Investigación de operaciones

Programación lineal

Programación Lineal es una técnica cuantitativa ampliamente aplicada en sistemas que presenten relaciones lineales, para utilizar los recursos escasos de la mejor manera posible.

PROBLEMA 1.Un fabricante tiene cuatro órdenes de producción: A, B, C y D. La tabla que se incluye indica el número de horas-hombre que se requieren para fabricar estas órdenes en cada uno de los tres talleres (X, Y, Z) de la industria.Es posible dividir una orden entre varios talleres, por ejemplo, parte de la orden A puede ser procesada en X, parte en Y, y parte en Z. Así mismo, cualquier taller puede ejecutar fracciones de varias órdenes.

Si el fabricante desea minimizar los costos de producción, establezca el planteamiento del problema (Función objetivo y restricciones). Defina las variablesa emplear y explique su significado.

PROBLEMA 2La compañía Tejas Ltda., es un contratista grande que realiza trabajos de techos.Puesto que el precio de las tejas varía con las estaciones del año, la compañía trata de acumular existencias cuando los precios están bajos y almacenarlas para su uso posterior. La compañía cobra el precio corriente en el mercado por las tejas que instala, sin importar cuando las haya adquirido. La tabla que aparece al final refleja lo que la compañía ha proyectado como costo, precio y demanda para las tejas durante las próximas cuatro temporadas. Cuando las tejas se compran en una temporada y se almacenan para su uso posterior, se incurre en un costo de manejo de $6 por millar de piezas, así como también en un costo de almacenamiento de $12 por millar de piezas por cada temporada en la que se almacena. Lo máximo que se puede guardar en el almacén son 220.000 piezas, esto incluye el material que se compra para utilizarlo en el mismo período. La compañía ha fijado como política no conservar materiales más de cuatro temporadas. Plantee un modelo para el problema que permita a Tejas Ltda., maximizar sus utilidades para un período de cuatro temporadas.

PROBLEMA 3Un fabricante de muebles tiene tres plantas que requieren semanalmente 500, 700y 600 toneladas de madera. El fabricante puede comprar la madera a tres (3) compañías madereras. Los primeros dos fabricantes de madera tienen virtualmente un suministro ilimitado mientras que, por otros compromisos, el tercer fabricante no puede surtir más de 500 toneladas por semana. La primera fábrica de madera usa el ferrocarril como medio de transporte y no hay un límite al peso que puede enviar a las fábricas de muebles. Por otra parte, las otras dos compañías madereras usan camiones, lo cual limita a 200 toneladas el peso máximo que puede enviar a cualquiera de las fábricas de muebles. En la siguiente tabla se da el costo de transporte de las compañías madereras a las fábricas de muebles ($/Tonelada).

Formular y resolver el problema sabiendo que se quiere minimizar los costos de transporte.

PROBLEMA 4Un cierto fabricante de tornillos, ha constatado la existencia de un mercado para paquetes de tornillos a granel en distintos tamaños. Los datos de la investigación de mercados han demostrado que se podrían vender cuatro clases de paquetes con mezclas de los tres tipos de tornillos (1, 2 y 3), siendo los de mayor aceptación por el público. Los datos de la investigación realizada indicaron las especificaciones y los precios de venta siguientes:

Para estos tornillos la capacidad de la instalación y los costos de fabricación se indican a continuación:

¿Cuál sería la producción que debe programar este fabricante para obtener laGanancia máxima, suponiendo que puede vender todo lo que fabrique?

PROBLEMA 5En una industria pequeña de fabricación de cocinas de gas se debe programar la producción por un período de seis meses. Teniendo en cuenta que la producción es eminentemente manual, no existe gran ventaja en producir en grandes cantidades, sino más bien evitar gastos excesivos de almacenaje. Por consiguiente, se ha visto la conveniencia de acompasar, en lo posible, la producción a las necesidades mensuales de la demanda.Se empieza en el período con un stock de 60 unidades y se desea que al final del período quede una existencia de por lo menos 50 unidades como stock de seguridad.Las ventas realizadas en promedio en los cinco últimos años es - mes a mes – la señalada en la tabla. Después de estudiar las tendencias presentadas, se tiene la seguridad de que las ventas van a experimentar un 8% de incremento.El costo unitario de producción es de $1,000 (mil pesos) y los costos dealmacenamiento por unidad y mes (teniendo en cuenta la obsolescencia,alquileres de bodega, etc.) de $100 (cien pesos).

La capacidad de producción para cada mes se señala a continuación:

Con los datos anteriores, establecer la programación óptima para el período deSeis meses y calcular el costo total.

PROBLEMA 6.Una compañía elabora dos productos P1 y P2 cada uno requiere de componentes C1 y C2 la disponibilidad de componentes y precio de venta se muestra en el siguiente cuadro:

Producto Componentes Precio de Venta(S/./Unidad)C1 C2

P1 1 2 4P2 3 1 3

Dispone 15000 10000Se pide formular el problema y optimizar el ingreso de ventas

Solución 01:

Xi = unidades del producto a producir (i = 1, 2)

Función Objetivo: max Z = 4X1 + 3X2

Restricciones:X1 + 3X2 <= 15,0002X1 + X2 <= 10,000X1, X2 >= 0

Para el problema la función objetivo Z = 4X1 + 3X2 indica que X1 son la unidades del producto 1 cuyo precio de venta es 4 soles, X2 son la unidades del producto 2 cuyo precio de venta es 3 soles. Esta función llamada objetivo será óptima si consideramos las restricciones mencionadas, es decir las unidades del producto X1 más las unidades del producto X2 multiplicado por 3 debe ser menor que 15,000 unidades.

Este problema busca encontrar una ecuación matemática que optimice el ingreso de ventas, es decir que sea mas rentable eligiendo un número determinado de componentes para la elaboración de cada producto.

Así mismo no sólo consiste en encontrar la formula matemática sino que esta en función una serie de restricciones para que se logre la optimización.

PROBLEMA 7:La capacidad de producción de TEXTIL-PERU es de 900 unidades mensuales. Los costos unitarios de producción y el compromiso mensual de venta a EXPORT-PERU son como sigue:

Mes Costo de Producción(S/. / unidades)

Venta (Unidades)

1 100 3002 150 3503 200 400

Se pide formular el problema:

Solución 03:Xi = Producción en el mes i (i=1,2,3)

Función Objetivo: min Z = 100X1 + 150X2 +200X3

Restricciones:Mes 1: X1 <= 900

X1 >= 300

Mes 2: X2 <= 900 X1 + X2 >= 650

Mes 3: X3 <= 900 X1 + X2 + X3 >= 1050

El objetivo de este problema es minimizar los costos en función de una serie de restricciones (capacidad de producción y compromiso de venta).La función objetivo esta en función al producto de lo costos unitarios y unidades a producir. En las restricciones se considera los compromisos de venta para cada mes.

PROBLEMA 8.FLORANID S.A., es una empresa dedicada a la comercialización de abonos para plantas que emplea 3 tipos diferentes de ingredientes A, B y C, para conseguir 3 tipos de abonos 1, 2, y 3.

En cuanto a los ingredientes, su disponibilidad es limitada y sus costos son los siguientes:

INGREDIENTECANTIDAD

DISPONIBLE (kg)COSTOS(pts/kg)

A 4.000 1.300B 6.000 1.500C 2.000 1.000

Los costos de los abonos son:Abono 1 2.000 pts/kgAbono 2 3.000 pts/kg Abono 3 1500 pts/kg.

Además de lo anterior, los ingredientes han de mezclarse en proporciones específicas para asegurar una combinación adecuada:

Para el abono 1, no menos del 25 % de A y no más del 40 % de C; para el abono 2, no menos del 30 % de A, no menos del 20 % ni más del 30 % de B y no más del 15 % de C; y para el abono 3, no menos del 35 % de B.

Con todos los datos que FLORANID S.A. nos ha facilitado, nos piden que determinemos: ¿Cuánta cantidad de cada tipo de abono hay que producir de forma que se maximice el beneficio de la compañía?

Así pues, con los datos facilitados, podemos construir un primer esquema que nos permitirá desarrollar el modelo de programación lineal para la resolución del problema:

INGREDIENTES

ABONOS CANTIDAD DISPONIB

LE (kg)

COSTOS (pts/kg)1 2 3

A X11 X12 X13 4000 1300B X21 X22 X23 6000 1500C X31 X32 X33 2000 1000

VARIABLES DE DECISIÓN

Xij : cantidad de ingrediente del tipo i para cada tipo de abono j.

RESTRICCIONES

X11 + X12 + X13 4000X21 + X22 + X23 6000 Restricciones de disponibilidadX31 + X32 + X33 2000

0,75 X11 – 0,25 X21 – 0,25 X31 00,60 X31 – 0,40 X11 – 0,40 X21 0

0,70 X12 – 0,30 X22 – 0,30 X32 00,80 X22 – 0,20 X12 – 0,20 X32 0 Restricciones específicas de la

mezcla0,70 X22 – 0,30 X12 – 0,30 X32 00,85 X32 – 0,15 X22 – 0,15 X12 00,65 X23 – 0,35 X13 – 0,35 X33 0

FUNCIÓN OBJETIVO Bº = Ingresos – Gastos

Abono 1:

2000(X11 + X21 + X31) – 1300X11 – 1500X21 – 1000X31 = 700X11 + 500X21 + 1000X31

Abono 2:

3000(X12 + X22 + X32) – 1300X12 – 1500X22 – 1000X32 = 1700X12 + 1500X22 + 2000X32

Abono 3:

1500(X13 + X23 + X33) – 1300X13 – 1500X23 – 1000X33 = 200X13 + 500X33

Max (700X11 + 1700X12 + 200X13 + 500X21 + 1500X22 + 1000X31 + 2000X32 + 500X33)

Así pues, una vez definidas las variables de decisión, la función objetivo y las restricciones sujetas a ella, hemos trabajado los datos para proceder a su resolución. Por tanto, en el siguiente cuadro se muestra el resumen de la solución óptima hallada a través de los cálculos, y en la siguiente página presentamos el último cuadro del SIMPLEX.SOLUCIÓN ÓPTIMA:

X11 = 0 S1 = 0 X12 = 4000 S2 = 3328 X13 = 0 S3 = 0 X21 = 0 S4 = 0 X22 = 2182 S5 = 0 X23 = 490 S6 = 1818 X31 = 0 S7 = 727 X32 = 1091 S8 = 0 X33 = 909 S9 = 0 Z = 12700000

S10 = 0

En este cuadro se destaca principalmente la presencia de 10 variables de holgura (S), cada una de las cuales hace referencia a cada una de las restricciones que condicionan a la función objetivo.

Por tanto, puesto que ya sabemos que una variable básica es aquella cuya solución óptima es diferente de cero, podríamos clasificar las variables de la solución de la siguiente forma:

Variables básicas: X12 , X22 , X23 , X32 , X33 , S2 , S6 , S7 .

Variables no básicas: X11 , X13 , X21 , X31 , S1 , S3 , S4 , S5 , S8 , S9 , S10

Así pues, tal y como se ve reflejado en la solución del modelo de programación lineal que hemos definido, estas serían las combinaciones de ingredientes y las cantidades de abono producidas que nos permiten maximizar el beneficio:

Abono 1:No utilizamos ningún ingrediente para conseguir este tipo de abono, por lo que no vamos a producir nada de él.

Abono 2:Para conseguir este tipo de abono emplearemos 4000 kg del ingrediente A, 2182 kg del ingrediente B y 1091 kg del ingrediente C por lo que vamos a producir y vender 7273 kg del abono tipo 1.

Abono 3:Para producir este tipo de abono emplearemos 490 kg del ingrediente B y 909 kg del ingrediente C, sin utilizar nada del ingrediente A, a partir de los cuales produciremos y venderemos 1399 kg del abono tipo 3.

PROBLEMA 9.(Decisiones sobre producción) Una compañía produce dos productos, A y B. Cada unida de A requiere 2 horas en cada máquina y 5 horas en una segunda máquina. Cada unidad de B demanda 4 horas en la primera máquina y 3 horas en la segunda máquina. Se dispone de 100 horas a la semana en la primera máquina y de 110 horas en la segunda máquina. Si la compañía obtiene una utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B ¿Cuánto deberá de producirse de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total?

PRODUCTO HRSMÁQUINA 1

HRSMÁQUINA 2

UTILIDAD

A 2 5 $ 70 POR KILOB 4 3 $50 POR KILO

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar?

x1 = la Cantidad de producción de A en unidadesx2 = la Cantidad de producción de B en unidades

Max Z = 70x1 + 50x2 …….(1)Sujetos a:2x1 + 4x2 < 100 ……... (2)5x1 + 3x2 < 110 ……….(3) lo que queda Planteadox1, x2 > 0

Problemas de Solución de Modelos con el Método Gráfico

PROBLEMA 10.El modelo es formulado por una empresa asesora de inversiones para elaborar la cartera de un cliente. Las variables X1 y X2 representan la cantidad de acciones Tipo 1 y 2 a comprar para satisfacer el objetivo establecido de maximizar el retorno anual de esa inversión o compra de acciones. El monto total disponible para invertir es de $80.000. El riesgo es una medida relativa de las dos inversiones alternativas. La acción Tipo 1 es una inversión más riesgosa. Limitando el riesgo total para la cartera, la firma inversora evita colocar montos excesivos de la cartera en inversiones de retorno potencialmente alto pero de alto riesgo.

También se limita el monto de acciones de mayor riesgo.

En este caso 1, conteste lo siguiente:

1.1 ¿Qué representa el coeficiente de la variable X2 en la Función Objetivo y en la segunda restricción?1.2 ¿Qué Tipo de solución presenta el modelo?, ¿Por qué? y ¿Cómo se reconoce en el gráfico?1.3 ¿Cuál es la decisión que se recomendaría con la solución encontrada?

1.4 Analice las restricciones en el punto óptimo y presente la información que se obtiene.1.5 ¿Qué efecto tendría sobre la solución óptima encontrada un cambio en el retorno anual de cada acción Tipo 2. Suponga que cambia a 9. Explique y muestre sobre el gráfico. ¿Cómo se llama este Análisis que se hace?

PROBLEMA 11. Resuelva el siguiente problema:Max Z = x1 + (1/2) x2s. r.2x1 + x2 ≤ 4x1 + 2 x2 ≤ 3x1 ≥ 0 , x2 ≥ 01. Resolver gráficamente.2. Resolver empleando el método del Simplex (forma Tabular)

PROBLEMA 12.Resuelva el siguiente problema:Max Z = 2x1 + x2s. r.-x1 + x2 ≤ 1x1 - 2x2 ≤ 2x1 ≥ 0 , x2 ≥ 01. Resolver gráficamente.2. Resolver empleando el método del Simplex (forma Tabular)