problemas de f sica estad stica. curso 2014-2015 · la mayor parte de los problemas propuestos en...
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Seleccionados por Daniel Alonso Ramırez
IUdEA, Instituto Universitario de Estudios Avanzados y Facultad de Fısicas
Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015
i
Foreword
La mayor parte de los problemas propuestos en esta coleccion han sido seleccionados
de los de los textos que se encuentran en la bibliografıa. Cada problema contiene
la cita al texto del que ha sido extraido. Por ejemplo,
• 2.2.1 Gas ideal ultrarrelativista1
La llamada 1 a la nota de pie de pagina indica que el problema 2.2.1 lo puedes
encontrar en el texto Statistical mechanics(An Advanced course with problems and
solutions), por R. Kubo,H. Ichimura, T. Usui y N. Hashitsume. Publicado por
North-Holland publishing company, 1971, como consta en la entrada [Kubo et al.
(1971)] de la bibliografıa.
1[Kubo et al. (1971)]
iii
Contents
Seleccionados por Daniel Alonso Ramırez
Foreword iii
1. Problemas de repaso 1
1.1 Breve repaso de termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Ecuaciones fundamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 Gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.4 Relaciones termodinamicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.5 El cuerpo negro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Modelos Mecanicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Energıa en centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Potencial cuartico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Potencial de Lennard-Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.4 Molecula diatomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.5 Grados de libertad de un sistema . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.6 Velocidad media y energıa cinetica . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.7 Algunos ordenes de magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.8 Ordenes de magnitud para el Argon . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Repaso de Mecanica Cuantica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Principio de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Ecuaciones de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Energıa media de una partıcula “gaussiana” . . . . . . . . 6
1.3.4 Oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.5 Partıculas identicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.6 Pendulo cuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.7 Atomo de Hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.8 Mini-curso de teorıa de bandas en solidos . . . . . . . . . . 9
2. Colectividades de Gibbs 11
v
vi Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015
2.1 Gibbs 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Presion de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Gas ideal microcanonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 El oscilador armonico microcanonico . . . . . . . . . . . . 11
2.1.4 Sistema con un numero finito de niveles. Temperaturas
negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.5 Gas ideal canonico e isotermo-isobarico . . . . . . . . . . . 12
2.1.6 Sistemas compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.7 Funcion canonica y potenciales de interaccion homogeneos 12
2.1.8 Relacion entre la capacidad calorıfica y fluctuaciones.
Colectivo canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.9 El gas ideal en un campo externo . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.10 Fluctuaciones. Colectivo gran-canonico . . . . . . . . . . . 14
2.2 Gibss 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Gas ideal ultrarrelativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Gas ideal relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Gases ideales: Moleculas diatomicas . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.4 Distribucion de velocidades de Maxwell . . . . . . . . . . . 17
2.2.5 Capacidad calorıfica de solidos cristalinos: contribucion
fononica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.6 Un electron en un campo magnetico . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.7 Partıcula libre en una caja. Colectivo canonico . . . . . . . 19
2.2.8 Oscilador armonico cuantico unidimensional. Colectivo
canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Gibbs 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Teorema de equiparticion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 Molecula diatomica cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3 Gas ideal. Coletividad macrocanonica . . . . . . . . . . . . 21
2.3.4 Equilibrio solido-gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Gibbs 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1 Funcion de particion de una partıcula libre en una caja . . 22
2.4.2 Modelo de red para un fluido Lattice gas . . . . . . . . . . 22
2.4.3 Cadena molecular lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.4 Molecula de hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.5 Funcion de particion de un sistema sujeto a una perturbacion 23
2.4.6 Sistemas de partıculas confinadas en una caja y
armonicamente ligadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.7 Partıculas no identicas en d-dimensiones . . . . . . . . . . 24
2.4.8 N-partıculas en una superficie bidimensional . . . . . . . . 24
2.4.9 Cadena unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.10 Elemento de volumen en el espacio de fases: Coordenadas
polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Contents vii
2.4.11 Gas ideal cuantico en dos dimensiones: Weyl law, lımite
termodinamico y condiciones de contorno . . . . . . . . . . 25
Bibliography 27
Chapter 1
Problemas de repaso
1.1 Breve repaso de termodinamica
1.1.1 Ecuaciones fundamentales.
Obtener la ecuacion fundamental u = u(s, x) para los sistemas siguientes:
(1) un mol de gas perfecto con calores especıficos constantes;
(2) un mol de una sustancia paramagnetica que obedece la ley de Curie, M =
CH/T y cuyo calor especıfico cM es constante;
(3) una barra elastica que obedece la ley de Hooke con constante elastica E y calor
especıfico cε constantes;
(4) una celda galvanica cuya f.e.m. E es una funcion de la temperatura: E =
E0 + (aT − T0) y cuya capacidad calorıfica C es constante.
La variable x se identifica con, (a) x = v, volumen especıfico; (b) x = M,
magnetizacion; (c) x = ε, esfuerzo; (d) x = z, carga electrica.
1.1.2 Gas ideal
Si un gas tiene una ecuacion de estado de la forma
PV = φ(T ) (1.1)
con energıa interna U funcion de la temperatura T U = ψ(T ). Deducir la ley de los
gases ideales a partir de la primera y segunda ley de la termodinamica.
1.1.3 Gases ideales
Mostrar que para un gas ideal se tiene:
Cp − Cv = R (1.2)
con R la constante de los gases.
1
2 Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015
1.1.4 Relaciones termodinamicas.
Si se toman como variables en un sistema expansivo el volumen V y la temperatura
T , deducir de la primera y segunda ley de la termodinamica que;
TdS = CvdT + T (∂P
∂T)vdV.
Obtener una relacion similar para Cp.
1.1.5 El cuerpo negro.
La radiacion del cuerpo negro (un gas ideal de fotones en equilibrio) puede ser
caracterizado macroscopicamente. Se puede demostrar que la energıa interna por
unidad de volumen u es una funcion que depende solo de la temperatura, y que la
presion es P = u/3.
(1) Mostrar que la entropıa del sistema esta dada por;
dS =V
T
du
dTdT +
4
3
u
TdV. (1.3)
(2) Demostrar que,
1
T
du
dT=
4
3
d
dT(u
T). (1.4)
(3) Demostrar a partir del resultado del apartado (2) conduce a que u = aT 4 con
a una constante sin determinar.
(4) Obtener que la entropia S verifica S = (4/3)aT 3V , V el volumen, donde S(T =
0) = 0.
(5) Mostrar que en un proceso a entropıa constante se verifica;
T 3V = constante o, PV 4/3 = constante (1.5)
vi) Deducir la funcion de Hemholtz F ,
F = −1
3aT 4V = −1
3U (1.6)
(6) Calcular la funcion de Gibbs G = U + PV − TS(7) De las ecuaciones que has deducido cuales son las fundamentales para el sistema.
1.2 Modelos Mecanicos.
1.2.1 Energıa en centro de masas
La energıa cinetica de un sistema de dos partıculas es E = (m1v21 + m2v
22)/2.
Expresar la energıa en terminos de la velocidad de centro de masas V, y la velocidad
relativa v, donde V = (m1v1 +m2v2)/(m1 +m2) y v = v1 − v2
Problemas de repaso 3
1.2.2 Potencial cuartico
Una partıcula puntual se encuentra en un potencial unidimensional,
φ(x) = ax2 + bx4 para −∞ < x < +∞
donde b es positiva y a puede ser negativa o positiva. Dibujar el potencial y localizar
los puntos de equilibrio de la partıcula en el caso;
Describir el movimiento clasico de la partıcula en este campo en los tres casos.
(1) a/b > 0
(2) a/b < 0
(3) a = 0.
1.2.3 Potencial de Lennard-Jones
Dos moleculas interaccionan a traves del potencial de Lennard-Jones;
φ(r) = 4ε
[(r0r
)12
−(r0r
)6]Calcular la fuerza, F , de interaccion cuando las moleculas estan a distancia
(1) r = 0.9r0(2) r = r0(3) r = 21/6r0(4) r = 2r0. ¿Hacia donde esta dirigida la fuerza en cada caso?.
1.2.4 Molecula diatomica
La fuerza F para un modo de oscilacion simple en una molecula diatomica cuyo
potencial φ(r) tiene un mınimo en r = rm puede escribirse F = −k(r− rm). ¿Bajo
que condiciones?.
(1) Haciendo un desarrollo de Taylor de φ(r) en torno al mınimo, mostrar que la
constante de la fuerza k es;
k =
(d2φ
dr2
)r=rm
(2) Derivar una expresion para k en el caso que tengamos el potencial de Morse,
φ(r) = ε(e−2(c/r0)(r−d) − 2e−(c/r0)(r−d))
y obtener la frecuencia natural de vibracion.
(3) Haz lo mismo para el potencial de Lennard-Jones.
4 Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015
1.2.5 Grados de libertad de un sistema
Determinar el numero total de grados de libertad f = fT +fR+fV , (T=Traslacion,
R=rotacion y V=vibracion) para las siguientes moleculas que se representan en la
figura 1.1.
Fig. 1.1 (a) molecula diatomica, (b) molecula triatomica, (c) molecula triatomica no lineal.
1.2.6 Velocidad media y energıa cinetica
La velocidad media de una molecula a temperatura ambiente es u ≈ 480m/seg.
¿Cual es la energıa cinetica, E, de una molecula de oxıgeno a esta velocidad?.
Calcular el numero n, de tales moleculas que serıan necesarias par tener una enegıa
cinetica del orden E = 1J , y E = 10eV .
1.2.7 Algunos ordenes de magnitud
La raız cubica del volumen por molecula puede usarse como una estimacion simple
de la distancia entre atomos vecinos en una sustancia.
(1) La densidad de un solido de argon a T = −233oC es ρ = 1.65gr/cm3, y la masa
de un atomo es m = 43 × 10−24gr. ¿Cual es la distancia entre atomos usando
la estimacion mencionada previamente?.
(2) Consideramos ahora que el potencial intermolecular es el de esferas duras que se
representa en la figura 1.2. Si tomamos una coleccion de partıculas en empaque-
tamiento compacto (tan proximas como se pueda unas de otras), en una caja,
encontrarıamos que el volumen por molecula es σ3/√
2, donde σ es el diametro
de una molecula. ¿Cual es el diametro efectivo que entra en el potencial de
esferas duras para un atomo de argon en fase solida a T = −233oC?.
Problemas de repaso 5
(3) Compara la estimacion hecha en cada apartado.
Fig. 1.2 Potencial de esferas duras
1.2.8 Ordenes de magnitud para el Argon
La densidad del argon lıquido a T = −189.4oC es ρ = 1.419gr/cm3. La masa
de un atomo de argon es m = 43 × 10−24gr. Estimar la distancia media s, entre
atomos vecinos en el argon en fase lıquida. Si utilizas los resultados del problema
anterior, estima la separacion, s1, entre atomos de argon en terminos del numero de
diametros atomicos entre dos atomos. Haz el mismo calculo para el argon en fase
gaseosa a T = 0oC y presion P = 1atm si la densidad es ρ = 1.78kg/m3.
1.3 Repaso de Mecanica Cuantica.
1.3.1 Principio de incertidumbre
(1) Emplear el principio de incertidumbre para estimar el mınimo de energıan, E0,
de una partıcula de masa m en una caja unidimensional de lado a. Compra tu
estimacion con el resultado exacto.
(2) Determinar el mınimo de energıa, E0, de los electrones en un microscopio para
asegurar una resolucion de R = 0.1o
A. Determinar la energıa correspondiente
E′0 de un foton.
6 Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015
(3) La incertidumbre en posicion de un electron es ∆x = 0.5Amstrong. Determinar
la incertidumbre ∆p, del momento lineal del electron. Un electron se encuentra
en una caja cubica de lado a = 0.5Amstrong. Estimar la energıa mas baja, E0,
a la que se puede encontrar el electron.
(4) Un electron de masame = 9.11×10−31kg y un proyectıl de masaM = 10gramos
viajan a una velocidad de v = 1000m/seg. Si la precision relativa de una me-
dida de la velocidad es ∆v = 0.01%, calcular la incertidumbre mınima que
habra en la medida de posicion en cada caso. Considerando los lımites ac-
tuales en la resolucion de medidad de longitud, ¿Produce esta incertidumbre
mınima , evaluada para el sistema macroscopico (la bala), alguna restriccion en
el procedimiento para medir su posicion?.
1.3.2 Ecuaciones de ondas
Las ecuaciones de ondas son conocidas desde el siglo XIX en varios contextos. Con-
siderese una cuerda flexible, elastica que es elongada en el eje x, entre dos puntos
x = 0 y x = L. Sea u(x, t) un desplazamiento infinitesimal vertical en la posicion
x en el instante t. La ecuacion diferencial que verifica u(x, t) para el caso de vibra-
ciones libres es;
∂2u
∂x2= a−2
∂2u
∂t2.
Se puede ver que el movimiento queda descrito como una superposicion de dos
ondas de velocidad constante a.
(1) Demostrar que A sin(2πx/L)× cos(2πat/L) es una solucion (aunque no la mas
general) de la ecuacion de ondas con las condiciones de contorno u(0, t) =
u(L, t) = 0 y la condicion inicial ut(x, 0) = 0.
(2) Por analogıa sea λ = L, v = a y Ψ(x, t) = C exp i(2π/λ)(x− vt). Substituye la
longitud de onda de de-Broglie, y expresa la velocidad de la partıcula v y masa
m en termino de su momento lineal p. Finalmente, mostrar que la ecuacion
de Schrodinger dependiente del tiempo en una dimension resulta cuando se
substituye Ψ en la ecuacion resultante.
(3) Examinar detalladamente las hipotesis efectuadas en este ejemplo y discernir si
la ecuacion de Schrodinger esta bajo las mismas limitaciones.
1.3.3 Energıa media de una partıcula “gaussiana”
Evaluar la energıa cinetica media, 〈E〉, para una partıcula cuya funcion de ondas
es ψ(x) = A exp−(x− x0)2/2a2 + ip0x/~.
Problemas de repaso 7
1.3.4 Oscilador armonico
Sea el oscilador armonico unidimensional. El hamiltoniano del sistema es;
H = −(h2
8mπ2)∂2
∂x2+ kx2/2
La partıcula esta en el estado estacionario ψ(x) = A exp−x2/2a. Encontrar
(1) Los valores de A y a para los cuales ψ(x) es una funcion de ondas normalizada.
(2) La densidad de probabilidad de observar a una partıcula en el punto x.
(3) El valor medio de la coordenada de posicion, 〈x〉.(4) El valor medio del desplazamiento cudratico, 〈x2〉.(5) La energıa cinetica media, 〈p2/2m〉.(6) La energıa media, 〈p2/2m+ kx2/2〉.
1.3.5 Partıculas identicas
Calcular la energıa mınima disponible;
(1) Para dos bosones identicos y,
(2) para dos fermiones identicos, si han sido dispuestos en un contenedor cubico
de lado a. Escribir las funciones de ondas correspondientes (simetricas y an-
tisimetricas). Determinar en cada caso la energıa del primer estado exitado,
E1.
1.3.6 Pendulo cuantico
Considererese un pendulo como el que muestra la figura 1.3. La cuerda de longitud
R se presupone sin masa e inextensible. El sistema oscila con un pequeno arco θ0entorno a la posicion de equilibrio. En este caso se considera por tanto que efectua
un movimiento armonico simple.
(1) Demostar que la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo para la
funcion de ondas ψ esta dada por,
d2ψ
dθ2+
2mR2
~2(ε−mgRθ
2
2)ψ(θ) = 0
para este movimiento.
(2) Transformando adecuadamente la variable independiente θ a una nueva variable
x, demostrar que la ecuacion queda transformada a,
d2ψ
dx2+ (λ− x2)ψ(x) = 0
con
λ =2Rε
~(gR)1/2.
8 Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015
(3) Efectuar la sustitucion ψ(x) = Au(x)e−x2/2, y encontrar la ecuacion diferencial
para u(x);
d2u
dx2− 2x
du
dx+ (λ− 1)u(x) = 0
Demostrar que la solucion a esta ecuacion son
u(x) = Hn(x), (n = 0, 1, 2, .., ),
si λ = 2n+ 1, (n = 0, 1, ..). Las funciones Hn(x) son los polinomios de Hermite
que satisfancen las relaciones de recurrencia,
H ′n(x) = 2nHn−1(x)
Hn+1(x) = 2xHn(x)−H ′n(x).
con H ′(x) = dH/dx.
Como ejercicio, escribir H4(x) y verificar que satisface la ecuacion diferencial
para λ = 9.
(4) Si el pendulo comienza en reposo en el angulo θ = θ0 = 4o y tiene una masa
m = 0.1kg y longitud R = 0, 5mts, calcular su energıa clasica εc. Evaluar el
numero cuantico vibracional que corresponde a dicha energıa εn = εc y consid-
era la siguienta pregunta: Cuando el pendulo se relentiza, ¿porque su energıa
parece decrecer continuamente?. Como consecuencia da sentido a la afirmacion
que la mecanica cuantica cuando se aplica a sistemas macroscopicos conduce a
resultados consistentes con la mecanica Newtoniana.
Fig. 1.3 Pendulo
Problemas de repaso 9
1.3.7 Atomo de Hidrogeno
(1) Los niveles de energıa de un electron en un atomo de hidrogeno estan dados por
En = mee4/8ε20h
2n2 = (−2.17×10−18/n2)J = (−13.6/n2)eV , con n = 1, 2, 3, ...
ε0 = (4π × 9 × 109)−1Nm2/C2 es la permitividad. Supongase que un neutron
con energıa cinetica E = 6.0eV colisiona con un atomo de hidrogeno en reposo
y en el estado fundamental n = 1. Empleando las leyes de conservacion de la
energıa y momento lineal, demostrar que la colision no puede dar lugar a un
estado exitado en el atomo de hidrogeno.
(2) Supongase que el atomo de hidrogeno sufre una transicion desde el estado n = 3
a un estado n = 2. Calcular la frecuencia, ν, y la longitud de onda λ, del foton
emitido.
1.3.8 Mini-curso de teorıa de bandas en solidos
(1) Un modelo simplificado de los niveles de enegıa de un electron en un solido
es tratar el problema de una partıcula que se mueve en un potencial periodico
unidimensional. La ecuacion de Schrodinger para este problema se escribe
− ~2
2m
d2ψ
dx2− ~2π2ψ
20ma2cos
2πx
a= Eψ
Sopongase que ψ(x) puede escribirse como
ψ(x) =
∞∑n=−∞
Cn exp i
(k +
2πx
a
)x
Empleando las siguientes identidades cos(x) = (eix + e−ix)/2 y
∫ a
0
dx exp
[i2π
a(n− n′)x
]= aδnn′
encontrar una relacion de recurrencia entre los coeficientes Cn.
(2) Si se toman todos los coeficientes Cn con valor cero excepto C0 y C−1, deter-
minar los niveles de energıa en funcion de k. Dibujar la funcion de ondas ψ en
este caso.
Chapter 2
Colectividades de Gibbs
2.1 Gibbs 1
2.1.1 Presion de un gas ideal 1
La presion que ejerce un gas sobre las paredes del recipiente que lo contine puede
entenderse como el promedio temporal del momento lineal que intercambian las
moleculas que lo componen al impactar con las paredes del recipiente por unidad
de tiempo y aread del recipiente.
Calcular la presion p y demostrar que
p =2
3nε
donde n es el numero medio de moleculas por unidad de volumen y ε es la energıa
cinetica media por molecula.
2.1.2 Gas ideal microcanonico 2
Un gas ideal de N partıculas de masa m consideradas puntuales, se encuentran en
una caja de volumen V . Encontrar el numero de estados Ω0 (clasicos) y deducir la
ecuacion de estado del gas.
Nota: El volumen de una n-esfera de radio unidad es
Cn =πn/2
Γ(n/2 + 1)
2.1.3 El oscilador armonico microcanonico 3
Los niveles de energıa de un oscilador armonico de frecuencia ν son:
1[Kubo et al. (1971)]2[Kubo et al. (1971)]3[Kubo et al. (1971)]
11
12 Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015
E =1
2hν,
3
2hν, .., (n+
1
2)hν
Cuando el sistema consiste en N osciladores casi independientes tiene una energıa
total:
E =1
2Nhν +Mhν. M entero
(1) Encontrar el peso termodinamico WM y,
(2) determinar la relacion entre la temperatura del sistema y la energıa E.
2.1.4 Sistema con un numero finito de niveles. Temperaturas neg-
ativas 4
Se tiene un sistema de N partıculas independientes. Cada partıcula esta en uno
de los dos niveles de energıa ε0,−ε0. Encontrar el peso termodinamico WM de
un estado con energıa total E = Mε0; (M = −N, ..,M = +N) y discutir las
propiedades termodinamicas del medio para E < 0, derivando las relaciones entre
la temperatura y la entropıa asi como el calor especıfico.
2.1.5 Gas ideal canonico e isotermo-isobarico 5
Aplicar la funcion canonica y la isoterma-isobarica en el caso de una estadıstica
clasica a un gas ideal de N partıculas y derivar sus funciones termodinamicas.
2.1.6 Sistemas compuestos 6
Se tienen varios sistemas S1, S2, .. que son casi independiente. Si la interaccion
entre los sistemas es muy debil se puede considerar como sistema total al sistema
S1 + S2 + · · · .Demostrar que la funcion de particion ZS1+S2+··· y la energıa libre FS1+S2+···
verifican;
ZS1+S2+··· = ZS1 · ZS2 · · · , yFS1+S2+··· = FS1
+ FS2· · · (2.1)
2.1.7 Funcion canonica y potenciales de interaccion homogeneos 7
Para un sistema de N partıculas contenidas en una region V y hamiltoniano;4[Kubo et al. (1971)]5[Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]6[Kubo et al. (1971)]7[Kubo et al. (1971)]
Colectividades de Gibbs 13
H =
N∑i=1
pi2
2m+ U(r1, r2, · · · )
donde ri y pi son posiciones y momentos de la partıcula i-esima, la funcion de
particion canonica es;
Z(V,N, T ) =1
N !
∫exp−(βH) =
(2πmkT )3N/2
N !I(V, T )
con
I(V, T ) =
∫V
· · ·∫
exp−(βU(r1, r2, · · · ))dr1dr2 · · · drN.
Demostrar que si el potencial es una funcion homogenea de grado n
(U(λr1, λr2, · · · ) = λnU(r1, r2, · · · )) la funcion V −NI(V, T ) lo es solo de la variable
V −n/3T .
2.1.8 Relacion entre la capacidad calorıfica y fluctuaciones. Colec-
tivo canonico 8
Sea Z la funcion de particion canonica y < A > el promedio de una cantidad A del
sistema definido como;
〈A〉 = Z−1∫A exp−βH
con H el hamiltoniano del sistema.
Demostrar que si Cv es la capacidad calorıfica a volumen constante,
〈H2〉 − 〈H〉2 = kBT2Cv,
y deducir que por lo tanto que el calor especıfico no puede ser negativo. Nota:
Emplear la desigualdad de Schwartz.
2.1.9 El gas ideal en un campo externo9
Demostrar que la funcion de particion gran-canonica de un sistema confinado en
una region de volumen V y cuyo hamiltoniano H es;
H =
N∑i=1
p2i2m
+ u(ri)
esta dada por:8[Kubo et al. (1971); Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]9[Kubo et al. (1971)]
14 Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015
ZG(V, T, z) = exp (zq(V, T ))
donde z es la fugacidad y
q(V, T ) = (2πmkT )3/2∫V
exp−βu(r)dr.
Deducir que la ecuacion de estado para este sistema sigue siendo la de un gas
ideal a pesar de la presencia del potencial u(r).
2.1.10 Fluctuaciones. Colectivo gran-canonico10
Demostrar que la fluctuacion cuadratica media del numero de partıculas en la dis-
tribucion gran canonica puede escribirse como:
〈N2〉 − 〈N〉2 = z∂zz∂z logZG(V, T, z)
Deducir que para un gas ideal la raız cuadrada de la fluctuacion cuadratica
media verifica;
〈(N − 〈N〉)2〉〈N〉2
1/2
= 〈N〉−1/2
2.2 Gibss 2
2.2.1 Gas ideal ultrarrelativista11
Determinar la funcion de particion de un gas ideal clasico de N partıculas ultra-
rrelativistas contenidas en un recinto R de volumen V a la temperatura T . El
hamiltoniano del gas es,
HN = c
N∑i=1
|pi|, (2.2)
donde c es la velocidad de la luz. Calcular la energıa media y la ecuacion de estado
del gas.
10[Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]11[Kestin and J.R. (1971); Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]
Colectividades de Gibbs 15
2.2.2 Gas ideal relativista 12
El hamiltoniano de un gas ideal de N partıculas relativistas contenidas en un do-
minio D es,
HN =
N∑j=1
√pj
2c2 +m2c4, (2.3)
donde m es la masa de las partıculas y c es la velocidad de la luz. Determinar la
funcion de particion, la energıa media y el calor especıfico por patıcula.
Nota: La funcion de Bessel de argumento imaginario Kn(x) tiene la siguiente
representacion integral;
Kn(x) =
√π
Γ(n+ 1/2)
(x2
)2 ∫ ∞0
(sinh θ)2ne−xcoshθ dθ
<(n) > −1
2, <(x) > 0 o <(x) = 0 y
1
2< <(n) <
1
2. (2.4)
2.2.3 Gases ideales: Moleculas diatomicas 13
2.2.3.1 Energıa media y capacidad calorıfica
El hamiltoniano de una molecula diatomica contenida en un recinto R de volumen V
se escribe como la suma de terminos asociados a su energıa traslacional, rotacional
y vibracional,
H = Htras +Hrot +Hvib (2.5)
con,
Htras =P2
2M+ V (R); (2.6)
Hvib =p2r2µ
+µω2
2(r − r0)2; (2.7)
Hrot =1
2µr20
(p2θ +
p2φ
sin2 θ
)(2.8)
La energıa traslacional es la del centro de masas de la molecula R, donde M e
la masa total de la molecula, P es el momento lineal del centro de masas y V (R)
es un potencial que confina a la molecula en el recinto R. En el hamiltoniano de
vibracion, r es la distancia interatomica, pr su momento conjugado, este describe
vibraciones armonicas de una partıcula de masa µ( masa reducidad de la molecula)
12[Kestin and J.R. (1971); Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]13[Kubo et al. (1971)]
16 Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015
alrededor de r0, que es la distancia de equilibrio entre los atomos de la molecula.
El hamiltoniano de rotacion describe una partıcula de masa µ moviendose sobre la
superficie de una esfera de radio r0, y esta caracterizado por las coordenadas polares
θ, φ, que determinan la orientacion de la molecula y sus momentos conjugados pθ, pφ.
Calcular la funcion de particion de una molecula, obtener la energıa media y
calor especıfico de un gas ideal de N moleculas diatomicas.
2.2.3.2 Molecula diatomica en un campo magnetico uniforme14
Considerese el caso de una molecula diatomica clasica de momento magnetico µ,
orientado en el eje de la molecula, en un campo magnetico B que tiene la direccion
del eje z. El hamiltoniano de este sistema es;
H =1
2I
(p2θ +
p2φ
sin2 θ
)− µB cos θ (2.9)
donde I es el momento de inercia de la molecula, µ = |µ|, y el termino −µB cos θ es
la energıa de interaccion del momento magnetico con el campo. Calcular la funcion
de particion de la molecula y el momento magnetico y la ecuacion de la energıa de
un sistema de N moleculas.
Considera el lımite βµB 1, e interpretar el resultado. Considerar asi mismo
el lımite βµB 1 y calcular la imanacion (momento magnetico por unidad de
volumen) y comprobar que es proporcional al campo externo B. La constante de
proporcionalidad se denomina susceptibilidad magnetica, verifica que es inversa-
mente proporcional a la temperatura (ley de Curie).
2.2.3.3 Molecula diatomica en un campo electrico uniforme 15
Considera el mismo sistema que en el problema anterior pero esta vez la enegıa de
interaccion coresponde a la de un campo electrico con la molecula diatomica, dicha
energıa es 2.1;
−µE cos θ (2.10)
donde E es la intensidad del campo electrico y µ es el momento dipolar electrico.
Calcular la polarizacion electrica P de un gas ideal de N partıculas diatomicas de
momento dipolar µ contenidas en un volumen V . Considerar el lımite |µE| kT
y calcular la constante dieectrica ε. (recuerda que el desplazamiento electrico es
D = εE = E + 4πP .
14[Kubo et al. (1971)]15[Kubo et al. (1971)]
Colectividades de Gibbs 17
Fig. 2.1 (a) molecula diatomica, (b) molecula triatomica, (c) molecula triatomica no lineal.
2.2.4 Distribucion de velocidades de Maxwell 16
Se tiene una cavidad que contiene un gas a alta temperatura. A traves de una
pequena ventana se observa con un espectrometro una lınea del espectro de las
moleculas del gas. La lınea observada se ensancha debido (entre otras causas que
no consideraremos) al efecto Doppler. Demostrar que la relacion entre la intensidad
de la lınea espectral y la longitud de onda λ esta dada por;
I(λ)α exp(− mc2(λ− λ0)2
2λ20kT
)(2.11)
Donde T es la temperatura de la cavidad, c es la velocidad de la luz, m es la
masa de una molecula dentro de la cavidad, y λ0 es la longitud de onda de la lınea
espectral cuando las moleculas estan en reposo.
2.2.5 Capacidad calorıfica de solidos cristalinos: contribucion
fononica 17
En la aproximacion armonica las oscilaciones de N atomos en una red alrededor
de sus posiciones de equilibrio pueden descomponerse en 3N modos normales, de
forma que el hamiltoniano del solido se escribe como la suma de 3N osciladores
unidimensionales.
Considera los siguientes modelos.
16[Kubo et al. (1971)]17[Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]
18 Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015
2.2.5.1 Modelo clasico de Einstein 18
El modelo de Einstein de un solido consiste en N osciladores armonicos de masa m
y con una constante elastica K igual para todos los osciladores. El hamiltoniano
del sistema es:
HN =
N∑i=1
( p2j2m
+1
2K(rj − r0j )2
)(2.12)
donde pj y rj denotan los momentos y las posiciones de las partıculas y r0j las
posiciones de equilibrio de los atomos en la red.
Determinar las propiedades termodinamicas del solido, la densidad local de las
partıculas y la fluctuacion de la posicion de las partıculas alredeedor de las posiciones
de equilibrio.
2.2.5.2 Modelo cuantico de Einstein
Considera ahora que se tienen 3N osciladores armonicos cuanticos en una dimension
distinguibles, de frecuencia ω. Calcula la funcion de particion, la enegıa media y el
calor especıfico por partıcula.
2.2.5.3 Modelo cuantico de Debye para un solido cristalino
Se tienen 3N osciladores cuanticos unidimensionales desacoplados. La enegıa del
solido es
E(ni) =
3N∑i=1
ni~ωi ni=(0,1,2,...) (2.13)
donde ωi es la frecuencia del modo normal i-esimo. Las frecuencias de los 3N
modos de oscilacion se determinan a partir de la relacion de dispersion ω(k) y los
posible valores de k dependen de la red cristalina. La teorıa se basa en las siguientes
aproximaciones:
(1) El vector de ondas k esta dado por;
kx,y,z =2πnx,y,z
L(2.14)
con nx, ny, nz enteros, tales que k se encuentra en el interior de una esfera de
radio kD. Este radio esta determinado como consecuencia de que se tienen 3N
modos.
18[Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]
Colectividades de Gibbs 19
(2) Para cada vector de onda k hay tres modos de vibracion: uno longitudinal de
frecuencia ω1(k) = cLk y dos transversales de frecuencias ω2(k) = ω3(k) = cT k,
donde cL y cT son las velocidades de las ondas sonoras longitudinal y transversal.
Determinar el calor especıfico del solido en este modelo.
Discute globalmente los diferentes resultados obtenidos en estos modelos y su
relacion.
2.2.6 Un electron en un campo magnetico 19
Considerese un electron en un campo magnetico uniforme de intensidad B. El espın
del electron ~/2. El momento magnetico es µB y σ son la matrices de Pauli:
σx =~2
(0 1
1 0
), σy =
~2
(0 −ii 0
), σz =
~2
(1 0
0 −1
)(2.15)
El hamiltoniano de interaccion entre el electron y el campo es,
H = −µB(σ.B); µB =e~
2mc(2.16)
donde e es la carga, m la masa del electron y c la velocidad de la luz.
Calcular la funcion de particion canonica del sistema y el valor medio de σz.
¿Es este resultado consistente con el que se obtendrıa en la colectividad micro-
canonica?. Discute la respuesta.
2.2.7 Partıcula libre en una caja. Colectivo canonico 20
Considera una partıcula cuantica libre en una caja cubica de lado L con codiciones
periodicas de contorno. Calcula el elemento de matriz del operador de densidad
canonico en la representacion de posiciones. Esto es
〈r|e−βH|r′〉 (2.17)
Analiza en el lımite clasico este elemento de matriz. Interpreta tu resultado.
Evaluar el valor medio de H. ¿Esta este resultado en consonancia con el teorema
de equiparticion ?.
2.2.8 Oscilador armonico cuantico unidimensional. Colectivo
canonico 21
Calcular los elementos de matriz del operador de densidad canonico para un os-
cilador armonico con hamiltoniano H = p2
2m + 12mω
2q2, en la representacion de
posiciones. Discute el caso en el que ~ωkT = β~ω 1.
19[Kubo et al. (1971)]20[Kubo et al. (1971)]21[Kubo et al. (1971); Landau and Lifshitz (1980)]
20 Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015
2.3 Gibbs 3
2.3.1 Teorema de equiparticion 22
Aplicar el teorema de equiparticion para evaluar el valor medio de la energıa de los
siguientes hamiltonianos:
H =p2x + p2y + p2z
2m. (2.18)
H =p2x + p2y + p2z
2m+mgz. (2.19)
H =p2x + p2y
2m+ κ(x2 + y2)/2. (2.20)
H =p2r + p2θ/r
2
2m+ κr2/2. (2.21)
H = cp+ c√p2x + p2y + p2z. (2.22)
2.3.2 Molecula diatomica cuantica 23
El hamiltoniano de rotacion de una molecula diatomica de radio r0 y masa reducida
µ es,
H +1
2µr0
(p2θ +
p2φ
sin2 θ
)=
L2
2µr20, (2.23)
donde L2 es el operador momento angular. Los estados estacionarios estan carac-
terizados por los numeros cuanticos j y sus energıas son,
Ej = j(j + 1)~2
2µr20(j=0,1,2,...) (2.24)
con degeneracion
gj = 2j + 1. (2.25)
Calcular los desarrollos de la funcion de particion a altas y bajas temperaturas,
utilizando la formula de Euler-McLaurin:
∞∑n=0
f(n) =
∫ ∞0
f(x) dx+ f(0)/2 (2.26)
−f ′(0)/12 + f ′′′(0)/720 + .. (2.27)
que es valida para funciones f(x) analıticas en [0,∞).22[Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]23[Kubo et al. (1971); Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]
Colectividades de Gibbs 21
2.3.3 Gas ideal. Coletividad macrocanonica 24
2.3.3.1 Distribucion de Poisson
Sea un gas ideal de N moleculas contenidas en un volumen V a la temperatura T .
Probar, empleando la colectividad macrocanonica, que la probabilidad de encontrar
N ′ moleculas en un subvolumen V ′ abierto, viene dada por una distribucion de
Poisson.
2.3.3.2 Fluctuaciones del numero d partıculas
Probar que la fluctuacion de la densidad en la colectividad macrocanonica viene
dada por la expresion
〈N2〉 − 〈N〉2 =kT
V〈N〉2χT , (2.28)
donde
χT = − 1
V
(∂V
∂P
)T,〈N〉
(2.29)
es el coeficiente de compresibilidad isoterma.
2.3.4 Equilibrio solido-gas 25
2.3.4.1 Presion de vapor
Se tiene el siguiente modelo para el estudio del equilibrio gas-solido. Supongase
que el solido es un modelo de Einstein clasico de N atomos con enerıa de cohesion
por atomo ε y que el gas es ideal. Determinar la presion de vapor y el calor de
sublimacion por atomo.
nota: El hamiltoniano del sistema se escribe
HN =
N∑j=1
p2j2m
+N∑j=1
(K(rj − r0j )2/2− ε
), (2.30)
recuerda que en la coexistencia de las dos fases a temperatura T, las presiones y los
potenciales quımicos son iguales.
2.3.4.2 Calor latente de sublimacion
En este caso se tratan las oscilaciones de los atomos del solido en torno a sus posi-
ciones de equilibrio cuanticamente y todos los osciladores tienen la misma frecuencia
ω. Las energıas de cada oscilador son:
En = n~ω, (n=0,1,2,...) (2.31)24[Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]25[Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]
22 Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015
Calcular el calor latente de sublimacion por atomo del equilibrio gas-solido,
suponiendo que existe una energıa de cohesion por atomo ε en el solido y que el gas
es ideal.
2.4 Gibbs 4
2.4.1 Funcion de particion de una partıcula libre en una caja 26
Encontrar expresiones aproximadas de la funcion de particion de una partıcula
cuantica en un pozo infinito de dimension L en los lımites de altas y bajas temper-
aturas. Obtener la capacidad calorıfica CL y la ecuacion de estado f(P, T, L) = 0
en los lımites mencionados.
2.4.2 Modelo de red para un fluido Lattice gas27
Un fluido compuesto por partıculas que se repelen puede modelarse como un gas en
red del modo siguiente:
Se toma un recinto y se divide en N celdas, cada una de volumen v, comparable
con el volumen de una partıcula. Una celda ocupada por una partıcula o desocupada
tiene energıa cero. Una celda ocupada por dos partıculas tiene energıa ε. Ninguna
celda puede ocuparse por mas de dos partıculas.
Empleando el colectivo gran canonico evaluar la energıa media por celda, la
concentracion c de partıculas y calcular la presion P en funcion de la temperatura
y el potencial quımico.
2.4.3 Cadena molecular lineal 28
Una molecula larga y elastica se modela como una cadena lineal de N -nodos-huesos.
Cada estado de cada vınculo se caracteriza por dos numeros cuanticos l y n. La
longitud de los vınculos es l = a y l = b. El estado vibracional de cada vınculo
se modela como un oscilador armonico con frecuencia angular ωa para aquellos con
longitud a y ωb para aquellos con longitud b. La energıa de un vınculo es;
E(n, l) =
(n+ 1/2)~ωa; ∀l = a
(n+ 1/2)~ωb; ∀l = b, n = 0, 1, · · ·
Si la cadena esta en contacto con un bano termico de temperatura T y se
mantiene con una tension F , encontrar la energıa media y longitud media de la
cadena. Analizar los lımites de altas y bajas temperaturas.
26[Dalvit et al. (1999)]27[Dalvit et al. (1999)]28[Dalvit et al. (1999)]
Colectividades de Gibbs 23
2.4.4 Molecula de hidrogeno 29
La energıa potencial entre los atomos de una molecula de hidrogeno se puede mod-
elar por un potencial de Morse
V (r) = V0(e−2(r−r0)/a − 2e−(r−r0)/a
),
con V0 = 7× 10−12erg, r0 = 8× 10−9cm y a = 5× 10−9cm
(1) Encontrar la frecuencia angular mas baja del movimiento rotacional y la fre-
cuencia de las pequenas oscilaciones.
(2) Estimar las temperaturas Trot y Tvib en las que la rotacion y la vibracion con-
tribuyen significativamente a la energıa interna.
2.4.5 Funcion de particion de un sistema sujeto a una pertur-
bacion 30
Considerese un sistema clasico con Hamiltoniano H = H0 + λH1, con λ 1.
(1) Demostrar que la energıa libre de Helmholtz F puede escribirse de la forma
F = F0 + λ〈H1〉0, con⟨∗⟩0
promedio para λ = 0. (2.32)
(2) Dar una expresion de la energıa interna correcta hasta primer orden en λ.
2.4.6 Sistemas de partıculas confinadas en una caja y
armonicamente ligadas
Se tiene un sistema de N partıculas independientes de masa m, estas estan confi-
nadas en una caja unidimensional de longitud 2a = L con paredes en x = ±a. Cada
partıcula esta armonicamente vinculada al origen x = 0 de forma armonica, de tal
forma que el hamiltoniano del sistema es:
H =
N∑i=1
p2i2m
+1
2κx2i . (2.33)
(1) Calcular la funcion de particion del sistema.
(2) Con los parametros β = (KBT )−1 y κ se puede formar otro con dimensiones
de longitud σ = (βκ)−12 . Analiza la presion del sistema en los lımites L σ y
L σ.
(3) Demuestra que en el lımite L σ, σ puede interpretarse como la fluctuacion
cuadratica media de la posicion.
Nota: La funcion error se define como φ(y) = 2√π
∫ t0dξe−ξ
2
.
29[Dalvit et al. (1999)]30[Kubo et al. (1971)]
24 Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015
2.4.7 Partıculas no identicas en d-dimensiones 31
Se tienen N partıculas no indenticas en d-dimensiones. El hamiltoniano que describe
el conjunto de partıculas es
H =
N∑i=1
Ai|~pi|s + |~qi|t,
con Ai, Bi constantes que caracterizan a las partıculas individualmente y s, t son
enteros positivos. Si se considera el colectivo canonico evaluar la capacidad calorıfica
del sistema. Discute los resultados.
2.4.8 N-partıculas en una superficie bidimensional 32
Evaluar la funcion de particion canonica de N partıculas que se mueven
(1) en la superficie de una esfera,
(2) en la superficie de un toro.
2.4.9 Cadena unidimensional 33
Se tiene una cadena unidimensional de n 1 elementos. La longitud de cada
elemento de la cadena es a y la longitud total es x. Encontrar la relacion entre la
entropıa del sistema y la temperatura T de la cadena y la fuerza de tension necesaria
para mantener la longitud x. Asumir que las uniones son libres.
2.4.10 Elemento de volumen en el espacio de fases: Coordenadas
polares
Se tiene una partıcula en dos dimensiones. En que en coordenadas cartesianas el
elemento de volumen en el esspacio de coordenadas es dxdy y en el espacio de
momentos es dpxdpy. Por lo tanto el elemnto de volumen en el espacio de fases de
la partıcula es dΓ = dxdydpxdpy.
Se considera un cambio a coordenadas polares
x = r cos θ
y = r cos θ.
Prueba que
dxdy = rdrdθ y
dpxdpy = (1/r)dprdpθ
y que por lo tanto dxdydpxdpy = drdθdprdpθ.
31[Dalvit et al. (1999)]32[Dalvit et al. (1999)]33[Kubo et al. (1971)]
Colectividades de Gibbs 25
2.4.11 Gas ideal cuantico en dos dimensiones: Weyl law, lımite
termodinamico y condiciones de contorno
Supongase N partıculas cuanticas independientes confinadas en una superficie de
area S y perımetro L. Como las partıculas son independientes se considera una de
ellas. Esta evoluciona libremente acorde a la ecuacion de Schodinger y se pueden
calcular las autoenergıas de la misma resolviendo la ecuacion de Schodinger esta-
cionaria.
−~2
2m∇2Ψ = EΨ =⇒ ∇2Ψ + κ2Ψ = 0, (κ2 = 2mE/~2).
Esta ultima ecuacion tambien se le conoce como ecuacion de Helmholtz.
Para obtener el espectro de energıas del problema hay que imponer condiciones
de contorno en el perımetro de la superficie. Dependiendo de las condiciones im-
puestas se tendra un espectro de energıas y por lo tanto el numero de estados N(E),
del sistema con energıa igual o menor a cierto valor E, i.e.
N(E) = numero de estados cuya energıa es menor o igual aE
Esta funcion es de extremada importancia para los propositos de la Fısica Es-
tadıstica pues de ella se puede extraer la entropıa del sistema en el lımite ter-
modinamico (recordamos que estamos considerando el colectivo microcanonico).
La funcion N(E) depende en general de la superfie en la que estan confinadas
las partıculas, del perımetro del recinto y de las condiciones de contorno, hay otras
dependencias pero estas son las fundamentales. Por simplicidad vamos a considerar
dos situaciones
∇2Ψ + κ2Ψ = 0, Ψ|L = 0 Problema de Dirichlet (2.34)
∇2Ψ + κ2Ψ = 0, ∂Ψ/∂n|L = 0 Problema de Neumann (2.35)
donde ∂Ψ/∂n es la derivada de Ψ en la direcion normal a la superficie. En estos casos
la forma de N(E) es conocida de forma aproximada cuando E es suficientemente
grande (desarrollo de Weyl) y es:
N(E) =Sκ2
4∓ Lκ
4+ · · · ordenes superiores
donde el signo − corresponde a las condiciones tipo Neunmann y + a las condiciones
tipo Dirichlet.
Discute el lımite termodinamico y el porque las condiciones de contorno en ese
lımite no afectan a las prediciones de la Fısica Estadıstica.
Bibliography
Dalvit, D., Frastai, J. and Lawrie, I. (1999). Problems on Statistical Mechanics, Graduatestudent series in physics (Institute of Physics Publishing).
Fernandez Tejero, C. and Rodriguez Parrondo, J. (1996). 100 problemas de Fısica Es-tadıstica (Alianza Editorial).
Kestin, J. and J.R., D. (1971). A course in statistical thermodynamics (Academic Press).Kubo, R., Ichimura, H., Usui, T. and Hashitsume, N. (1971). Statistical mechanics(An
Advanced course with problems and solutions) (North-Holland publishing company).Landau, L. and Lifshitz, E. (1980). Statistical Physics: Course of Theoretical Physics,
Vol.5 (Pergamon).
27