problemas aritmÉticos nÚmeros inteiros, racionais, …

RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS | Módulo 1 (Teoria) – Prof. Pacífico

CURSO PRIME ALDEOTA – Rua Maria Tomásia, 22 – Aldeota – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208. 2222 CURSO PRIME CENTRO – Av. do Imperador, 1068 – Centro – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208.2220 CURSO PRIME PARANGABA – Av. Augusto dos Anjos, 1915 (Instalações do Colégio Jim Wilson)

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OS: 0025/10/21-Gil

CONCURSO: PMCE – SOLDADO – OPERAÇÃO FINAL

ASSUNTO:

PROBLEMAS ARITMÉTICOS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS PROBLEMAS MATRICIAIS

PROBLEMAS ARITMÉTICOS

NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS, REAIS E SUAS OPERAÇÕES

Conjunto dos Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos N* = N – {0} = {1, 2, 3, 4, ...}

Conjunto dos Números Inteiros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Conjunto dos Números Inteiros Não-Nulos Z* = Z – {0} = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}

Conjunto dos Números Inteiros Não-Negativos Z+ = {0, 1, 2, 3, ...}

Conjunto dos Números Inteiros Não-Positivos Z_ = {..., –3, –2, –1, 0}

Conjunto dos Números Inteiros Positivos Z+* = Z+ – {0} = {1, 2, 3, ...}

Conjunto dos Números Inteiros Negativos Z_* = Z_ – {0} = {..., –3, –2, –1}

Conjunto dos Números Racionais

0q com Zqp, ;q

px/xQ

Propriedades

Todo número que pode ser escrito na forma de fração é um número racional.

Todo número inteiro é um número racional.

Todo número decimal exato é um número racional.

Toda dízima periódica, seja ela simples ou composta, é um número racional.



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OS: 0025/10/21-Gil

Conjunto dos Números Irracionais

0q com Zqp, ;q

px/xΙQ

...4142,12 e = 2,71828... = 3,14159...

Conjunto dos Números Reais

QQR

Conjunto dos Números Complexos

C = {z/z = a + bi com a, b R e i2 = -1}

RESUMO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS (DIAGRAMA DE VENN)

Naturais e Inteiros

Todos os naturais e inteiros podem ser escritos como fração. Afinal, eles representam divisões exatas.

Exemplos:

5

10

1

22

5

30

1

66

8

0

1

00

2

18

1

9981

Decimais

Esse número pode ser escrito na forma fracionária colocando-se o número sem vírgula sobre 1 seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais, ou seja, após a virgula. Exemplos:

10

44,0

100

1212,0

1000

8125125,8

10

15

100

22525,2

Dizima Periódica Simples

Nem toda dízima pode ser escrita em forma de fração, só as periódicas. No caso das simples, elas possuem apenas uma parte periódica, ou seja, que se repete. Para transformar em fração, basta escrever o número que se repete, sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem. Exemplos:

9

4...444,04,0

999

125....125125125,0125,0

99

12...121212,012,0

9999

5526....265526552655,05526,0



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OS: 0025/10/21-Gil

Dizima Periódica Compostas

No caso das compostas, elas possuem um parte não periódica (que não se repete) e outra parte periódica (que se repete). Para transformar em uma fração equivalente você pode escrever a parte não periódica seguida da parte periódica, menos a parte não periódica, tudo sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos que estão após a vírgula.

Exemplos:

90

221

90

24245...4555,254,2

990

5331

990

535384...3848484,5843,5

900

4846

900

5385384...38444,5438,5

900

1985

900

2202205...20555,2520,2

990

804

990

8812...8121212,0128,0

999

5379

999

55384...384384384,5384,5

Observação

Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p).

Quando um número não é primo dizemos que ele é composto.

Existem infinitos números primos.

Importante

Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC

(a, b) = 1.

DIVISÃO EM N

Algoritmo da Divisão

Onde: D = dq + r Obs.: r < d (sempre!!!)

Múltiplos de um Número Natural M(1) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...) M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...} .............................................. M(x) = {0, x, 2x, 3x, 4x, 5x, ...}



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OS: 0025/10/21-Gil

Divisores de um Número Natural D(1) = {1} D(2) = {1, 2} D(3) = {1, 3} D(4) = {1, 2, 4} D(5) = {1, 5} D(6) = {1, 2, 3} D(7) = {1, 7} D(8) = {1, 2, 4, 8}

Observação

Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p).

Quando um número não é primo dizemos que ele é composto.

Existem infinitos números primos.

MMC e MDC

MMC mínimo (ou menor) múltiplo comum O m.m.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-

comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. MDC máximo (ou maior) divisor comum O m.d.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada

um elevado ao menor expoente.

Exemplos:

M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, ...} D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} M(18) = {18, 36, 54, 72, 90, ...} D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} MMC(12, 18) = 36 MDC(12, 18) = 6

Observação

Podemos calcular o MMC e o MDC de uma quantidade qualquer de números.

Importante

Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC(a, b) = 1.

Relação entre MMC e MDC

MMC(a, b) MDC(a, b) = a b



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OS: 0025/10/21-Gil

FRAÇÕES

Representação

b

a ou b

a

a numerador e b denominador

Número Misto

c

bAc

c

bA

c

bA

Soma e Subtração

db

bcda

d

c

b

a

Multiplicação

db

ca

d

c

b

a

Divisão

c

d

b

a

dc

ba

Inversão

a

b

b

a1

Importante

d

c

b

a ad = bc

db

ca

d

c

b

a

Se a = kb a/b = k, dizemos que a é diretamente proporcional à b.

Se a = k/b ab = k, dizemos que a é inversamente proporcional à b.

k constante de proporcionalidade



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OS: 0025/10/21-Gil

PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

GEOMETRIA BÁSICA

REVISÃO SOBRE ÂNGULOS

Sejam VA e VB duas semi-retas de mesma origem, num plano . Ângulo é por definição, cada uma das

regiões em que o plano fica dividido por essas semi-retas, incluindo as semi-retas.

O ponto V chama-se vértice do ângulo, as semi-retas VA e VB são os lados do ângulo e o ângulo é

representado por BV̂A ou AV̂B .

TIPOS DE ÂNGULOS

» Ângulo Raso – Aquele em que os lados são duas semi-retas opostas, isto é, têm mesma origem e sentidos

contrários.

180o

A BV

Ao ângulo raso associamos a medida de 180o (cento e oitenta graus). O ângulo raso também é conhecido por ângulo de meia volta.

» Ângulo de Uma Volta – Aquele em que os lados são duas semi-retas coincidentes; seus pontos ocupam todo o plano.

360o

A B



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OS: 0025/10/21-Gil

Ao ângulo de uma volta associamos a media de 360o (trezentos e sessenta graus).

» Ângulo Reto – Num ângulo raso BV̂A , traçamos uma semi-reta VC , separando o ângulo BV̂A em dois

ângulos adjacentes CV̂A e BV̂C ; se esses dois ângulos tiverem medidas iguais, então cada um deles será,

por definição, um ângulo reto.

Ao ângulo reto fica então associada a medida de 90o (noventa graus).

» Ângulo Agudo – É todo ângulo de medida entre 0o e 90o.

0o < < 90o

» Ângulo Obtuso – É todo ângulo de medida entre 90o e 180o.

90o < < 180o

» Ângulos Complementares – São dois ângulos cuja soma das suas medidas é 90o. Dizemos que cada um

deles é o complemento do outro.

» Ângulos Suplementares – São dois ângulos cuja soma das suas medidas é 180o. Dizemos que cada um

deles é o suplemento do outro.

» Ângulos Explementares – São dois ângulos cujo a diferença entre o maior e o menor é 180o. Dizemos que o

menor deles é o explemento do maior. Como exemplo, temos os ângulos de 225o e 45o. Eles são explementares, pois 225o – 45o = 180o.

» Ângulos Replementares – São dois ângulos cuja soma de suas medidas é 360o. Dizemos que cada um deles é o replemento do outro. Como exemplo, temos os ângulos de 300o e 60o. Eles são replementares, pois 290o + 70o = 360o.

» Ângulos Opostos pelo Vértice (o.p.v.) – São dois ângulos que têm apenas o vértice em comum e tais que a união dos lados forma duas retas concorrentes, isto é, duas retas que possuem apenas um ponto comum.



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OS: 0025/10/21-Gil

ATENÇÃO !!!

- Dois ângulos o.p.v. são sempre congruentes, isto é, têm a mesma medida ( = ). - Duas retas concorrentes que formam quatro ângulos congruentes são chamadas retas

perpendiculares e esses ângulos são retos.

QUADRILÁTEROS

a + b + c + d = 360o

PARALELOGRAMOS

Paralelogramo é todo quadrilátero que tem dois pares de lados opostos paralelos.

Todo paralelogramo possui as seguintes propriedades importantes:

- lados opostos iguais. - ângulos opostos iguais. - ângulos consecutivos suplementares.

- as diagonais interceptam-se no ponto médio.

Vejamos agora três paralelogramos especiais: o retângulo, o losango e o quadrado; repare que

estes três quadriláteros são paralelogramos, o que implica a validade das quatro propriedades vistas anteriormente, para cada um deles.

AM = MC BM = MD



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» Retângulo – É o paralelogramo que tem quatro ângulos retos.

» Losango – É o paralelogramo que tem os quatro lados iguais.

Num losango, ocorrem duas propriedades importantes:

- as diagonais são perpendiculares - as diagonais são bissetriz dos ângulos internos do losango.

» Quadrado – É o paralelogramo que tem quatro ângulos retos e os quatro lados iguais.

Observe que na definição de quadrado entram as características do retângulo (4 ângulos retos) e as do losango (4 lados iguais), por isso, o quadrado é, ao mesmo tempo, um retângulo e um losango.



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TRAPÉZIOS

Trapézios são os quadriláteros que têm apenas um par de lados opostos paralelos. Esses lados paralelos

chamam-se bases do trapézio.

TIPOS DE TRAPÉZIOS

» Trapézio Isósceles – É aquele onde os lados não paralelos são iguais. Conseqüentemente, os ângulos

adjacentes a uma mesma base são iguais.

Repare que o trapézio isósceles pode ser decomposto em dois triângulos retângulos iguais e um retângulo.

» Trapézio Retângulo – É aquele que tem dois ângulos internos retos.

» Trapézio Escaleno – É aquele que possui todos os lados diferentes e todos os ângulos internos diferentes.



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OS: 0025/10/21-Gil

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são ditos congruentes quando eles são exatamente iguais. Existem quatro maneiras bem rápidas e práticas para concluirmos se dois triângulos são congruentes ou não.

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

1º Caso (AAA):

MA e

NB

PC

2º Caso (LLL): NP

BC

MP

AC

MN

AB

Para indicar que um triângulo ABC é semelhante a um triângulo MNP, usamos a notação:

ABC ~ MNP Toda vez que dois triângulos forem semelhantes, poderemos montar a seguinte razão entre seus lados:

ABC ~ MNP kNP

BC

MP

AC

MN

AB

k razão de semelhança entre os dois triângulos

Dicas !!!

Se dois triângulos são semelhantes, com razão de semelhança igual a k, então: 1) Os lados correspondentes são proporcionais (com razão k) 2) As alturas correspondentes são proporcionais (com razão k) 3) Os perímetros são proporcionais (com razão k) 4) Os raios das circunferências inscritas (e também das circunscritas) são proporcionais (com razão k) 5) As áreas dos triângulos são proporcionais (com razão k2) 6) As áreas dos círculos inscritos são proporcionais (com razão k2) 7) As áreas dos círculos circunscritos são proporcionais (com razão k2)

POLÍGONOS SEMELHANTES

k'f

f

'e

e

'a

a

d'

d

c'

c

b'

b

2

2

1 kA

A

k razão de semelhança



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OS: 0025/10/21-Gil

LEMBRETES IMPORTANTES

» Os números Pitagóricos 3, 4 e 5

x2

÷10

» O triângulo Retângulo Isósceles

» A diagonal de um quadrado

» A altura de um triângulo equilátero

ÁREAS DOS QUADRILÁTEROS



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OS: 0025/10/21-Gil

1. Retângulo

Diagonal: hbd 22

2. Quadrado

Diagonal: 2Ld

3. Paralelogramo

4. Losango

Relação Importante:

2

d

2

DL

22

2

5. Trapézio



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6. Quadrilátero com diagonais perpendiculares

ÁREAS DOS TRIÂNGULOS

1. Triângulo Qualquer

2. Triângulo Equilátero

3. Área de um Hexágono Regular



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OS: 0025/10/21-Gil

4. Triângulo Retângulo

Obs.: bc = ah 5. Em função dos 3 lados (Fórmula de Herão)

Onde 2

cbap

(semi-perímetro)

6. Em função de 2 lados e do ângulo entre eles

sen.b.a.A2

1

sen.c.a.A

2

1

sen.c.b.A2

1

ÁREAS DAS FIGURAS CIRCULARES



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1. Círculo

2R.A ou

4

D.2

A

Onde: D = 2R diâmetro da circunferência

Comprimento da Circunferência

C = 2..R ou C = D.

= 3,14159...

2. Coroa Circular

3. Setor Circular

» em graus:

o

2

360.R.A



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OS: 0025/10/21-Gil

» em radianos:

2

R2

.

A

4. Segmento Circular

PROBLEMAS MATRICIAIS

MATRIZES

Definição É uma tabela formada por números reais distribuídos em m linhas e n colunas, onde m e n são números

naturais e não nulos.

Ex1.:

042

721

Ex2.:

53

69 Ex3.: 750

Nota: Em uma matriz qualquer M, cada elemento é indicado pelo símbolo aij. O índice i indica a linha e o índice j

a coluna às quais o elemento pertence. Com a convenção de que as linhas sejam numeradas de cima para baixo (de 1 até m) e as colunas, da esquerda para a direita (de 1 até n), um matriz m x n (lê-se: m por n) é representada por uma das maneiras abaixo:

mn2m1m

n22221

n11211

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

M

Classificação das Matrizes » Matriz Retangular: É uma matriz onde o número de linhas é diferente do número de colunas nm .

Ex.:

042

731



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OS: 0025/10/21-Gil

» Matriz Quadrada: É uma matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas (m = n).

Lê-se matriz de ordem 3

» Matriz Linha: É uma matriz onde só existe uma linha (m = 1), mas o número de colunas pode ser qualquer valor natural não-nulo ( *Nn ).

Ex.: 1440

» Matriz Coluna: É uma matriz onde só existe uma coluna (n = 1), mas o número de linhas pode ser qualquer

valor natural não-nulo (m N*).

Ex.:

10

6

1

» Matriz Nula: É uma matriz onde todos os elementos são iguais à zero.

Ex.:

000

0000

» Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal

principal são nulos.

Ex.:

700

040

002

» Matriz Triangular: É uma matriz onde os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos.

Ex1:

193

075

001

Ex2:

100

270

683

» Matriz Unidade ou Identidade (In): É uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da

diagonal principal são iguais a 1 e os demais iguais a zero.

Ex1:

10

012I

Ex2:

100

010

001

3I

» Matriz Transposta (At): Seja A uma matriz de ordem m x n, denominamos a transposta da matriz A, a matriz

de ordem n x m obtida, trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas.

Ex.:

07

43

21

A042

731A

2x3

t

3x2



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OS: 0025/10/21-Gil

Igualdade de Matrizes Duas matrizes A e B são iguais quando são do mesmo tipo m x n e apresentam os elementos

correspondentes iguais.

Ex.:

ba

ba

ba

ba

bb

bb

aa

aa

2222

2121

1212

1111

2221

1211

2221

1211

Adição de Matrizes

Duas matrizes A e B do mesmo tipo são adicionadas somando-se os elementos correspondentes.

Ex.:

119

75

76

54

43

21

Subtração de Matrizes

Duas matrizes A e B do mesmo tipo são subtraídas, somando-se A a oposta (ou simétrica) da matriz B.

Ex.:

213

304

435

235

642

531

Importante!!!

Chama-se de oposta da matriz A, a matriz A', tal que A' + A = 0 A' = – A.

Ex.:

43

21A

43

21A A'

Produto de um Número Real por uma Matriz O produto de um número real k por uma matriz é efetuado multiplicando-se o número k por todos os

elementos da matriz.

Ex.:

129

63

43

21.3

Produto de Duas Matrizes

Dada as matrizes A = (aij)mxk e B = (bij)kxn. O produto A . B é igual a matriz C = (cij)mxn obtida multiplicando-

se os elementos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna e somando os produtos parciais obtidos.

Ex.:

241710

1074

3.44.32.43.31.42.3

3.24.12.23.11.22.1

321

432.

43

21



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OS: 0025/10/21-Gil

Observações !!!

1. A definição dada acima garante a existência do produto A . B somente se o número de colunas de A

for igual ao número de linhas de B. 2. A definição acima também garante que o produto A . B é uma matriz que tem o número de linhas da

matriz A e o número de colunas da matriz B.

3. A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A . B B . A. Quando ocorre de A . B = B . A, dizemos que A e B comutam.

Anotações

problemas aritmÉticos nÚmeros inteiros, racionais, …

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