lim7 12 0

r rr r→−

+ −=

+ +(indeterminado)

Al factorizar numerador y denominador y simplificar, se obtiene:

44313

)4()1(lim

)3)(4()3)(1(lim

12732lim

332

2

3−=

+−−−

=+−

=+++−

=++−+

−→−→−→ rr

rrrr

rrrr

xxx

Otra forma de proceder es si se usa el hecho de que el valor de 3− es raíz de los dos polinomios, por lo que se realizan las divisiones algebraicas correspondientes:

2 22 3 7 121 43 3

r r r rr y rr r+ − + +

= − = ++ +

con lo que se llega al mismo resultado.

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA

Page 59: Problemario Calculus

56

6. Determinar el valor del siguiente límite:

2

22

3 10lim3 5 2x

x xx x→

+ −− −

Solución. 2

22

3 10 0lim3 5 2 0x

x xx x→

+ −=

− − (indeterminado). Se factorizan ambos polinomios y se llega a:

( )( ) ( )( )2 23 10 5 2 3 5 2 2 3 1x x x x y x x x x+ − = + − − − = − + luego, el límite queda como:

( )( )( )( )

2

22 2 2

5 23 10 5 7lim lim lim 13 5 2 2 3 1 3 1 7x x x

x xx x xx x x x x→ → →

+ −+ − += = = =

− − − + +

LOS COORDINADORES

7. Calcular el siguiente límite:

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

−+

++

−→

361

123

61

65

lim2

2

31 xx

xx

x

Solución. Se efectúa la correspondiente sustitución y:

22

21 23

1 5 1 15 1 1 5 1 2 5 303 6 3 66 6 9 18 6 18lim 3 1 1 1 1 4 3 1 01 3 1 1

12 36 9 12 36 363 12 3 36x

xx

xx→ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − +⎛ ⎞ − + − ++ + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = =⎜ ⎟ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ − − −− + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(indeterminado)

Se factorizan numerador y denominador, y se calcula el valor del límite:

13

1 13 2lim1 1

12 3x

x x

x x→ −

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

=13

1 1 1 112 22 3 2 6lim 1 1 51 30 5

3 12 1212x

x

x→ −

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ = = = − = −⎛ ⎞⎜ ⎟ − − −−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

ALUMNO: RAFAEL NOLASCO CASTREJÓN

8. Calcular el siguiente límite:

( )3 3

0limh

x h xh→

+ −

Solución. Al sustituir se tiene:

Page 60: Problemario Calculus

57

( )3 3

0

0lim0h

x h xh→

+ −= (indeterminado)

Se desarrolla, factoriza y:

( ) ( )

2 23 2 2 3 3 2 2 32 2 2

0 0 0 0

3 33 3 3 3lim lim lim lim 3 3 3h h h h

h x xh hx x h xh h x x h xh h x xh h xh h h→ → → →

+ ++ + + − + += = = + + =

ALUMNO: RAFAEL NOLASCO CASTREJÓN

9. Calcular el límite: 327lim

3

3 −−

→ xx

x.

Solución. 3

3

27 27 27 0lim3 3 3 0x

xx→

− −= =

− −(indeterminado)

Se factoriza el numerador, se simplifica y:

( )( ) ( )23

2

3 3 3

3 3 927lim lim lim 3 9 9 9 9 273 3x x x

x x xx x xx x→ → →

− + +−= = + + = + + =

− −

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ

10. Calcular el siguiente límite: 3

2

8lim2h

hh→−

++

Solución. Se sustituye y:

3

2

8 8 8 0lim2 2 2 0h

hh→−

+ − += =

+ − +(indeterminado)

Se factoriza el numerador como “suma de cubos” y:

124)2(2)2()42(lim2

)42)(2(lim28lim 22

2

2

2

3

2=+−−−=+−=

++−+

=++

−→−→−→hh

hhhh

hh

hhh

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA

11. Determinar el valor del siguiente límite:

3

23

2 7lim6 2 7x

xx x→ −

+− −

Solución. Se sustituye el valor al que tiende la variable independiente x y se llega a

Page 61: Problemario Calculus

58

3

23

2 7lim6 2 7x

xx x→ −

+=

− −( )

( ) ( )

3

2

27 3 003 6 3 27

+ −=

− − − −

que es una indeterminación. Para eliminarla se factorizan numerador y denominador y se tiene que:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )22 2

3 3 3

3 9 3 9 3 3 39 3 9 9 9 27 9lim lim lim3 9 9 3 9 12 12 4x x x

x x x x xx x x→− →− →−

+ − + − − + −− + + += = = = = −

+ − − − − − −

LOS COORDINADORES

12. Sea 4

16)(−

−=

xxxf . Calcular ( )xf

x 16lim→

.

Solución. Cuando se sustituye 16=x , se llega a la indeterminación

16

16 16 16 0lim04 16 4x

xx→

− −= =

− −

Para obtener el límite, se racionaliza el denominador de )(xf y se tiene:

( ) ( )( ) ( ) 84lim16

416lim44

416lim

416limlim

1616161616=+=

−+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

++

⋅−

−=

−−

=→→→→→

xx

xxxx

xx

xxxf

xxxxx

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA

13. Sea ( )7

7−−

=xxxf . Calcular el límite de ( )xf cuando x tiende a 7 .

Solución. Se sustituye el valor al que tiende " "x en la función para ver si se presenta una indeterminación o se tiene un resultado determinado. Así,

00

7777

77lim

7=

−−

=−−

→ xx

x (indeterminado)

Se tiene una indeterminación, así que se debe usar algún artificio para eliminarla. Se emplea el binomio conjugado para racionalizar el numerador ya que se tienen raíces cuadradas en su binomio.

( )( )7 7 7

7 7 7 1 1lim lim lim7 7 7 2 77 7x x x

x x xx x xx x→ → →

− + −⋅ = = =

− + +− +

ALUMNA: RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE

14. Obtener el límite: 42lim

4 −−

→ xx

x.

Page 62: Problemario Calculus

59

Solución. Se sustituye el valor de "4" y:

4

2 4 2 0lim4 4 4 0x

xx→

− −= =

− −(indeterminado)

Se multiplican numerador y denominador por el binomio conjugado del numerador y se obtiene: ( )( )( )( ) ( )( )4 4 4 4

2 22 4 1 1 1lim lim lim lim4 42 4 24 2 4 2x n x x

x xx xx xx x x x→ → → →

− +− −= = = =

− + +− + − +

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ

15. Obtener el valor del siguiente límite:

24

8 5 9lim2 3 2x

xx→ −

+ −−

Solución. Se sustituye el valor al que tiende la variable independiente x y se llega a

( )( )2

85 4 9 81 9 032 32 02 4 32

+ − − −= =

−− − , que es una indeterminación. Para eliminarla se factoriza el denominador y se

multiplican, numerador y denominador por el binomio conjugado del numerador. Así se llega a: ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

4 4

4

85 9 85 9 85 81lim lim2 4 4 85 9 2 4 4 85 9

1 1 1lim2 8 9 9 2882 4 85 9

x x

x

x x xx x x x x x

x x

→ − → −

→ −

+ − + + + −=

+ − + + + − + +

= = = −− +− + +

LOS COORDINADORES

16. Resolver:

5

1 6lim2 0 5x

xx→

− −+ −

Solución. Se sustituye el valor al que tiende la variable independiente x y se llega a 1 6 5 1 1 05 5 05 20 5

− − −= =

−+ −,

que es una indeterminación. Para quitarla se multiplican al mismo tiempo, numerador y denominador, por el binomio conjugado del numerador y del denominador. Así se llega a:

Page 63: Problemario Calculus

60

( ) ( )( )( )

( )( )( )( )

5 5

5 5

1 6 20 51 6 1 6 20 5lim lim20 5 1 6 20 5 20 25 1 6

5 20 5 20 5 5 5 10lim lim 51 1 21 65 1 6

x x

x x

x xx x xx x x x x

x x xxx x

→ →

→ →

⎡ − − ⎤ + +− − + − + + ⎣ ⎦⋅ ⋅ =+ − + − + + + − + −

− + + + + += = = = =

++ −− + −

LOS COORDINADORES

17. Obtener el valor del siguiente límite:

2

0

1 1limx

x xx→

+ + −

Solución. 2

0

1 1 0lim0x

x xx→

+ + −= (indeterminado). Se multiplican, numerador y denominador, por el binomio

conjugado del numerador y se obtiene el valor del límite. Así:

( )( )

( )

2 2 2

20 0

2

20 0 02 2

1 1 1 1 1 1lim lim1 1

11 1 1 1lim lim lim21 11 1 1 1

x x

x x x

x x x x x xx x x x

x xx x xx xx x x x x x

→ →

→ → →

+ + − + + − + + += ⋅ =

+ + +++ + − +

= = = =+ + ++ + + + + +

LOS COORDINADORES

18. Calcular el límite:

3

2

1 0 2lim2x

xx→

− −−

Solución. Se sustituye el valor al que tiende la variable independiente x y se llega a 3 8 2 02 2 0−

=−

, que es

una indeterminación. Para eliminarla se multiplican, numerador y denominador, por el trinomio que transforma el numerador de la expresión original en una diferencia de cubos. Así se tiene que

( )( )

( )( ) ( )

2 333

22 2 23 33 3

10 2 10 4 10 810 2lim lim2 10 2 10 4 2 10 2 10 4x x

x x xxx x x x x x→ →

− + − + − −− −⋅ =

− ⎛ ⎞− + − + − − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 64: Problemario Calculus

61

( )22 33

1 1 1lim4 4 4 1210 2 10 4x x x→

= = =+ +− + − +

Otra forma de resolver este límite es mediante el siguiente cambio de variable:

( ) ( )3 3

3 3 3332 ? 2 2

2 210 10 ; lim 10 lim 2 lim lim82 10x u u u

u uu x x u x u uuu→ → → →

− −= − ⇒ = − − = ⇒ → ∴ =

−− −

( )( ) 222 2

2 1 1 1lim lim2 4 4 4 4 122 2 4u u

uu uu u u→ →

−= = = =

+ + + +− + +

LOS COORDINADORES

19. Obtener el valor del límite:

3

1

1lim1x

xx→

−−

Solución. 3

1

1 0lim01x

xx→

−=

− (indeterminado). En este caso, se puede hacer un cambio de variable. Se

cambia el radicando, que es común, por otra variable a la que se le coloca como exponente el mínimo común múltiplo de los índices de los radicales, que en este caso es 6 . Así,

( )( )( )( )

3 6 26 6 6

361 ? 1 1

221 1

1 1; l im lim 1 1 lim lim11

1 1 1 2lim lim1 31 1

x u u u

u u

u ux u x u u uuu

u u uu uu u u

→ → → →

→ →

− −= = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

−−− + +

= = =+ +− + +

Este ejercicio también se podría haber resuelto multiplicando numerador y denominador de la expresión original por las expresiones 3 2 3 1 1x x y x+ + + para lograr la diferencia de cubos y de cuadrados y así eliminar la indeterminación.

LOS COORDINADORES 20. Calcular el valor del siguiente límite:

1313lim

2

4 2

2 −−

−−→ x

xx

Solución. Se hace el cambio de variable ( )2 4 2 4 3

2 ?3 ; lim 3 lim 2 3 4 1

x ux u x u u

→ →− = − = ⇒ − = ∴ →

( )( ) 21

111

11lim

111lim

11lim

11lim

11214

4 4

1=

+=

+=

+−−

=−−

=−

−→→→→ uuu

uuu

uu

uuuu

LOS COORDINADORES

Page 65: Problemario Calculus

62

21. Determinar el valor del límite siguiente:

4

6

22 2lim4 22x

xx→

− −− −

Solución. Se sustituye el valor al que tiende la variable independiente x y se llega a

4 22 6 2 2 2 04 4 04 22 6

− − −= = =

−− − , que es una indeterminación. Para eliminarla se cambia el radicando común de

ambas raíces por una nueva variable elevada a un exponente que es el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces. Así, se tiene que:

( )44

4 4 4246 ? 2 2

2 222 ; lim 22 lim 22 6 2 lim lim44x u u u

u ux u x u u uuu→ → → →

− −− = − = ⇒ − = ⇒ = ∴ =

−−

( )( )( )

( )( ) ( )2 2 2

22 1 1lim lim lim2 2 2 2 2 4u u u

uuu u u u u→ → →

− −− −= = = = −

− + − + +

LOS COORDINADORES

22. Calcular el límite:

1111lim

3

4

0 −+−+

→ xx

x

Solución. Se hace la sustitución y:

4 4

3 30

1 1 1 1 0lim01 1 1 1x

xx→

+ − −= =

+ − −(indeterminado)

Se hace un cambio de variable, dado que se presentan raíces con índices diferentes pero con el mismo radicando:

( )12 12 12

0 ?1 ; lim 1 lim 1 0 1 1

x ux u x u u u u

→ →+ = + = ⇒ + = ⇒ = ∴ →

Se realiza el cambio y se efectúan las operaciones requeridas para obtener el resultado:

11lim 4

3

1 −−

→ uu

u=

( )( )( )( )

2

2 21

1 1lim

1 1u

u u uu u→

− + +=

− +

( )( )( )( )( )

2

21

1 1lim

1 1) 1u

u u uu u u→

− + +=

− + +( )

( )( )2

21

1lim

1 1u

u uu u→

+ +=

+ +

2

2(1 1 1) 3

(1 1)(1 1) 4+ +

=+ +

4

30

1 1 3lim41 1x

xx→

+ −=

+ −

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA

Page 66: Problemario Calculus

63

23. Obtener el valor del límite:

3752lim 2 +−

+∞→ xx

xx

Solución. 22 5lim

7 3x

xx x→∞

+ ∞=

− + ∞(indeterminado)

Se divide entre la variable de mayor exponente y se obtiene el valor del límite:

2

2

2

2

222

2

22

2 3lim7lim1lim

5lim2lim

371

52

lim37

52

lim37

52lim

xx

xx

xx

xx

xxx

xx

xxx

xxx

xxx

xx

xxx

∞→∞→∞→

∞→∞→

∞→∞→∞→+−

+=

+−

+=

+−

+=

+−+

0001

0037

52lim 2 =+−

+=

+−+

∞→ xxx

x

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ

24. Calcular el valor del siguiente límite:

26123lim 2

2

+++−

∞→ xxxx

x

Solución. 2

23 2 1lim6 2x

x xx x→∞

− + ∞=

+ + ∞ (indeterminado)

Se divide entre la variable con mayor exponente y se obtiene:

=+++−

∞→ 26123lim 2

2

xxxx

x

222

2

222

2

26

123

lim

xxx

xx

xxx

xx

x++

+−

∞→

2

2

2 13lim 1 26x

x x

x x→∞

− +=

+ +

3 16 2

= =

2

23 2 1 1lim6 2 2x

x xx x→∞

− +∴ =

+ +

ALUMNO: MENDIETA PACHECO HUGO

25. Calcular el siguiente límite:

( )344

733lim 2

2

−++−−

∞→ xxxx

x

Solución. ( )2

2

3 3 7lim

4 4 3x

x xx x→ ∞

− − + ∞=

+ − ∞(indeterminado)

Page 67: Problemario Calculus

64

Se desarrolla el binomio del numerador, se simplifica y se obtiene: ( )2 2

2 2

6 9 3 7 9 16lim lim4 4 3 4 4 3x x

x x x x xx x x x→ ∞ →∞

− + − + − +=

+ − + −

Se dividen entre la variable de mayor exponente, numerador y denominador y se obtiene: 2

2 2 2

2

2 2 2

9 16lim

4 4 3x

x xx x xx x

x x x→ ∞

− +

+ −⇒

2

2

9 161 1 0 0 1lim 4 3 4 0 0 44xx x

x x→ ∞

− + − += =

+ −+ −

ALUMNO: RAFAEL NOLASCO CASTREJÓN

26. Calcular: 6344lim 2

2

−+−−

∞→ xxxx

x.

Solución. 2

24 4lim3 6x

x xx x→ ∞

− − ∞=

+ − ∞(indeterminado)

Se divide entre la variable de mayor exponente:

111

001001

631

441lim

63

44

lim2

2

222

2

222

2

==−+−−

=−+

−−=

−+

−−

∞→∞→

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx

Por lo tanto: 16344lim 2

2

=−+−−

∞→ xxxx

x

ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA

27. Calcular el valor del siguiente límite:

)(lim xfx ∞−→

donde 2

21 2 3( ) 12 5 3

x xf xx x− −

= −+ −

Solución.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−−−

−+−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−−−

∞−→∞−→ 352321

352352lim

3523211lim 2

2

2

2

2

2

xxxx

xxxx

xxxx

xx

se suman las dos fracciones:

Page 68: Problemario Calculus

65

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+

∞−→ 352475lim 2

2

xxxx

x

se divide tanto el numerador como el denominador entre 2x

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

−+

−+=

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

−+

−+

∞−→∞−→

2

2

222

2

222

2

352

475lim

352

475

lim

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx

por lo tanto 25

3523211lim 2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−−−

∞−→ xxxx

x

ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS

28. Calcular el valor del siguiente límite:

22835lim 2

3

++++

∞→ xxxx

x.

Solución. 3

25 3 8lim

2 2x

x xx x→∞

+ + ∞=

+ + ∞(indeterminado)

Se divide entre la variable con mayor exponente y se llega a: 3

3 3 3 2 3

2

2 33 3 3

5 3 8 3 85 5 0 0 5lim lim 1 2 22 2 0 0 0 0x x

x xx x x x xx x

x x xx x x→ ∞ → ∞

+ + + + + += = = → ∞

+ ++ ++ +

por lo tanto no existe el límite.

ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA

29. Calcular el siguiente límite: xxx

xxx 235

123lim 23

2

+−−+

∞→.

Solución. 2

3 23 2 1lim

5 3 2x

x xx x x→∞

+ − ∞=

− + ∞(indeterminado)

Para calcular este límite se dividirá el numerador y el denominador de la función entre la variable de mayor potencia, en este caso 3x :

2 2

2 3 3 3 3 2 3

3 2 3 23 2

23 3 3 3

3 2 1 3 2 1 3 2 13 2 1lim lim lim lim 3 25 3 2 5 3 25 3 2 5x x x x

x x x xx x x x x x x x x

x x x x x xx x xx xx x x x

→∞ →∞ →∞ →∞

+ − + − + −+ −= = =

− +− + − +− +

Se valúa el límite y finalmente se llega a:

Page 69: Problemario Calculus

66

050

235

123

235

123

lim235123lim

2

32

23

2

==

∞+

∞−

∞−

∞+

∞=+−

−+=

+−−+

∞→∞→

xx

xxxxxx

xxxx

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS

30. Obtener el valor del siguiente límite:

xxxxxx

x 2521376lim 23

23

−+−+−

∞→

Solución. 3 2

3 26 7 3 1lim

2 5 2x

x x xx x x→ ∞

− + − ∞=

+ − ∞(indeterminado)

Se divide entre la variable de mayor exponente:

=−+

−+−∞→ xxx

xxxx 252

1376lim 23

23

=−+

−+−

∞→

3

23

3

23

252

1376

lim

xxxx

xxxx

x

2

32

252

1376lim

xx

xxxx

−+

−+−

∞→

Por lo tanto; 326

2521376lim 23

23

==−+

−+−∞→ xxx

xxxx

ALUMNA: IRENE RUBALCABA M.

31. Sea ( )xxx

xxxxf925

63723

23

−++−+−

= . Calcular el límite de ( )xf cuando x tiende a ∞ .

Solución. Al sustituir se tiene que:

( )3 2

3 27 3 65 2 9x x xf xx x x

− + − + ∞= =

+ − ∞(indeterminado)

Se dividen numerador y denominador entre la variable de mayor exponente y se realiza la sustitución nuevamente en la expresión simplificada:

3 2

3 3 3 3 2 3

3 2

23 3 3

7 3 6 3 1 67 7lim lim 2 95 2 9 55x x

x x xx x x x x x x

x x xx xx x x

→∞ →∞

− + − + − + − += = −

+ −+ −

ALUMNA: RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE

Page 70: Problemario Calculus

67

32. Calcular el siguiente límite:

3

32 1lim

2x

x xx x→∞

− +− −

Solución. 3

32 1lim

2x

x xx x→∞

− + ∞=

− − ∞(indeterminado)

3

3 2 33 3 3 2 3

33

2 3 2 33 3 3

1 12 1 1 1 lim 222 1lim lim lim 1 2 1 222 1 lim 1

x

x x x

x

x xx x x xx x x x x

x xx xx x x xx x x

→∞

→∞ →∞ →∞

→∞

⎛ ⎞− +− + − + ⎜ ⎟− + ⎝ ⎠= = =− − ⎛ ⎞− − − −− − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2001002

2lim1lim1lim

1lim1lim2lim

32

32=

−−+−

=−−

+−

∞→∞→∞→

∞→∞→∞→

xx

xx

xxx

xxx

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO

33. Calcular el valor del siguiente límite:

1lim1x

xx→∞

−+

Solución. 1lim1x

xx→∞

− ∞=∞+

(indeterminado)

Se dividen numerador y denominador entre la variable de mayor exponente para poder calcular el límite:

1 11 1lim lim 11 1 11

x x

xx x

xxx

→∞ →∞

−−

= = =+

+

LOS COORDINADORES

34. Calcular x

xx

19lim +−∞→

.

Solución. 9 1limx

xx→ ∞

− + ∞=∞

(indeterminado)

Page 71: Problemario Calculus

68

Mediante operaciones algebraicas se obtiene:

2 29 1 9 1 1 9 1lim lim lim 0

x x x

x xx x x x x x→ ∞ → ∞ → ∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −= + = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

También su pudo haber dividido numerador y denominador entre la variable de mayor exponente, de donde:

2

2

9 19 19 1 1 9 1lim lim lim lim 0

1x x x x

xxx x xx

xx x x xx

→∞ →∞ →∞ →∞

−− + +− += = = − + =

9 1lim 0x

xx→ ∞

− +∴ =

ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA

35. Calcular 24 1lim

10 3x

xx→ ∞

++

.

Solución. 24 1lim

10 3x

xx→ ∞

+ ∞=

+ ∞(indeterminado)

Se dividen numerador y denominador entre la variable de mayor exponente, que es " "x , y se obtiene: 2

2 24 1 14 2lim lim10 3 10 33x x

xx x

xx x

→∞ →∞

+ += =

+ +

LOS COORDINADORES

36. Calcular el siguiente límite:

2

3 3

3lim1x

xx→∞

+

Solución. 2

3 3

3lim1x

xx→∞

− ∞=∞+

(indeterminado).

Se dividen numerador y denominador entre la variable elevada de mayor exponente. Esto es con la finalidad de lograr cocientes con el infinito como denominador lo que conduce a valores de tendencia cero. Así, en este caso, habrá que dividir entre x donde se obtiene:

Page 72: Problemario Calculus

69

22

2 2

33 3 333

33

3 33 1 1 0l im l im l im 11 1 01 1 1

x x x

xxx xx

x xxx x

→ ∞ → ∞ → ∞

−− − += = = =

++ + +

LOS COORDINADORES

37. Calcular 3

2lim1 6x

x xx→ ∞

+

+ −.

Solución. 3

2lim1 6x

x xx→ ∞

+ ∞=∞+ −

(indeterminado)

Se dividen numerador y denominador entre la variable de mayor exponente que es 32" "x y así se puede

calcular el valor numérico del límite: 32

3 3 32 2 2

3 3

3 33 3 322 2

2 2 211lim lim lim 1

1 6 11 6 1 6 1x x x

x x x

x x xx x

xx xx x

→ ∞ →∞ →∞

+ + +

= = = =+ − − + −+

LOS COORDINADORES

38. Obtener:

6

35 2 1lim4 3x

xx→ ∞

−−

Solución. Se sustituye el valor al que tiende la variable independiente x y se llega a ( )

( )

6

3

5 214 3

∞ − ∞=∞− ∞

.

que es una indeterminación. Para quitarla se dividen, numerador y denominador , entre la variable de mayor exponente que en este caso es 3x . El objeto de esto es lograr que la variable aparezca como denominador y así la división entre ella, cuando tiende x a tiende a ∞ , el cociente tiende a cero. De esta forma, se tiene que:

66

6 6 63

3 3

33 3 3

5 2 1 2 15 2 1 5 5 5lim lim lim 44 3 4 3 3 33x x x

xxx x xx

x xxx x x

→ ∞ ← ∞ → ∞

− − −= = = = −

− −−−

LOS COORDINADORES

Page 73: Problemario Calculus

70

39. Determinar: xxx

xx

++∞→

lim

Solución. limx

x

x x x→ ∞

∞=∞+ +

(indeterminado)

Se multiplican numerador y denominador por 1x

y se obtiene:

xxx

xx

++∞→

lim =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

x

x1

1

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∞→

xxxx

x 11lim

xxx

x+

+∞→

1

1lim

2 3

1 1 1lim lim 111 11 1

x xx x

x x x

→∞ → ∞= = = =

++ + +

Por lo tanto 1lim =++

∞→xxx

xx

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA

40. Sea f la función definida por: ( )⎩⎨⎧

>+

<−=

1112

2 xsixxsix

xf .

Obtener ( ) ( ) ( )xfyxfxfxxx 111limlim,lim→→→ +−

.

Solución. Los límites laterales pueden existir por separado pero el límite de la función implica necesariamente su igualdad. Así:

( ) ( ) 12limlim11

=−=−− →→

xxfxx

y ( ) ( )2

1 1lim lim 1 2

x xf x x

+ +→ →= + =

Como el limite por la izquierda es diferente al limite por la derecha el ( )xfx 1lim→

no existe.

ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHAVEZ

41. Sea la función:

( )xg =⎩⎨⎧

=

020

xsixsix

Determinar si )(lim0

xgx →

existe.

Page 74: Problemario Calculus

71

Solución. Se calculan los límites laterales y: ( )

0lim

xg x

−→= ( ) 0lim

0=−

−→x

x y ( )xg

x +→ 0lim = ( ) 0lim

0=

+→x

x

Como ( )xgx −→ 0lim = ( )xg

x +→ 0lim , se concluye que ( )xg

x 0lim→

existe y es igual a 0 . Obsérvese que ( ) 20 =g , lo cual

no afecta al valor del )(lim0

xgx →

.

ALUMNA: IRENE RUBALCABA M. 42. Dada la siguiente función:

⎩⎨⎧

>+≤−

=2 ,12 ,9)( 2

2

xsixxsixxf

Determinar ( )2

limx

f x→

Solución. Se calculan los limites laterales y, en caso de existir y ser iguales, ése será el valor del límite de la función. Así:

( ) 59lim 2

2=−

−→x

x y ( ) 51lim 2

2=+

+→x

x

Como ( )xf

x −→ 2lim = 5)(lim

2=

+→xf

x, entonces ( ) 5lim

2=

→xf

x

ALUMNA: RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE

43. Sea la función ( )( )

3

3

8 3 2.523 3

2.5 103

x si xxf xx x

si xx

⎧ −− ≤ <⎪ −⎪= ⎨

− + −⎪ ≤ ≤⎪ −⎩

Calcular: ( )

2) lim

xa f x

→ ; ( )

3) lim

xb f x

→ ; ( )

2.5) lim

xc f x

Solución.

a) Si se sustituye directamente, se obtiene ( )00

2282lim

3

2=

−−

=→

xfx

, que está indeterminado. Al factorizar se

obtiene: ( )( ) ( )

232

2 2 2

2 2 48lim lim lim 2 4 122 2x x x

x x xx x xx x→ → →

− + +−= = + + =

− −

b) Si se sustituye directamente, se obtiene ( ) ( )3

3

3 3 3 3 0lim3 3 0x

f x→

− + −= =

−, resultado indeterminado. Al

factorizar se obtiene:

Page 75: Problemario Calculus

72

( ) ( ) ( )( )

232

3 3 3

3 3 13 3lim lim lim 3 1 1

3 3x x x

x xx xx

x x→ → →

⎡ ⎤− − +− + − ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= = − + =⎣ ⎦− −

c) Para que este límite exista, los límites laterales deben existir y ser iguales. Así:

( ) ( ) ( ) ( )3 3

2.5 2.5

2.5 8 2.5 3 2.5 3lim 15.25 lim 1.25

2.5 2 2.5 3x xf x y f x

− +→ →

− − + −= = = =

− −

Como los límites laterales no son iguales, entonces el límite ( )2.5

limx

f x→

no existe.

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS 44. Determinar, si existe, el límite de la siguiente función:

( )xfπx=

→lim si ( ) ( )

⎩⎨⎧

≤<≤≤+

=πxπeπxxsen

xf x 201

2

Solución. Como se trata de una función con dos reglas de correspondencia, se tendrá que verificar si existen los límites para cada una de ellas cuando x y xπ π− +→ → y éstos deberán ser iguales para que el límite de la función exista. De esta forma:

( ) ( ) 84147.011lim −=+=+−→

ππ

senxsenx

Ahora se calculará el límite lateral por la derecha con la segunda regla de correspondencia: 2 2

lim 19333.6x

xe eπ

π +→= =

Como se aprecia los valores de los límites laterales son distintos; por lo tanto, no existe límite para esta función.

ALUMNO: ALEJANDRO FÉLIX REYES

45. Para la función, ( )

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

<<

≤≤

<≤−

=

ππ

π

xsix

xsixsen

xsix

xf

2tan

20

03

Calcular los siguientes límites )(lim

0xf

x→ y )(lim

2

xfx π→

.

Solución.

0lim)(lim00

==−− →→

xxfxx

; 0lim)(lim00

==++ →→

xsenxfxx

como ( )xfxf

xx +− →→=

00lim)(lim , entonces: 0)(lim

0=

→xf

x

Page 76: Problemario Calculus

73

2 2

lim ( ) lim 1x x

f x sen xπ π− −

→ →

= = ; 2 2

lim ( ) lim tanx x

f x xπ π+ +

→ →

= → ∞ (no existe).

Como ; x

x

tanlim2

+

→π

no existe, el )(lim2

xfx π→

no existe.

ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS

46. Calcular: 0

lim5x

xse n x→

.

Solución. 0

0lim5 0x

xsenx→

= (indeterminado)

=→ senx

xx 5lim

0

senxx

x 0lim

51

Se divide numerador y el denominador entre x y se tiene que:

0 0 0

0

1 1 1 1 1 1 1 1 1lim lim lim5 5 5 5 5 1 5limx x x

x

xx x

senx senx senxsenxx x x

→ → →

= = = = ⋅ =

Por lo tanto 0

1lim5 5x

xsenx→

=

ALUMNO: PABLO A. LORENZANA G.

47. Calcular ( )

6lim6x

sen xxπ π→ −

.

Solución. ( )

6 0lim6 0x

sen xxπ π→

=−

(indeterminado).

Se realiza el siguiente cambio de variable: ππ +=⇒−= uxxu ; si 0x uπ→ ⇒ → ( )

( )( )

0 0

6 6 6lim lim

6 6u u

sen u sen uu u

π ππ π→ →

+ +=

+ −

como ( )6 6 6sen u sen uπ+ = por identidades trigonométricas, entonces: ( )

0 0

6 6 6lim lim 16 6u u

sen u sen uu u

π→ →

+= =

por lo tanto ( )

6lim 16x

sen xxπ π→

=−

ALUMNA: DANIELA GARCÍA RUBÍ

Page 77: Problemario Calculus

74

48. Sea la función 2( )7

sen xf xsen x

= . Calcular el )(lim0

xfx →

.

Solución. Se realiza el siguiente manejo algebraico en la función:

21 2 2 2 22 2 221 7 7 7 77 7 77 7

sen xsen x sen xsen x sen x xx x x

sen x sen x sen xsen x sen xx x x x

⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠= ⋅ = = =⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

De esta forma

( )0

222 2lim

77 77

x

sen xsen x xf x

sen xsen xx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

xxsen

xxsen

x

x

77lim7

22lim2

0

0=

72

1712=

⋅⋅

ALUMNA: IRENE RUBALCABA M.

49. Calcular el valor del siguiente límite:

0

4lim2x

sen xsen x→

Solución. 0

4 0lim2 0x

sen xsen x→

= (indeterminado)

Por identidades trigonométricas: 2 2 cossen A senA A= Entonces se sustituye en el límite y:

( )0 0 0

2 2 cos 2lim lim 2cos2 2 lim cos2 2 1 22x x x

sen x x x xsen x→ → →

= = = =

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

50. Calcular x

xx

tanlim0→

.

Solución. Al valuar directamente se obtiene: ( )00

00tantanlim

0==

→ xx

x (indeterminado).

Se emplean identidades trigonométricas y:

0 0 0 0 00

tan 1 1coslim lim lim lim limcos cos lim cosx x x x x

x

sen xx sen x sen x sen xx

x x x x x x x x→ → → → →→

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Page 78: Problemario Calculus

75

Como 1lim0

=→ x

senxx

y 0

lim cos 1x

x→

= , entonces:

0

tan 1lim 1 11x

xx→

= ⋅ =

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS

51. Calcular el valor del siguiente límite:

2

0

1 cos 2limx

x xsen x→

− +

Solución. 2

0

1 cos 2 0lim0x

x xsen x→

− += (indeterminado). Se multiplican numerador y denominador por 1

x y:

2 2

20 0

0 0 0

0

1 1 cos 2 1 cos 2 1 coslim lim 21 cos 2lim lim lim1 lim

x x

x x x

x

x x x x x xx x x x x x xsen x sen x sen xsen x

x x x x

→ →

→ → →

− + − −+ +− +⋅ = = =

Ahora se multiplican numerador y denominador del primer límite por el binomio conjugado de 1 cos x− y se obtiene que:

( ) ( )2 2

0 0

0 0 00 0

lim lim1 cos 1 cos 1 cos 0 1lim lim lim 01 cos 1 cos 1 cos lim1 lim cos 1 1

x x

x x xx x

senxsenxx x x sen x xx x x x x x x

→ →

→ → →→ →

⋅− + − ⋅⋅ = = = = =+ + + + +

de donde: 2

0

1 cos 2 0 0 0lim 01 1x

x xx sen x→

− + += = =

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

52. Sea ( ) cos2 1fsen

θθθ−

= . Calcular el límite de ( )θf cuando θ tiende a 0 .

Solución. Se sustituye el valor de 0θ = en la función para determinar si se llega a una indeterminación.

0

cos2 1 0lim0senθ

θθ→

−=

Se tiene una indeterminación, por lo que se utilizan identidades trigonométricas.

Dado que 2

2cos1cos2 θθ += , se despeja θ2cos y se llega a: 1cos22cos 2 −= θθ , de donde

2 2 2

0 0 0

2cos 1 1 2cos 2 2(cos 1)lim lim limsen sen senθ θ θ

θ θ θθ θ θ→ → →

− − − −= =

Page 79: Problemario Calculus

76

Como 2 2cos 1senθ θ+ = ∴ ( )2

0 0

2( )lim lim 2 0sen sensenθ θ

θ θθ→ →

−= − =

ALUMNA: RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE

53. Calcular el valor del siguiente límite:

xxsenxsenx

x cos1coslim

2

0 +−

Solución. 2

0

cos 1 1 1 0limcos 0 0 1 0x

xsen x sen x x→

− −= =

+ + ⋅(indeterminado)

2 2 2 2cos 1 cos 1sen x x x sen x+ = ⇒ − = − ; de donde 2

0lim

cosx

sen xsen x sen x x→

−+

ahora se factoriza y:

011

0cos1

limcos1

lim)cos1(

lim00

2

0=

+−=

+−=

+−

=+

−→→→ x

xsenxxsen

xxsenxsen

xxx

Por lo que finalmente 0cos1coslim

2

0=

+−

→ xxsenxsenx

x

ALUMNO: PABLO A. LORENZANA G.

54. Calcular

30

tanlim senα

α αα→

− .

Solución. 30

tan 0lim0

senα

α αα→

−= (indeterminado) . Con identidades trigonométricas se tiene que:

=−

→ 30

coslimα

ααα

α

sensen

=

→ 30cos

cos

limαα

ααα

α

sensen

αααα

α cos)cos1(lim 30

−→

sen

Se multiplica por el binomio conjugado de 1 cosα− y se llega a:

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++−

→ αα

αααα

α cos1cos1

cos)cos1(lim 30

sen=

+−

→ )cos1(cos)cos1(lim 3

2

0 ααααα

α

sen)cos1(cos

)(lim 3

2

0 ααααα

α +→

sensen

( ) ( )

3

3 0

300 0 0

lim 1 1limcos (1 cos ) 1 1 1 2lim cos lim 1 lim cos

sensen α

α

α α α

αα α

α α α α α

→ → →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

+ ++

Page 80: Problemario Calculus

77

Por lo tanto 21tanlim 30

=−

→ ααα

α

sen

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA

55. Calcular el siguiente límite con funciones trigonométricas:

xx

x 3tan4tanlim

0→

Solución. 00

3tan4tanlim

0=

→ xx

x (indeterminado) . Por identidades trigonométricas y operaciones algebraicas se

puede escribir que:

xx

3tan4tan

xxsenxxsen

3cos34cos4

=xxsenxxsen

4cos)3(3cos)4(

=xx

xxsen

xxsen

4cos3cos

43

44

= xx

x

xsenx

xsen

4cos3cos

)3(34

34

4

=

por propiedades de los límites:

xx

x 3tan4tanlim

0→

0 0

0

0 0 0

4 4cos3 lim lim cos3 1 1 44 4lim 3 3 33 3 3cos4 1 1lim lim lim cos44 3 44 3

x x

x

x x x

sen x sen xx xx x

sen x sen xx xx x

→ →

→ → →

⎡ ⎤⋅ ⋅⎢ ⎥ ⋅= = = =⎢ ⎥ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

Por lo tanto existe límite y su valor es 43

ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO

56. Calcular, si existe, el valor del siguiente límite:

0

seclimtanθ

θ θθ→

Solución. 0

sec 0limtan 0θ

θ θθ→

= (indeterminado)

Mediante identidades trigonométricas se obtiene:

( )0

0 0 0 0 0

0

1 1lim 1sec 1 1coslim lim lim lim lim 11tan 1lim

cossen sen sen sensen

θ

θ θ θ θ θ

θ

θθθ θ θθ θ θθ θ θ θθ θθ θ θ θ θ

→ → → → →

⋅= = ⋅ = = = = =

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

Page 81: Problemario Calculus

78

57. Calcular el siguiente límite:

θθθ

θ sec1seclim

0

−→

Solución. 0

sec 1 0limsec 0θ

θθ θ→

−= (indeterminado)

Se multiplican numerador y denominador por 1sec1sec

++

θθ y se llega a:

( )( ) ( )( )1secsectanlim

1secsec1seclim

1sec1sec

sec1seclim

sec1seclim

2

0

2

000 +=

+−

=++

⋅−

=−

→→→→ θθθθ

θθθθ

θθ

θθθ

θθθ

θθθθ

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ →→→ 1seccos

lim1seccos

lim1sec

cos1

coslim0

2

0

2

2

0 θθθ

θθ

θθθθ

θθ

θ

θθ

θθθ

sensensensen

0 0 0

tan tan 0lim lim lim 1 0sec 1 sec 1 1 1

sen senθ θ θ

θ θ θ θθ θ θ θ→ → →

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Entonces 0sec

1seclim0

=−

→ θθθ

θ

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO

58. Calcular el siguiente límite:

xsenx

x 411lim

0

−−→

.

Solución. 0

1 1 0lim4 0x

xsen x→

− −= (indeterminado) . Se multiplica por el binomio conjugado de 11 −− x y

después se dividen numerador y denominador entre "4 "x :

( )( )( ) ( )( )0 0 0 0

1 11 1 1 1 1 1 4lim lim lim lim4 4 1 1 4 1 1 4 1 1

4

x x x x

xxx x x x

sen x sen x x sen x x sen x x

x

→ → → →

−⎛ ⎞ − −− − − − − +

= ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟− + − + − +⎝ ⎠

( ) ( )( )0

0 0 0

1 1lim 14 44 1 1 1 8lim lim 1 lim1

4

x

x x x

sen x xx

→ → →

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠= = = −

+⎛ ⎞ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 82: Problemario Calculus

79

Por lo tanto 0

1 1 1lim4 8x

xsen x→

− −= −

ALUMNA: BERENICE VERA PADILLA GABRIELA

59. Determinar el valor del límite:

xxxxx

x coscos1tancoslim

2

0

−+→

Solución. 2

0

cos tan 1 cos 0limcos 0x

x x xx x→

+ −= (indeterminado)

Se considera la identidad trigonométrica en el radicando y se separan los términos:

xxxsen

xx

xxx

xx

xxxxx

costan

coscos1tan

coscos1tancos 22

+=−

+=−+

Por lo tanto el límite queda:

0 0

0 00

2 lim 2 lim 2 1lim lim 2cos cos cos lim cos 1

x x

x xx

senxsenx senx senxxx x x

x x x x→ →

→ →→

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠+ = = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ALUMNO: ALEJANDRO FÉLIX REYES

60. Calcular los valores reales de a y b , tales que hagan a la función continua en todo su dominio de definición dado.

( )522113

341

2

≤≤<≤−−<≤−

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−−−

=xxx

sisisi

xbx

axxf

Solución. Si se observan los intervalos de cada regla de correspondencia, así como el hecho de que se trata de funciones polinomiales, entonces su dominio de definición es: [ 3, 5]fD = − . Sólo habrá que garantizar que hay continuidad en los puntos donde 1 2x y x= − = .

( ) 2111 −=−−=−f aaxxf

xx−=−−=

−− −→−→2)2(lim)(lim

11 y 211)1(lim)(lim

11−=−−=−=

++ −→−→xxf

xx

se igualan ambos límites y se tiene que : 422 =⇒−=− aa

Ahora se analiza el siguiente punto de discontinuidad, esto es, en 2x = : 38)2(

34)2( −=−= bbf

Page 83: Problemario Calculus

80

2 2 2 2

4 8lim ( ) lim ( 1) 2 1 1 lim ( ) lim ( )3 3x x x x

f x x y f x b x b− − + +→ → → →

= − = − = = − = −

se igualan los límites por la derecha y por la izquierda:

3111

38

=⇒=− bb

Por lo tanto, los valores de " " " "a y b para los cuales la función es continua en todo su dominio son:

3114 == bya

ALUMNO: PABLO A. LORENZANA G.

61. Dada la siguiente función:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−

−=

31

333

xsi

xsixx

xf

Trazar su gráfica y determinar si es continua en 3x = . Solución.

Como se observa en la gráfica y en las reglas de correspondencia de la función, se cumple la primera condición de continuidad, es decir, ( )3 1f =

pero el límite cuando 3x → no existe, ya que los límites laterales no son iguales:

y

x

1

1−3

Page 84: Problemario Calculus

81

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3

lim 1 ; lim 1 lim limx x x x

f x f x f x f x− + − +→ → → →

= − = ⇒ ≠

Por lo tanto la función no es continua en 3x = .

ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHAVEZ 62. Calcular los valores de las constantes a y b tales que hagan a la siguiente función continúa en todo su dominio.

⎪⎩

⎪⎨

≥+

<<+≤+

=

52 53

312)(

2 xsixxsibax

xsixxf

Solución. Las tres reglas de correspondencia son funciones polinomiales, continuas en los reales y por lo tanto en los intervalos dados. Luego, sólo habrá que asegurar la continuidad en los puntos 3 5x y x= = . Así: Para: 3x =

a) ( ) ( ) 71323 =+=f b) ( )

3lim 7

xf x

−→= y ( ) ( )

3lim 3 7 1

xf x a b

+→= + = L

c) ( ) ( )3

3 limx

f f x→

= Para: 5=x

a) ( ) ( ) 27255 2 =+=f b) ( )

5lim 5

xf x a b

−→= + y ( ) ( )

5lim 27 ; 5 27 2

xf x a b

+→= + = L

c) ( ) ( )5

5 limx

f f x→

= Se resuelve el sistema de ecuaciones:

3 7 5 27 2 20

a ba ba

− − = −+ =

= ⇒ 10=a ⇒ 27)10(5 =+ b ⇒ 23−=b

Por lo tanto, los valores que hacen continua a la función son: 10=a y 23−=b y la función queda como;

⎪⎩

⎪⎨

≥+

<<−≤+

=

52 532310

312)(

2 xsixxsix

xsixxf

ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO

Page 85: Problemario Calculus

82

63. Para la siguiente función, estudiar su continuidad, indicando en qué puntos es discontinua y por qué.

( )

⎪⎩

⎪⎨

>−≤≤<<−+

=3 1

30 4012

)(

2

xsixxsixsix

xf

Solución. Se determina primero si las reglas de correspondencia son continuas en los intervalos indicados.

a) ( ) ( ) 012 2 <<−+= xsixxf . Sí es continua ya que es un polinomio. b) ( ) 4 0 3f x si x= < < . Sí es continua ya que es una constante. c) ( ) 1 3f x x si x= − > . Sí es continua ya es un polinomio.

Ahora se estudiará la continuidad en los puntos donde 0 3x y x= = En 0=x :

( )0 4f = ( )

0lim 4

xf x

−→= y ( ) ( )

00lim 4 lim 4

xxf x f x

+ →→= ∴ =

( ) ( )0

0 limx

f f x→

=

por lo tanto ( )xf es continua en 0=x . En 3=x :

( )3 4f = ( )

3lim 4

xf x

−→= y ( ) ( )

33lim 2 lim

xxf x f x

+ →→= ∴ no existe

por lo que la función ( )f x no es continua en 3x = . Finalmente se dice que la función ( )f x es continua en ( ) ( )1,3 3,y− ∞ .

ALUMNA: RODRÍGUEZ DE LA TORRE RHAMID HORTENSIA 64. Determinar los valores de " " " "a y b de tal forma que la función sea continua en el intervalo [ ]2,2− y trazar su gráfica.

( ) 2

; 2 1

1 ; 1 134 ; 1 2

ax b x

f x a x x

x xa

⎧+ − ≤ ≤ −⎪

⎪= − − − < ≤⎨⎪⎪ − < ≤⎩

Solución. Como se observa, las tres reglas de correspondencia, por sí solas y considerando sus dominios, no tienen problemas de discontinuidad en sus respectivos intervalos de definición. Dos puntos de posible dicontinuidad son " 1" "1"y− . Si se busca que se cumplan en ellos las condiciones de continuidad se tendrá lo siguiente:

Page 86: Problemario Calculus

83

Para ( ) ( ) ( ) ( )

1 11 ; 1 ; lim ; lim ; 2 1

x xx f a b f x a b f x a a b a b a

− +→− →= − − = − + = − + = ⇒ − + = = L

Para ( ) ( ) ( ) 2

1 1

3 31 ; 1 ; lim ; lim 4 4 ; 4 3 0x x

x f a f x a f x a a aa a− +→ →

= = = = − ⇒ = − − + =

1 1

2 2

3 64 16 12 4 21 22 2

a ba a

a b= =± − ±

= ⇒ = ⇒ ⇒= =

Para los primeros valores, la función es:

( ) 2

3 6 ; 2 1

3 1 ; 1 14 ; 1 2

x x

f x x xx x

+ − ≤ ≤ −⎧⎪

= − − − < ≤⎨⎪ − < ≤⎩

La gráfica de la función es por tanto;

Para los segundos valores, la función es:

( ) 2

2 ; 2 1

1 1 ; 1 14 3 ; 1 2

x x

f x x xx x

+ − ≤ ≤ −⎧⎪

= − − − < ≤⎨⎪ − < ≤⎩

y la gráfica de la función será ahora:

y

x

1

2− 1− 1 2

y

x2− 1− 1 2

2

3

Page 87: Problemario Calculus

84

Por lo que se observa que para ambas parejas de valores " " " "a y b , las respectivas funciones son continuas en el intervalo [ ]2,2− .

ALUMNO: ALEJANDRO FÉLIX REYES 65. Estudiar la continuidad de la siguiente función:

( )( )

2

2

25 4 05 2 0 2

3 2 6

x si xf x x si x

x si x

⎧+ − − < <⎪⎪= − ≤ <⎨⎪

− ≤ ≤⎪⎩

Solución. ( ) 225 xxf −+= es continua en 04 <<− x porque es una función algebraica (semicircunferencia) cuyo dominio es [ ]5,5x∈ − . ( ) xxf 25−= es continua en 20 << x porque es un polinomio. ( ) ( )23−= xxf es continua en 62 << x porque es un polinomio. Ahora se estudiará la continuidad en 0 2x y x= = . a) En 0=x

( )0 5f = ( )xf

x −→ 0lim 5= y ( )

0lim

xf x

+→( )

05 lim 5

xf x

→= ∴ =

( ) ( )0

0 limx

f f x→

= por lo que la función es continua en 0x = . b) En 2=x

( )2 1f = ( )

2lim

xf x

−→1= y ( ) ( )

22lim 1 lim 1

xxf x f x

+ →→= ∴ =

( ) ( )2

2 limx

f f x→

= por lo que la función es continua en 2=x . Se concluye que la función es continua en ( ]4,6− .

ALUMNA: IRENE RUBALCABA M 66. Analizar la continuidad de la siguiente función en su dominio de definición:

( )

2 1 3 0 1 0

32

x si xf x si x

xsen si x

π

π π

⎧⎪ + − ≤ <⎪

= ≤ <⎨⎪⎪ ≤ <⎩

Page 88: Problemario Calculus

85

Solución. Puntos de análisis: 0=x , π=x . Intervalos de análisis: [ ) [ ) [ )3,0 , 0, ,3yπ π π− En el intervalo [ ) ( ) 23,0 1f x x− ⇒ = + es una función continua por ser una función polinomial. En el intervalo [ ) ( )0, 1f xπ ⇒ = es una función continua por ser una función constante.

En el intervalo [ ) ( ),32xf x senπ π ⇒ = es una función trascendente continua.

Luego sólo se investigará la continuidad de la función en los puntos donde 0x y x π= = . Análisis en 0=x .

a) ( ) 10 =f b) ( )

0lim 1

xf x

+→= y ( ) 2

0lim 0 1 1

xf x

−→= + =

c) ( ) ( )0

lim 0x

f x f→

= Por lo tanto, f es continua en 0=x Análisis en π=x .

a) ( ) 12==

ππ senf

b) ( )lim 1x

f xπ +→

= y ( )lim 1x

f xπ −→

=

c) ( ) ( )limx

f x fπ

π→

= Por lo tanto; f es continua en π=x . Entonces, f es continua en todo su dominio

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 67. Estudiar la continuidad de la siguiente función:

( )

3 0

02

tan2

x si x

f x sen x si x

x si x

π

π π

⎧⎪ − ≤ <⎪⎪= ≤ ≤⎨⎪⎪ < ≤⎪⎩

Solución. Esta función está definida por tres reglas de correspondencia, las cuales son continuas en el intervalo de definición de cada una. Sin embargo la función en su conjunto puede ser no continua en los puntos donde se presenta el cambio de regla de correspondencia. Estos puntos son los que se analizarán: Para 0=x .

( )0 0f = ( )

0lim 0

xf x

−→= y ( )

00lim 0 lim 0

xxf x

+ →→= ∴ =

( ) ( )0

0 limx

f f x→

= Como el límite y el valor de la función existen y son iguales, la función es continua en este punto.

Page 89: Problemario Calculus

86

Para 2π

=x .

12

f π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

lim 1x

f xπ −

= y ( )2

limx

f xπ +

no existe. Por lo tanto ( )xfx

2

limπ

→ no existe.

Por lo tanto la función ( )xf no es continua en 2π

=x .

Luego, la función es continua en 3, ,2 2

yπ π π⎡ ⎞ ⎛ ⎤− ⎟ ⎜⎢ ⎥⎣ ⎠ ⎝ ⎦ , pero no es continua en todo su dominio.

ALUMNO: ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS BOGDAD

68. Determinar el valor de A y B para que ( )xf sea continua en todo su dominio:

2 2

( )2 2

cos 2

x sen x si x

f x Asen x B si x

x si x

π

π π

π

⎧ < −⎪⎪⎪= − − − ≤ <⎨⎪⎪− ≥⎪⎩

Solución. Las tres reglas de correspondencia contienen funciones trascendentes continuas en sus intervalos de

definición, por lo que únicamente habrá que lograr que la función sea continua en " " " "2 2

yπ π− para que

sea continua en .

Para 2π

−=x ; 2 2

f A sen B A Bπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )2 2

lim 2 ; lim2 2 2x x

f x sen f x Asen B A Bπ π

π π ππ− +

→ − →−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = = − − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )1A B π⇒ − = L

( )2

lim2 x

f f xπ

π→−

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

luego la función es continua en 2

x π= −

Para 2

x π= ; cos 0

2 2f π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2

lim ;2x

f x Asen B A Bπ

π−

⎛ ⎞= − − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

lim cos 02x

f xπ

π+

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )0 2A B⇒ − − = L

( )2

lim2 x

f f xπ

π→

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 90: Problemario Calculus

87

por lo que la función es continua en 2

x π=

Se resuelve el sistema de ecuaciones ( ) ( )1 2y y se obtiene:

20 2 2

A BB B y A

A Bπ π ππ

− =⇒ − = ⇒ = − =

− − =

Por lo tanto se tiene que:

2 2

( )2 2 2 2

cos 2

x sen x si x

f x sen x si x

x si x

π

π π π π

π

⎧ < −⎪⎪⎪= − + − ≤ <⎨⎪⎪− ≥⎪⎩

ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO

69. Determinar por medio de límites las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales de la siguiente función dada y trazar su gráfica.

( ) 42

xf xx+

=−

.

Solución. Para obtener las asíntotas verticales se hace lo siguiente:

2

4lim 22x

x xx→

+→∞ ∴ =

− (ecuación de la asíntota vertical)

Para las asíntotas horizontales se evaluará el límite de la función cuando x tiende a infinito. 4 414 1lim lim lim 1 12 22 11x x x

xx x x yxx

x x→∞ →∞ →∞

+++

= = = = ∴ =−− −

(ecuación de la asíntota horizontal)

En la siguiente gráfica se puede observar a la curva que representa a la función, junto con sus asíntotas vertical y horizontal, cuyas ecuaciones, respectivamente son: 2 1x y y= =

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS

12 x

y

Page 91: Problemario Calculus

88

70. Determinar para la siguiente función la ecuación de las asíntotas horizontales y verticales.

( ) ( )( )27 −+=

xxxxg

Solución.

( )( )( )( )

7

2

7 0 7 lim7 2 0 ;

2 0 2 limx

x

x x f xx x

x x f x→−

⎧ + = ⇒ = − ⇒ →∞⎪+ − = ⎨− = ⇒ = ⇒ →∞⎪⎩

por lo tanto, las ecuaciones de las asíntotas verticales son: 7 2x y x= − =

Por otro lado, ( )( ) 2

2

10lim lim lim 0 05 147 2 5 14 1 0 01x x x

x x x yx x x x

x x→∞ →∞ →∞

= = = = ∴ =+ − + − + −+ −

es la ecuación

de la asíntota horizontal.

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 71. Determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la siguiente función:

( )4

12 −−

θθf

Solución. Se puede escribir la función dada como:

( ) ( )( )221

+−−

=θθθθf

( ) ( )2 2

lim limf y fθ θ

θ θ→ →−

→∞ →∞

por lo tanto, las ecuaciones de las asíntotas verticales son: 2 2.yθ θ= = − por otro lado:

2

2

2

1 11lim lim 044 1θ θ

θ θ θθ

θ→+∞ →+∞

−−= =

− − y

2

2

2

1 11 0lim lim 044 11θ θ

θ θ θθ

θ→−∞ →−∞

−−= = =

− −

por lo que la ecuación de la asíntota horizontal es 0=y

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA 72. Determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función:

( )2

2 64xg x

x=

Page 92: Problemario Calculus

89

Solución.

( )( )2 864 0 8 8 0 ;

8x

x x xx= −⎧

− = ⇒ + − = ⎨ =⎩

2 2

2 28 8lim lim

64 64x x

x xyx x→− →

→∞ →∞ ∴− −

asíntotas verticales: 8

8xx= −⎧

⎨ =⎩

2

2 2

22

22 2

1lim lim lim 1646464 1x x x

xx x

xxxx x

→∞ →∞ →∞= = = ∴

− −−asíntota horizontal: 1y =

ALUMNO: RAFAEL NOLASCO CASTREJÓN

73. Determinar las asíntotas horizontales y verticales de la función:

( )32

32

2

−−=

xxxxf

Solución. ( )32

32

2

−−=

xxxxf = ( )( )13

3 2

+− xxx

En este caso las asíntotas verticales son: 3=x y 1−=x ya que:

2 2

2 23 1

3 3lim lim2 3 2 3x x

x xyx x x x→ →−

→∞ →∞− − − −

Las asíntotas horizontales se obtienen con el límite cuando la variable independiente tiende a infinito, es decir;

2

23lim 32 3x

xx x→ ∞

=− −

, luego la ecuación de la asíntota horizontal es 3=y .

ALUMNA: DANIELA GARCÍA RUBÍ

74. Determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la siguiente función:

( ) 28

4f x

x=

Solución. Para asíntotas horizontales:

28lim 0

4x x→ ∞=

− ∴ asíntota horizontal: 0=y

Para asíntotas verticales:

( ) 28

4f x

x=

− ( )( )8 ; 2 0 2 ; 2 0 2

2 2x x x x

x x= − = ⇒ = + = ⇒ = −

− +

Page 93: Problemario Calculus

90

22

8lim4x x→±

⎡ ⎤→∞⎢ ⎥−⎣ ⎦ : asíntotas verticales: 2x = y 2−=x

ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO

75. Para la función 99

2

2

−+

=xxy , obtener las ecuaciones de sus asíntotas verticales y de sus asíntotas

horizontales, y trazar su gráfica. Solución. Para las asíntotas verticales se hace lo siguiente:

( )( )2 9 0 ; 3 3 0 ; 3 3x x x x y x− = + − = = − = 2 2

2 23 3

9 9lim lim9 9x x

x xyx x→− →

+ +→∞ →∞ ∴

− −asíntotas verticales:

33

xx= −⎧

⎨ =⎩

Para las asíntotas horizontales se calcula el siguiente límite: 2

2 2 2

22

22

9 919 1lim lim lim 1 999 11x x x

xx x x

xxxx

→∞ →∞ →∞

+ ++= = = = ∴

−− − asíntota horizontal: 1y =

ALUMNA: BERENICE VERA PADILLA GABRIELA 76. Para la siguiente función, determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales.

( )1

32 −

+=

xxxf

y

x3− 3 1

Page 94: Problemario Calculus

91

Solución. Asíntotas horizontales:

2 2 2

22 2

3 3 313lim lim lim lim 111 1 1 1

x x x x

x xx x x x xx x x

xx x x

→∞ →∞ →∞ →∞

+ + ++= = = =

− − −−

por lo tanto, la única asíntota horizontal es la recta de ecuación 1=y . Para obtener las asíntotas verticales se iguala a cero el denominador de la función:

( )( )2 2 11 0 ; 1 0 ; 1 1 0

1x

x x x xx= −

− = − = + − = ∴=

por lo tanto, las asíntotas verticales son las rectas cuyas ecuaciones son 11 =x y 12 −=x .

ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS

Page 95: Problemario Calculus

92

LA DERIVADA Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES 1. Obtener la derivada de la siguiente función, mediante la definición de derivada.

3xy = Solución. Por la definición de derivada:

( ) ( )2 33 3 2( ) 3 3y y x x x x x x x x+ Δ = + Δ = + Δ + Δ + Δ

( ) ( )2 33 2 33 3y y y x x x x x x x+ Δ − = + Δ + Δ + Δ −

( ) ( )2 323 3y x x x x xΔ = Δ + Δ + Δ

( ) ( )2 323 3x x x x xyx x

Δ + Δ + ΔΔ=

Δ Δ ⇒ ( )223 3y x x x x

= + Δ + ΔΔ

( )( ) ( )22

0 0 0 0 0lim lim 3 lim 3 lim limx x x x x

y x x x xxΔ → Δ → Δ → Δ → Δ →

Δ= + Δ + Δ

Δ

0033 2 +⋅+= xxdxdy ∴ 23 x

dxdy

=

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT

2. Determinar la derivada por la definición de 943 +−= xxy . Solución. Se sustituyen x por xx Δ+ y y por yy Δ+ :

( ) ( ) 943 +Δ+−Δ+=Δ+ xxxxyy ( ) ( )2 33 23 3 4 4 9y y x x x x x x x x+ Δ = + Δ + Δ + Δ − − Δ +

( ) ( )2 33 2 33 3 4 4 9 4 9y y y x x x x x x x x x x+ Δ − = + Δ + Δ + Δ − − Δ + − + −

( ) ( )2 33 2 33 3 4 4 9 4 9y x x x x x x x x x xΔ = + Δ + Δ + Δ − − Δ + − + −

( ) ( )2 323 3 4y x x x x x xΔ = Δ + Δ + Δ − Δ Se divide entre xΔ y:

( ) ( ) ( )2 32

223 3 43 3 4

x x x x x xy x x x xx x

Δ + Δ + Δ − ΔΔ= = + Δ + Δ −

Δ Δ

Ahora se calcula el límite

( )22 2

0 0lim lim 3 3 4 3 4x x

y x x x x xxΔ → Δ →

Δ= + Δ + Δ − = −

Δ ∴ 43 2 −= x

dxdy

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ

Page 96: Problemario Calculus

93

3. Sea ( ) x xxf 23

3

+= , obtener ( )x'f mediante la definición.

Solución. Se emplea directamente la definición:

( ) ( ) ( )xxxxxxf Δ++Δ+

=Δ+ 23

3

( ) ( ) ( ) ( )3 3

2 23 3

x x xy f x x f x x x x+ Δ ⎛ ⎞

Δ = + Δ − = + + Δ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )2 33 2 33 32 2 2

3 3x x x x x x xy x x x+ Δ + Δ + Δ ⎛ ⎞

Δ = + + Δ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )221 3 3 23

x x x x xΔyΔx Δx

⎛ ⎞+ Δ + Δ + Δ⎜ ⎟⎝ ⎠=

( ) ( )( )2

22

0 0

1 3' lim lim 3 3 2 23 3x x

y xf x x x x xxΔ → Δ →

Δ= = + Δ + Δ + = +

Δ ∴ ( ) 2' 2f x x= +

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA

4. Obtener la derivada de la función ( ) xxf = , empleando la definición.

Solución . De la definición de derivada se tiene que ( ) ( )

hxfhxf

dxdf

h

−+=

→0lim ; entonces;

( ) hxhxf +=+ ( ) ( ) xhxxfhxf −+=−+

( )xhxhxhx

xhxxhx

hxhx

hxhx

dxdf

hhh ++−+

=++++

⋅−+

=−+

=→→→ 000

limlimlim

( )0 0

1 1lim lim2h h

df hdx x h x xh x h x→ →

= = =+ ++ +

Por lo tanto: ( ) 1

2df x

dx x=

ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA

5. Determinar la derivada de la siguiente función xy += 1 mediante la definición de derivada.

Solución. Se usará la definición de derivada que es: ( ) ( )0 0

lim limx x

f x x f xdy ydx x xΔ → Δ →

+ Δ −Δ= =

Δ Δ

Page 97: Problemario Calculus

94

De donde: ( ) xxf += 1

( ) xxxxf Δ++=Δ+ 1 ( ) ( )

xxxx

xxfxxf

Δ+−Δ++

−Δ+ 11

0 0

1 1 1 1 1 1lim lim1 1x x

dy x x x x x x x x xdx x x x x xΔ → Δ →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + Δ − + + + Δ − + + + Δ + += =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ + + Δ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )0 0 0

1 1 1lim lim lim1 11 1 1 1x x x

dy x x x xdx x x xx x x x x x x xΔ → Δ → Δ →

+ + Δ − − Δ= = =

+ + Δ + +Δ + + Δ + + Δ + + Δ + +

1 11 1 2 1

dydx x x x

= =+ + + +

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS

6. Determinar )(' xf para 2)( −== xxfy utilizando la definición:

Solución. De la definición de derivada: 0

( ) ( )'( ) limx

f x x f xf xxΔ →

+ Δ −=

Δ

2)()( −Δ+=Δ+ xxxxf 22)()()( −−−Δ+=−Δ+ xxxxfxxf

xxxx

xxfxxf

Δ−−−Δ+

−Δ+ 22)()()(

( )0 0

( ) 2 2( ) ( )' lim limx x

x x xf x x f xf xx xΔ → Δ →

+ Δ − − −+ Δ −= =

Δ Δ

Se multiplican denominador y numerador por 22)(22)(

−+−Δ+

−+−Δ+

xxxxxx

y se tiene:

( )0

( ) 2 2 ( ) 2 2' lim( ) 2 2x

x x x x x xf xx x x xΔ →

+ Δ − − − + Δ − + −= ⋅

Δ + Δ − + −

( ) [ ] ( )( ) ( )0 0

( ) 2 2' lim lim

( ) 2 2 ( ) 2 2x x

x x x xf xx x x x x x x xΔ → Δ −

+ Δ − − − Δ= =

Δ + Δ − + − Δ + Δ − + −

( )0

1' lim( ) 2 2x

f xx x xΔ →

=+ Δ − + −

∴ 22

1)('

−=

xxf

ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO

Page 98: Problemario Calculus

95

7. Obtener la derivada de la siguiente función por medio de la definición.

( ) xxf 23 −=

Solución. De la definición de derivada: ( ) ( ) ( )h

xfhxfxfh

−+=

→ 0lim'

( ) ( )h

xhxxf

h

2323lim'0

−−+−=

( )( )( ) ( )( )

( )( )0

3 2 3 2 3 2 3 2' lim

3 2 3 2h

x h x x h xf x

h x h x→

− + − − − + + −=

− + + −

( ) ( )[ ] ( )( )( )xhxh

xhxxfh 2323

2323lim'0 −++−

−−+−=

→ ⇒ ( )

( )( )xhxhxhxxf

h 232323223lim'

0 −++−+−−−

=→

( )( )( )xhxh

hxfh 2323

2lim'0 −++−

−=

→ ⇒ ( )

( )0

2' lim3 2 3 2h

f xx h x→

−=

− + + −

( ) 2'3 2 3 2

f xx x−

=− + −

⇒ ( )x

xf232

2'−

−= ∴ ( )

xxf

231'−−

=

ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS

8. Sea ( )13f x x= y 0≠a . Obtener ( )'f a mediante la definición.

Solución. De la definición de derivada: ( ) ( ) ( ) ( )1 13 3

' lim ' limx a x a

f x f a x af a f ax a x a→ →

− −= ⇒ =

− −

Se expresa el límite como: ( )1 13 3

3 31 13 3

' limx a

x af a

x a→

−=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Se factoriza el denominador como diferencia de cubos y:

( )1 13 3

2 1 1 21 1 2 1 1 23 3 3 33 3 3 3 3 3

1' lim limx a x a

x af ax x a ax a x x a a

→ →

−= =

⎛ ⎞⎛ ⎞+ +− + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

Finalmente se simplifican términos y se aplica el límite que conduce a la derivada:

( ) ( )2 1 1 2 23 3 3 3 3

1 1' '3

f a f aa a a a a

= ∴ =+ +

ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ

Page 99: Problemario Calculus

96

9. Obtener la derivada de la siguiente función por medio de la definición ( ) 3 2 15 −= xxf

Solución. De la definición de derivada: ( ) ( ) ( )h

xfhxfxfh

−+=

→ 0lim'

( ) ( )h

xhxxf

h

3 23 2

0

1515lim'

−−−+=

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−−++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−−++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−+

=→ 2

3 23 222

3 2

23 23 22

23 23 23 2

015151515

151515151515lim'

xxhxhxh

xxhxhxxhxxf

h

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ⎥

⎤⎢⎣

⎡−+−−++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

−−−+=

→ 23 23 222

3 2

22

015151515

1515lim'xxhxhxh

xhxxfh

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−−++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

+−−+=

→ 23 23 222

3 2

22

015151515

1515lim'xxhxhxh

xhxxfh

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−−++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

−++=

→ 23 23 22

23 2

222

015151515

525lim'xxhxhxh

xhxhxxfh

( )

( ) ( )( )( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−−++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

−++=

→ 23 23 22

23 2

222

015151515

55105lim'xxhxhxh

xhxhxxfh

( )

( ) ( )( )( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−−++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

+=

→ 23 23 22

23 2

2

015151515

510lim'xxhxhxh

hxhxfh

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−−++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

+=

→ 23 23 222

3 2015151515

510lim'xxhxhxh

hxhxfh

( )( ) ( )( )( ) ( ) ⎥

⎤⎢⎣

⎡−+−−++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

+=

→ 23 23 22

23 20

15151515

510lim'xxhxhx

hxxfh

( )( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−+−

=2

3 23 222

3 2 151515

10'xxx

xxf

( )( )223

1 0'3 5 1

xf xx

∴ =−

ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS

Page 100: Problemario Calculus

97

10. Obtener la derivada de la siguiente función a través de la definición:

11

xyx

+=

Solución. Se aplica la definición mediante los cuatro pasos conocidos y se llega a:

11

xyx

+=

( )( )

1 11 1

x x x xy yx x x x

+ + Δ + + Δ+ Δ = =

− + Δ − − Δ

1 11 1

x x xyx x x

+ + Δ +Δ = −

− − Δ −

( )( ) ( )( )( )( )

1 1 1 11 1

x x x x x xy

x x x+ + Δ − − + − − Δ

Δ =− − Δ −

( )( )( )

2 21 11 1

x x x x x x x x x x x xyx x x x x

+ + Δ − − − Δ − − − Δ + − − ΔΔ=

Δ Δ − − Δ −

( )( )2 21 1

1 1y x x x x x x x xx x x x x

Δ + Δ − − Δ − + Δ + + Δ=

Δ Δ − − Δ −

( )( )0 0

2lim lim1 1x x

y xx x x x xΔ → Δ →

Δ Δ=

Δ Δ − − Δ −

( )( ) ( )20 0

2 2lim lim1 1 1x x

y dyx x x x dx xΔ → Δ →

Δ= ∴ =

Δ − − Δ − −

LOS COORDINADORES

11. Obtener la derivada de la siguiente función empleando la definición.

291

xy

−=

Solución. Se incrementa x en xΔ tal que este incremento corresponde a un incremento de la función en

yΔ .

( )291

xxyy

Δ+−=Δ+

Se resta al valor final el inicial y queda una expresión para yΔ .

( )⇒

−−

Δ+−=−Δ+

22 91

91

xxxyyy

( )( )

22

2 2

9 9

9 9

x x xy

x x x

− − − + ΔΔ =

− + Δ −

Se multiplican numerador y denominador por el conjugado del numerador:

Page 101: Problemario Calculus

98

( )( )

( )( )

2 22 2

2 22 2

9 9 9 9

9 9 9 9

x x x x x xy

x x x x x x

− − − + Δ − + − + ΔΔ = ⋅

− + Δ − − + − + Δ

( )( ) ( )

22

2 22 2

9 9

9 9 9 9

x x xy

x x x x x x

− − + + ΔΔ =

⎛ ⎞⎛ ⎞− + Δ − − + − + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( )( ) ( )( )

22 2

2 22 2

9 9 2

9 9 9 9

x x x x xy

x x x x x x

− − + + Δ + ΔΔ =

− + Δ − − + − + Δ

( )( )( ) ( )( )

2

2 22 2

2

9 9 9 9

x x xy

x x x x x x

Δ + ΔΔ =

− + Δ − − + − + Δ

De donde xy

ΔΔ ; ( )

( ) ( )

2

2 22 2

2

9 9 9 9

x x xyx x x x x x x x

Δ + ΔΔ=

Δ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + Δ − − + − + Δ Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Al simplificar: ( ) ( )2 22 2

2

9 9 9 9

y x xx x x x x x x

Δ + Δ=

Δ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + Δ − − + − + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Finalmente se calcula el límite:

( )0 2 2 2 2

2lim9 9 9 9x

y xx x x x xΔ →

Δ=

Δ − − − + − ∴

( )( ) ( )23

2229929

2

x

xxx

xdxdy

−=

−−=

ALUMNA: RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE

12. Obtener la derivada de la función ( ) xxf cos= , empleando la definición.

Solución. De la definición de derivada se tiene que ( ) ( )

hxfhxf

dxdf

h

−+=

→0lim , entonces:

( ) ( )hxhxf +=+ cos ( ) ( ) ( ) ( )xhxxfhxf coscos −+=−+

( )h

xhsenxsenhxh

xhxdxdf

hh

coscoscoslimcoscoslim00

−−=

−+=

→→

( ) ( )h

hsenxsenh

hxh

hsenxsenhxdxdf

hhh 000lim1coscoslim1coscoslim→→→

−−

=−−

=

( ) ( )( ) ( )( )0 0

cos 1cos lim lim cos 0 1

h h

hdf sen hx senx x sen xdx h h→ →

−= ⋅ − ⋅ = −

Por lo tanto: xsendxdf

−=

ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA

Page 102: Problemario Calculus

99

13. Derivar la siguiente expresión: ( ) ( ) 245 −−= ttN . Solución. Se hace ( ) 245 −=⇒−= uuNtu y se emplea la regla de la cadena

dN dN dudt du dt

=

32dN udu

−= − ; 5=dtdu ; ( ) ( ) ( )

( )3 3

3102 5 4 5 10 5 4

5 4dN dN dNt tdt dt dt t

− −= − − ⇒ = − − ∴ = −

También se podría haber realizado de manera directa como:

( ) ( )( )

33

102 5 4 55 4

dN dNtdt dt t

−= − − ∴ = −

ALUMNA: DANIELA GARCÍA RUBÍ

14. Obtener dmdr de la siguiente función ( ) 2

113⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=mmr .

Solución. Por la regla de la cadena:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=1

)1(3mmu

( )dmduu

dmdyuy 22 =⇒=

( )( ) ( )( ) ( )2 2

1 3 3 1 61 1

m mdu dudm dmm m

+ − −= ⇒ =

+ +

Por lo tanto: ( )

( )( )

( )32 1136

16

1132

+−

=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=m

mmm

mdmdr

De manera directa se puede obtener la derivada como sigue:

23 31

mrm

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )( ) ( )( )( )2

1 3 3 3 13 321 1

m mdr mdm m m

⎡ ⎤+ − −−⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠ +⎢ ⎥⎣ ⎦ ;

( )( )

( )2 3

36 13 3 621 1 1

mdr m drdm m dmm m

−−⎛ ⎞= ∴ =⎜ ⎟+⎝ ⎠ + +

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA

15. Determinar ( )xf ' para ( ) ( )427 6f x x x= + + .

Solución. Se procede de manera semejante con la regla de la cadena:

Page 103: Problemario Calculus

100

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 32 2 2 2' 4 7 6 7 6 ' 4 7 6 7 6x x xf x x x D x x f x x x D x D x⎡ ⎤= + + + + ⇒ = + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∴ ( ) ( )32

2' 4 7 6 7

6xf x x x

x⎡ ⎤

= + + +⎢ ⎥+⎣ ⎦

ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ

16. Derivar la siguiente expresión: 033622 =−+++− yxxyx . Solución. Se despeja la variable dependiente y ;

( ) 36323632 22 +−=+⇒+−=+ xxyxxxyxy ⇒ 32

362

++−

=x

xxy

De donde ( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 2

2 2

2 3 2 6 6 3 2 4 6 18 2 12 62 3 2 3

x x x xdy dy x x x xdx dxx x

+ − − − + − − − + −= ⇒ = ∴

+ + ( )2

2

322462

+−+

=x

xxdxdy

ALUMNA: DANIELA GARCÍA RUBÍ

17. Obtener la derivada de xxy

2= .

Solución. ( ) ( )

( )2

2 2'

2

d dx x x xdx dxy

x

−= ⇒ 24

22

12'

x

xx

xy

−⎟⎠

⎞⎜⎝

= ⇒ 22'

4x xy

x−

=

322

1' '4 4

xy yx x

−= ∴ = −

ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN

18. Obtener la segunda derivada de y con respecto a x de la función:

xxy 2

2−=

Solución. 1 12 21 2

2y x x

−= −

Page 104: Problemario Calculus

1011 1 1 31 12 2 2 21 1 1 1' 2 '

2 2 2 4y x x y x x

− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 3 3 51 12 2 2 2

2

1 1 3 1 3 1 3'' '' ''4 2 2 8 2 8 2

y x x y x x yx x x x

− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − ⇒ = − − ∴ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ALUMNA: RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE

19. Calcular la derivada de 2

2

9 xxy−

= .

Solución. ( )( )

( )

2 22 2 3

2

322 2

22 9 2 9 92 99 9

xx x x x x x xdy dyxdx x dx x

⎛ ⎞−− − ⎜ ⎟ − − +−⎝ ⎠= ⇒ =

− −

( )( ) ( )

2 3 3 3

3 32 22 2

2 9 18 2

9 9

x x xdy dy x x xdx dxx x

− + − += ⇒ = ∴

− − ( )23

2

3

9

18

x

xxdxdy

−=

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ

20. Obtener la derivada de ( ) xxf tan=

Solución. Como xxsenx

costan =

( ) ( )( ) ( ) ( )22

22

2 cos1

coscos

coscoscos

costan

xxxsenx

xxsenxsenxx

xxsen

dxd

dxxd

=+

=−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

( )( )

xxdx

xd 22 sec

cos1tan

==

Luego, si ( ) ( ) 2tan ' secf x x f x x= ⇒ =

ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA 21. Obtener la derivada de ( ) xxf csc=

Solución. Como 1csc xsenx

=

Page 105: Problemario Calculus

102

( ) ( )( ) ( )( )xsenxsen

xxsenx

xsenxxsen

xsendxd

dxxd 1coscoscos101csc

22 ⋅−

=−

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( )csccot csc

d xx x

dx= −

Luego ( ) ( )csc ' csc cotf x x f x x x= ∴ = −

ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA 22. Derivar respecto a x , la siguiente expresión: ny sen nx sen x=

Solución. =dxdy xnsen

dxd nsenx)( xsen n+

dxd xnsen ; ( ) ( ) xnxsennxxsennxnsen

dxdy nn coscos1 += −

( )1 cos cosndy nsen x sen nx x senx nxdx

−= + ∴ ( ) ( )1 1ndy nsen x sen n xdx

−= +

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA

23. Obtener la derivada de xxxseny tancos=

Solución. ( ) ( )2 2 2' cos tan tan cos ' cos sec tan cosd dyy senx x x x senx x y senx x x x sen x xdx dx

= + ⇒ = + − +

xxxxsenxxxseny tancostanseccos' 222 +−=

( )2 2 2 22cos' tan tan cos ' tan 1 cos

cossenx xy x sen x x x y x sen x x

x= − + ⇒ = − +

( )2

2 2 cos' tan 2cos ' ' 2 cos ' 2cos

senx xy x x y y senx x y sen xx

= ⇒ = ⇒ = ∴ =

También se pudo haber obtenido la derivada como

2coscos tan ; ; ; ' 2 cos ' 2cos

senx x senxy senx x x y y sen x y senx x y sen xx

= = = = ∴ =

ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN

24. Obtener la derivada de 2cosy x senx= .

Solución. ( ) ( )xdxdsenxsenx

dxdxy 22 coscos' += ⇒ ( ) ( )( )senxxsenxxxy −+= cos2coscos' 2

xxsenxy cos2cos' 23 −=

ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN

Page 106: Problemario Calculus

103

25. Obtener la derivada de xangxy 2tan2= .

Solución. 22 2tan2tan' xdxdxangxang

dxdxy +=

( ) xangxx

xyxxangx

xy 2tan241

2'22tan412' 2

2

22 +

+=⇒+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN

26. Para la función x

xycos

cot1+= , calcular

4' π

=xy

Solución. xxxsenx

xxxx

xxxy cscsec

cos1cossec

coscot

cos1

coscot1

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+=+=

+=

xxy cscsec += ⇒ ' sec tan csc coty x x x x= −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

= 4cot

4csc

4tan

4sec'

4

πππππx

y ; 4

' 2 1 2 1 2 2 0 ' 0x

y y π=

= ⋅ − ⋅ = − = ∴ =

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

27. Obtener la derivada de 14tan 2 −= xy

Solución. ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−−=

142814sec

222

xxx

dxdy ∴

1414sec4

2

22

−=

xxx

dxdy

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ

28. Derivar la siguiente función: 3 2 3cos xy =

Solución. Esta función también se puede expresar como ( )1

2 3cos 3y x= , la que se deriva como sigue:

( ) ( )( )( )2

2 31 cos 3 2cos3 3 33

dy x x sen xdx

−= ⋅ −

( )2 1

2 3 3

2 3 cos3 2 3

cos 3 cos 3

dy sen x x dy sen xdx dxx x

= − ⇒ = −

Otra forma de obtener esta derivada es si se maneja algebraicamente la función

Page 107: Problemario Calculus

104

( )2 13 3

13

2 2 3cos 3 cos 3 3 33 cos 3

dy dy sen xy x x sen xdx dx x

−= ⇒ = ⋅ − ∴ = −

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT

29. Derivar la siguiente función: )1tan(1 −+= xy . Solución. La función se puede escribir también como:

( )1

1 221 tan 1y x

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

121 12

22 2sec 11 11 tan 1 tan 1 sec 1

2 2 4 1 tan 1 tan 1

xdy dyx x xdx dx x x

−− −⎡ ⎤

= + − ⋅ − ⋅ − ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦ + − −

Como )1tan(1 −+= xy , se tiene finalmente que: ( )2sec 14 tan( 1)

xdydx y x

−=

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA

30. Sea tseny = , t p= , qp tan2π= y 4

q x π= + , obtener

dxdy para 0=x .

Solución. Se expresa " "y en términos de " "x :

⇒= tseny ⇒= pseny

2 2tan tan tan4 4

y sen q y sen x y sen xπ ππ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Se deriva con respecto a x :

2sec4cos tan

42 tan

4

xdy xdx

x

ππππ

π

⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎝ ⎠ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

En 0=x

2

0

sec4cos tan

42 tan

4x

dydx

ππππ

π=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )0 0

2cos 1

2 1x x

dy dydx dx

ππ π

= =

⎛ ⎞⇒ = ∴ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA

Page 108: Problemario Calculus

105

31. Obtener la derivada de la siguiente función:

1y angsen x= −

Solución. ( ) 2

11 12 1

2 11 1 2dy dy dyxdx dx dxx xx x x

−−= ⇒ = − ∴ = −

−− − −

LOS COORDINADORES

32. Derivar

( ) 1tanf x angx

=

Solución. ( ) ( ) ( )( )2

1 112 2' ' '1 2 111

x x x xf x f x f xx x xxx

−= ⇒ = − ⇒ = −

+ +⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

LOS COORDINADORES

33. Calcular la derivada de la función:

2

2csc1

xy angx

=−

Solución.

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2

22 3 3

2 24 22 2 2222 2 22 2

1 2 2

1 2 2 2

11 11 1 1 1

x x x x

xdy dy x x xdx dx x xx x xxx x x x

− − −

− − += − ⇒ = −

⎛ ⎞ − −− −⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ −

( )( )

4 2 4 22 2

22

2 2 1;21 2 2 11

1

dy x dy xdx dxx x x x xx x

x

= − ∴ = − >− + − −

−−

LOS COORDINADORES

Page 109: Problemario Calculus

106

34. Por derivación implícita obtener dydx

para xyyx 833 =+ .

Solución. ( ) 2222 38838833 xydxdyxyy

dxdyx

dxdyyx −=−⇒+=+ ∴

xyxy

dxdy

8338

2

2

−−

=

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ

35. Demostrar que para la expresión

, , , ,Ax By K A B C D KCx Dy

+= ∀ ∈

+

se cumple que yxy =' . Solución. Se deriva implícitamente la expresión dada y:

( ) ( )

( )02 =

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

DyCxdxdyDCByAx

dxdyBADyCx

( ) ( ) 0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

dxdyDCByAx

dxdyBADyCx

( ) ( ) ( ) ( ) 0dy dyA Cx Dy B Cx Dy C Ax By D Ax Bydx dx

+ + + − + − + =

( ) ( ) ( ) ( )DyCxAByAxCdxdyByAxD

dxdyDyCxB +−+=+−+

( ) ( )( ) ( ) BDyADxBDyBCx

ADyACxBCyACxByAxDDyCxBDyCxAByAxC

dxdy

−−+−−+

=+−++−+

=

( )( ) x

yxADBCyADBC

dxdy

=−−

== ⇒ ' 'yy xy yx

= ∴ =

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

36. Obtener la segunda derivada 2

2d yd x

de:

22 yxyx −=+

Solución. dxdyy

dxdyxyx 22 −=++ ⇒ yx

dxdyy

dxdyx −−=+ 22 ⇒ ( ) yxyx

dxdy

−−=+ 22 ⇒

22

dy x ydx x y

− −=

+

Page 110: Problemario Calculus

107

Se deriva nuevamente y: ( ) ( )

( )22

2

2

21222

yxdxdyyx

dxdyyx

dxyd

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+

=

( )

2

22

2 4 2 2 4 2

2

dy dy dy dyx x y y x x y yd y dx dx dx dxdx x y

− − − − + + + +=

+ ⇒

( )22

2

2

33

yx

ydxdyx

dxyd

+

−=

ahora se sustituye el valor de dydx

y:

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2

2 2 32 2 2

2 6 3 3 63 32 6 6 622 2 2

x y x xy xy yx yx yd y d y d y x xy yx y

dx dx dxx y x y x y

− −⎛ ⎞ − − − −−⎜ ⎟+ − − −+⎝ ⎠= ⇒ = ∴ =+ + +

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT

37. Determinar ''y para 1543 34 +=−+ xxyy Solución. Se deriva implícitamente la ecuación y se tiene:

3 24 ' 3 ' 12 5y y y x+ − = ⇒ ( )34512'512'34 3

223

++

=⇒+=+yxyxyy

Se deriva nuevamente 'y : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )23

3223

343451251234'''

+

++−++==

yyDxxDyyDy xx

x

( )( ) ( )( )( )23

223

34'125122434''

+

+−+=

yyyxxyy

ahora se sustituye el valor de 'y de donde se obtiene:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

23 2 2 2 23 2 23

2 33 3

12 54 3 24 12 5 12 4 3 24 12 5 124 3'' ''4 3 4 3

xy x x y y x x yyy yy y

⎛ ⎞++ − + ⎜ ⎟ + − ++⎝ ⎠= ⇒ =+ +

ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ

38. Dada la expresión ( ) 2cos3 2 =+ yx , demostrar que 1−=dxdy .

Solución. Se obtiene la derivada por derivación implícita:

( ) ( ) 01cos6 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−

dxdyyxsenyx ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )yxsenyx

dxdyyxsenyx ++=++− cos6cos6

Por lo tanto, 1−=dxdy

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

Page 111: Problemario Calculus

108

39. Realizar la derivada implícita de:

a) xyy =tan b) ( ) byxa =+2cos

Solución. a) ( ) ( ) ( ) ( ) yxyyyyxyyyyxyyy =−⇒+=⇒+= ''sec''sec1''sec 222

( )xy

yyyxyy−

=⇒=− 22

sec'sec'

b) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )( ) ( )

cos2 cos 1 0 ' ' 1

cossen x y x y

a x y sen x y y' y ysen x y y

+ ++ − + + = ⇒ = ∴ = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − + +

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO

40. Obtener dxdy de: ( ) ( ) 7cos 324 =++ yxyxsen

Solución. ( ) ( ) ( )3 2 2 3 2 34 cos 1 3 2 0dy dysen x y x y x y xy sen x ydx dx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )yxyxsenyxsenxydxdyyxsenyxyxyxsen ++−=−++ cos423cos4 332332223

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )32223

3323

3cos4cos42

yxsenyxyxyxsenyxyxsenyxsenxy

dxdy

−++++−

=

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

41. Derivar con respecto a x la siguiente función: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

yx

xy csc1 .

Solución. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−22

'cotcsc'y

xyyyx

yx

xyxy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

yx

yx

yxy

yx

yx

yxy

xy cotcsc'cotcsc1'

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

yx

yx

yxyy

yx

yx

yx

xcotcsc1'cotcsc1

22

Page 112: Problemario Calculus

109

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

yx

yx

yx

x

yx

yx

yxy

ycotcsc1

cotcsc1

'

2

2

se multiplican numerador y denominador por xy y se tiene que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

yx

yx

yxy

xy

yx

yx

yxy

xy

yx

yx

yx

x

xy

yx

yx

yxy

ycotcsc1

cotcsc1

cotcsc1

cotcsc1

'

2

2

2

2

∴ xyy ='

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA

42. Obtener 2

2

dxyd para la función dada por

⎩⎨⎧

==

3 tytx .

Solución. De la derivación en forma paramétrica se sabe que

dtdxdtdy

dxdy

=

23

23

1 1 1y 3 23

dy dxtdt dt tt

−= = =

⇒ 1

12236

2233

12 2 23

1 33 32

dy dy t dy t dyt tdx dx dx dxt tt

−= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

ahora se deriva nuevamente para obtener la segunda derivada; así:

76 22 2 2 2

32 2 2 2 3 2

12

22 218

1 9 92

d dytd y d y d y d ydt dx tdxdx dx dx dx t

dt t

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠= ⇒ = ∴ = − ⇒ = −

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO

43. Dadas las siguientes ecuaciones paramétricas: 3

2

4tan

tx t

y ang t

⎧= +⎪

⎨⎪ =⎩

Page 113: Problemario Calculus

110

Obtener dydx

para el valor 4π

=y .

Solución. 4

322tt

dtdx

+= y 1

12 +

=tdt

dy

Entonces:

( )( )2

2 2 2

141

3 1 8 324

dydy dydt t

dx tdx dx t t ttdt

+= = ⇒ =+ ++

Para 4π

=y ; 14

tantan4

=⇒=⇒= tttang ππ

( )1 1

4 22 11 11t t

dy dydx dx= =

= ∴ =

ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN

44. Obtener la derivada de la función:

2 6x xy e −=

Solución. ( ) ( )2 6 2 6 2 612 6 22 6 6

x x x x x xdy dye x x edx dxx x

− − ⎡ − + − ⎤−⎡ ⎤= ⋅ + − ⇒ = ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) 2 62 6 12 312 2

6 6

x xx x x edy x x dye

dx dxx x

−− −− + −⎛ ⎞= ∴ =⎜ ⎟− −⎝ ⎠

LOS COORDINADORES

45. Obtener la derivada de la siguiente función para 1x = − :

1xy e

−=

Solución. 1

122

1 1' 'x

x

y e yx x e

− −⎛ ⎞= − ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )11 12 1

1' '1

x xy y e

e=− =−

= ∴ =−

ALUMNA: RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE

Page 114: Problemario Calculus

111

46. Determinar la derivada de la función:

( ) ( )2 21 3sen xf x e −=

Solución. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 21 3 1 32 2 2' 2 1 3 cos 1 3 6 ' 6 2 1 3sen x sen xf x e sen x x x f x x e sen x− −= − − ⋅ − ∴ = − −

LOS COORDINADORES

47. Derivar la función:

cot5 ang xy =

Solución. ( ) ( )( )

cotcot

2

1525 ln 5 ln5

2 11

ang xang xdy dyx

dx dx x xx

⎛ ⎞⎜ ⎟

= − ∴ = −⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟

⎝ ⎠

LOS COORDINADORES

48. Calcular la derivada de la función:

1cos =+ senxeye yx

Solución. 0coscos =+++−dxdyxsenexeye

dxdysenye yyxx

( ) cos cosx y x ydye seny e senx e y e xdx

− + = − −

cos cos cos cosx y x y

x y x ydy e y e x dy e y e xdx e seny e senx dx e seny e senx

+ += − ∴ =

− + −

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

49. Derivar la siguiente función:

2 3ln4 7

xyx

−=

+

Page 115: Problemario Calculus

112

Solución.

( )( ) ( )( )( )

( )( )

2

2

4 7 3 2 3 74 7 12 21 14 21 262 3 4 7 2 3 8 2 214 7

x xxdy dy x x dyxdx dx x x dx x xx

+ − − −

+ − − − += ⇒ = ∴ = −

− + − + −+

LOS COORDINADORES

50. Obtener la derivada de la función:

2ln sec 2y x= +

Solución.

2 222

2 2

2sec 2 tan 2tan 22 2

sec 2 2

xx xdy dy x xxdx dxx x

+ + ⋅++= ∴ =

+ +

LOS COORDINADORES

51. Determinar la derivada de

( ) 1 cosln1 cos

xf xx

−=

+

Solución. Se aplica la derivada de una función dentro de una raíz cuadrada y:

( )

( )( ) ( )( )( )

( )( )

2

2

1 cos 1 cos1 cos

1 cos2 cos cos1 cos' ' 1 cos1 cos 2 1 cos1 cos1 cos

x senx x senxx

xsenx senx x senx senx xxf x f x xx x

xx

+ − − −

+−

+ + −+= ⇒ =−− +++

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 22' ' ' ' csc

2 1 cos 1 cos 1 cossenx senx senxf x f x f x f x xx x x sen x

= ⇒ = ⇒ = ∴ =+ − −

Otra forma de obtener la derivada es mediante las propiedades de la función logarítmica. Así:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 cos 1 1ln ln 1 cos ln 1 cos '2 1 cos 2 2 1 cos 1 cos

x senx senxf x f x x x f xx x x

− −⎛ ⎞= ⇒ = ⎡ − − + ⎤ ⇒ = −⎜ ⎟⎣ ⎦+ − +⎝ ⎠

( ) ( )21 cos cos' ' csc2 1 cos

senx senx x senx senx xf x f x xx

+ + −⎛ ⎞= ∴ =⎜ ⎟−⎝ ⎠

LOS COORDINADORES

Page 116: Problemario Calculus

113

52. Obtener la derivada de:

( ) 3log cotf xx

=

Solución. De manera directa se tiene que:

( ) ( ) ( )2 2

2

22

13 3 3csc 3 3' log ' log ' log3 3 3 3cot cos cos

3

senx x xf x e f x e f x ex x sen

x x x xsen

x

−⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠= ⇒ = − ⋅ ∴ =

LOS COORDINADORES

53. Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función x

xy 63 −= en el punto ( )9,4P .

Solución. Se deriva y:

( ) 10 6 32' 3 ' 3x

xy yx x x

−= − ⇒ = +

se evalúa en el punto dado y se obtiene: 3 3 27' 3 3

8 84 4Py = + = + = que es la pendiente de la recta tangente en el punto dado.

mediante la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente, se obtiene:

( ) =− 1yy m ( )1xx − ⇒ ( ) ( )48279 −=− xy ⇒ 8 72 27 108 27 8 36 0y x x y− = − ∴ − − =

ALUMNA: DANIELA GARCÍA RUBÍ

54. Sea ( ) ( )42 1f x x= − . Determinar la pendiente de la recta normal a f en el punto ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21,

21 fP .

Solución. Aplicando la derivada a la función f se tiene: ( ) ( ) ( ) ( )3 32 2' 4 1 2 8 1f x x x x x= − = −

La pendiente Tm de la recta tangente en P es: 31 1 3 27' 8

2 2 4 16Tm f ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Por lo tanto la pendiente de la recta normal es: 1 1 16 1627 27 2716

N NT

m mm− −

= = = ∴ =−

ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ

Page 117: Problemario Calculus

114

55. Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las curvas siguientes en los puntos indicados:

a) 342 23 −−+= xxxy en el punto ( )5,2− . b) tan2y x= en el punto ( )0,0 .

Solución.

a) ( )2 2

2,53 4 4 ; 3 4 4 ; 0T Tdy x x m x x mdx −

= + − = + − =

Ecuación de la recta tangente: ( )0 0 5 0 5Ty y m x x y y− = − ⇒ − = ∴ =

Ecuación de la normal:

( )0 01 1;

0N N NT

y y m x x m mm

− = − = − ⇒ = − no existe. Entonces 2x = −

b) ( )2 2

0,02sec 2 ; 2sec 2 ; 2T Tdy x m x mdx

= = =

Ecuación de la recta tangente: ( ) ( )0 0 0 2 0 2Ty y m x x y x y x− = − ⇒ − = − ∴ =

Ecuación de la recta normal:

( ) ( )0 01 1; ; 0 02 2 2N N

xy y m x x m y x y− = − = − − = − − ∴ = −

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO

56. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal, así como las longitudes de la subtangente y la subnormal en el punto ( )3,3P , de la curva que tiene por ecuación:

09 =−xy Solución. La gráfica de la curva, con su tangente y su normal en el punto dado son:

Ecuación de la recta tangente: Se despeja la variable " "y y se deriva:

y

x

( )3,3

9 0xy − =

N T

SN ST

Page 118: Problemario Calculus

115

x9y = ó ⇒= −19xy 211 x9x9'y −−− −=−= ⇒ ( )

( )2

29' 9 3 1 ; 13 TP

y m−= − = − = − = −

la ecuación de la recta tangente es: ( )o T oy y m x x− = − ⇒ ( ) ⇒−−=− 313 xy 33 +−=− xy ∴ 06 =−+ yx

Ecuación de recta la normal: 1 1; 11N N N

T

m m mm

= − = − ⇒ =−

Entonces, la ecuación de la normal es: ( )313 −=− xy ; 0=− xy ó 0=− yx

Las longitudes de la normal y la tangente, así como las de la subtangente y la subnormal, son, de acuerdo con la figura:

2 23 3 3 2 ; 3 2 ; 3N T ST SN= + = = = =

ALUMNA: RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE 57. Determinar las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la curva de ecuación xangy 3cos= , en

el punto 1 0,2

P π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Solución. Primero se obtendrá la derivada de la función.

2913

xdxdy

−−= ⇒

1

TP

dymdx

=

de donde ( )11 xxmyy −=− y para 1 0,2

P π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; 31

3−=−=Tm por lo que la ecuación de la recta

tangente es:

( )3 0 32 2

y x y xπ π− = − − ⇒ − = − ⇒ 0

23 =−+

πyx ⇒ 026 =−+ πyx

TN m

dxdym 11

−=−= ⇒ 31

=Nm

entonces la ecuación de la recta normal es:

( ) ⇒−=− 031

2xy π

⇒=− xy2

33 π 02

33 =+−πyx ∴ 0362 =+− πyx

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS

58. Obtener las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la curva de ecuación 3x

ey = , en el punto ( )1 3,P e .

Solución. Primero se obtiene la derivada de la función.

Page 119: Problemario Calculus

116

33x

edxdy

= ⇒ 1

TP

dymdx

= ; para ( )eP ,31 = 33

33

eem T ==

y la ecuación de una recta esta dada por ( )11 xxmyy −=− ; ( )33

−=− xeey

eexey 333 −=− ∴ 03 =− yex ecuación de la recta tangente.

Además T

N mdxdym 11

−=−= ⇒ e

m N3

−=

( ) 9333 2 +−=−⇒−−=− xeeyxe

ey ∴ 093 2 =−−+ eeyx ecuación de la recta normal.

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS

59. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas dadas, en el punto 2=t .

ttx+

=1

; 21 ty −=

Solución. Para 2=t ; 32

212

=+

=x y 3)2(1 2 −=−=y

Para las ecuaciones paramétricas se sabe que:

dtdxdtdy

dxdy

=

tdtdy 2−= ; 2 2

1 1(1 ) (1 )

dx t tdt t t

+ −= =

+ +

2 3 2 3 2

2

2 ( 2 )(1 ) 2 4 2 2 4 21(1 )

Tdy t dy dyt t t t t m t t tdx dx dx

t

−= ⇒ = − + ⇒ = − − − ⇒ = − − −

+

3 2

2

2(2) 4(2) 2(2) 36Tt

dymdx =

= = − − − = −

Entonces la ecuación de la recta tangente es: 2( 3) 36 3 36 24 36 213

y x y x x y⎛ ⎞− − = − − ⇒ + = − + ∴ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO

60. Obtener los puntos donde la recta tangente a la gráfica de la función es horizontal y donde es vertical. La función está expresada paramétricamente por:

Page 120: Problemario Calculus

117

tx −= 2

6 2 4 2y t t= − − − Solución.

Para las ecuaciones paramétricas se sabe que:

dtdxdtdy

dxdy

= .

1−=dtdx , 21

4 2dydt t

= − +−

, entonces

21 24 2 11 4 2

dy dytdx dx t

− +−= ⇒ = −

− −

Para que la recta tangente sea horizontal:

0dydx

= ⇒ ⇒=−

− 024

21t

⇒−

=t24

21 ⇒=− 224 t 4 2 4t− =

002 =⇒=− tt Para que la recta tangente sea vertical: ⇒=− 024 t ⇒=− 024 t ⇒= t24 2=t Se sustituye en x y y , se llega a:

0 2 0 2t x= ⇒ = − = ; 2)0(24206 =−−−=y ∴ En )2,2(P la tangente es horizontal. 2t = ⇒ 022 =−=x ; 4)2(24226 =−−−=y ∴ En (0, 4)Q la tangente es vertical.

ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO

61. Calcular el valor del ángulo agudo de intersección entre las curvas 2 2 2 4y x y x y= + = y trazar las curvas y los ángulos considerados. Solución. Primero se grafican las curvas y en los puntos de intersección se trazan las tangentes, cuyas pendientes determinarán los ángulos agudos de intersección entre ellas.

Se obtienen las pendientes de las tangentes a las curvas dadas en el punto ( )1.25,1.56 y:

( )

2

1.25,1.56

; 2 ; 2.5dy dyy x xdx dx

= = =

y

x

2 2 4x y+ =

2y x=

( )1.25,1.56 θ

Page 121: Problemario Calculus

118

( )

2 2

1.25.1.56

4 ; 2 2 0 ; ; 0.8dy dy x dyx y x ydx dx y dx

+ = + = = − = −

mediante la fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas si se conocen sus pendientes, se tiene que:

( )( )02 1

2 1

0.8 2.5 3.3tan ; tan tan 73.141 1 0.8 2.5 1m mang ang ang

m mθ θ θ θ− − − −= = ⇒ = ∴ =

+ + − −

En el otro punto, en el segundo cuadrante, por simetría el ángulo agudo, es el mismo.

LOS COORDINADORES 62. Obtener el ángulo agudo θ de intersección entre las curvas de ecuaciones:

123 2 ++= xxy y 72 2 ++= xxy Solución. Las curvas se cortan en;

2 23 2 1 2 7x x x x+ + = + + ; 071223 22 =−+−+− xxxx ( )( )2 6 0 2 3 0x x x x+ − = ⇒ − + = ⇒ 31 −=x y 22 =x

Con los puntos obtenidos, se determina la pendiente de las rectas tangentes a las curvas para 1x : 123 2

1 ++= xxy ; ⇒+= 26'1 xy ⇒−=+−=− 16218)3('1y 1 16m = − 72 2

2 ++= xxy ; ⇒+= 14'2 xy ⇒+−=− 112)3('2y 2 11m = − El ángulo de intersección entre las curvas está dado por:

2 1

1 2

11 16 5tan 0.0281 1 ( 16)( 11) 177m m

m mθ − − += = = =

+ + − − ; ⇒= 028.0tanθ 0

1 1.618θ =

Para 22 =x : 123 2

1 ++= xxy ; ⇒+= 26'1 xy ⇒=+= 14212)2('1y 1 14m = 72 2

2 ++= xxy ; ⇒+= 14'2 xy ⇒+= 18)2('2y 2 9m = El ángulo de intersección entre las curvas está dado por:

2 1

1 2

9 14 5tan 0.03941 1 (9)(14) 127m m

m mθ − − −= = = =

+ + ; 0

2tan 0.0394 2.255θ θ= ⇒ =

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT

63. Determinar el ángulo agudo θ de intersección entre las curvas de ecuaciones:

xyxy cscsec 21 ==

en el punto de intersección del primer cuadrante. Solución. Se debe obtener el punto de intersección:

1 1sec csc 1 tan 1cos cos

senxx x xx senx x

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Page 122: Problemario Calculus

119

( )tan 1 454

x ang x π= ⇒ = ° = ; 2

211

4cos

14

sec ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ππy ; ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 2,

41πP

Ahora se obtiene la pendiente de la recta tangente a cada curva en el punto de intersección:

xxdxdy tansec1 = ; ( )( ) 212

4tan

4sec1 ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ππm

xxdx

dy cotcsc2 −= ; ( )( ) 2124

cot4

csc2 −=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

ππm

Se sabe que 21

12

1tan

mmmm

+−

=θ ; ( )( ) 221

222122

22122tan =

−−

=−

−=

−+−−

( )tan 2 2 70.528angθ∴ = = °

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS

64. Un balón esférico pierde aire a razón constante de 3

2 cms

. ¿Con qué rapidez decrece el radio del balón

cuando su diámetro es de m1 ? Solución. Una figura con el balón se muestra acontinuación:

De los datos proporcionados y de la gráfica, se tiene que 3

3423

dv cm y v rdt s

π= =

2dv; 4dr

dv dv dr rdt dr dt

π= = ; 22

144

dv dr dr dVrdt dt dt r dt

ππ

= ⇒ =

De los datos dados cmrmD 50y 1 == , entonces;

( ) ( ) πππ 50001

2500212

5041

2 ===dtdr

Por lo tanto, la rapidez a la que decrece el radio del balón cuando su diámetro es de m1 es:

0.00006366dr cmdt s

=

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO

r

Page 123: Problemario Calculus

120

65. Para aproximar un bote al muelle se emplea un cabrestante. La cuerda está atada al bote en un punto a

4.5 m por debajo del cabrestante. Si éste tira de la cuerda a razón de 10minm . Determinar la rapidez a la que

se está aproximando el bote al muelle cuando falta un minuto para llegar a él. Solución. La siguiente figura representa gráficamente el problema.

Las variables involucradas se relacionan mediante el teorema de Pitágoras, es decir: 2 2 24.5w u= +

Se deriva implícitamente con respecto al tiempo y: 2 2dw du du w dww udt dt dt u dt

= ⇒ =

De los datos se tiene que 10min

dw mdt

= ; además en min1=t ⇒ 10w m=

Entonces 2 210 4.5 8.93u u m= − ⇒ ≈

Se sustituyen valores en dudt

y:

10 10 11.28.93 min min

du w dw m m du mdt u dt m dt

= = ∴ ≈

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA

66. Un tumor en el cuerpo de una persona es de forma esférica y cuando el radio del tumor es de cm5.0 éste crece a una taza de cm001.0 por día. Determinar la taza de crecimiento del volumen del tumor en ese tiempo. ¿Cuál es la taza de crecimiento del área de su superficie?

Solución. Se considera una esfera con radio igual a 0.5 cm y como se sabe 3

34 rV π=

se tiene una taza de crecimiento de 0.001 cm por día; entonces 0.001dr cmdt d=

Por lo tanto si se deriva el volumen con respecto al tiempo, se obtiene lo siguiente: 24dV dV dr dVy r

dt dr dt drπ= =

dtdrr

dtdV 24π= ; al sustituir valores )001.0)(25.0(4π=

dtdV ∴

3

0.00314dV cmdt d

4.5w

u

Page 124: Problemario Calculus

121

Para calcular la taza de crecimiento del área de su superficie, se toma la expresión para calcular el área y se deriva. Así:

224 8 8 (0.5)(0.001) 0.01256dA dr dA dA cmA r r

dt dt dt dt dπ π π= ⇒ = ⇒ = ⇒ ≈

ALUMNO: PABLO A. LORENZANA GUTIERREZ

67. A un tanque cónico de radio [ ]4R m= y altura 16 [ ]H m= , como se muestra en la figura, le entra un

volumen de agua a razón de 3

2minm⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

. Determinar la rapidez de cambio de la altura " "h del agua cuando

ésta se encuentra a [ ]5 m del vértice.

Solución. La rapidez de cambio de la altura h , que es lo que se pide calcular, se puede expresar como:

dtdh

para calcular el volumen de un cono se utiliza la expresión: hrV 2

31π=

para relacionar a las variables h y r , a partir de la figura, se usan triángulos semejantes. Luego: 4 1

16 4 4r r hrh h= ⇒ = ⇒ =

Se sustituye la relación anterior en la fórmula del volumen:

hhV2

431

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= π ⇒ hhV

1631 2

π= ⇒ 3

481 hV π=

Se deriva esta última expresión con respecto a h con lo que se obtiene: 2116

dV hdh

π=

Y a partir de la regla de la cadena se establece que:

4

16

r

h

Page 125: Problemario Calculus

122

dtdh

dhdV

dtdV

⋅= ⇒

dhdVdtdV

dtdh

=

Como dato del problema se tiene que: 3

2min

dV mdt

= ; luego 22

32

161

2hdt

dh

hdtdh

ππ=⇒=

dado que la rapidez de cambio pedida es para una altura mh 5= ;

( )25 5 5

32 32 0.407425 min5h h h

dh dh dh mdt dt dtππ= = =

= ⇒ = ⇒ ≈

ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS

68. Un hombre camina hacia la base de una torre de m18 de altura a razón de 7.5 kmh

. Determinar la

rapidez de variación de la distancia con que se acerca al extremo superior de la torre cuando está a m24 de la base. Solución. La figura modela este problema, con los datos proporcionados.

La rapidez de cambio de la distancia con que se acerca el hombre al extremo superior de la torre se puede

expresar como: dtdy . Se establece una relación entre las variables x y y por medio del teorema de

Pitágoras, esto es, ( ) 222 32418 xyxy +=⇒+=

Se deriva la expresión anterior con respecto a x ; se obtiene 2 2

22 324 324

dy x dy xdx dxx x

= ⇒ =+ +

A partir de la regla de la cadena establecemos la siguiente relación: dtdx

dxdy

dtdy

⋅=

como dato del problema, se tiene que: 7.5 7500dx km mdt h h

= =

ahora se sustituye 2324 x

xdtdy

+= y 7500dx m

dt h= en

dtdx

dxdy

dtdy

⋅= :

x

y18

Page 126: Problemario Calculus

123

( )22 324

75007500324 x

xdtdy

xx

dtdy

+=⇒⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

+=

Dado que la rapidez de cambio pedida es para una distancia mx 24= de la base, entonces: ( )( )2

24

7500 24 180000 180000 180000 600030324 576 900324 24x

dy mdt h=

= = = = =++

∴ 24

6x

dy kmdt h=

=

ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS

69. Un globo de aire caliente que se eleva verticalmente es rastreado por un localizador que se encuentra a

m500 del punto del despegue medidos horizontalmente. En el instante de que el ángulo localizador es 4π , el

ángulo se está incrementando a razón de 0.14minrad . ¿Con qué velocidad se eleva el globo en ese instante?

Solución. La siguiente figura muestra en forma gráfica el problema:

De acuerdo con los datos proporcionados, 0.14

mind raddtθ= ; se tiene que determinar

dtdy

De la figura se tiene que 500

tan y=θ ; entonces se despeja “ y ” y se obtiene

dtdy ; luego,

θtan500=y ; 2 2500sec 500(sec )(0.14) 1404 min

dy d dy dy mdt dt dt dt

θ πθ= ⇒ = ∴ =

ALUMNO: PABLO A. LORENZANA GUTIERREZ

70. Una piedra se deja caer a un estanque y produce ondas de agua que forman círculos concéntricos. El radio de una curva es de t40 centímetros a los t segundos. Calcular la rapidez de cambio del área del círculo en:

1 ; 2 ; 3t s t s t s= = = . Solución. Un modelo geométrico sería:

500 m

θ

y

Page 127: Problemario Calculus

124

El radio viene dado por: cmtr 40=

Se deriva con respecto a t para obtener su variación: 40dr cmdt s=

Por otro lado, el área del círculo está dado por: 2A rπ= Se deriva implícitamente y se sustituyen valores, de donde:

2 80 3200dA dr dA dr dAr t tdt dt dt dt dt

π π π= ⇒ = ⇒ =

La rapidez de cambio pedida es entonces;

Para 1t s= ; ( )2

3200 1 3200dA cmdt s

π π= =

Para 2t s= ; ( )2

3200 2 6400dA cmdt s

π π= =

Para 3t s= ; ( )2

3200 3 9600dA cmdt s

π π= =

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA

71. En una placa metálica en forma de triángulo rectángulo, sometida a cambios de temperatura, el cateto horizontal disminuye 1 cm por minuto y el vertical aumenta 2 cm por minuto. Determinar la rapidez de variación de su área a los 2 minutos. Solución. La figura de la placa se muestra a continuación:

Sea " "x la base del triángulo, " "y su altura y " "t el tiempo transcurrido. De los datos proporcionados se

conoce 1min

dx cmdt

= − y 2min

dy cmdt

= . Además, el área es igual a: xyA21

=

6 m

8 m

r

Page 128: Problemario Calculus

125

Se deriva con respecto al tiempo y:

( )yxdtdA

dtdxy

dtdyx

dtdA

−=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 2

21

21

Al considerar min2=t ; 6 0.02 5.98x m= − = y 8 0.04 8.04y m= + =

( )2

2 2

1 2 5.98 8.04 1.962 mint t

dA dA mdt dt= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎡ − ⎤ ∴ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT

72. Una mujer que trota con una rapidez constante de 10 kmh

pasa por un punto P hacia el norte; 10

minutos más tarde un hombre que trota a 9 kmh

pasa por el mismo punto hacia el Este. Determinar qué tan

rápido varía la distancia entre los dos corredores, 20 minutos después de que el hombre pasa por el punto P . Solución. De manera esquemática se tiene que:

Se requiere determinar

20=tdtdz . La relación de velocidad es

tdv = , por lo que despejando a la distancia,

vtd = . Esta relación permite obtener la distancia C que se recorre la mujer transcurridos 10 minutos

después de pasar por el punto P , es decir 1 10 5106 6 3

kmC h km C kmh

⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

20 minutos después de que el hombre pasa por el punto P , la mujer ha recorrido una distancia de 53

y km+ y

el hombre una distancia de kmx . Si se relacionan las distancias recorridas se obtiene 2

2 2 5z3

x y⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Ahora se deriva con respecto al tiempo: 5

dz 5 32z 2 2dt 3

ydx dy dz x dx dyx ydt dt dt z dt z dt

+⎛ ⎞= + + ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

De los datos se sabe que 10dy kmdt h

= y 9dx kmdt h

= ; de donde

x

y

C

z

P

Page 129: Problemario Calculus

126

Como la rapidez es constante, dv d v tt

= ⇒ = ; luego 9 10x t y y t= = . Por lo que:

22

5 59 10 81 10 10dz 3 3dt 581 10

3

x y t t

zt t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

Valuando en ht31min20 == :

3477

35

3110

3181

35

311010

3181

dtdz

22=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= ∴ dz 13.2dt

kmh

=

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA

73. Una rueda de la fortuna con un radio m10 da una vuelta cada min3 . Si el centro de la rueda está a m12 del piso, determinar la rapidez con que asciende el pasajero cuando se encuentra a m18 del piso. Solución. La figura con los datos correspondientes, es la siguiente:

Solución. La velocidad angular es: 1 2 2.0943 min 3 min min

d rev d rad d raddt dt dtθ θ π θω = = ⇒ = ⇒ ≈

En la figura se aprecia que el radio es igual a 10r m= , que 6h m= y que la abscisa del punto donde se

encuentra el pasajero es igual a 2 210 6 8x m= − = . De la misma figura se puede obtener: θsenh 10= ⇒ θseny 1012+= .

Se tiene que determinar [ ]mydt

dy18=

. Se emplea la regla de la cadena dtd

ddy

dtdy θ

θ⋅=

810 cos 10 810

dyd

θθ

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

y 2.094min

d raddtθ ω= ≈

Por lo tanto, ( )8 2.094 16.752min

dy dy mdt dt

= ∴ ≈

ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO

22

1218

θ h

( ),x yy

x

Page 130: Problemario Calculus

127

74. Por medio de diferenciales, obtener un valor aproximado de 27 . Solución. La función a utilizar es y x= , para la cual se hace: 25 25 5 2x y y dx= ⇒ = = = Por lo que:

5 27y dy x dx dy+ = + ⇒ + = se calcula la diferencial, se determina su valor y se le suma 5 , para obtener 27 . Entonces:

2 0.22 2 25dxy x dy dy dy

x= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

5 0.2 27 27 5.2+ = ∴ = En la calculadora el valor es 5.196 , con una diferencia de 6 milésimas con respecto al valor obtenido con la diferencial.

LOS COORDINADORES 75. Por medio de diferenciales obtener el valor aproximado de tan44º . Solución. La función a aproximar es xy tan= . Si se hace:

45º tan45º 1 1º 0.01745x y y dx rad= ⇒ = = = = ( )tan tan 1 tan44ºy x y dy x dx dy= ⇒ − = − ⇒ − =

Luego, se obtiene la diferencial de la función, se evalúa y se resta al valor de 1 para obtener el valor buscado. ( )2 2tan sec sec 45º 0.01745 0.0349y x dy x dx dy dy= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

tan44º 1 0.0349 tan44º 0.9651= − ∴ = En una calculadora, el resultado con cuatro cifras decimales es de 0.9657, por lo que el error al utilizar la diferencial es de 6 diezmilésimas.

LOS COORDINADORES 76. Mediante la diferencial, calcular la cantidad aproximada de material de un cascarón esférico cuyo radio interno mide 25 cm y cuyo espesor es de 1cm . Solución. Una sección transversal es la siguiente:

r

dr

Page 131: Problemario Calculus

128

El volumen del cascarón esférico es: 3

34 rV π= .

Con diferenciales se obtiene el incremento de volumen que es la cantidad aproximada de material necesario para su construcción; de esta forma:

( )2 2 34 4 (25) 1 7,853.98dV r dr dV dV cmπ π= ⇒ = ⇒ =

ALUMNO: PABLO A. LORENZANA GUTIERREZ 77. Un tubo cilíndrico tendrá un espesor metálico de 6 cm . El radio interno es de 3 m y la altura de m10 . Obtener la cantidad aproximada del material que se empleará para su construcción, empleando diferenciales. Solución. La figura con sus datos y magnitudes variables es:

La fórmula de un volumen del cilindro es 2 2; 10 ; 10V r h h V rπ π= = = . Se calcula la diferencial 20dV rdrπ= y se sustituyen los valores dados; luego:

( )( )20 20 3 0.06 11.31dV rdr dV dVπ π= ⇒ = ∴ = Por lo tanto, la cantidad aproximada de material es de 311.31m .

ALUMNO: PABLO A. LORENZANA GUTIERREZ 78. A una cúpula semiesférica con radio exterior de 5 m , se le aplica un impermeabilizante especial que tiene un espesor de 1cm . ¿Cuánto se gasta de manera aproximada (mediante diferenciales) en impermeabilizante si el litro cuesta $ 100.00 ? Calcular también la cantidad exacta que se invierte, así como el porcentaje de error que se comete al utilizar la diferencial en lugar del valor exacto. Solución. Una sección de la cúpula es:

impermeabilizante x

dr r

10

dx

Page 132: Problemario Calculus

129

La cantidad aproximada de impermeabilizante se obtiene con el incremento aproximado del volumen, que se obtiene con la diferencial del volumen. Entonces:

( ) ( )23 2 22 2 2 5 0.01 1.57083

V x dV x dx dV dV mπ π π= ⇒ = ⇒ = ⇒ = 3 31.5708 1570.8 1570.8dV m dV dm dV litros= ⇒ = ⇒ = ( ) 1570.8 100 $157,080.00G aprox = × =

Ahora se calcula el valor exacto del volumen de material de la siguiente forma:

( ) ( )3 33 3 31 2 2 1

2 25 261.7994 5.01 263.3733 ; 1.57393 3

V m y V m V V V mπ π= = = = Δ = − = 3 31.5739 1573.9 1573.9V m V dm V litrosΔ = ⇒ Δ = ⇒ Δ = ( ) 1573.9 100 $ 157,390.00G exacto = × =

El error que se comete se calcula como: ( ) ( )

( )157390 157080100 ; 100 0.2 %

157390E E EG E G A

P P PG E− −

= × = × = de error.

LOS COORDINADORES

Page 133: Problemario Calculus

130

VARIACIÓN DE FUNCIONES 1. Demostrar que la función 29204)( 2 +−= xxxf satisface el teorema de Rolle en el intervalo [ ]4,1 y determinar el o los valores que lo satisfacen. Solución. La función es derivable en cada punto de su dominio (por ser un polinomio) y es continua. Se verifica que ( ) ( )41 ff = :

( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

1 4 1 20(1) 29 33 20 13

4 4 4 20 4 29 64 80 29 13

f

f

= − + = − =

= − + = − + =

Por lo tanto se cumple con las condiciones del teorema; entonces existe [ ]4,0∈c tal que; ( )' 0f c = . Se deriva y se iguala a cero:

( ) 20 5' 8 20 ; '( ) 8 20 08 2

f x x f c c c= − = − = ⇒ = =

Por lo tanto el valor que cumple con el teorema de Rolle es [ ]5 1,42

c = ∈ .

ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN

2. Determinar si el teorema de Rolle es aplicable a las funciones dadas en el intervalo [ ]4,0 ; en caso de serlo, determinar el o los valores de x en que se verifica. De no ser aplicable, explicar por qué.

( )24)

2

−−

=x

xxxfa ; ( )24)

2

+−

=x

xxxfb

Solución. ( )24)

2

−−

=x

xxxfa es discontinua para 2=x y [ ]4,02∈ ; por ello no es aplicable el Teorema

de Rolle.

24)()

2

+−

=x

xxxfb es una función racional continua para todo valor 2−≠x , además es continua en el

intervalo [ ]4,0 , por lo tanto se satisface la primera condición del teorema de Rolle. Al derivar se obtiene

( )2

2

284)('

+−+

=x

xxxf , donde se observa que la función es derivable para todo valor 2−≠x , por lo cual es

derivable en el intervalo ( )4,0 y se cumple la segunda condición del Teorema.

Finalmente, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 0 ; 4 0 0 42 6

f a f f b f f f= = = = = = ⇒ = , se cumple la tercera condición

del teorema de Rolle, por lo cual sí es aplicable. Se iguala a cero la derivada y:

( )

212

22

2 2 3 1.464 8 4 48'( ) ; 4 8 0 ;22 2 2 3 5.46

xx xf x x x xx x

⎧ = − + ≈+ − − ± ⎪= + − = = ⇒ ⎨+ = − − ≈ −⎪⎩

Page 134: Problemario Calculus

131

Como se observa, solamente el valor [ ]1 1.46 0,4x ≈ ∈ , luego en él se cumple el teorema.

ALUMNO: PABLO LORENZANA GUTIERREZ 3. Dada la función ( ) xxxf 94 3 −= , verificar si se cumplen las condiciones del teorema de Rolle para el

intervalo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

23,

23 , determinar en qué puntos se cumple.

Solución. Por ser una función polinomial es continua y diferenciable para todos los valores; para determinar si se satisfacen las hipótesis del teorema de Rolle, falta verificar que se cumpla que ( ) ( )bfaf =

( )33 3 3 27 274 9 4 0

2 2 2 8 2f a f ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − − = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )33 3 3 27 274 9 4 0

2 2 2 8 2f b f ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∴ se cumple

Se deriva y se iguala a cero por lo que:

( ) 912´ 2 −= xxf ; ( ) 2 21 2

9 3 3 3´ 12 9 012 4 2 2

f x x x x y x= − = ⇒ = = ⇒ = − =

para este caso los dos valores están en el intervalo y se verifica en ellos el teorema: 23

1 −=c y 23

2 =c .

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ

4. Verificar que la función ( ) 22 23 +−−= xxxxf satisface las hipótesis del teorema de Rolle para [ ]2,1− , y determinar él o los valores para los cuales se verifica el teorema. Solución. La función ( ) 22 23 +−−= xxxxf es continua para toda Rx ∈ , por tanto es continua para [ ]2,1− . Se deriva la función dada y se obtiene que ( ) 2' 3 4 1f x x x= − − . Se observa que ( )'f x existe para toda Rx ∈ , y por lo tanto ( )xf es derivable en ( )1,2− . Los valores en los extremos son:

( ) ( ) ( ) ( ) 021121 23 =+−−−−−=af y ( ) ( ) ( ) ( ) 022222 23 =+−−=bf . Por lo tanto; ( ) ( )bfaf = Se determinan los valores donde la derivada se hace cero y:

01430143)(' 22 =−−⇒=−−= xxxxxf

6284

)3(2)1)(3(4)4()4( 2 ±=

−−−±−−=x ⇒

4 28 1.556

4 28 0.226

x

⎧ +≈⎪⎪= ⎨

−⎪ ≈ −⎪⎩

que son los valores para los cuales se cumple el teorema de Rolle.

ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO

Page 135: Problemario Calculus

132

5. Determinar si es aplicable el Teorema de Rolle a la función ( )816

24 xxxf −= en el intervalo [ ]2,2− , y en

caso afirmativo, obtener los valores de x donde se satisface. Solución. Para ( )f x debe cumplir con ser continua y derivable en el intervalo; y además, debe cumplir que ( ) ( )f a f b= .

Se trata de una función polinomial por lo que es continua en [ ]2,2− y derivable en ( )2,2− .

( )21

84

16162 =−=−f ; ( )

21

84

16162 =−=f ; Por lo tanto ( ) ( )22 ff =− .

De acuerdo con el teorema de Rolle debe existir por lo menos un valor [ ]2,20 −∈x tal que, ( )0' 0f x = Se deriva la función dada y se iguala a cero:

( ) ( ) ( )3 21' 0 1 0 0, 14

f x x x x x x x= − = ⇒ − = ⇒ = = ±

Como estos valores se encuentran dentro del intervalo, son los que satisfacen el teorema de Rolle.

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO 6. Determinar si es aplicable el teorema de Rolle a la función dada en el intervalo [ ]ππ 2,2− , en el caso afirmativo, determinar el o los valores de x donde se verifica el teorema. Si no es aplicable explicar por qué no lo es.

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

22 xsenxf

Solución. La función ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

22 xsenxf es continua para toda Rx ∈ ; por lo tanto es continua para

[ ]ππ 2,2− .

La derivada es ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2cos

21

2cos2)(' xxxf , en donde ( )xf ' existe para toda Rx ∈ ; por lo tanto

( )xf es derivable en ( )ππ 2,2− . Además:

( ) ( ) ( ) 0022222 ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=

ππ senfaf y ( ) ( ) ( ) 0022

222 ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==ππ senfbf

por lo tanto: ( ) ( )bfaf = . Se buscan los valores donde la derivada se hace cero:

( ) 02

cos' =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xxf ⇒ ( )0cos2angx = ⇒ ⎩⎨⎧−

πx

valores para los cuales se cumple el teorema de Rolle.

ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO

Page 136: Problemario Calculus

133

7. Investigar si se cumplen las condiciones del teorema de Rolle para la función:

( )⎩⎨⎧

≥−<−

=132122

si xx si xxxf

en el intervalo ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

25,2 ; si es así, determinar el o los valores de x para los cuales se satisface el teorema.

Solución. Las funciones polinomiales son continuas en ; se analiza el punto con 1=x , que es donde podría presentarse discontinuidad; tenemos:

( ) ( ) 13121 −=−=f ; ( ) 132limlim11

−=−=+→→

xxx

y ( ) 12lim 2

1−=−

−→x

x ∴ ( ) ( )1lim

1fxf

x=

por lo tanto es continua en el intervalo: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

25,2 .

Se determina si la función es derivable: Por la izquierda: ( ) ( ) ( )2 ' '2 2 1 2f x x f x x f− −= − ⇒ = ⇒ = Por la derecha: ( ) ( ) ( )' '2 3 2 1 2f x x f x f+ += − ⇒ = ⇒ =

Luego ( ) ( )' 'f x f x+ −= , por lo que es derivable en ; por tanto derivable en el intervalo 52,2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Para que cumpla con las condiciones del teorema de Rolle se debe cumplir que ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

252 ff

( ) ( ) 2222 2 =−−=−f y 23252

25

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛f ; por lo tanto ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−

252 ff .

Entonces por el teorema de Rolle, existe ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈

25,2c , tal que; ( ) 0' =cf ; se deriva la función dada y:

( ) 2 1'

2 1x si x

f xsi x

<⎧= ⎨ ≥⎩

; ( ) 002' =⇒== cccf

Por lo tanto, el valor donde la derivada ( ) 0' =cf es en 0=x , que pertenece al intervalo dado.

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 8. Dada la función ( ) xxxxf 35 23 −−= verificar que es aplicable el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial para el intervalo [ ]1, 3 . Solución. Como la función es continua en el intervalo dado y su derivada existe en cualquier punto del intervalo (ya que se trata de una función polinomial), por el teorema del valor medio, existe un valor c en el intervalo dado, tal que:

( ) ( ) ( )'f b f a

f cb a−

=−

, es decir,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 23 1 3 5 3 3 3 1 5 1 3 1 20' 103 1 2 2

f ff c

− − − − + + −= = = = −

Page 137: Problemario Calculus

134

Se deriva la función dada para obtener el valor c que satisface ( )' 10f c = − ;

( ) 2 2 10 100 84' 3 10 3 10 3 10 7 06

f c c c c c c ± −= − − = − ⇒ − + = ⇒ =

1 1 2 210 4 7 10 4 1

6 3 6c c y c c+ −= ⇒ = = ⇒ =

Ambos valores pertenecen al intervalo por lo que en ambos se cumple el torema.

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ 9. Investigar si la siguiente función cumple las condiciones del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial y en caso afirmativo, decir en qué puntos del intervalo se cumple.

( ) [ ]1 ; 2,5f x x= + − Solución. Se trata de una función algebraica cuya domino está dado por: [ )1 0 1,fx D− ≥ ⇒ = ∞ y, como las funciones algebraicas son continuas en su dominio, entonces es continua en el intervalo [ ]2,5 fD⊂ . También es posible afirmar, dadas las condiciones de la función, que es la parte superior de la parábola

2 1y x= − , que es derivable en el intervalo ( )2,5 . Entonces cumple las condiciones del teorema y debe

existir cuando menos un valor " "α , en el intervalo, para el cual se cumpla que: ( ) ( ) ( )'f b f a

fb a

α−

=−

Se obtienen los valores de α correspondientes a esta expresión:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13 ; 5 1 2 2 1 13

f b f ab a f b f b y f a f a

b a−

− = = + − ⇒ = = + − ⇒ = ⇒ =−

( ) 1 1 1 9 13' ; 2 1 3 1 3.253 4 42 1 2 1

f α α α αα α

= = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = =− −

Por lo tanto el teorema se cumple para [ ]3.25 2,5α = ∈

LOS COORDINADORES 10. Determinar para qué puntos la curva definida por ( ) xxxxf 96 23 +−= tiene máximos y/o mínimos, así como el valor de éstos. Solución. Se determinan los valores para los cuales la primera derivada de la función es igual a cero.

( ) 2 2 23 12 9 3 12 9 0 4 3 0f x x x x x x x′ = − + ⇒ − + = ⇒ − + = ( )( ) 13013 21 ==⇒=−− xyxxx

Estos valores se sustituyen en la función original a fin de determinar las coordenadas de los puntos críticos. ( ) ( ) ( ) ( ) 0275427393633 23 =+−=+−=f y ( ) ( ) ( ) ( ) 4961191611 23 =+−=+−=f

Con lo que se tiene: ( ) ( )1 23, 0 1, 4P y P

Page 138: Problemario Calculus

135

Para cada punto se tomará un valor de x anterior y uno posterior con el fin de ver los cambios de signo en el valor de la derivada. Para 31 =x se toma 2=x y 4=x :

( ) ( ) ( )2' 2 3 2 12 2 9 12 24 9 3f = − + = − + = − y ( ) ( ) ( )2' 4 3 4 12 4 9 48 48 9 9f = − + = − + = Por lo que para ( )1 3, 0P la función tiene un mínimo relativo. Para 12 =x se toma 0=x y 2=x :

( ) ( ) ( )2' 0 3 0 12 0 9 9f = − + = y ( ) ( ) ( )2' 2 3 2 12 2 9 12 24 9 3f = − + = − + = − Por lo que para ( )2 1, 4P la función tiene un máximo relativo.

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS 11. Determinar, por el método de la primera derivada, los máximos y mínimos de la función:

( )3 2

6 83 2x xf x x= − − −

Solución. Derivando la función dada e igualando a cero para obtener los puntos críticos:

( ) 2' 6f x x x= − − ; ( )( ) 2,302306 212 −==⇒=+−⇒=−− xxxxxx

Para determinar la naturaleza de los puntos críticos, se obtiene el signo de la derivada en el entorno de dichos puntos. Así:

Para 1x 3= ;( )( )

' 2 4 2 6 4' 4 16 4 6 6

ff

= − − = −

= − − = ; por lo que en 1x 3= se tiene un valor mínimo.

Para 2 2x = − ;( )( )

' 3 9 3 6 6' 1 1 1 6 4

ff

− = + − =

− = + − = − ; por lo que en 2 2x = − se tiene un valor máximo.

Para estos puntos críticos la función toma los siguientes valores:

( )2

4381829

3273 −=−−−=f , por lo que el mínimo relativo se encuentra en el punto ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

243,31P .

( )32812

24

382 −=−+−−=−f , por lo que el máximo relativo se encuentra en el punto 2

22,3

P ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

12. Para la función ( ) 123 +−+= xxxxf , determinar los extremos absolutos con el criterio de la primera derivada. Trazar la gráfica de la función. Solución. La función dada es continua en todo su dominio; se obtiene su derivada y se iguala a cero para obtener sus puntos críticos:

( ) ( )( )21 2

1' 3 2 1 0 3 1 1 0 , 13

f x x x x x x x= + − = ⇒ − + = ⇒ = = −

Se sustituyen estos valores en la función dada con lo que se obtiene:

Page 139: Problemario Calculus

136

27221

31

31

31

31 23

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛f ; ( ) ( ) ( ) ( ) 211111 23 =+−−−+−=−f ;

( )

1

2

1 2 2,3 2 7

1, 2

P

P

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠− −

Para ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2

22

2 ' 2 3 2 2 2 1 7 > 01 ; 1, 2

0 ' 0 3 0 2 0 1 1< 0

x fx P

x f

= − ⇒ − = − + − − == − ∴ − −

= ⇒ = + − = − ( rM , máximo relativo)

Para ( )( ) ( ) ( ) 12

0 ' 0 1< 01 1 22; ,3 3 271 ' 1 3 1 2 1 1 4 > 0

x fx P

x f

= ⇒ = − ⎛ ⎞= ∴ ⎜ ⎟= ⇒ = + − = ⎝ ⎠

( rm , mínimo

relativo)

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ 13. Sea la función ( ) ( )( )3 221 −−= xxxf . Determinar los intervalos en que es creciente y decreciente, así como los valores donde hay máximos y mínimos.

y

x

rM

rm

Page 140: Problemario Calculus

137

Solución. Se deriva la función dada:

( )( )( ) ( )( ) ( )

22 231 2 2 1 2 2

'3

x x x x xf x

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇒ ( )

( )( ) ( )

( )( )

2

223

2 1 2 2'

3 1 2

x x xf x

x x

⎡ ⎤− − + −⎣ ⎦=⎡ ⎤− −⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )2 23 3

2 1 2 2 2 2 2' '2 3 1 2 3 1 2

x x x x xf x f xx x x x x

⎡ − + − ⎤ − − + −⎣ ⎦= ⇒ =− − − − −

⇒ ( )( ) ( )23

3 4'3 1 2

xf xx x

−=

− −

Se iguala a cero ( )'f x para obtener los valores críticos:

( )( ) ( )23

3 4' 03 1 2

xf xx x

−= =

− − ; ⇒=⇒=− 43043 xx

34

=x

Si se iguala a cero el denominador, se llegaría a valores donde la derivada no existe, que también puede conducir a puntos críticos y a extremos relativos. Así

( ) ( ) ( ) ( )2 231

3 1 2 0 1 2 02

xx x x x

x=

− − = ⇒ − − = ⇒=

Por lo tanto los puntos críticos son: 234,1 321 === xyxx

Se analizan los intervalos donde la función es creciente o decreciente

Intervalo 43 −x ( )21−x 2−x ( )'f x Creciente o decreciente

( )1,∞− − + − + Creciente 41,3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

− + − + Creciente

4 , 23

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + − − Decreciente

( )∞,2 + + + + Creciente

Por lo tanto, la función es creciente en ( )4, 2,3

y⎛ ⎞−∞ ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

, y decreciente en 4 , 23

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Para 1=x la función no tiene máximo ni mínimo.

Para 43

x = la función tiene un máximo relativo en el punto 34 4,

3 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Para 2=x la función tiene un mínimo relativo en el punto ( )2,0

ALUMNA: IRENE MONTSERRAT RUBALCABA

14. Obtener los valores máximos y mínimos de la función ( ) ( )8232

−= xxxf , mediante el criterio de la primera derivada. Trazar la gráfica de la función. Solución. Se deriva la función dada, se iguala a cero o bien se determina para qué valores no existe; se obtiene:

Page 141: Problemario Calculus

138

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 2

23 31 13 3

6 2 82 8 16' 2 8 ' '3 3 3

x x xx x x x f x f xf xx x

− + −⎛ ⎞ −+ − ⇒ = ⇒ == ⎜ ⎟

⎝ ⎠

22

3

8 16 0 8 16 0 23x x x

x−

= ⇒ − = ⇒ = ± ; 2

33

8 16 0 3 0 03x x x

x−

= ⇒ = ⇒ =

Los valores críticos son 1 2 ; 0 ; 2x x x= − = = y sus correspondientes valores de la función son:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 12

33 32 2 2 2 8 2 2 2 8 2 6 2 7.56x f f f⎡ ⎤= − ⇒ − = − − − ⇒ − = − ⇒ − = − ≈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2

230 0 0 0 8 0 0x f f= ⇒ = − ⇒ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 12

33 32 2 2 2 8 2 2 2 8 2 6 2 7.56x f f f⎡ ⎤= ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ≈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

Se analizan los intervalos siguientes para ver si la función es creciente o decreciente en ellos:

( )2−∞− , ; ( ) ( )( )

( ) ( )2

13

8 8 16 496 248' 8 ' 8 ' 86 33 8

f f f− −

− = ⇒ − = ⇒ − = − ∴−−

es decreciente

( )02,− ( ) ( )( )

( ) ( )2

13

8 1 16 8 8; ' 1 ' 1 ' 13 33 1

f f f− − −

− = ⇒ − = ⇒ − = ∴−−

es creciente

( )20, ( ) ( )( )

( ) ( )2

13

8 1 16 8 8; ' 1 ' 1 ' 13 33 1

f f f− −

= ⇒ = ⇒ = − ∴ es decreciente

( )2 ;, ∞ ( ) ( )( )

( ) ( )2

13

8 8 16 496 248' 8 ' 8 ' 86 33 8

f f f−

= ⇒ = ⇒ = ∴ es creciente

Por lo tanto la función tiene un mínimo relativo en ( )1.414, 7.56− − , un máximo relativo (en forma de pico) en ( )0,0 y un mínimo relativo en ( )1.414, 7.56− .

ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN

rM

rm rm

Page 142: Problemario Calculus

139

15. Mediante el criterio de la primera derivada, determinar los máximos y mínimos de la función:

( )4 13 34f x x x= +

Solución. Se deriva la función dada:

( ) ( ) ( )1 2 13 3 3

2 3 23

4 4 4 4 4 4' ' '3 3 3 33

xf x x x f x x f xxx

− += + ⇒ = + ⇒ =

( )3 2

4 4' 0 0 4 4 0 13xf x x x

x+

= ⇒ = ⇒ + = ⇒ = −

( ) 3 23 2

4 4' ; 3 0 03xf x x x

x+

→ ∞ ⇒ → ∞ = ⇒ =

Por lo que 1 0x y x= − = dan origen a los puntos críticos ( ) ( )1, 3 0,0P y Q− −

Análisis en ( )( )

( )2 ' 2 < 0

1, 3 ; 1, 31 1' > 02 2

r

x fP m

x f

⎧ = − ⇒ −⎪− − ∴ − −⎨ ⎛ ⎞= − ⇒ −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

Análisis en ( )( )

1 1' > 02 20,0 ;1 ' 1 > 0

x fQ

x f

⎧ ⎛ ⎞= − ⇒ −⎪ ⎜ ⎟ ∴⎝ ⎠⎨⎪ = ⇒⎩

no hay extremos

Por lo que en ( )3,1 −−P hay un mínimo relativo.

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 16. Obtener los valores críticos de la función ( ) cosf β β β= + y determinar si hay un máximo o mínimo absoluto en el valor de 0β = . Solución. Como βcos y β son derivables en { }0− , entonces la función f no es derivable en 0 . Por lo que en ese valor se presenta un punto crítico. La derivada es igual a: Para ( ) ( )0 ; ´ cos ' 1f senβ β β β β> = + = − + Pero para ( ) ( )0 ; ´ cos ' 1f senβ β β β β< = − = − −

De donde ( )' 0 ; 1 0 1 0 1f sen ó sen senβ β β β= − + = − − = ⇒ = ± ∴ 2 ;2

n nπβ π= ± + ∈

Por lo tanto los puntos críticos son: 0 2 ;2

y n nπβ β π= = ± + ∈

Se analiza el signo de la derivada antes y después del valor 0β = y se tiene que:

' < 0 ' > 04 4 4 4

f y fπ π π πβ β⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⇒ − = ⇒ ∴⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

mínimo relativo ( )0,1

Page 143: Problemario Calculus

140

Y como 2 2 >1 ;2 2

f n n nπ ππ π⎛ ⎞± + = ± + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

, esto demuestra que ( ) 10 =f es un mínimo absoluto.

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA

17. Determinar los máximos y mínimos de la función ( )⎩⎨⎧

≤−<−

=θθ

θθθ

38342

sisif .

Solución. Se deriva y se tiene que:

( ) 2 3'

1 3si

fsi

θ θθ

θ<⎧

= ⎨− ≤⎩

Se obtienen los puntos críticos; ' 0f = cuando 0=θ ; por lo tanto, en cero hay un punto crítico de f .

Como ( ) ( )' '3 6 3 1f y f− += = − , ( )' 3f no existe, por lo que en 3θ = hay un punto crítico de f . Se aplica el criterio de la primera derivada y el resultado se resume en la siguiente tabla.

Intervalo y puntos ( )f θ ( )'f θ Característica ( ),0−∞ − Decreciente

0θ = 4− 0 Mínimo local ( )0, 4−

( )0,3 + Creciente 3θ = 5 No existe Máximo local ( )3,5

( )3,∞ − Decreciente

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA 18. Determinar los valores extremos absolutos de la función ( ) 23121 ααα −+=f en el intervalo [ ]4,1− . Solución. La función f es derivable en { }0− , porque α no es derivable en 0=α . Esto demuestra que 0 es un valor crítico. También 1 4y− son valores críticos porque son puntos extremos del intervalo, donde pudiera presentarse un máximo o un mínimo absoluto. La derivada está dada por:

( ) ( ) ( ) ( )2 2' 1 12 3 ' 12 6 0 ' 1 12 3 ' 12 6 0f si y f siα α α α α α α α α α= + − = − > = − − = − − < de donde 22 21 =−= αα y El conjunto de valores críticos es { }2,4,1,0 − , porque 2− está excluido del dominio dado de f . Se evalúa la función en cada punto crítico y: ( ) ( ) ( ) ( )0 1 ; 1 10 ; 4 1 2 13f f f y f= − = = =

Por lo tanto se tiene el máximo absoluto en ( )2,13 y los mínimos absolutos en ( ) ( )0,1 4,1y .

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA

Page 144: Problemario Calculus

141

19. Determinar los máximos y mínimos de la función ( ) 2 2 3f x x x= − − . Graficar los resultados obtenidos. Solución. Cabe recordar cómo se calcula la derivada de la función valor absoluto. Considérese la función siguiente:

( ) 2 22

; ; dy u du dy u duy u u f x u u y udx dx dx u dxu

= = = ⇒ = ⇒ = ∴ =

Si se aplica esto a la función dada, entonces la derivada está dada por:

( ) ( ) ( )( )( )2

2

12 3' 2 2 ; 1 3 2 2 0 12 3 3

xx xf x x x x x xx x x

= −⎧− − ⎪= − + − − = ⇒ =⎨− − ⎪ =⎩

( ) ( ) ( )1 1 0 ; 1 1 4 ; 3 3 0x f x f x f= − ⇒ − = = ⇒ = = ⇒ = Luego, los puntos críticos son: ( ) ( ) ( )1,0 ; 1,4 ; 3,0− Se utiliza el criterio de la primera derivada para analizar la naturaleza de los puntos críticos y se llega a:

Para ( )( )

2 ' 2 <01 ;

0 ' 0 >0x f

xx f

⎧ = − ⇒ −⎪= − ∴⎨ = ⇒⎪⎩mínimo relativo ( )1,0−

Para ( )( )

0 ' 0 >01 ;

2 ' 2 <0x f

xx f

⎧ = ⇒⎪= ∴⎨ = ⇒⎪⎩Máximo relativo ( )1,4

Para ( )( )

2 ' 2 <03 ;

4 ' 4 >0x f

xx f

⎧ = ⇒⎪= ∴⎨ = ⇒⎪⎩mínimo relativo ( )3,0

La gráfica de la función con los extremos se muestra a continuación:

LOS COORDINADORES 20. Para la función definida por ( ) 3 2 1f x x x= − + , obtener los puntos críticos y determinar la naturaleza de los mismos.

y

x

( )1,4Mr

( )1,0mr − ( )3,0mr

Page 145: Problemario Calculus

142

Solución. Se deriva la función y se iguala a cero:

( ) ( )21 2

2' 3 2 0 3 2 0 03

f x x x x x x y x= − = ⇒ − = ⇒ = =

Se evalúan los valores encontrados en la función dada:

( ) 3 20 0 0 1 1f = − + = y 3 22 2 2 1 0.85185

3 3 3f ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Por lo cual, los puntos críticos son: ( )1 220, 1 , 0.851853

P y P ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Por el criterio de la segunda derivada se tiene: ( )'' 6 2f x x= −

( ) ( )'' 0 6 0 2 2 0f = − = − < , por lo tanto, en el punto ( )1 0, 1P se tiene un valor máximo. 2 2'' 6 2 2 03 3

f ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, por lo tanto, para el punto 22 , 0.851853

P ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

se tiene un valor mínimo.

ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA

21. Para la función definida por ( ) 4 28 7f x x x= − + , obtener los puntos críticos, así como los máximos y mínimos relativos, mediante el criterio de la segunda derivada. Solución. Se deriva la función y se iguala a cero:

( ) ( ) ( )( )3 3 2' 4 16 0 4 0 4 0 2 2 0f x x x x x x x x x x= − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ + − = Los valores de x que anulan la derivada son:

1 2 32 ; 0 ; 2x x x= − = = Se evalúan en la función dada obteniendo:

( ) ( ) ( )4 22 2 8 2 7 9f − = − − − + = − ; ( ) ( )240 0 8 0 7 7f = − + = ; ( ) ( )242 2 8 2 7 9f = − + = − Por lo tanto, los puntos críticos son: ( ) ( ) ( )1 2 32, 9 ; 0, 7 2, 9P P y P− − − Por el criterio de la segunda derivada se tiene:

( ) 2'' 12 16f x x= − Entonces: ( ) ( )2'' 2 12 2 16 32 0f − = − − = > ∴ el punto ( )1 2, 9P − − corresponde a un mínimo relativo.

( ) ( )2'' 0 12 0 16 16 0f = − = − < ∴ el punto ( )2 0, 7P corresponde a un máximo relativo.

( ) ( )2'' 2 12 2 16 32 0f = − = > ∴ el punto ( )3 2, 9P − corresponde a un mínimo relativo.

ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA 22. Sea ( ) 2 412 2f x x x= + − . Usar el criterio de la segunda derivada para determinar los máximos y mínimos relativos de f .

Page 146: Problemario Calculus

143

Solución. Se obtienen la primera y segunda derivadas y:

( ) ( )3 2' 4 4 4 1f x x x x x= − = − Y ( ) ( )2 2'' 4 12 4 1 3f x x x= − = − Se emplea la expresión de 'f para obtener los valores críticos que resultan ser: 0 , 1 y 1− . Los valores de ''f en estos números son:

( )'' 0 4 0f = > ; ( )'' 1 8 0f = − < ; ( )'' 1 8 0f − = − < Los valores correspondientes de la función son ( )0 12f = , ( )1 13f = y ( )1 13f − = . Por el criterio de la segunda derivada, la función tiene un mínimo relativo en ( )0,12 y dos máximos relativos en

( ) ( )1,13 1,13y − .

ALUMNA: DANIELA IVETTE GARCÍA RUBÍ 23. Obtener los máximos y mínimos de la función con el criterio de la segunda derivada.

( ) cosf x senx senx x= +

Solución. Derivando la función dada:

( ) ( )( ) ( )( ) 2 2' cos cos cos cos cosf x x senx senx x x x sen x x= + − + = − +

( ) ( )2 2 2' cos 1 cos cos 2cos cos 1f x x x x x x= − − + = + +

( ) 2' 0 2cos cos 1 0f x x x= ⇒ + + = Realizando el cambio de variable cosu x= :

( )( )2 1 1 4 2 1 1 32 1 04 4

u u u− ± − − − ±

+ − = ⇒ = = ; 1 21 12

u y u= = −

con 11 1 cos 2 2 3

u x x π= ⇒ = ⇒ = y con 2 1 1 cos u x x π= − ⇒ − = ⇒ = .

Sustituyendo los valores de x en la función para obtener sus correspondientes ordenadas, tenemos:

3 3 1 3 3cos3 3 3 3 2 2 2 4

f sen senπ π π π⎛ ⎞ = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

, el punto crítico es 13 3,

3 4P π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

( ) cos 0f sen senπ π π π= + = , el punto crítico es ( )2 , 0P π

Por el criterio de la segunda derivada:

( ) ( ) ( )'' 4cos 4cos 4cos 1f x x sen x sen x xsen x sen x sen x x= − − = − − = − + Evaluando los puntos críticos en la segunda derivada:

3 1 3 3'' 4 cos 1 4 1 03 3 3 2 2 2

f senπ π π ⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − + = <⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠, se trata de un valor máximo.

Page 147: Problemario Calculus

144

( ) ( )'' 4 cos 1 0f senπ π π= − + = , por lo tanto se tiene un posible punto de inflexión, no es máximo ni mínimo.

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 24. Determinar, por el método de la segunda derivada, los máximos y mínimos de la función dada y graficarla:

( )8232

−= xxy Solución. Se obtiene la primera y segunda derivada de la función:

8 2 5 1 2 43 3 3 3 3 38 16 40 168 ; ' ''

3 3 9 9y x x y x x y y x x

− −= − = − = +

Para determinar los puntos críticos, se hace 0y'= ; 25 2

311 133 3

8 16 0 2 28 16 8 160 0 ;3 3 0 03 3

x x y xxxx xx x

⎧ − = ⇒ = − =− ⎪− = ⇒ = ⎨⎪ = ⇒ =⎩

Los valores de la función para estos resultados son los siguientes:

Para ( ) ( )8 23 32 1.4142 8 1.4142 2.52 10.08 7.56x y= − ⇒ = − − − = − = −

Para ( ) ( )8 23 32 1.4142 8 1.4142 2.52 10.08 7.56x y= ⇒ = − = − = −

Por el criterio de la segunda derivada:

( ) ( )( )

23

43

40 16'' 2 1.4142 5.6 1.12 6.72 09 9 1.4142

y = + = + = > ∴ se trata de un mínimo.

( ) ( )( )

23

43

40 16'' 2 1.4142 5.6 1.12 6.72 09 9 1.4142

y − = − + = + = > ∴−

se trata de un mínimo.

Para el caso en que 0x = , y' y 'y' no existen. Se utiliza el método de la primera derivada y:

Para 81 '3

x y= − ⇒ = (positivo) y para 81 '3

x y= ⇒ = − (negativo)

Luego en 0x = se tiene un máximo relativo en forma de “pico”. Por lo que su gráfica es:

Page 148: Problemario Calculus

145

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

25. Obtener dos números positivos cuya suma sea 120 , de tal manera que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. Solución. El producto 2P ab= debe ser máximo. De los datos del problema se tiene: 120=+ ba ⇒ ba −= 120 Se sustituye el valor de " "a en el producto, se deriva éste y se iguala a cero, de donde:

( ) ( )2 2 3 2 0120 120 ; 240 3 ; 3 80 0

80bdPP b b P b b b b b b

db b=⎧

= − ⇒ = − = − − = ⎨ =⎩

El valor de 0b = no tiene sentido ya que el producto es nulo, luego, para el valor 80b = , la segunda derivada y su signo son:

( )2 2

2 280

240 6 ; 240 6 80 240<0b

d P d Pbdb db

=

= − = − = − ∴ máximo relativo

Por lo tanto: 4012080 =−=⇒= bab

ALUMNA: IRENE MONTSERRAT RUBALCABA 26. La reacción a dos drogas como función del tiempo (horas) está dada por:

( ) ( ) xx xexRyxexR 2

21−− ==

Determinar cuál tiene la reacción máxima.

rm rm

x

rM

y

Page 149: Problemario Calculus

146

Solución. Para ( ) xxexR −=1 , se obtienen las dos primeras derivadas y: ( )1 ' x xR x xe e− −= − + = ( )1xe x− −

( ) ( )1 '' 1 x xR x x e e− −= − − − = ( )[ ]11 +−− − xe x = ( )xe x −− − 2 Se iguala la primera derivada a cero para obtener los puntos críticos

(1 ) 0 1xe x x− − = ⇒ = se sustituye ese valor en la segunda derivada y se tiene que:

( ) ( )11 '' 1 2 1 0.36788R e−= − − = − valor que como es negativo se concluye que hay un máximo

Para ( ) xxexR 2

2−= , derivando se obtiene:

( ) 2 22 ' 2 x xR x xe e− −= − + ( )2 'R x⇒ = )21(2 xe x −−

( ) ( ) ( )2 22 2'' 2 1 2 2 ''x xR x x e e R x− −= − − − ⇒ = ( )[ ]1212 2 +−− − xe x ( )2 ''R x⇒ = )44(2 −− xe x

Se iguala la primera derivada a cero para obtener los puntos críticos

( )2 1 2 0xe x− − =12

x⇒ =

Se sustituye ese valor en la segunda derivada y se tiene que:

( )12

1'' 2 4 0.735762

R e−⎛ ⎞ = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

valor que como es negativo se concluye que hay un máximo

Se evalúan ( ) ( )1 2R x y R x en sus respectivos valores obtenidos y se llega a:

( ) ( )12

1 21 2

1 1 1 11 1 1 ;2 2 2

R e R R ee e

⎛ ⎞− ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎛ ⎞= ⋅ ⇒ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Por lo tanto 1R tiene la reacción máxima

ALUMNA: IRENE MONTSERRAT RUBALCABA 27. Una empresa de computadoras calcula que el costo semanal de producir x computadoras personales, está dado por ( ) 500803 23 +−−= xxxxC . Cada computadora producida se vende en 2,800 dólares. Determinar la producción mensual que rendirá las máximas utilidades y la mayor ganancia posible por semana. Solución. Los ingresos están dados por la función ( ) 2800G x x= y la función de utilidades U está dada por la diferencia entre los ingresos y los costos ( ) ( ) ( )xCxGxU −= Es decir ( ) ( )3 2 3 22800 3 80 500 3 2880 500U x x x x x x x x= − − − + = − + + − Al derivar la función de utilidades se obtendrán los puntos críticos de U para obtener la ganancia máxima, por lo que se tiene:

( ) 2' 3 6 2880U x x x= − + + Ahora se iguala la derivada a cero para obtener los puntos críticos:

( ) ( )2' 3 2 960 0U x x x= − − − = ; ( )( )2 2 960 32 30 0x x x x− − = − + = Los puntos son 301 −=x y 322 =x . Se toma el resultado positivo debido a que el negativo no es posible. Se evalúa el resultado en la segunda derivada para verificar que efectivamente es el máximo:

( )'' 6 6U x x= − + , al evaluar resulta que: ( )'' 32 176U = −

Page 150: Problemario Calculus

147

Dado que el resultado es negativo se confirma que se tiene un máximo. Las 32 computadoras que se producen semanalmente hacen que se obtenga la siguiente máxima ganancia por semana: ( )32 61,964U = Dólares. Pero la producción mensual deberá de ser cuatro veces la semanal, por lo que se tiene una producción de 128 computadoras personales al mes

ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ 28. Se quiere construir una caja cuadrada, de acuerdo al diseño mostrado, Determinar cuánto debe medir cada corte para que el volumen de la caja sea máximo.

Solución. De la figura mostrada se tiene que el volumen de la caja es:

( ) ( ) ( )( )2 2 2 310 2 100 40 4 100 40 4V x x V x x x V x x x= − ⇒ = − + ⇒ = − + Se deriva y se iguala acero:

( )( )2 2 2' 12 80 100 12 80 100 0 3 20 25 5 3 5 0V x x x x x x x x= − + ⇒ − + = ⇒ − + = − − =

Por lo tanto 1 2553

x y x= =

Se calcula la segunda derivada de V y se sustituyen los valores de x para determinar su naturaleza: ( )'' 24 80 ; '' 5 40>0V x V= − = ∴ mínimo relativo. No es el valor buscado.

5 5'' 24 80 40<03 3

V ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − ∴⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

máximo relativo (volumen máximo).

Por lo tanto 53

x cm= debe medir cada corte para que el volumen de la caja sea máximo

ALUMNA: IRENE MONTSERRAT RUBALCABA 29. Se debe construir un recipiente metálico en forma de cilindro circular recto, con 364 cm de volumen. Calcular sus dimensiones para que la cantidad de metal requerido para su construcción sea mínima: )a para el recipiente sin tapa y )b para el recipiente con tapa. Solución. A continuación se muestra el modelo geométrico:

10 cm

10 cm

x

x

Page 151: Problemario Calculus

148

)a Recipiente sin tapa: hrV 2π= ⇒ 22

64rr

Vhππ

==

El área de la lata sin tapa, que es la cantidad de material, es igual a: hrrA ππ 22 += Se sustituye el valor de h , se tiene que:

2 22

64 1282A r r A rr r

π π ππ

⎛ ⎞= + ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Para obtener el área mínima, que equivale a cantidad mínima de material, se deriva con respecto a r y se iguala a cero. Así,

2128' 2A rr

π= − ⇒3

22 128' 0rA

rπ −

= = ⇒ 7311.2=r y ( )

7311.27311.264

2 ==π

h

Para este valor de " "r , la derivada segunda determina la naturaleza. Así: ( ) ( )( )2 2 3 4

4 4 2.7311

6 2 128 2 2 256'' '' ; '' >0r

r r r r r rA A Ar r

π π π=

− − += ⇒ = ∴

mínimo relativo 2.73112.7311

r cmh cm=⎧

⎨ =⎩

)b Para el recipiente con tapa: hrV 2π= 2 264;Vh h

r rπ π⇒ = =

El área de la lata con tapa es igual 22 2A r r hπ π= + Se sustituye h y se tiene que:

( )2 22

64 1282 2 ' 2A r r A rr r

π π ππ

= + ⇒ = +

Se deriva con respecto a r y se iguala a cero:

2128' 4A rr

π= − ⇒3

24 128' 0rA

rπ −

= = ; 1677.2=r y ( )

3354.41677.264

2 ==π

h

La segunda derivada es: ( ) ( )( )2 2 3 4

4 4 2.1677

12 4 128 2 4 256'' '' ; '' >0r

r r r r r rA A Ar r

π π π=

− − += ⇒ = ∴

mínimo relativo 2.16774.3354

r cmh cm=⎧

⎨ =⎩

ALUMNA: IRENE MONTSERRAT RUBALCABA

r

h

Page 152: Problemario Calculus

149

30. Se desea construir una caja de 3108 dm de volumen sin tapa y de base cuadrada. Determinar las dimensiones que debe de tener dicha caja para que la cantidad de material ocupado en su construcción sea mínima.

Solución. Primero se debe determinar la función a minimizar; en este caso será la función que define el área total de las caras de la caja. El área de la base queda definida por: 2xAbase = Ahora se determinará el área de una de las caras de la caja. Primero se necesita el valor de la altura y en función del lado de la base x .

222 108

xxVyyxV ==⇒= ;

xxxAcara

1081082 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Finalmente el área de la caja es:

( ) ( )x

xxAx

xAAxA TcarabaseT43210844 22 +=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=+=

A continuación se busca el valor de x para el cual la función anterior es mínima:

( ) ⇒=⇒=⇒=−⇒−=′2

4324322043224322 3222 x

xx

xx

xxxAT dmx 62163 ==

Ahora se verificará si este valor corresponde a un mínimo:

( ) ( )( )

( ) 066422168642

6864268642 33 >′′⇒=+=+=+=′′⇒+=′′ TTT AA

xxA

Por lo tanto con dmx 6= se tiene el área mínima. Ahora se obtendrá el valor de y .

( )dmy 3

36108

6108

2 ===

Con lo cual el área mínima es de: ( ) 22min 1087236

64326 dmAT =+=+=

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS

xx

y

Page 153: Problemario Calculus

150

31. Los puntos A y B están en la riveras opuestas de un rió de km3 de ancho. El punto C esta en la misma rivera que B , pero 4 km a la derecha de B . Telmex quiere tender cable telefónico de A a C , pero es 50 % más caro el cable que va por debajo del agua que el superficial. Determinar la ruta más económica, así como el precio total del cableado si el cable que va por debajo del agua cuesta $200,000 por km y $100,000 el superficial.

Solución. De los datos que proporciona el problema se tiene que: P será el punto de la rivera donde el cable pasa de acuático a superficial y estará a x km de B , y a ( )4 x km− de C . El costo ( )xC del cable está dado por:

( ) ( )2200000 9 100000 4C x x x= + + −

Al derivar se encuentra que: ( )2

200000' 1000009

xC xx

= −+

Se iguala la derivada a cero para determinar los puntos críticos: 2 2

2

200000 100000 0 200000 100000 9 2 99

x x x x xx

− = ⇒ = + ⇒ = ++

2 2 2 2 22 9 4 9 3 9 3x x x x x x= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = Por lo tanto los puntos críticos están en:

1 23 1.732 3 1.732x y x= = − − La respuesta negativa no daría sentido al problema, por lo tanto en 1 1.732x se tendrá el mínimo costo que es de:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21.73 200000 9 1.73 100000 4 1.73 200000 3.463 100000 2.27C = + + − = + ∴ ( ) $ 919,600C x Por lo tanto el puntoP esta a 1.73 km de B , y el costo del cableado será de $ 919,600 aproximadamente.

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ 32. Un campo rectangular a la orilla del río debe ser cercado. Del lado del río no es necesaria ninguna reja pero de su lado opuesto la reja cuesta 120$ por metro. En los lados perpendiculares al río cuesta sólo 80$ por

A

B C

3

x P4

Page 154: Problemario Calculus

151

metro. Si se tienen 000,36$ pesos y se nos dice que todo lo que cerquemos será nuestro, determinar el máximo terreno rectangular que podemos cercar con ese dinero.

Solución. Sea " "x el lado perpendicular al río y " "y el lado paralelo al río, el área del terreno está dada por: A xy=

El costo de la cerca es: xxyyxx34300

12016036000360001208080 −=

−=⇒=++ . Se sustituye el valor

de y en la ecuación del área y se tiene que: ( ) 2

34300

34300 xxxxxA −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Hay que determinar el valor para el cual el área es máxima, por lo tanto se deriva la expresión del área y se

iguala a cero, de donde: ( ) 8 8 900' 300 0 300 112.53 3 8

A x x x x m= − = ⇒ = ⇒ = = , valor que

pertenece al punto crítico. Y como la segunda derivada es: ( ) 8'' <03

A x = − , entonces el, área es máxima.

Con lo cual 4 900300 300 150 1503 8

y ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

El terreno que se puede cercar es de 112.5 150m m× y un área de ( )( ) 2168751505.112 mÁrea ==

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ 33. Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un círculo de cm5 de radio. Solución. Obsérvese la siguiente figura:

Si x es la base del rectángulo, su altura y es igual a: 2100y x= −

x

y10

y

x x

Page 155: Problemario Calculus

152

Por lo que su área está dada por 2100A x x= − , que será la función ( )f x que se pretende maximizar. Luego

( ) 2100f x x x= − ; ( ) ( )2

22 2

100 2' 100 ´100 100

x xf x x x f xx x

− −= + − ⇒ =

− −

( ) 2' 0 100 2 0 5 2 7.07f x x x= ⇒ − = ⇒ = ± ≈ ±

( ) 2' 100 0 10f x x x→∞ ⇒ − = ⇒ = ± Con los valores negativos no tiene sentido trabajar y con el valor de 10 no hay rectángulo, luego, con el valor

7.07x ≈ se tiene el área máxima. Para verificar esto, se evalúa la derivada antes y después del valor. Así: 07.725 ==x

cuando ,25<x 1002 2 <x y ( )xf ´ es positiva. cuando ,25>x 1002 2 >x y ( )xf ´ es negativa

Puesto que el signo de la derivada cambia de −+ a , la función tiene un valor máximo

( ) ( ) ( )25 2 5 2 100 5 2 50f = − = por lo tanto, las dimensiones de este rectángulo de área máxima son:

5 2 7.07 5 2 7.07x cm y y cm= ≈ = ≈ , con lo cual dicho rectángulo es en realidad un cuadrado.

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA 34. Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima que se encuentra inscrito en la región limitada por la parábola 212 xy −= y el eje de las abscisas, si se sabe que uno de los lados se encuentra alojado en dicho eje y los vértices del lado paralelo están sobre la parábola. Solución. En la figura se observa un rectángulo inscrito en la parábola.

De los datos del problema se sabe que ⇒−= 212 xy 2 ( 12)x y= − − es una parábola vertical que abre hacia abajo y cuyo vértice es ( )12,0V . El área del rectángulo está dada por 2A xy= ; como; 212y x= − , se sustituye en la expresión del área y se llega a: ( )2 32 12 24 2A x x A x x= − ⇒ = − Se deriva con respecto a x y se iguala a cero:

2 224 6 ; 6 24 2 8dA x x x y ydx

= − = ⇒ = ± =

y

x

212y x= −

( ),x y

2

12

2−

Page 156: Problemario Calculus

1532

2 12d A xdx

= − ⇒2

22

12(2) 24x

d Adx

=

= − = − por lo tanto es un máximo.

Dimensiones del rectángulo de área máxima: 2 4base x u= = y 8altura u= El área máxima es: 2

max 32)8(4 uA == ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO

35. Se requiere construir un recipiente cilíndrico circular recto que tenga un volumen de 324 cmπ , de tal manera que su costo sea mínimo. Se sabe que el recipiente no tiene tapa y el costo del material de la base es 3 veces mayor que el material del cuerpo. Determinar las dimensiones del recipiente y decir cuál será su costo mínimo si el material del cuerpo cuesta 2$ 2 / cm .

Solución. Tenemos los siguientes datos: 3 224 $ 2 /c CV π cm y C cm= = El costo total es el costo de las piezas multiplicado por sus respectivas áreas: ( ) 22 2 6TC r h rπ π= + De la expresión del volumen de un cilindro circular recto, se tiene que:

22 2

24 2424r h h hr rππ π

π= ⇒ = ⇒ =

resultado que se sustituye en el costo y: ( ) ( ) 2 22

24 962 2 6 6TC r r r rr r

ππ π π= + = +

Se deriva la ecuación del costo para obtener los valores críticos y empleando el criterio de la segunda derivada para determinar su naturaleza, tenemos:

( )3

32 2

96 96 12' 12 0 0 12 96 2TrC r r r r

r rπ π ππ π π− +

= − + = ⇒ = ⇒ = ∴ =

( ) ( )3192'' 12 ; 2 '' 2 0TC r r C

rπ π= + = ⇒ > ∴ Costo mínimo

De donde 24 64

h = =

Luego las dimensiones del recipiente son 2 6r cm y h cm= =

y el costo mínimo: min

96( ) 6 4 48 24 72 $ 226.192T TC r Cπ π π π π= + ⋅ = + ⇒ = ≈

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

36. Una cuerda de cm60 de largo se va a partir en dos trozos. Una de las partes va a doblarse en forma de circunferencia y la otra en forma de triángulo equilátero. Determinar cómo se debe cortar la cuerda para que la

r

h

Page 157: Problemario Calculus

154

suma de las áreas del círculo y del triángulo que se forman se máxima, y cómo se debe cortar para que sea mínima. Solución. Se denotará a " "x como el pedazo de cuerda que corresponde a la circunferencia, por lo tanto la otra parte será de longitud x−60 , la cual corresponde al triángulo equilátero.

Para obtener el área de la circunferencia se tiene que el perímetro es igual a: xr =π2 , de donde:

π2xr =

por lo que el área queda como: ππ

ππ42

222 xxrAC =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

Para obtener el área del triángulo se tiene que el perímetro es igual a: xs −= 603 , donde: 3

60 xs −=

por fórmula se tiene que: ( )2

223 3 60 3 604 4 3 36t t

xA s A x−⎛ ⎞= = ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Entonces la suma de las áreas es: ( )22

6036

34

xxAT −+=π

Se deriva esta suma, se iguala a cero para obtener los puntos críticos:

( )3 1 3 10 3' 60 ; ' 02 18 2 18 3T TxA x A xπ π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∴

3103

22.611 3

2 18

x

π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= ≈

⎛ ⎞⎛ ⎞ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Se obtiene la segunda derivada y se evalúa en el valor crítico obtenido: '' 1 3

2 18TAπ

= + ; como siempre es positiva, el punto critico es un mínimo.

Para que la suma de las áreas sea mínima 22.61x cm= y el otro pedazo de cuerda debe ser de 37.39 cm , para el triángulo. Luego, la suma mínima de las áreas es:

( ) ( )2

2 222.61 3 60 22.61 40.681 67.262 107.9434 36T T TA A A cmπ

= + − ⇒ = + ∴ ≈

A debe alcanzar su máximo valor en la frontera al no haber otros número críticos. Si 0=x , entonces la cuerda se usa para formar un triangulo

22 21.173)60(36

3 cmA ==

y si 60=x toda la cuerda se usa para formar una circunferencia

2xrπ

= 60

3x−

603

x−

603

x−

Page 158: Problemario Calculus

155

2 21 (60) 286.484

A cmπ

= = que conduciría al valor máximo, es decir,

2286.48 0 286.48T TA A cm= + ∴ ≈

ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ

37. Algunas aves vuelan más lento sobre agua que sobre tierra. Un ave vuela con velocidades constantes de

hkm /6 sobre agua y de hkm /10 sobre tierra. Emplear la información de la figura para determinar la trayectoria que debe seguir el ave a fin de minimizar el tiempo total de vuelo entre la playa de una isla y su nido situado en la playa de otra isla.

Solución. La distancia recorrida por el ave que se mueve a velocidad constante en función del tiempo está dada

por la relación vtd = , de donde se obtiene que vdt = .

El tiempo de vuelo entre la playa y el nido está dado por tmT ttt += , en donde Tt es el tiempo total, mt es el tiempo que vuela sobre el mar y tt el tiempo que vuela sobre la tierra.

A partir de la figura se tiene que: 29 xdm += y xdt −= 20 Se sustituyen las distancias y los valores dados de velocidad sobre el agua y sobre la tierra en la función del tiempo y:

⇒+=t

t

m

mT v

dvdt

1020

69 2 xxtT

−+

+=

Se deriva la función del tiempo con respecto a la variable x y se iguala a cero:

2

1106 9

Tdt xdx x

= −+

; 222

9610101

960

101

96xx

xx

xx

+=⇒=+

⇒=−+

( ) ( )222 935 xx += ⇒ ( )22 9925 xx += ⇒ 49

16818116 2 ±==⇒= xx

3 km

20 km

x

Page 159: Problemario Calculus

156

Como no puede haber distancias negativas, la distancia x buscada es 9 2.254

x km= =

Se sustituye el resultado anterior para obtener las distancias sobre el agua y sobre la tierra,

( )29 2.25md = + ⇒ 3.75md km= y 20 2.25td = − ⇒ 17.75td km= Con la segunda derivada se verificaría que se trata de un tiempo mínimo.

ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS 38. Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en el triángulo de la figura:

Solución. La función a maximizar es xyA = Se deja dicha función en términos de una sola variable. Con el teorema de Pitágoras se obtiene la altura " "h del triángulo

6366410064100 2 ==−=⇒+= hh Por medio de triángulos semejantes se tiene que:

6 3 3 48 324 4 48 3 88 4 2 88 8

2 2

y y xx y x y yx x−

= ⇒ = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =− −

Así la función queda:

( ) ( ) ( ) xxxAxxxAxxxA 683

8348

8348 2

2

+−=⇒−

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

Ahora se obtiene el valor de x para el cual la función es máxima.

( ) 3 3 3' 6 6 0 6 84 4 4

A x x x x x= − + ⇒ − + = ⇒ = ⇒ =

Se comprueba si este valor corresponde a un máximo.

( ) ( )3'' '' 8 02

A x A= − ⇒ <

Por lo tanto con 8=x se tiene el área máxima.

Ahora se obtiene el valor de y, que equivale a: ( ) 38

248

24488

8348==

−=

−=y

Con lo cual el área máxima es: ( )( ) 2max 8 3 24A u= =

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS

10 10

16

xy

Page 160: Problemario Calculus

157

39. Determinar el radio r y la altura h del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto cuyo radio de la base es 30 cm y su altura 50 cm . Solución. Para determinar la función volumen del cilindro, que relacione a las variables y a los datos, se analiza la siguiente figura.

Por triángulos semejantes se tiene que: ( )50 5 30

30 30 3h h r

r= ⇒ = −

Se sustituye este valor en la expresión del volumen del cilindro y tenemos: 2

CV r hπ= ⇒ ( ) ( )2 3

2 25 5 530 30 503 3 3C C C

r rV r r V r V rπ ππ π⎡ ⎤= − ⇒ = − ⇒ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

Se deriva la función del volumen del cilindro con respecto al radio r y se iguala a cero, de donde: 25100 rr

drdVC ππ −= ; ⇒=− 05100 2rr ππ ( ) ⇒=− 05100 rrπ ( ) 05100 =− rr

las dos soluciones posibles son: 0=r y ⇒=− 05100 r 205

100==r

La primera solución se descarta, ya que si el radio del cilindro fuera igual a cero el volumen del cilindro sería también igual a cero, es decir, que no habría cilindro. Luego 20r cm= es el radio que hace máximo el volumen del cilindro. Para obtener la altura del cilindro se utiliza la función que relacionaba ambas variables:

( ) ( )5 5 5030 ; 30 20 16.673 3 3

h r h h= − = − ⇒ = ≈

Para verificar si este volumen es máximo, se obtiene 2

2d Vdr

y se determina su signo. Así:

2 2

2 220

100 10 ; 100 0C C

r

d V d Vrdr dr

π π π=

= − = − < ∴ volumen máximo

ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS

h

r 30

50

Page 161: Problemario Calculus

158

40. Estudiar la variación de la función ( ) 11xy 3 +−= . Solución. Intersecciones. Para determinar las intersecciones de la curva que representa a la gráfica de la función con cada uno de los ejes coordenados, se hace cero por separado cada una de las variables. Así se tiene:

i) Con el eje y : ⇒= 0x 0=y ∴ Corta al eje y en el origen ii) Con el eje x : ⇒= 0y 0=x ∴ Corta al eje x en el origen

Simetrías. Para estudiar la posible simetría de la curva con respecto a cada uno de los ejes coordenados o con respecto al origen, se sustituyen las variables x y y por x− y y− y si la función no se altera, entonces existe simetría. Así,

i) Simetría con el eje x : Se cambia y por y− . Se tiene ( ) 11 3 +−=− xy Como se altera la función, no hay simetría.

ii) Simetría con el eje y : Se cambia x por x− . Se tiene ( ) 11 3 +−−= xy Como se altera la función, no hay simetría.

iii) Simetría con el origen: Se cambia x por x− y y por y− . Se tiene ( ) 11 3 +−−=− xy Como se altera la función, no hay simetría.

Asíntotas. Estas, si existen, se determinan de la siguiente forma:

i) Asíntotas verticales. No tiene, ya que no existe ningún valor real al cual tienda x que haga que el límite de la función no exista.

ii) Asíntotas horizontales. No tiene, ya que el límite de la función, cuando la variable x tiende a infinito, no existe.

Extensión. Aquí, lo que se hace es despejar cada una de las variables y determinar el dominio de la función obtenida. De esta manera

i) Extensión en x : ( ) 11 3 +−= xy x⇒ ∈ ii) Extensión en y : De la función, se puede ver que y∈ .

Extremos relativos, puntos de inflexión y concavidad.

Se obtienen la primera y la segunda derivadas. De esta forma se tiene que

( ) 11 3 +−= xy ; ( )23 1dy xdx

= − ; ( )23 1 0 1x x− = ⇒ = (Valor crítico)

( )162

2

−= xdx

yd ; ( ) 1016 =⇒=− xx (Posible punto de inflexión)

Ahora se construye la tabla:

x y 'y ''y Característica ( )1,∞− creciente + −

1=x P. de Inflexión 0 0 P.I ( )1,1 ( )∞,1 creciente + +

De la tabla se puede apreciar que la curva es creciente en el intervalo ( )∞∞− , ; es cóncava hacia abajo en el intervalo ( )1,∞− , y cóncava hacia arriba en ( )∞,1 . No se tienen máximos ni mínimos relativos. Finalmente, tiene un punto de inflexión en ( )1,1 .

Page 162: Problemario Calculus

159

Representación gráfica.

Con la información obtenida en los puntos anteriores se procede al trazo aproximado de la gráfica.

ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE 41. Estudiar la variación de la función 422 xxy −= . Solución. Intersecciones.

i) Con el eje y : ⇒= 0x 0=y ∴ Corta al eje y en el origen

ii) Con el eje x : ( )4 2 2 2

20 2 0 2 0 0

2

xy x x x x x

x

⎧ = −⎪

= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =⎨⎪ =⎩

(donde corta al eje x)

Simetrías. i) Simetría con el eje x : Se cambia y por y− . Se tiene 422 xxy −=−

Como se altera la función, no hay simetría. ii) Simetría con el eje y : Se cambia x por x− . Se tiene 422 xxy −=

Como no se altera la función, la curva es simétrica con respecto al eje y . iii) Simetría con el origen: Se cambia x por x− y y por y− . Se tiene 422 xxy −=−

Como se altera la función, no hay simetría. Asíntotas.

i) Asíntotas verticales: No tiene, ya que no existe ningún valor real al cual tienda x y que haga que el límite de la función no exista.

( )1,1PI

x

y

Page 163: Problemario Calculus

160

ii) Asíntotas horizontales: No tiene, ya que el límite de la función, cuando la variable tiende a infinito, no existe.

Extensión. i) Extensión en x : ⇒−= 422 xxy x∈ iii) Extensión en y : De la función, se puede ver que y∈ .

Extremos relativos, puntos de inflexión y concavidad.

42 xx2y −= ; 3x4x4dxdy

−= ; ( )3 24 4 0 4 1 0x x x x− = ⇒ − = ⇒1

01

xxx

= −⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

(puntos críticos)

22

2

124 xdx

yd−= ; 2 2

14 34 12 0

12 13

xx x

x

⎧= −⎪⎪− = ⇒ = ⇒ ⎨

⎪ =⎪⎩

(posibles puntos de inflexión)

Ahora se construye la tabla:

x y 'y ''y CARACTERÍSTICA ( )1, −∞− creciente + −

1−=x máximo 0 − M.r. ( )1,1−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−3

1,1 decreciente − −

31

−=x P. de inflexión 0 P.I.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− 5556.0,3

1

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− 0,3

1 decreciente − +

0=x mínimo 0 + m.r. ( )0,0

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛3

1,0 creciente + +

31

=x P. de inflexión 0 P.I.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 5556.0,3

1

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 1,3

1 creciente + −

1=x máximo 0 − M.r. ( )1,1

( )∞,1 decreciente − −

De la tabla se puede decir que la curva que representa a la función dada es creciente en los intervalos ( )1, −∞− y ( )1,0 ; decreciente en los intervalos ( )0,1− y ( )∞,1 . Es cóncava hacia abajo en los intervalos

Page 164: Problemario Calculus

161

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −∞−3

1, y ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∞,3

1 , y cóncava hacia arriba en ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−3

1,3

1 . Tiene dos máximos relativos en

( )1,1− y ( )1,1 y un mínimo relativo en ( )0,0 . Finalmente tiene dos puntos de inflexión en ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− 5556.0,3

1 y

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 5556.0,3

1 .

Representación gráfica. Con la información obtenida en los puntos anteriores se procede al trazo aproximado de la gráfica.

ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE

42. Estudiar la variación de la función 1x

1y 2 −= .

Solución. Intersecciones.

Con el eje y : 10 −=⇒= yx Con el eje x : 0=y ∴ No hay intersección

Simetrías.

Simetría con el eje x : Se cambia y por y− . Se tiene 1x

1y 2 −=−

Como se altera la función, no hay simetría.

Simetría con el eje y : Se cambia x por x− . Se tiene 1x

1y 2 −=

Como no se altera la función, la curva es simétrica con respecto al eje y .

x

yMr

MrPIPI

mr

Page 165: Problemario Calculus

162

Simetría con el origen: Se cambia x por x− y y por y− . Se tiene 1x

1y 2 −=−

Como se altera la función, no hay simetría. Asíntotas.

Asíntotas verticales. 1,101 212 −==⇒=− xxx . Estas dos rectas son asíntotas verticales ya

que 2 21 1

1 1lim lim1 1x x

yx x→− →

→∞ →∞− −

(no existen)

Asíntotas horizontales. Se obtiene el límite 01x

1lim 2x=

−∞→

por lo que la recta 0=y es una asíntota horizontal de la función. Extensión.

Extensión en x : { }21 1, 1

1y x

x= ⇒ ∈ − −

Extensión en y :

2 1yx y− = ( ]1 1, 0yx yy+

= ⇒ ∈ − −

Extremos relativos, puntos de inflexión y concavidad.

Se obtienen la primera y la segunda derivadas.

1x1y 2 −

= ; ( )22 1x

x2dxdy

−= ; 0x2 =− y ( ) 1,1,001 321

22 =−==⇒=− xxxx

( )32

2

2

2

1x2x6

dxyd

+= ; ( ) 1,101 21

32 =−=⇒=− xxx

Se construye la tabla correspondiente

x y 'y ''y CARACTERÍSTICA ( ), 1−∞ − creciente + +

1−=x Asíntota ( )0,1− creciente + −

0=x máximo 0 − M.r. ( )1,0 − ( )1,0 decreciente − −

1=x Asíntota ( )∞,1 decreciente − +

De la tabla se puede decir que la curva que representa a la función dada es creciente en el intervalo ( )0,∞− ; decreciente en el intervalo ( )∞,0 . Es cóncava hacia abajo en el intervalo ( )1,1− y cóncava hacia arriba en ( )1, −∞− y ( )∞,1 , y tiene un máximo relativo en ( )1,0 − .

Representación gráfica.

Con la información obtenida en los puntos anteriores se procede al trazo aproximado de la gráfica.

Page 166: Problemario Calculus

163

ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE

43. Estudiar la variación de la función 1

42 +

=x

xy .

Solución. Intersecciones.

i) Con el eje y : 00 =⇒= yx ∴ Corta al eje y en el origen ii) Con el eje x : 00 =⇒= xy ∴ Corta al eje x en el origen

Simetrías.

i) Simetría con el eje x : Se cambia y por y− . Se tiene 1

42 +

=−x

xy

Como se altera la función, no hay simetría.

ii) Simetría con el eje y : Se cambia x por x− . Se tiene 1

42 +−

=x

xy

Como se altera la función, no hay simetría.

iii) Simetría con el origen: Se cambia x por x− y y por y− . Se tiene 1

42 +

=x

xy

Como no se altera la función, la curva es simétrica con respecto al origen. Asíntotas.

i) Asíntotas verticales. No tiene, ya que no existe ningún valor real al cual tienda x y que haga que el límite de la función no exista.

ii) Asíntotas horizontales. Se obtiene el límite 01

4lim 2 =+∞→ xx

x por lo que la recta 0=y es una asíntota

horizontal de la función. Extensión. Aquí, se despeja cada una de las variables y se determina el dominio de la función obtenida. De esta manera:

i) Extensión en x : 24

1xy x

x= ⇒ ∈

+

y

x Mr1− 1

Page 167: Problemario Calculus

164

ii) Extensión en y : 042 =+− yxyx ⇒ y2

y4164x

2−±=

⇒≥− 0416 2y 24 0y− ≥ ⇒ ( )( )2 2 0y y− + ≥ 2 0 2

2 22 0 22 0 2

no tiene2 0 2

y yy

y yy yy y

− ≥ ⇒ ≤∴ − ≤ ≤

+ ≥ ⇒ ≥ −− ≤ ⇒ ≥

∴+ ≤ ⇒ ≤ −

Por lo tanto, [ ]2,2y ∈ − . y por el denominador, 0y ≠ Extremos relativos, puntos de inflexión y concavidad.

Se obtienen la primera y la segunda derivadas; de esta forma se tiene: ( ) ( )

( )

2

22 2

4 1 4 24 ;1 1

x x xx dyyx dx x

+ −= =

+ + ; ( )

( )22

2

114+

−=

xx

dxdy ; ( )21 0 1 ; 1x x x− = ⇒ = = −

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

22 2 22 2 3

4 32 22 2

8 1 4 1 2 1 2 8 241 1

x x x x xd y d y x xdx dxx x

− + − − + −= ⇒ =

+ + ;

( )3 28 24 0 8 3 0 0 ; 3 ; 3x x x x x x x− = ⇒ − = ⇒ = = = − Ahora se construye la tabla correspondiente

x y 'y ''y CARACTERÍSTICA ( )3, −∞− decreciente − −

3−=x P. de inflexión 0 P.I. ( )3,3 −− ( )1,3 −− decreciente − +

1−=x mínimo 0 + m.r. ( )2,1 −− ( )0,1− creciente + +

0=x P. de inflexión 0 P.I. ( )0,0 ( )1,0 creciente + −

1=x máximo 0 − M.r. ( )2,1 ( )3,1 decreciente − −

3=x P. de inflexión 0 P.I. ( )3,3 ( )∞,3 decreciente − +

De la tabla se puede decir que la curva que representa a la función dada es creciente en los intervalos ( )1,1− ; decreciente en los intervalos ( )1, −∞− y ( )∞,1 . Es cóncava hacia abajo en los intervalos ( )3, −∞− y ( )3,0 , y cóncava hacia arriba en ( )0,3− y ( )∞,3 . Tiene un máximo relativo en ( )2,1 y un mínimo relativo en ( )2,1 −− . Finalmente tiene tres puntos de inflexión en ( )3,3 −− , ( )0,0 y ( )3,3 .

a) Representación gráfica. Con la información obtenida en los puntos anteriores se procede al trazo aproximado de la gráfica.

Page 168: Problemario Calculus

165

ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE 44. Estudiar y analizar la variación de la función:

12

2

−=

xxy

Solución. Intersecciones.

Con el eje y : 00 =⇒= yx Con el eje x : 00 =⇒= xy

Simetrías.

Simetría con el eje x : ⇒−→ yy12

2

−=−

xxy ∴ no hay simetría

Simetría con el eje y : ⇒−→ xx12

2

−=

xxy ∴ sí hay simetría

Simetría con el origen: ,xx −→ ⇒−→ yy12

2

−=−

xxy ∴ no hay simetría

Asíntotas.

Asíntotas verticales: 2

21

1lim1 0x

xx=

= → ∞−

y 2

21

1lim1 0x

xx→ −

= → ∞−

Por lo tanto 11 −== xy x son asíntotas verticales Asíntotas horizontales.

2

2 2

22

2 2

1lim lim 111 1 0x x

xx x

xxx x

→∞ →∞= = =

− +− por lo que 1=y es una asíntota horizontal.

PI

PI

PI

mr

Mr

x

y

Page 169: Problemario Calculus

166

Extensión.

Extensión con el eje x ; 12

2

−=

xxy , por lo tanto { }1, 1x∈ − −

a) Extensión con el eje y

1

01

222

2

−±=⇒=−−⇒

−=

yyxxyyx

xxy ⇒ 0

11≥

−⇒

−±=

yy

yyx

Por lo tanto ( ] ( )∞∪∞−∈ ,10,y Extremos relativos, puntos de inflexión y concavidad.

Se deriva la función y se obtienen los puntos críticos: ( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 2

2 22 2

1 2 2 21 1

x x x xdy dy xdx dxx x

− − −= ⇒ =

− − ;

( )00

12

22=⇒=

− xx

x

( ) 10101 222 ±=⇒=−⇒=− xxx Se evalúan los puntos críticos en la ecuación original:

( ) ( )( )

010

00 2

2

=−

=y y, como ya se determinó, en 1 1x y x= − = no hay valor de la función ya que

se presentan asíntotas verticales. Se obtiene la segunda derivada y redeterminan los posibles puntos de inflexión:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

22 22 2 2 2 2 2

4 3 32 2 22 2 2

1 2 2 2 1 2 2 2 8 6 21 1 1

x x x xd y d y x x d y xdx dx dxx x x

− − + ⋅ − − + + += ⇒ = ⇒ =

− − −

No existen valores reales que anulen la segunda derivada, por lo que no hay puntos de inflexión. Tabla:

x y 'y ''y Característica ( )1, −∞− Creciente + +

1x = − Asíntota vertical

( )1, 0− Creciente + −

0 x = − Mr ( )0,0 ( )1,0 Decreciente − −

x 1= Asíntota vertical

( )∞,1 Decreciente − +

Representación gráfica.

Page 170: Problemario Calculus

167

ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO 45. Estudiar la variación de la siguiente función:

42

3

−=

xxy

Solución. Intersecciones.

Con el eje y : 00 =⇒= yx ∴ corta al eje y en el origen. Con el eje x : 00y =⇒= x ∴ corta al eje x en el origen.

Simetrías.

Con el eje x : 42

3

−=−

xxy , por lo que no hay simetría.

Con el eje y : 42

3

−−=

xxy , por lo que no hay simetría

Con el origen: 42

3

−=

xxy , por lo que sí hay simetría con el origen.

Asíntotas.

Asíntotas verticales: ⎩⎨⎧

=−=

⇒=−22

042

12

xx

x ; 3 3

2 22 2lim lim

4 4x x

x xyx x→− →

→ ∞ →∞− −

por lo que las asíntotas verticales son: 2 2x y x= − = .

Asíntotas horizontales: 3

2lim4x

xx→∞

→∞−

(no existe) ∴ no tiene asíntotas horizontales.

Mr

11−

1

Page 171: Problemario Calculus

168

Extensión.

Extensión en x : { }3

2 2,24

xy xx

= ⇒ ∈ − −−

.

Extensión en y : R∈y Extremos relativos, puntos de inflexión y concavidad.

Se obtiene la primera y segunda derivada de la función:

( )( ) ( )( ) ( )

2 2 3 4 2 4

2 22 2

4 3 2 3 12 2' '4 4

x x x x x x xy yx x

− − − −= ⇒ =

− − ⇒

( )( )

( )( )

2 22 2

2 22 2

12 012'

4 4 0

x xx xy

x x

⎧ − =− ⎪= ⇒ ⎨− − =⎪⎩

Por lo que hay puntos críticos en: 12 3.46 ; 0 ; 12 3.46x x x= − ≈ − = = ≈ ; en 2 2x y x= − = hay asíntotas verticales.

Se deriva nuevamente para obtener los posibles puntos de inflexión:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

22 3 4 2 2 5 3 3 5 3

4 32 2

4 4 24 12 2 4 2 4 16 24 96 4 48'' ''4 4

x x x x x x x x x x x x xy yx x

− − − − − − − + − += ⇒ =

− −

( )( )

32

32

3.468 96'' ; 8 12 0 0

4 3.46

xx xy x x xx x

≈ −⎧+ ⎪= + = ⇒ =⎨− ⎪ ≈⎩

(posibles puntos de inflexión)

Ahora se construye la tabla:

x y 'y ''y Características

( )3 46, .−∞ − creciente + − Cóncava hacia abajo

3.46x = − Máximo 0 − Mr

( )3.46, 5.18− −

( )3 46, 2.− − decreciente − − Cóncava hacia abajo

2−=x Asíntota ( )0,2− decreciente − + Cóncava hacia

arriba 0=x Punto de Inflexión 0 0 P. I. ( )0,0

( )2,0 decreciente − − Cóncava hacia abajo

2=x Asíntota ( )2, 3.46 decreciente − − Cóncava hacia

abajo 3.46x = Mínimo 0 + mr ( )3.46, 5.18

( )3.46, ∞ Creciente + + Cóncava hacia arriba

La gráfica aproximada de la función es:

Page 172: Problemario Calculus

169

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

PI

Mr

mr

Page 173: Problemario Calculus

170

SUCESIONES Y SERIES 1. Escribir los 5 primeros términos y el décimo de la siguiente sucesión

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−− +

131

21

nnn

Solución. Para determinar los términos sólo se sustituye n por el término que se busca, es decir, se sustituye n por: 105,43,2,1 y .

⇒= 1n ( ) ( ) 21

11311

211 =

−− +

⇒= 2n ( ) ( ) 54

12321

212 −=

−− +

⇒= 3n ( ) ( ) 89

13331

213 =

−− +

⇒= 4n ( ) ( ) 1116

14341

214 −=

−− +

⇒= 5n ( ) ( ) 1425

15351

215 =

−− +

⇒= 10n ( ) ( ) 29100

1103101

2110 −=

−− +

ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHAVEZ

2. Determinar si converge o diverge la siguiente sucesión:

21 4

nn

⎧ ⎫⎨ ⎬−⎩ ⎭

Solución. Se tiene que { } 21 4n

nan

⎧ ⎫= ⎨ ⎬−⎩ ⎭ . Se calcula el límite del término enésimo:

2lim1 4n

nn→∞

∞=

− −∞ (indeterminado)

22 2 2 1lim lim lim1 4 11 4 4 24n n n

nn n

nnn n n

→∞ →∞ →∞= = = − = −

− − −

Por lo tanto, la sucesión { }na converge a 12

− .

LOS COORDINADORES

Page 174: Problemario Calculus

171

3. Determinar si la sucesión { } 11nan

⎧ ⎫= +⎨ ⎬⎩ ⎭

converge o diverge

Solución. Para que una sucesión sea convergente debe existir su límite cuando ∞→n , es decir:

1011lim1lim11limlim =+=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∞→∞→∞→∞→ nna

nnnnn

Por lo tanto la sucesión converge al valor 1 .

ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHAVEZ 4. Determinar si las siguientes sucesiones convergen o divergen.

( ){ } ( ){ }2 2

21 3 2 7 6) ; )

2 2 4 5 1n n ni f n ii f n

n n n n⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ − +

= = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬− +⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Solución. Si ( )lim

nf n L

→∞= ∈ , entonces la sucesión es convergente y converge al valor L . Si el límite no

existe, entonces la sucesión es divergente.

( ){ }2 1)2

ni f nn

⎧ ⎫+= ⎨ ⎬⎩ ⎭

; ( )

2

2 2 2 2

2

1 111 1 0 1lim lim lim lim2 22 0 0n n n n

nn n n nf n nn

n n→∞ →∞ →∞ →∞

+ ++ += = = = = → ∞

Como el límite no existe entonces la sucesión diverge.

( ){ }2

23 2 7 6)

2 4 5 1n nii f n

n n n⎧ ⎫− +

= +⎨ ⎬− +⎩ ⎭ ; ( )

154672lim

23lim

154672

23limlim 2

2

2

2

+−+−

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−

+=∞→∞→∞→∞→ nn

nnnnn

nnn

nfnnnn

( )21

0040020154

672lim

2

3

lim154

672

lim2

3

limlim2

2

222

2

222

2

=+−+−

+=+−

+−+=

+−

+−+=

∞→∞→∞→∞→∞→

nn

nnn

nnn

nn

nnn

nn

nnnnf

nnnnn

Por lo tanto, la sucesión converge al valor 21 .

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO

5. Determinar la naturaleza de la siguiente sucesión:

{ }2

63

3 58 7

nncn

⎧ ⎫−= ⎨ ⎬

+⎩ ⎭

Solución. Se investiga si existe el límite y en caso afirmativo su valor:

Page 175: Problemario Calculus

1722

63

3 5lim8 7n

nn→ ∞

− ∞=∞+

(indeterminado)

2

2 2 2 2 2

36 6 63 333

62 6 6

3 5 5 53 33 5 3 3lim lim lim lim27 88 7 8 7 8 7 8

n n n n

nn n n n nn n n

nn n n

→∞ →∞ →∞ →∞

− − −−= = = = =

+ + ++

Luego, la sucesión converge al valor de 32

.

LOS COORDINADORES

6. Dada la sucesión 21n

, determinar su naturaleza, dar sus primeros diez términos y determinar si es acotada.

Solución. Primero se determinará si existe el límite de dicha sucesión:

011lim 2 =∞

=∞→ nn

Como existe el límite la sucesión es convergente al valor 0 . Se desarrollan los primeros términos de la sucesión y tenemos:

1 1 1 1 1 1 1 1 11, , , , , , , , ,4 9 16 25 36 49 64 81 100

Con esto se observa que la sucesión es monótona decreciente También se observa que la sucesión es acotada inferiormente por 0 y superiormente por 1 ; por lo tanto la sucesión es acotada.

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS

7. Dada la sucesión 12 +n

n , determinar si es convergente o divergente, dar sus primeros diez términos e

investigar si es acotada. Solución. Se determina si existe el límite de dicha sucesión:

21

12

112

1lim12lim12

lim =

∞+

=+

=+

=+ ∞→∞→∞→

nnnn

nn

nn

nnn

Sí existe el límite, por lo tanto la sucesión es convergente al valor 21 .

Se desarrollan los primeros términos de la sucesión y se tiene que: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10, , , , , , , , ,3 5 7 9 11 13 1 5 17 19 21

Se observa que la sucesión es monótona creciente.

Page 176: Problemario Calculus

173

También se ve que la sucesión es acotada inferiormente por 31 y superiormente por

21 , por lo que es

acotada.

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS 8. Determinar el término enésimo de la sucesión que tiene como primeros cinco términos los siguientes:

1 7 2 5 7 9 2 4 1, , , ,1 2 6 2 4 1 2 0

− −

Solución. Aquí se trata de realizar ejercicios numéricos hasta lograr la fórmula que define a los términos de la sucesión. En este caso, se ve que los numeradores equivalen a 3 2n − y los denominadores son producto de

!n . Luego la sucesión queda definida como:

( ) 1 3 21!

nn

n− −

LOS COORDINADORES

9. Determinar si la siguiente serie converge o diverge:

1

1 01 0 1n

nn

=

++∑

Solución. Cuando se presenten este tipo de series, en ocasiones es conveniente separarla para proceder a su análisis:

∑∑∞

=

= ++

+ 11 11010

110 nn nnn

Si se calcula el límite del término enésimo de la primera, se obtiene que: 1lim 010 1 10n

nn→∞

= ≠+

; por lo tanto

es divergente. Por lo que, independientemente del carácter de la segunda, la serie en estudio es divergente.

ALUMNO: ALEJANDRO FÉLIX REYES 10. Demostrar que las siguientes dos series son divergentes:

2

21

1 5 10 17) 24 9 16n

nin

=

+= + + + +∑ K y 1

1) ( 1) 3 3 3 3 3 3 3n

nii

∞+

=

− = − + − + − +∑ K

Solución. Se obtiene en ambas series el límite del término enésimo cuando ∞→n y se llega a:

Page 177: Problemario Calculus

174

nnu

∞→lim = 2

2 1limn

nn

+∞→

2

2 2

2

2

1limn

nn n

nn

→ ∞

+= 01 ≠= y nn

u∞→

lim ( )lim 3 3 0n→∞

= = ≠

Como en ambos casos el límite es diferente de cero, por la prueba de la divergencia se concluye que las series son divergentes.

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 11. Aplicar la prueba de la divergencia a cada una de las siguientes series y determinar si son divergentes:

21 1 1 1

1 1) ; ) ; ) ; )2 1

n

n n n n

n ei ii iii ivn n nn

∞ ∞ ∞ ∞

= = = =+∑ ∑ ∑ ∑

Solución. Se obtiene el límite del término enésimo na . Tenemos:

1) lim 02 1 2n

nin→∞

= ≠+

, por lo que la serie diverge.

21) lim 0

nii

n→∞= , luego el criterio no decide, por lo que la serie puede ser convergente o divergente.

1) lim 0n

iiin→∞= , luego el criterio no decide, por lo que la serie puede ser convergente o divergente.

) limn

n

eivn→∞

→ ∞ , por lo que la serie diverge.

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

12. A partir de la prueba de la divergencia, determinar si la siguiente serie es divergente:

3

31 1n

nn

= +∑

Solución. Como el límite del término enésimo de la serie es:

3

3 3

33

33 3

1 1lim lim lim 1 0111 11n n n

nn n

nnnn n

→∞ →∞ →∞= = = = ≠

+ ++

Por lo tanto, la serie es divergente ya que el límite de su término enésimo es diferente de cero.

LOS COORDINADORES

Page 178: Problemario Calculus

175

13. Demostrar que la serie infinita ( )∑∞

=

−−1

11n

n es divergente.

Solución. Si se desarrolla la serie queda como: ( ) ( ) ( ) ...11...1111 +−+++−++−+ . Se obtienen las sumas parciales y se llega a:

1 2 3 41 ; 1 1 0 ; 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 0S S S S= = − = = − + = = − + − = L Nótese que 1=kS si k es impar y 0=kS si k es par. Como la sucesión de sumas parciales { }nS oscila entre 0 y 1, resulta que nn

S∞→

lim no existe y por lo tanto, la serie infinita diverge.

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

14. Determinar si la serie 1

12 n

n

=∑ es convergente o divergente.

Solución. Se obtienen algunos términos de la sucesión de sumas parciales:

21

1 =S ; 43

41

21

2 =+=S ; 87

81

41

21

3 =++=S ; 1615

161

81

41

21

4 =+++=S

Después se obtiene una función que describa el comportamiento de los resultados anteriores:

n

n

nS2

12 −= que equivale a la suma parcial enésima. Se obtiene el límite de la función anterior cuando

n→∞ :

1211lim

212lim =−=

−∞→∞→ nnn

n

n

Como el límite existe se asegura que la serie es convergente y que el resultado de su suma es 1.

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS 15. Para la serie dada, obtener los primeros cuatro términos de la sucesión de sumas parciales y determinar una expresión para la suma parcial enésima nS . Analizar el carácter de la serie.

( )1

11n n n

= +∑

Solución. Los primeros cuatro términos de la sucesión { }ns son:

1 2 3 41 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 4; ; ;2 2 6 3 2 6 12 4 2 6 12 20 5

S S S S= = + = = + + = = + + + =

Se descompone el término enésimo en fracciones racionales como sigue:

( ) ( ) 0 11 1 1 11 1 1 1

A B AA B A n Bn An A Bnn n n n A B

+ = =⎧ ⎧= + ⇒ = + + ⇒ = + + ⇒ ∴⎨ ⎨+ + = = −⎩ ⎩

Luego

( )1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 3 3 4 1n nn n n n n n

∞ ∞

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − + − + − + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ L L

Page 179: Problemario Calculus

176

Como se observa es una serie telescópica y en el desarrollo de sus sumandos se ve que su suma parcial

enésima y el límite de ésta son 11 ; lim lim 11 1 1 1n n n n

n n nS Sn n n n→∞ →∞

= − ⇒ = = =+ + + +

Por lo tanto la serie es convergente al valor 1 .

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 16. Para la serie dada, identificar qué tipo de serie es, determinar su carácter y, en caso de ser convergente, calcular su suma.

( )( )1

12 1 2 3n n n

= + +∑

Solución. Se procede a descomponer esta expresión en la suma de dos fracciones racionales, con el siguiente procedimiento:

( )( ) ( ) ( )1 1 2 3 2 12 1 2 3 2 1 2 3

A B A n B nn n n n

= + ⇒ = + + ++ + + +

10 2 2 2 2 0 21 2 3 2 4 21 3 6 2 2 1

2

AA B A BAn A Bn B A

A B A B B

⎧ =⎪= + + =⎧ ⎪= + + + ⇒ ⇒ ⇒ − = − ∴⎨ ⎨= + − − = −⎩ ⎪ = −⎪⎩

Luego, algunos términos de la serie son: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 23 5 5 7 7 9 9 11 2 1 2 3n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− + − + − + − + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L L

El segundo sumando de cada término se cancela con el primero del siguiente por lo que la suma parcial enésima " "nS es igual a la suma del primer sumando del primer término más el segundo del término enésimo. Así, se llega a:

( )

1 11 1 4 6 6 42 2

3 2 3 6 4 6 6 4 6 24 36 6 9n n n n nn n nS S S S S

n n n n n+ −

= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ∴ =+ + + + +

Se trata de una “serie telescópica” convergente cuya suma es:

1 1lim lim lim lim6 9 96 9 66nn n n n

nn nS S nn

n n n→∞ →∞ →∞ →∞

= = = = =+ + +

LOS COORDINADORES

Page 180: Problemario Calculus

177

17. Determinar el carácter de la serie 11

43 n

n

−=∑ .

Solución. La serie se puede rescribir como 1

1 314

−∞

=∑ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

nnS y se observa que es una serie geométrica de la

forma 1

1

n

na r

∞−

=∑ donde 4=a y

31

=r . Como 1<r entonces la serie es convergente.

El valor de la suma está dado por 62

12

324

311

41

===−

=−

=r

aS n .

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS

18. Determinar si la siguiente serie infinita converge o diverge.

13 33 ...4 4 n −+ + +

Solución. Algunos de sus términos son:

2 3

2 3 4

2

3 3 33 3 3 3 1 1 14 4 43 ; ; ;3 34 4 4 4 3 4 4 4

4 4

S = + + + + = = =

Es la serie geométrica 11

34 n

n

−=∑ con 13 1

4a y r= = < y por lo tanto es convergente. Su suma es:

3 3S 41 31 14 4

a S Sr

= ⇒ = ⇒ = =− −

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA

19. Probar que la serie cuyos primeros términos son los siguientes, es geométrica y calcular su suma:

5 5 5 52 4 8 16+ + + +L

Solución. Si se divide cada término entre el inmediato anterior se tiene que;

5 551 1 18 164 ; ;5 5 52 2 2

2 4 8

= = =

Page 181: Problemario Calculus

178

por lo que se trata de una serie geométrica con su razón 1 52 2

r y a= = . Como 1 12

r = < ∴ se trata

de una serie convergente y su suma es igual a: 5 52 2; ; 51 11 1

2 2

aS S S Sr

= = = ∴ =− −

LOS COORDINADORES

20. Demostrar que la siguiente serie converge y calcular su suma.

2 3 12 2 2 22 ...3 3 3 3 n−+ + + + +

Solución. Si se divide cada término entre el inmediato anterior, se tiene que:

2 3

2

2 2 21 1 13 3 3; ;2 22 3 3 3

3 3

= = = L

por lo que la serie es una serie geométrica con 2=a y 131<=r , entonces la serie es convergente y su

suma está dada por: 2 2 31 21 1

3 3

aS Sr

= ⇒ = = =− −

ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN

21. Determinar si la siguiente serie infinita converge o diverge.

( ) ( )1

37 370 37 0.0037 0.000037100 100n n

n.

=

= + + + +∑ L L

Solución. Se divide cada término entre el anterior y: 0.0037 0.0000370.01 0.01

0.37 0.0037= ⇒ =

La serie converge por que es una serie geométrica con r 0.01 1 = < y 37.0a = . La suma es 0.37 0.37 37S

1 1 0.01 0.99 99a

r= = = =

− −

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA

Page 182: Problemario Calculus

179

22. Determinar la suma de la siguiente serie geométrica

...1000

5100

5105

+++

Solución. La serie se puede expresar también como

...1000

5100

5105

101

105

0+++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∑

=

n

n

Se trata de una serie geométrica cuya razón es 1 110

r = < y por lo tanto convergente. Como 510

a = ,

entonces su suma es 5 5

510 101 91 91

10 10

aS S S Sr

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =− −

ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE

23. Verificar que se cumpla lo siguiente

32....666666666.0 =

Solución. El número anterior se puede expresar como

...1000

6100

6106...666666666.0 +++=

que a su vez, se puede expresar como;

...1000

6100

6106

101

106

0+++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∑

=

n

n

que es una serie geométrica con 6 1 110 10

a y r= = < ; por lo tanto convergente. Su suma entonces es:

1aS

r=

− ⇒

6 66 210 10

1 9 9 3110 10

S S S= ⇒ = ⇒ = =−

ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE

24. Determinar la fracción que representa el número racional 2.351. Solución. Este decimal periódico se puede expresar como una serie de la siguiente forma:

23 51 51 51 51 ...10 1 000 100 000 10 000 000 1 000 000 000

+ + + + +

la cual, después del primer término, tiene la forma de una serie geométrica

Page 183: Problemario Calculus

180

∑∞

=

−− +++++=1

1321 ...n

nn ararararaar , con r dado por:

251 51

1 1100 000 10 000 000;51 51100 1001 000 100 000

ar arr ra ar= ⇒ = = = ⇒ =

luego 51 1 11000 100

a y r= = < por lo que es convergente y su suma está dada por:

51 51511000 1000

1 99 9901100 100

S S S= ⇒ = ⇒ =−

Así que 23 51 23 17 759 17 776 3882.351 2.35110 990 10 330 330 330 165

+= + = + = = ∴ =

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO

25. Mediante la serie geométrica convergente 2 4 67 7 7

10 10 10+ + +L y su suma " "S , expresar como

un cociente de enteros el decimal periódico 0.070707... Solución. Para conocer la razón de la serie geométrica dada se hace lo siguiente:

4 6

2 2 2

2 4

7 71 1 110 10; 17 710 10 10

10 10

r= = ∴ = < (convergente) . Además, 27

1 0a =

La suma " "S de la serie que representa al decimal periódico dado como un cociente de enteros es entonces:

2

2

77 7100.070707... 0.070707...11 99 991

10

aSr

= = = = ∴ =− −

LOS COORDINADORES

26. Determinar si la siguiente serie diverge o converge.

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1

151

nn n

Solución. Esta serie se puede separar como {

21

1

1

151

Serien

Serie

nn n∑∑

=

=

+321

Page 184: Problemario Calculus

181

Se tiene que la serie 1 es una serie geométrica convergente con 11 15

a y r= = < , y la serie 2 es una serie

armónica divergente. Por lo tanto la suma de ambas da como resultado una serie divergente.

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO

27. El tercer término de una serie geométrica es 4

63 y el sexto es 32

1701 . Calcular el quinto término.

Solución. Como esta es una serie geométrica, su enésimo término se determina por la expresión 1−= n

n ara . Así,

3 1 2 6 1 53 6a ar ar y a ar ar− −= = = =

con los valores conocidos para estos dos términos, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones.:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

=

5

2

3217014

63

ar

ar ;

23

827

46332

17013

2

5

=⇒=⇒= rrarar

Se sustituye el valor de r en la primera ecuación, 2

463 ar= , se obtiene: 7

23

463 2

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= aa

Por lo tanto el enésimo término de esta serie es: 1

237

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

na

De donde el quinto término es: 16

567237

15

5 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

a

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO

28. Una pelota se suelta desde m16 de altura. Cada vez que llega al suelo rebota 81.0 de la altura anterior. Determinar cuánto recorre la pelota hasta detenerse. Solución. Cada vez que la pelota bota recorre el 0.81 de la distancia anterior, esto es: Después del primer rebote la pelota alcanza una altura de: 81.016 ⋅=d Después del segundo rebote la pelota alcanza una altura de: ( ) 81.081.016 ⋅⋅=d Después del tercer rebote la pelota alcanza una altura de: ( ) 81.081.081.016 ⋅⋅⋅=d Por lo tanto sólo se multiplica n veces por 0.81 ; esto equivale a elevarlo a la enésima potencia.

( )1 6 0 .8 1 nd = Además, se debe sumar al total cada nueva parte de la serie, por lo tanto:

( )0

1 6 0 .8 1 n

nd

=

= ∑

Como se puede apreciar, se tiene una serie geométrica con 16 0.81 1a y r= = < por lo que es convergente. Su suma es toda la longitud que recorre la pelota, esto es:

Page 185: Problemario Calculus

182

( )1

1616 0.81 84.211 1 0.81

n

n

ad S d mr

=

= = = ⇒ = =− −∑

que es la respuesta buscada. ALUMNO: ALEJANDRO FÉLIX REYES

29. Determinar el carácter de la serie 31

1n n

=∑ .

Solución. La serie anterior es una serie " "p de la forma ∑∞

=

=1n

pn nkS donde 1=k y 3=p .

Como 1>p la serie es convergente.

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS

30. Determinar si la serie n

S 5...5

54

53

52

55 ++++++= converge o diverge.

Solución. La serie dada es una serie “ p ” con 121<=p , por lo tanto es divergente.

ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN

31. Determinar si la siguiente serie infinita converge o diverge.

3 33

7 7 772 3

sn

= + + + + +L L

Solución. De acuerdo con las series tipo p , se tiene que ∑∞

= 13

1n n

, es divergente ya que 131<=p .

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA

32. Determinar si las siguientes series convergen o divergen:

1 1

1 3) ; )2 5 1n

n ni ii

n

∞ ∞

= =+ −∑ ∑

Solución. Se aplica el criterio de comparación en las dos series y se tiene que:

1

1 1 1 1) ; 1 ;2 5 2 5 5 5

n

n n nn

i n∞

=

⎛ ⎞∀ ≥ < = ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠∑

Page 186: Problemario Calculus

183

Como 1

15

n

n

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ es una serie geométrica convergente con 1 15

r = <

Por lo tanto, la serie en estudio es convergente.

11 2

3 3 1 1) ; 2 ;1 1n

ii nn n n n

=

∀ ≥ > =− −

Como 11 2

1n n

=∑ es una serie " "p divergente con 1 1

2p = <

Por lo tanto, la serie en estudio es divergente.

ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO 33. Determinar si la siguiente serie converge o diverge:

1

1 12n n n

=

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠∑

Solución. Se analizan los sumandos como dos series por separado:

∑∑∞

=

= −−

11 211

nn nn

El primer sumando corresponde a la serie armónica divergente y para el segundo se utiliza el criterio de comparación, de donde:

1 12n n>

entonces la serie 1

12n n

= −∑ es una serie divergente ya que su término enésimo es mayor al de la serie

armónica divergente. Este tipo de series al llegar a valores muy grandes el sumando " 2"− no resulta significativo, por lo que es una resta que tiende a cero. Por lo anterior se puede asegurar que llega a un límite y que por lo tanto la serie

1

1 12n n n

=

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ es convergente.

ALUMNO: ALEJANDRO FÉLIX REYES

34. Determinar el carácter de la siguiente serie, mediante el criterio de comparación:

31

11n n

= +∑

Solución. La serie 31 2

1n n

=∑ es una serie " "p , con 3 1

2p = > , por lo que es convergente.

Page 187: Problemario Calculus

184

Si se compara su término enésimo con el de la serie en estudio, se tiene que:

33 3 32

1 1 1 11 1n n n n< ⇒ <

+ +

Como los términos de la serie 3

1

11n n

= +∑ son menores que los de la serie 3

1 2

1n n

=∑ ; entonces, la

suma de la primera serie es menor que la suma de la segunda y si ésta última es convergente, entonces la primera también será convergente.

LOS COORDINADORES 35. Investigar la convergencia o divergencia de la siguiente serie, mediante el criterio de comparación:

1

12 n

n n

=∑

Solución. La serie 1

12 n

n

=∑ es una serie geométrica con 1 1

2r = < y por lo tanto convergente. Si se

comparan los términos enésimos, se llega a: 1 12 2n nn

<

Dado que el término 12 n es mayor que el término 1

2 nn , entonces la serie en estudio es convergente.

LOS COORDINADORES

36. Investigar la convergencia o divergencia de la siguiente serie mediante el criterio de la comparación:

1

l nn

nn

=∑

Solución. Si se compara su término enésimo con el correspondiente de la serie armónica divergente 1

1n n

=∑ se

tiene que: ln 1nn n

> ; entonces la suma de la serie en estudio es mayor que la suma de la serie armónica y

como ésta es divergente, entonces la serie estudiada es divergente.

LOS COORDINADORES

Page 188: Problemario Calculus

185

37. Determinar la convergencia o divergencia de la siguiente serie, mediante el criterio del límite de la comparación:

1

12 1n n

= −∑

Solución. Si se compara esta serie con la serie armónica divergente, 1

1n n

=∑ , se llega a:

112 1lim lim 01 2 1 2n n

nnn

n→∞ →∞

− = = >−

por lo tanto la serie en estudio es divergente.

LOS COORDINADORES 38. Determinar la naturaleza de la siguiente serie a partir del criterio del límite del cociente de la comparación:

1

12 n

n n

= −∑

Solución. Si se compara con la serie 1

12 n

n

=∑ , que es una serie geométrica convergente con 1 1

2r = < ,

se obtiene: 1

22lim lim 1 01 22

nn

nn nn

nn→∞ →∞

− = = >−

, por lo tanto la serie dada es convergente.

LOS COORDINADORES

39. Investigar la naturaleza de la siguiente serie, a través del límite del cociente de la comparación:

1

12 6n

n

= +∑

Solución. La serie 1

12 n

n

=∑ es una serie geométrica cuya razón 1 1

2r = < , por lo que es convergente. Y

si se calcula el límite l i m nn

n

ab→ ∞

, se tiene que:

Page 189: Problemario Calculus

186

1 22 1 12 6 2lim lim lim lim 1 01 62 62 6 11

2 22 2

n

nn n

nnn n n nn nn n

→∞ →∞ →∞ →∞

+ = = = = = >+ ++

Por lo tanto, la serie en estudio es convergente.

LOS COORDINADORES 40. Utilizar el criterio de las series de signos alternados para determinar si la siguiente serie, conocida como la armónica alternada, es convergente o divergente:

( ) 1

1

11 n

n n

∞−

=

−∑

Solución. El límite del término enésimo es 1lim 0n n→∞

= . Además, se debe cumplir que 1n na a +≥ ; esto implica

que el término enésimo como función es decreciente para todo valor de la variable mayor o igual a uno. Así:

( ) ( ) 21 1; ' 0 1f x f x xx x

= = − < ∀ ≥ . Por lo tanto la serie es convergente.

LOS COORDINADORES

41. Determinar el carácter de la siguiente serie alternada:

( ) 2

21

12

n

n

nn

=

−+∑

Solución. Una de las condiciones de convergencia de las series de signos alternados es que el límite del término enésimo debe ser igual a cero; entonces:

2

2 2

22

22 2

1 1lim lim lim 1 0222 11n n n

nn n

nnnn n

→∞ →∞ →∞= = = = ≠

+ ++

se concluye que la serie en estudio es divergente.

LOS COORDINADORES 42. Determinar el carácter de la serie dada mediante el criterio de Leibniz, y en caso de ser convergente, investigar si es absoluta o condicionalmente convergente.

( ) 12

1

2 11 n

n

nn n

∞−

=

+−

+∑

Page 190: Problemario Calculus

187

Solución. Se calcula el límite del término enésimo:

2 2 2

22

2 2

2 1 2 12 1 0lim lim lim 01 11n n n

nn n n n n

n nn nnn n

→∞ →∞ ←∞

+ ++= = = =

+ ++

Al cumplirse esta condición, ahora se tendrá que ver si se cumple que 1n na a +≥ , lo que se puede verificar al analizar la función cuya regla de correspondencia viene dada por el término enésimo de la serie y ver que se trate de una función decreciente. Así:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( )

2 2

2 22 2 2

2 2 1 2 12 1 2 2 1; ' ; ' 0 1x x x xx x xf x f x f x x

x x x x x x

+ − + ++ − − −= = = < ∀ ≥

+ + +

Por lo tanto, la serie en estudio es convergente. Si se analiza el valor absoluto del término enésimo de la serie, se

tiene la serie 21

2 1n

nn n

=

++∑ . Si se compara con la serie

1

1n n

=∑ que es la armónica divergente, se tiene

que:

( )2

2

2 12 1 2 1lim lim lim 2 01 1n n n

nn n nn n

n n nn

→∞ →∞ →∞

++ ++ = = = >+ +

Por lo que la serie es divergente. Finalmente se concluye que la serie ( ) 12

1

2 11 n

n

nn n

∞−

=

+−

+∑ es

condicionalmente convergente.

LOS COORDINADORES

43. Determinar por el criterio del cociente si la siguiente serie converge o diverge: ∑∞

= +1 14

n nn

Solución. Por el límite del término enésimo, se tiene que: 4lim 4 01n

nn→∞

= ≠+

por lo que es divergente. De

acuerdo con el criterio del cociente o de D’Alembert, se tiene que:

2)1(4

1 ++

=+ nna n ;

14+

=n

na n

=+

n

n

aa 1

( )=

+

++

14

214

nn

nn

( )( ) nn

nnnn

n2

122

12

22

+++

=++

121

121lim

2

12

lim2

12lim2

22

2

222

2

2

2

=+

++=

+

++=

+++

∞→∞→∞→

n

nn

nn

nn

nnn

nn

nnnn

nnn

Por lo tanto el criterio del cociente no decide. ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ RUBIO-MENDOZA

Page 191: Problemario Calculus

188

44. Determinar si la siguiente serie converge o diverge:

∑∞

=

+

1 31

nn

n

Solución. Por el criterio de D’Alembert se tiene que:

( )( ) ( )

11

1

23 2 2 2 13lim lim lim lim lim 11 3 1 3 1 3 3 3

3

nnn

nn n n n nn

n

nna n n

na n n n+

++→∞ →∞ →∞ →∞ →∞

++ + +

= = = = = <+ + + +

Como 131<=L , entonces la serie es convergente.

ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ RUBIO-MENDOZA

45. Determinar el carácter de la serie:

1

!1 0 n

n

n∞

=∑

Solución. Se aplica el criterio de D’Alembert y tenemos:

11 10)!1(

+++

= nnna y nn

na10

!=

( )1

1

1 !1 0

!1 0

nn

nn

na

na+

+

+

= = =+

+ !)(10)!1(10

1 nn

n

n

!10)!1(

nn + = ( )1 ! 1

1 0 ! 1 0n n n

n+ +

=

1 1lim lim10

nn n

n

a na+

→ ∞ → ∞

+= = ∞

El límite no existe, por lo tanto la serie es divergente.

ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ RUBIO-MENDOZA

46. Determinar el carácter de la serie ∑∞

= 0 !n

n

nn .

Solución. Para determinar su convergencia o divergencia se aplicará el criterio de D’Alembert. Entonces:

Page 192: Problemario Calculus

189

( )( ) ( )

( )( )( )

1

1 11

11 ! 1 ! 1 ! 1 1lim lim lim lim lim lim 1

1 ! 1 !!

n

n n n nn

n n nn n n n n nn

nn n n n na n ena n n n n n n nn

+

+ +

+

→ ∞ →∈ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞

++ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y como 1>e la serie diverge.

ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHAVEZ

47. Determinar si la serie ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1 43

n

n

n converge.

Solución. Se utiliza el criterio de convergencia del cociente o de D’Alembert:

1l im nn

n

a La

+

→ ∞= ; ( )

1

1 431

+

+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

n

n na ; n

n na ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

43

( ) ( ) ( )1

1

3 31 1 3 1 3 34 44 43

4

n

nn

n

n n na na n n n

n

+

+

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ + +⎝ ⎠= = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 3 3 3lim lim 14 4

nn n

n

a na n+

→ ∞ →∞

+= = <

Como 1<L , por lo tanto la serie converge.

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 48. Determinar el carácter de la siguiente serie:

1

8!

n

n

nn

=∑

Solución. Se utiliza el criterio del cociente o de D’Alembert y se tiene que:

( )( )

( )( ) ( )

( )

1

1 1

1

1 81 8 1 ! ! 1 88 ; ; lim lim

8! 1 ! 1 ! 8!

n

n nn

n n n nn n

nn n n nna a

nn n n nn

+

+ +

+ →∞ →∞

++ + +

= = =+ +

( )( )

! 1 8 8 8lim lim 0 11 ! 8

n

nn n

n nn n n n→∞ →∞

+= = <

+ ∴ la serie en estudio es convergente.

LOS COORDINADORES

Page 193: Problemario Calculus

190

49. Utilizar el criterio de la raíz para determinar la naturaleza de la siguiente serie de signos alternados:

( )( )1

212 1

nn n nn

− ⎛ ⎞− ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Solución. Se obtiene el límite de la raíz y:

1 1lim lim lim lim 112 1 2 1 22

n

n nnn n n n

n nan n

n→∞ →∞ →∞ →∞

⎛ ⎞= = = = <⎜ ⎟− −⎝ ⎠ −

Por lo que la serie es absolutamente convergente y por lo tanto convergente.

LOS COORDINADORES 50. Determinar el intervalo de convergencia de la siguiente serie, mediante el criterio de la raíz:

( )∑∞

=

1

2n

n

n

nx

Solución. Sea ( )n

n

n nxa 2−

= . Entonces por el criterio de la raíz:

( )2 1lim lim lim 2 0 1n

n nn nn n n

xa x

n n→∞ →∞ →∞

−= − = <

Por lo tanto, al ser este límite menor que 1 independientemente del valor de x , la serie converge en x∈ .

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA

51. Determinar el intervalo de convergencia de la serie de potencias:

∑∞

= −12 3n

n

nx

Solución.

32 −=

nxa

n

n ; ( ) 31 2

1

1−+

=+

+ nxa

n

n ; ( ) ( )( )

( )22

331

3

3

312

2

2

2

2

2

1

1

−+−

=−+

−=

−+=

+

+

nnnx

nnx

nx

nx

aa

n

n

n

n

Page 194: Problemario Calculus

191

( ) x

nn

nx

nnn

nn

nnn

xnn

nxnnn

=−+

−=

−+

−=

−+−

∞→∞→∞→

2

2

222

2

22

2

2

2

221

31lim

22

3

lim22

3lim

Si 1 1 1x x< ⇒ − < < , entonces la serie es convergente. Si 1 1 1x x x> ⇒ < − ∪ > , entonces la serie es divergente

Si 1

11

xx

x= −⎧

= ⇒ ⎨ =⎩ el criterio no decide; entonces habrá que determinar la naturaleza de la serie con

estos dos valores. Entonces: ( )

21

11

3

n

nx

n

=

−= − ⇒

−∑

( ) ( )( )22 2 2

1 1 2lim 0 ; ; ' 0 13 3 3n

nf n f n nn n n→∞

= = = − < ∀ ≥− − −

por lo que la serie es convergente.

21

113n

xn

=

= ⇒−∑

Si se compara con la serie 21

1n n

=∑ que es una serie " "p con 2 1p = > convergente. Entonces,

como 22

2

2

13lim lim 1 01 3n n

nnn

n→ ∞ → ∞

− = = >−

, la serie es convergente.

Se concluye entonces que el intervalo de convergencia de la serie ∑∞

= −12 3n

n

nx es [ ]1,1x ∈ −

ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ RUBIO-MENDOZA

52. Determinar el intervalo de convergencia de la siguiente serie

( )∑∞

=+

+

0132

nn

nxn

Solución. ( ) ( )( ) 1

11 2

2 1 23 3

n n

n nn n

n x n xa y a

+

++ +

+ + += = . Por el criterio de la razón o de D’Alembert se

tiene: ( )( )

( )( )1 1

12

1 2 13 1 1 1lim lim lim 2 lim 2 23 3 3 32

n nn

nnn n n nn

n x na nx x xa n nn x

+ ++

+→∞ →∞ →∞ →∞

+ + + += = + = + = +

+.

Page 195: Problemario Calculus

192

1 2 1 2 3 3 2 3 5 13

x x x x+ < ⇒ + < ⇒ − < + < ⇒ − < < ∴ intervalo de convergencia y el

radio de convergencia es "2" . 1 2 1 2 3 2 3 2 3 5 13

x x x x x x+ > ⇒ + > ⇒ + < − ∪ + > ⇒ < − ∪ > ∴ divergente

Para determinar qué sucede en los extremos de este intervalo, se sustituyen los valores en el término general. Así:

Para 5−=x , ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑∞

=

+∞

=+

+∞

=+

=+ −−=

−−=

−=

+−

0

1

01

1

01

01 1

31

33

31

33

325

n

n

nn

n

nn

n

nn

n

nnnn , que resulta ser una

serie divergente, según el criterio del término enésimo. Si 1=x , se obtiene la serie ( )1

0 0

3 13 3

n

nn n

nn

∞ ∞

+= =

=∑ ∑ ,

la cual es divergente . De modo que el intervalo de convergencia de la serie original es ( )1,5− .

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA 53. Determinar el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencias:

( )0

31

n n

n

xn

=

+∑

Solución. Sea ( ) ( ) 1 1

13 3

1 2

n nn n

n n

x xa y a

n n

+ +

+

− −= =

+ + . Entonces, por el criterio de la razón o de

D’Alembert: ( )

( )

1 11 3 1 1lim lim 3 3

22 3

n nn

n nn nn

xa n n x xa nn x

+ ++

→∞ →∞

− + += ⋅ = =

++ −

1 1 13 13 3 3

x x x< ⇒ < ⇒ − < < ∴ intervalo de convergencia

1 1 13 13 3 3

x x x x> ⇒ > ⇒ < − ∪ > ∴ divergente

El radio de convergencia es de 31 , y por lo tanto la serie converge en ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

31,

31 . Ahora se analiza que ocurre

en los extremos de este intervalo; se tiene que:

1)1(

131)3(

31

+−

=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⇒=nn

axn

nn

n . Éste es el término general de una serie alternada, por lo que

aplicando el criterio correspondiente tenemos:

( )( )

32

11 12 1lim 0 ' 0 1

11 2 1n

ny f n xnn n

→∞

+= = − = − < ∀ ≥++ +

por lo tanto es una serie alternada convergente.

Page 196: Problemario Calculus

193

11

131)3(

31

+=

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=⇒−=nn

ax

nn

n . Éste es el término de una serie positiva que, por el criterio

de comparación, se tiene que:

11 2 2

1 1;1n nn n

∞ ∞

= =+∑ ∑ es una serie " "p con 1 1

2p = < por lo que es divergente. Y como

1 11n n>

+ , entonces la serie

1

11n n

= +∑ es divergente.

Finalmente, el intervalo de convergencia de la serie original es ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ −

31,

31 .

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA

54. Determinar el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencias:

( ) ( )1

1

1 66

n n

nn

xn

+∞

=

− −∑

Solución. Al aplicar el criterio del cociente, tenemos:

( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1

111

1

61 6 6 6 6 6 6

lim lim lim lim6 1 6 6 1 6 6 6

6

n

n nn n nn

n n nn nn n n nn

n

xn n x n x xa

a x n x n xn

+

+++

+→∞ →∞ →∞ →∞

−+ − − −

= = =− + − + −

( )( )

6 1lim lim 6 66 1 6 6 6n n

n x n x xn n→∞ →∞

−= = − = −

+ +

De acuerdo con el criterio: 1 6 1 6 6 6 6 6 0 126

x x x x− < ⇒ − < ⇒ − < − < ⇒ < < , intervalo de convergencia

Si 1 6 1 6 6 6 6 6 6 0 126

x x x x x x− > ⇒ − > ⇒ − < − ∪ − > ⇒ < ∪ > , divergencia

Si 6 6 01 6 1 6 6

6 6 6 12x x

x xx x− = − ∴ =⎧

− = ⇒ − = ⇒ ⎨ − = ∴ =⎩ , entonces el criterio no decide.

Se analizará ahora la serie en estos valores extremos:

Si 0x = la serie resultante es 1

1n n

=∑ que es la serie armónica divergente.

Si 12x = la serie resultante es ( ) 1

1

1 n

n n

+∞

=

−∑ que es la serie armónica alternada que es convergente.

Page 197: Problemario Calculus

194

Finalmente se concluye que el intervalo de convergencia de la serie en estudio es ( ]0 ,1 2x ∈ .

LOS COORDINADORES 55. Determinar el intervalo de convergencia de la siguiente serie

∑∞

= +−02 1n

xn

nne

Solución. Sea ( )

( ) ( )

1

1 22 1 1 1 1

n xn x

n ne ea y a

n n n n

+

+= =− + + − + +

. Se aplica el criterio de la razón o de

D’Alembert y se tiene:

( ) ( )

( 1) 2 2 21

2 2 21 1 1lim lim lim lim

2 1 1 1 11 1 1

n xx x xn

nxn n n nn

a e n n n n n ne e ea e n n n n nn n

++

→∞ →∞ →∞ →∞

− + − + − += ⋅ = = =

+ + − − + + ++ − + +

1 0 1 0x xe e x< ⇒ < < ⇒ < ∴ intervalo de convergencia

1 1 0x xe e x> ⇒ > ⇒ > ∴ divergente

1 1 0x xe e x= ⇒ = ⇒ = ∴ criterio no decide

Para 0=x la serie toma la forma de ∑∞

= +−12 1

1n nn

.

Por el criterio de comparación, empleando la serie " "p convergente con 2=p y se tiene que:

22

2

2

11lim lim 1 01 1n n

nn nn n

n→∞ ←∞

− + = = ∴− +

f la serie ∑∞

= +−12 1

1n nn

es convergente

Por lo tanto, el intervalo de convergencia es: ( ]0,∞− .

ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA 56. Determinar la función f que esté representada por la serie de potencias:

( )2 31 ... 1 n nx x x x− + − + + −

Solución. Si 1x < , entonces la serie es una serie geométrica con r x= − y tiene como suma

( )1 1

1 1 1aS

r x x= = =

− − − +

Por lo tanto se tiene que:

( )2 31 1 11

n nx x x xx= − + − + + − +

+L L

Page 198: Problemario Calculus

195

Esta serie corresponde a la representación de serie de potencias para la función ( )x+

=1

1xf , en el intervalo

( )1 1,− .

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA 57. Determinar la serie de Maclaurin para la función ( )f x senx= y determinar para qué valores de " "x es convergente. Solución. Para determinar la serie de Maclaurin, se determinan las primeras derivadas de la función y se evalúan en 0=x , es decir;

( )f x senx= ; ( )0 0f =

( )' cosf x x= ; ( )' 0 1f = ''f (x) senx= − ; ( )'' 0 0f =

( )''' cosf x x= − ; ( )''' 0 1f = −

( )IVf x senx= ; ( )0 0IVf = Las siguientes derivadas de la función se repiten, siguiendo el mismo patrón. Por lo tanto, si se sustituyen en la serie de Maclaurin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 30 ''' 00 0

2 3!

nnf '' f f n

f x f f ' x x x x! n!

= + + + + + +L L

( ) ( ) ( ) ( )3 5 7 2 1 2 1

01 1

3 ! 5 ! 7 ! 2 1 ! 2 1 !

n nn n

n

x x x x xsenx xn n

+ +∞

=

= − + − + + − + = −+ +∑L L

Se utiliza el criterio de D’Alembert y ( )

( )

( )

( )( ) ( )( )

2 1 1

2 321

2 1 2 1

2 1 1 ! 2 1 ! 1lim lim lim lim 0 12 3 ! 2 3 2 2

2 1 !

n

nn

n nn n n nn

xn n xa xxa n x n nn

+ +

++

+ +→∞ →∞ →∞ →∞

⎡ + + ⎤ +⎣ ⎦= = = = <+ + +

+

por lo que la serie obtenida es convergente x∀ ∈ .

ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA 58. Obtener la serie de Maclaurin para la función ( ) xf x e= y probar que es convergente para todo valor real de " "x .

Solución. Si ( ) xexf = , entonces la enésima derivada de f es ( ) ( ) xk exf = y ( ) ( ) 00 1kf e= = , por lo tanto la serie de Maclaurin será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 32 3'' 0 ''' 0 0

0 ' 0 12! 3! ! 2! 3! !

n nx nf f f x x xf x e f f x x x x x

n n= = + + + + + + = + + + + + +L L L L

Page 199: Problemario Calculus

196

Por lo tanto ( )0 !

nx

n

xf x en

=

= = ∑

Si se aplica el criterio de D’Alembert se tiene que:

( )( )

1

11 1 ! ! 1lim lim lim lim 0 1

1 ! 1!

n

nn

n nn n n nn

xna n x x

xa n x nn

+

++

→∞ →∞ →∞ →∞

+= = = = < ∴

+ +serie convergente x∀ ∈

Entonces, la serie representa a la función ( ) xf x e= para todo valor real de " "x .

ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHAVEZ 59. Obtener el desarrollo de la serie de potencias de Maclaurin para representar a la función ( ) cos2f x x= y determinar para qué valores de " "x la representa: Solución. La Serie de Maclaurin está dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4'' 0 ''' 0 0 00 ' 0

2! 3! 4! !

IV n nf x f x f x f xf x f f x

n= + + + + + + +L L

Para la función dada: ( ) cos 2f x x= ⇒ ( )0 1f =

( )' 2 2f x s e n x= − ⇒ ( )' 0 0f =

( )' ' 4 c o s 2f x x= − ⇒ ( )'' 0 4f = −

( )' ' ' 8 2f x s e n x= ⇒ ( )''' 0 0f =

( ) 1 6 c o s 2IVf x x= ⇒ ( )0 16IVf =

( ) 32 2Vf x sen x= − ⇒ ( )0 0Vf =

( ) 64 cos 2VIf x x= − ⇒ ( )0 64VIf = − Entonces la serie es la siguiente:

( )( )

( )( )

2 2 2 22 4 6

0

1 2 1 24 16 64cos 2 1 cos 22! 4! 6! 2 ! 2 !

n nn n n n

n

x xx x xx xn n

=

− −= − + − + + + ⇒ = ∑L L

Si se utiliza el criterio del cociente para determinar su intervalo de convergencia, se tiene que:

( )

( )

( )( ) ( )( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 22

2 2 2 2 2

22 2 ! 2 ! 2 2 4lim lim lim lim 0 12 2 2 ! 2 2 2 2 1 4 6 2

2 !

n n

n n

n n n nn n n n

xn n x x x

x n x n n n nn

+ +

+ +

→∞ →∞ →∞ →∞

+= = = = <

+ + + + +

Por lo tanto, la serie de potencias representa a la función para todo valor real de " "x .

LOS COORDINADORES

Page 200: Problemario Calculus

197

60. Obtener los primeros cuatro términos de la serie de Taylor con 1=a para la siguiente función:

( )x

xf−

=3

1

Solución. De acuerdo con la serie de Taylor, se obtienen las primeras derivadas de la función.

( ) 13

f xx

=−

⇒ ( ) 112

f =

( )( )2

1'3

f xx

=−

⇒ ( ) 1' 14

f =

( )( )3

2''3

f xx

−=

− ⇒ ( ) 1'' 1

4f = −

( )( )4

6'''3

f xx

=−

⇒ ( ) 3''' 18

f =

La serie de Taylor está dada por:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 3'' '''

'2! 3! !

nnf c f c f c

f x f c f c x c x c x c x cn

= + − + − + − + + − +L L

luego:

( ) ( ) ( ) ( )2 31 11 1 1 1 313 2 4 4 2 8 3 !

x xf x x

x− −

= = + − − +−

( ) ( ) ( ) ( )2 31 1 1 1 11 1 13 2 4 8 16

f x x x xx

= = + − − − + −−

ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ