DISTRIBUCIÓN DE PLANTA

PROBLEMAS DE TRANSPORTE:

1.- Una empresa tiene 2 plantas de producción (P1 y P2) de cierto artıculo que vende en 3 ciudades (C1,C2 y C3). En P1 produce 5000 unidades, y en P2 7000 unidades. De estas 12000 unidades las vende así: 3500 es C1, 4000 en C2 y 4500 en C3. Los costes de transporte, en euros por unidad de producto, desde las plantas de producción a las ciudades son:

Determina el nº de artículos que debe enviar la empresa desde cada planta a cada ciudad para que los costes de transporte sean mínimos.Para problemas de este tipo necesitamos una nueva variable.Sea x=unidades de P1 a C1, y=unidades de P1 a C2 y z=unidades de P1 a C3.Tiene que verificarse entonces que x + y + z = 5000.Si desde P 1 a C1 se envían x unidades, como en C1 necesitan 3500, desde P2 se mandaran a C13500 − x. Razonando del mismo modo con y y z, se obtiene la tabla:

Hemos sustituido z por 5000 − y − x, porque x + y + z = 5000 y así transformamos las 3 incógnitasen solo 2.Para obtener las restricciones imponemos que cada cantidad ha de ser mayor o igual que cero, esdecir:

x ≥ 03500 − x ≥ 0

y ≥ 04000 − y ≥ 0

5000 − x − y ≥ 0−500 + x + y ≥ 0

Por tanto el sistema de inecuaciones es:x ≥ 0

x ≤ 3500y ≥ 0

y ≤ 4000x + y ≤ 5000x + y ≥ 500

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DISTRIBUCIÓN DE PLANTA

Como se trata de minimizar costes, la funci´on objetivo es:C(x,y)=3x+2.5y+3.5(500-x-y)+2.25(3500-x)+3.75(4000-y)+4(-500+x+y)C(x,y)=1.25x-0.75y+22625Dibujando la región factible:

Resulta que A=(0,500), B=(0,4000), C=(1000,4000), D=(3500,1500), E= (3500,0) y F=(500,0).Sustituyendo es:

C(0, 500) = 22250C(0, 4000) = 19625

C(1000, 4000) = 20875C(3500, 1500) = 25875

C(3500, 0) = 27000C(500, 0) = 23250

El mínimo se da en B, cuando x = 0 e y = 4000.Es decir, las unidades a distribuir son:

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DISTRIBUCIÓN DE PLANTA

2.- Una fabrica textil prepara una excursión para 400 operarios. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 y 10 autobuses de 50 asientos, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autobús grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la fabrica textil.

SoluciónEs un problema de programación lineal, en este caso lo que queremos es hacer mínima la función objetivo.Llamamos x al nº de autobuses de 40 asientos e y al nº de autobuses de 50 asientos que alquila la fabrica textil.Entonces se tiene x <=8 , y<=10Como sólo hay 9 conductores se verifica que: x +y <=9Como tienen que caber 400 operarios se debe de verificar:40x +50y >=400, que simplificada quedaría 4 x +5y >=40Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la región factible (conjunto de puntos solución donde se cumplen todas las condiciones) son

La función objetivo es F(x, y)= 60x+ 80yDibujamos las rectas auxiliares,

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DISTRIBUCIÓN DE PLANTA

Los vértices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este último es el punto de intersección de las rectas r3 y r4

por reducción

restando ambas ecuaciones se tiene x =5 y sustituyendo en la 1ª ecuación, y =4Resolviendo gráficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solución del problema. La solución óptima .Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vértices y que este es el que da menor valor (método analítico).

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