problemas de matemáticas para el ingreso a la...

Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las TunasUniversidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas

PROBLEMAS DE MATEMÁTICASPARA EL INGRESO A LAEDUCACIÓN SUPERIOR

Milagros Riquenes Rodríguez; Raúl Hernández Fidalgo; ArsenioCelorrio Sánchez; Salvador Ochoa Rodríguez

PÁGINA LEGAL

374.852-Riq-P

Riquenes Rodríguez, Milagros

Problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior / Milagros Riquenes Rodríguez … [et al.]. -- La Habana (Cuba) : Editorial Universitaria, 2011. -- ISBN 978-959-16-1956-3. -- 77 pág.

1. Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas.

2. Matemáticas en la enseñanza media: libros de texto

Digitalización: Dr. C. Raúl G. Torricella Morales, ([email protected])Depósito Legal: 9789591619563

Milagros Riquenes Rodríguez; Raúl Hernández Fidalgo; Arsenio CelorrioSánchez; Salvador Ochoa Rodríguez, 2012Universidad de Las Tunas - Editorial Universitaria del Ministerio de Educación Superior, 2012

La Editorial Universitaria (Cuba) publica bajo licencia Creative Commons de tipo Reconocimiento, Sin Obra Derivada, se permite su copia y distribución por cualquier medio siempre que mantenga el reconocimiento de sus autores y no se realice ninguna modificación de ellas.

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TABLA DE CONTENIDO

1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones linealesEcuaciones Lineales.Ecuaciones Cuadráticas.Ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadráticas.Inecuaciones Lineales.Inecuaciones Cuadráticas

2. Sistema de ecuaciones linealesSistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas.Método de adición algebraica.Método de Sustitución.Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas.Ejercicios.Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales

3. TrigonometríaÁngulos y medición de ángulosFórmulas de reducciónFunción PeriódicaGráfico de la Función y = senx en [0, 2π] y sus propiedadesFunciones de la forma y = a sen bx con a R y b R y sus propiedades∈ ∈Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente y sus propiedadesAlgunas identidades trigonométricasDemostración de identidades trigonométricasEcuaciones trigonométricasEjercicios

PRÓLOGO DE LOS AUTORES

El libro: “Problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior” tiene el objetivo de ayudar a los estudiantes a prepararse para las pruebas de ingreso a la Educación Superior. Se compone de tres capítulos:

• Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales.

• Sistema de ecuaciones lineales y

• Trigonometría.El libro presenta un sistema de conceptos, ejemplos resueltos, una metodología de trabajo y ejercicios propuestos con problemas de aplicaciones; todo esto en un lenguaje claro y sencillo. Contiene un gran número de ejemplos resueltos, en los que se ejemplifica la metodología de trabajo empleada, lo cual constituye un aporte metodológico al estudio de las matemáticas.

Los autores, junio 2012

1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales

Milagros Riquenes Rodríguez, Raúl Hernández Fidalgo y Salvador Ochoa Rodríguez

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

3

Ecuaciones Lineales. Se denominan ecuaciones, las igualdades que contienen una o varias variables (o incógnitas) y solo se satisfacen para algunos valores de las variables. En este trabajo el dominio de las variables que se utilizan, es el de los números reales. Resolver una ecuación es determinar los valores de las variables que hacen cierta la igualdad o asegurarse de que no existen tales valores. Los valores que hacen cierta la igualdad se llaman soluciones o raíces de la ecuación. Las ecuaciones de la forma 0=+ bax (con a y b números reales 0 ≠a ) se denominan lineales

en una variable real y se resuelven despejando la variable x o sea abx −

=

Ejemplos. Resolver las ecuaciones:

3212

1313 )

)2(5)24(32 )85

43

21

31 )

234 )

−+

=−+

+−=−+−−

+=−

=−

xx

xxd

xxxxc

xxb

xa

Soluciones:

45

432

234 )

=

+=

=−

x

x

xa

=→=

=

=−=−

=

45

2

2353454

:Prueba

SMDMI

MD

MI

65

43

21

31 ) +=− xxb

En este caso, la ecuación no está expresada en la forma 0bax =+ ( con 0 a ≠ ) , debe reducirse la misma a ésta mediante las siguientes transformaciones algebraicas:

• Agrupar todos los términos que contienen la variable x en el miembro izquierdo (MI) de la ecuación y los valores numéricos en el miembro derecho (MD):

21

65

43

31

+=− xx

• Hallar el común denominador de la ecuación que es el mínimo común múltiplo de los números: 3, 4, 6 y 2. 123.2)2,6,4,3( 2 ==MCM


4

• Multiplicar toda la ecuación por MCM

( )12 /.21

65

43

31

+=− xx

61094 +=− xx

• Reducir en cada miembro, los términos semejantes 165 =− x Despejar la variable x

5

16−=x

Comprobación o prueba:

3047

301532

21

1516

21

516

31: −=

−−=−−=−

−MI

3047

302572

512

65

516

43: 6

5 −=+−

=+−

=+

−MD

Como ambos miembros son iguales, la ecuación se satisface para el valor 5

16−=x y el conjunto

solución es

−=

516S .

Análogamente se resuelven los demás ejemplos. )2(5)24(32 c) +−=−+−+ xxxx

144

342522252432

==

+=++−−=+−−+

x x

--xxx-x xxxx

{ }1=S

Nota: La prueba queda para el estudiante.

3212

1313 )

−+

=−+

xx

xxd

Esta ecuación es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son: multiplicar por el común denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y reducir términos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuación de la forma 0=+ bax (con 0≠a ) . El común denominador de la ecuación es: ( )( )3213 −− xx


5

41-

8)(: / 2831326296

1326329613)(12()32)(13(

)32)(13(3212

1313

3212

1313

22

22

=

−=−+−=−+−+−

−+−=−+−−+=−+

−−⋅−+

=−+

−+

=−+

x

xxxxxxx

xxxxxx ) xxxx

xx /xx

xx

xx

xx

Nota: Comprobar la solución obtenida. Ecuaciones Cuadráticas. Las ecuaciones del tipo 02 =++ cbxax con a, b y c números reales y 0 ≠a se denominan cuadráticas y se resuelven mediante la fórmula:

,2

42

2,1 aacbbx −±−

= donde acbD 42 −= es el discriminante.

reales. soluciones tienenoecuación La 0 Sí iguales. reales soluciones dos ieneecuación t La 0 Sí

.diferentes reales soluciones dos ieneecuación t La 0 Sí

→<→=→>

DDD

Cuando el trinomio cbxax ++2 tiene descomposición factorial racional se puede utilizar este procedimiento para reducir la ecuación de segundo grado a dos ecuaciones lineales. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones:

065 ) 2 =+− xxa

15)3( ) −=− yyyb

xxx

xx

xxc)

22

212

2

2

−

−=

−−

++

0106 ) 2 =+− zzd

043 ) 24 =−− xxe


6

Solución:

)6 ,5 ,1( ;065 ) 2 =−===+− cbaxxa ;

0

06)3(5)3( 3 para Prueba

2 ó ,32

15)1(2

)6)(1(4)5()5(

21

21

2

2,1

MDMIMDMIx

xx

x

==

=+−==

==

±=

−−±−−=

{ }2;3 MI 0MD

06)2(5)2(MI 2 para Prueba 22

=→==

=+−==

SMD

x

Observe que el trinomio 65 ) 2 +− xxa se descompone en )3)(2( x - x - por lo que 0)3)(2( = x - x - , 02 = x - ó 03 =−x : 2=x ó 3=x

De esta forma el procedimiento para obtener las soluciones de la ecuación de segundo grado es más cómodo, por lo que se recomienda que se analice primeramente sí el trinomio tiene descomposición factorial racional por los métodos estudiados. En caso de no existir la descomposición factorial racional, se utiliza la fórmula.

15)3( ) −=− yyyb

En este caso se deben realizar transformaciones algebraicas hasta obtener la ecuación dada en la forma 02 =++ cbxax

yyyyy

0180153

2

2

=+−

=+−−

Como el trinomio del miembro izquierdo no tiene descomposición factorial, se debe utilizar la fórmula para resolver la ecuación de segundo grado. Para sustituir en la fórmula es necesario identificar el valor de a, de b y de c: 1=a , 8−=b y 1=c

154 ó ,154

21528

2608

)1(2)1)(1(4)8()8(

21

2

2,1

−=+=

±=

±=

−−±−−=

xx

x

Compruebe los resultados obtenidos.

{ }154 ; 154 −+=S

xxx

xx

xxc

22

212) 2

2

−−

=−−

++

Esta ecuación es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son:


7

multiplicar por el común denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y reducir términos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuación de la forma 02 =++ cbxax con a, b y c números reales y 0 ≠a

( )

( )

02 024

2)1( 2)-2)((

MCM.2)-( /.22

212

22

212

2

222

2

2

2

=−−

=+−−+−

−=−++

→−−

=−−

++

−−

=−−

++

xxxxxx

xxxxx

xxxx

xxx

xx

xxx

xx

xx

2 ó 10)2)(1(=−=

=−+xx

xx

Nota: El valor 2=x no pertenece al dominio de la ecuación porque anula dos de los denominadores de la misma, por tanto, no es solución de la ecuación.

{ } 1-S

31

31

321

2111

121:1 para Prueba

==

−=

−=+−=−−−−

+−+−

=−=

MDMI

MD

MIx

Nota: Los valores de la variable de una ecuación que no pertenecen al conjunto solución por ser valores que indefinen la ecuación o por no satisfacer la misma se denominan raíces extrañas.

{ } φ==<−=−−=−=

=−===+−

S ó Sy reales soluciones tienenoecuación la 0410142642 ntediscrimina el Como

10 6 1( 01062 )

))(()(acbD

)c,b,azzd

4 10)4)(1(

043204)2(32)2(

2 sea o ,por 2 dosustituyen

02 forma la a dadaecuación la reduzcamos 04234 )

=−==−+

=−−

=−−

=

=++=−−

yóyyyyy

xx

yx,yx

cbxaxxxe

genera no que lopor , Ren imposible es 1 igualdad La 4y 1:obtiene se ecuación laen doSustituyen

222

2

−==−=

=

xxxyx


8

{ }.2;2raíces. estas para prueba la Realice

2 :cumple se 4 igualdad laEn dada.ecuación la parasolución 2

−=

±==

S

xx

Ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadráticas. Ecuaciones con radicales. Las ecuaciones que contienen la incógnita bajo el signo radical al menos una vez, se denominan irracionales o ecuaciones con radicales. Para resolver una ecuación con radicales es necesario realizar transformaciones para reducirlas a una ecuación lineal o cuadrática. En estas transformaciones se pueden introducir raíces extrañas por lo que se requiere comprobar los valores hallados en la ecuación original. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 34 =+x b) 1353 =+ x

c) xxx 21152 =+++ d) 11 =++ xx

e) 5416 =++ x f) 14244 =++− xx

g) x

xx+

=++242 h) ( ) 3 14353 2/1 =−+− xx

i) 1423 +=−−+ xxx j) 27411 xxx −−=−

k) 22 8

22

2

−= xx

x

l) )xlog()xlog(xlog 272 422 ++ =⋅

Solución:

a) 34 =+x

Racionalicemos la ecuación elevando al cuadrado ambos miembros.

( ) ( )2234 =+x

94 =+x 49 −=x 5=x

Comprobación:

MDMIMDMI

==

==+=3

3945

S = { 5 }

b) 1353 =+ x

En este caso para racionalizar la ecuación aislemos

Comprobación:


9

primeramente el radical.

( )4)2(

cuadradoalElevando25

313

22

==

=

−=

xx

x

x

( )

{ }4

1313253453

===

=+=+=

SMDMI

MDMI

c)

[ ] [ ]

( )

30033093015144

144151215

1215

2115

2

22

22

222

2

2

===−=−

=−−−+−

+−=++

−=++

−=++

=+++

xx

xxxx

xxxxxxxx

xxx

xxx

xxx

( ) ( )( )

( ) ( )( )

{ }33632

61512511353

30002

21111050

0

2

2

=∈⇒=∴==

=+=+=+++=

=∉⇒≠

==

=+=+++=

=

SSMDMIMD

MI

xParaSMDMI

MDMI

xParaónComprobaci

d) 11 =++ xx

[ ] [ ]

( ) ( )

0cuadradoal

nuevamenteElevando0

0

radicalel Aislando211

211

cuadradoalElevando11

radicalun Aislando 11

22

22

=

=

=

=−

−−++−=+

−=+

−=+

x

x

x

xxxxxx

xx

xx

{ }0

1;1010

onComprobaci

==

==++=

SMDMI

MDMI

e) 5416 =++ x

544 =++ x

1454 =−=+x

( ) ( )2214 =+x

14 =+x 341 −=−=x

{ }3

55144316

:ónComprobaci

−===

=+=+−+=

SMDMI

MDMI


10

f) 14244 =++− xx

[ ] [ ]2424281964

24144

2414422

+++−=−

+−=−

+−=−

xxx

xx

xx

{ }40 ; 14

148664362440440

:ónComprobaci

===

=+=+=++−=

SMDMIMDMI

( )

[ ]

402464

2464 248

248

28:/2428224

2428241964

22

==−

+=+=

+=

−+−=−

+−=−−−−

xxx

x

x

x

xxx

g) xx

xx +⋅+

=++ 2/242

[ ] ( )[ ]( )( )

[ ] ( )

3/2 6/4

046 0442

442 22

242

422

422

22

22

222

2

2

2

===−=−+−+

+−=+

−=+

−−=+

=+++

=+++

xx

xxxxx

xxxxxxx

xxx

xxx

xxx

h) ( ) 32

1

14353 =−+− xx

[ ] ( )

539143

914353

314353 222/1

−−=−

=−+−

=

−+−

xx

x

xx

( )

( )

{ }32

62

6222232

322

3224

384

3224

63

6333323

32332332322

323832322

:ónComprobaci

/SMDMI

:

///MD

///

////MI

==

==

==

==+

=

==

====+

+=++=

( ) ( )( )( )( )

{ }10

339 45

1625

141035103

:ónComprobaci

2/1

2/1

2/1

===

==+=

+=

−+−=

SMDMI

MD

MI


11

[ ] [ ]

( )18:/531890

53185381143

53531881143

539 143 22

−−−=−

−−=+−−−

−+−−=−

−−=−

x

xxx

xxx

xx

[ ] [ ] 22 53 5

535

−=

−=

x

x

103/30

3305325

===

−=

xx

xx

i) ( ) ( )221423

1423

+=−−+

+=−−+

xxx

xxx

142623 2 +=−+−+−+ xxxxx

[ ]606

66

6

2:/262

121462

22

22

2

2

2

2

=⇒=−=−+

=−+−

=−+−

=−+−

−−+=−+−

xxxxxxxx

xxx

xxx

xxxx

( ) ( )( )

{ }

ecuaciónladeextraña raízunaes6quedecimoscasoesteEn

ó 525164:

1232636:

:ónComprobaci

===→≠

==+

=−=−−+

xSSMDMI

MD

MI

φ

j) 27411 xxx −−=−

[ ]2

22 7411

−−=− xxx

22

22

74121

74121

xxxx

xxxx

−−=−+−

−−=+−

( ) ( )2742 xxxx −−=−

2742 xx −−=−

( )

SMDMI

MD

MIx

∈⇒==

=−−

=−=

01

107401:

101:0paraPrueba

ónComprobaci


12

[ ] [ ]

( )

2/1012004

012404807444

7444742

2

22

22

222

=⇒=−=⇒=

=−=−

=+−+−

−=+−

−−=−

xxxx

xxxx

xxxxxx

xx

( )

( )( )

{ }2/1;02/1

2/14/1

4/312/32/11

4/742/11

2/1742/11:

2/12/11:2/1paraPrueba

2

=∈=⇒=

==

−=−=

−−=

−−

=−=

SSxMDMI

MD

MIx

k) 22 8

22

2

−= xx

x. En este caso se trata de una ecuación exponencial, la cual debe estar expresada

mediante potencias de igual base a través de las propiedades de las operaciones con potencias.

( ) ( )

( )( ) { }3 ;2S 32

032

065 ;0632 ;23222 ;822 2222322

2

22

=→

==

=−−

=+−=+−−−=−⇒== −−−

xx

xx

xxxxxxxxxxxxx

x

( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

{ }1S 2244

22222

1 Para

definidas no sexpresioneson 2-log ,1-log ,4-log porque S4 :ón Comprobaci

1 4

014043

4472 ;2722log72log

base. misma laen expresados ,logaritmos loscon soperacione las de spropiedade lasaplican se

soluciónsu paray alogarítmicEcuación 2log272loglog22

:obtenemos potencias con soperacione las de spropiedade las Aplicando 422 l)

9log3log23log)21log(

9log9log0)712log(1log

2

2222

)2log(2)72log(log

)2log()72log(log

=∴

=====

=⋅=⋅=

→=

∉−=

=−=

=−+→=−+

++=++=+→+=+

→+=++=

=⋅

+

+

+++

++

MDMIMD

MI

x

x

xx

xxxx

xxxxxxxxxx

xxx

xxx

xxx


13

Ejercicios. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) )3(4)1(8)94(44 −+−=−+ xxx b) 22

=+x

x

c) [ ] 66)94(7352 =−−− yyy d) ( ) ( )zzz −+=−− 136312

e) 105.03.07.0 +=− xx f) ( ) ( ) 437315 +=+−+ xxx

g) )122(311)23(7)5(3 −+=−−− xxx h) 4)32)(3()12)(1( −++=++ xxxx

i) 5.1)6()1)(1( 2 =+−−+ xxx j) )21)(21()4()5(1 22 xxxx −+=+−−−

k) 222 )2()1()5.2(2 −++=− xxx l) ( ) ( )

21

222

22 −=

−−− xxx

m) yy214

523

−=− n)

25

53

78

−=−

+− xx

o) 6

4214

4 −−=

+ xx p) 5144

52470

3750

,,x,x,

=+

−−

q) 18

19

456

53 xxx−=

+−

+ r) 121

314

611

432)1(3 ++

−=+

−−− xxxx

2. Halla el conjunto solución: a) 122)9( −=+ xxx b) 1)5(39)3)(2( 2 −−=+−+ xxxx

c) 0)23

)(21( =++

xx d) 2)25(2 2 −=+ xx

e) 2)4(125)2(4 −−=−+ xxx f) 12)2(2)2( 2 ++=+ xxx

g) )32(315 2xx −= h) 203553 2 −=−−− )x()x(

i) 2)52()53(2 +−=+ xxx j) )1(6)1()1(9 222 −=++− aaa

k) 27)2(20)12)(53()45( 2 +−=−+−− xxxxx l) 595932 2 −=+−− )t()t(

m) 04)12(5)12( 2 =++−+ xx n) )2)(3()5(319 2 +−−−=+ tttt

o) 21

222

22 −=

−−− x)x()x( p) ( )( ) 12

11)1(5

+=−+

− xxx

x

3. Para qué valores de x ∈ R se satisfacen las siguientes igualdades. a) 332 =−x b) 465 =+x

c) 32 −=−x d) 065 =−−x


14

e) 51232 =++ x f) 010275 =+−− xx

g) 02713 =−−+ xx h) 08522 =−−− xx

i) 42 =−+ xx j) 11 −=−− xx

k) 4164 −+= xx l) xxx 21152 =+++

m) 012 =+− xx n) 6=+ xx

ñ) 04284 =−−+ xx o) ( ) 102:3212 −−=− xxx

p)

7217−

=+−x

xx q) 6

121 +=+

++ xx

x

r) 13 =−+ xx s) 3129 2 =−−− xxx

t) 27411 xxx −−=− u) ( ) ( ) 2/12/1 721 −+=+ xx

4. Resuelva las siguientes ecuaciones y compruebe sus resultados:

a) xx 21)7( =++ d) 15 =++ xx b) 1)4(2 +=+ xx c) 13)7(2 +=−+ xx

e) 337 2 =++ x

f) 472

2−=

−

− xx

x

5. Calcula los ceros de la función 115)( −−−= xxxh 6. Resuelve la ecuación: 32252 −=−+ xxx

7. Halla el conjunto solución de la ecuación 1162 2 +=++ xxx 8. Sean las funciones: ( ) 4133 2 +−= xxxf y ( ) 4−= xxh Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de los lados gráficos de las funciones f y h.

9. Resuelve la ecuación: 1312

52

2=

−+

−+

+x

x

xx

xx

10. Dadas las funciones definidas por las siguientes ecuaciones: 2x13)x(f −−= y 33x 3)x(g −+= . Determina los puntos de intersección de los gráficos de f y g cuyas abscisas

son menores que las soluciones de la ecuación )x75,0(xx3 52713 −+=+


15

11. Halla los valores de x que satisfacen la ecuación: ( ) 539 14

21

39

=− +

++

xlogxlog

12. Resuelve la ecuación: ( ) 04921316 7

23 =−−+ logxxlog x

13. Sea: 1+x = f(x) . Halla todos los valores de t para los que se cumple: ( ) ( ) ( )412 −=−− tftftf .

14. Resuelve la ecuación: 3 4311 x-log ) = x++ ( log

15. Sean las funciones: ( ) xcossenxxf232 −= y ( ) 43 −= xxg . Determina los valores de x para

los cuales se cumple que ( ) ( )4gxf = . 16. Resuelve la ecuación: ( ) ( )13log1113log 1k

21k

2 −+=− −−

17. Sean las funciones: ( ) xlogxxlogxf −+= 72 24 y ( ) 216 += xlogxg . Determina los valores de x

para los cuales ambas funciones alcanzan el mismo valor. 18. Resuelve la ecuación: 1 = x-16+4x

19. Halle los valores de a para los cuales x = 18 es solución de la ecuación: 2=− aax

20. Resuelve: 61

131 =+

++x

x

21. Sea la función definida por ( )103.3log)( 2 +−= xx Axf .

a) Halla el valor de A para el cual se cumple f(1) = 0. b) Considerando que A = 10, halla todos los valores de x que satisfacen la ecuación f(x) = 0.

22. Determina los valores reales de x que satisfacen la ecuación: 26

)3²2(²)2(

2719.3

−−−−

=

xxx

23. Sean las funciones 2x

1x23x)1x()x(f+

+++−= y g(x)=x . Encuentra los valores reales de

x para los cuales se cumple la ecuación f(x )= g(x).

24. Dadas las funciones f y g definidas por x46)x(f −= y 3x²x3³x)x(g ++−= . Determina los valores reales de x tales que f(x) – g(x) = 0

25. Sean f y g dos funciones reales dadas por las ecuaciones )3tlog(102t)t(f ++−= y 3t21)²1t()t(g ++−−= . Determina para qué valores de t se cumple que f(t) = g(t)

26. Dada la función f de ecuación )12(log)( += xxf a . a) Si el punto de coordenadas )3 ; 62( pertenece al gráfico de f , determinar el valor de a y escribe la ecuación de f .


16

b) Si

−+=

351log)(

251 xx

xg , halle todos los valores reales de x para los cuales se cumple

que )()( xgxf = . Inecuaciones Lineales. En grados inferiores, a las desigualdades con variables se les denomina inecuaciones. Las inecuaciones de la forma 0<+ bax ó 0≤+ bax ó 0>+ bax ó 0 ≥+ bax con )a( 0≠ se denominan inecuaciones lineales en una variable y se resuelven despejando la variable, teniendo en cuenta que cuando se multiplica o divide en ambos miembros por un número negativo el sentido de la desigualdad se invierte. La inecuación lineal está expresada en sentido estrito si es de la forma 0<+ bax ó 0>+ bax y en sentido amplio si es de la forma 0≤+ bax ó 0 ≥+ bax . Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones y representar gráficamente el conjunto solución.

6245 ) +>+ xxa

4321) >−− xb

10)6(2)1)(52)( +−≤−+ xxxxc Solución: En cada una de las inecuaciones dadas, se debe trasformar algebraicamente, es decir, agrupar y reducir todos los términos que contienen la variable x en el miembro izquierdo y los términos numéricos en el miembro derecho hasta obtener una inecuación de la forma 0<+ bax ó

0≤+ bax ó 0>+ bax ó 0 ≥+ bax con )a( 0≠ y posteriormente despejar la variable x.

>∈=→>

>−>−+>+

32

32

3:23 4625

6245 a)

x:RxSx

/xxx

xx

2143

4321

+>−

>−−

x

x)b

23

31

29

3293

−<

−⋅<

−>−

x

)(x

)(:/x

-∝ 32 +∝

-∝ -23 +∝


17

-∝ (+) x1 (-) x2 (+)

1062152 +−≤−+ )x(x)x)(x)(c

{ }11 1515

01515 051012232

1012253222

22

≤∈=≤

≤

≤−≤−−+−+

+−≤−+

x:RxSx

x

xxxxx

xxxx

Inecuaciones Cuadráticas. Toda inecuación de la forma:

)acbxaxcbxaxcbxaxcbxax 0(con 0 ó 0 ó 0 ó 0 2222 ≠≥++>++≤++<++

se denomina inecuación cuadrática. El trinomio cbxax ++2 es el miembro izquierdo de la inecuación (MI) y 0 es el miembro derecho (MD). Resolver una de estas inecuaciones es determinar para qué valores de x ( )Rx∈ cbxaxy ++= 2 con cb,a y números reales y 0≠a (función cuadrática) es positiva ( )0>y , no negativa ( )0≥y , negativa ( )0<y o no positiva ( )0≤y . Para resolver una inecuación cuadrática se debe tener en cuenta lo siguiente: Los ceros de la función cuadrática determinan (si los tiene) varios intervalos en R (rayo numérico) y en cada uno el signo de la mismas es constante. A continuación se presenta la discusión de cada uno de los casos posibles en la determinación del signo constante de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados. a) Sí 0 >a y 21 xx < . En este caso la gráfica de la

función cbxaxy ++= 2 con cyb,a números reales y 0≠a es una parábola (Fig.1) que abre hacia arriba siendo

x1 y x2 las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax , que son los ceros de la función

cbxaxy ++= 2 (abscisas de los interceptos de la parábola con el eje de las x) , los intervalos determinados son ( ) ( ) ( )+∞∞− ;y ;,; 2211 xxxx y los signos constante de la función cuadrática son los mostrados en la siguiente figura , tomados de la Fig.1

-∝ 1 +∝

1x 2x ∞++ +

- x

y

O

Fig.1


18

-∝ (+) x1 (+) +∝

b) Sí en a) cambiamos solamente el signo del factor a (Fig. 2), entonces cada signo se cambia por su

opuesto, es decir, los signos de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados son −+− , , , dispuestos de derecha a izquierda en el rayo numérico.

c) Si 0 >a (Fig.3) y 21 xx = . En este caso los ceros de la función cuadrática son iguales, por tanto. los intervalos determinados son ( )1x;∞− y ( )+∞;x1 y los signos constante de la función son (+) y (+) como se muestra en la figura siguiente:

e) Sí 0 >a (Fig.4), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es menor que cero, entonces no tiene solución la inecuación porque en la función 2 cbxaxy ++= con 0≠a ,

.Rx,y ∈∀> 0 f) Sí 0 >a (Fig.4), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es mayor que cero, entonces el intervalo de signo constante ( )+ es todo R porque en la función

2 cbxaxy ++= con 0≠a , .Rx,y ∈∀> 0 g) Sí 0 <a (Fig.5), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es mayor que cero, entonces no hay solución para la inecuación porque en la función

2 cbxaxy ++= con 0≠a , .Rx,y ∈∀< 0 h) Sí 0 <a (Fig.5), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es menor que cero, entonces el intervalo de signo constante ( )− es todo R porque en la función

02 =++= cbxaxy con 0≠a , .Rx,y ∈∀< 0 Como conjunto solución, se toman los intervalos de signo constante que coincidan con el sentido de la desigualdad. Nota: Por lo expuesto en la discusión de cada uno de los casos posibles en la determinación del signo constante de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados, cuando la misma no tiene ceros, se puede concluir (*):

Fig.2

1x 2x ∞+

- - +

∞−

y

x

-∝ (-) x1 (+) x2 (-)

1x ∞−

+ x

y

O

Fig.3

+

∞+

∞−

x

y

O

Fig.5

∞+

Fig.4


19

• Si el signo del coeficiente a coincide con el sentido de la desigualdad de la inecuación ( 0>a y 0>MI ó 0<a y 0<MI ) la solución de la inecuación es todo el conjunto de los números reales (R).

• Si el signo del coeficiente a es opuesto al sentido de la desigualdad de la inecuación ( 0>a y 0<MI ó 0<a y 0>MI ) la solución de la inecuación es el conjunto nulo o vacío, es decir, la inecuación no tiene solución lo que se denota como { }=S ó φ=S

Ejemplos. Resuelve las siguientes inecuaciones y represente gráficamente el conjunto solución.

35)3() +≥+ xxxa

xxxb 10 8)3(4 ) 2 <−+ )3(23 )6()2(3 ) −<−−− xxxxc

)7 )2( ) xxxd +−>+ Solución: En cada uno de los casos se debe seguir el siguiente procedimiento: Transformar algebraicamente en ambos miembros hasta reducir la inecuación a la forma:

)acbxaxcbxaxcbxaxcbxax 0(con 0 ó 0 ó 0 ó 0 2222 >≥++>++≤++<++ .Igualar a cero el miembro derecho y resolver la ecuación cuadrática resultante. Los valores obtenidos los denotaremos como 1x y 2x Situar a 1x y a 2x en el rayo numérico Como 0>a el signo constante de la función en cada intervalo es de la forma: +−+ ,, (Fig.1) si 1x y 2x son soluciones reales diferentes ó ++ , (Fig.3) si 1x y 2x son soluciones reales iguales. Para el caso de que no existan los valores reales 1x y 2x no es necesario determinar los intervalos de signo constante y se debe concluir según (*). Dar el conjunto solución, tomando los intervalos que su signo coincida con el sentido de la desigualdad. Los límites de los intervalos (al menos uno) solo se incluyen en la solución si la desigualdad es en sentido amplio (≥ ó ≤ )

{ }3 ó 1: ≥−≤∈= xxRxS ó ( ] [ )∞+∪−∞−∈∈= ;31 ;x:RxS

6 ,9 ,2 0692 0 692

(2) : / 0 12184 0 108124

10 8)3(4 )

2

2

2

2

2

=−===+−

<+−

<+−

<−−+

<−+

cbaxxxx

xxxxx

xxxb

Como en este caso el trinomio no se descompone en factores racionales, utilizamos la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.

3 ó 1 son trinomio del ceros los ,031

032

0353

353

2 1

2

2

=−=≥−+≥+−

≥+−+

+≥+

xx)x)(x(

xx

xxx

x)x(x)a

-∝ (+) -1 (-) 3 (+)


20

+−∈

+

<<−

∈=

−=

+=

±≈

±=

−±=

−±=

4

339, 4

339 xó 4

339 4

339

4

339 ó4

339

47459

4339

448819

22624819

21

21

x:RxS

xx

.)(

))((x ,

φ=<−

<−−<+−

<+−

<+−+−−

−<+−−

−<−−−

Sxxx

xxxx

xxxxxxxxxxxxc

0 )5(

0 )5)(5( 0 2510

(3) : / 0 75303 0 69236636923 663

)3(23 )6()2(3 )

2

2

2

2

2

La función ( )25−= xy es no negativa para toda Rx∈ , luego la inecuación no tiene solución.

0 73 0 72

7 2 )7( )2( )d

2

2

2

>++

>+++

−−>+

+−>+

xxxxx

xxxxxx

Este trinomio no tiene descomposición factorial racional por lo que aplicamos la fórmula:

0 1928971434

7 3 ,1 07322

2

<−=−=−=−=

====++

))(()(acbD

c,baxx

El trinomio no tiene descomposición factorial en R pero coincide el signo de a, (coeficiente de 2x ) con el signo de la inecuación dada (>), la solución es todos los números reales

S = R. Ejercicios. 1. Resuelve las inecuaciones siguientes:

a) 2125 ≥−x

b) x.x. 802623 −>−

c) 3553 +−<+− )x(x)x(x d) )x()x(x 3233242 ++>++− e) x)x( 392721 >−− f) x)x()x( 164335 <−−−

-∝ +∝ 4

339− 4

339++ - +


21

g) 10552

+−≤−+ x)x(x h) 4123223 2 +

−<+ xxxx

i) 274

651

312

+<−+− xxx j) 1

103

23

43

>

+−−

xxx

k) ).x(x).x()x)(x( 10105074 2 −+≥−−+−

l) 1645154

6123

31

−+>

−−− )x(x(x

2. Hallar los valores de x ∈ R que satisfacen las siguientes inecuaciones: a) 02142 >−− xx b) 06113 2 ≤+− xx c) 0212 ≥−+ )x)(x( d) 042 ≤−x

e) 041 2 ≤− x f) 17134 2 >− xx

g) 0144 2 ≤+− xx h) 2591355 22 −−+≥−+ x)x()x)(x(

i) 321

21 22

>

−−

+ xx

j) 22 222 )x()x)(x(x −≥−++

k) 2417354 222 +>−+−−+ x)x()x()x(l) 2

23 44

22 >

−− xx

m) 2

241

41

+<

−+ xxx

n) 222 1010 x)x.()x.( −≥−−+

ñ) 21

8522

6123

>−+

−− )x)(x(x

o)

51212214 ≤+−−−− )x)(x()x)(x( p) 0)(x 561 >−>−− )x(x)x(x

q) )x(x 5321 2 +<

r) 051<

+−

xx s) 142

<−+

xxx

3. Sean x

y Cxxxx , B

xxxxA 1

3522

9652

2

23

2

23=

−+

−=

−

+−−=

a) Para qué valores de x, el numerador de A y B es no negativo b) Para qué valores de x, el denominador de A es negativo c) Si B es positivo, ¿qué valores toma x? d) Para qué valores de x, C es positivo.


22

4. Dada la función definida por: 9449

2

2

−

+=

x

x)x(p . Determina para qué valores de x los puntos

correspondientes al gráfico de “p” están por debajo del eje “X”.

5. Sea 4

432

23

−

+−=

x

xx)x(A . Determina el conjunto de números reales no negativos para los

cuales .)x(A 0≤

6. Sean: x+

+x-x-xA = 8

123 y

114-x

B = . Halla el mayor número entero negativo x para el cual

se cumple 0≤⋅BA .

7. Dada la función 4

4852

23

−

+++=

x

xxx)x(f . determina los valores reales de x para los cuales

se cumple que 0≥)x(f .

8. Resuelve la siguiente inecuación: 23

723

33 555

2 +−− +≥

xx)x( logloglog

9. Dadas 33 2 +−= kxx)x(f , 42 −= x)x(g y x)x(h −=1 a) Calcula los valores de k para los cuales la función f tiene dos ceros diferentes. b) Calcula los ceros de f para k = 7. ( 6313 ,≈ ) c) Determina los valores de x que satisfacen la inecuación g(x) < h(x). 10. Dadas las expresiones: 28336 22 −−=−= xxByxA .Determina para qué valores de x están definidas simultáneamente ambas expresiones.

11. Resuelve la inecuación 2094

15 2 +−

≤−

−− xx

xxx

x .

12. Dadas la funciones )3x(log)x(f 2 −= y 4xlog)x(g 5,0= . Halla los valores de x para los

cuales las imágenes de la función f son menores o iguales que las imágenes de la función g.

13. Sean las expresiones 125

543

23

+

−+=

m

mmmA y

2520433

23

2

++−

−=

mmm

mB .

a) Prueba que para todos los valores admisibles de la variable se cumple que 3m

BA

−= .

b) Halla todos los valores reales de la variable m para los cuales se cumple que:

32

342 −+≥ mm

BA

14. Sean las funciones reales f, g y h, definidas por las ecuaciones: ( ) 523 ++= xxf ,

( ) xxg 34= y ( )52

21 +

=

x

xh . Calcula los valores reales para los cuales se cumple que

( ) ( )xhxg ≥ .


23

15. Se tiene la expresión ( )54

+−

=x

xxA .

a) Resuelve la ecuación ( ) xxA 164 = (x ∈ R) . b) Determina para quévalores reales de la variable x se cumple que ( ) xxA ≥ .

16. Sean ( )552

+−

=xx

xf y ( )3

1−

=x

xg . Determina para qué valores de x se cumple:

( ) ( )xgxf 33 ≥ .


24

BIBLIOGRAFÍA

1. Álvarez Socarrás Ada Matemática para curso Introductorio/ Ada Álvarez Socarrás.-

Camagüey: /s.c/,/s.a/.—191p.

2. Ballester, Sergio: Cómo Sistematizar los conocimientos matemáticos. Editorial Academia.

Ciudad de la Habana. 1995.

3. Ballester, Sergio y C. Arango: Cómo Consolidar Conocimientos Matemáticos. Editorial

Academia. Ciudad de la Habana. 1995.

4. Campistrus, Pérez L. Y otros: Matemática. Orientaciones Metodológicas 10 grado. Editorial

Pueblo y Educación 1989.

5. Cuadrado González, Zulema. Matemática 10mo grado / Zulema Cuadrado González,

Richard Nerido Castellanos y Celia Rizo Cabrera. —La Habana: Editorial Pueblo y Edición,

6. 1991. —152p.

7. Exámenes de Ingreso a la Educación Superior

2. Sistema de ecuaciones linealesMilagros Riquenes Rodríguez, Raúl Hernández Fidalgo y

Salvador Ochoa Rodríguez

Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.

3

SISTEMA DE ECUACIONES.

Sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas. Llamaremos sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas (o variables) a todo conjunto de ecuaciones de la forma:

mentesimultanea nulos no 2y 2y reales números 2y 2 ,2con 222

mentesimultanea nulos no 1 1y reales números 1y 1 ,1con 1y 11bacbacybxa

byacbacbxa

=+

=+

Conjunto solución: La representación gráfica de una función lineal de la forma nmxy += con nm y números reales, es una recta del plano. Transformando algebraicamente en la ecuación

nmxy += podemos generalizar que toda recta del plano está dada por la ecuación cbyax =+ con

y ba números reales no simultáneamente nulos, por lo que obtener el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales, significa geométricamente, determinar el punto de intersección entre ambas rectas lo que permite conocer la posición de las mismas (secantes ó paralelas coincidentes ó disjuntas).

Caso I: y 21 rr son secantes (se cortan en un punto) Fig.1

En este caso el conjunto solución del sistema, está formado por las coordenadas del punto de intersección de ambas rectas y el sistema es determinado (solución única); )} ;{(S 11 yx=

Caso II: rr 21 y (Fig. 2) son paralelas coincidentes.

Aquí el conjunto solución en infinito ya que la intersección de ambas rectas es la propia recta r1 ó r2 que contienen infinitos puntos. En este caso el sistema es indeterminado; . S ó S 21 rr ==

O x

y

r1

r2

Fig. 1

O x

y

r1

r2

Fig. 2


4

Caso III: rr 21 y (Fig. 3) son paralelas disjuntas.

En este caso el conjunto solución es vacío ya que dichas rectas no se interceptan; { }=S ó φS = y el sistema es imposible o incompatible.

Resolver un sistema de ecuaciones es hallar sus soluciones o demostrar que carece de ellas. A continuación mostraremos dos métodos para resolver estos sistemas.

Método de adición algebraica.

Método de sustitución.

Método de adición algebraica.

Para resolver un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas se elimina una de las incógnitas y se procede a resolver la ecuación resultante con respecto a la otra, esta eliminación de una de las incógnitas puede lograrse sumando o restando las ecuaciones dadas después de haberlas multiplicado en casos necesarios por números convenientes.

Una vez hallado el valor de una de las incógnitas se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema la cual se resuelve respecto a la otra incógnita.

Ejemplos.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

34197a)

x - y y x

==+

12

42b) -y x - x - y

==

523 532c)

y x y x

=+=+

9611 2383 d)

-y x y x

=+=+

1416162131e)

- y / x - / y / x - /

==

Solución:

a) En este sistema para eliminar la variable y con sumar ambas ecuaciones es suficiente.

34 2)197 1

x - y y x )

==+

2211 =x

2=x

Sustituyendo en 1)

5 197(2)

y y

==+ { }5) ; (2S =

O x

y

r1

r2

Fig. 3


5

Comprobación:

Se sustituye los valores obtenidos, en las ecuaciones originales para verificar que las mismas satisfacen ambas ecuaciones.

MD 3 5 - 4(2): MI 2)ecuación En MD. 19 5 7(2): MI 1)ecuación En ====+

1242

-y x - x - y b)

==

En este ejemplo para eliminar la variable x ó y es necesario multiplicar por -2 la ecuación (2) para eliminar la variable x o la ecuación (1) para eliminar la variable y. Eliminemos y, multiplicando la ecuación (1) por (-2)

1222421

-y x -) ).(/ x - y )

=−=

12 824

-y x - y x

=−=+−

3

93=

−=−xx

Sustituyendo en )2( :

123 −=− y

224

231

=−−

=−

−−=y

{ });(S 2 3=

52325321

y x ) y x ) c)

=+=+

En este caso para eliminar x ó y es necesario multiplicar ambas ecuaciones por el número que al sumar estas se anule una de las incógnitas.

Si se desea eliminar x se multiplica la ecuación (1) por 3 y la ecuación (2) por (-2). Si se desea eliminar y se multiplica la ecuación (1) por (-2) y la ecuación (2) por 3. Eliminando x

).(/ y x ) ).(/ y x ) 25232

35321−=+

=+

1046

1596 −=−−

=+yxyx

1 55

==

yy

Sustituyendo en la ecuación (1):

5)1(32 =+x

122

235

==−

=x

{ });(S 1 1=


6

En general cuando se resuelve un sistema de la forma:

221

1112

1) cy bx ) a

cy bx a=+

=+

Por el método "Adición Algebraica" (método de reducción) es necesario conocer el factor por el que hay que multiplicar cada una de las ecuaciones y para ello se puede utilizar el siguiente procedimiento:

1ro.- Hállese el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los coeficientes de la incógnita que desea eliminar.

2do.- Divídase este MCM por el coeficiente de la incógnita a eliminar en la primera ecuación y el cociente dará el valor absoluto del factor que se debe usar para multiplicar esta ecuación.

3ro.- Análogamente se determina el valor absoluto del factor que se utiliza en la segunda ecuación.

4to.- El signo de cada factor dependerá del signo de los coeficientes de la incógnita a eliminar.

9611 2383

-y x y x d)

=+=+

Eliminemos y :

3 . 2 6 2 8

¿? : 6y 8 de MCM3

==

(2)ecuación lar multiplica debe se que elpor factor del absolutovalor 4 6 : 24(1)ecuación lar multiplica debe se que elpor factor del absolutovalor 3 8 : 24

24 3 . 2 6)y 8 de( MCM 3

→=→=

==

4)} , {(-3 S

4 3832 35105

328 10535

9238 362444238969249

23833 496112(1)ecuación laen doSustituyen 32383(1)

=

======

+==+ =+−=

= + )−( )( / −= + =+

y -x : y : -x

y -x

y -y x y -y x - -

yyx) ( ) / (- y x


7

141

61 (2)

621

31 (1) e)

- y x -

y x -

=

=

Este sistema es de coeficientes fraccionarios por lo que se hace muy difícil la reducción de una variable. Es necesario que eliminemos las fracciones multiplicando cada ecuación por el MCM de sus denominadores.

Imposible 480 :obtiene se ecuaciones ambas restando1232

3632

(12)141

61 (2)

(6)621

31 (1)

12 es 1y 4 , 6 de MCM : (2)ecuación En 6 es 1y 2 , 3 de MCM : (1)ecuación En

→===

=

=

-y x -

y x -

/ - y x -

/ y x -

Del resultado anterior se infiere que el sistema no tiene solución o sea

} { S = y esto significa geométricamente que las rectas dadas por dichas ecuaciones son paralelas disjuntas.

Método de Sustitución.

Consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación, resultando una ecuación de una incógnita que se resuelve por el método de solución de ecuaciones lineales. Una vez encontrado el valor de una de las incógnitas por sustitución se encuentra el valor de la otra.

Ejemplos.

Resolver los siguientes sistemas:

203 632

y x y x - a)

=+=

54 )9()6(14)3()2(

=+=

y - x x - y - x - - y y -b) x

a) ( )

( ) 20326 321

y x y x -

=+=

Despejar x en la ecuación (1). Puede despejarse cualquier de las dos incógnitas en cualquier ecuación.

3) 236 yx +

=


8

Sustituyendo en la ecuación (2): 20236 3 =+

+ yy

2./20236 3 =+

+ yy

( ) 402363 =++ yy

402918 =++ yy

401118 =+ y

→==−

= 21122

111840y Sustituyendo en 3) ( ) 6

212

2236

==+

=x

{(6,2)} S =

( ) ( )( ) ( ) 5496

1432 y - x x - y - x - - yy -x b)

=+=

En este caso debe calcularse primeramente las operaciones indicadas hasta transformar este sistema en un sistema de la forma:

221

111 cy bx a cy bx a

=+=+

1823 35469 549 6 :)2( Enecuación

14321432 : (1)ecuación En

-y x ) /:(-yx - - x y - xy -yx -

yx -y x - yx xy -

=+=→=

−=+−→=+

Obteniéndose el sistema:

1823(2)

1432 (1) -y x

-y x -=+

=+ Para resolver el mismo debe procederse como en el ejemplo anterior:

Despejar y en ecuación (1):

32143 xy) +−

=

Sustituyendo en la ecuación (2):

183

214 23 - x x =

+−

+

183

21423 - x x =

+−

+ /.3

544289 -x x =+− 26285413 −=+= -x

21326

−=−

=x

Sustituyendo en (3):

6318

32214

−=−

=−+−

=)(y

{(-2,-6)} S =


9

Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Ejemplos.

Resolver los siguientes sistemas

z y -x - z y x -y - z x

14245 11432423 a)

==++=+

631223325b)

- y - z -z y - x - z y x

===++

20

1610 c)

=+=+=+

s r r t t s

2323

4321

5132 d)

−=−+

=+−−

=−+

zyx

zyx

zyx

Los sistemas a resolver, son sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas y para resolverlos se elimina una incógnita entre dos ecuaciones y luego se elige otro par de ecuaciones y se elimina de nuevo la misma incógnita. Resulta así un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que se resuelven de la manera ya estudiada. Los valores obtenidos para estas dos incógnitas se sustituyen en cualquiera de las ecuaciones del sistema original.

Es decir, se reduce el sistema dado a uno de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y después a una ecuación lineal en una incógnita. Se puede utilizar, según sea más cómodo, el método de sustitución o el de reducción.

Solución:

z yx - z y x -y - z x

14245 (3)11432(2)423(1) a)

=−=++=+

Tomemos las ecuaciones (1) y (2) y eliminemos z

-y x

z y x -z y - x

z y x / -z y x

51114 4)

11432164812

114322)(4)4231)

=+

=++=+

=++=−+

Tomemos las ecuaciones (1) y (3) y eliminemos z

228 5)

14245 8246

14245 )3(-2)423 1)

=

=−=+

=−=−+

y-x-

z y x - z y x - -

z yx - / -z y x


10

Con las ecuaciones (4) y (5) formemos el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

3 (-101) :303

303101

30811214 5 1114

(14)22 8(5)5 1114(4)

- y y

y -

y x -- -y x

/ y -x -y x

===

==+

=−=+

Sustituyendo en ecuación (5)

212422

2238

x )) : (- ( x

) (- - x -

=−=

=

Sustituyendo en ecuación (1):

4(-1) :4

4(-3) 2 (2) 3

z - z

- - z

===+

4)} 3,- , {(2 S

MD 14 2(4)(-3) 4 - 5(2) : MI : (3)ecuación En MD 11 4(4) (-3) 3 2(2) : MI : (2)ecuación En

MD4- 4 (-3) 2 3(2) : MI : (1)ecuación En :ón Comprobaci

=

==−==++

==+

63)31323)2325)1)

−=−−=−−

=++

zyzyxzyxb


11

Tomemos las ecuaciones (1) y (2) y convenientemente eliminemos x:

Con las ecuaciones (3) y (4) formamos el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

1- y que lopor , (-44) : 44 y 44 44y -

10- 9z -17y - 54 9z 27y -

10- 9z -17y - 4)(-9) /.6- z -3y 3)

===

==+

==

Sustituyendo en (3) para hallar a z

3 z /(-1)3- z-

3 6- z- 6- z - 3- 6- z - (-1) 3

==

+===


3)} 1,- , {(22

133(3)2 (-1)5

S x

- x x

====++

20(3) 16(2)10 (1) c)

=+=+=+

s r r t t s

Ordenemos el sistema dado en la forma r, s y t:

20 (3)16 (2) 10(1) c)

=+=+=+

s r t r t s

Tomemos las ecuaciones (1) y (2) y eliminemos convenientemente t:

t r t s

16 (2))1.(/10(1)

=+−=+

16

10=+

−=−−trts

6 4 =− sr)

10917 4)

1323 96153

1323 (2)(-3)325(1)

-z y - -

-z y - x - -z y - x - -

-z y - x - /. z y x

=

==

==++


12

Con las ecuaciones (3) y (4) formemos el sistema de dos con dos:

132262

6420 (3)

r / : r

r ) -s ( s r

===+=+


7 20 13

==+

ss


} 3) 7; (13; { S

3710

107

=

===+

t - t

t

Observe que el conjunto solución está expresado en el mismo orden de las variables ts,r y

2323

4321

5132 d)

−=−+

=+−−

=−+

zyx

zyx

zyx

En este caso las variables se encuentran en los denominadores, para facilitar la solución recomendamos el siguiente cambio de variables:

Cz

By

Ax

===1y1;1

Sustituyendo en el sistema original se obtiene el sistema:

2323A (3)432 (2)532A (1)

−=−+=+−−=−+

CBCBACB

Sumemos ecuación (1) y (2) y eliminemos la variable A:

(2)./432 (2)532A (1)

=+−−=−+

CBACB

8642532A

=+−−=−+

CBACB

135 (4) =+ C-B


13

Sumemos ecuación (1) y (3) y eliminemos la variable A:

)2.(/2323A (3))3.(/532A (1)−−=−+

=−+CBCB

464615396

=+−−=−+

CBACBA

1935 )5( =+ CB

Tomemos las ecuaciones (4) y (5) y eliminemos la variable B

5./135 )4( =+ C-B

1935 )5( =+ CB

65255 =+ CB-

1935 =+ CB

8428 =C

32884

==C

Sustituyendo en ecuación (4): 21151313)3(5 =

−−

=→=+ B-B

Sustituyendo en ecuación (1): 12

3553)2(32A =−

=→=−+ A

Para hallar los valores de x; y e z se sustituye en las ecuaciones del cambio de variables.

1 111

==→=

x /x /x A

21 121

/ y /y /y B

==→=

31

131

z

/z /z C

=

=→=

Se comprueba en el sistema original.

En ecuación (1)

5362

311

213

12 MI MD==−+=−+=


14

Análogamente se comprueba en las restantes ecuaciones.

=

21

211 ;;S

Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas.

Ejemplos.

Resolver los siguientes sistemas:

( )

x - y

y x 03 2)83 1)a) 22

=+=++

x y y x

=

=2

2

2 2)4 1) b)

( ) 122)

11) c)22

22

y x-

y x

=+

=+

Estos sistemas son cuadráticos ya que contienen al menos una ecuación de segundo grado por lo que es conveniente aplicar el método de sustitución.

Solución:

( )

x - y

y x 03 2)831) a) 22

=+=++

En este caso, donde existe una ecuación lineal y una cuadrática, se despeja una variable en la ecuación lineal y se sustituye en la cuadrática resultando una ecuación cuadrática, cuyas soluciones se sustituyen en la lineal para hallar el conjunto solución del sistema.

Despejando x en ecuación (2) :

32 y - ) x =

Sustituyendo en (1)

( )

4 82

833

2

2

22

y y

y y -

=

=

=++

24ó24 −=−=== yy

Sustituyendo en (3)

- - -x -Si y - - x Si y 532 2

1322==→===→=

Comprobación : ( ) MD8 4 4 22 3) (-1 : MI

(1)ecuación En 2 y e 1- x Para

2 ==+=++

==


15

MD0 3 2 1 - : MI(2)ecuación En

==+−

En ecuación (1)

} 2)- (-5, 2), (-1, { S MD 0 3 (-2) - ) (-5 : MI

(2)ecuación En MD8 4 4 (-2) 3) (-5 : MI

2- e 5- Para2 2

===+

==+=++

== yx

x y y x

=

=2

2

22)41) b)

En este ejemplo ambas ecuaciones son cuadráticas por lo que se despeja la variable lineal en cualquier ecuación, obteniéndose la ecuación (3), se sustituye en el otra ecuación, se resuelve la ecuación resultante, obteniéndose así los valores de una variable, y con estos se sustituye en la ecuación (3) para obtener los valores de la otra variable.

En el ejemplo, la variable x en la ecuación (2) está despejada. 22y x = , con esto sustituimos en ecuación (1):

( )

1 0 01ó04

0 14 044

4)(2y

3

3

4

22

y y - y y

- yy y - y

y

====

=

=

=

} 1) (2, 0), (0, { S2100

==→==→=

x Si y x Si y

( ) 122)

11) c)22

22

y x-

y x

=+

=+

En este caso todas las incógnitas que intervienen en el sistema son cuadráticas por lo que hay que utilizar el método de reducción o sustitución.


16

x x

x -

y x - x- - y -x

y ) (x - ) ) /(- y x )

1 (-4) : (-4)

044

1441

12 211 1

22

22

22

22

===+

=++

=

=+

=+


( ){ } ; S y

y y

010 0 1(1)

2

22

=→==

=+

Realice la comprobación.


17

Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales.

Seguidamente estudiaremos la resolución de problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. El planteamiento de los mismos requiere saber expresar en lenguaje algebraico las condiciones que en lenguaje común contiene el enunciado del problema como mostraremos en los ejemplos siguientes:

Un número x

Un número aumentado en 2 x + 2

Un número disminuido en 3 x - 3

El duplo de un número 2x

El triplo de un número 3x

La mitad de un número x/2 ó ½ x

El cuadrado de un número x2

El duplo de un número aumentado en 5 2x + 5

La edad de una persona hace cuatro años x - 4

La edad de una persona dentro de 5 años x + 5

Dos números enteros consecutivos n y n+1

Un número par 2n

Un número impar 2n + 1

Si las cifras de un número natural es d y las cifras de las unidades es u n = 10d+u Ej: 54 = 10(5) + 4

Si una persona camina x km por hora, el número de kms que camina en t horas (a un paso uniforme)

x. t

El número de centavos que hay en x pesos y en y pesetas 100x + 20y

Toda situación en la que se persigue la determinación de uno o varios números desconocidos mediante la relación (o relaciones) que existen entre ellos y otros conocidos, se dice que es un problema.

Los números y las relaciones conocidas constituyen los datos del problema. Los números cuya determinación se pide son las incógnitas.


18

A continuación mostraremos con algunos ejemplos la técnica de la resolución de los problemas por medio de ecuaciones (resolución algebraica).

Ejemplos.

Resolver los siguientes problemas:

a) La suma de dos números es igual a 52. La diferencia entre el triplo de uno y el quíntuplo del otro es igual a 100. ¿Cuáles son los números?

b) La suma de las edades de un matrimonio y de su hijo es 84 años. La quinta parte de la edad del hijo es igual a la diferencia entre las edades del padre y la madre. La suma de las edades de la madre y el hijo es igual a cuatro tercios de la edad del padre. ¿Cuáles son sus edades?

c) Cuáles son las longitudes de los lados de un triángulo si cada dos lados suman 9 cms, 12 cms y 13 cms.

Algunos aspectos a tener en cuenta en la solución de los problemas:

1) Representación (según el enunciado, escoger las variables a utilizar).

2) Planteo (formación de las ecuaciones).

3) Resolución (aplicación de los métodos estudiados para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas).

4) Interpretación de los resultados obtenidos y con esto dar la respuesta.

a) 1er número → x

2do número → y

7 8568

10053 15633

10053 2))3(./52 1)

=−=−

=−−=−−

=−=+

y ) /:(-y

yx yx

yx- y x

Sustituyendo en la ecuación 1):

527 =+x

45752 =−=x

R/ El primer número es 45 y el segundo es 7.

b) Edad del padre ------ x

Edad de la madre --- y

Edad del hijo ------ z


19

( )

( )3/3

4)3

5/5

)2

84)1

⋅=+

⋅−=

=++

xzy

yxzzyx

0334)3055)284)1

=++−=++−=++

zyxzyx

zyx

48 5) 21035 4)(7) :33677 (2) :420610

0334 055336444 420555

03343) 0552)(4)841)(5)841)

(3)y (1)ecuación En (2)y (1)ecuación En

=+=+=+=+

=++−=++−=++=++

=++−=++−=++=++

zy zy / z y / z y

z y x z y x z y x z y x

z y x z y x / . z y x / . z y x

36 33 841533 662

(1)en doSustituyen1443315 21035

3348(-3)485)4833 210354)

(5)en doSustituyen (5)y (4)ecuación Con

===++=

=−==+

==+=+=+

x y x y

-z y - z z y

- z / . z y z z y

R/ La edad del padre es: 36 años

La edad de la madre: 33 años

La edad del hijo es: 15 años

c) Los lados del triángulo.

------- zL ------- yL------- xL

321

13 3)12 2)9 1)

=+=+=+

zxzyyx


20

En ecuación (1) y (2) En ecuación (3) y (4)

834)

2:1612162 9

3 4)122)13 3) 1)(91)

==+−

==+=−=−−

=+−=+=+−=+

z zx

z z y z yx

zx zyzx /.y x

4 5 95138 (1)en doSustituyen (3)en doSustituyen

y x y x

===+=+

R/ Las longitudes de los lados son 5cms; 4cms y 8 cms respectivamente.


21

Ejercicios:

1. Dado el siguiente sistema de ecuaciones. ( I ) 3x + y = 2 ( II ) 2x + 3y =5

Halle su conjunto solución. Represente gráficamente la función definida por la ecuación (I).

2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales

( )( ) ( )

z y x - y x y-x -x - z y - x - z x - y -

y - x z y x z y-x

525 523 2040320 7210 1545 50 20215 III) 526 II) 5234 )I

=+=+====+=++=+

3222

3IV)

=+=+=++

zy zx-y

zy x

532 212 V)

=++=+=++

zy x-z y- x z yx

3. Resuelva y compruebe:

5461

32

21

44

=+

=−

=+

zy

zx

yx

4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a. 75

=+−=−

yxyx

b. 42 =+ yx

53 =+ yx

c. 14=+ yx

73 −=− yx

d. 136 =− yx 43 =− yx

e. 723 =− yx

3734 =+ yx

f. 2x + 9y = 3 4x + 3y = 80


22

g. 1834

361110−=+

=+−yxyx

h. 265 −=− yx

8083 =+ yx

i. 171513 =+ yx

27107 =+− yx

j. 5812 =+ yx

1885 =− yx

k. 33209 =+ yx

21158 =+ yx l.

113 0326−=+

=++)yx()y(x

m. 254

41

21

351

31

,yx

yx

=+

=+ n.

343

923

+=

−=

xy

yx

o. 4

525

=−

=+

yx

yx p.

14

1632

=+

=+

yx

yx

q. 50

3

1079

=+

=+

yx

yx

r. ( )

( )21

21

431

+−=+

−=−

yxyx

xyx

s. 743

211

=−

++

=−

−+

yxyx

yxyx

t. 526

29

24534

,yx

,yx

=−

=+

u.

9515

−=−−=+−=++

zyxzyxzyx

v.

5257210

426

=+−=−−

=++

zyxzyx

zyx


23

w.

x)z(xzyx

zyx

=−++=−

−=−

12354

16643

x.

0636

13263

3322

=+−

=−+

=−+

zyx

zyx

zyx

y.

( )

( )

( ) 52

52

521

=+

+

=+

+

=++

yxz

zxy

zyx

z.

4

122

xy

yx

=

=

aa. 0 212

=−=+

xyyx

bb. 01

12 2

=+−+=

xyxy

cc. ( ) ( )1

281 2

=−−=−

xyxy

dd.

21

14

22

xy

yx

=+

=+

Problemas: 1. La suma de dos números es 48. La diferencia entre el duplo del mayor y el triplo del menor es 6. ¿Cuáles son los números?

2. Si la mitad del número se resta del mayor de dos números, el resultado es 36. Halla los números, si difieren en 35.

3. La diferencia de dos números racionales es 5/8. El duplo del mayor menos el triplo del menor es igual a uno. ¿Cuáles son los números?

4. La suma del triplo de un número con el cuádruplo de otro es 85. La suma de la tercera parte del primero y la quinta parte del segundo es 7. ¿Cuales son los números?

5. Para fabricar una pieza entre dos obreros se necesitan 48 minutos. Si la diferencia entre los tiempos empleados entre ambos es de 8 minutos. ¿Qué tiempo empleó cada uno en la fabricación de la pieza?

6. Entre dos terminales marítimas se embarcan 2 000 t de azúcar por hora, si una de ellas embarca las 2/3 partes de lo que embarca la otra. ¿Cuántas toneladas de azúcar embarca cada una de las terminales por hora?


24

7. En una tabla gimnástica, los 196 alumnos participantes forman 6 círculos y 4 estrellas. Para formar un círculo y una estrella se necesitan 40 alumnos. ¿Con cuántos alumnos se forma un círculo y con cuántos una estrella?

8. La diferencia entre el duplo de las horas voluntarias realizadas por Mario y el triplo de las horas realizadas por Alexis es de 12 h, y la mitad del número de horas voluntarias de Mario excede en 13h a la tercera parte de las de Alexis. ¿Cuántas horas de trabajo voluntario realizó cada uno?

9. En el décimo grado de un preuniversitario, seis veces el número de varones es igual a cinco veces el número de hembras, y la mitad del número de varones excede en 10 a la tercera parte del número de hembras. ¿Cuántas hembras y cuántos varones hay en el grado?

10. En un aula de 38 alumnos, la cuarta parte de los aprobados excede en 2 a la cantidad de alumnos suspensos. ¿Cuántos alumnos aprobados y cuántos suspensos hay en el aula?

11. En un preuniversitario, la cuarta parte de los alumnos que practican pelota, sumados con la tercera parte de los que practican natación es igual a 20. Si se divide el triplo del número de los que juegan pelota entre el número de los que practican natación, el cociente es 4. ¿Cuántos alumnos practican cada deporte?

12. A una obra en construcción se le envían en el mes 80 cargas con un total de 488 t de materiales. Algunos camiones cargan 5 t y los restantes 7 t. ¿Cuántas cargas de cada tipo se han enviado?

13. La suma de tres números es 19. El triplo del menor más el duplo del mediano menos el mayor es igual a 18. El menor más el mediano excede en tres unidades al mayor. Halla los números.

14. Un melón, una piña y un aguacate cuestan $ 2.60; dos melones y tres piñas cuestan $5.60; dos piñas y tres aguacates cuestan $2.90. ¿Cuánto vale cada fruta?

15. El número de horas voluntarias realizadas por Norma, Caridad y Moraima suman 100. Entre Norma y Caridad han realizado los mismos números de horas que Moraima, y cuatro veces las horas realizadas por Norma e igual al número de horas realizadas por Moraima y Caridad. ¿Cuántas horas de trabajo voluntario han realizado cada una?

16. La suma de las edades de Fermín, Leopoldo y Jorge es de 75 años. La suma de las edades de Fermín y Leopoldo es de 45 años y el duplo de la edad de Jorge excede en 15 años a la suma de las edades de Fermín y Leopoldo. ¿Qué edad tiene cada uno, si Fermín es 5 años menor que Leopoldo?

17. En un kiosco se venden 3 clases de revistas a $0.15, $0.20 y $0.25 respectivamente. En un día se vendieron 255 revistas por un valor de $52.50. Si el triplo de las que se venden a $0.15 es igual al duplo de las que se venden a $0.25. ¿Cuántas revistas de cada tipo se han vendido?

18. En un triángulo cualquiera la suma de las amplitudes del ángulo mediano y del ángulo menor excede en 36º al ángulo mayor y la suma de los ángulos mayor y mediano es igual al triplo del ángulo menor. ¿Cuántos grados mide cada uno?

19. En un número de 3 cifras, la suma de ellas es 14, la suma del triplo de las cifras de las centenas con las cifras de las unidades es igual a las cifras de las decenas. Si al números se le suman 99, el nuevo número tiene las mismas cifras pero en orden inverso. ¿Cuál es el número?

20. En un número de 3 cifras, la suma de ellas es 15, la suma de las cifras de las centenas y de las decenas es igual al cuádruplo de las cifras de las unidades, y si al número se le resta 18, se intercambian las cifras de las unidades y de las decenas. ¿Cuál es el número?


25

21. Un campesino tiene en su casa ovejas y gallinas. En total se tienen 56 patas y 17 cabezas. ¿Cuántas ovejas y cuántas gallinas tiene?

22. La entrada a un espectáculo cuesta 80 centavos los mayores y 50 centavos los menores. Una noche entraron al espectáculo 320 personas y habiendo todas pagado la entrada, se recaudó por este concepto 220 pesos. ¿Cuántos mayores y cuántos menores entraron esa noche?

23. Un caballo y un mulo caminaban juntos, llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el caballo de su penosa carga a lo que el mulo le dijo: ¿De qué te quejas? Si yo tomara un saco, mi carga sería el doble de la tuya. En cambio si te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía. ¿Diga cuántos sacos llevaba el caballo y cuántos el mulo?

24. Un tren de carga con 38 vagones transporta 730 toneladas de minerales. Algunos vagones cargan 15t de mineral; los demás, transportan 20t. ¿Cuántos vagones de cada tipo hay?

25. Los tres ángulos interiores de un triángulo están en la razón.76

65 y . Calcula la amplitud de cada

uno.

26. En un grupo de estudiantes del 7mo grado de una ESBU, hay 35 estudiantes. Si el cuádruple de la cantidad de hembras excede en 20 a la cantidad de varones, ¿cuántas hembras y cuántos varones tiene el grupo?

27. La entrada a una piscina cuesta $5.00 por 3 mayores y 4 menores. ¿Cuánto paga cada uno, si un domingo entraron 31 mayores y 20 niños y se recaudó por este concepto $41.00?

28. En una fábrica de calzado solo se elaboran zapatos para niños y mujeres. Si 3 pares de zapatos de niños y 2 pares de mujeres cuestan $140.00 y en una jornada se vendieron 20 pares de niños y 40 pares de mujeres y se recaudaron $2000.00. ¿Cuánto cuesta un par de zapato de niño y uno de mujer?

29. Una parcela de autoconsumo de un CDR de nuestra provincia tiene forma rectangular. Si uno de

los lados es menor en m3 que el otro y el área del terreno es 228m . Calcula la longitud que tiene la cerca que rodea dicha parcela.

30. Entre Juan, Daniel y Pedro sembraron 36 árboles frutales. Entre Juan y Daniel sembraron 22, entre Daniel y Pedro sembraron 23 y entre Pedro y Juan sembraron 27. ¿Cuántos árboles frutales sembró cada uno?

31. En un ómnibus articulado viajan 96 personas. El número de mujeres es el triplo del número de niños y la cantidad de hombres es igual a la suma de la cantidad de mujeres y niños. ¿Cuántos niños viajan en el ómnibus?

32. El denominador de una fracción supera en 3 unidades al numerador. Si a cada término de la misma se le adicionan 2 unidades se obtiene la fracción ⅔. ¿Cuál es la fracción inicial?

33. El promedio de las notas de Miguel, un estudiante de Pre Universitario, en las asignaturas: Español, Inglés y Geografía es 88 puntos. Si hubiera obtenido 100 puntos en Español, el promedio sería 92 pero si en lugar de obtener 100 en Español lo hubiera obtenido en Geografía sería 94 el promedio. ¿Qué promedio hubiera obtenido si los 100 puntos los hubiera obtenido en Inglés?

34. Dos fábricas producen el mismo tipo de piezas. José trabaja en una de ellas y Pablo en la otra. Entre ellos tiene lugar el siguiente diálogo:


26

José: Si mi fábrica lograse aumentar su producción diaria en 19 piezas, entonces produciría cada día el doble de lo que tu fábrica produce diariamente.

Pablo: ¿Tú conoces la producción diaria del país?

José: Sí, es de 87 piezas.

Pablo: Pues si tu fábrica produjese diariamente 2 piezas menos, entonces el cuadrado de esa producción sumado con lo que el país produce diariamente sería 8 veces lo que nuestras dos fábricas juntas producen al día en estos momentos.

¿Cuántas piezas producen diariamente cada fábrica?

35. Las tres cifras de un número suman 13. Si del número se resta 270 se obtiene otro número de tres cifras en el cual resultan intercambiadas la cifra de las centenas y de las decenas, pero se conserva la cifra de las unidades. El número de dos cifras formado por la cifra de las decenas y la de las unidades del número original es igual a 6 veces la cifra de las centenas. ¿Cuál es el número?

36. En un mercado agropecuario hay dos cajas que contienen en total 90 Kg. de frijoles. Si de la caja más pesada se sacase el 10 % del contenido y se echase en la otra entonces ambas tendrían la misma cantidad. ¿cuántos Kg. de frijoles contiene cada caja?

37. Dos fábricas debían producir entre ambas 360 piezas de repuesto, según sus respectivos planes de producción. La primera de ellas cumplió su plan al 112% y la segunda al 110% y entre las dos produjeron 400 piezas de repuesto.

a) ¿Cuál era el plan de producción de cada fábrica?

b) ¿Cuántas piezas de repuesto produjeron cada fábrica?

38. En un taller de piezas de repuesto había en total 120 piezas de dos tipos. Una empresa adquirió la mitad de las piezas del tipo I y tres cuartos de las piezas del tipo II. Si lo que quedó es el 40% de las piezas que había inicialmente, calcula cuántas piezas de cada tipo había al principio.

39. Un número de cuatro cifras es mayor que 1000 pero menor que 2000.La cifra de las unidades es igual a la cifra de las decenas disminuida en 2. La cifra de las centenas es igual a la cifra de las unidades aumentada en 2. La suma de la cifra de las decenas y la cifra de las centenas es igual a la cifra de las unidades aumentada en 11. ¿Cuál es el número?

40. Dos grupos de estudiantes, en una jornada de trabajo voluntario, están recogiendo tomates. Al inicio de la jornada se le entregó a cada uno cierta cantidad de cajas vacías. La tercera parte de las cajas entregadas al grupo B excede en 4 a la cuarta parte de las entregadas al grupo A. Al terminar la sesión de campo, entre los dos grupos lograron llenar todas las cajas pero el grupo A, llenó 30 cajas menos que las que le habían sido entregadas y la cantidad de cajas que logró llenar el grupo B excede en dos al duplo de los que llenó el grupo A. ¿Cuántas cajas vacías se entregaron al inicio de la jornada a cada grupo?

41. En un Instituto Pre Universitario Vocacional en Ciencias Exactas hay 400 varones más que hembras. Se decidió trasladar para otro centro de este mismo tipo al 70% de los varones y al 20% de las hembras, quedando en el centro inicial, 100 hembras más que varones. ¿Cuántas hembras y cuántos varones se quedaron?

42. En un recipiente hay 10 Kg. de mezcla de alcohol y agua. Se añade cierta cantidad de agua de forma que la cantidad de alcohol representa el 30% del total. Se añade otra cantidad igual de agua y


27

entonces el alcohol representa el 20% del total. ¿Cuánta agua se añadió en total y qué cantidad de alcohol hay?

43. En una granja estatal tenían sembrados 480 ha más de papas que de cereales. Después de haber recolectado el 80% del cultivo de papas y el 25% del de cereales quedaron en el campo 300 ha más de cereales que de papas. ¿Qué cantidad de hectáreas de cada uno de los cultivos habían sembrados en la granja?

44. Alejandro hizo dos llamadas de larga distancia desde Ciudad de la Habana, una a Santiago de Cuba y la otra a Matanzas. La operadora al final le informa que habló en cada ocasión más de tres minutos y que en total estuvo conversando 15 minutos por lo que debe pagar $7,40. Más tarde, Alejandro consultó la siguiente tabla para saber lo que le cobraron por cada llamada:

Desde Ciudad de la Habana a los siguientes territorios. Tres minutos Minuto adicional

Pinar del Río, Isla de la Juventud, Matanzas 1.00 0.25

Las Tunas, Holguín, Granma, Santiago de Cuba, Guantánamo 2.40 0.60

¿Cuántos minutos estuvo hablando Alejandro con cada provincia?

¿Cuánto pagó por cada llamada?

45. Una empresa de la industria electrónica produce teclados y pantallas para calculadoras gráficas en dos plantas: en la A y en la B. En la planta A se fabrican 14 teclados y 9 pantallas por hora y en cada jornada de 8 horas se desechan como promedio 2 teclados y 2 pantallas. En la planta B, de más moderna tecnología, se producen 55 teclados y 55 pantallas por hora. ¿Cuántas jornadas de 8 horas debe trabajar cada planta para que conjuntamente produzcan 1210 teclados y 1090 pantallas?

46. En una UBPC se plantaron 2 caballerías más de papas que de boniatos. Después de una semana de trabajo en la recolección, los trabajadores de la UBPC verificaron que aun quedaba por recoger el 21% de la plantación de papas y el 75% de la de boniatos, lo que implicaba que faltaba por recoger 3,9 caballerías más de boniatos que de papas. ¿Cuántas caballerías de cada cultivo se habían plantado?

47. Entre dos Institutos Preuniversitarios en el Campo había a principios de curso 62 alumnos de duodécimo grado que manifestaron interés por estudiar carreras pedagógicas. A mediados de curso, el número de interesados en el IPUEC 1 se incrementó en un 20%, y en el IPUEC 2, en un 25%, de modo que entre ambos centros hay ahora 76 alumnos que desean estudiar una carrera pedagógica. ¿Cuántos alumnos de grado 12 aspiran en estos momentos a una carrera pedagógica en cada escuela?


28

48. En un grupo de duodécimo grado todos sus alumnos eligieron en la primera opción una carrera de los grupos de humanidades, ciencias técnicas o ciencias naturales, comportándose las cifras de este modo:

El 20% de la matrícula optó por carreras de humanidades, las 43 partes del resto de los alumnos

prefirieron carreras técnicas, mientras que 8 alumnos optaron por ciencias naturales.

a) Halla la matrícula del grupo.

b) ¿Cuántos alumnos optaron por las carreras técnicas en la primera opción?

49. En el pasado campeonato nacional de pelota en nuestro país, después que cada equipo había celebrado la misma cantidad de juegos, los jugadores A y B habían conectado la mayor cantidad de jonrones, en ese orden. El triplo de los jonrones conectados por B era superior en 16 al duplo de los conectados por A. Si el cuadrado de los jonrones conectados por B lo dividimos por los conectados por A, el cociente es 20 y el resto es 16. ¿Cuántos jonrones conectó cada jugador?

50. Dos camiones distribuyeron cierta cantidad de materiales, de modo que cada uno transportó la mitad. El primer camión realizó 17 viajes, transportando siempre el máximo de su capacidad, excepto en el último viaje que solo utilizó el 50% de su capacidad. El segundo camión dio un viaje más y en cada viaje transportó una tonelada menos que la capacidad máxima del primer camión. ¿Cuántas toneladas de materiales transportaron entre los dos camiones?

51. En una cooperativa de producción agropecuaria se sembraron 40,5 hectáreas más de ajos que de

cebolla. Al terminar la recolección de las 53 partes de las hectáreas de ajo y el 30% de las hectáreas de

cebolla se concluyó que se había recolectado un total de 97,2 hectáreas ¿Cuántas hectáreas de ajo y de cebollas fueron sembrada en la cooperativa?

52. En febrero una casa de vivienda consumió en el mes, durante el período nocturno el doble de la electricidad que consumió durante el período diurno. Medidas internas aplicadas en ese núcleo familiar hicieron que en marzo, durante el período nocturno, el consumo eléctrico del mes disminuyera en un 25% y durante el período diurno se ahorra un 20%, lo que hizo que el consumo eléctrico de la vivienda este mes fuese de 184Kwh ¿En qué tanto por ciento disminuyó el consumo de energía de un mes a otro, una vez aplicadas las medidas?

53. En un Instituto Preuniversitario en el Campo participaron en el curso anterior todos sus alumnos en la Brigadas Estudiantiles de Trabajo. Si la cantidad de hembras participantes excedió en 70 al 40% de la cantidad de varones, y la razón entre la cantidad de hembras y varones es 3 : 4. ¿En cuánto supera la cantidad de varones a la cantidad de hembras?

54. En los Concursos Nacionales de Matemática, Física, Química e Informática las provincias que obtuvieron los tres primeros lugares, en ese orden, fueron Ciudad de la Habana con 105 puntos, Las Tunas con 74 puntos y Villa Clara con 65 puntos. En Matemática y Física la provincia ganadora resultó ser Ciudad de la Habana con 34 puntos en cada una de estas asignaturas; en matemática, Villa Clara logró 15 puntos y Las Tunas 5, pero en Física Las Tunas alcanzó 32 puntos y Villa Clara , 3 puntos. En Informática la provincia ganadora fue Villa Clara con 4 puntos más que Las Tunas y esta 4 puntos más que Ciudad de la Habana. Si el total de puntos de estas tres provincias en Informática fue de 57 puntos, determina cuántos puntos obtuvo cada una de estas tres provincias en Informática y Química

55. Dos brigadas de estudiantes de un IPUEC se propusieron recoger conjuntamente en un día 280 cajas de tomates. Después de terminar la jornada de la mañana, la brigada 1 había recogido las dos


29

quintas de lo que se propuso y la brigada 2 el 60%, quedando por recoger entre las dos 142 cajas ¿Cuántas cajas de tomates le faltaban por recoger a cada brigada en la jornada de la tarde para completar el total de cajas que se propusieron?

56. En los meses de agosto y septiembre del año pasado, nuestro país fue azotado por los huracanes Gustav y Ike. Debido a las afectaciones provocadas se decidió, por parte de la dirección del país, asignar materiales de la construcción en las zonas más afectadas como parte del programa para la recuperación. En un Consejo Popular de la provincia La Habana se asignaron 3t más de cemento que de arena. Al transcurrir una semana, se determinó que aún faltaban por descargar el 20% de la cantidad de toneladas de cemento y el 70% de la cantidad de toneladas de arena lo cual equivale a que se tendrán que entregar 6,9t más de arena que de cemento.¿Cuántas toneladas de cada material se entregaron?

57. En días pasados se realizó una convocatoria para participar en un trabajo voluntario en la agricultura. Tanto el sábado como el domingo, el 60% del total de participantes eran hombres. Se sabe que el sábado participaron 25 hombres más que mujeres. Si el domingo participaron 10 mujeres menos que el sábado. ¿Cuántas personas más participaron el sábado que el domingo?

58. Tres trabajadores sociales Maria, Luís y José visitaron cierto número de viviendas durante dos jornadas de trabajo con la finalidad de actualizar el cobro de los efectos electrodomésticos entregado como parte de los proyectos de la Revolución. Como resultado del trabajo realizado en la primera jornada se sabe que fueron visitadas por los tres un total de 100 viviendas, y que Maria visitó 5 casa menos que las que visitó Luís, sin embargo en la segunda jornada con respecto a la primera, la cantidad de viviendas visitada por Luís disminuyó en un 10%, mientras que José aumentó en 5 la cantidad de viviendas visitadas. Si en esta última jornada se visitaron por ellos dos el 77% del total de las viviendas visitadas durante la primera jornada, ¿Cuántas viviendas visitó Luís y cuántas Losé en esta última jornada?


30

BIBLIOGRAFÍA 1. Álvarez Socarrás Ada Matemática para curso Introductorio/ Ada Álvarez Socarrás.-

Camagüey: /s.c/,/s.a/.—191p.

2. Ballester, Sergio: Cómo Sistematizar los conocimientos matemáticos. Editorial Academia.

Ciudad de la Habana. 1995.

3. Ballester, Sergio y C. Arango: Cómo Consolidar Conocimientos Matemáticos. Editorial

Academia. Ciudad de la Habana. 1995.

4. Campistrus, Pérez L. Y otros: Matemática. Orientaciones Metodológicas 10 grado. Editorial

Pueblo y Educación 1989.

5. Cuadrado González, Zulema. Matemática 10mo grado / Zulema Cuadrado González,

Richard Nerido Castellanos y Celia Rizo Cabrera. —La Habana: Editorial Pueblo y Edición,

6. 1991. —152p.

7. Exámenes de Ingreso a la Educación Superior

3. TrigonometríaMilagros Riquenes Rodríguez, Arsenio Celorrio Sánchez y

Salvador Ochoa Rodríguez

Trigonometría

3

Ángulos y medición de ángulos. Un ángulo orientado es un par ordenado )(h, k de rayos

kh y de origen común. En lo sucesivo supondremos que el rayo k tiene una rotación de sentido positivo, que es el sentido contrario a las manecillas del reloj (Fig. 1)

BOA)h,k(AOB)k,h(

∠→∠→

0 → Vértice del ángulo Medidas de ángulos. Dentro de las unidades de medidas de ángulos mas usadas, tenemos el radián y el grado, estas medidas pertenecen a los sistemas circular y sexagesimal de medidas de ángulos respectivamente. Ambos sistemas se relacionan de la siguiente forma:

ººarcº180

α→α→π

↔ º180º

ºarc π=

αα ;

π=

αα o180

arcº ó

º180ººarc α

=πα , donde arc °α es la

medida en radianes del ángulo α y °α la medida en grados del ángulo α . Ejemplos a) Convertir 30º en radianes.

b) Convertir 4

3π en grados.

Solución:

a) 6180

30

30

180 πππ==→

→

→o

o

o

o .xx

b) ( ) oo

oo

1354

3 18043180

43

180===→

→

→

π

π

ππ .

xx

En conclusión, para convertir del sistema sexagesimal al circular y viceversa se utiliza

la relación

α→α→π

ººarcº180

como se mostró en los ejemplos a) y b). Cuando se convierte

del circular al sexagesimal, puede hacerse sustituyendo π por 1800 y se calculan las

operaciones indicadas, es decir: ( ) oo

1354

18034

3=⇔

π

k

h

B

A

Fig. 1

O

Trigonometría

4

Ejemplos.

a) Para llevar 45º al sistema circular: 4180

45

45

180 πππ==→

→

→o

o

o

o .xx

b) Para llevar 6

5π al sistema sexagesimal:

⇔ 6

5π ( ) 00

1506

1805=

Ampliación del concepto de ángulo. Si un rayo realiza una vuelta completa y rota hasta quedar en una posición que determina un ángulo al que se le asocia la medida α, entonces el ángulo determinado por esta rotación se le asocia la medida °+ 360α , la medida °+ 360 2 .α en la segunda vuelta y la medida °+ 360 .nα con Zn ∈ en la enésima vuelta. A los ángulos cuyas amplitudes en grados se diferencian sólo en un múltiplo entero de °360 se les llama coterminales. Ejemplos

Los ángulos 1820º y 2540º son coterminales porque 360º . 2 720º 1820º - 2540º ==

Los ángulos 461ºy 1582º no son coterminales porque 1121º 461º - 1582º = no es divisible por 360º

1050º-y 30º son coterminales porque 360º . 3 1080º )(-1050º - 30º ==

3

4y

310 ππ son coterminales porque ππππ 2

36

34 -

310

==

2. Determinemos a qué ángulo )( °≤≤° 3600 αα es coterminal cada uno de los siguientes ángulos. a) 1725º

b) 3

20π

c) -1820º Soluciones: a) αº) n (º += 3601725

Para hallar los valores de n y de α , realizamos la división 360º : 1725º donde el cociente es el valor de n y el resto es el valor de α es decir:

285º 360º . 4 1725º += R/ 1725º es coterminal con 285º ya que 285y 4 == αn 0

Trigonometría

5

b) En este caso, expresamos el ángulo en el sistema sexagesimal y posteriormente apliquemos el procedimiento anterior.

b) ( )°=

°⇔ 1200

318020

320π

°+°=° 12036031200 .

32 ó 120con coterminal es

320 ππ

°/R

Nota: Sugerimos que el ángulo coterminal esté expresado en el mismo sistema (sexagesimal o circular) que el ángulo dado. c) 20º.- )5(-360º 1820º- =

R/ 20º. -con coterminal es 1820º-

Los ángulos 270ºy 180º ,90º ,0º )2

3y ,2

(0, πππ se denominan ángulos axiales.

Los ángulos: 60ºy 45º ,30º

3y

4 ,

6πππ

se denominan ángulos notables. Definición de las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante, y cosecante de un ángulo cualquiera. En la enseñanza media se dan las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo α como relación de los lados de un triángulo rectángulo. (Fig. 2).

hipotenusaadyacentecateto:cos

hipotenusaopuestocateto:sen

cbα

caα

=

=

opuetocatetoadyacentecateto:cot

adyacentecatetoopuestocateto:tan

abα

baα

=

=

a

Aα

c β

δ

bC

Fig. 2

B

Trigonometría

6

Como estas definiciones corresponden solamente a un ángulo agudo )( °≤≤° 900 αα , no se puede hablar de seno, coseno, tangente y cotangente de ángulos tales como

,120º ,90º ,0º : etc., ya que el ángulo agudo de un triángulo rectángulo no puede tomar estos valores por lo que daremos a continuación una nueva definición de estas magnitudes de manera que ellas correspondan a cualquier ángulo. Sea r) C(O, una circunferencia de centro “O” en el origen de coordenadas y radio r, tomemos un ángulo central x de la misma y un punto P de la circunferencia de coordenadas v).(u, (Fig.3)

El triángulo OPQ rectángulo en POQ∠ , siendo

r OP v u, PQ OQ === y , se cumple:

rv

rPQx ==sen

ru

rOQx ==cos

xx

rurv

uv

OQPQx

cossentan ====

xx

rvru

vu

PQOQx

sencoscot ====

A continuación se presentan las definiciones de cada una de estas funciones trigonométricas: Definición. La función seno es el conjunto de los pares ordenados de números reales sen x) (x; con

Rx ∈ y se denota por x. f ( x ) x y sen ósen ==

Definición. La función coseno es el conjunto de los pares ordenados de números reales

R x x x ∈con)cos;( y se denota por x.y cos=

y

Fig. 3

P (u;v)

x O Q x

Trigonometría

7

Definición. La función tangente es el conjunto de los pares ordenados de números reales

)tan;( x x con Rx ∈ ; Zkπ)k(x ∈+≠ ,2

12 y se denota por .tan xy =

Definición. La función cotangente es el conjunto de los pares ordenados de números reales )cot; ( xx con Rx ∈ ; Zkkπx ∈≠ , y se denota por .cot xy =

De forma análoga se define las funciones trigonométricas secante y cosecante:

xxy

cos1sec == con Zk)k(x ∈+≠ ,

212 π

xxy

sen1csc == con Zk ∈≠ ,kx π .

TABLA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS NOTABLES (N) Y AXIALES (A).

0º (A) 30º (N) 45º (N) 60º (N) 90º (A) 180º (A) 270º (A)

0 6π

4π

3π

2π π

23π

sen x 0 1 / 2 2 / 2 3 / 2 1 0 -1

cos x 1 3 / 2 2 / 2 1 / 2 0 -1 0

tan x 0 3 / 3 1 3 - 0 -

cot x - 3 1 3 / 3 0 - 0

sec x 1 2 3 / 3 2 2 - -1 -

csc x - 2 2 2 3 / 3 1 - -1

Todo ángulo α y sus coterminales °+ 360.nα con Z∈n , tienen el mismo valor para cada función trigonométrica. El círculo trigonométrico ( ur 1= ) está dividido en cuatro cuadrantes (Fig. 4). Primer cuadrante (IC), segundo cuadrante (IIC), tercer cuadrante (IIIC) y cuarto cuadrante (IVC).

Trigonometría

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Si 900 º x º << → x ∈ I C

Si º x º 18090 << → x ∈ II C

Si º x 270180 <<o → x ∈ III C

Si 360º 270º << x → x ∈ IV C

Signo de las funciones trigonométricas en cada cuadrante.

I II III IV

sen x + + - -

cos x + - - +

tan x + - + -

cot x + - + -

sec x + - - +

csc x + + - -

Reducción de las funciones trigonométricas al primer cuadrante. Fórmulas de reducción.

Reducir un ángulo x al primer cuadrante, es determinar el ángulo α del primer cuadrante, cuyas funciones trigonométricas sean iguales en magnitud aunque pueden diferir en el signo con respecto a las funciones del ángulo. 1. -αxx °=→∈ 180Cuadrante II Si ó α πx −=

α = sen)180(sen º - α

( ) αº - α − = cos180cos

( ) α − = tan180tan º - α

α − = α cot) - (180ºcot

α − = α sec) - (180ºsec

α = α csc) - (180º csc

y

Fig. 4

O x

IC II C

IIIC IVC

Trigonometría

9

2. α+°=→∈ 180Cuadrante III Si xx ó α πx += ( ) α αº − = + sen 180sen

( ) α αº − =+ cos 180cos

( ) α αº tan180tan = +

( ) α αº = + cot180cot

( ) α αº − = + sec180sec

( ) α αº − = + csc 180csc

3. αxSi x −°=→∈ 360Cuadrante IV ó αx α π x −=−= ó 2 ( ) ααº − = − sen360sen

( ) α αº = − cos360cos

( ) ααº tan360tan − = −

( ) ααº − = − cot360cot

( ) α αº = − sec360sec

( ) α αº − = − csc360csc

Ejemplos. Calcular:

a) º 120cos c) )45(cos °− e) °300ens

b) º 225tan d) 3

4sen π f) 6/cos.2/3sen4/5cos.

6/11cos3/5sen

πππ

ππ

Solución: Para calcular el valor de cada una de las funciones trigonométricas de un ángulo x que no está en el primer cuadrante (x ∉ I C), se debe conocer:

En qué cuadrante está situado el lado terminal del ángulo para usar la fórmula de reducción correspondiente y con ello hallar el valor de α.

Qué signo tiene la función en el cuadrante dado. º 120cos a)

II 120º∈ C, porque °<°<° 18012090 0120cos <∴ º α - 180º 120º =

°=

°−°=60

120180αα

Trigonometría

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Como II 120º∈ C, y para todo ángulo del segundo cuadrante se cumple: α − = α cos) - cos(180º º -º 60cos120cos = , 1/2- 120º cos =

°225tan a)

C III 225º∈ 0 225º tan >∴ 45º tan 225º tan = α 180º 225º += , 180 − 225° =α , °= 45 α 1 225º tan =

a) °300sen -α º °=°→∈ 360300CIV300 y 0300sen <° °−°= 300360α , °= 60α º -º 60sen300sen =

23 - = 300ºsen

)(-45º cos b)

0)(-45º cos Cuadrante IV45 >∴∈°− y por la forma en que está expresado el ángulo tomaremos convenientemente para el IV Cuadrante la fórmula -αx =

°==

45 - 45º-

αα

22 )45( cos = )45(- cos = ºº

34 sen b) π

034 senC III240

31.180. 4 es

34

<∴∈°=°ππ

αππ+=

34

33

343

4 πππππα =−

=−=

23

3sen

34sen −=−=

ππ

f) 6/cos.2/3sen4/5cos.

6/11cos3/5sen

πππ

ππ

( ) IV3003

18053

5∈== o

oπ Cuadrante (Aquí el seno es negativo)

23

3sen

35en −=−=

ππs

Observa que si el ángulo esta expresado en el

sistema circular en la forma n

kπdonde k y n

son números enteros diferentes de cero,

entonces nπα =

Trigonometría

11

Cuadrante IV3306

11∈°⇔

π (Aquí el coseno es positivo), 23

6cos

611cos =

π=

π

Cuadrante III2254

5∈°⇔

π (Aquí el coseno es negativo), 22

4cos

45cos −=

π−=

π

π

−=π axial ánguloun es

23 1

23sen

π

=π notable ánguloun es

6

23

6cos

Sustituyendo en la expresión original se tiene:

6/cos.2/3sen4/5cos.

6/11cos3/5sen

πππ

ππ

Función Periódica. Una función f (x)y = se llama periódica si existe un número 0k ≠

R)( k ∈ tal que para todo R)( k ∈ se cumple:

. f (x) k ) f (x =+

- Al número k se le denomina período de la función. - El menor intervalo de valores positivos de x que corresponde a un ciclo completo de la función, se le llama período principal de la función. - Las funciones trigonométricas seno y coseno tienen período principal π2 y las funciones tangente y cotangente π . Gráfico de la Función [ ]π, x y 20 ensen= (Fig. 5) y sus propiedades fundamentales

x 0 2π

π

23π

2π

sen x 0 1 0 -1 0

4/62/3.2/2.12/3.1

2/2.2/32/3

−=−=−

−−=

y

Fig. 5

π/2 π x

2π 3π/2

1

-1 0

Trigonometría

12

Algunas propiedades Dominio de la función Rxf ∈ :) (Dom

Imagen de la función 1 1- : ) (Im ≤≤ yf

Período principal π 2 : (PP)

,x,Zkk: ππ 20 para ;Ceros ≤≤∈ 2} 1, {0, k = y los ceros en su período principal son: { }ππ 2, 0,

Monotonía:

Creciente para πππ 22

3 ó 2

0 <<<< xx

Decreciente para 2

32

ππ<< x

Valores de las abscisas de los extremos: En 2

π=x tiene un punto de máximo

1 ;

2π y en

23 π

=x tiene un punto de mínimo

1- ;

23π .

Funciones de la forma sen bx a y = con RbR a ∈∈ y y sus propiedades

Para representar gráficamente este tipo de función es necesario conocer: El conjunto imagen, ceros y valores de las abscisas de los extremos así como período principal. Imagen: ay-a ≤≤

Los ceros en el dominio de la función se obtienen resolviendo la ecuación: πkbx = , con Zk ∈ y con valores tales que fx Dom∈ .

Las abscisas de los puntos extremos se obtienen resolviendo la ecuación

( )2

12 π+= kbx , con Zk ∈ , es decir, los ceros y las abscisas de los puntos de extremos

se obtienen con la expresión b

k2π , si k es un número par se obtiene un cero y si k es

impar se obtiene la abscisa de un punto de extremo. Para los extremos debe tenerse en cuenta lo siguiente:

El primer extremo a la derecha es máximo si el signo del producto de a por bxsen es mayor que cero o mínimo si el producto es menor que cero y los restantes extremos alternan.

Período principal:bπ2

Trigonometría

13

Ejemplos Representar gráficamente las siguientes funciones. a) [ ]π,x y 20en 2sen3=

b) [ ]π, x y 30en 2

sen2=

c) π≤≤−= 3x0en 3sen 5,2 x y

d) [ ]π x y 2 ,2en 3

sen π−=

Solución:

a) [ ]π,x y 20en 2sen3= → a = 3 y b = 2 (Fig. 6)

Imagen: 3 3- ≤≤ y

Ceros:4πkx = Para 8} 6, 4, 2, {0,k = →Ceros:

ππππ 2,

23,,

2,0

Nota: obsérvese que los valores de k dependen del dominio de la función, en este caso

π20 ≤≤ x . Cada cero se obtiene sustituyendo en la expresión 4πk por cada uno de los

valores de k

Abscisas de los extremos: 4πkx = para k:{ }7 5 3 1 ,,,

Min. Max. Min. Max.

47 ,

45 ,

43 ,

4:

↓↓↓↓

ππππ

b) [ ]π, x y 30en 2

sen2= → a = 2; b = 1/2

(Fig.7) Imagen: ] 2 2,- [

Ceros: ( ) πππ kkb

kx ===2

122 con { }2 0,:k

Ceros:{ }π2 0,

Abscisa de los extremos:

π/2 π 2π

x

y

Fig. 6

-3

3

3π/2 0

π/2 3π/2 2π

x 3π

Fig. 7

y

0 π

2

-2

Trigonometría

14

( ) πππ kkb

kx ===2

122 con { }3 ,1:k

{ }mín):3 ,máx: ππ

( ) 22

2 ==ππ senf

( )2 ;Max π→

( ) 22

323 −==ππ senf

( )2 ;3Min −π→

c) π≤≤−= 3x0con 3sen 5,2 x y

→ a = -2.5 y b =3 (Fig .8) Imagen: [ ]2,5 ;5,2− ,

( ) 6322πππ kk

bkx === con

{ }18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 ,,,,,,,,,:k

Ceros:

πππππππππ 3,

38,

37,2,

35,

34,,

32,

3,0

Abscisas de los extremos:

( ) 6322πππ kk

bkx === con

{ }17 15 13 11 9 7 5 3 1 ,,,,,,,,:k

617,

25,

613,

611,

23,

67,

65,

2,

6πππππππππ

d) [ ]π x y 2 ,2en 3

sen π−=

→ 31 by 1 a ==

(Fig. 9) Imagen: 1] [-1,

π/2 7π/6

3π/2 13π/6

y

3π

π/6

11π/6

5π/2

17π/6 x

Fig 1.8

-2,5

2,5

π/2 7π/6

3π/2 13π/6

y

3π

π/6

11π/6

5π/2

17π/6 x

Fig. 8

-2,5

2,5

0 5π/6

Fig. 9

y

- 3π/2

3π/2

-1

0

1

x

Trigonometría

15

Ceros: 2

3

32

3122

ππππ kkkb

k==

=

con { }0:k

Abscisas de los extremos: 2

3

32

3122

ππππ kkkb

k==

= con { }1 1,:k −

:

−

23;

23 ππ

En este caso, en los límites del dominio de la función la misma no posee valor extremo, ni se hace cero por lo que es necesario que se evalúe la función para los valores límites:

0.86 - 23- =

3sen - = )

32-(sen = ) (-2 =

πππf

0.86 23 =

3sen = )

32(sen = ) (2 =

πππf

1. Dado los siguientes datos, obtenga la ecuación de la función bxsen a y =

a) Imagen: 3,2 2,3- ≤≤ y

PP: π3 b) Imagen: 7,0 0,7- ≤≤ y

PP: 3

5π

Solución: a) Como la imagen está dada por 3,23,2 2,3- =→≤≤ ay

bπ

=2PP por esto se tiene

bππ 23 =

32 ,

32

== bbππ

x32sen 2,3 y =

b) Como 7,0 0,7- ≤≤ y → a = 0.7

352 ππ

=b

Trigonometría

16

56

=b

x 56sen 0.7 y =

Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente. b) cos x y = (Fig.10)

x cos x

0 1

π /2 0

π -1

3π /2 0

2π 1

Algunas propiedades

Rx ∈ :f Dom Im f: 1 1- ≤≤ y

Período principal: π2 Monotonía: Creciente )2,( ππ Decreciente ),0( π

Ceros:

∈+=∈ ZkkxRx :

2)12(/ π

c) x y tan= (Fig. 11)

23

2-en :

2)12( πππ

<<

∈+≠ xZkkx

x -π / 4 0 π / 4

tanx -1 0 1

x

y

Fig. 10

π/2 π 3π/2 2π

-1

1 0

y

π/2 -π/2

Fig. 11

x0

Trigonometría

17

El gráfico de la función se obtiene en

los intervalos )2

3,2

();2

,2

( ππππ−

y así sucesivamente, es decir, es periódica en Zk ∈ ;kπ ; y su período principal esπ .

Domf: ZkkxR ∈+≠∈ :2

)12(/x π

Im f: R∈y

Monotonía: Creciente en los intervalos de la forma

Zk,)k(x)k( ∈+<<−2

122

12 ππ

d) { } πx -π ZkkπxRx x, y <<∈≠∈= para ,:cot (Fig. 12)

Propiedades Dom f: { }ZkkxRx ∈π≠∈ ,:

Im f: Ry∈

Período principal: π Monotonía: Decreciente en los intervalos de la forma: Zkkxk ∈+<<− ,)12()12( ππ

Ceros: Zkk ∈+ ,2

)12( π

Algunas identidades trigonométricas. En esta sección daremos al estudiante algunas identidades trigonométricas, tan importantes, que recomendamos memoricen.

1) x x 1cossen 22 =+

2) Zkkxxxx ∈

π+≠= :

2)12(con

cossentan ,

3) Zkkxxxx ∈π≠= ;con

sencoscot

4) 1cscsen x x . = 5) 1seccos x x . = 6) 1cot.tan =xx

7) xx 22 tansec1 =+

y

π/2 -π/2 π -π

Fig. 12

x

0

Trigonometría

18

8) xx 22 cotcsc1 =+ 9) x x . x cossen22sen =

10) x x- x 22 sencos2cos =

11) x)(x x - x 2cos121sensen212cos 22 −=→=

12) x) (x x - x 2cos121cos1cos22cos 22 +=→=

Ejemplos.

1. Sea 0x un ángulo del intervalo ππ≤≤ x

2

Existe exactamente un valor 0x en este intervalo para el que se cumple:

32 sen 0 =x . Calculemos 000 coty tan, cos xxx

Solución:

1cossen 02

02 x x =+

132cos

2

02 x =

+

941cos 0

2 −= x

95cos 0

2 = x como 0x ∈ II cuadrante se cumple: cos 0 0 <x

35

95cos 0 −=−= x

252/3.3/5

3/23/5

sencos

cot

552

5.55.2

52

53.3

23/5

3/2cos

tan

0

00

0

00

−=−=−

==

−=−

=−=−=−

==

xxx

xxsenx

Demostración de identidades trigonométricas. En la trigonometría se tropieza frecuentemente con dos expresiones de diferentes aspectos, pero, para todos los valores admisibles de los ángulos, adquieren iguales valores numéricos. Estas dos expresiones se llaman idénticas y la igualdad entre ellas se llama identidad trigonométrica. Para comprobar que la igualdad dada es una identidad

Trigonometría

19

trigonométrica no existen reglas de validez general que lo permitan, no obstante, recomendamos que se tenga en cuenta: 1. Iniciar la demostración por el miembro que ofrece mayor posibilidad para transformarlo en el otro, sino trabaje en ambos miembros por separado para luego concluir que son iguales. 2. Si es posible, utilice la descomposición factorial y la simplificación. 3. Si no encuentra un camino propicio para empezar las transformaciones, reduce todas las funciones trigonométricas a senos y cosenos. 4. Tenga en cuenta que todas las transformaciones efectuadas sean válidas en el dominio de la identidad. Ejemplos. Demuestre las siguientes identidades para los valores admisibles de la variable.

a) 2cos(sen)cos(sen 22 x) x - x x =++

b) 1)cot1(sen 22 =α+α

c) x

xx2cos1

2sentan+

=

Soluciones:

( ) ( ) MD211cossencossen

coscos.sen2sencoscos.sen2sena)MI2222

2222

==+=+++=

+−+++=

xxxx

xxxxxxxx

( ) MD1sen

1.sencsc.sencot1enMIb) 222222 ==

αα=αα=α+α= s

( )

( )( )( ) ( )

( ) MItancoscos.sen2

2cos.sen2

211

cossen42cos1cos.en2

2sen2cos12sen

2cos12cos12cos12senMDc)

22

222

====−−

=

−=

−=

−+−

=

xxxsen

xxxsen

xxxsen

xxxxxs

xxx

xxxx

Otra vía de solución:

MItancossen

1cos21cos.sen2

2cos12sen

2 ===−+

=+

xxx

xxx

xx

Ecuaciones trigonométricas. Una ecuación se llama trigonométrica si ella contiene la incógnita (o variable) sólo bajo los signos de las funciones trigonométricas y se satisfacen para algunos de los valores admisibles de la variable.

Trigonometría

20

Ejemplos

a) 1sen x = 01tan b) =−x 1cosc)sen2 =+ xx

No es ecuación trigonométrica: x x 2sen =+ ya que la incógnita x se encuentra no solo bajo el signo seno. Resolver una ecuación trigonométrica significa hallar todos los ángulos que satisfacen dicha ecuación, es decir que reducen la ecuación a una proposición verdadera después de la sustitución de la incógnita. Para resolver una ecuación trigonométrica debemos tener en cuenta los siguientes pasos:

Expresar todas las funciones trigonométricas que aparecen en la ecuación con el mismo argumento aplicando identidades. Expresar toda la ecuación en términos de una sola función trigonométrica. Resolver la ecuación, haciendo transformaciones algebraicas considerando como

incógnita la función trigonométrica en que quedó expresada la ecuación (factorizando o de cualquier otra forma). Determinar los valores de la incógnita que satisfacen las ecuaciones

transformadas. Ejemplos

a) x x = π20 ;23sen ≤≤

b) x - 01cos2 2 =

c) 0sen2cos3 2 =α−α d) 0cos2sen t t - = Solución:

a) x ; x = π≤≤ 2023sen

En este caso no hay que hacer ninguna transformación porque la función sen x está despejada. Para hallar los valores de x , se debe analizar en qué cuadrantes está situado el ángulo x teniendo en cuenta el signo de la función, como en este caso sen x es positivo , se cumple que x pertenece al primer cuadrante (IC) o x pertenece al segundo cuadrante (IIC)

I C: →= αx α es un ángulo del primer cuadrante cuyo seno es 23 ∴ °= 60α .

º x 60 :C I =

Trigonometría

21

º - α x 180 :C II = 12060180 º º º - x ==

{ }

ππ

=°°=3

2;3

ó 120 ;60 SS

b) 01cos 2 2 x - =

21cos2 x =

21cos ó

21cos x = - x =

Racionalizando en ambos casos se tiene:

ºα = x = - x = 4522cos ó

22cos →

22cos x = → IVC ó IC ∈∈ xx

I °== 45 :C αx °=°== 31545360360 :IVC º - º - α x

Cxx x III ó IIC 22 - =cos ∈∈→

°=°−°== 13545180180 :C II º - α x 0

°=°+=+= 22545180180 :C III º αº x Como todo ángulo y sus coterminales tienen el mismo valor para cada función trigonométrica, al dar el conjunto solución se debe tener en cuenta. Si el dominio de la variable no está restringido a cada solución se le debe sumar πk2 ó ko360 con Zk ∈ .

{ } Zkkkkk ∈ 360° + 315° ,360° + 225° ,360° + 135° °+°= ,,36045 S . Observe que la diferencia entre cada solución y su consecutiva es de 90º por lo que la solución anterior se puede simplificar expresándose en la forma siguiente:

{ } Zkk ∈

+°⋅+°= kcon

24 ó 9045 S ππ

0sen2cos3 c) 2 =α−α

En este ejemplo para expresar la ecuación en función de una sola función trigonométrica, es necesario sustituir a α2sen .

0)cos1(2cos3 2 =−− α α

0cos22cos3 2 =+− α α

Trigonometría

22

0cos32cos2 2 =α+−α

02cos3cos2 2 =−α+α

↓ ↓

°=°°=α°=α

∈α∈αα

<α<→−=α=α

=+α=−α=+α−α

α=α−αα

α

30060-360 :C IV60 : C I

C IV ó C I que tienese positivo, es cos como

1cos1- que ya imposible2cos 21 cos

02cos 01cos20)2)(cos1cos2(

cos3coscos42 cos1- 2cos

( ){ }

circular SistemaZk ,23

5 ;23

lsexagesima SistemaZk ,360 300 );360 60(

→

∈++=

→∈°+°°+°=

ππππ kkS

kkS

d) 0cos2sen t t - = En este ejemplo debe transformarse la ecuación de forma tal que en la misma se utilice el mismo argumento para cada función.

0)1sen2(cos0coscossen2

==

t - t t t- t

∈+++=

===∈+=

===

==

∈∈→==

==

Zk πkkππkππS

πππ-π-α tZ ; kπk t

πα t π t

π α π t

CC ó t t t t

t - t

;2

)12( ;26

5 ;26

65

6:C II

2)12(

6:IC

23

6

2

III21sen 0cos

01sen2 ó 0cos

Trigonometría

23

Ejercicios Ejercicio # 1 1) Determine si los pares de ángulos siguientes son coterminales o no. a) 2652º y 1572º b) 1370º y 5204º c) 3280º y 320º d) 270º y -90º 2) Calcule el valor numérico de las expresiones siguientes:

°⋅°°⋅°

°+⋅

°+

°⋅

30sen cos45sen0tan60cot

066

csc

45cos4

sec

60cot6

cos

π- d)

sen πsenπc)

πb)

πa)

°⋅°

°+⋅

°⋅

°+

°−+°⋅

°

⋅°

270sen60csc

60sec3

cotcos

60sec332

3sen-6

tan60cotcos

45sec3

tan30cos3

sen

60sec3

tan270sen

ππh)

ππ - πg)

ππ f)

π

e)

3) Si 6π

=a , π=b , 2π

=c , 2

3π=d , e=45º y

3π

=f . Halla el valor numérico de las

expresiones siguientes:

a. dcba

sencotcossen

2

2

−+

b. ba

dcbsec.tan2

cos5csc7sen5 +−

c. e

a.fcot

cossenaf

tansec

d. fa

c.fcsccossencot

+

e. a.

dafbsec33

sentancotcos −−+

Trigonometría

24

4) Probar que:

a ) 0180sen .6

cos.3

cot3 22 =ππ o

b) 2360cot23cot

30sen3tan /ºπ/

º.π/=

+

c) αα.απ cotcsc2

sen =

−

d) 1

2sec

cotsen 2

22 =

−

+xπ

xx

e) αα

αα

αse

α2cos

sec2

coscot

n 2

cos=

−

••

−

ππ

5) Halla:

a) 4

7cot π b) o315csc c) 3

2cot π

d) 3

4cos π e) 6

11sen π

6) Calcula el valor numérico de las restantes funciones trigonométricas del ángulo x:

a) 31cos =x y 0sen <x

b) 43tan =x y 0csc >x

c) 135sen −=x y 0cos <x

d) 25tan =x y 0sec >x

e) 41sen =x y 0cot <x

7) Halle el valor numérico de las expresiones siguientes:

a) 65seccos

32csc35tan45cotπ/.π

π/.π/.π/

b) 6/cos.2/3sen4/5cos.

6/11cos3/5sen

πππ

ππ

c) 4/3tan.3/4sen

4/sec.6/7cos.6/5cscππ

πππ

Trigonometría

25

d) 3/5sec2/sen6/11cos.

4/3tan3/2cos

π−ππ

ππ

8.-Prueba que:

a) 32/3sen.3/5cot

0cos.6/5csc.6/11sen−=

ππππ

b) 3/16º150cot2º30secº210sen4 22 =++

c) 36/7csc4/5sen4/13cos 22 =π−π+π

d) 06/5sec2/sen

4/7tan.2/cos.3/2csc=

π−ππππ

e) 2

31)º120cot(2

cos)º120cot( −=

−π+−

f) 4/33/sec.4/cot

2/3sen.6/cos.2/sen−=

πππππ

9.- Calcule el valor numérico de las expresiones siguientes con los valores dados para a:

a. 6/ ;)sec(

)cot()2/cos(cosπ=α

α+πα−πα−πα

b. 3/;)2(sen)2/(sen

4/cot)cos(π=α

α−πα−ππ+α+π

c. 4/;cot)2/(sensen)2/tan(cos

π=ααα−πα

α−πα

d. 6/);csc(.)2cot(tan

)2/(sen)2/cos(π=αα+π

α−παα−πα−π

10.- Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) xy sen 5,4= ππ 22 ≤≤− x

b) xy 3sen= ππ 22 ≤≤− x

c) xy 2sen 5,2= ππ 2≤≤− x

d) xy 3sen 5,0= ππ 2≤≤− x

Trigonometría

26

e) 2

sen 4 xy = π50 ≤≤ x

11.- Demuestra las siguientes identidades para los valores admisibles de las variables.

i. ( ) α−=α−α 2sen1cossen 2

ii. ( )222 cos.cotcoscot xxxx +=

iii. ( )( )xxxxxxs cos.sen1cossencosen 33 −+=+

iv. xx 2cos2

2cos1=

+

v. α=α

α− tan2sen

2cos1

vi. yy

yy 22

2cot

cos1sen2cos

=−

+

vii. ( ) ( ) ( )( )senxsenxxsenx 21211tan1 22 +−=−−

viii. ( ) 21coscos

1cos22cos=

+++

xxxx

8) Resolver las siguientes ecuaciones:

a. 0sen2en 2 =+ xxs

b. 01cos3cos2 2 =++ xx c. 2 cos2 x + sen x = 2 d. 2 sen2 x + 3cos x = 0

e. sen2 α - 2cos α + 1/4 = 0

f. 0cos3sen2 2 =+ xx

g. cos 2x – senx = 0

h. 3cos x – 2 sen2 x = 0 i. cot x . sen 2x = cos x j. 2 sen2 2x + 4 sen x. cos x =0 k. Sen4 x – cos 4 x=1 l. Cos 2x + cos x = -1 m. 4sen2 x + sen2 2x = 3 n. (1 + cos x) [1/(sen x) - 1 ] = 0

9) Resuelve las siguientes ecuaciones sabiendo que 0 ≤ x ≤ 2π a. 3 sen2 x = cos2 x

b. 2 3 cos2 x = sen x

c. 3(1 + cos x) = sen 2x. tan x d. cos 2x + 5cos x = 2

Trigonometría

27

e. cos 2x + 3sen2 x – cos2 x = 5sen x – 2 f. sen2 2x – sen 2x = 2

g. π20 para 0cos212cos 2 ≤≤=+− xxsenxx

h. 1)cos(

2222 =

++−

xsenxxsensenxxsen

10) Si cos x = 31 y x pertenece al primer cuadrante, hallar: sen x; tan x; sen 2x y

cos 2x

11) Si sen x = 43 y x es un ángulo del segundo cuadrante: Halle cos x y sen 2x

12) Si x = 3

2π . Calcule sen 2x. tan 2x

13) Si 4

5tan −=x ; 53cos −=x y ππ ≤≤ x2 ; Hallar senx, cos2x, y sen2x

14) Halle el valor de o2cos225 4

7tan +π

15) Halle los valores de x, que satisfagan la ecuación 33tan3 =x

16) Sea π≤≤2π

= 23 , 31cos xx

a) Determine el valor de sen x. b) Determine el valor de cot x. 17) Compruebe que para los valores admisibles de x, se cumple que :

2)(sen).(sen

)tan().cos().2

cos(2−=

−π+π

−π+π−π

xx

xxx

18) Pruebe que: 2

23

4sen

6cos.

3cot

6cos

4sen.

3tan

=π

ππ

+π

ππ

19) Calcule.

47tan

90cos150sen )π

+ oo

a b)

4π

+

π+

π−

9tan1560cot

35tan

23cos225sen 2

o

o

Trigonometría

28

20) Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: I ) 2sen2x + 5cos x = 4 en el intervalo [0; 2π ]

II) 2sen2x - 5cos x + 1 = 0

III) IV)

sen2x - cosx = 0

xxxxsen cos32coscot22 =−

21) Hallar los valores de x; π20 << x que son soluciones de la ecuación: sen2x - 5senx - cos2x - 2 = 0. Dar la respuesta en grados sexagesimales.

22) Para qué valores de x, las funciones xg(x)xxf seny 2cos)( == alcanzan el mismo valor.

23) Sean las funciones: xsenxxf

2cos32)( −= y g(x) =3x-4 . Determine los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=g(4). 24) Sea la ecuación: 01)1(24 2 =++− xsenkxsen con °≤≤° 900 x

a) Halla las soluciones de esta ecuación para 23=k .

b) ¿Para qué valor positivo de k la ecuación tiene una sola solución? 25) Halle los valores de x ( 0 ≤ x ≤ π ) que satisfacen la ecuación:

( )( ) 25cos722coslog cos =++−− xxsenxxsenx

26) Sean: ( ) xxsenxf tan2213−= y ( ) senxxg += 1

a) Calcula

4πf

b) Halla los valores de x para los cuales se cumple que ( ) ( )xgxf =

27) Halla la abscisa x (0 < x < π/2 ) del punto donde se cortan los gráficos de las funciones dadas por las ecuaciones: xxgyxxf cos3)(cos2

910)( +=+=

28) Dada la igualdad xAx

xA cot2sen

2cos2

=+

a) Demuestre que para A = 1 la igualdad que se obtiene es una identidad para todos los valores admisibles de la variable x.

b) En la igualdad toda considera A = ½ y resuelve la ecuación obtenida.

Trigonometría

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BIBLIOGRAFÍA

Álvarez Socarrás Ada Matemática para curso Introductorio/ Ada Álvarez Socarrás.- Camagüey: /s.c/,/s.a/.—191p. Ballester, Sergio: Cómo Sistematizar los conocimientos matemáticos. Editorial Academia. Ciudad de la Habana. 1995. Ballester, Sergio y C. Arango: Cómo Consolidar Conocimientos Matemáticos. Editorial Academia. Ciudad de la Habana. 1995. Campistrus, Pérez L. Y otros: Matemática. Orientaciones Metodológicas 10 grado. Editorial Pueblo y Educación 1989.

Cuadrado González, Zulema. Matemática 10mo grado / Zulema Cuadrado González, Richard Nerido Castellanos y Celia Rizo Cabrera. —La Habana: Editorial Pueblo y Edición, 1991. —152p.

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