problemas métodos numéricos

E.A.P INGENIERA QUMICA UNJFSC

OMAR CRISTOPHER RAMREZ RISCO SIMULACIN Y OPTIMIZACIN DE PROCESOS 1

PROBLEMA N 1

1(, ): 2 2 + 2 1

2(, ): 22 32 + 6 2

Graficando las funciones en el programa Graph tenemos:

Figura 1. Grfica de la funcin 1 (curva roja) y funcin 2 (curva verde).

Ahora procedemos a encontrar los puntos de interseccin mediante el mtodo de

Newton Raphson multivariable:

+1 = 1

Al programar los componentes matriciales de la ecuacin de Newton Raphson en

Microsoft Excel se tiene la tabla 1.



ITERACIN Xi Fi J J-1 Xi+1 e

1 1.0000 2.0000 2.0000 -2.0000 1.5000 -0.5000 0.5000 0.5000

1.0000 5.0000 4.0000 -6.0000 1.0000 -0.5000 1.5000 0.5000

2 0.5000 0.0000 1.0000 -3.0000 3.0000 -1.0000 0.2500 0.2500

1.5000 -0.2500 2.0000 -9.0000 0.6667 -0.3333 1.4167 0.0833

3 0.2500 0.0556 0.5000 -2.8333 6.0000 -2.0000 0.1250 0.1250

1.4167 0.1042 1.0000 -8.5000 0.7059 -0.3529 1.4142 0.0025

4 0.1250 0.0156 0.2500 -2.8284 12.0000 -4.0000 0.0625 0.0625

1.4142 0.0312 0.5000 -8.4853 0.7071 -0.3536 1.4142 0.0000

5 0.0625 0.0039 0.1250 -2.8284 24.0000 -8.0000 0.0312 0.0313

1.4142 0.0078 0.2500 -8.4853 0.7071 -0.3536 1.4142 0.0000

6 0.0312 0.0010 0.0625 -2.8284 48.0000 -16.0000 0.0156 0.0156

1.4142 0.0020 0.1250 -8.4853 0.7071 -0.3536 1.4142 0.0000

7 0.0156 0.0002 0.0313 -2.8284 96.0000 -32.0000 0.0078 0.0078

1.4142 0.0005 0.0625 -8.4853 0.7071 -0.3536 1.4142 0.0000

8 0.0078 0.0001 0.0156 -2.8284 192.0000 -64.0000 0.0039 0.0039

1.4142 0.0001 0.0313 -8.4853 0.7071 -0.3536 1.4142 0.0000

9 0.0039 0.0000 0.0078 -2.8284 384.0000 -128.0000 0.0020 0.0020

1.4142 0.0000 0.0156 -8.4853 0.7071 -0.3536 1.4142 0.0000

10 0.0020 0.0000 0.0039 -2.8284 768.0000 -256.0000 0.0010 0.0010

1.4142 0.0000 0.0078 -8.4853 0.7071 -0.3536 1.4142 0.0000

11 0.0010 0.0000 0.0020 -2.8284 1536.0000 -512.0000 0.0005 0.0005

1.4142 0.0000 0.0039 -8.4853 0.7071 -0.3536 1.4142 0.0000

12 0.0005 0.0000 0.0010 -2.8284 3072.0000 -1024.0000 0.0002 0.0002

1.4142 0.0000 0.0020 -8.4853 0.7071 -0.3536 1.4142 0.0000

13 0.0002 0.0000 0.0005 -2.8284 6144.0000 -2048.0000 0.0001 0.0001

1.4142 0.0000 0.0010 -8.4853 0.7071 -0.3536 1.4142 0.0000

14 0.0001 0.0000 0.0002 -2.8284 12288.0000 -4096.0000 0.0001 0.0001

1.4142 0.0000 0.0005 -8.4853 0.7071 -0.3536 1.4142 0.0000

15 0.0001 0.0000 0.0001 -2.8284 24576.0005 -8192.0002 0.0000 0.0000

1.4142 0.0000 0.0002 -8.4853 0.7071 -0.3536 1.4142 0.0000

16 0.0000 0.0000 0.0001 -2.8284 49151.9881 -16383.9960 0.0000 0.0000

1.4142 0.0000 0.0001 -8.4853 0.7071 -0.3536 1.4142 0.0000

Tabla 1. Iteracin

Podemos observar en la iteracin nmero 16 de la tabla 1 los valores de = 0;

= 1,4142. Tambin podemos observar que la figura 1 tiene un plano de simetra con

respecto al eje x, por lo que tambin = 1,4142.

Por lo tanto, la interseccin de las curvas de la figura 1 se da en los puntos:

(0; 1,4142) (0, 1,4142).



PROBLEMA N 2

1(, ): 2 ( 1)2 = 1 1

2(, ): ( 1)2 + ( + 1)2 = 9 2

Graficando las funciones en el programa Graph tenemos:

Figura 2. Grfica de la funcin 1 (curva roja) y funcin 2 (curva verde).

En la figura 2 podemos observar que existen 4 puntos de interseccin. Ahora

procedemos a encontrar dichos puntos mediante el mtodo de Newton Raphson

multivariable, para ello se programa en Microsoft Excel los componentes matriciales de la

ecuacin de Newton Raphson (tablas 2, 3, 4 y 5).

Para encontrar los 4 puntos, se darn valores de x e y para el primer cuadrante,

segundo cuadrante, tercer cuadrante y cuarto cuadrante (++; -+; -- y +-).

Dando valores de = 1; = 2 para el primer cuadrante, tenemos la tabla 2.




1 1.0000 -1.0000 2.0000 -2.0000 0.5000 0.1667 1.5000 0.5000

2.0000 0.0000 0.0000 6.0000 0.0000 0.1667 2.0000 0.0000

2 1.5000 0.2500 3.0000 -2.0000 0.3000 0.1000 1.4000 -0.1000

2.0000 0.2500 1.0000 6.0000 -0.0500 0.1500 1.9750 -0.0250

3 1.4000 0.0094 2.8000 -1.9500 0.3266 0.1070 1.3958 -0.0042

1.9750 0.0106 0.8000 5.9500 -0.0439 0.1537 1.9738 -0.0012

4 1.3958 0.0000 2.7916 -1.9476 0.3278 0.1073 1.3958 0.0000

1.9738 0.0000 0.7916 5.9476 -0.0436 0.1539 1.9738 0.0000

5 1.3958 0.0000 2.7916 -1.9476 0.3278 0.1073 1.3958 0.0000

1.9738 0.0000 0.7916 5.9476 -0.0436 0.1539 1.9738 0.0000

6 1.3958 0.0000 2.7916 -1.9476 0.3278 0.1073 1.3958 0.0000

1.9738 0.0000 0.7916 5.9476 -0.0436 0.1539 1.9738 0.0000

7 1.3958 0.0000 2.7916 -1.9476 0.3278 0.1073 1.3958 0.0000

1.9738 0.0000 0.7916 5.9476 -0.0436 0.1539 1.9738 0.0000

8 1.3958 0.0000 2.7916 -1.9476 0.3278 0.1073 1.3958 0.0000

1.9738 0.0000 0.7916 5.9476 -0.0436 0.1539 1.9738 0.0000

Tabla 2. Iteracin en el primer cuadrante.

Para encontrar la interseccin en el segundo cuadrante comenzamos la iteracin con

= 1; = 1 como se muestra en la tabla 3.


1 -1.0000 0.0000 -2.0000 0.0000 -0.5000 0.0000 -1.0000 0.0000

1.0000 -1.0000 -4.0000 4.0000 -0.5000 0.2500 1.2500 0.2500

2 -1.0000 -0.0625 -2.0000 -0.5000 -0.4091 -0.0455 -1.0227 0.0227

1.2500 0.0625 -4.0000 4.5000 -0.3636 0.1818 1.2159 0.0341

3 -1.0227 -0.0006 -2.0455 -0.4318 -0.4099 -0.0399 -1.0229 0.0002

1.2159 0.0017 -4.0455 4.4318 -0.3742 0.1892 1.2153 0.0006

4 -1.0229 0.0000 -2.0458 -0.4307 -0.4100 -0.0399 -1.0229 0.0000

1.2153 0.0000 -4.0458 4.4307 -0.3744 0.1893 1.2153 0.0000

Tabla 3. Iteracin en el segundo cuadrante.

Para encontrar la interseccin en el tercer cuadrante comenzamos la iteracin con

= 1 ; = 1 tal como se muestra en la tabla 4.


1 -1.0000 -4.0000 -2.0000 4.0000 0.0000 -0.2500 -2.2500 1.2500

-1.0000 -5.0000 -4.0000 0.0000 0.2500 -0.1250 -0.6250 0.3750

2 -2.2500 1.4219 -4.5000 3.2500 0.0423 -0.1831 -1.9982 0.2518

-0.6250 1.7031 -6.5000 0.7500 0.3662 -0.2535 -0.7139 0.0889

3 -1.9982 0.0555 -3.9965 3.4278 0.0313 -0.1876 -1.9866 0.0116

-0.7139 0.0713 -5.9965 0.5722 0.3282 -0.2188 -0.7165 0.0026

4 -1.9866 0.0001 -3.9732 3.4330 0.0311 -0.1881 -1.9866 0.0000

-0.7165 0.0001 -5.9732 0.5670 0.3272 -0.2177 -0.7165 0.0000

Tabla 4. Iteracin en el tercer cuadrante.



Para encontrar la interseccin en el cuarto cuadrante comenzamos la iteracin con

= 1 ; = 2 tal como se muestra en la tabla 5.


1 1.0000 -9.0000 2.0000 6.0000 0.5000 1.5000 17.5000 16.5000

-2.0000 -8.0000 0.0000 -2.0000 0.0000 -0.5000 -6.0000 4.0000

2 17.5000 256.2500 35.0000 14.0000 0.0123 0.0172 9.3744 8.1256

-6.0000 288.2500 33.0000 -10.0000 0.0406 -0.0431 -3.9895 2.0105

3 9.3744 61.9837 18.7488 9.9791 0.0214 0.0357 5.5432 3.8312

-3.9895 70.0676 16.7488 -5.9791 0.0600 -0.0671 -3.0028 0.9867

4 5.5432 13.7045 11.0864 8.0056 0.0342 0.0683 4.0050 1.5382

-3.0028 15.6517 9.0864 -4.0056 0.0776 -0.0946 -2.5846 0.4182

5 4.0050 2.1911 8.0100 7.1691 0.0463 0.1047 3.6376 0.3675

-2.5846 2.5409 6.0100 -3.1691 0.0878 -0.1170 -2.4796 0.1049

6 3.6376 0.1240 7.2751 6.9593 0.0508 0.1195 3.6138 0.0238

-2.4796 0.1460 5.2751 -2.9593 0.0906 -0.1249 -2.4726 0.0070

7 3.6138 0.0005 7.2276 6.9452 0.0511 0.1206 3.6137 0.0001

-2.4726 0.0006 5.2276 -2.9452 0.0908 -0.1255 -2.4726 0.0000

8 3.6137 0.0000 7.2274 6.9452 0.0511 0.1206 3.6137 0.0000

-2.4726 0.0000 5.2274 -2.9452 0.0908 -0.1255 -2.4726 0.0000

Tabla 5. Iteracin en el cuarto cuadrante.

Por lo tanto, tenemos las intersecciones:

Para el primer cuadrante: = . ; = .

Para el segundo cuadrante: = . ; = .

Para el tercer cuadrante: = . ; = .

Para el cuarto cuadrante: = . ; = .

problemas métodos numéricos

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