CURSO :

MATEMÁTICA DISCRETA

ALUMNO :

NORABUENA HUERTA CARLOS

ALBERTO.

CÓDIGO:

0809071029

HUARAZ - ANCASH

INTRODUCCIÓN Comenzaremos a pensar la evolución de la matemática en el siglo XX con un párrafo del E.T. Bell, donde creemos que se sintetizan algunas cuestiones: “Si las matemáticas del siglo XX difieren en forma importante de las del siglo XIX, posiblemente las distinciones más interesantes son un marcado aumento en la abstracción, con la consecuente ganancia en la generalización, y una preocupación creciente por la morfología y anatomía comparada de las estructuras matemáticas; un afianzamiento en la penetración crítica y el principio de la aceptación de las limitaciones que ofrece el razonamiento deductivo clásico. Si „limitaciones‟ da idea de nulidad después de siete mil años de lucha humana para pensar claramente, esa idea es errónea. Pero es verdad que las valoraciones críticas del razonamiento matemático aceptado, lo que se acusa en las primeras cuatro décadas del siglo XX, han necesitado revisiones extensas de las matemáticas anteriores e inspiraron muchos trabajos nuevos de profundo interés, tanto para las matemáticas como para la epistemología. También condujeron a lo que parece ser el abandono definitivo de la teoría que sustenta que las matemáticas son una imagen de la Verdad Eterna”. Algunas de las cuestiones que más han influido en la investigación matemática del siglo XX son: los 23 problemas propuestos por Hilbert en el Congreso de París de 1900, que constituyeron un desafío constante para los matemáticos.

DAVID HILBERT (1864-1943),

Matemático alemán que tuvo mucha importancia en la escuela de su país durante la primera mitad del siglo XX. Sus Fundamentos de Geometría (1899) constituyen una obra fundamental para la axiomática moderna. La actividad científica de Hilbert puede dividirse en seis períodos: hasta 1893 (en Königsberg), formas algebraicas; 1894-1899, teoría algebraica de números; 1899-1903, fundamentos de la geometría; 1904-1909, análisis (principio de Dirichlet, cálculo de variaciones, ecuaciones integrales, problema de Waring); 1912-1914, física teórica; después de 1918, fundamentos de la matemática. David Hilbert (1862-1943) comenzó su discurso en el Primer Congreso Internacional de Matemáticas, celebrado en París, en 1900, con las siguientes palabras: "¿Quien de nosotros no quisiera levantar el velo tras el cual yace escondido el futuro, y asomarse, aunque fuera por un instante, a los avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros? ¿Cuáles serán las metas particulares que tratarán de alcanzar los líderes del pensamiento matemático de las generaciones futuras? ¿Qué nuevos métodos y nuevos hechos nos depararán los siglos por venir en el ancho y rico campo del pensamiento matemático?"

VIDA Hilbert nació en Königsberg, en Prusia Oriental (actual Kaliningrado, Rusia). Se graduó en el liceo de su ciudad natal y se matriculó en la Universidad de Königsberg ("Albertina"). Obtuvo su doctorado en 1885, con una disertación, escrita bajo supervisión de Ferdinand von Lindemann, titulada Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen ("Sobre las propiedades invariantes de formas binarias especiales, en particular las funciones circulares"). Hermann Minkowski coincidió con Hilbert en la misma universidad y momento como doctorando, y llegaron a ser amigos íntimos, ejerciendo uno sobre el otro una influencia recíproca en varios momentos de sus carreras científicas. Hilbert permaneció como profesor en la Universidad de Königsberg de 1886 a 1895, cuando, como resultado de la intervención en su nombre de Felix Klein, obtuvo el puesto de Catedrático de Matemática en la Universidad de Göttingen, que en aquél momento era el mejor centro de investigación matemática en el mundo, donde permanecería el resto de su vida. EL TEOREMA DE FINITUD

El primer trabajo de Hilbert sobre funciones invariantes le llevó en 1888 a la demostración en su famoso teorema de finitud. Veinte años antes, Paul Gordan había demostrado el teorema de la finitud de generadores para formas binarias usando un complejo enfoque computacional. Los intentos de generalizar este método a funciones con más de dos variables fallaron por la enorme dificultad de los cálculos implicados. Hilbert se dio cuenta de que era necesario seguir un camino completamente diferente. Como resultado, demostró el Teorema fundamental de Hilbert: mostrar la existencia de un conjunto finito de generadores, para las invariantes cuánticas en cualquier número de variables, pero de forma abstracta. Esto es, demostró la existencia de dicho conjunto, pero no de forma algorítmica sino mediante un teorema de existencia.

Hilbert envió sus resultados a los Mathematische Annalen. Gordan, el experto en teoría de invariantes para la Mathematische Annalen, no fue capaz de apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y rechazó el artículo, criticando la exposición porque era insuficientemente comprensiva. Su comentario fue:

Esto es teología, ¡no matemática!

Klein, por otro lado, reconoció la importancia del trabajo y se aseguró de que fuese publicado sin alteraciones. Animado por Klein y los comentarios de Gordan, Hilbert extendió su método en un segundo artículo, proporcionando estimaciones sobre el grado máximo del conjunto mínimo de generadores, y lo envió una vez más a los Annalen. Tras leer el manuscrito, Klein le escribió, diciendo:

Sin duda éste es el trabajo más importante en álgebra general que los Annalen han publicado nunca.

Más adelante, cuando la utilidad del método de Hilbert había sido reconocida universalmente, el propio Gordan diría:

He de admitir que incluso la teología tiene sus méritos.

Los 23 problemas planteados por Hilbert en el primer Congreso de Matemática realizado en 1900 fueron: Hilbert propuso una lista muy influyente de 23 problemas sin resolver en el Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900. Se reconoce de forma general que esta es la recopilación de problemas abiertos más exitosa y de profunda consideración producida nunca por un único matemático. Tras reescribir los fundamentos de la geometría clásica, Hilbert podía haberlo extrapolado al resto de las matemáticas. Este enfoque difiere, sin embargo, de los posteriores 'fundacionalista' Russel-Whitehead o el 'enciclopedista' Nicolas Bourbaki, y de su contemporáneo Giuseppe Peano. La comunidad matemática al completo podría embarcarse en problemas que él identificó como aspectos cruciales en

las áreas de la matemática que él consideró como claves. Lanzó el conjunto de problemas en la conferencia "Los problemas de la matemática" presentada durante el curso del Segundo Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París. Esta es la introducción a la conferencia de Hilbert:

¿Quién entre nosotros no estaría contento de levantar el velo tras el que se esconde el futuro; observar los desarrollos por venir de nuestra ciencia y los secretos de su desarrollo en los siglos que sigan? ¿Cual será el objetivo hacia el que tenderá el espíritu de las generaciones futuras de matemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevos hechos revelará el nuevo siglo en el vasto y rico campo del pensamiento matemático?

Presentó menos de la mitad de los problemas en el Congreso, que fueron publicados en las actas. Extendió el panorama en una publicación posterior, y con ella llegó la formulación canónica actual de los 23 Problemas de Hilbert. El texto al completo es importante, dado que la exégesis de las cuestiones puede seguir siendo materia de debate inevitable, cada vez que se preguntan cuántas han sido resueltas:

1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo. ¿Cuál es el cardinal del continuo?

2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética. ¿Son compatibles los axiomas de la aritmética?

3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.

4. El problema de la distancia más corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia más corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?

5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.

6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?

7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, 2v2, etc.

8. El problema de la distribución de los números primos.

9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.

10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.

11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.

12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.

13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de sólo dos argumentos.

14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.

15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.

16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.

17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.

18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.

19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?

20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet.

21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrómico.

22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.

23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones. Algunos se resolvieron en poco tiempo. Otros se han discutido durante todo el siglo XX, y

actualmente se ha llegado a la conclusión de que unos pocos son irrelevantes o imposibles de cerrar. Algunos continúan siendo actualmente un reto para los matemáticos.

FORMALISMO

Siguiendo la tendencia que se había convertido en estándar a mitad de siglo, el conjunto de problemas de Hilbert también constituía una especie de manifiesto, que abrió la vía para el desarrollo de la escuela formalista, una de las tres escuelas matemáticas más importantes del siglo XX. De acuerdo al formalismo, la matemática es un juego —carente de significado— en el que uno lo practica con símbolos carentes de significado de acuerdo a unas reglas formales establecidas de antemano. Por tanto es una actividad de pensamiento autónoma. Sin embargo, hay margen para la duda al respecto de si la propia visión de Hilbert era simplistamente formalista en este sentido. EL PROGRAMA DE HILBERT En 1920 propuso de forma explícita un proyecto de investigación (en metamatemática, como se llamó entonces) que acabó siendo conocido como programa de Hilbert. Quería que la matemática fuese formulada sobre unas bases sólidas y completamente lógicas. Creía que, en principio, esto podía lograrse, mostrando que:

1. toda la matemática se sigue de un sistema finito de axiomas escogidos correctamente;

2. que tal sistema axiomático se puede probar consistente.

Parecía tener razones técnicas y filosóficas para formular esta propuesta. Esto afirmaba su disgusto por lo que se había dado a conocer como ignorabimus, que aún era un problema activo en su tiempo dentro del pensamiento alemán, y que podía rastrearse en esa formulación hasta Emil du Bois-Reymond.

El programa sigue siendo reconocible en la filosofía de la matemática más popular, donde se le llama normalmente formalismo. Por ejemplo, el grupo Bourbaki adoptó una versión selectiva y diluida como adecuada para los requisitos de sus proyectos gemelos de (a) escribir trabajos fundamentales enciclopédicos, y (b) dar soporte al sistema axiomático como herramienta de investigación. Este enfoque ha tenido éxito e influencia en relación con el trabajo de Hilbert en el álgebra y el análisis funcional, pero no ha conseguido cuajar igual con sus intereses en física y lógica. EL TRABAJO DE GÖDEL

Hilbert y los matemáticos de talento que trabajaron con él en esta empresa estaban dedicados al proyecto. Su intento de dar soporte a la matemática axiomatizada con principios definidos, que eliminaría las incertidumbres teóricas, iba sin embargo a acabar en derrota. Gödel demostró que no se podía demostrar la completitud de ningún sistema formal no contradictorio que fuera suficientemente amplio para incluir al menos la aritmética, sólo mediante sus propios axiomas. En 1931 su teorema de la incompletitud mostró que el ambicioso plan de Hilbert era imposible tal como se planteaba. El segundo requisito no podía combinarse con el primero de forma razonable, mientras el sistema axiomático sea genuinamente finito. Sin embargo, el teorema de completitud no dice nada al respecto de la demostración de la completitud de la matemática mediante un sistema formal diferente. Los logros posteriores de la teoría de la demostración como mínimo clarificaron la relación de la consistencia con las teorías de interés principal para los matemáticos. El trabajo de Hilbert había empezado lógico en su camino a la clarificación; la necesidad de entender el trabajo de Gödel llevó entonces al desarrollo de la teoría de la computabilidad y después de la lógica matemática como disciplina autónoma en la década de 1930–1940. De este 'debate' nació directamente la base para la informática teórica de Alonzo Church y Alan Turing.

LA ESCUELA DE GÖTTINGEN

Entre los alumnos de Hilbert se encuentran Hermann Weyl, el campeón mundial de ajedrez Emanuel Lasker, Ernst Zermelo y Carl Gustav Hempel. John von Neumann fue asistente suyo. En la Universidad de Göttingen, Hilbert se encontró rodeado por un círculo social constituido por algunos de los matemáticos más importantes del siglo XX, como Emmy Noether y Alonzo Church. ANÁLISIS FUNCIONAL

Alrededor de 1909, Hilbert se dedicó al estudio de ecuaciones diferenciales e integrales; su trabajo tuvo consecuencias directas en partes importantes el análisis funcional moderno. Para poder llevar a cabo estos estudios, Hilbert introdujo el concepto de un espacio euclídeo de infinitas dimensiones, llamado más tarde espacio de Hilbert. Su trabajo en esta parte del análisis proporcionó la base de importantes contribuciones a la física matemática en las dos décadas siguientes, aunque en direcciones que por entonces no se podían anticipar. Más tarde, Stefan Banach amplificó el concepto, definiendo los espacios de Banach. El espacio de Hilbert es por sí misma la idea más importante del análisis funcional, que creció a su alrededor durante el siglo XX. FÍSICA Hasta 1912, Hilbert fue de forma casi exclusiva un matemático «puro». Cuando planeaba hacer una visita a Bonn, donde estaba inmerso en el estudio de la física, su amigo y colega matemático Hermann Minkowski hacía chistes diciendo que tenía que pasar 10 días en cuarentena antes de poder visitar a Hilbert. En realidad, Minkowski parece ser responsable de la mayoría de investigaciones de Hilbert en física anteriores a 1912, incluido su seminario conjunto sobre el tema en 1905. En 1912, tres años tras la muerte de su amigo, cambió su objetivo hacia este tema de forma casi exclusiva. Arregló que se le asignara un «tutor en física».

2 Empezó

estudiando la teoría cinética de los gases y pasó luego a la teoría elemental de radiación y a la teoría molecular de la materia. Incluso tras el estallido de la guerra en 1914, continuó celebrando seminarios y clases donde se seguían de cerca los trabajos de Einstein entre otros. Hilbert invitó a Einstein a Göttingen para que impartiera una semana de lecciones entre junio y julio de 1915 sobre relatividad general y su teoría de la gravedad en desarrollo (Sauer 1999, Folsing 1998). El intercambio de ideas llevó a la forma final de las ecuaciones de campo de la Relatividad General, en concreto las ecuaciones de campo de Einstein y la acción de Einstein-Hilbert. Aunque Einstein y Hilbert no llegaron nunca a enzarzarse en una disputa pública sobre prioridad, ha habido algo de discusión sobre el descubrimiento de las ecuaciones de campo. Además, el trabajo de Hilbert anticipó y asistió a varios avances en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Su trabajo fue clave para el de Hermann Weyl y John von Neumann sobre la equivalencia matemática de la mecánica de matrices de Werner Heisenberg y la ecuación de onda de Erwin Schrödinger, y su espacio de Hilbert juega un papel importante en la teoría cuántica. En 1926, von Neumann mostró que si los estados atómicos se entendiesen como vectores en el espacio de Hilbert, entonces se corresponderían tanto con la teoría de función de onda de Schrödinger como con las matrices de Heisenberg. Mediante esta inmersión en la física, trabajó en darle rigor a la matemática que la sostiene. Aunque es muy dependiente de la matemática avanzada, el físico tiende a ser «descuidado» con ella. Para un matemático «puro» como Hilbert, esto era «feo» y difícil de entender. Al empezar a comprender la física y la manera en que los físicos usaban la matemática, desarrolló una teoría matemáticamente coherente para lo que encontró, principalmente en el área de las ecuaciones integrales. Cuando su colega Richard Courant escribió el clásico Métodos de física matemática incluyó algunas ideas de Hilbert, y añadió su nombre como coautor incluso aunque Hilbert no llegó a contribuir al escrito. Hilbert dijo que «la física es demasiado dura para los físicos», implicando

que la matemática necesaria estaba lejos de su alcance por lo general; el libro de Courant-Hilbert les facilitó las cosas. TEORÍA DE NÚMEROS Hilbert unificó el campo de la teoría algebraica de números con su tratado de 1897 Zahlbericht (literalmente 'informe sobre números'). Abatió el problema de Waring en el sentido amplio. Desde entonces tuvo poco más que decir sobre el tema; pero la emergencia de las formas modulares de Hilbert en la disertación de un estudiante implica que su nombre está más unido a un área importante. Propuso una serie de conjeturas sobre la teoría de cuerpos de clases. Los conceptos fueron muy influyentes, y su propia contribución queda patente en los nombres del cuerpo de clase de Hilbert y el símbolo de Hilbert de la teoría local de cuerpos de clases. Los resultados sobre estas conjeturas quedaron probados en su mayoría sobre 1930, tras el importante trabajo de Teiji Takagi que lo estableció como el primer matemático japonés de nivel internacional. Hilbert no trabajó en las áreas principales de la teoría analítica de números, pero su nombre quedó unido a la conjetura de Hilbert-Pólya, por razones anecdóticas.

Ejemplos1.

Ejemplo 2.

BIBLIOGRAFÍA

http://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Hilbert

http://www.sangakoo.com/blog/los-problemas-de-hilbert/

http://www.sangakoo.com/blog/los-problemas-de-hilbert/

http://es.scribd.com/doc/52150807/33/Ejercicios-Resueltos