problemas de ecuaciones diferenciales| fiee-unac

7/24/2019 PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES| FIEE-UNAC

1/19

ECUACIONES DIFERENCIALES

TEMA:

Primera Prctica Calificada

PROFESOR:

Ral Castro Vidal

FECHA:

23/!/"#

$R%PO:

$&

'(TE$RA(TES:

) Cer*a+tes ,-a. 01is

) ,-a. 0a1ra erso+

) Me+do.a $1ti4rre. V-ctor

) Moli+a ,-a. A+to+5

) Pime+tel Mo+.6+ Ale7is

) Ro8as Salcedo 9ia+elli) Villa+1e*a Esi+o.a Art1r $a;riel

2"#)1eremos i+5ectar 1+ medicame+to e+ 1+ 6r?a+o 1ma+o@ S1o+?amos 1e el*ol1me+ de circ1laci6+ sa+?1-+ea del 6r?a+o es "B cm3 5 1e i+5ecta+ "cm3/mi+@ de a?1a destilada co+ @3 m?r/cm3de co+ce+traci6+ de medicame+tos@0a sa+?re e+tra al 6r?a+o a la misma ra.6+ 1e sale@ Si e+ el i+sta+te i+icial +oa5 rese+cia de medicame+to@ E+ 14 mome+to la co+ce+traci6+ delmedicame+to e+ el 6r?a+o ser de @B m?r/ cm3D

Solucin:

Si desi?+amos or X(t) la ca+tidad de medicame+te rese+te e+ el 6r?a+o e+ el

i+sta+te t

te+emos x (0 )=0 5 +1estra ec1aci6+ es:

dx

dt=0.3 (1 )

x

150(1)

E+to+ces la ec1aci6+ li+eal 1eda:

dx

dt+

x

150=0.3

150

x45dx+dt=0

Sol1ci6+ de *aria;le seara;le de la E,O:

x (t)=4545e1150

t

>1eremos e+co+trar t,

tal 1e:


3/19

x (t,)150

=0.05

E+to+ces:

x (t, )=7510

=7,5

4545e1150

t

=7.5

e1150

t,

=37.5

45

t,=150 ln( 37.545)min27.34min

;= %+ rod1cto 1-mico C se rod1ce e+ 1+a reacci6+ 1-mica e+ 1e i+ter*ie+e+los rod1ctos A 5


4/19

Sa;emos 1e:

R i( t)+Ld i (t)

dt +

1

CQ (0 )=V

,eri*a+do:

d2Q

dt +

R

L

dQ

dt+

Q

LC=V

S1stit15e+do los *alores de R 0 5 C e+ la ec1aci6+ difere+cial o;te+emos:

d2Q

dt +50

dQ

dt +

i

0,001=110

0a ec1aci6+ a17iliar es:

s2+50 s+1000=0

E+to+ces la sol1ci6+ caracter-stica ser:

s1=25+515i s2=255 15 i

Como las ra-ces so+ comle8as co+81?adas e+to+ces la res1esta del circ1ito es

s1;amorti?1ada

0a ec1aci6+ a17iliar es:

Qh(t)=A1 e25t

cos 515 t+A2e25 t

sen515 t

0a sol1ci6+ artic1lar es :

Qp(t)= 110

1000=0.11

E+to+ces

Q(t)=A1 e25t

cos515 t+A2 e25 t

sen515 t+0.11

,e las co+dicio+es i+iciales >G= 5 'G= o;te+emos:

A1+0.11=0


5/19

25A1+515A2=0

E+to+ces:A1=0.11 5 A2=0.24

Por co+si?1ie+te:

Qt=0.11 e25 t

cos515t0.24e25tsen515 t

9 la corrie+te el4ctrica *ie+e dada or:

I( t)=7.22e25 t

sen515 t

;= S1o+?amos 1e decides matar al rofesor de a+lisis de circ1itos @%+a *e.eretrado el eco se e+c1e+tra el c1ero e+ el desaco del mismo 1e est a1+a temerat1ra de 2C a las I de la tarde@ 0a temerat1ra cororal de cad*erera de 3BC e+ dico mome+to@ %+a ora ms tarde la temerat1ra era de 33C@A 14 ora se rod18o el orriila+te 5 ;r1tal s1cesoD

Solucin:

>1eremos allar la ora 1e se rod18o el s1ceso a artir de la *elocidad de

e+friamie+to del cad*er@ 0a teor-a de e+friamie+to de (eJto+ se da 1e el calor

tra+sferido es roorcio+al a la *ariaci6+ de temerat1ra *ie+e descrita or la

ec1aci6+:

dT

dt=k(TTa)

C15a sol1ci6+ ?e+eral *ie+e dada or:

T=Tm+cekt

,etermi+aremos c ara esto se tie+e: ara t TT cT)Tm

T=Tm+(T Tm)ekt

,atos:


6/19

T33 C Ta2 C

T3B C tI mi+

33=20+ (3520 ) ekt

13=15 ekt

13=15ek(60)

k 0.00238

Por lo ta+to la sol1ci6+ toma la forma:

T=20+15e0.00238t

Para determi+ar el i+sta+te de la m1erte te+dremos e+ c1e+ta 1e la temerat1ra +ormal

de 1+a erso+a *i*a es de 3& C 5 or ta+to:

37=20+15e0.00238 t

17=15e0.00238t

1.13=e0.00238t

t 51.35 51minutos

Por lo ta+to la ora de la m1erte f1e:18h51min=17.09h

5.09pm

Problema 4:

Res1el*a las si?1ie+tes ec1acio+es difere+ciales:


7/19

a)xdy

dx+

y

Lnx=

x (x+Lnx )

y2Lnx

Solucin:

xdy

dx+

y

lnx=

x (x+lnx )y

2lnx

dy

dx+

1

xlnx. y=

x+ lnxlnx

. y2

Solucin de la EDOB:

y=

{(1) e

1 fx dx

[x e

1 fx dx dx+c

]}

1

1

Siendo =-2

y={3e3 1

x (lnx )dx[x+lnxlnx e

3 1x (lnx )

dx

dx+c ]}1

3

(x+lnx )lnx

.e3 ln (lnx ) dx+c

}{3e3 ln (lnx )

y=

y={3 ln3x [x+lnxlnx . ln3xdx+c ]}1

3

y=

{3 ln

3x [ (x+lnx ) ln2x dx+c ]

}

1

3


8/19

x

x ln2x+ln3

3 ln3x

y=

x+6 lnx6x3 ln2 +C

ln3 }

x2

4(2 ln2x2 lnx+1)+x

{3 ln3x y=

x+6 lnx6x3 ln2 +C

ln3

x2

4(2 ln2x2 lnx+1)+x

y

3

=3 ln

3

x

b) (2x2y+2y+5 )dx+(2x3+2x)dy=0

Solucin:

!(x , y )=2x2y+2y+5"# !(x , y )

# y

=2x2+2

$(x , y )=2x3+2x"# $(x , y)

# x =6x2+2


9/19

#!(x , y)# y

%# $ # (x , y )

#x (o es e7acta

Por factor de i+te?raci6+:

&(x )= 1$(x , y )(

# !(x , y )# y

# $(x , y)# x )

&(x )= 1

2x (x2+1)(2x2+2(6x2+2))=2x

x2+1

u (x)=e 2x

x2+1=eln(x

2+1)= 1

x2+1

Al m1ltilicar la ec1aci6+ difere+cial oru (x )=

1

x2+1

!(x , y )=2y+ 5

x2+1

"# !(x , y )

# y =2

$(x , y )=2x"# $(x , y)

# x =2

Como# !(x , y)

# y =

#$(x , y )# x la ec1aci6+ difere+cial es e7acta@

a

x

!(u , y ) du+'

y

$(a ,( ) d(=0

a

x

(2y+ 5u2+1 )du+'y

2ad(=0

(5a)ctan (u )+2yu )| xa+(2a( )|y'=C

5a)ctan (x )+2yx5a)ctan (a )2ya+2ay2a'=C


10/19

y=k5a)ctan(x )

2x

c= Res1el*a el PV':

{yx2+y2 dxx (x2+y2 )dy=0

y (1 )=1

Solucin:

y x2+y2 dxx (x2+y2 )dy=0

x2+y2 (ydxxdy )=0

ydx

x . y

xdy

x . y=0"

dx

x

dy

y=0

dxxdy

y=C "LnxLny=C " ln (xy)=C

ln(xy )=ln (k) "x

y=k " y=

x

k

Para 9G"= "

y=x

k"1=

1

k"k=1"x=y

Problema 5:


11/19

G"= Para el circ1ito de la Fi?1ra Ga= determi+e 5Gt= ara tK@

Solucin:

n|VcR1.V0R1+R2|= tR1.R2R1+R2

.C

+ln (k)

ln|VcR 1.V0

R1+R2k

|= tR1.R2

R1+R2.C

VcR1.V0

R1+R2

=e

tR1.R 2

R1+R2.C

Vc=k et(R1+R2)R1.R2.C +

R 1.V0

R1+R2

(alo) inicial Vc=0y el(alo) final es:

R1.V0

R1+R2,entoncesk=

R1.V0R1+R2


12/19

1et(R1+R2)R1.R2.C

Vc=R1.Vo

R1+R2

=

G2= Para el circ1ito de la Fi?1ra G;= determi+e iGt= ara tK@

Solucin:

i=d*

dt

*=CV , i=d*

dt=c

dV( t)dt

,V( t)=20 i(t)

i1 (t)+i 2(t)+0.5 i (t)=i(t)

i1 (t)+i 2 (t)=0.5 i (t)

V1

40+C

V(t)dt

=0.5 i( t)

40V(t)

40

+20i(t)

dt

=0.5 i(t)

120i (t)40+20

i (t)dt=0.5i(t)


13/19

1+20i(t)dt=i(t)

2i (t)dti (t)=1

i (t)dt0.05i ( t)=0.05++(1)

x=0.05

& . I=e0.05dt

=e0.05 t

E+@@ G"=

e0.05 ti(t)

dt0.05e0.05 ti (t)=0.05e0.05 t

d (i ( t)e0.05)dt

0.05 e0.05 t"i (t)=1+C e0.05 t

t=0

0=1+c" c=1

Fi+alme+te 1eda:

i (t)=1e0.05 t

Problema :

Sea la E,O:


14/19

1

2

''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 0, , : . ( ) ,

( ).

y x f x y x g x y x siendo f g I R R continuas Si y x es solucin hallar la

segunda solucin y x

+ + =

,ar dos e8emlos de alicaci6+@

Solucin:

() )=)2+ f(x ) )+(x)

R1=f(x )

2 +

f(x )24 (1 )( (x))

2 ,R2=

f(x )2 +

f(x )24 (1 )( (x ))

2

Un cambio de variable

u=f(x )

24 (1 )( (x ))

2

Entonces las races son:

y1(x )=e

x2cos(ux) , y

2(x )=e

x2 sen (ux)

Despeando ex2 :

ex2 =

y1(x)

cos (ux)

!eempla"ando en la se#unda solucin:

y2(x )=

y1

cos (ux )sen (ux )=y

1tan (ux )

!eempla"ando u:

y2 (x )=y1(x ) tan (f(x )

24 (1 )( (x ))

2 (x))


15/19

Eemplo $:

y4y +4y=0

() )=)24 )+4=0

() )=()2 ) ()2 )=0

R1 ,R2=2

%ue#o el sistema de soluciones es: e2x

, xe2x

&or lo tanto:

y=c1e2x+c2xe

2x

Eemplo 2:

y+y=0

() )=)2+1=0

() )=(0)/0

24 (1)(1)2(1)

=0

R1=i ,R2=i

%ue#o el sistema de soluciones es: cos (x) ,sen (x)

&or lo tanto:

y=c1cos (x )+c2 sen(x )


16/19

Problema !:

a= Res1el*a e i+terrete:

S1o+?a 1e e+ 1+ la?o 1+a o;laci6+ de eces PGt= es atacada or 1+a

e+fermedad e+ el tiemot=0 co+ el res1ltado de 1e los eces de8a+ de

rerod1cirseGla tasa de +acimie+tos es0=0 = 5 la tasa de mortalidad 1

Gm1ertes a la sema+a or e.= es a artir de ese mome+to roorcio+al a

1/ @ Si i+icialme+te a;-a ! eces e+ el esta+1e si des14s de I

sema+as 1eda+ ##" e+ c1+to tiemo morir+ todos los ecesD

Solucin:

d

dt= (01)

=(0k 1 )

=k

1

E+to+ces:

21

2=kt+c

LSi:(0 )=900

"2 (30 )=k(0 )+c

" c=60

LSi:(6 )=441


17/19

"2 (21 )=k(6 )+60

"42=6k+60

"k=3

01e?o:

(t)=1

4(603 t)2

Para sa;er el tiemo 1e demorara+ e+ morir todos los eces(t)=0

"1

4(603 t)2

=0

"t=20 semanas

"206=14 semanas.

;= Res1el*a e i+terrete:

S1o+?a 1e 1+a com1+idad c1e+ta co+ "B erso+as 1e so+ s1sceti;lesde ad1irir el s-+drome de Mica1d 1+a e+fermedad co+ta?iosa@ E+ el tiemo

t=0 el +mero (Gt= de erso+as 1e a+ desarrollado el adecimie+to es de

B 5 este se i+creme+ta a 1+a tasa de B s18etos or d-a@ As1ma 1e (Gt= es

roorcio+al al rod1cto del +mero de a1ellos 1e a+ ad1irido la e+fermedad

5 el de a1ellos 1e +o@ C1+to tiemo tomara ara 1e otras B erso+as

desarrolle+ el s-+drome de Mica1dD

Solucin:

!esolviendo el problema con valores iniciales:

(15000 )dN

kN Ndt

=

'

(0) 5000x =


18/19

(allando la epresin *nal' tenemos:

1500015000( )

(15000 ) 1 2 ktdN kdt N t

N N e= =

+ ' sea la ecuacin inmediata+

Usando el dato:

&ara t=,

(0) 5000x =

&ara t=$

(1) 5500x =

tiene un incremento de .,,)

Encontramos el valor de /:

15000

15000(1) 5500

1 2 k

N

= =+

1915000 ln( ) 15000 0.146

22k k = =

0inalmente:

1 t)=$,,,, ) incremento .,,)

0.146t

15000( )

1 2N t

e=

+


19/19

0.146t

0.146

15000 110000 ln( )

1 2 4t e

e

= =

+

9.49t dias =

problemas de ecuaciones diferenciales| fiee-unac

Documents