problemas de aplicación a triángulos
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Problemas de aplicación a triángulos. Definición. Si un observador está mirando un objeto, entonces la línea del ojo del observador al objeto se llama línea de visión. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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DefiniciónSi un observador está mirando un objeto, entonces la línea del ojo del observador al objeto se llama línea de visión.
Angulo de elevación
Angulo de depresión
Línea de visión
Línea de visión
Si el objeto está debajo de la horizontal, entonces el ángulo entre la línea de visión y la horizontal se llama ángulo de depresión.
Si el objeto que está siendo observado está arriba de la horizontal, entonces el ángulo entre la línea de visión y la horizontal se llama ángulo de elevación.
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Una persona parada sobre una colina ve un asta de bandera que sabe tiene 60 pies de altura. El ángulo de depresión respecto a la parte inferior del asta es 30° y el ángulo de elevación respecto a la parte superior del asta es 45°. Encuentre la distancia x.
45°30°
x
60-h
h
60
Tomamos las distancias h y 60-h En el triángulo 45°- 45°-
90°:
x
h45tan
En el triángulo 30°- 60°-90°:
x
h60
30tan
Ejemplo 1:
4
45°30°
x
60-h
h
60
Despejamos h e igualamos:
Despejamos x:
x
h45tan
x
h60
30tan
Ejemplo 1(continuación):
45tan30tan60 xx
60)45tan30(tan x
45tan30tan
60x
piesx 09.38
133
60
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La fórmula para el volumen V de un cono circular recto es . Si el radio de la base es r =6, y la altura h, exprese el volumen como función de α.
V r h213
tan6h
Por lo tanto:
6tan h
Reemplazando este valor en V se tiene:
21 (6) (6tan )3
V
72 tanV
α
h
r
Ejemplo 2:
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El techo se define en meteorología, como la distancia vertical del suelo a la base de las nubes. Para medir el techo se coloca un reflector apuntando verticalmente hacia la nube. ¿Cuál es el valor de esta altura h?
tan(71.5 )150
x
150tan(71.5) 448.302x
1.7 448.302 1.7 450h x m 1.7
150 m
71.5
x
h
Ejemplo 3:
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Un piloto vuela en línea recta a una altitud constante, a 800 pies sobre el nivel del mar. A unos 3000 pies hay una montaña, la cual, de acuerdo con su mapa, tiene una elevación de 2000 pies. ¿Cuál es el ángulo mínimo al cual debe dirigir el avión para poder sobrevolar la montaña?
800
2000
3000
1200
α
1200 2tan53000
1 25
tan 21.8
Ejemplo 4:
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Se construye un túnel recto con extremos A y B a través de una montaña. Desde el punto C, el topógrafo determina que AC= 600 metros, BC=500 metros y el ángulo C= 80°. Determine la longitud del túnel.
BA
C
600 50080
Aplicando la ley del coseno se tiene:
c a b ab C2 2 2 2 cos
c2 22 500 600 2 500 600 cos80
c metros686.8
Ejemplo 5:
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Una caja rectangular de lados 6m, 8m y 10m se muestra en la figura siguiente. Determine el ángulo α formado por la diagonal de la base con la diagonal del lado 6 x 8.
Solución
Trazamos la diagonal del lado 10x8 y hallamos sus medidas:
106
8
Extraemos el triángulo formado por las diagonales.
1068
342610
412810
22
22
22
c
b
a
Ejemplo 6:
10
a
c
b
a
b
c
2 41
2 34
10
Aplicamos la ley del coseno:
a b c bc2 2 2 2 cos
164 136 100 213600 cos
1cos 0.00264705
89.8
Ejemplo 6(continuación):
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Un helicóptero vuela a una altura de 1500 pies sobre la cima de una montaña A, con una altura conocida de 4800 pies. Una segunda cima de otra montaña cercana B, más alta, es vista con un ángulo de depresión de 50⁰ desde el helicóptero y con un ángulo de elevación de 15 ⁰ desde A. Determine la distancia entre las dos cimas de las montañas y la altitud aproximada de B.
15⁰
50⁰
1500 pies
AB
C A C B
Se tiene
75 40 por lo tanto 65 R R R
c
Aplicando la ley del seno
sen65 sen401500
c pies1500sen40
1063.85sen65
c es la distancia entre las dos montañas
Ejemplo 7:
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Para hallar la altitud de la montaña B utilizamos el triángulo rectángulo con ángulo agudo 15°
sen151063.85
x
275.34 piesx
Altitud de B
3300 275.34 pies
3575.34
pies
15⁰
50⁰
1500 pies
A
B15⁰ x
Ejemplo 7(continuación):
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Ejemplo 8:
Desde la parte superior de un edificio de 100 pies, un hombre observa un automóvil que se mueve delante de
él. Si el ángulo de depresión del automóvil cambia de 15° a 33° durante el periodo de observación, ¿Cuál es la
distancia que recorrió el automóvil?
10015°
30°
x
El triángulo que se tiene es:
100
x
15°30°
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Ejemplo 8 (continuación):
15°30°
100
x
Del triángulo rectángulo se tiene:
a
b100
30ab
sen 1001/ 2
ab
200ab
c
En el triángulo abc se tiene:ángulo en b = 150°
200a c
x
sen sen
ángulo en c = 15°
200 1515
senx
sen
x = 200 pies
La distancia recorrida por el vehículo son 200 pies
(triángulo isósceles)