problemas de controle Ótimo em escalas temporais: existência de soluções
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Problemas de Controle timo em EscalasTemporais: Existncia de Solues
Iguer Luis Domini dos Santos
CNMAC 2012
Setembro de 2012
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Problemas de Controle timo em Escalas Temporais: Existncia de Solues
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Preliminares Compacidade das Trajetrias Lema de Filippov Existncia de solues Consideraes Finais
Sistemas de Controle
x(t) = f (t, x(t), u(t)) a.e. t [a, b] (1)
I x Rn varivel de estadoI u(t) U(t) varivel de controle
F (t, x) = {f (t, x , u) : u U(t)}
obtemos a incluso diferencial
x(t) F (t, x(t)) a.e. t [a, b]. (2)
Hipteses: (2) = (1). Por Lema de Filippov (SIAM - 1962).
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Preliminares Compacidade das Trajetrias Lema de Filippov Existncia de solues Consideraes Finais
Problemas de Controle timo em Escalas Temporais
(Q)
min g(x(a), x(b)) sobre (x , u)x(t) = f (t, x(t), u(t)) a.e. t [a, b)Tu(t) U(t) a.e. t [a, b)T(x(a), x(b)) A C
I A,C Rn; f : T Rn Rm Rn; g : Rn Rn RI U : T Rm uma multifunoI T uma escala temporal: um subconjunto no-vazio e fechado de R.I x AC ([a, b]T,Rn); u : T Rm -mensurvel.I Propsito: Existncia de um processo timo para o problema decontrole timo (Q).
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Preliminares Compacidade das Trajetrias Lema de Filippov Existncia de solues Consideraes Finais
Conceitos Bsicos
Denio
Seja T uma escala temporal. Denimos : T T como
(t) = inf{s T : s > t}
e : T T como(t) = sup{s T : s < t}.
Estamos supondo que inf = supT e sup = inf T.
Denio
Se T uma escala temporal, denimos : T [0,+) como
(t) = (t) t .
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Conceitos Bsicos
Denio
I Se A R, denimos AT = A T.I B = {x Rn : x 1}, sendo x a norma euclidiana de x
Denio
Seja T uma escala temporal. Se supT < + denimos
T = T \ ((supT), supT]T
e se supT = + denimos T = T.
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Conceito de Derivada
Denio (Derivada )
Seja T uma escala temporal, f : T R e t T. Se R tal que,para todo > 0 existe > 0 de modo que
| f ((t)) f (s) ((t) s) | | (t) s |
para todo s (t , t + )T , dizemos que a derivada delta de f emt e denotamos = f (t).
Denio
Considere uma escala temporal T, uma funo f : T Rn e t T.Dizemos que f -diferencivel em t se cada funo coordenadafi : T R for -diferencivel em t. Neste casof (t) = (f
1(t), ..., f n (t)) .
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Clculo em Escalas Temporais
Teorema (Bohner-Peterson (2001))
Considere uma escala temporal T, f : T R e t T. Ento:(i) Se f -diferencivel em t ento f contnua em t.(ii) Se f contnua em t e (t) > t, ento f -diferencivel em t.Alm disso,
f (t) =f ((t)) f (t)
(t).
(iii) Se (t) = t, ento f -diferencivel em t se, e somente se, o limite
lims T t
f (t) f (s)t s
existe como um nmero real. Neste caso
f (t) = lims T t
f (t) f (s)t s
.
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Observao
Considere f : T R. Se T = R, temos (t) = t ento f (t) = f (t).Se T = Z ento (t) = t + 1 e f (t) = f (t + 1) f (t).
Teorema (Bohner-Peterson (2001))
Seja T uma escala temporal. Suponha que as funes f , g : T R so-diferenciveis em t T. Ento:(i) A soma f + g : T R -diferencivel em t e vale a relao
(f + g)(t) = f (t) + g(t).
(ii) O produto f .g : T R -diferencivel em t. Alm disso,
(f .g)(t) = f (t)g(t) + f ((t))g(t) =
f (t)g(t) + f (t)g((t)).
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Contribuies
I Clculo em escalas temporais: introduzido por Hilger (1988) paraunicar o clculo de diferena e o clculo diferencial.
I Aplicaes da teoria de escalas temporais em diversas reas:Agarwal et al. (2002); Lakshmikantham et al. (1996).
I Clculo das Variaes: Bohner (2004); Hilscher e Zeidan (2004);Malinowska et al. (2011).
I Programao Dinmica: Hilscher e Zeidan (2012); Zhan et al.(2009).
I Existncia de Solues para Incluses Dinmicas: Akin-Bohner eSun (2011); Atici e Biles (2004); Belarbi et al. (2005); Bohner e Tisdell(2005); Chang e Li (2007); Frigon e Gilbert (2011); Santos e Silva(2012).
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Contribuies
I Problemas de Controle timo em Escalas Temporais: Hilscher eZeidan (2011); Hilscher e Zeidan (2009); Peng (2012); Peng et al.(2009); Peng et al. (2011); Zhan et al. (2012); Zhan e Wei (2009).
Condies necessrias otimalidade: Hilscher e Zeidan (2011);Hilscher e Zeidan (2009); Peng et al. (2009); Zhan et al. (2012); Zhan eWei (2009).
Existncia de solues para problemas de controle timoescalares: Peng (2012); Peng et al. (2011); Zhan et al. (2012); Zhan eWei (2009).
I Provaremos a existncia de solues para uma classe de problemas decontrole timo descritos por equaes dinmicas vetoriais em escalastemporais.
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Medida Exterior
I Usamos uma escala temporal T compacta, sendo
a := minT < maxT := b.
I Denote por F := {[a, b)T : a, b T}. Sendo [a, a)T = .
Denio
Seja E T arbitrrio. Se existe pelo menos uma sequncia de intervalos[aj , bj)T F tal que E
j [aj , bj)T, denimos a medida exterior de E
como
m(E ) = inf{ +
k=1
(bk ak) : E k
[ak , bk)T , [ak , bk)T F}.
Se no existir uma tal cobertura de E denimos m(E ) = + .
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Observao Convencionamos que m() = 0.Observao Denotaremos a medida exterior em R por .
Lema (Guseinov (2003))
Se c , d T e c < d ento
m([c, d)T) = d c.
Lema (Cabada e Vivero (2006))
Seja E [a, b)T tal que E {t T : (t) = t}. Ento
m(E ) = (E ).
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Conjuntos -Mensurveis
Denio
Um conjunto E T chamado de -mensurvel (Lebesgue-mensurvel) se
m(A) = m(A E ) + m(A (T \ E ))
para cada conjunto A T.
Proposio (Cabada e Vivero (2006))
Tome E T. Ento E -mensurvel se, e somente se, E Lebesguemensurvel.
Corolrio
A famlia de conjuntos -mensurveis uma -lgebra.
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-Medida de Lebesgue
Denio
Chamamos a medida m : [0,+] de -medida de Lebesgue edenotamos m .
Denio
Dizemos que uma proposio P vale -quase sempre (-a.e.) emT \ {b}, se o conjunto N dado por
N = {t T \ {b} : P nao vale em t}
tal que (N) = 0.
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-Integral de Lebesgue
Denio
Dizemos f : T [,+] -mensurvel se para cada R oconjunto
{t T : f (t) < }
-mensurvel.
Denio
A funo f : T Rn -mensurvel se cada funo coordenadafi : T R -mensurvel.
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Denio
Se f : T [,+] -mensurvel e E , denimos integral deLebesgue de f sobre E como em Rudin (1987). Denotamos por
E
f (s)s
e chamamos de -integral de Lebesgue de f sobre E
I Propriedades bsicas e resultados bsicos da teoria de integrao:Bartle (1995), Royden (1968) e Rudin (1987).
I Se f = (f1, ..., fn) : T Rn -mensurvel, denimosE
f (s)s =(
E
f1(s)s, ...,
E
fn(s)s).
I Se E , denotaremos por L1(E ,Rn) o conjunto das funesf : T Rn -mensurveis e integrveis em E .
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Arcos
Denio
Diz-se que uma funo f : T Rn absolutamente contnua se paratodo > 0 existe > 0 tal que
ni=1
f (bi ) f (ai ) <
quando ai bi e {[ai , bi )T}ni=1 so intervalos disjuntos satisfazendo
ni=1
(bi ai ) < .
I Tais funes so chamadas de arcos.I Vale o Teorema Fundamental do Clculo.
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Arcos
Teorema
Uma funo f : T Rn absolutamente contnua se, e somente se, asseguintes condies so vlidas:(i) -a.e. t [a, b)T a funo f -diferencivel e f L1([a, b)T,Rn)(ii) para cada t T tem-se
f (t) = f (a) +
[a,t)T
f (s)s .
I A prova uma consequncia direta do caso f : T R provado porCabada e Vivero (2005).
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Multifunes
Denio
I (,F) um espao mensurvel.I Uma multifuno uma aplicao : Rn que aplica pontosx em subconjuntos (x) de Rn.I Uma multifuno : Rn F-mensurvel quando o conjunto
1(V ) = {x : (x) V 6= }
F-mensurvel para cada conjunto compacto V Rn.
O grco de uma multifuno dado por
Gr := {(, v) Rn : v ()}
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Hipteses H1 e H2: Existncia de Solues
(H1) F : T Rn Rn no-vazia, compacta, convexa e Bn-mensurvel. Alm disso, a.e. t [a, b)T a multifunoF (t, .) : Rn Rn possui o grco fechado
(H2) Existe uma funo c : T [0,+) em L1([a, b)T) tal que
F (t, x) (x+ c(t))B
para todo (t, x) T Rn, sendo > 0.
Denio
Considere uma multifuno F : T Rn Rn no-vazia. Dizemos queuma funo x AC (T,Rn) uma trajetria de F se satiszer a seguinterestrio
x(t) F (t, x(t)) a.e. t [a, b)T .
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Existncia de Solues
(P)
min g(x(a), x(b)) sobre x AC ([a, b]T,Rn)
x(t) F (t, x(t)) a.e. t [a, b)T(x(a), x(b)) A C
sendo A,C Rn.
Teorema (Trajetria tima para (P))
I F : T Rn Rn satisfaz (H1) e (H2).I A compacto e C fechado. A funo g : Rn Rn R semicontnua inferiorI Se (P) possui uma trajetria admissvel ento existe uma trajetriatima.
Prova: UsamosI Compacidade de Trajetrias
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Teorema (Compacidade)
I F : T Rn Rn satisfaz (H1) e (H2).I xi : T Rn arcos tal que {xi (a)} limitada.I yi : T Rn funes -mensurveis tal que yi (t) 0 -a.e.t [a, b)TI : T [0,+) em L1([a, b)T) de modo que
yi (t) (t) t T, i
I Se para cada i temos
xi (t) F (t, xi (t) + yi (t)) a.e. t [a, b)T
ento existe {xik} {xi} e uma trajetria x de F tal que xik x .
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Existncia de Trajetria tima
(P)
min g(x(a), x(b)) sobre x AC ([a, b]T,Rn)
x(t) F (t, x(t)) a.e. t [a, b)T(x(a), x(b)) A C
Prova: Seja {xi} uma sequncia de trajetrias admissveis tal que
lim g(xi (a), xi (b)) = inf{g(x(a), x(b)) : x (P)} := IP .
I Da "Compacidade"existe {xik} {xi} e uma trajetria x de F talque xik x
I A C fechado (x(a), x(b)) A C x admissvel.I Sendo
IP = lim g(xi (a), xi (b)) = lim inf g(xik (a), xik (b)) g(x(a), x(b)) IP
conclumos que x uma trajetria tima do problema (P)Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
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Lema de Filippov
I Em tempo contnuo, uma questo de grande relevncia no estudode incluses diferenciais a seleo (h H) de uma funosatisfazendo determinadas propriedades.
I Generalizamos um resultado clssico de seleo mensurvelbastante utilizado na teoria de controle timo: Lema de Filippov.
I Considere a restrio dinmica{x(t) = f (t, x(t), u(t)) a.e. t [a, b)Tu(t) U(t) a.e. t [a, b)T .
(3)
Se (x , u) satisfaz (3) tambm satisfaz
x(t) {f (t, x(t), u) : u U(t)} a.e. t [a, b)T . (4)
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Lema de Filippov em escalas temporais
Teorema (Lema de Filippov)
I U : T Rm no-vazia, fechada e -mensurvel.I f : T Rn Rm Rn contnua em (x , u) para cada t xado, e-mensurvel em t para cada (x , u) xado.I Se x AC ([a, b]T,Rn) satisfaz (4) ento existe uma seleo-mensurvel u de U tal que (x , u) satisfaz (3).
Prova:I Propriedades de multifunes (Mensurabilidade).
I Seleo Mensurvel: Castaing e Valadier (1977).
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Problemas descritos por equaes dinmicas
I f : T Rn Rm Rn; U : T Rm no-vazia, compacta e-mensurvel
(Q)
min g(x(a), x(b)) sobre (x , u)x(t) = f (t, x(t), u(t)) a.e. t [a, b)Tu(t) U(t) a.e. t [a, b)T(x(a), x(b)) A C
sendo x AC ([a, b]T,Rn) e u : T Rm uma funo -mensurvel.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
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Existncia de Processo timo
Teorema
I f : T Rn Rm Rn satisfaz:(i) f contnua em (x , u) para cada t xado, e -mensurvel em t paracada (x , u) xado.(ii) o conjunto f (t, x ,U(t)) convexo para cada t T e x Rn.(iii) existem > 0 e c : T [0,+) em L1([a, b)T) tal que
f (t, x , u) x+ c(t)
para todo (t, x , u) T Rn U(t).I A um conjunto compacto e C um conjunto fechado.I Se existe um processo factvel (x , u) ento existe um processo timo(x , u).
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
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Prova:I F : T Rn Rn denida como
F (t, x) = {f (t, x , u) : u U(t)}.
I Usando o Teorema "Trajetria tima para (P)"e o "Lema deFilippov"prova-se a existncia de um processo timo (x , u) para oproblema (Q).
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
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Consideraes Finais
I Usando a teoria da medida em escalas temporais: compacidade dastrajetrias de incluses dinmicas vetoriais: fazendo um paralelo com ocaso contnuo Vinter (2000).
I Foi obtida uma estenso do Lema de Filippov: Filippov (1962).
I Assim como no caso clssico Loewen (1993), Vinter (2000): apropriedade de compacidade de trajetrias tambm pode ser utilizadapara a obteno de solues para problemas de controle timo.
I Em tempo contnuo (incluses diferenciais) o Lema de Filippov usado na obteno de condies necessrias a otimalidade paraproblemas de controle timo padro: Vinter (2000).
I Nos trabalhos de controle timo em escalas temporais: inclusesdinmicas em escalas temporais so pouco exploradas.I Acreditamos que esse trabalho contribui para a explorao dasincluses dinmicas na teoria de controle timo.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
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R. Agarwal, M. Bohner, D. O'Regan, A. Peterson, Dynamicequations on time scales: a survey, J. Comput. Appl. Math., 141(2002) 1-26.
Akin-Bohner, E., Sun, S., Existence of solutions for second-orderdynamic inclusions, Int. J. Dynamical Systems and DierentialEquations, Vol. 3, No.1-2, pp. 24-37, 2011.
Atici, F.M., Biles, D.C., First order dynamic inclusions on timescales, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 292,No.1, pp. 222-237, 2004.
Bartle, R.G., The Elements of Integration and Lebesgue Measure,John Wiley and Sons, New York, 1995.
Belarbi, A., Benchohra, M., Ouahab, A., Existence results forimpulsive dynamic inclusions on time scales, Electronic Journal ofQualitative Theory of Dierential Equations, No. 12, 22 pp., 2005.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
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Preliminares Compacidade das Trajetrias Lema de Filippov Existncia de solues Consideraes Finais
Bohner, M., Calculus of variations on time scales, Dynamic Systemsand Applications, Vol. 13, No.3-4, pp. 339-349, 2004.
Bohner, M., Peterson, A., Dynamic Equations on Time Scales,Birkhauser, Boston, 2001.
Bohner, M., Tisdell, C.C., Second order dynamic inclusions, Journalof Nonlinear Mathematical Physics, Vol. 12, No.2, pp. 36-45, 2005.
Cabada, A., Vivero, D.R., Criterions for absolute continuity on timescales, Journal of Dierence Equations and Applications, Vol. 11,No. 11, pp. 1013-1028, 2005.
Cabada, A., Vivero, D.R., Expression of the Lebesgue -integral ontime scales as a usual Lebesgue integral; application to the calculusof -antiderivatives, Mathematical and Computer Modelling, Vol.43, No.1-2, pp. 194-207, 2006.
Castaing, C., Valadier, M., Convex Analysis and MeasurableMultifunctions, Vol. 580, Springer Lecture Notes in Mathematics,Berlin, 1977.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
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Preliminares Compacidade das Trajetrias Lema de Filippov Existncia de solues Consideraes Finais
Chang, Y.K., Li, W.T., Existence results for dynamic inclusions ontime scales with nonlocal initial conditions, Computers andMathematics with Applications, Vol. 53, No. 1, pp. 12-20, 2007.
Filippov, A. F., On certain questions in the theory of OptimalControl, SIAM J. Control Optimization, Vol. 1, pp. 76-84, 1962.
Frigon, M., Gilbert, H., Systems of rst order inclusions on timescales, Journal of the Juliusz Schauder Center, vol.37, pp.147-163,2011.
Guseinov, G.S., Integration on time scales, Journal of MathematicalAnalysis and Applications, Vol. 285, No.1, pp. 107-127, 2003.
Hilger, S.: Ein Makettenkalkl mit Anwendung aufZentrumsmannigfaltigkeiten. Doktorthesis, Universitt Wrzburg,1988.
Hilger, S., Analysis on measure chains- a unied approach tocontinuous and discrete calculus, Results in Mathematics, Vol. 18,No.1-2, pp. 18-56, 1990.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
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Preliminares Compacidade das Trajetrias Lema de Filippov Existncia de solues Consideraes Finais
Hilscher, R., Zeidan, V., Calculus of variations on time scales: weaklocal piecewise C 1rd solutions with variable endpoints, Journal ofMathematical Analysis and Applications, Vol. 289, No.1, pp.143-166, 2004.
Hilscher, R., Zeidan, V., First order conditions for generalizedvariational problems over time scales, Computers & Mathematicswith Applications, Issue 9, vol. 62, pp. 3490-3503, 2011.
Hilscher, R., Zeidan, V., Hamilton-Jacobi theory over time scalesand applications to linear-quadratic problems, Nonlinear Analysis:Theory, Methods & Applications, Vol.75, No. 2, pp. 932-950, 2012.
R. Hilscher, V. Zeidan, Weak maximum principle and accessoryproblem for control problems on time scales, Nonlinear Analysis, Vol.70, No.9, pp. 3209-3226, 2009.
Lakshmikantham, V., Sivasundaram, S., Kaymakalan, B., DynamicSystems on Measure Chains, Kluwer Academic Pub, Vol.370, 1996.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Problemas de Controle timo em Escalas Temporais: Existncia de Solues
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Preliminares Compacidade das Trajetrias Lema de Filippov Existncia de solues Consideraes Finais
P.D. Loewen, Optimal Control via Nonsmooth Analysis, CRMProceedings Lecture Notes, Vol.2, American Mathematical Society,Providence, RI, 1993.
Malinowska, A.B., Martins, N., Torres, D.F.M., Transversalityconditions for innite horizon variational problems on time scales,Optimization Letters, No 1, vol. 5, pp. 41-53, 2011.
Pawluszewicz, E., Torres,D.F.M., Avoidance control on time scales,Journal of Optimization Theory and Applications, 145 (2010)527-542.
Peng, Y., A Class of Optimal Control Problems on Time Scales,Energy Procedia, Vol. 16, pp. 1760-1767, 2012.
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Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Problemas de Controle timo em Escalas Temporais: Existncia de Solues
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Preliminares Compacidade das Trajetrias Lema de Filippov Existncia de solues Consideraes Finais
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Problemas de Controle timo em Escalas Temporais: Existncia de Solues
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Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Problemas de Controle timo em Escalas Temporais: Existncia de Solues
Main PartConceitos e Resultados BsicosCompacidade das Trajetrias para Incluses DinmicasLema de Filippov em escalas temporaisExistncia de solues para problemas de controle timoConsideraes Finais e Referncias