problemas de razonamiento ejemplo 2-2

Problemas de razonamientoG. Edgar Mata Ortiz

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Problemas que se resuelven mediante sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitasEjemplo 2.2. Proceso de solución tomando como incógnita cualquiera de las cantidades desconocidas.

Método gráfico

• Estos comentarios se refieren a un problema resuelto previamente, el 2.1.

• Se trata de explicar el significado de la gráfica, especialmente en los puntos tabulados y en el punto de equilibrio.

Ejemplo

• La fábrica de playeras “Litvinchuk” tienecostos fijos de $17,000 mensuales yvariables de $100 por pieza. El precio deventa de las playeras es de $120 por pieza.

• Encuentra las funciones de costo e ingreso

• Determina el costo, el ingreso y laganancia si se fabrican; 0, 300, 500 y 1000piezas.

• Determina, gráficamente, el punto deequilibrio.

Procedimiento de solución

• En este problema tenemos cuatro cantidades desconocidas:

• El número de playeras fabricadas

• El número de playeras vendidas

• El costo total de fabricación

• Los ingresos por la venta de las playeras

• Podríamos agregar la ganancia, aunque se calculará posteriormente y no se empleará para la resolución del problema


• Para simplificar el modelo se considera que las playeras fabricadas y las vendidas son iguales, es decir, se vende todo lo que se fabrica.

• La simplificación de modelos matemáticos hace que no reflejen fielmente la realidad, pero a cambio hace más sencillo entenderlo.

• Siempre podemos refinar el modelo posteriormente.


• Con el modelo simplificado tenemos:

• Cantidad de playeras fabricadas = x

• Cantidad de playeras vendidas = x

• Costo total por la fabricación de x playeras:

• Costo total = Costo fijo + Costo variable

• Abreviado: CT = CF + CV

• Costo variable = Número de piezas fabricadas por costo unitario de fabricación: CV = NPF (CUF)


• Sustituyendo:

• CT = CF + NPF (CUF)

• CT = 17000 + x (100)

Costo fijo

Número de piezas

fabricadas

Costo unitario de fabricación


• El ingreso (I) es más sencillo, simplemente se multiplica el número de piezas vendidas (NPV), recordar que es igual al número de piezas fabricadas = x, por el precio de venta (PV)

• I = NPV (PV)

• I = x (120)

• Simplificando: I = 120x Número de piezas vendidas

Costo unitario de fabricación


• Uno de los pasos más importantes es el planteamiento del sistema de ecuaciones.

• En este caso simplemente se omiten las siglas “CT, I” sustituyéndose por “y”

• Obtenemos:

• y = 100x + 17000

• y = 120x• Cuando modelamos un problema real, en la medida que hacemos

abstracción, nos alejamos del hecho en estudio.


• Una vez planteadas las ecuaciones se resuelve el sistema por el método gráfico.

• Los pasos son:

5.1. Despejar “y” en ambas ecuaciones

5.2. Tabular dando valores a “x” y calculando los valores correspondientes de “y”

5.3. Trazar las gráficas

5.4. Encontrar el punto de intersección


5.1. En este problema en particular las ecuaciones ya están despejadas.

5.2. Los valores que se toman para “x” pueden ser elegidos arbitrariamente, sin embargo, en este ejercicio se nos piden valores específicos: 0, 300, 500 y 1000.

Estas tabulaciones permitirán contestar la segunda pregunta del problema


• Al tabular, respondemos una de las preguntas del problema y agregamos un valor x=1400

Piezas fabricadas

Costo totalCT = y

Piezas vendidas

IngresoI = y

Ganancia

x 100x + 17000 x 120x I - CT

0 17000 0 0 -17000

300 47000 300 36000 -11000

500 67000 500 60000 -7000

1000 117000 1000 120000 3000

1400 157000 1400 168000 11000


• Con los valores obtenidos en la tabulación debemos graficar.

• En el mismo plano cartesiano trazamos:

• La función de costo y = 100x + 17000

• Y la función de ingreso y =120x

• La gráfica está en la siguiente diapositiva.


0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Costos e ingresos


• El punto de equilibrio es el nivel de producción y ventas que hace la ganancia igual a cero, es decir, cuando no hay pérdidas ni ganancias.

• Este punto de equilibrio se encuentra en el punto de intersección de las dos rectas.

• Se determina a simple vista.

• ¿Qué coordenadas tiene el punto de intersección de las dos rectas?


• El método gráfico puede no ser muy preciso, sin embargo, es posible obtener la solución.

• La solución es:

• x = 850,

• y = 102000

Interpretación de la gráfica

En x=0, la gráfica de costo (roja) toma un valor de 17000, mientras la de ingreso (azul), es igual a cero.

Esto significa que si no fabricamos ni vendemos nada, de todas formas hay un costo; el costo fijo, de modo que habrá pérdidas


En x=300, la gráfica de costo (roja) toma un valor de 47000, mientras la de ingreso (azul), es igual a 36000.

Esto significa que al fabricar y vender 300 piezas, sigue habiendo pérdidas, de 11000, por eso la ganancia es negativa (-11000)


En x=500, la gráfica de costo (roja) toma un valor de 67000, mientras la de ingreso (azul), es igual a 60000.

Esto significa que al fabricar y vender 500 piezas, sigue habiendo pérdidas, de 7000, por eso la ganancia es negativa (-7000)


En x=1000, finalmente hay ganancias, podemos observar que la ganancia deja de ser negativa, es de 3000 positiva.


Este cambio de valor de equis, de negativo a positivo merece atención. Nos indica que debe haber un punto en el cuál la ganancia sea cero.

Este punto en el que no hay pérdidas ni ganancias es el punto de equilibrio que ya calculamos, ocurre cuando x = 850. El costo es igual a la ganancia.

Punto de equilibrio:x = 850

y = 102000

GRACIAS POR SU ATENCIÓN

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