problemas de potencial con valores en la …volumétricas y no posee análogo en menores...
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PROBLEMAS DE POTENCIAL CON VALORES EN LA FRONTERA
ECUACIONES DE POISSON y LAPLACE
2
Función Delta de Dirac
la función delta de Dirac es un excelente instrumento para convertir densidades
puntuales, lineales y superficiales, en densidades volumétricas equivalentes
Esto tiene un gran inter´es ya que la ecuación de Poisson es para densidades
volumétricas y no posee análogo en menores dimensiones, puesto que dicha
ecuación proviene del teorema de la divergencia el cual no tiene análogo en
dimensiones menores a tres.
Con esta distribución es posible escribir una densidad de carga puntual
(ubicada en r0) como una densidad volumétrica equivalente
Esta densidad reproduce adecuadamente tanto la carga total como el
potencial que genera
3
Es usual definir la “función” delta de Dirac como:
Esta definición se basa en una concepción errónea de la distribución delta
de Dirac como una función. A pesar de ello, hablaremos de ahora en
adelante de la función delta de Dirac para estar acorde con la literatura.
4
5
6
La expresión
para el ángulo solido nos permitirá desarrollar una importante identidad que sería de
uso frecuente en nuestros desarrollos, calculemos la divergencia del gradiente de la
función:
Haciendo el cambio de variable y teniendo en cuenta
para r ≠0; en tal caso escribiendo el operador laplaciano en coordenadas esféricas vemos
que solo aparece la derivada con respecto a la coordenada r debido a la simetría esférica de
1/r
7
pero para r = 0 esta expresión esta indeterminada. No obstante, veremos el
comportamiento de esta expresión bajo una integral de volumen en una cierta
vecindad de r = 0
Aquí aplicamos el teorema de Gauss
Vemos entonces que:
para r ≠ 0 en tanto que su integral en un volumen que contiene a r = 0 es 4π, reasignando
r → r − r´ resulta entonces que:
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Ecuaciones de Poisson y Laplace
9
10
Cálculos de campos electrostáticos
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Entre dos planos conductores indefinidos paralelos
separados una distancia z0 y conectados a
potenciales 0 y +V0, según se muestra en la figura,
existe una distribución continua de carga negativa
dada por la ecuación 00 / zz
Z V(z0) = +V0
V(0) = 0 z=0
z = z0
00 / zz
Determine el potencial en cualquier punto entre los dos planos conductores y las
densidades superficiales de carga en los mismos (suponga la permitividad del
medio entre los planos igual a 0).
PROBLEMA 1
Ecuación de Poisson en coordenadas cartesianas aplicada a este caso: 0
2
2
z
V
00
0
z
z
Al resolver esta ecuación y aplicar a la solución las condiciones de contorno expresadas en el
enunciado obtendremos el potencial en todos los puntos z0 z 0.
100
20
2C
z
z
z
V
Integrando
una vez:
Integrando
dos veces: 2100
30
6)( CzC
z
zzV
Condiciones
de contorno: En z = 0 V(0) = 0 C2 = 0
En z = z0 V(z0) = V0 010
200
006
)( zCz
VzV
0
00
0
01
6
z
z
VC
zz
z
V
z
zzV
0
00
0
0
00
30
66)(
12
PROBLEMA 1 (Continuación)
Densidad superficial de carga en los planos conductores: calculemos primero el campo eléctrico
zz
z
V
z
zzV
0
00
0
0
00
30
66)(
z
VuVE z
0
00
0
0
00
20
62
z
z
V
z
zuz
El campo eléctrico en la superficie de un conductor está
dado en función de la densidad superficial de carga σ por: 0
nuE
E
nu
0
inferior
0
00
0
0
6)0(
zz u
z
z
VuE
Plano inferior z = 0. Aquí zn uu
0
0000inferior
6 z
Vz
0
superior
0
00
0
0
0
000
62)(
zz u
z
z
VzuzE
Plano superior z = 0. Aquí zn uu
0
0000superior
3 z
Vz
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Una esfera conductora de radio a está rodeada por otra esfera conductora, hueca y
concéntrica con ella, de radio b > a. El espacio entre las dos esferas se rellena con un
dieléctrico, y entre ambas esferas se mantiene una diferencia de potencial Va-Vb.
a) Calcule el potencial y el campo en cualquier punto situado entre ambas esferas.
b) Si la permitividad del dieléctrico es , determine las densidades superficiales.
c) Determine el desplazamiento y la polarización en el dieléctrico.
PROBLEMA 2
a
b
Va
Vb Como no hay densidad de cargas libres entre ambas esferas,
la ecuación de Poisson se reduce en este caso a la de Laplace. 02 V
Por la simetría esférica del problema el potencial únicamente va a
depender de la coordenada radial, y entonces el laplaciano es
02
dr
dVr
dr
d21
r
C
dr
dV 2
1 Cr
CV
Integrando
dos veces
Para r = a V(a) = Va 21 C
a
CVa
Para r = b V(b) = Vb 21 C
b
CVb
b
C
a
CVV ba
11 ba VVba
abC
1
baaa VVba
bV
a
CVC
1
2ba
bVaV ba
r
VVabbVaV
barV ba
ba
1)(
r
VVabbVaV
rba
urVE ba
bar
)(
2
1
rba
VVabu ba
r
ru
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PROBLEMA 2 (Continuación)
a
b
Va
Vb
ru
σa
σb
Relación entre campo y densidades superficiales de carga
an
bar u
aba
VVabuaE
2
1)(
baa
VVb baa
bn
bar u
bba
VVabubE
2
1)(
nu
bab
VVa bab
Si Va > Vb (esfera interna positiva), como a < b
σa >0
σb <0
PED
0
Cálculo del desplazamiento. Aplicamos el T. de Gauss a una esfera gaussiana de radio a r b y
superficie Sr concéntrica con la esfera interna de radio a y superficie Sa que contiene la carga q.
rS
aaSqSdD
Por simetría ar arDSD 22 44
2
2
r
auD a
r
EDP
0
2
1
rba
VVabu ba
r
2
1)(
rba
VVaburE ba
r
2
0 1
rba
VVabu ba
r
Cargas ligadas +
Cargas ligadas -
E
0
P
D
Va > Vb
a
b
Cargas libres + Cargas libres -
Polarización
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Se construye un condensador cilíndrico usando dos
armaduras cilíndricas concéntricas de radios a y b (b > a) e
introduciendo un dieléctrico de permitividad en la mitad
inferior del mismo, según se muestra en la figura. El
condensador se carga a V0 voltios, siendo positiva la
armadura interna. Suponiendo despreciables los efectos de
los bordes, se pide:
a) Resuelva la ecuación del potencial y determine el campo
en cualquier punto entre las dos armaduras.
b) Determine las densidades superficiales de carga libre y la
capacidad por unidad de longitud.
c) Determine el desplazamiento y la polarización.
PROBLEMA 3
a
b
0
Como no hay densidad de cargas libres en la región entre armaduras, la
ecuación de Poisson se reduce en este caso a la ecuación de Laplace, y dada la
simetría del problema, el potencial sólo dependerá de la coordenada radial.
02 V
01
r
Vr
rr
1Cdr
dVr dr
r
CdV 1 21 C
r
drCdV 21 ln CrCV
Condiciones
de contorno
Para r = a V(a) = V0
Para r = b V(b) = 0
210 ln CaCV
21 ln0 CbC )/ln(0
1ba
VC
)/ln(
ln 02
ba
VbC
)/ln()/ln(
)( 0 brba
VrV
16
PROBLEMA 3 (Continuación)
a
b
0
Campo eléctrico
r
br
ba
VurVE r
)/ln(
)/ln()( 0
rba
Vur
1
)/ln(0
Densidades superficiales de carga libre
Tanto en la armadura interna como en la externa podemos
distinguir dos zonas, la del vacío (I) y la del dieléctrico (II).
II
I
0
)(
IanI uaE
IIanII uaE
)(rn uu
Armadura
interna
Vector unitario radial
sentido hacia afuera
)/ln()( 00
0baa
VaEIIa
0
)(
IIbnII ubE
0
)(
IbnI ubE
)/ln()( 0
baa
VaEIIIIa
El campo eléctrico es el
mismo en ambas zonas,
puesto que la diferencia
de potencial es la misma
Estas dos densidades de
carga son positivas,
puesto que ln(a/b) < 0
rn uu
Armadura
externa )/ln(
)( 000
bab
VbEIIb
)/ln()( 0
bab
VbEIIIIb
Densidades de carga
negativas, puesto que
ln(a/b) < 0
Carga por unidad de longitud en la armadura interna
IIaIa aaL
q
)/ln(
00
ba
V
(Esta carga es positiva, en la armadura
externa hay una carga igual pero negativa)
ru
Capacidad por unidad de longitud
)/ln(
0
0 baLV
q
L
C
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PROBLEMA 3 (Continuación)
a
b
0
II
I
Desplazamiento eléctrico: aplicamos el teorema de Gauss a un cilindro
cerrado y coaxial con las armaduras, de superficie lateral Sr y longitud L
rS
qSdD r
S
r
)/ln(00
ba
LV
IIZonaIZona
SdDSdD
rLDrLD III
En todos los puntos de la superficie lateral Sr el vector desplazamiento es radial y por tanto
paralelo a ; en las bases del cilindro su flujo es nulo por ser perpendicular a las superficies. ru
ru
ID
ru
IID
En la superficie de separación entre el vacío y el dieléctrico, las componentes
tangenciales del campo eléctrico deben ser iguales y debe verificarse r
IIrIIr
IrI u
DuEu
DuE
0
rL
qDD III
rba
V 1
)/ln(00
00 III DD
rba
VDI
1
)/ln(00
rba
VDII
1
)/ln(0
r
u
ba
VD r
I
)/ln(00
r
u
ba
VD r
II
)/ln(0
Polarización: IIII PED
0 EDP IIII
0
r
u
ba
V
ba
V r
)/ln()/ln(
00
0
r
u
ba
VP r
II
)/ln(00
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Dos esferas metálicas concéntricas de radios a y b (b > a) se conectan
ambas a tierra y en el espacio comprendido entre ellas se coloca una
distribución de carga de permitividad y densidad volumétrica de carga
PROBLEMA 4
2
2
0 1r
a
donde r representa la distancia radial desde el centro del sistema (b r a).
Calcule cuánta carga adquiere la esfera interna.
a
b
2
2
0 1r
a
Ecuación de Poisson
V2
En este caso hay simetría
esférica, por lo que el
potencial sólo dependerá
de la coordenada radial.
2
202
21
1
r
a
dr
dVr
dr
d
r
Para calcular la carga de la esfera interna tendremos que determinar
la densidad superficial de carga en dicha esfera. Para hacer esto,
empezaremos calculando el potencial en cualquier punto de la región
comprendida entre ambas esferas.
2202 ardr
dVr
dr
d
1
23
02
3Cra
r
dr
dVr
21
20
3 r
C
r
ar
dr
dV
212
20 ln
6C
r
Cra
rV
19
PROBLEMA 4 (Continuación)
212
20 ln
6C
r
Cra
rV
0)( 0)( bVaVCondiciones de contorno:
0ln6
)( 212
20
C
a
Caa
aaV
011
/ln6
)()( 12
220
C
ababa
abaVbV
0ln6
)( 212
20
C
b
Cba
bbV
No hace falta calcular C2 porque a partir del potencial vamos a derivar para obtener el campo eléctrico
aba
ab
ab
abC /ln
6
222
01
dr
dVuE r
2
2222
0 1/ln
63 raba
ab
ab
ab
r
arur
21
20
3 r
C
r
arur
El vector desplazamiento es ED
2
2222
0
1/ln
63 aaba
ab
ab
ab
a
aaa
2
2222
0
1/ln
63 raba
ab
ab
ab
r
arD
En r = a el módulo del vector desplazamiento nos da la densidad superficial de carga.
ab
ab
ab
aba /ln
6
1/
1/
/
3
4
2
0
La carga en la
esfera interna es:
ab
ab
ab
abaSaq aa /ln
6
1/
1/
/
3
4 4)(
23
0
20
ab
ab
ab
abaSaq aa /ln
6
1/
1/
/
3
4 4)(
23
0
PROBLEMA 4 (Continuación)
Interpretación del resultado
)/( abf
ab /
)/( abfSi la densidad 0 es positiva,
entonces la esfera interna se
encuentra cargada negativamente.
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
11,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
ab
ab
ab
ababf /ln
6
1/
1/
/
3
4)/(
2